лекція 10

1. Лекція 3. Диференціювання функ
комплексної змінної

2. ( ) ( ) ( )
z
zfzzf
lim
z
w
limzf
0z0z ∆
−∆+
=
∆
∆
=′
→∆→∆
Лекція 3. Диференціювання функцій комплексної
змінної
3.1 Означення похідної
(3.1)

3. 3.1 Означення похідної
Основні властивості похідних
( )( ) ( ) ;, constCzfCzCf =′=
′
( ) ( )( ) ( ) ( );zgzfzgzf ′+′=
′
+
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( );zgzfzgzfzgzf ′+′=
′
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ;0,2
≠
′−′
=
′






zg
zg
zgzfzgzf
zg
zf
( )( )( ) ( ) ( ) ( );zgw,zgwfzgf =′′=
′
( ) ,, Dzzfw ∈=
2.
3.
4.
5.
6.
7.

4. 3.1. Означення похідної
Формально технічне диференціювання елементарних функцій комплексної
змінної не відрізняється від диференціювання функцій дійсної змінної. Наприклад,
( ) ;zz
ee =
′
(3.2)
( ) ;cossin zz =
′
(3.3)
( ) zz sincos −=
′
(3.4)
( ) ;
cos
1
tg 2
z
z =
′
(3.5)
( )
z
z 2
sin
1
ctg −=
′
(3.6)
( ) aaa zz
ln=
′
(3.7)
( ) ;chsh zz =
′ (3.8)
( ) zz shch =
′
(3.9)
( ) ;
ch
1
th 2
z
z =
′
(3.10)
( )
z
z 2
sh
1
cth −=
′ (3.11)

5. 3.2 Умови диференційовності функції комплексної
змінної
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
yix
yxvyyxxviyxuyyxxu
z
zfzzf
zf
y
xz ∆+∆
−∆+∆++−∆+∆+
=
∆
−∆+
=′
→∆
→∆→∆
,,,,
limlim
0
00
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =
∆
−∆++−∆+
=′
→∆ x
yxvyxxviyxuyxxu
zf
x
,,,,
lim
0
( ) ( ) ( ) ( )
x
v
i
x
u
x
yxvyxxv
i
x
yxuyxxu
xx ∂
∂
+
∂
∂
=
∆
−∆+
+
∆
−∆+
=
→∆→∆
,,
lim
,,
lim
00
(3.12)

6. 3.2 Умови диференційовності функції комплексної
змінної
Прирівнюючи (3.12) і (3.13) одержуємо умови

7. З властивості 1 похідних маємо:
3.2 Умови диференційовності функції комплексної
змінної

8. ( ) ( ) ,,, 1α+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=−∆+∆+=∆ y
y
u
x
x
u
yxuyyxxuu
( ) ( ) ,,, 2α+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=−∆+∆+=∆ y
y
v
x
x
v
yxvyyxxvv
Підставивши ці значення приростів в (3.12) і використавши умови (3.14),
одержимо
( ) =
∆+∆
++





∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=′
→∆
→∆ yix
iy
y
v
x
x
v
iy
y
u
x
x
u
zf
y
x
21
0
0
lim
αα
.lim 21
0
0 x
v
i
x
u
yixx
v
i
x
u
y
x ∂
∂
+
∂
∂
=





∆+∆
+
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→∆
→∆
αα
3.2 Умови диференційовності функції комплексної
змінної

9. ( ) ;
x
v
i
x
u
zf
∂
∂
+
∂
∂
=′ ( ) ;
y
u
i
y
v
zf
∂
∂
−
∂
∂
=′ ( ) ;
y
u
i
x
u
zf
∂
∂
−
∂
∂
=′ ( ) .
x
v
i
y
v
zf
∂
∂
+
∂
∂
=′ (3.15)
3.2 Умови диференційовності функції комплексної
змінної

10. 3.3. Аналітичні функції

11. 3.3. Аналітичні функції

12. 3.3. Аналітичні функції

13. 3.3. Аналітичні функції
Диференціюючи перше рівняння по х, а друге по у і враховуючи
незалежність частинних похідних від порядку диференціювань, одержимо
0
22
2
2
2
2
=
∂∂
∂
−
∂∂
∂
=





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
yx
v
yx
v
x
v
yy
v
xy
u
yx
u
xy
u
x
u
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
−
∂
∂
−





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
y
u
x
u
y
u
yx
u
xy
P
x
Q

14. 3.3. Аналітичні функції

15. 3.4. Диференціювання степеневого ряду. Ряд Тейлора.
( )
( )
( )( )n
n
n
zz
n
zf
zf 0
0
0
!
−= ∑
∞
=
(3.18)

16. 1.Дати означення похідної функції комплексної змінної.
2.Сформулювати основні властивості похідних.
3.Як дати означення похідної для многозначної функції?
4.Які умови диференційовності функції комплексної змінної?
5.Дати означення аналітичної функції за Коші, за Ріманом.
6.Дати означення гармонічної функції.
7.Який зв’язок між гармонічними і аналітичними функціями?
8.В чому полягає геометричний зміст похідної?
9.Дати означення конформного відображення.
Запитання для самоконтролю