Η ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Για x κοντά στο 0 έχουμε:
           
    
 
 
3 3 32 2 2 2 2 2
4 4 4 2 2 2
3x 4 8 4x 3x 4 2 8 4x 2 1 3x 4 2 8 4x 2
x x x x x x
Με την αντικατάσταση  2
u x έχουμε ότι u 0 καθώς το x 0 και άρα:
   
 
   
 
  
  
    
    
 
 
    
      
x 0 u 0 u 0
x 0 u 0 u 0
2
2
3 2 3
2
f u f 03x 4 2 3u 4 2 3
f 0
u u 0 4x
g u g 08 4x 2 8 4u 2 2
g 0
u u 0 3x
lim lim lim
lim lim lim
όπου:
   f u 3u 4 με   

3
f u
2 3u 4
και άρα   
3
f 0
4
   3 2
g u 8 4x με   
 

2
3
4
g u
3 8 4u
και άρα   
 
1
g 0
3
Το ζητούμενο όριο είναι:
   
           
                    
x 0 x 0 x 0
3 32 2 2 2
4 2 2 2
3x 4 8 4x 1 3x 4 2 8 4x 2 3 1
4 3x x x x
lim lim lim
Για x κοντά στο 0 έχουμε:
         
   
k 2 k m 4 m 4 m 4k k2 k 2 km m m
6 6 6 4 2 2 4
αx θ θ βx θ βx θ θ βx θαx θ θ 1 αx θ θ 1
x x x x x x x
Με την αντικατάσταση  2
u x έχουμε ότι u 0 καθώς το x 0 και άρα:
   
 
   
 
  
  


    
    
 
 
    
      
x 0 u 0 u 0
x 0 u 0 u 0
k k2 k k
2 k 1
m 4 mm m
4 m 1
f u f 0αx θ θ αu θ θ α
f 0
u u 0x kθ
g u g 0θ βx θ θ βu θ β
g 0
u u 0x mθ
lim lim lim
lim lim lim
όπου:
Λύνει ο Παύλος Τρύφων
Για μαθητές
Για καθηγητές

2. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
   k k
f u αu θ με    

  
1
1
k k
α
f u αu θ
k
και άρα   
  k 1
α
f 0
kθ
   mmg u θ βu με    

   
1
1
m m
β
g u θ βu
m
και άρα   
   m 1
β
g 0
mθ
Το ζητούμενο όριο είναι:
   
    

 
                            
  
           
   
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
k 2 k m 4 m 4k 2 km m
6 4 2 2 4
α,β,θ,m,k 0
k 1 m 1
αx θ θ βx θ βx θ1 αx θ θ 1
x x x x x
βα
kθ mθ
lim lim lim lim lim
Σχόλιο:
Γενικότερα και με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι:
Για όλα τα  k,m,μ,ν 2,3,... και α,β,θ 0 ισχύει:




   
 


μ ν
x 0
μk ν k mm
, αν μ,ν άρτιοι
αx θ θ βx
δεν υπάρχει, αν τουλάχιστον έναςx
από τους μ,ν είναι περιττός
lim

3. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Απροσδιόριστη μορφή
0
0
και με   2 x 2 , x κοντά στο 0 η συνάρτηση γράφεται
   
   
      
   
  
     
 
     
3 32 2 2 2
4 4 4
2 2
34 2 4 2 2 23
32 2 2 2 2 23
3x 4 8 4x 3x 4 2 8 4x 2
f(x)
x x x
3x 4x
x 3x 4 2 x (8 4x ) 2 8 4x 8
3 4
x 3x 4 2 x (8 4x ) 2 8 4x 8
Είναι

 2x 0
1
lim
x
και


 2x 0
3 3
lim
43x 4 2
,


   32 2 2x 0 3
4 1
lim
4(8 4x ) 2 8 4x 8
άρα το

 
x 0
limf(x) .
Απροσδιόριστη μορφή
0
0
και με   
m m
4 4
θ θ
x
β β
, x κοντά στο 0 η συνάρτηση γράφεται
     
   
k 2 k m 4 m 4k 2 km m
6 6 6
αx θ θ βx θ βx θαx θ θ
f(x)
x x x
   
   
 
 
 
 

 
   
        
   
    
     
42
k 1 m 1
6 2 k k 1 6 m 4 m 1k m
4 2k 1 m 1
2 k k 1 m 4 m 1k m
βxαx
x αx θ ... θ x θ βx ... θ
βα 1 1
x x
αx θ ... θ θ βx ... θ
Με όρια έχω:
  
      k 1 m 1x 0
1 1
limf(x)
kθ mθ
,
αφού οι συντελεστές είναι όλοι θετικοί.
Λύνει ο Κώστας Δεββές
Για μαθητές
Για καθηγητές

4. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Είναι:
  32 2
4
3x 4 8 4x
x
=
 2
4
3x 4 2
x
-
 3 2
4
8 4x 2
x
=
=
2
4
3x
x

 2
1
3x 4 2
+
2
4
4x
x

      
2
2 23 3
1
8 4x 2 8 4x 4
=
= 2
3
x

 2
1
3x 4 2
+ 2
4
x

      
2
2 23 3
1
8 4x 2 8 4x 4
και επειδή

 
  
  
2 2x 0
3 1
lim
x 3x 4 2
=,

 
  
  
2 3 2x 0
4 1
lim
x 8 4x 2
=
θα είναι
x 0
lim
  32 2
4
3x 4 8 4x
x
=
Είναι γιά x 0 ,
  k 2 k m 4m
6
αx θ θ βx
x
=
 k 2 k
6
ax θ θ
x
-
 m 4m
6
θ βx θ
x
=
2
6
αx
x

     
 
  
       
k 1 k 2
2 k 2 k 2 2 k k 3 k 2 2 k k 1kk k κ
1
αx θ θ αx θ θ (αx θ ) .....θ αx θ θ
+
4
6
βx
x

       
  
 
       
m 1 m 2 m 3
m 4 m 4 2 m 4 m 2 m 4 m 1mm m m
1
θ βx θ θ βx θ θ βx .....θ θ βx θ
=
4
α
x

     
 
  
       
k 1 k 2
2 k 2 k 2 2 k k 3 k 2 2 k k 1kk k κ
1
αx θ θ αx θ θ (αx θ ) .....θ αx θ θ
+
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς
Για μαθητές
Για καθηγητές

5. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
2
β
x
       
  
 
       
m 1 m 2 m 3
m 4 m 4 2 m 4 m 2 m 4 m 1mm m m
1
θ βx θ θ βx θ θ βx .....θ θ βx θ
και επειδή
x 0
lim ( 4
α
x

     
 
  
       
k 1 k 2
2 k 2 k 2 2 k k 3 k 2 2 k k 1kk k κ
1
αx θ θ αx θ θ (αx θ ) .....θ αx θ θ
)=,
x 0
lim ( 2
β
x
       
  
 
       
m 1 m 2 m 3
m 4 m 4 2 m 4 m 2 m 4 m 1mm m m
1
θ βx θ θ βx θ θ βx .....θ θ βx θ
)=,
θα είναι :
x 0
lim
  k 2 k m 4m
6
αx θ θ βx
x
=

6. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Το ζητούμενο όριο γράφεται:
 
  
    
 
  
2
32 2
32 2
4x 0 x 0 34 2 2
3x 4 8 4x3x 4 8 4x
lim lim
x x 3x 4 8 4x
   
        

  
 
  
          
   
3 2
2 2
2x 0 2 22
3 3 34 2 2 2 2 2 2
3x 4 8 4x
lim
x 3x 4 8 4x 3x 4 3x 4 8 4x 8 4x

  

6 4 2
x 0
27x 108x 144x 64
lim
  4 2
16x 64x 64
        

  
          
   
2
2 22
3 3 34 2 2 2 2 2 2
x 3x 4 8 4x 3x 4 3x 4 8 4x 8 4x
 
        

 
 
  
          
   
2 4 2
2x 0 2 22
3 3 34 2 2 2 2 2 2
x 27x 92x 208
lim
x 3x 4 8 4x 3x 4 3x 4 8 4x 8 4x
        

 
 
  
          
   
4 2
2x 0 2 22
3 3 32 2 2 2 2 2 2
27x 92x 208
lim
x 3x 4 8 4x 3x 4 3x 4 8 4x 8 4x
 
        


   
 
  
          
   
4 2
x 0
2x 0 2 22
3 3 32 2 2 2 2 2 2
lim 27x 92x 208
1
lim
x 3x 4 8 4x 3x 4 3x 4 8 4x 8 4x
     208 ,
αφού
        
    
            
     
2
2 22
3 3 32 2 2 2 2 2 2
x 0
lim x 3x 4 8 4x 3x 4 3x 4 8 4x 8 4x 0
και
        
  
           
   
2
2 22
3 3 32 2 2 2 2 2 2
x 3x 4 8 4x 3x 4 3x 4 8 4x 8 4x 0 κοντά στο 0.
Λύνει ο Νίκος Ελευθερίου
Για μαθητές

7. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Ονομάζω το όριο που δίνεται L, για οικονομία πράξεων και γραψίματος.
Για x=0 προκύπτει απροσδιόριστη μορφη
 
 
 
0
0
, οπότε εργάζομαι ως εξής:
προσθαφαιρώ στον αριθμητή το 2 και έχω:
 
         
 
  
3 32 2 2 2
4 4 4x 0 x 0
3x 4 2 2 8 4x 3x 4 2 2 8 4x
L = lim = lim
x x x
Για το πρώτο κλάσμα, πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με την συζυγή
παράσταση του αριθμητή, δηλαδή με την παράσταση:  2
3x 4 2 και προκύπτει
 2 2
3
x 3x 4 2
Για το δεύτερο κλάσμα, πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με την συζυγή
παράσταση του αριθμητή, δηλαδή με την παράσταση:     
2
3 32 2 2
2 2 8 4x 8 4x και
προκύπτει:
  
    
 
2
2 3 32 2 2
4
x 2 2 8 4x 8 4x
, οπότε
 

 
 
 
           
22 2x 0 2 3 32 2 2
3 4
lim
x 3x 4 2 x 2 2 8 4x 8 4x
, αφού ο παρανομαστές είναι θετικοί
κοντά στο 0.
Ονομάζω το όριο που δίνεται L, για οικονομία πράξεων και γραψίματος.
Για x=0 προκύπτει απροσδιόριστη μορφη
 
 
 
0
0
, οπότε εργάζομαι ως εξής:
προσθαφαιρώ στον αριθμητή το θ και έχω:
 
           
 
 
k 2 k m 4 m 4k 2 km m
6 6 6x 0 x 0
αx θ θ θ θ βx θ θ βxαx θ θ
L lim lim .
x x x
Λύνει ο Κώστας Τσόλκας
Για μαθητές
Για καθηγητές

8. ___________________________________________________________________________
10η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Αξιοποιώντας την ταυτότητα    n n n-1 n-2 1 n-3 2 n-1
α -β = (α -β)(α α β α β ... β ) για τα δύο
κλάσματα βρισκω τις συζυγείς παραστάσεις των αριθμητών και μετά από απλοποιήσεις
“φεύγει” η απροσδιοριστία και εύκολα προκύπτει ότι L = + , λαμβάνοντας υπόψη
επιπλέον ότι: α, β, θ >0 , οπότε και οι παρανομαστές των δύο κλασμάτων είναι θετικοί
κοντά στο μηδέν.