επανάληψη

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Επίλυση m × n συστήματος
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
26 Νοεμβρίου 2013

2. Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax = b
1
Απαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c)
2
Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε (xειδικη )
3
4
Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη μεταβλητή 1
θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0
και βρες μια ομογενή λύση (xoµoγ νoυς )
xγ
νικη
= xειδικη + xoµoγ
νoυς

3. Εξαμπλε
μη-ομογενές
x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 − 4x5 = 1
2x1 + 4x2 − 5x3 + 1x4 − 6x5 = 3
5x1 + 10x2 − 13x3 + 4x4 − 16x5 = 7

4. Εξαμπλε
μη-ομογενές
x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 − 4x5 = 1
2x1 + 4x2 − 5x3 + 1x4 − 6x5 = 3
5x1 + 10x2 − 13x3 + 4x4 − 16x5 = 7
x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 − 4x5 = 0
2x1 + 4x2 − 5x3 + 1x4 − 6x5 = 0
5x1 + 10x2 − 13x3 + 4x4 − 16x5 = 0

5. Επαυξημένος πίνακας:


1 2 −3 2 −4 1
 2 4 −5 1 −6 3 
5 10 −13 4 −16 7

6. Επαυξημένος πίνακας:


1 2 −3 2 −4 1
 2 4 −5 1 −6 3 
5 10 −13 4 −16 7
L2 → −2L1 + L2 ανδ L3

1
 0
0
→ −5L1 + L3 :

2 −3 2 −4 1
0 1 −3 2 1 
0 2 −6 4 2

7. Επαυξημένος πίνακας:


1 2 −3 2 −4 1
 2 4 −5 1 −6 3 
5 10 −13 4 −16 7
L2 → −2L1 + L2 ανδ L3

1
 0
0
→ −5L1 + L3 :

2 −3 2 −4 1
0 1 −3 2 1 
0 2 −6 4 2
L3 → −2L2 + L3 :


1 2 −3 2 −4 1
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0
0
0 0

8. Επαυξημένος πίνακας:


1 2 −3 2 −4 1
 2 4 −5 1 −6 3 
5 10 −13 4 −16 7
L2 → −2L1 + L2 ανδ L3

1
 0
0
→ −5L1 + L3 :

2 −3 2 −4 1
0 1 −3 2 1 
0 2 −6 4 2
L3 → −2L2 + L3 :


1 2 −3 2 −4 1
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0
0
0 0
Υπάρχει λύση.

9. 

1 2 −3 2 −4 1
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0
0
0 0

10. 

1 2 −3 2 −4 1
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0
0
0 0
L1 → L1 + 3L3


1 2 0 −7 2 4
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0 0 0 0

11. 

1 2 −3 2 −4 1
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0
0
0 0
L1 → L1 + 3L3


1 2 0 −7 2 4
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0 0 0 0
Ελεύθερες μεταβλητές: x2 , x4 , x5 .

12. 

1 2 −3 2 −4 1
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0
0
0 0
L1 → L1 + 3L3


1 2 0 −7 2 4
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0 0 0 0
Ελεύθερες μεταβλητές: x2 , x4 , x5 . Θέτοντάς τες 0 έχουμε:

13. 

1 2 −3 2 −4 1
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0
0
0 0
L1 → L1 + 3L3


1 2 0 −7 2 4
 0 0 1 −3 2 1 
0 0 0 0 0 0
Ελεύθερες μεταβλητές: x2 , x4 , x5 . Θέτοντάς τες 0 έχουμε: x1 = 4,
x3 = 1. ΄Αρα μια λύση είναι η
 
4
 0 
 
s0 =  1  .
 
 0 
0

14. Για την γενικευμένη λύση

1
 0
0
του ομογενούς

2 0 −7 2 0
0 1 −3 2 0 
0 0 0 0 0
έχουμε
  

 
 
 
x1
−2x2 + 7x4 − 2x5
−2
7
−2

x2  
1
0
0
x2

  
 
 
 
 = x2  0  + x4 3 + x5 −2
x3  = 
3x4 − 2x5

  
 
 
 

x4  
0
1
0
x4
x5
x5
0
0
1

15. Συνεπώς όλες οι λύσεις του ομογενούς συστήματος δίνονται απο
την σχέση:
     
−2 
7
 −2


     
 1

  0  0 
Span  0  , 3 , −2
     
 0  1  0 






1
0
0
Εικόνα:
Span{u,v}
u
v

16. ΄Ολες οι λύσεις του μη ομογενούς συστήματος δίνονται απο την
σχέση:
     
 
−2 
7
4
 −2


     
 1
0

  0  0 
 
1 + Span  0  , 3 , −2
 
     
 0  1  0 
0






1
0
0
0
Εικόνα:
s0+Span{
u,v}
s0
u
v

17. ΄Υπαρξη Λύσης
Θεώρημα
Εάν από την απαλοιφή του m × n συστήματος
Ax = b(⇒ Ux = c)
προκύψουν r οδηγοί τότε:

18. ΄Υπαρξη Λύσης
Θεώρημα
Εάν από την απαλοιφή του m × n συστήματος
Ax = b(⇒ Ux = c)
προκύψουν r οδηγοί τότε:
r = m ⇒ υπάρχει πάντα μια λύση

19. ΄Υπαρξη Λύσης
Θεώρημα
Εάν από την απαλοιφή του m × n συστήματος
Ax = b(⇒ Ux = c)
προκύψουν r οδηγοί τότε:
r = m ⇒ υπάρχει πάντα μια λύση
r = m ⇒ υπάρχει λύση αν οι τελευταίες m − r συνιστώσες
του c είναι 0
Ορισμός
Ο αριθμός r λέγεται τάξη του A