Ασκηση της ημέρας

1. ___________________________________________________________________________
9η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
1
1η
προτεινόμενη λύση (Βαγγέλης Νικολακάκης)
Α. Για τα όρια έχουμε :
  x
lim ln x

  και 2 2x x x
x 5 x 1
lim lim lim 0
x x x x  

  

,οπότε
 x
lim f x 0

    
      2x 0 x 0 x 0
x 5 1 x 5
limf x lim ln x lim ln x 5
x x x x 1   
    
              
    
Β. Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε
 
 x x
1
lim f x lim 0
f x 
   
i) Θα εργαστούμε με δύο τρόπους
α τρόπος (αντικατάσταση)
 Αντικαθιστούμε το
 
 
3 3
y f x
f x y
  
Για x είναι και  f x   ,οπότε και
 
3
y 0
f x
 
 Το ζητούμενο όριο γράφεται
 
 xx
1 3
lim f x
e f x
 
  
 
 1
Όμως είναι xx
1
lim 0
e
 και
 
 x y 0 y 0
3 3 y
lim f x lim y 3lim 3 1 3
f x y y  
    
         
  
Έτσι από την  1 παίρνουμε
 
 xx
1 3
lim f x 0 3 0
e f x
 
     
 
β τρόπος (κριτήριο παρεμβολής)
Γνωρίζουμε ότι  x
lim f x

  .Δηλαδή για τα x  είναι και  f x 0  2

2. ___________________________________________________________________________
9η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
2
Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα x x  και έχουμε
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
x x x x x
f x 3 1 3 1 3 1 3 1 3
f x f x f x f x
e f x e f x e f x e f x e f x
      
Δηλαδή
 
 
 
 x x x x x
f x f x3 3 3 3 3
e f x e e e f x e
        3
Όμως
x xx x
3 3
lim lim 0
e e 
 
   
 
Έτσι από την  3 λόγω ΚΠ παίρνουμε
 
 xx
1 3
lim f x 0
e f x
 
   
 
ii) είναι
 
 
 
   
22 :f x 0
2 22 2x x x
2
f x 1 1 1
lim lim lim 1
xf x x 1 0x1 1f x f x

  
   
      
 
,
Αφού
           
xx 1 1 x 1
f x f xf x f x f x f x
 
      με
   x x
1 1
lim lim 0
f x f x 
 
   
 
 
και λόγω ΚΠ είναι
 x
x
lim 0
f x
 
  
 
Γ. i) για το όριο
       
2 2
x x
f x f xx 0 x 0
ln x ln x
lim f x e lim f x e
e e 
   
     
   
 4 έχουμε :
  
 
    
2 A
x
x 0
lim f x e e


 
       
 

3. ___________________________________________________________________________
9η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
3
  
 
      f x
f xx 0 x 0
ln x
lim lim e ln x e
e 
 
 
 
        
 
Έτσι λόγω της  4 παίρνουμε
   
2
x
f xx 0
ln x
lim f x e
e

 
       
 
ii) για το όριο
 
x 0
f x
lim
x
παρατηρούμε ότι έχουμε απροσδιοριστία
0

και
για τον λόγο αυτό γράφουμε το πηλίκο σαν γινόμενο.
Είναι
 
    x 0 x 0
f x 1
lim lim f x
x x 
 
       
 
,άρα
 
x 0
f x
lim
x
 
Είναι
 
 
f x5
1
x 0
xe
lim 1 e 1
f x 1 x


 
     
   
 5
Όμως
 
 
 
   
 
f x f x5 5:x
f x5
x 0 x 0 x 0
xe e 1
lim lim lim e
f x f xf x x 1 x 1 x 1
x x x x
  
  
   
     
                        
   
5 5 51 1 1
e 0 0 0
0

            
   
και έτσι από την  5 παίρνουμε
1 1
0 1 e 1 e 2 0 
          6
 Θεωρούμε την συνάρτηση   x 1
h x e x 2 0
   

4. ___________________________________________________________________________
9η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
4
 Αν 1 2x ,x R με    1 2 1 2x x ... h x h x    ,οπότε η h είναι γ. αύξουσα στο R ,
άρα και 1 1 .
 Έτσι η εξίσωση  6 γράφεται :    
1 1
h x h 1 x 1

  
2η
προτεινόμενη λύση (Νίκος Αντωνόπουλος)
(εναλλακτικές λύσεις υποερωτημάτων)
Β. i) Είναι
 
 
 
 
x
xx x
3
f x f x3
lim lim 3e
3e f x
f x
 
 
  
          
 
 
αφού
 
 
x u 0
3
f x u
lim lim 1
3 u
f x
 


  και x
x
lim 3e

 
Γ. i) Είναι
   
2
x
f xx 0
nx
lim f x e
e
 
   
 
αφού  x 0
limf x

  τότε  f x u
x 0 u
lime lim e 0
 
 
και
2
ux
ux 0
lim e lim e 
   και
x 0
lim nx

 
τότε  
2
x
x 0
limf x e

  και    f x f xx 0 x 0
nx 1
lim lim nx
e e 
 
   
 
ii) Είναι
 
 x 0 x 0
f x 1
lim lim f x
x x 
 
    
 
αφού  x 0
limf x

  και
x 0
1
lim
x

 
Είναι

5. ___________________________________________________________________________
9η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
5
 
 
f x5
x 0
xe
lim 1 1
f x 1 x
 
     
   
αφού  f x
x 0
limxe 0 0 0

   και   x 0
lim f x 1 x

    
Άρα ισχύει
1 1
e 1 1 e 2 0 
     
Θεωρούμε τη συνάρτηση
  x 1
g x e x 2,x
   
Η g είναι παραγωγίσιμη στο με
  x 1
g x e 1 0
   
Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο
Είναι
   1
e 2 0 g g 1 1
        
αφού η g είναι 1 – 1 ως γνησίως μονότονη