1. PROGRAMASI LINIER
PENDAHULUAN
Oleh:
Muhiddin Sirat
1

2. I. PENDAHULUAN
 Permasalahan dalam dunia usaha dan
ekonomi pada dasarnya berkenaan dengan
alokasi sumber-sumber yang terbatas
(seperti terbatasnya : uang, tenaga, bahan
baku, mesin, ruangan, waktu) dalam
hubungannya dengan maksimisasi sejumlah
hasil atau meminimisasi biaya.
 Teknik matematika untuk menentukan
alokasi seperti itu disebut Programan
Matematika.
2

3. Lanjutan :
 Jika fungsi Tujuan merupakan fungsi linier,
dan kendala-kendala ketersediaan
sumberdaya yang akan digunakan dalam
bentuk ketidaksamaan linier, maka disebut
Pemrograman Linier (Programasi Linier).
 Sebagai contoh: Perusahaan menghasilkan
beberapa produk (dua produk : Q1 dan Q2)
dengan tujuan untuk memaksimum laba (P).
Kendala yang dihadapi adalah keterbatasan
tenaga kerja (b1) dan bahan baku (b2).
3

4. Lanjutan:
Fungsi Tujuan (Fungsi Obyektif) :
P = ∑ Pj.Qj
P = P1.Q1 + P2.Q2
Kendala Linier pada produksi :
a11.Q1 + a12.Q2 ≤ b1 .......Ketidaksamaan (1)
a21.Q1 + a22.Q2 ≤ b2 .......Ketidaksamaan (2)
4

5. Lanjutan:
Keterangan Kendala (1) :
b1 : Jumlah waktu yang tersedia (Kuota waktu)
untuk menyelesaikan produk Q1 dan Q2.
a11 : Waktu yang digunakan untuk
menyelesaikan satu unit Q1;
a12 : Waktu yang digunakan untuk
menyelesaikan satu unit Q2
5

6. Lanjutan:
Keterangan Kendala (2) :
b2 : Jumlah bahan baku yang tersedia
(kapasitas bahan baku) untuk
menyelesaikan produk Q1 dan Q2.
a21 : Jumlah bahan baku yang digunakan untuk
menyelesaikan satu unit Q1
a22 : Jumlah bahan baku yang digunakan untuk
menyelesaikan satu unit Q2.
“i” menunjukkan baris dan “j” menunjukkan kolom.
6

7. Lanjutan:
Sebagai Contoh:
Maksimumkan : Z = 45X1 + 55X1
Dengan kendala/batasan :
output X1 output X2 Kapasitas
Input 1 : 6X1 + 4X2 ≤ 120
Input 2 : 3X1 + 10X2 ≤ 180
dan X1, X2 ≥ 0.
7

8. TIGA PERSAYARATAN UNTUK MEMECAHKAN
MASALAH LINIER PROGRAMING, YAITU :
 Persamaan Tujuan dan
Pertidaksamaan kendala
berbentuk Linier;
 Sisi kanan dari tanda
pertidaksamaan kendala tidak
boleh adanya negatif.
 Semua variabel dibatasi pada nilai
non negatif.
8

9. II. PERBEDAAN PROGRAMSI LINIER (LINEAR PROGRAMING)
DENGAN OPTIMISASI FUNGSI BERKENDALA SATU
PERSAMAAN PEMBATAS (FUNGSI LAGRANGE)
 Programasi linier dapat mengatasi
permasalahan kendala-kendala dalam
bentuk pertidaksamaan (≤ atau ≥),
sedangkan optimisasi dengan metode
pengali lagrange kendalanya berbentuk
persamaan ( = );
 Programasi linier dapat mengatasi jumlah
kendala yang banyak, tetapi dengan
metode pengali lagrange lazimnya hanya
satu kendala.
9

10. Lanjutan :
 Programasi linier hanya terbatas pada
fungsi tujuan dan kendala yang linier,
tetapi metode pengali lagrange dapat
diterapkan pada fungsi tujuan non linier.
10

11. III. METODE PENYELESAIAN
 Berbagai metode yang dapat digunakan
untuk menentukan nilai variabel “Xj”
yang akan memaksimum atau
meminimum fungsi tujuan :
2. Penyelesaian Geometris (Metode Grafik)
3. Metode Simpleks
11

12. III.1. METODE GEOMETRIS
(METODE GRAFIK)
 Masalah programasi linier yang mencakup tidak
lebih dari dua variabel dapat diselesaikan
secara geometris (metode grafik).
 Contoh Soal (1):
Maksimumkan : Z = 45X1 + 55X1
Dengan kendala/batasan :
6X1 + 4X2 ≤ 120 ...........(1)
3X1 + 10X2 ≤ 180 ............(2)
dan X1, X2 ≥ 0.
12

13. Lanjutan :
Kendala (1) : 6X1 + 4X2 ≤ 120
Jika X2 = 0 ....X1 =20.....(20,0) .....(A)
Jika X1=0.....X2 = 30....(0,30).....(B)
Kendala (2) : 3X1 + 10X2 ≤ 180
Jika X2 = 0 .....X1=60.....(60,0)......(C)
Jika X1=0 .......X2=18.....(0,18)......(D)
Catatan:
Jika tanda kendala ≤ mengarsir garis kendala
ke bawah; sebaliknya jika tanda kendala
≥ mengarsir garis kendala ke atas.
13

14. Lanjutan :
X1
(0,30) L1
Daerah Layak
(Feasible Region)
0,18
E
L2
X2
0 (20,0) (60,0)
14

15. Lanjutan:
 Alternatif Koordinat yang memaksimum
Fungsi tujuan: D (0,18), A(20,0), dan
Titik E (..., ...) ?
 Koordinat titik E titik potong L1 dan L2 :
6X1 + 4X2 ≤ 120 ...........(L1)
3X1 + 10X2 ≤ 180 ............(L2)
Dengan metode eliminasi......titik E (10,15)
15

16. Lanjutan :
Titik Koordinat Nilai Fungsi Tujuan
D (0,18) Z = 45.0+55.18 = 990
E (10,15) Z = 45.10 + 55.15 =1275
A (20,0) Z = 45.20 + 55.0 = 900
X1*=10 dan Zmaks = Z* = 1275
X2*=15
16

17. Lanjutan:
 Contoh Soal (2) :
Minimumkan : C = 6X1 + 24X2
Dengan kendala:
X1 + 2X2 ≥ 3 ..........(L1)
X1 + 4X2 ≥ 4 ..........(L2)
Dan X1, X2 ≥ 0
Tentukan nilai X1 dan X2 yang meminimum C?
17

18. Lanjutan :
Kendala (L1) : X1 + 2X2 ≥ 3
X2 = 0, X1 =3 .......A(3;0)
X1=0, X2 =1,5 ......B(0; 1,5)
Kendala (L2) : X1 + 4X2 ≥ 4
X2=0, X1=4.......C(4;0)
X1=0, X2=1.......D(0;1)
18

19. Lanjutan :
Grafik :
Daerah Layak
X2
(Feasible Region)
(0;1,5)
(0,1)
E
L2 L1
X1
0 (3,0) (4,0)
19

20. Lanjutan :
Alternatif Titik Koordinat Minimum:
B(0; 1,5) ; C(4,0), dan Titik E (.....,....) ?
Koord.Titik E....Titik Potong antara L1 dan L2:
X1 + 2X2 ≥ 3 ..........(L1)
X1 + 4X2 ≥ 4 ..........(L2)
Dengan metode eliminasi E (X1=2; X2=0,5)
20

21. Lanjutan:
Titik Koord Nilai C Minimum
B(0; 1,5 C =6.0 + 24(1,5) = 36
E (2; 0,5) C =6.2 + 24(0,5) = 24
C(4,0) C = 6.4 + 24.0 = 24
X1*=2 Nilai C minimum =C*= 24
X2*=0,5
21

22. Lanjutan :
 Contoh Soal (3) :
Meminimum Biaya: C = 2X1 + 10 X2
Dengan kendala :
2X1 + X2 ≤ 6 .........(L1)
5X1 + 4X2 ≥ 20 ......(L2)
Dan X1, X2 ≥ 0
Tentukan nilai X1 dan X2 yang meminimum C?
22

23. Lanjutan :
X2 Grafik :
B(0,6)
L1
Daerah Layak
D(0,5) (Feasible Region)
E (4/3; 10/3)
L2
X1
0
23

24. Lanjutan:
Titik Koordinat Nilai C minimum (C*)
B (0,6) C* =2.0+10.6=60
D (0,5) C*=2.0+10.5 =50
E (4/3; 10/3) C*=2.4/3 + 10.10/3=36
24

25. III.2. CONTOH KENDALA YANG TIDAK
MENGHASILKAN PENYELESAIAN YANG LAYAK
 Contoh Soal (4) :
Fungsi Tujuan: C = c1.X1 + c2.X2
Kendala :
2X1 + X2 ≤ 6 ......(L1)
5X1 + 4X2 ≥ 40.....(L2)
Dan X1, X2 ≥ 0
Tentukan nilai X1 dan X2
25

26. Lanjutan:
X2
Grafik :
(0,10)
(0,6)
L2
L1
X1
(3,0) (8,0)
26

27. III.3. CONTOH SOAL
Soal (1):
Maksimumkan : P = 4X1+3X2
Dengan kendala :
X1+ X2 ≤ 4
2X1 + X2 ≤ 6
Dan X1,X2 ≥ 0
Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum P ?
27

28. Lanjutan:
Soal (2):
Maksimumkan : P = 2X1+5X2
Dengan kendala :
X1 ≤ 4
X2 ≤ 3
X1+2X2 ≤ 8
Dan X1,X2 ≥ 0
Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum
P?
28

29. Lanjutan:
Soal (3):
Minimumkan : C = 12X1+42X2
Dengan kendala :
X1+ 2X2 ≥ 3
X1 + 4X2 ≥ 4
3X1 + X2 ≥ 3
Dan X1,X2 ≥ 0
Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum
P?
29

30. Lanjutan:
Soal (4):
Minimumkan : C = 6X1+24X2
Dengan kendala :
X1+ 2X2 ≥ 3
X1 + 4X2 ≥ 4
Dan X1,X2 ≥ 0
Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum
P?
30

31. Lanjutan:
Soal (5):
Minimumkan : C = 6X1+30X2
Dengan kendala :
X1+ 2X2 ≥ 3
X1 + 4X2 ≥ 4
Dan X1,X2 ≥ 0
Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum
P?
31

32. Lanjutan :
Soal (6):
Sebuah Pabrik membuat dua jenis Radio yaitu
model I dan model II. Proses pembuatan model I :
memerlukan waktu 2 jam di departemen A; 2 jam
di departmen B ; dan 1 jam di departemen C.
Untuk Model II : membutuhkan 1,5 jam di
departemen A; 0,5 jam di departemen B; dan 2
jam di departemen C. Profit dari setiap unit model
I dan model II secara berturut-turut adalah Rp
45.000,- dan Rp 20.000,-. Jika kapasitas waktu
yang tersedia: 60 jam di departemen A; 40 jam di
departemen B; dan 60 jam di departemen C.
Bentuk Fungsi Tujuan dan Pertidaksamaan
Kendala dengan menggunakan data di atas
32

33. TERIMA KASIH
33