Matriks adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang seperti ilmu komputer, ilmu ekonomi, fisika, dan teknik. Materi dasar matriks membentuk fondasi yang kuat bagi pemahaman lebih lanjut tentang topik-topik yang lebih kompleks dalam aljabar linear dan matematika terapan. Dalam pembahasan ini, kita akan menjelajahi definisi matriks, operasi dasar seperti penjumlahan dan perkalian, determinan, invers, serta beberapa aplikasi penting dalam sistem persamaan linear dan pemetaan geometris.

1. MATRIKS
Definisi
Jenis
Operasi
Transpose
Adjoin
Invers
Penyelesaian
Sistem Linear
Metode
Cramer
Penerapan
Matriks
dalam
Ekonomi

2. Definisi Matriks
Matriks : susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom
Dinotasikan dengan aij
• i = banyaknya baris
• j = banyaknya kolom
• i x j = dimensi / ordo /
ukuran matriks

3. Jenis – jenis matriks
Berdasarkan
susunan
elemen matriks
Berdasarkan
sifat operasi
matriks

4.  Matriks kuadrat/bujur sangkar
 Matriks Nol
 Matriks diagonal
 Matriks kesatuan/ identitas
 Matriks scalar
 Matriks tridiagonal
 Matriks segitiga bawah
 Matiks segitiga atas
 Matriks simetris
 Matriks miring

5.  Matriks Singular
 Matriks Non – Singular
 Matriks Skalar
 Matriks Hermit
 Matriks Hermit Miring
 Matriks Uniter
 Matriks Orthogonal

6. Operasi Matriks
Penjumlahan
dan
Pengurangan
Perkalian

7.  Penjumlahan Matriks
Matriks A1 + B1 = + =
 Pengurangan Matriks
Matriks A1 – B1 = - =

8. Perkalian Matriks
Cara mengalikan matriks:
Baris pertama matriks x
kolom kedua matriks

9.  Matriks tidak dapat dikalikan
Matriks A33 x Matriks B23
Matriks A42 x Matriks B24

10. Contoh perkalian matriks
Tentukan hasil perkalian matriks dibawah ini!
secara umum
Penyelesaian

11. Perkalian matriks 3x3
Tentukan hasil perkalian matriks dibawah ini!
secara umum
Penyelesaian

12. Transpose Matriks
Tentukan transpose matriks
Penyelesaian
Transpose matriks dinyatakan dalam A’ atau AT . Rumus umum: Bij = Aij

13. Determinan Matriks
Determinan suatu matriks adalah penulisan unsur-unsur sebuah matriks bujur
sangkar dalam sebuah garis tegak lurus. Determinan matriks A dinotasikan
dengan 𝐴
 Determinan Matriks 2 x 2
= ad – bc
 Determinan Matriks 3 x 3
a. Cara Sarrus
b. Cara Laplaca Explanation

14. a. Determinan Cara Sarrus
Jika A = , maka determinan A adalah
= a.e.i + b.f.g + c.d.h – g.e.c – h.f.a – f.d.b

15. Contoh Determinan Cara Sarrus
Penyelesaian
= 2.5.9 + 1.6.7 + 3.4.8 – 7.5.3 – 8.6.2 – 9.4.1
= -9
Tentukan determinan matriks A =
=

16. b. Determinan Cara Laplace
Explanation
Laplace explanation menggunakan bantuan
determinan matriks 2 x 2. Metode Laplace
menggunakan ekspansi dari salah satu baris atau
kolom dalam matriks tersebut.
Untuk menggunakan Laplace Explanation maka harus
mencari minor dan kofaktor.

17.  Minor
adalah suatu elemen yang
yang didefinisikan sebagai
determinan submatrik yang
tinggal setelah baris ke-a dan
setelah kolom ke-b
Tentukan minor A11, A12, dan
A13 dari matriks
Penyelesaian
 Kofaktor
adalah hasil perkalian
minor dengan suatu angka
yang besarnya menuruti
suatu aturan yaitu dimana i
adalah baris dan j adalah
kolom. Untuk memudahkan
digambar tanda kofaktor
= 24 – 21 = 3
= 20 – 6 = 14
= 35 – 12 = 13

18. Contoh Determinan Cara Laplace
Explanation
Tentukan determinan matriks A =
Penyelesaian
Dengan mengambil ekspansi pada baris ke-3 maka diperoleh
det(A) =
= 3 – 2 + 2
= 3(48-0) – 2(0-0) + 2(0-48)
= 144 – 0 – 96
= 48

19. Adjoin Matriks
Contoh diberikan matriks A =
Penyelesaian
Jadi, adjoin matriks A adalah
Adjoin dari suatu matriks merupakan transpose dari matriks kofaktor-kofaktornya
C21 = - = - (4 – 3) = -1
C22 = + = 2 – 21 = -19
C_23 = - = - (1 – 14) = 13
C11 = + = 10 – 6 = 4
C12 = - = - (8 – 42) = 34
C13 = + = 4 – 35 = -31
C31 = + = 12 – 15 = -3
C32 = = - (6 – 12) = 6
C_33 = = 5 – 8 = -3

20. Invers Matriks
Rumus invers matriks
AB = BA = I
maka A dapat dikatakan dapat dibalik dan B
dinamakan invers dari A.

21. Contoh Soal
Carilah invers matriks
Penyelesaian
1. Adjoin matriks
2. Determinan matriks
3. Invers matriks
4 34 −31
−1 −19 13
−3 6 −3
4 34
−1 −19
−3 6
= 228 + (-1326) + 186 – (-1767) – 312 -102
= 228 – 1326 + 186 + 1767 – 312 -102
= 441
A-1
=
21 6 −9
−7 31 3
5 −8 12
/ 441
=
1/21 2/147 −1/49
−1/63 31/441 1/147
5/441 −8/441 4/147

22. Penyelesaian Sistem Persamaan
Linear Dengan Metode Cramer
Bentuk umum persamaan linear
Rumusnya
X1 = |
𝐴𝑖
𝐴𝑗
|

23. Persamaan Linear 3 Variabel
Langkah
1. Ketahui determinan utama, determinan x,
determinan y, dan determinan z.
2. Tentukan nilai x, y, z dengan rumus:
X =
𝐷𝑥
𝐷
Y =
𝐷𝑦
𝐷
Z =
𝐷𝑧
𝐷

24. Contoh Soal
Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan:
2x + y + z = 12
X + 2y – z = 3
3x – y + z = 11
Penyelesaian
Bentuk matriksnya

25. 1. Nilai determinannya

26.  Nilai x, y, dan z
X = Dx / D = -27 / 9 = 3
Y = Dy / D = -18 / -9 = 2
Z = Dz / D = - 36 / -9 = 4

27. Penerapan Matriks dalam Ekonomi
Analisis
Masukan -
Keluaran
Programasi
Linear

28. Analisis Masukan Keluaran
Matriks
Transaksi
Matriks
Teknologi
Dalam analisis masukan keluaran terdapat dua jenis matriks
yang digunakan yaitu

29. Matriks Transaksi
Bentuk matriks transaksi secara umum

30. Matriks Teknologi
 Rumus koefisien teknologi : Aij =
𝑋𝑖𝑗
𝑋𝑗
Koefisien teknologi adalah suatu rasio yang menjelaskan
jumlah atau nilai keluaran sektor i yang diperlukan sebagai
masukan untuk menghasilkan satu unit keluaran di sektor j.
 Bentuk umum matriks teknologi

31. Contoh Soal Analisis Masukan –
Keluaran
Matriks Koefisiennya
Untuk kasus Negara
Kertagama di atas,
hitunglah keluaran
total masing – masing
sektor dan niali
tambahnya jika
ditargetkan
permintaan akhir
terhadap sektor
pertanian, industri,
dan jasa masing –
masing 100, 300, dan
200. Susunlah matriks
transaksi yang baru.

32. Menurut rumus X = (I – A)-1
U
= -1
= -1
Determinan =
(0,80)(0,72)(0,77) + (-0,12)(-0,26)(-0,10) + (-0,02)(-0,17)(-0,15) – (-0,10)(0,72)(-
0,02) – (-0,15)(-0,12)(0,77) – (0,80)(-0,26)(-0,17) = 0,38923

33.  (I-A) -1 =
𝑎𝑑𝑗. (𝐼−𝐴)
𝑑𝑒𝑡. 𝐼
-1
terminan =
72)(0,77) + (-0,12)(-0,26)(-0,10) + (-0,02)(-0,17)(-0,15) – (-0,10)(0,72)(-
-0,15)(-0,12)(0,77) – (0,80)(-0,26)(-0,17) = 0,38923
0,5102 0,0958 0,0456
0,1415 0,6140 0,2110
0,0975 0,1480 0,5580
Hasil dari adjoin matriks yang ditranspose
: 0,38923 =
1,3108 0,2461 0,1171
0,3635 1,5575 0,5421
0,2505 0,3802 1,4336
Dengan demikian
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
1,3108 0,2461 0,1171
0,3635 1,5575 0,5421
0,2505 0,3802 1,4336
100
300
200
=
228,33
618,02
425,83

34. Keluaran total masing – masing sektor
Pertanian = 228,33
Industri = 618,02
Jasa = 425,83
Nilai tambah masing – masing sektor
Pertanian = 228,33 x 0,55 = 125,58
Industri = 618,02 x 0,43 = 265,06
Jasa = 425,83 x 0,49 = 208,66
Koefisien nilai tambah :
Vi (nilai tambah awal)
Xi (keluaran total)
Nilai tambah sektor : Vi.Xi

35. Nilai masing-masing sektor : aij . Xij (nilai tambah
baru)
Keluaran
Masukan
Pertanian Industri Jasa Permintaan
akhir
Keluaran
total
Pertanian
Industri
Jasa
45,67
34,25
22,83
74,16
173,05
105,75
8,51
110,72
97,94
100
300
200
228,33
618,02
425,83
Nilai tambah 125,58 265,06 208,66
Keluaran
total
228,33 618,02 425,83
TABEL INPUT – OUTPUT BARU

36. Programasi Linear
Metode
Aljabar
Metode
Simplex
 Programasi linear : suatu model optimisasi persamaan linear
berkenaan dengan kendala kendala linear yang dihadapinya.
• Masalah programasi linear : masalah pencarian nilai nilai
optimum (maksimum atau minimum) sebuah fungsi linear pada
suatu system atau sehimpun kendala linear

37. Programasi Linear
Bentuk umum
programasi linear
≤

38. Metode Aljabar
Andaikan masalah yang dihadapi oleh PT “Double X”
dalam kasus 81 di depan, yakni:
Maksimumkan z = 25x1 + 15x2
terhadap 3x1 + 3x2  24 ..............(kendala masukan K)
2x1 + 4x2  20 ……...(kendala masukan L)
3x1  21 ……...(kendala masukan M)
x1x2  0

39. Penyelesaian
Standarisasi model
Memaksimumkan z = 25x1 + 15x2 (I)
Terhadap
3x1 + 3x2 + s1 = 24 atau s1 = 24 – 3x1 – 3x2 (II)
2x1 + 4x2 + s2 = 20 atau s2 = 20 – 2x1 – 4x2 (III)
3x1 + s3 = 21 atau s3 = 21 – 3x1 (IV)

40. Penyelesaian tahap pertama : x1 = 0, x2 = 0
Karena x1 = 0
x2 = 0
maka berdasarkan (I), (II), (III), (IV) : z = 0, s1 = 24, s2 = 20, s3 = 21
 Pilih X yang mendatangkan profit terbesar, X yang lebih kecil
dinolkan. X1 = 25 dan X2 = 15, maka X2 harus dinolkan.
Menurut (II) : x1 = 24/3 = 8  taklaik
Menurut (III) : x1 = 20/2 = 10  taklaik
Menurut (IV): x1 = 21/3 = 7  laik
s1 = 24 – 3x1 – 3x2 (II)
s2 = 20 – 2x1 – 4x2 (III)
s3 = 21 – 3x1 (IV)
3x1 + 3x2  24 ..........(kendala masukan K)
2x1 + 4x2  20 ……...(kendala masukan L)
3x1  21 ……...(kendala masukan M)

41. Penyelesaian tahap kedua : x1 = 7, x2 = 0
Karena x1 = 7 dan x2 = 0 maka berdasarkan
(I) z = 25(7) + 15(0) = 175
(II) : s1 = 24 – 3(7) – 3(7) – 3(0) = 3
(III) : s2 = 20 – 2(7) – 4(0) = 6
(IV) : s3 = 21 – 3(7) = 0
Menurut (IV): 3x1 + s3 = 21
Berarti 3x1= 21 – s3  x1 = 7 – 1/3 s3
z = 25x1 + 15x2 (I)
3x1 + 3x2 + s1 = 24 atau s1 = 24 – 3x1 – 3x2 (II)
2x1 + 4x2 + s2 = 20 atau s2 = 20 – 2x1 – 4x2 (III)
3x1 + s3 = 21 atau s3 = 21 – 3x1 (IV)

42. Subtitusikan persamaan (V) ke dalam persamaan
fungsi tujuan yang asli (I), diperoleh persamaan fungsi
tujuan baru.
z = 25x1 + 15x2
z = 25 (7 – 1/3 s3) + 15x2
z = 175 – 25/3 s3 + 15x2

43. Sekarang cari persamaan X2 yang optimal, caranya
dengan menggunakan rumus seperti mencari X1
Jika x1 = 7 dan semua masukan terpakai habis (s1 = s2 =
s3 = 0), maka
Menurut (II) : x2 = 3/3 = 1  laik
Menurut (III) : x2 = 6/4 = 1,5  taklaik
Menurut (IV): x2 tidak dapat dinyatakan, karena
persamaan ini tidak mengandung variabel x2.
s1 = 24 – 3x1 – 3x2 (II)
s2 = 20 – 2x1 – 4x2 (III)
s3 = 21 – 3x1 (IV)
Karena x1 = 7 dan x2 = 0 maka berdasarkan
(I) z = 25(7) + 15(0) = 175
(II) : s1 = 24 – 3(7) – 3(7) – 3(0) = 3
(III) : s2 = 20 – 2(7) – 4(0) = 6
(IV) : s3 = 21 – 3(7) = 0

44. Penyelesaian tahap ketiga : x1 = 7, x2 = 1
Berdasarkan x1 = 7
x2 = 1
Maka, z = 25(7) + 15(1) = 190
Menurut (II) : 3x1 + 3x2 + s1 = 24
3x2 = 24 – 3x1 – s1
 x2 = 8 – x1 – 1/3 s1
Z = 25x1 + 15x2
= 25 (7 – 1/3 s3) + 15 (8 – x1 – 1/3 s1)
=175 – 25/3 s3 + 120 – 15x1 – 5s1
= 295 – 5s1 – 25/3 s3 – 105 + 5s3
z = 190 – 5s1 – 10/3 s3

45. Metoda Simplex
Contoh Soal
Selesaikan masalah yang dihadapi PT “Double-X”,
yakni :
Maksimumkan z = 25x1 + 15x2
Terhadap 3x1 + 3x2 + s1 = 24
2x1 + 4x2 + s2 = 24
3x1 + s3 = 24

46. VD Z X1 X2 S1 S2 S3 S
Z 1 -25 -15 0 0 0 0
S1
S2
S3
0
0
0
3 3 1 0 0
2 4 0 1 0
3 0 0 0 1
24
20
21
Maksimumkan z - 25x1 - 15x2 = 0
Terhadap 3x1 + 3x2 + s1 = 24
2x1 + 4x2 + s2 = 24
3x1 + s3 = 24

47.  Tentukan leaving variabel, dengan cara mencari S
(solusi) yang memiliki angka negatif terbesar.
VD Z X1 X2 S1 S2 S3 S
Z 1 -25 -15 0 0 0 0
S1
S2
S3
0
0
0
3 3 1 0 0
2 4 0 1 0
3 0 0 0 1
24
20
21

48.  Tentukan entering variabel dengan mencari rasio
dengan membagi angka Z dengan leaving variabel
dan pilih rasio terkecil.
 Jadi
VD Z X1 X2 S1 S2 S3 S
Z 1 -25 -15 0 0 0 0
S1
S2
S3
0
0
0
3 3 1 0 0
2 4 0 1 0
3 0 0 0 1
24
20
21
Rasio 1 -25/3 -15 0 0 0 0

49.  Tentukan persamaan pivot baru
X1 0 1 0 0 0 1/3 7
X1 0/3 3/3 0/3 0/3 0/3 1/3 21/3

50.  Tentukan persamaan baris yang lainnya
Persamaan z baru
1 – (-25) 0 = 1
- 25 – (-25) 1 = 0
- 15 – (-25) 0 = -15
0 – (-25) 0 = 0
0 – (-25) 0 = 0
0 – (-25) 0 = 0
0 – (-25) (1/3) = 25/3
0 – (-25) 7 = 175
Persamaan s1 baru
0 – (3) 0 = 0
3 – (3) 1 = 0
3 – (3) 0 = 3
1– (3) 0 = 1
0 – (3) 0 = 0
0 – (3) (1/3) = -1
24 – (3)7 = 3
Persamaan s2 baru
0 – (2) 0 = 0
2 – (2) 1 = 0
4 – (2) 0 = 4
0 – (2) 0 = 0
1 – (2) 0 = 1
0 – (2) (1/3) = -2/3
20 – (2) 7 = 6

51.  Tablo II
 Karena baris Z masih terdapat angka negatif, maka
belum optimal. Oleh karena itu, harus dicari mencari
entering variabel dan leaving variabelnya lagi.
VD Z X1 X2 S1 S2 S3 S
Z 1 0 -15 0 0 25/3 175
S1
S2
S3
0
0
0
0 3 1 0 -1
0 4 0 1 -2/3
1 0 0 0 1/3
3
6
7

52.  Tentukan entering variabel dan leaving variabelnya
 Persamaan pivot baru
VD Z X1 X2 S1 S2 S3 S
Z 1 0 -15 0 0 25/3 175
S1
S2
S3
0
0
0
0 3 1 0 -1
0 4 0 1 -2/3
1 0 0 0 1/3
3
6
7
X1 0 1 0 0 0 1/3 7
X1 0/3 3/3 0/3 0/3 0/3 1/3 21/3

53.  Tentukan persamaan lainnya
Transformasi baris z
1 – (-15) 0 = 1
0 – (-15) 0 = 0
-15 – (-15) 1 = 0
0 – (-15) 1/3 = 5
0 – (-15) 0 = 0
-25/3 – (-15) 1/3 = 10/3
175 – (-15) 1 = 190
Transformasi baris s2
0 – (4) 0 = 0
0 – (4) 0 = 0
4 – (4) 1 = 0
0 – (4) 1/3 = 0
1 – (4) 0 = 1
-2/3 – (4) (-1/3) = 0
6 – (4) 1 = 2
Transformasi baris x1
0 – (0) 0 = 0
1 – (0) 0 = 1
0 – (0) 1 = 0
0 – (0) 1/3 = 0
0 – (0) 0 = 0
1/3 – (0) -1/3 = 1/3
7 – (0) 1 = 7

54. VD Z X1 X2 S1 S2 S3 S
Z 1 0 0 5 0 10/3 190
S1
S2
S3
0
0
0
0 1 1/3 0 -1/3
0 0 -4/3 1 2/3
1 0 0 0 1/3
1
2
7
Tablo III