Dokumen tersebut membahas dua metode untuk menyelesaikan masalah linear programming (LP) dengan fungsi tujuan minimisasi, yaitu metode perubahan fungsi tujuan menjadi maksimum dan metode langsung menggunakan fungsi tujuan minimisasi. Dokumen tersebut juga membahas penyelesaian masalah LP yang memiliki kendala lebih besar sama dengan dan sama dengan dengan menambahkan variabel buatan."
Dokumen tersebut membahas tentang diferensiasi fungsi majemuk dan optimisasi bersyarat. Secara ringkas, diferensiasi fungsi majemuk melibatkan lebih dari satu variabel bebas dan dilakukan secara parsial. Optimisasi bersyarat memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dengan terikat pada fungsi kendala menggunakan pengganda Lagrange atau metode Kuhn Tucker.
PT. Eb07 akan memproduksi kain sutra dan wol. Mereka memiliki keterbatasan sumber daya dan waktu. Metode simpleks digunakan untuk menentukan produksi optimal guna memaksimalkan laba. Hasilnya menunjukkan X2 = 20 sebagai produksi kain wol optimal.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Program linear digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi dengan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada variabel input, dengan mempertimbangkan sumber daya terbatas. Contohnya adalah agen iklan yang mencari kombinasi media iklan terbaik untuk mencapai pendapatan maksimum dengan biaya minimum, atau perusahaan yang mencari alokasi produksi terbaik untuk mencapai keuntungan puncak. Program linear menggunakan
Dokumen tersebut berisi materi pelajaran Riset Operasi yang mencakup pengertian riset operasi, program linear metode grafik dan contoh soal. Topik utama yang disajikan adalah program linear untuk menyelesaikan masalah maksimisasi dan minimisasi menggunakan metode grafik.
Dokumen tersebut membahas dua metode untuk menyelesaikan masalah linear programming (LP) dengan fungsi tujuan minimisasi, yaitu metode perubahan fungsi tujuan menjadi maksimum dan metode langsung menggunakan fungsi tujuan minimisasi. Dokumen tersebut juga membahas penyelesaian masalah LP yang memiliki kendala lebih besar sama dengan dan sama dengan dengan menambahkan variabel buatan."
Dokumen tersebut membahas tentang diferensiasi fungsi majemuk dan optimisasi bersyarat. Secara ringkas, diferensiasi fungsi majemuk melibatkan lebih dari satu variabel bebas dan dilakukan secara parsial. Optimisasi bersyarat memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dengan terikat pada fungsi kendala menggunakan pengganda Lagrange atau metode Kuhn Tucker.
PT. Eb07 akan memproduksi kain sutra dan wol. Mereka memiliki keterbatasan sumber daya dan waktu. Metode simpleks digunakan untuk menentukan produksi optimal guna memaksimalkan laba. Hasilnya menunjukkan X2 = 20 sebagai produksi kain wol optimal.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Program linear digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi dengan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada variabel input, dengan mempertimbangkan sumber daya terbatas. Contohnya adalah agen iklan yang mencari kombinasi media iklan terbaik untuk mencapai pendapatan maksimum dengan biaya minimum, atau perusahaan yang mencari alokasi produksi terbaik untuk mencapai keuntungan puncak. Program linear menggunakan
Dokumen tersebut berisi materi pelajaran Riset Operasi yang mencakup pengertian riset operasi, program linear metode grafik dan contoh soal. Topik utama yang disajikan adalah program linear untuk menyelesaikan masalah maksimisasi dan minimisasi menggunakan metode grafik.
Dokumen tersebut memberikan informasi tentang kelompok 6 yang terdiri dari 9 orang siswa beserta NIM-nya. Selanjutnya memberikan penjelasan tentang standar skor (z-score) dan contoh soal perhitungannya baik untuk populasi maupun sampel. Terdapat juga penjelasan mengenai skewness dan kurtosis beserta rumus dan contoh perhitungannya.
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear ElementerKelinci Coklat
Sistem persamaan linear dibahas meliputi solusi dengan operasi baris elemen, matriks invers, dan aplikasinya dalam berbagai bidang seperti rangkaian listrik dan model ekonomi."
Dokumen tersebut menjelaskan metode transportasi bernama "Stepping Stone" untuk menguji solusi transportasi awal agar mendapatkan biaya yang lebih optimal. Metode ini melibatkan proses loncatan batu antar sel kosong pada matriks alokasi barang untuk mendapatkan nilai negatif terendah dan menyesuaikan alokasi barang guna menghilangkan nilai tersebut. Contoh kasus menunjukkan proses pengujian solusi awal menggunakan metode ini hingga
1. Distribusi Poisson digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya peristiwa berdasarkan interval waktu, ruang, atau jumlah, dengan asumsi rata-rata kejadian dan interval yang independen.
2. Rumus distribusi Poisson menghitung probabilitas sukses berdasarkan rata-rata kejadian dan bilangan faktorial dari jumlah kejadian.
3. Contoh penerapan termasuk menghitung kemungkinan penumpang yang tidak hadir di p
Perkuliahan ini membahas konsep-konsep dasar matematika ekonomi seperti turunan parsial, nilai maksimum dan minimum, aturan diferensial, elastisitas parsial, dan penerapan diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan. Tujuan instruksionalnya adalah agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan soal-soal terkait.
PENYELESAIAN MASALAH PENUGASAN DENGAN METODE HUNGARIANFeronica Romauli
Perusahaan membutuhkan 4 pekerjaan namun hanya memiliki 3 pekerja. Dengan menggunakan metode Hungarian, pekerjaan dialokasikan kepada pekerja sehingga biaya total minimum adalah Rp 270 ribu per hari.
Metode statistik multivariat digunakan untuk menganalisis data yang melibatkan lebih dari satu variabel. Teknik k-means cluster digunakan untuk mengelompokkan kota-kota ke dalam 3 kelompok berdasarkan karakteristik ekonomi mereka."
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar probabilitas dan beberapa pendekatan untuk menghitung nilai probabilitas. Probabilitas digunakan untuk mengukur kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dan nilainya berkisar antara 0 hingga 1. Ada tiga pendekatan untuk menghitung probabilitas yaitu pendekatan klasik, frekuensi relatif, dan subyektif.
Makalah ini membahas metode numerik sistem persamaan linear. Terdapat tiga bab yang membahas tentang definisi sistem persamaan linear, metode penyelesaian sistem persamaan linear seperti menggunakan notasi matriks, dan contoh soal sistem persamaan linear.
Dokumen tersebut membahas tentang penerapan matriks dalam ekonomi, khususnya model input-output. Materi yang disampaikan meliputi penjelasan tentang matriks transaksi, analisis model input-output Leontif, model terbuka, dan model tertutup. Perkuliahan ini bertujuan agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan dapat menghitung output total serta nilai tambah untuk masing-masing sektor berdasarkan perubahan permintaan akhir.
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)hazhiyah
Seringkali terjadi dalam kenyataan dimana total permintaan tidak sama dengan total penawaran. Masalah ketidakseimbangan dalam ini dalam metode transportasi dapat diatasi dengan mempergunakan persediaan dan permintaan bayangan (dummy). Selain masalah permintaan dan penawaran, dalam metode transportasi juga dikenal masalah lain yaitu degenerasi dan redudansi yang terjadi dalam penyelesaian masalah dalam metode transportasi baik itu di solusi awal atau pada solusi optimal
Pokok Bahasan 03 - Programa Linear (Grafik)_Fajri.pptxACHMADFAJRIFEBRIAN
Dokumen tersebut membahas tentang pemrograman linier dan metode grafisnya. Metode grafis digunakan untuk menyelesaikan masalah optimal dengan menggambar grafik dari fungsi kendala dan menemukan titik sudut untuk menentukan solusi optimal. Contoh kasus Flair Furniture Company menunjukkan bagaimana metode grafis diterapkan untuk menentukan kombinasi meja dan kursi yang maksimalkan keuntungan perusahaan.
Dokumen tersebut memberikan informasi tentang kelompok 6 yang terdiri dari 9 orang siswa beserta NIM-nya. Selanjutnya memberikan penjelasan tentang standar skor (z-score) dan contoh soal perhitungannya baik untuk populasi maupun sampel. Terdapat juga penjelasan mengenai skewness dan kurtosis beserta rumus dan contoh perhitungannya.
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear ElementerKelinci Coklat
Sistem persamaan linear dibahas meliputi solusi dengan operasi baris elemen, matriks invers, dan aplikasinya dalam berbagai bidang seperti rangkaian listrik dan model ekonomi."
Dokumen tersebut menjelaskan metode transportasi bernama "Stepping Stone" untuk menguji solusi transportasi awal agar mendapatkan biaya yang lebih optimal. Metode ini melibatkan proses loncatan batu antar sel kosong pada matriks alokasi barang untuk mendapatkan nilai negatif terendah dan menyesuaikan alokasi barang guna menghilangkan nilai tersebut. Contoh kasus menunjukkan proses pengujian solusi awal menggunakan metode ini hingga
1. Distribusi Poisson digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya peristiwa berdasarkan interval waktu, ruang, atau jumlah, dengan asumsi rata-rata kejadian dan interval yang independen.
2. Rumus distribusi Poisson menghitung probabilitas sukses berdasarkan rata-rata kejadian dan bilangan faktorial dari jumlah kejadian.
3. Contoh penerapan termasuk menghitung kemungkinan penumpang yang tidak hadir di p
Perkuliahan ini membahas konsep-konsep dasar matematika ekonomi seperti turunan parsial, nilai maksimum dan minimum, aturan diferensial, elastisitas parsial, dan penerapan diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan. Tujuan instruksionalnya adalah agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan soal-soal terkait.
PENYELESAIAN MASALAH PENUGASAN DENGAN METODE HUNGARIANFeronica Romauli
Perusahaan membutuhkan 4 pekerjaan namun hanya memiliki 3 pekerja. Dengan menggunakan metode Hungarian, pekerjaan dialokasikan kepada pekerja sehingga biaya total minimum adalah Rp 270 ribu per hari.
Metode statistik multivariat digunakan untuk menganalisis data yang melibatkan lebih dari satu variabel. Teknik k-means cluster digunakan untuk mengelompokkan kota-kota ke dalam 3 kelompok berdasarkan karakteristik ekonomi mereka."
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar probabilitas dan beberapa pendekatan untuk menghitung nilai probabilitas. Probabilitas digunakan untuk mengukur kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dan nilainya berkisar antara 0 hingga 1. Ada tiga pendekatan untuk menghitung probabilitas yaitu pendekatan klasik, frekuensi relatif, dan subyektif.
Makalah ini membahas metode numerik sistem persamaan linear. Terdapat tiga bab yang membahas tentang definisi sistem persamaan linear, metode penyelesaian sistem persamaan linear seperti menggunakan notasi matriks, dan contoh soal sistem persamaan linear.
Dokumen tersebut membahas tentang penerapan matriks dalam ekonomi, khususnya model input-output. Materi yang disampaikan meliputi penjelasan tentang matriks transaksi, analisis model input-output Leontif, model terbuka, dan model tertutup. Perkuliahan ini bertujuan agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan dapat menghitung output total serta nilai tambah untuk masing-masing sektor berdasarkan perubahan permintaan akhir.
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)hazhiyah
Seringkali terjadi dalam kenyataan dimana total permintaan tidak sama dengan total penawaran. Masalah ketidakseimbangan dalam ini dalam metode transportasi dapat diatasi dengan mempergunakan persediaan dan permintaan bayangan (dummy). Selain masalah permintaan dan penawaran, dalam metode transportasi juga dikenal masalah lain yaitu degenerasi dan redudansi yang terjadi dalam penyelesaian masalah dalam metode transportasi baik itu di solusi awal atau pada solusi optimal
Pokok Bahasan 03 - Programa Linear (Grafik)_Fajri.pptxACHMADFAJRIFEBRIAN
Dokumen tersebut membahas tentang pemrograman linier dan metode grafisnya. Metode grafis digunakan untuk menyelesaikan masalah optimal dengan menggambar grafik dari fungsi kendala dan menemukan titik sudut untuk menentukan solusi optimal. Contoh kasus Flair Furniture Company menunjukkan bagaimana metode grafis diterapkan untuk menentukan kombinasi meja dan kursi yang maksimalkan keuntungan perusahaan.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1. Linear programming merupakan teknik untuk memecahkan masalah alokasi sumber daya terbatas secara optimal
2. Model linear programming terdiri atas fungsi tujuan dan fungsi kendala
3. Asumsi-asumsi dasar dalam linear programming antara lain proporsionalitas, aditivitas, divisibilitas, dan ketentuan
Dokumen tersebut membahas tentang program linier dan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah program linier. Program linier digunakan untuk mengalokasikan sumber daya terbatas guna memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya. Metode simpleks adalah metode yang efisien untuk menyelesaikan masalah program linier dengan variabel keputusan lebih dari dua."
Matematika inovatif konsep dan aplikasinya sma kelas xii (bahasa) siswanto-2009primagraphology consulting
Buku ini membahas program linear dan model matematika untuk menentukan nilai optimal suatu fungsi objektif dengan kendala-kendala tertentu. Pembahasan dimulai dari penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel secara grafis, kemudian pengertian program linear, dan cara menentukan nilai optimal dari fungsi objektif sebagai penyelesaian program linear tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang program linier yang merupakan salah satu teknik penyelesaian riset operasi untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan fungsi tujuan dan kendala yang linier. Dibahas pula definisi, bentuk standar, formulasi, dan penyelesaian program linier menggunakan metode grafik dan matriks beserta contoh soalnya."
Dokumen tersebut membahas tentang program linear pada kelas XII IPA SMA Dharma Suci Jakarta Utara. Secara singkat, dibahas tentang sistem pertidaksamaan linear dua variabel, merancang model matematika dari masalah program linear, dan menentukan nilai optimum dari fungsi objektif.
Dokumen tersebut membahas tentang program linear pada kelas XII IPA SMA Dharma Suci Jakarta Utara. Secara singkat, dibahas tentang sistem pertidaksamaan linear dua variabel, merancang model matematika dari masalah program linear, dan menentukan nilai optimum dari fungsi objektif.
Dokumen tersebut membahas tentang pembelajaran program linear dua variabel di SMAN 1 Terara, meliputi:
1) Kompetensi dasar dan indikator pencapaian siswa dalam memahami program linear dua variabel
2) Contoh-contoh soal pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel beserta penyelesaiannya
3) Membentuk model matematika dari masalah-masalah program linear dua variabel berdasarkan kendala dan fungsi tujuan yang
Dokumen tersebut membahas tentang program linear dua variabel, termasuk konsep dasar, sistem pertidaksamaan linear, kaidah, dan penyelesaian masalah optimasi. Secara ringkas, dokumen menjelaskan cara merumuskan dan menyelesaikan masalah matematika yang melibatkan dua variabel berdasarkan syarat-syarat yang diberikan.
02. PPT Matematika (Wajib) XI - www.ilmuguru.org.pptxAisMahulauw
Dokumen tersebut membahas tentang program linear dua variabel, termasuk konsep dasar, sistem pertidaksamaan linear, kaidah, dan penyelesaian masalah optimasi. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara mendefinisikan masalah matematika menjadi model program linear dan menyelesaikan masalah tersebut untuk mendapatkan nilai optimum.
Program linier adalah teknik penyelesaian masalah optimasi yang hanya melibatkan fungsi linier. Terdapat tiga metode penyelesaian yaitu grafik, aljabar, dan simpleks. Metode grafik mewakili masalah dalam bentuk grafik dan mencari titik optimum. Metode aljabar mengubah masalah ke bentuk persamaan dan ditentukan titik optimumnya. [/ringkasan]"
1. PENDAHULUAN
L
inear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer
dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas
untuk mencapai tujuan perusahaan.
Tujuan perusahaan pada umumnya adalah memaksimalisasi keuntungan, namun karena
terbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.
Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :
1 1. Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi
2 2. Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan
3 3. Ada beberapa alternatif penyelesaian
4 4. Hubungan matematis bersifat linear
Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang
harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu:
1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui
dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa.
2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan
fungsi kendala.
3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas
individu.
4. divisibility (bisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer
(bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.
5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau
variabel tidak negatif.
Dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan Linear Programming, ada dua
pendekatan yang bisa digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya
bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua.
2. Sedangkan metode simpleks bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel
keputusan dua atau lebih.
Dalam Bab ini, akan dibahas Linear Programming dengan metode grafik untuk fungsi
tujuan baik maksimum maupun minimum.
Dengan mempelajari tulisan ini dengan baik dan benar, diharapkan Anda dapat memahami
permasalahan Linear Programming dengan metode grafik.
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:
1. Mengenal linear programming sebagai alat pengambilan keputusan
2. Merumuskan permasalahan operasi ke dalam bentuk linear programming
3. Menyelesaikan permasalahan linear programming dengan grafik/ matematik
4. Memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan
redundancy.
3. Linier Programming dengan Metode Grafik :
Fungsi Tujuan Maksimisasi & Minimisasi
A. FORMULASI PERMASALAHAN
Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana
hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut,
langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke
dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan
adalah :
1. pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi
2. identifikasikan tujuan dan kendalanya
0 3. definisikan variabel keputusannya
1 4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala
secara matematis.
Contoh ::
Perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang
diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit
kursi adalah $5,-.
Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi
dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan
untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk
pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk
pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya
diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?
4. Penyelesaian ::
1 1. Variabel Keputusan
X1 : Meja
X2 : Kursi
2 2. Fungsi Tujuan
Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan
fungsi tujuan sebagai berikut :
Maksimalkan Z = 7X1 + 5X2
3. Fungsi Kendala
Fungsi kendala Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak
bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai
keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang
merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis
diungkapkan dengan pertidaksamaan. Secara matematis kendala-kendala tersebut dapat
dituliskan sebagai berikut :
4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (kendala departemen pembuatan)
2 X1 + 1 X2 ≤ 100 (kendala departemen pengecatan)
dimana X1 dan X2 ≥ 0 (kendala non negatif)
B. PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK
Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik.
Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak
bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.
Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan
fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus
merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.
5. Kendala I : 4 X1 + 3 X2 = 240
memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
4 X1 + 0 = 240
X1 = 240/4
X1 = 60
memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0
0 + 3 X2 = 240
X2 = 240/3
X2 = 80
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 80).
Kendala II : 2 X1 + 1 X2 = 100
memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
2 X1 + 0 = 100
X1 = 100/2
X1 = 50
memotong sumbu X2 pada saat X1 =0
0 + X2 = 100
X2 = 100
Kendala II memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 100).
6. Grafik 1.1
Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi
2 X1 + 1 X2 = 100
X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 X2 = 240
4 X1 + 3 (100 - 2 X1) = 240
4 X1 + 300 - 6 X1 = 240
- 2 X1 = 240 - 300
- 2 X1 = - 60
X1 = -60/-2 = 30
X2 = 100 - 2 X1
X2 = 100 - 2 * 30
X2 = 100 - 60
X2 = 40
Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).
Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala.
Sebagaimana nampak pada Grafik 1.1, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri
dari titik A (0,80), B (30,40) dan C (50,0).
Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari
nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat
dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan
C (50, 0).
Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0
Keuntungan pada titik A (0, 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400
Keuntungan pada titik B (30, 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410 *
Keuntungan pada titik C (50, 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350
Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan
memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh
keuntungan optimal sebesar 410.