Dokumen tersebut membahas dua metode untuk memecahkan model program linear (PL), yaitu metode grafis dan metode simplek. Metode grafis hanya dapat digunakan untuk PL dengan dua variabel, sedangkan metode simplek lebih umum untuk PL dengan banyak variabel dan pembatas. Kedua metode bertujuan untuk menemukan solusi optimal yang memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan dengan memenuhi seluruh pembatas.

1. Pokok Bahasan : Teknik pemecahan model programa linear (PL)
Materi : 1. Pemecahan dengan solusi grafis.
2. Pemecahan dengan Metode Simplek
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MATERI :
Pada dasarnya metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan model PL
ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa alternative solusi yang dibentuk oleh
persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum.
Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan PL ini
yaitu :
- Dengan cara grafis
- Dengan metode simplek.
Cara grafis dapat dipergunakan apabila persoalan PL yang akan diselesaikan itu hanya
mempunyai dua buah variabel. Cara ini telah memberikan satu petunjuk penting untuk
memecahkan persoalan PL, kita hanya perlu memperhatikan titik ekstrem (titik terjauh)
pada ruang solusi atau daerah fisibel. Petunjuk ini telah menjadi kunci dalam
mengembangkan metode simplek.
Metode simplek merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk
memecahkan persoalan PL yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas
yang banyak. Algoritma simplek ini diterangkan dengan menggunakan logika secara
aljabar matrik, sedemikian sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien.

2. 1. Pemecahan dengan solusi grafis.
Untuk mencari solusi suatu persoalan PL dengan cara grafis, berikut ini dikemukakan 2
buah contoh yaitu persoalan maksimisasi keuntungan dan minimisasi biaya.
a. Persoalan maksimisasi :
Diketahui persoalan maksimisasi keuntungan; Z = 3 X1 + 5X2
Dengan pembatas, X1 ≤ 4
2X2 ≤ 12
3 X1 + 2X2 ≤ 18
X1, X2 ≥ 0
Pertanyaan : Cari X1 dan X2 dan hitung Z optimal dengan cara grafik.
Solusi grafis :
Pada prosedur ini kita harus membuat grafik berdimensi dua dengan X1 dan X2 sebagai
sumbu-sumbunya. Pada contoh ini, sumbu absis/mendatar kita nyatakan X1 dan
sumbu ordinat/ tegak dinyatakan X2.
X1 dan X2 ini menggambarkan aktivitas atau variabel keputusan dari persoalan
Programa Linear.
Langkah pertama;
Mengindentifikasi harga-harga X1 dan X2 yang memenuhi pembatas-pembatas yang
ada dengan cara menggambarkan garis-garis yang harus membatasi daerah harga-
harga X1 dan X2 yang diperbolehkan. Adanya pembatas yang non negative X1, X2 ≥
0 akan menyebabkan ( X1, X2 ) harus berada pada sisi positif dari sumbu-sumbunya
(pada kuadran I ).

3. Langkah kedua;
Perhatikan bahwa dalam menggambarkan pembatas X1 ≤ 4, berarti (X1,X2 ) tidak boleh
berada disebelah kanan garis X1 = 4. Demikian pula dalam menggambarkan
pembatas 2X2 ≤ 12, berarti (X1,X2 ) tidak boleh berada di atas garis 2X2 = 12, (atau X2
= 6).
Untuk menggambarkan pembatas terakhir 3X1 + 2X2 ≤ 18 ialah dengan cara
menentukan titik (X1,X2 ) yang memenuhi garis 3X1 + 2X2 = 18. Cara untuk menentukan
garis pembatas ini adalah mencari titik yang berpotongan dengan sumbu X1 ( X1,0) dan
titik yang berpotongan dengan sumbu X2 ( 0,X2)
Titik (X1,0) berarti X2 = 0 3X1 + 2X2 = 18 3X1 + 0 = 18 X1 = 18/3 = 6
jadi titik (X1,0) = ( 6,0 )
Titik (0,X2) berarti X1 = 0 3X1 + 2X2 = 18 0 + 2X2 = 18 X2 = 18/2= 9
jadi titik (0,X2) = ( 0,9 )
Dua titik perpotongan ini (6,0) dan (0,9) dihubungkan, menggambarkan garis
pembatas 3X1 + 2X2 ≤ 18
Perlu diingat bahwa titik-titik X1 dan X2 yang memenuhi pembatas 3X1 + 2X2 ≤ 18
adalah titik-titik dibawah garis 3X1 + 2X2 = 18.
Setelah seluruh pembatas digambarkan, maka kita akan memperoleh daerah
berlakunya harga-harga (X1, X2), seperti terlihat pada gambar berikut

4. Arah panah pada setiap garis pembatas menunjukan arah berlakunya harga X1 dan X2
pada masing-masing pembatas.
Karena kita harus mendapatkan harga X1 dan X2 yang memenuhi seluruh pembatas
yang ada, maka akhirnya kita hanya memperhatikan bidang ABCDE yaitu bidang yang
dibatasi garis pembatas yang memenuhi syarat (fisibel) sehingga bidang ABCDE
disebut sebagai bidang atau daerah fisibel.
Daerah fisibel dalam programa linear adalah set dari seluruh titik yang memenuhi
seluruh pembatas termasuk pembatas tanda. Pada beberapa referensi lain pembatas
ini sama dengan kendala yang dihadapi pengambil keputusan dalam memilih alternatif
yang dihadapinya.

5. Langkah terakhir
Menentukan suatu titik pada daerah fisibel yang dapat memaksimumkan nilai fungsi
tujuan Z. Caranya adalah; dengan memilih titik-titik perpotongan pada daerah fisibel
(polygon konveks ABCDE tadi) sebagai titik-titik yang perlu dicari nilainya. Dari gambar
dapat dilihat bahwa ;
Titik A (0,0) ; B (4,0) dan E (0,6)
Titik C perpotongan dari persamaan pembatas X1 =4 dengan 3X1 +2X2 = 18
Titik D perpotongan dari persamaan pembatas 2X2 =12 dengan 3x1 +2X2 =18
Kita analisis titik C dan D,
Titik C, X1= 4, subsitusikan ke ----- 3(4) +2 X2 =18
12 + 2X2 = 18; 2X2 = 6 , X2 =3
Jadi Titik C = (4,3)
Titik D, 2X2 = 12
X2 = 6 , subsitusikan ke ------ 3X1+ 2(6) =18
3X1 + 12 = 18 3X1 = 6 , X1 = 2
Jadi Titik D = (2,6)
Melalui subsitusi nilai-nilai pada titik tersebut kedalam persamaan Z =3X1 + 5X2 ,maka
akan dapat diperoleh titik mana yang memberikan Z optimum, seperti dalam ringkasan
tabel berikut ,

6. Alternatif Titik X1 X2 Maks Pendptan
1 A 0 0 0
2 B 4 0 3(4) +5(0) = 12
3 C 4 3 3(4) + 5(3) =27
4 D 2 6 3(2)+5(6) =36 *
5 E 0 6 3(0) +5(6) =30
Dari tabel dapat dilihat alternative 4 (titik D) merupakan titik yang memberikan
pendapatan yang maksimum, yaitu X1 = 2, X2 = 6 dan Z yang diperoleh = 36.
b. Persoalan minimimasi
Untuk persoalan maksimisasi, solusi optimal dari persoalan program linear adalah suatu
titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan terbesar. Pada persoalan minimisasi,
solusi optimal adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan terkecil.
Contoh soal :
Minimumkan biaya ; Z = 5 X1 + 10 X2
Dengan pembatas, 7 X1 + 2 X2 ≥ 28
2X2 +12 X2 ≥ 24
X1, X2 ≥ 0
Pertanyaan : Cari X1 dan X2 dan hitung Z optimal dengan cara grafik.
Penyelesaian :
Langkah-langkahnya sama dengan penyelesaian masalah maksimisasi di atas, hanya
saja yang perlu diperhatikan bahwa bahwa titik-titik X1 dan X2 yang memenuhi nilai
yang fisibel adalah titik-titik di atas garis-garis pembatas tersebut. (perhatikan tanda
pembatas itu)

7. Arah panah ke atas pada setiap garis pembatas menunjukan arah berlakunya harga X1
dan X2 pada masing-masing pembatas.
Titik yang optimum adalah titik pada saat disubsitusikan ke fungsi Z , memberikan nilai
Z yang minimum.
Garis pembatas ; 7 X1 + 2 X2 ≥ 28, dihubungkan dari titik potong (4,0) dan (0,14)
2 X2 +12 X2 ≥ 24, dihubungkan dari titik potong (12,0) dan (0,2)
Perpotongan dua garis pembatas tersebut berada pada titik (3,6 ; 1,4)
Setelah disubsitusikan titik-titik potong itu ke fungsi Z, maka diperoleh Z minimum pada
saat X1 = 3,6 dan X2 = 1,4. Pada titik itu Z adalah 32.
Sebagai latihan, Saudara lengkapi perhitungannya dan buat grafik dari contoh ini.
Kemudian subsitusikan titik yang diperoleh ke nilai Z. Nanti saudara akan tahu mana
titik yang optimal…..!
Melengkapi hitungan ini merupakan tugas nomor.1