Tema 3 Matemàtiques aplicades CCSS, 2n de Batxillerat

1. Tema 3: Sistemes d'equacions
1. Introducció
2. Resolució pel mètode de Gauss
3. Teorema de Rouché-Fröbenius
4. Resolució per equació matricial simple
5. Resolució per la regla de Cramer
6. Sistemes homogenis
7. Sistemes amb paràmetres

2. 1. Introducció
a11 x+a12 y+a13 z=b1
A=
(
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
)
p52 E5, 10, 12
a21 x+a22 y+a23 z=b2
a31 x+a32 y+a33 z=b3
Sist. incompatible (0 solucions)
Sist. compatible determinat (1 sol.)
Sistema compatible indeterminat (∞ sol.)
4.Resolució per equació matricial simple
X =
(
x
y
z ) B=
(
b1
b2
b3
) (
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
)·
(
x
y
z)=
(
b1
b2
b3
)
A· X =B ; X =A−1
· B
p42 E1, 2b

3. 2. Resolució per Gauss
a11 x+a12 y+a13 z=b1
(
a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
)
p44 E2
a21 x+a22 y+a23 z=b2
a31 x+a32 y+a33 z=b3
Matriu ampliada (A*)
(
a11 a12 a13 b1
0 a22 a23 b2
0 0 a33 b3
)
a11 x+a12 y+a13 z=b1
a22 y+a23 z=b2
a33 z=b3
Discussió de sistemes:
-Si acabem 0 0 0 0: SCI (més incògnites que equacions)
-Si acabem 0 0 2 4: SCD
-Si acabem 0 0 0 -2: SI
p46 E3, 3

4. 3. Teorema de Rouché-Fröbenius
p50 E4, 7, 8, 9
-Si Rang (A) ≠ Rang (A*): Sistema Incompatible
-Si Rang (A) = Rang (A*): Sistema Compatible
-si aquest Rang = núm. incògnites, SCD
-si aquest Rang < núm. incògnites, SCI
5. Regla de Cramer
Es pot utilitzar quan: núm. equacions = núm. incògnites
determinant de la matriu de coeficients ≠ 0
Si tenim x, y i z en un sistema de tres equacions,
x=
∣Ax∣
∣A∣
y=
∣Ay∣
∣A∣
z=
∣Az∣
∣A∣
essent Ax
la matriu obtinguda de substituir en A la columna dels coeficients x per la
columna dels termes independents, Ay
bla bla i Az
bla bla bla.
p55 14, 15

5. La regla de Cramer per a SCI:
S'obvïa la tercera equació, i en les dues primeres la “z”, que ara és “λ”, es
passa a fer companyia als termes independents.
3x+ y−z=2
−2x+ y−z=1
x+2y−2z=3
-Rang(A) = 2
-Rang(A*) = 2
2 < núm incòg.
SCI
3x+ y=2+λ
−2x+ y=1+λ
∣A∣=∣3 1
−2 1∣=5
∣Ax∣=∣2+λ 1
1+λ 1∣=2+λ−1−λ=1
∣Ay∣=∣3 2+λ
−2 1+λ∣=3+3λ+4+2λ=5λ+7
x=
1
5
y=λ+
7
5
z=λ
p56 16

6. 6. Sistemes homogenis
p58 E7 17
Un sistema homogeni és aquell en el què tots els termes independents
són zeros.
a11 x+a12 y+a13 z=0
a21 x+a22 y+a23 z=0
a31 x+a32 y+a33 z=0
Sempre és compatible, ja que Rg(A) = Rg(A*)
Una de les solucions sempre és trivial:
x = 0, y = 0, z = 0
Si Rang = núm. incògnites, la solució és la
trivial; si Rang < núm. incògnites, és un SCI.
7. Sistemes amb paràmetres
Es farà ús de Rouché-Fröbenius per fer-ne la discussió, i per resoldre'l,
si és el cas, de Cramer (Atenció!!: λ no té per què ser z).
p60 exemple no numerat, 19, 20
18, E10, E11, E12, E13, 21 a 29
Act Finals: totes