SlideShare a Scribd company logo
1 of 104
Download to read offline
MATEMÀTIQUES
2n de Batxillerat
Curs 2016-2017
INS Les Termes Sabadell
Prof: Albert Sola
Temari matemàtiques 2n de Batxillerat
1. Límits i continuïtat de funcions (7)
2. Derivades (8)
3. Aplicacions de la derivada (9-10)
4. Primitives, integrals indefinides (11)
5. Integrals definides (12)
6. Matrius i determinants (1-2)
7. Sistemes d'equacions lineals (3)
8. Geometria a l'espai (4)
9. Distàncies i angles (5-6)
ANÀLISI
ÀLGEBRA LINEAL
GEOMETRIA
1T
2T
3T
3 grans temes
de la sele:
Tema 1(7): Límits i continuïtat de funcions
1. Concepte de límit
2. Càlcul de límits
3. Indeterminacions
4. Límits en funcions
5. Repàs funcions principals
6. Teoremes a l'entorn dels límits
1. Concepte de límit.
El límit és "el lloc preparat", "la tendència".
lim
x→1
f ( x)=+∞
lim
x→3
f ( x)=∃
lim
x→3−
f ( x)=−2
lim
x→3+
f ( x)=1
lim
x→5
f ( x)=3
lim
x→+∞
f ( x)=1
lim
x→0
f ( x)=0
lim
x→−∞
f ( x)=−∞
Pàg.196: E5, 5, E7, E8, 7, 8
2. Càlcul de límits.
a) Límits de potències:
lim
x→+∞
xn
=
Exemples de cada un, Pàg.200: 13,14
+∞ si n > 0
1 si n = 0
0 si n < 0
lim
x→−∞
xn
=
+∞ si n > 0 i parell
-∞ si n > 0 i senar
1 si n = 0
0 si n < 0
lim
x→+∞
ax
=
+∞ si a > 1
0 si 0<a<1
Ø si a < 0
lim
x→−∞
ax
=
0 si a > 1
+∞ si 0<a<1
0 si a < 0
variablealabasevariableal'exponent
2. Càlcul de límits.
b) Límits de polinomis:
lim
x→±∞
(ak
xk
+ak−1
xk−1
+...+a1
x+a0
)=
= lim
x→±∞
ak
xk
=ak
· lim
x→±∞
xk
=a k
·(±∞)
Atenció amb els signes!
c) Límits de quocients entre polinomis:
lim
x→±∞(ak x
k
bp xp)=
ak
b p
· lim
x→±∞(x
k
xp)=
Menyspreant
termes de
grau inferior:
±∞ si k > p
0 si p > k
ak/bp si p = k
p201: E12, 15, 16
2. Càlcul de límits.
d) Propietats de les operacions amb límits:
lim
x→+∞
[ f ( x)±g( x)]= lim
x→+∞
f ( x)± lim
x→+∞
g( x)
lim
x→+∞
[ f ( x)· g( x)]=lim
x→+∞
f ( x)· lim
x→+∞
g( x)
lim
x→+∞
f (x)
g (x)
=
lim
x→+∞
f ( x)
lim
x→+∞
g( x) (si lim g(x) diferent de 0)
lim
x→+∞
p
√f (x)=p
√ lim
x→+∞
f ( x)
lim
x→+∞
[ f ( x)]p
=[ lim
x→+∞
f ( x)]p
lim
x→+∞
loga f ( x)=loga lim
x→+∞
f ( x)
lim
x→+∞
f ( x)g( x)
=( lim
x→+∞
f ( x))lim x→+∞ g(x)
(si lim f(x) i lim g(x) diferent de 0)
p199: E9, 11, 12, 44 i 45 cap de setmana
3. Indeterminacions
a) ∞/∞
b) ∞ - ∞
c) 1∞
lim
x→+∞
3x2
√4x+1
=
∞
∞
Dividir numerador i denominador entre la potència més gran de x
Resoldre la resta de fraccions
Multiplicat pel conjugat (entre arrels)
Novetat!
a) ∞/∞ grau 2
grau 1/2
3. Indeterminacions
lim
x→+∞
3x2
√4x+1
=
∞
∞
a) ∞/∞ grau 2
grau 1/2
lim
x→+∞
3x2
x
2
√4x+1
x
2
= lim
x→+∞
3
√4x
x4
+
1
x4
=
3
0
=+∞
Altre exemple p202, 17, 18
3. Indeterminacions
lim
x→+∞(x
2
−3
x−5
−
x
3
x2
+1)=∞−∞
b1) ∞ - ∞ (resta)
x2
−3
x−5
−
x3
x
2
+1
=
(x2
−3)( x2
+1)−x3
( x−5)
(x−5)(x
2
+1)
=
x4
+x2
−3x2
−3−x4
+5x3
x
3
+x−5x
2
−5
=
5x3
−2x2
−3
x
3
−5x
2
+x−5
lim
x→+∞(5x
3
x3 )=5
3. Indeterminacions
lim
x→−∞
(√x4
+1−√x2
−1)=∞−∞
b2) ∞ - ∞ (conjugat)
(√x4
+1−√x2
−1 )·(√x4
+1+√x2
−1)
√x4
+1+√x2
−1
=
x
4
+1−( x
2
−1)
√x4
+1+√x2
−1
lim
x→−∞
x4
−x2
+2
√x4
+1+√x2
−1
=+∞
p203, 19, 20
3. Indeterminacions
lim
x→∞
f (x)g( x)
=elim [ f ( x)−1]·g( x)
c) 1∞
lim
x→+∞(x2
−3
x
2
−5)
3x+1
=1
∞
Sempre i quan els límits a l'infinit de f(x) i g(x) per separat siguin 1
i ∞ respectivament.
lim
x→+∞(x2
−3
x
2
−5)
3x+1
=1
∞
p204, E2, 21, 22
(x
2
−3
x2
−5
−1
)·(3x+1)=
x
2
−3−(x
2
−5)
x2
−5
·(3x+1)=
=
2·(3x+1)
x2
−5
=
6x+2
x2
−5
lim
x→+∞(x2
−3
x
2
−5)
3x+1
=e
0
4. Límits en funcions (tendint a punts concrets)
a) En un punt, per l'esquerra, per la dreta
lim
x→2
(x2
−2x+1)=22
−2·2+1=1
Substituïm valor
f(x) = x2
- 2x + 1
f(x) = 2x - 1 si x<1
-x2
+ 1 si x>1
lim
x→1e
(2x−1)=2·1+1=3
lim
x→1d
(−x2
+1)=−12
+1=0
-Un valor diferent ens indica que hi ha una discontinuïtat de salt finit.
-En aquest cas no existeix el límit tendint a 1.
-No problem.
lim
x→3
x2
+1
x−3
=
32
+1
3−3
=
10
0
=∞
El negatiu per l'esquerra ens indica que la branca va cap avall, el positiu per la dreta
que la branca va cap amunt.
-Ens trobem davant d'una assímptota vertical (salt infinit)
f ( x)=
x2
+1
x−3
lim
x→3e
x2
+1
x−3
=
2,92
+1
2,9−3
=
10
−0,1
=−∞
lim
x→3d
x2
+1
x−3
=
3,12
+1
3,1−3
=
10
0,1
=+∞
lim
x→2
x2
−4
x
3
−7x+6
=
22
−4
2
3
−7·2+6
=
0
0
-Ens trobem davant d'una INDETERMINACIÓ 0/0!!
f ( x)=
x2
−4
x
3
−7x+6
Mecanisme: factoritzar i simplificar l'expressió.
x2
−4
x
3
−7x+6
=
( x+2)( x−2)
( x−1)( x−2)(x+3)
=
x+2
( x−1)( x+3)
lim
x→2
x+2
(x−1)(x+3)
=
2+2
( 2−1)( 2+3)
=
4
5
p205, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 63, 64, 65, 67, 71, 72, 73, 74, 75,76,79, 80, 82
b) Interpretació de cara a l'estudi de la continuïtat
Perquè una funció sigui contínua en un punt "a" s'han de
complir 3 condicions: ᴲ f(a) ᴲ lima
f(x) f(a)=lima
f(x)
ᴲ f(a) ᴲ lim f(a)=lim Gràfica
Contínua Ok Ok Ok
Disc. evitable Ok Ok
Disc. evitable Ok
De salt finit Ok
De salt finit
De salt infinit Ok
De salt infinit
5. Repàs de les funcions principals
Funcions polinòmiques
Funcions racionals ( / )
Funcions amb radicals
Funcions exponencials
Funcions logarítmiques
Funcions trigonomètriques
Sempre contínues
No contínues quan den=0
Sempre contínues per índex senar. En índex parell,
no contínues quan radicand és negatiu.
Sempre contínues
No contínues quan "a" és 0 o negatiu (logb
a)
Sin i Cos contínues, Tg no en x=π/2 + kπ
"El" problema: -Estudïa la continuïtat de la següent funció:
x+1
x2
+x
√x+1
f (x) =
si x <= 3
si x > 3
1r: Mirar el panorama i decidir els punts d'estudi.
-A la primera expressió (racional) hi haurà discontinuïtat quan x2
+x=0
x2
+ x = 0; x·(x + 1) = 0; x1
= 0
x2
= -1
-A la segona, tindríem discontinuïtat si x + 1 < 0. Mai serà el cas.
Punts d'estudi: -1, 0, 3 (canvi), -∞, +∞ (sempre ajuden)
2n: Mirar què passa amb l'ajuda dels límits.
No existeix f(-1), però sí existeix lim: DISCONTINUÏTAT EVITABLE
lim
x→−1(x+1
x
2
+x)=
−1+1
(−1)
2
+(−1)
=
0
0
x+1
x2
+x
=
x+1
x( x+1)
=
1
x
lim
x→−1
1
x
=−1
lim
x→0 (x+1
x
2
+x )=
0+1
0
2
+0
=
1
0
=∞
No existeix f(0), límits tendeixen a infinit: ASÍMPTOTA VERTICAL
lim
x→0 (x+1
x
2
+x )=
0+1
0
2
+0
=
1
0
=∞
lim
x→0e(x+1
x
2
+x)=
−0,1+1
(−0,1)
2
−0,1
=
1
−0,09
=−∞
lim
x→0d (x+1
x
2
+x)=
0,1+1
(0,1)
2
+0,1
=
1
0,11
=+∞
Límits per esquerra i dreta difereixen: SALT FINIT
lim
x→3e(x+1
x
2
+x)=
3+1
3
2
+3
=
9
12
=
1
3
lim
x→3d
√x+1=√3+1=2
lim
x→−∞(x+1
x
2
+x)=0 lim
x→+∞
√x+1=+∞
ASÍMPTOTA HORITZONTAL Va creixent
3r: Representar esquemàticament la funció.
p209, 31, 94o, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113
6. Teoremes a l'entorn dels límits
Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], i els signes de f(a) i f(b) són
diferents, podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un
punt c pel qual f(c)=0.
Bernhard Bolzano
"per força la funció ha de travessar l'eix x"
a) El Teorema de Bolzano
f ( x)=√x+1
e
x
+
cos x
x−1
S'anul·la en algun punt de
l'interval [4,6]?
1r: Comprovar que en l'interval sigui contínua:
Cap de les expressions que conformen la funció ens indica
que no sigui contínua, per tant és contínua.
√x+1 ex
x−1cos x
2n: Comprovar que el valor dels extrems té signe oposat:
f ( 4)=√4+1
e
4
+
cos 4
4−1
=−0,17 f (6)=√6+1
e
6
+
cos6
6−1
=0,19
Cap de les expressions que conformen la funció ens indica
que no sigui contínua, per tant és contínua.
Signe diferent: Segons Bolzano, la funció sí s'anul·la en algun punt de l'interval.
p210: 33, 125, p223:aplic 7 i 8
Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], f(x) pren en aquest interval
tots els valors "m" entre f(a) i f(b).
Jean Gaston Darboux
"per força la funció ha de passar per m"
a) El Teorema de Darboux (o dels valors intermedis)
f ( x)=( 1−x2
)·cos πx Existeix f(c)=-2 en algun punt c
de l'interval [1,2]?
1r: Comprovar que en l'interval sigui contínua:
Cap de les expressions que conformen la funció ens indica
que no sigui contínua, per tant és contínua.
1−x2
cosπx
2n: Calcular el valor que pren la funció en els extrems:
Cap de les expressions que conformen la funció ens indica
que no sigui contínua, per tant és contínua.
-2 entre -3 i 0: Segons Darboux, la funció sí passa per -2 en algun punt de l'interval.
p211: 35, 133, 134
f (1)=(1−12
)·cosπ·1=0 f ( 2)=(1−22
)·cos π·2=−3
-3 < -2 < 0
Tema 2(8): Derivades
1. Definició de derivada
2. Funcions derivades
2.1 Funcions elementals
2.2 Regla de la cadena
2.3 Operacions amb derivades
3. Equacions de la recta tangent i normal a una funció
4. Derivabilitat de funcions
1. Definició de derivada
-La Taxa de variació mitjana: quant varia un interval?
TVM ([a ,b])=
f (b)− f (a)
b−a
a b
f(b)
f(a)
-La derivada: quant varia quan l'interval tendeix a 0? (punt concret)
TVM ([a ,b])=mr
a a+h
f(a+h)
f(a)
f ' (a)=lim
h→ 0
f (a+h)− f (a)
h
a
f(a)
h h→0
f ' (a)=mr
p190: E1,E2, 2 +amb fórmula
2. Funció derivada
2.1 Funcions elementals
p196: 13, 86, 87, 88 no def, E11, 15, 16
2.2 Regla de la
cadena
2. Funció derivada
2.3 Operacions amb derivades
p195: 11, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102...120
[ f (x)+g(x)]'= f ' (x)+g ' (x)
[k·f (x)]'=k·f ' (x)
[ f (x)· g(x)]'= f ' (x)· g(x)+ f (x)· g ' (x)
[
f (x)
g(x)
]'=
f ' (x)· g(x)− f (x)· g ' ( x)
[ g(x)]2
[(g ο f )(x)]'=g ' ( f (x))· f ' (x)
3. Equacions de la recta normal i tangent a una funció
-Equacions de la recta
Vectorial: (x,y) = (a, b) + t·(v1
,v2
)
Paramètriques: x = a + t·v1
y = b + t·v2
Contínua:
General: Ax + By + C = 0
Punt-pendent: y - b = m · (x - a)
Explícita: y = m·x + n
p191: 3 i 4 (t i n), 39, 41, 43, 45, 47, Exercici Sele
x−a
v1
=
y−b
v2
Recta tangent a f(x) en x = a: m = f'(a) a = a b = f(a)
Recta normal a f(x) en x = a: m= -1/f'(a) a = a b = f(a)
4. Derivabilitat de funcions
-Una funció NO és derivable en:
Comprovar en x=-1 de: f (x)=
x+1
x2
+x
a) Punts de discontinuïtat
b) Punts angulosos En f(x) definida a trossos, derivada per l'esquerra
i per la dreta no són iguals en canvi d'expressió.
c) Punts de tangent vertical f ' (a)=ma=tg 90=∞
d) Punts de retrocés f ' (a)=ma=tg 90=∞
-Si una funció és derivable per a x = a, necessàriament és contínua a x = a.
I recordar que: si f'(a)>0, f(x) és creixent en x = a
si f'(a)<0, f(x) és decreixent en x = a
Tema 3(9-10): Aplicacions de la derivada
1. Estudi i representació de funcions
2. Problemes d'optimització
3. Teorema de Rolle
4. Regla de l'Hôpital per a resoldre indeterminacions 0/0
1. Estudi i representació de funcions
Repàs apartat 5. del tema 1a) Domini
Eix x: Resoldre l'equació f (x) = 0
b) Punts de tall amb els eixos
Eix y: Càlcul de f (0)
Verticals en x = c quan:
c) Asímptotes
Horitzontals en y = k quan:
lim
x →c
f (x)=∞
lim
x →±∞
f (x)=k
Obliqües en y = mx + n quan: lim
x →∞
f (x)
x
=m=0
lim
x →∞
[ f (x)−mx]=n
Si f'(a) > 0 creix, si f'(a) < 0 decreix
d) Monotonia (creix o decreix)
e) Curvatura (còncau o convex)
Si f'(a) = 0 màx o mín Si f''(a) < 0 Màxim
Si f''(a) > 0 Mínim
Si f''(a) > 0 és còncava, si f''(a) < 0 és convexa
Si f''(a) = 0 és punt d'inflexió
Exemples: Polinòmica, Racional, Radical, Exponencial, Logarítmica, a trossos
p.247: 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30 i 31 [una cada un, full a part]
2. Problemes d'optimització
Objectiu: interpretar les funcions donades / construïdes
a) Problemes amb la funció donada
1r: Fer derivada
2n: Igualar a 0 (on hi haurà màxim o mínim)
f ' (t)=10−2t
10−2t=0;t=5mesos
3r: Amb derivada 2a mirar si màx o mín
f ' ' (t)=−2
Ex pàg 218: Benefici empresa s'expressa com f(t)=10t-t2
t: temps en mesos
En quin moment és el màxim benefici?
Negatiu, per tant màxim.
El màxim benefici és al cap de 5 mesos p218 E3, 13, 14
b) Problemes en què cal construir la funció
1r: Expressar funció
2n: Utilitzar condició per tenir només una variable (f(x))
f (x , y)=x2
+2y
x· y=125
3r: Seguir amb el procés anterior
f ' (x)=2x−
250
x2
Ex pàg 219: Trobar 2 nombres el producte dels quals és 125, de tal
manera que el valor del quadrat del primer més el doble del segon
sigui mínim
condició
Els nombres són el 5 i el 25.
p219 E4, 15, 16, 67-82
funció
y=
125
x
f (x)=x
2
+2·
125
x
2x−
250
x
2
=0; x=5
f ' ' (x)=2−
500
x3
f ' ' (5)=6>0
3. Teorema de Rolle
Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], derivable en tot l'interval (a,b),
i f(a) = f(b), podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un
punt c pel qual f'(c) = 0, és a dir, un punt màxim o mínim.
Michel Rolle
"per força la funció ha de fer un retorn"
p220 Ex, 17, 18, 83, 84, 85, 87, 88
4. Regla de l'Hôpital
Sempre i quan f(c) = 0, g(c) = 0, i g'(c) # 0.
p223 Altre ex, 23, 24, 104, 105, 106, 107
lim
x →c
f (x)
g (x)
=lim
x→c
f ' (x)
g ' (x)
lim
x →−1
x2
+4x+3
x
3
+1
=
0
0
Exemple:
lim
x →−1
x2
+4x+3
x
3
+1
= lim
x →−1
2x+4
3x
2
=
2
3
f ' (x)=2x+4
g ' (x)=3x2
Tema 4(11): Integrals indefinides
1. Concepte de primitiva i d'integral
2. Integrals de funcions elementals
3. Mètodes d'integració
3.1 Integració per parts
3.2 Integrals de funcions racionals
3.3 Integració per canvi de variable
1. Concepte de primitiva i d'integral
F(x) és primitiva de f(x) si F'(x) = f(x)
∫ f (x)dx=F (x)+k
f(x)=x2, f(x)=x+4, f(x)=sinx + 1/x, p266 1 i 2
La integral d'una funció és el conjunt de totes les seves primitives
diferencial d'x
constant d'integració
f(x) = 2x F(x) = x2
F(x) = x2
+ k
Propietats: ∫[ f (x)±g (x)]dx=∫ f (x)dx±∫g(x)dx
∫[k · f (x)]dx=k ·∫ f (x)dx p267 3
2. Integrals de funcions elementals
∫c dx=cx+k
"Truquillu" del factor numèric:
Petits exemples + E7abcd, 5
∫x
n
dx=
xn+1
n+1
+k
∫ f (x)n
· f ' (x)dx=
f (x)n+1
n+1
+k
E7ef, 6c
∫(3x4
−2)3
x3
dx=
"Em falta un 12!!"
1
12
∫(3x4
−2)3
12x3
dx
E8, 6ab, 7, 8, 51deures
per n=-1
∫ 1
x
dx=ln∣x∣+k
p270: E9, saber fer, 9, 10
per n=-1
∫ f '(x)
f (x)
dx=ln∣f (x)∣+k
∫a
x
dx=
ax
ln a
+k
∫e
x
dx=e
x
+k
∫a f (x)
· f ' (x)dx=
a f (x)
ln a
+k
∫e f ( x)
· f ' (x)dx=e f (x)
+k
p271: E10, 11,12
∫sin x dx=−cos x+k
p272: E11, 13, 14
∫sin f (x)· f ' (x)dx=−cos f (x)+k
∫cos x dx=sin x+k ∫cos f (x)· f ' (x)dx=sin f (x)+k
∫(1+tg2
x)dx=tg x+k ∫(1+tg2
f (x))· f ' (x)dx=tg f (x)+k
∫ 1
cos
2
x
dx=tg x+k ∫ 1
cos
2
f (x)
· f ' (x)dx=tg f (x)+k
52, 53, 54, 55, 57
3. Mètodes d'integració
3.1 Integració per parts
∫u(x)·v' (x)dx=
[u(x)·v(x)]'=u' (x)·v(x)+u(x)·v '(x)
Polinomi
ln
ex
sin x
cos x
(fàcils d'integrar)
u(x)·v(x)−∫v(x)·u' (x)dx
Pels amics,
∫u·dv=u ·v−∫v ·du
Demostració:
u(x)·v(x)=∫u' (x)·v(x)dx+∫u(x)·v '(x)dx
Integro
∫u(x)·v' (x)dx=u(x)·v(x)−∫v(x)·u'(x)dx
∫2x ·e
x
dx=
u dv
u=2x
Exemple 1:
d
dv=ex
dx i
du=2dx
v=ex
2x·e
x
−∫e
x
·2dx= 2x·ex
−2ex
+k=
=2ex
(x−1)+k
int(x2+1)sinx, int x2lnxdx entre tots
∫ln x dx=
u dv
u=ln x
Exemple 4:
d
dv=1dx i
du=
1
x
dx
v=x
x ·ln x−∫x·
1
x
dx= x ·ln x−x+k
17a entre tots (2), 17b, 18, 69
3. Mètodes d'integració
3.2 Integració de funcions racionals
P(x)
Q(x)
=
A
x−a
+
B
x−b
+...+
N
x−n
Grau numerador >= Grau denominador
Grau numerador < Grau denominador
Fer la divisió
1r pas: Factoritzar denominador (Ruffini/Eq 2n g)
Exemple:
∫ 2x+1
x
2
−5x+4
dx
x
2
−5x+4=(x−4)(x−1)
Exemples meus (x3+x2+x+1/x+1, x2+3x-4/x+1)
(només per arrels
simples)
2n pas: Descompondre la fracció en altres fraccions i desenvolupar expressió
2x+1
x2
−5x+4
=
A
x−4
+
B
x−1
=
A(x−1)+B(x−4)
(x−4)(x−1)
3r pas: Trobar A i B mitjançant la igualació dels numeradors
2x+1=A(x−1)+B(x−4)=Ax−A+Bx−4B
2x+1=Ax+Bx−A−4B
2x 1
A+B=2
-A-4B=1
B=-1,A=3
4t pas: Resoldre nova integral
∫ 2x+1
x2
−5x+4
dx=∫(
3
x−4
+
−1
x−1
)dx=3·ln∣x−4∣−1·ln∣x−1∣+k
2x+1/x2-3x+2, 1/x2+2x-3, 19, 80, x2-x+1/x2-3x+2
3. Mètodes d'integració
3.3 Integració per canvi de variable
∫ 1
x·ln x
dx=
29, 30ab, 88, 89
t=ln x d dt=
1
x
dx
∫ 1
ln x
·
1
x
dx=∫1
t
dt= ln∣t∣+k=ln∣ln x∣+k
∫ x
√1+3x2
dx=
t=1+3x2 d dt=6x dx
1
6
∫ 1
√1+3x2
·6x dx=
1
6
∫ 1
√t
dt= √t
3
+k=
=
√1+3x2
3
+k
Tema 5(12): Integrals definides
1. Àrea sota una corba
2. La integral definida. Propietats
3. Càlcul d'integrals definides: la Regla de Barrow
4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
1. Àrea sota una corba
Aproximació per defecte:
x2/2+1 [0,3], p294 1
a b
y = f(x) contínua i positiva
x0
x1
x2
x3
x4
Àrea
Ad
= f (x0
) · (x1
- x0
) +...+ f (x3
) · (x4
- x3
)
Aproximació per excés:
Ae
= f (x1
) · (x1
- x0
) +...+ f (x4
) · (x4
- x3
)
Ad < Areal < Ae
Com més particions, més aproximació a l'àrea real
Puc fer mitjana
2. La integral definida. Propietats
Areal=lim
n →∞
Ad =lim
n →∞
Ae
Propietats:
n = número de particions
Areal=lim
n →∞
∑
i=1
n
f (xi)·(xi−xi−1)=∫
a
b
f (x)·dx
“La integral definida de f a l'interval [a, b]”
∫
a
a
f (x)dx=0
∫
a
b
f (x)dx=−∫
b
a
f (x)dx
Propietats:
∫
a
a
f (x)dx=0
∫
a
b
f (x)dx=−∫
b
a
f (x)dx
∫
a
b
k · f (x)dx=k ·∫
a
b
f (x)dx
∫
a
b
[ f (x)±g(x)]dx=∫
a
b
f (x)dx±∫
a
b
g(x)dx
∫
a
b
f (x)dx=∫
a
c
f (x)dx+∫
c
b
f (x)dx
3. Càlcul d'integrals definides: la regla de Barrow
essent F(x) una primitiva de f(x)
∫
a
b
f (x)·dx=[F (x)]a
b
=F (b)−F (a)
∫0
3
(x
2
2
+1)dx=
Isaac Barrow, 1630-1677
Teòleg i matemàtic anglès,
mestre de Newton.
Exemple altre dia:
[x
3
6
+x]0
3
=
=[3
3
6
+3]−[0
3
6
+0]=
27
6
+3=
15
2
=7,5u.a.
14, 15, sf, 16, 17, 61
4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
A=∫
a
b
f (x)·dx
4.1 Entre una corba, l'eix x i dues rectes verticals:
18,19,sf,20,21,79
A=
∣∫
a
b
f (x)·dx
∣
A=
∣∫
a
c
f (x)·dx
∣+
∣∫
c
b
f (x)·dx
∣
A
A
A1
A2
ba
f(x)>0
f(x)<0
ba
b
a
c
4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
A=∫
a
b
( f (x)−g(x))·dx
4.2 Entre dues corbes o dues funcions:
A
ba
f(x)
g(x)
Passos a seguir:
a) Punts de tall (a i b) mitjançant la resolució de l'equació f(x) = g(x)
b) Càlcul de f(x) - g(x)
c) Planteig de la integral definida de (f – g)(x) en l'interval [a,b]
sf, 22, 23, Ep305, Op sele 10, 24, 25, 116, 118, 120
4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
V =π·∫a
b
[ f (x)]2
dx
4.3 Volum d'un cos de revolució:
ba
f(x)
Barres
Calcula el volum generat per la funció f(x)=x3
+1 en girar entorn
l'eix Ox en l'interval [0,2]
Extra!
Cilindres
V =∑
i=1
n
V cilindre
V cilindre=r
2
·π·h
f(x) dx
Tema 6.1 (1): Matrius
1. Nomenclatura i classificació
2. Operacions amb matrius
3. El rang d'una matriu
4. Matrius inverses
5. Equacions matricials
1. Nomenclatura i classificació
p10 1,2,3,4,5
element
Matrius iguals: mateixa dimensió i elements coincidents.
(
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
) columna
fila
Dimensió: m x n
Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la,
matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular.
Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu
triangular inferior, matriu diagonal, matriu identitat o unitat (I).
p12 6,7,8,9
Matriu transposada At
: S'obté de canviar les files per les columnes.
Si A = (aij
), aleshores At
= (aji
)
p13 E6,10
Només en les matrius quadrades:
-Matrius simètriques: A = At
, per tant aij
= aji
-Matrius antisimètriques: -A = At
, per tant -aij
= aji
A=
(
a m n
m b v
n v c)
A=
(
a m n
−m b v
−n −v c)p13 E7 i 11
2. Operacions amb matrius
p14 E8, E9, 12, 13 i 14
Suma i resta: A + B = C, essent cij
= aij
+ bij
Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent cij
= k · aij
Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna:
(a11 a12 ... a1n )·
(
b11
b21
...
bn1
)=a11 ·b11+a12 ·b21+...+a1n ·bn1
p15E10,E11,15i16
(
b11
b21
...
bm1
)·(a11 a12 ... a1n )=
(
b11 ·a11 b11 ·a12 ... b11 ·a1n
b21 ·a11 b21 ·a12 ... b21 ·a1n
... ... ... ...
bm1·a11 bm1·a12 ... bm1·a1n
)
“El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)”
2. Operacions amb matrius
Multiplicació de dues matrius:
p16 17, 18, 19, E12, 20
full a part: 44,45,46,49,51,52,54,60,61
(c11 c12
c21 c22
)
-Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes
de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona.
-La resultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la
segona.
-Atenció: en general, NO es presenta la propietat commutativa.
(5 −3 4
0 1 2)·
(
4 2
0 5
1 3)=
c11=5· 4+(−3)·0+4·1=24
c21=0·4+1·0+2·1=2
c12=5· 2+(−3)·5+4·3=7
c22=0·2+1·5+2·3=11
=(24 7
2 11)
3. El rang d'una matriu
El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment
independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes.
A=(5 −3 4
10 −6 8)
Exemples:
B=(−4 −4 0
0 3 −3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2
C=
(
2 0 3 −4
3 −5 2 3
8 −10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3
No és immediat! MÈTODE DE GAUSS
Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota
la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les.
Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu:
A=
(
0 −2 2 4
2 −1 −1 1
2 −2 0 3)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila
F3 – F1(
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
2 −2 0 3) (
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
0 −1 1 2)Canvi
fila
2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files
(
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
0 0 0 0)2F3 – F2
Rang(A) = 22 files no nul·les
p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
4. Matrius inverses
Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius
quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en què
sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars.
A· A−1
=In
-Propietats:
A−1
· A=I n
(A−1
)−1
=A
(A· B)−1
=B−1
· A−1
(At
)−1
=(A−1
)t
p20 E16, 25!, 26, 27
4. Matrius inverses
Trobar la matriu inversa: el mètode de Gauss-Jordan.
A=
(
2 −1 2
4 −3 −1
−6 4 −2) (
2 −1 2 1 0 0
4 −3 −1 0 1 0
−6 4 −2 0 0 1)
(
2 −1 2 1 0 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 1 4 3 0 1)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
(a11=0)
F2 – 2F1
(
2 0 7 3 −1 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 0 −1 1 1 1)F3 + F2
F1 – F2
(
2 0 0 10 6 7
0 −1 0 −7 −4 −5
0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3
F1 + 7F3
(
2 −1 2 1 0 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 1 4 3 0 1)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
F2 – 2F1
(
2 0 7 3 −1 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 0 −1 1 1 1)F3 + F2
F1 – F2
(
2 0 0 10 6 7
0 −1 0 −7 −4 −5
0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3
F1 + 7F3
2n pas: Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la
matriu identitat.
(
1 0 0 5 3 7/2
0 1 0 7 4 5
0 0 1 −1 −1 −1 )- F2
1/2F1
- F3
p21 28, 29
5. Equacions matricials
a) Tipus AX = B
AX =B
Identitat
A
−1
· AX =A
−1
· B X =A
−1
· B
b) Tipus XA = B
XA=B
Identitat
XA· A
−1
=B· A
−1
X =B· A
−1
c) Tipus AX + B = C
AX +B=C
Identitat
A−1
· AX =A−1
·(C−B)
X =A−1
·(C−B)
AX =C−B
p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10
Tema 6.2 (2): Determinants
1. Càlcul de determinants de mtrius quadrades
1.1 D'ordre 2 i 3: Regla de Sarrus
1.2 D'ordre superior a 3: Propietats dels determinants
1.3 De qualsevol ordre: Menors i adjunts
2. Càlcul del rang d'una matriu
3. Càlcul de la inversa d'una matriu
1. Càlcul de determinants
Exemples ràpids
1.1 D'ordre 2 i 3: La regla de Sarrus
A=
(a11 a12
a21 a22
) ∣A∣=
∣a11 a12
a21 a22
∣=a11 ·a22−a12 ·a21
A=
(
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
) ∣A∣=
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣=a11 ·a22 ·a33+a12 ·a23 ·a31
+a21 ·a32 ·a13−a13 ·a22 ·a31−a12·a21 ·a33−a23·a32 ·a11
p36 1 i 2, 34-42
1. Càlcul de determinants
Exemple ordre 3
1.2 D'ordre superior a 3: Propietats dels determinants (9)
∣
k ·a11 k ·a12 k ·a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣=k ·∣A∣
Exemple ordre 3
1a) |A| = |At
|
2a) Si en una matriu quadrada intercanviem dues files, o dues
columnes, el determinant canvïa de signe.
Exemple ordre 3
3a) Si multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una
mateixa fila, o columna, el seu determinant queda multiplicat per
aquest nombre.
Atenció!: |k·A| = kn
· |A| Exemple ordre 3 p37 3 i 4
Exemple ordre 3
Exemples ordre 3
4a) Si té una fila o columna de 0's, el determinant és 0.
5a) Si a una fila o columna li sumem* una combinació lineal de les
altres, el determinant no varia.
*no val multiplicar la fila que variem, pq sinó multiplicaríem també el valor del
determinant (prop. 3)
Exemple ordre 3+ exemple per propietats
6a) Si té dues files o dues columnes iguals o proporcionals, el
determinant és 0.
p38, 5 i 6 (per triangularització i per Sarrus)
Exemple ordre 3
Exemples ordre 3
7a) Si té una fila o columna que és combinació lineal de les altres,
el determinant és 0.
8a) Un determinant es pot descomposar en la suma d'uns altres
dos determinants separant una fila o columna en dos sumands.
Exemple ordre 3
9a) |A · B| = |A| · |B|
p39, E4, 7 i 8
Determinant d'una matriu qualsevol: mitjançant les propietats,
triangularitzar-la per tal que el valor del determinant sigui el
producte dels elements de la diagonal.
p40 SF, 9 // 44, 45
1.3 De qualsevol ordre: menors i adjunts
A=
(
1 2 1
−3 3 0
−2 4 1)
-Menor complementari d'un element: és el determinant de la matriu
resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element.
p41 E5, 11
α21=
∣2 1
4 1∣=−2
A=
(
1 2 1
−3 3 0
−2 4 1)
-Adjunt d'un element: és el determinant de la matriu resultant
d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element, amb el
signe canviat segons si “i + j” és parell o senar.
p41 E6, 12
A21= (−1)2+1
·∣2 1
4 1∣=−1·(−2)=2
p42 E7, 13 i 14
Determinant d'una matriu qualsevol: És igual a la suma dels
productes dels elements d'una fila o columna qualsevol pels
seus adjunts corresponents.
2. Càlcul del rang d'una matriu
A=
(
1 0 −2 3
4 1 2 2
−5 −2 3 1)
El rang d'una matriu coincideix amb l'ordre del menor més gran
diferent de zero de la matriu.
Exemple:
1r pas: Buscar un menor d'ordre 2 diferent de 0
p44 18, 19, 20, 78
A=
(
1 0 −2 3
4 1 2 2
−5 −2 3 1) |1 0
4 1|=1 ≠ 0 Rang ≥ 2
2n pas: Buscar un menor d'ordre 3 diferent de 0
∣
1 0 −2
4 1 2
−5 −2 3 ∣=13 ≠ 0 Rang = 3
3. Càlcul de la inversa d'una matriu
Matriu dels adjunts:
Ex d'ordre 3, 21
A−1
=
1
∣A∣
· Adj(A)t
A=
(
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
) Adj(A)=
(
A11 A12 ... A1n
A21 A22 ... A2n
... ... ... ...
Am1 Am2 ... Amn
)
Matriu inversa:
p47, SF, 23, examen anterior amb nous mètodes
Tema 7 (3): Sistemes d'equacions
1. Introducció
2. Resolució per equació matricial simple
3. Resolució per Gauss
4. Teorema de Rouché-Fröbenius
5. Regla de Cramer
6. Sistemes homogenis
7. Resolució de sistemes amb paràmetres
1. Introducció
a11 x+a12 y+a13 z=b1
A=
(
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
)
p62 E4, 5, 6, 50, 51, 52
a21 x+a22 y+a23 z=b2
a31 x+a32 y+a33 z=b3
Sist. incompatible (0 solucions)
Sist. compatible determinat (1 sol.)
Sistema compatible indeterminat (∞ sol.)
2. Resolució per equació matricial simple
X =
(
x
y
z ) B=
(
b1
b2
b3
) (
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
)·
(
x
y
z)=
(
b1
b2
b3
)
A· X =B ; X =A−1
· B
3. Resolució per Gauss
a11 x+a12 y+a13 z=b1
(
a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
)
p63 SF, 7, 8, 40
a21 x+a22 y+a23 z=b2
a31 x+a32 y+a33 z=b3
Matriu ampliada (A*)
(
a11 a12 a13 b1
0 a22 a23 b2
0 0 a33 b3
)
a11 x+a12 y+a13 z=b1
a22 y+a23 z=b2
a33 z=b3
Discussió de sistemes:
-Si acabem 0 0 0 0: SCI (més incògnites que equacions)
-Si acabem 0 0 2 4: SCD
-Si acabem 0 0 0 -2: SI
9, 10
4. Teorema de Rouché-Fröbenius
p66 SF, 13, 14, 15, 16
-Si Rang (A) ≠ Rang (A*): Sistema Incompatible
-Si Rang (A) = Rang (A*): Sistema Compatible
-si aquest Rang = núm. incògnites, SCD
-si aquest Rang < núm. incògnites, SCI
5. Regla de Cramer
Es pot utilitzar quan: núm. equacions = núm. incògnites
determinant de la matriu de coeficients ≠ 0
Si tenim x, y i z en un sistema de tres equacions,
x=
∣Ax∣
∣A∣
y=
∣Ay∣
∣A∣
z=
∣Az∣
∣A∣
essent Ax
la matriu obtinguda de substituir en A la columna dels coeficients x per la
columna dels termes independents, Ay
bla bla i Az
bla bla bla.
p69 SF, 19, 8a, 7b, el de l'examen
La regla de Cramer per a SCI:
S'obvïa la tercera equació, i en les dues primeres la “z”, que ara és “λ”, es
passa a fer companyia als termes independents.
3x+ y−z=2
−2x+ y−z=1
x+2y−2z=3
-Rang(A) = 2
-Rang(A*) = 2
2 < núm incòg.
SCI
3x+ y=2+λ
−2x+ y=1+λ
∣A∣=∣3 1
−2 1∣=5
∣Ax∣=∣2+λ 1
1+λ 1∣=2+λ−1−λ=1
∣Ay∣=∣3 2+λ
−2 1+λ∣=3+3λ+4+2λ=5λ+7
x=
1
5
y=λ+
7
5
z=λ
21
6. Sistemes homogenis
p71 SF, 23, 55c i d
Un sistema homogeni és aquell en el què tots els termes independents
són zeros.
a11 x+a12 y+a13 z=0
a21 x+a22 y+a23 z=0
a31 x+a32 y+a33 z=0
Sempre és compatible, ja que Rg(A) = Rg(A*)
Una de les solucions sempre és trivial:
x = 0, y = 0, z = 0
Si Rang = núm. incògnites, la solució és la
trivial; si Rang < núm. incògnites, és un SCI.
7. Sistemes amb paràmetres
Per discutir-lo, es farà ús de Rouché-Fröbenius, i per resoldre'l, de
Cramer (Atenció!!: λ no té per què ser z).
p72-3 SF, 25, 26, 27, 28
op sele 10, 53, 54, 55, 56, 57,58
Tema 8 (4): Geometria a l'espai
1. Introducció/recordatori vectors
2. Producte escalar
3. Producte vectorial
1. Introducció-recordatori vectors
⃗v=(v1, v2, v3)
A=
(
v1 v2 v3
u1 u2 u3
w1 w2 w3
)
1, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Concepte de mòdul, direcció i sentit, suma i resta geomètrica, multiplicació
per un nombre, linealment dependents (proporcionals) o independents,
suma i resta per coordenades, punt mitjà d'un segment.
Si Rang(A)=núm.files → Linealment indep.
u1
v1
=
u2
v2
=
u3
v3
∣⃗v∣=√v1
2
+v2
2
+v3
2
-Vectors linealment independents? Matrius!
Si Rang(A)<núm.files → Linealment dep.
-Vectors paral·lels? -A, B i C alineats?
⃗AB ésl.d.de ⃗BC ?
10, 11, 57, 61
2. Producte escalar
⃗u·⃗v=∣⃗u∣·∣⃗v∣·cosα
p92 E8, 12
Propietats:
⃗v ·⃗v=∣⃗v∣·∣⃗v∣·cos0=∣⃗v∣
2
⃗u·⃗v=⃗v ·⃗u
⃗u·(⃗v+⃗w)=⃗u·⃗v+⃗u· ⃗w
⃗u·⃗v=∣⃗u∣·∣⃗v∣·cos90=0
Per ell mateix, mòdul al quadrat
Commutativa
Distributiva
Entre perpendiculars igual a 0
⃗u·⃗v=u1·v1+u2·v2+u3·v3
p93 E10, 14
cosα=
⃗u·⃗v
∣⃗u∣·∣⃗v∣
=
u1·v1+u2·v2+u3·v3
√u1
2
+u2
2
+u3
2
·√v1
2
+v2
2
+v3
2
Càlcul de l'angle entre dos vectors:
p94 E11, 16
(té per resultat un nombre)
3. Producte vectorial
∣⃗u x⃗v∣=∣⃗u∣·∣⃗v∣·sin α p96 20, 21
Propietats:
∣⃗u x⃗u∣=∣⃗u∣·∣⃗u∣·sin 0=0
⃗u x⃗v=−⃗v x⃗u
⃗u x(⃗v+⃗w)=⃗u x ⃗v+⃗u x ⃗w
Per ell mateix o entre paral·lels, igual a 0
Anticommutativa (tirabuixó!)
Distributiva
(té per resultat un vector ┴, sentit s. tirabuixó)
⃗u x⃗v=
∣
⃗i ⃗j ⃗k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣=
∣u2 u3
v2 v3
∣·⃗i +
∣u3 u1
v3 v1
∣·⃗j+
∣u1 u2
v1 v2
∣·⃗k
Per coordenades:
⃗u x⃗v=
(∣u2 u3
v2 v3
∣,
∣u3 u1
v3 v1
∣,
∣u1 u2
v1 v2
∣) p97 E13, 23
Tema 9 (5-6): Geometria a l'espai
1. Equacions de la recta a l'espai
2. Equacions del pla a l'espai
3. Posicions relatives
3.1 Entre recta i pla
3.2 Entre dos plans
3.3 Entre dues rectes
4. Angles a l'espai
5. Projeccions ortogonals
6. Simetries
7. Distàncies
1. Equacions de la recta
Per definir una recta necessitem: -un vector director (direcció)
-un punt de pas.
Equació vectorial de la recta
A(a,b,c)
P(x,y,z)
Equacions paramètriques de la recta
Equació contínua de la recta
⃗vr
(x , y , z)=(a ,b ,c)+t ·(v1, v2, v3)
x=a+t ·v1
y=b+t ·v2
z=c+t · v3
x−a
v1
=
y−b
v2
=
z−c
v3
Equacions implícites o cartesianes
p113 E1, SF, 3, 4, 5
x−a
v1
=
y−b
v2
x−a
v1
=
z−c
v3
v2(x−a)=v1( y−b)
v3(x−a)=v1(z−c)
v2 x−v1 y−v2 a+v1 b=0
v3 x−v1 z−v3 a+v1 c=0
Ax+By+Cz+D=0
Ex+Fy+Gz+H =0
2. Equacions del pla
Per definir un pla necessitem: -dos vectors directors l.i.
-un punt de pas.
Equació vectorial del pla
A(a,b,c)
P(x,y,z)
Equacions paramètriques del pla
⃗u
⃗v
(x , y , z)=(a ,b ,c)+λ ·(v1, v2, v3)+μ·(u1, u2, u3)
x=a+v1 ·λ+u1 ·μ
y=b+v2 ·λ+u2 ·μ
z=c+v3 · λ+u3 ·μ
-Vector AP depèn linealment de v i u (v + u = AP)
-Les coordenades de AP seran (x – a, y – b, z – c)
-La matriu formada per les coordenades dels tres vectors serà de
rang = 2. Per tant, el seu determinant serà igual a 0.
A(a,b,c)
P(x,y,z)
Equació general del pla
p114 E2, SF, 6, 7, 8, 9, 10, 11
45, 46, 47, 48, 49, 50, 54, 55
12, 13, 14, 15, 57, 58
⃗u
⃗v
∣
x−a y−b z−c
v1 v2 v3
u1 u2 u3
∣=0 Ax+By+Cz+D=0
-Vector normal a un pla:
p117 SF, 16, 17, operació sele10, 60, 61, 62, 63, 65, 69
-Vector director d'una recta definida per dos plans:
⃗nπ=(A , B ,C)
Ax+By+Cz+D=0
A1 x+B1 y+C1 z+D1=0
A2 x+B2 y+C2 z+D2=0
⃗n1
⃗n2
⃗vr
⃗vr=⃗n1 x ⃗n2=
∣
i j k
A1 B1 C1
A2 B2 c2
∣
3. Posicions relatives
3.1 Entre recta i pla
-Possibilitats: Secants, Paral·lels, Recta continguda al pla.
-Mètode: Estudiar el Sistema format per les equacions de recta i pla.
-Si Rang(M) = 3, tb Rang(M*) = 3, tenim SCD (1 punt) Secants
-Si Rang(M) = 2, i Rang(M*) = 3, tenim SI (0 punts) Paral·lels
-Si Rang(M) = 2, i Rang(M*) = 2, tenim SCI (ᴂ punts) R. c. al p.
p118 SF, 18, 19, p124 SF, SF, 30, 31
a1 x+b1 y+c1 z+d1=0
a2 x+b2 y+c2 z+d2=0
Ax+By+Cz+D=0
M=
(
A B C
a1 b1 c1
a2 b2 c2
) M A=
(
A B C D
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
)
3.2 Entre dos plans
-Possibilitats: Coincidents, Secants, Paral·lels.
-Mètode: Estudiar el Sistema format per les equacions dels dos plans.
-Si Rang(M) = 1, i Rang(M*) = 1, tenim SCI (ᴂ punts) Coincidents
-Si Rang(M) = 2, tb Rang(M*) = 2, tenim SCI (ᴂ punts) Secants
-Si Rang(M) = 1, i Rang(M*) = 2, tenim SI (0 punts) Paral·lels
p119 SF, 20 i 21
*Tenim 3 incògnites, > 2 equacions, mai serà SCD (1 sol punt)
A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 A2 x+B2 y+C2 z+D2=0
M=
(A1 B1 C1
A2 B2 C2
) M A=
(A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
)
3.3 Entre dues rectes
-Possibilitats: Coincidents, Secants, Paral·leles, S'encreuen.
-Mètode: Estudiar la matriu formada pels dos vectors directors i la
matriu formada per aquests i el vector d'una recta a una altra.
Coincidents
Rang(M) = 1
Secants
Paral·leles
M =
(u1 u2 u3
v1 v2 v3
)
⃗vr ⃗vs
⃗PQ
M A=
(
u1 u2 u3
v1 v2 v3
a b c
)
Rang(M) = 2
Rang(M*) = 1
Rang(M*) = 2
Rang(M*) = 2
Rang(M*) = 3 S'encreuen
Mateix pla
p122 SF, 26, 27, 28 i 29
74, 75, 76, 77, 78,79, 81,82,...
4. Angles a l'espai
-Entre dues rectes: el format pels respectius vectors directors.
-Entre recta i pla: el complementari (90 – α) format per vr
i nπ
.
-Entre dos plans: el format pels respectius vectors normals.
p138 SF, SF 1, 2, 3 i 4
cosα=
∣⃗u·⃗v∣
∣⃗u∣·∣⃗v∣
Valor absolut
5. Projeccions ortogonals
a) D'un punt sobre una recta:
p140 SF1, 5
⃗n=⃗vr , P(a ,b ,c)→π: Ax+By+Cz+D=0
P
P' r
1r: Trobo l'equació del pla ┴ a r i que passa per P.
2n: P' és intersecció entre π i r. (Resoldre sistema)
a1 x+b1 y+c1 z+d1=0
a2 x+b2 y+c2 z+d2=0
Ax+By+Cz+D=0
b) D'un punt sobre un pla:
p140 SF2, 6
⃗vr=⃗n , P(a ,b ,c)→r :
a1 x+b1 y+c1 z+d1=0
a2 x+b2 y+c2 z+d2=0
P
P'
r
1r: Trobo l'equació de la recta ┴ a π que passa per P.
2n: P' és intersecció entre π i r. (Resoldre sistema)
a1 x+b1 y+c1 z+d1=0
a2 x+b2 y+c2 z+d2=0
Ax+By+Cz+D=0
π
6. Simetries
-P'(a, b, c) d'un punt P respecte un punt Q:
p142 SF, 9
(q1, q2, q3)=(p1+a
2
,
p2+b
2
,
p3+c
2 )
Q és punt mig del segment PP', per tant:
Només caldrà trobar a, b i c resolent les equacions
-P' d'un punt P respecte una recta r:
p142 SF, 10
Ídem, però en aquest cas Q és la proj ortogonal de P sobre r:
a) Buscar pla ┴ a r que passa per P
b) Trobar punt Q d'intersecció entre pla i recta
c) Trobar P' respecte Q
-P' d'un punt P respecte un pla π:
p143 SF, 11
Ídem, però en aquest cas Q és la proj ortogonal de P sobre π:
a) Buscar recta r ┴ a π que passa per P
b) Trobar punt Q d'intersecció entre recta i pla
c) Trobar P' respecte Q
7. Distàncies
-Entre dos punts:
d (A, B)=∣ ⃗AB∣
-Entre un punt i un pla:
d (P ,π)=
∣Ax1+By1+Cz1+D∣
√A2
+B2
+C2
(Si demanen entre dos plans, trobo punt qualsevol d'un dels dos i aplico fórmula)
(Si demanen entre recta i pla, trobo punt qualsevol de la recta i aplico fórmula)
-Entre un punt i una recta:
d (P ,r)=
∣⃗vr x ⃗AP∣
∣⃗vr∣
Op sele10 4 i a ser feliços!!

More Related Content

What's hot

Tema 1. camp gravitatori. exercicis resolts
Tema 1. camp gravitatori. exercicis resoltsTema 1. camp gravitatori. exercicis resolts
Tema 1. camp gravitatori. exercicis resoltslalegret
 
Expressions algebraiques
Expressions algebraiquesExpressions algebraiques
Expressions algebraiquesmbalag27
 
Reaccions de Precipitació
Reaccions de PrecipitacióReaccions de Precipitació
Reaccions de Precipitacióangelscarrera
 
Moviment harmònic simple
Moviment harmònic simpleMoviment harmònic simple
Moviment harmònic simpleLurdes Morral
 
6 Matrius 2n Batxillerat
6 Matrius 2n Batxillerat6 Matrius 2n Batxillerat
6 Matrius 2n BatxilleratAlbert Sola
 
Moviment Harmònic Simple
Moviment Harmònic SimpleMoviment Harmònic Simple
Moviment Harmònic Simplejvsirerol
 
Magnituds físiques escalars i vectorials
Magnituds físiques escalars i vectorialsMagnituds físiques escalars i vectorials
Magnituds físiques escalars i vectorialsimiquel2
 
Nombres enters 2n ESO
Nombres enters 2n ESONombres enters 2n ESO
Nombres enters 2n ESOAlbert Sola
 
El pas del mite al logos
El pas del mite al logosEl pas del mite al logos
El pas del mite al logosfilosofies
 
Les fonts històriques i la seva classificació
Les fonts històriques i la seva classificacióLes fonts històriques i la seva classificació
Les fonts històriques i la seva classificacióGemma Ajenjo Rodriguez
 
1.renaixement.característiques
1.renaixement.característiques1.renaixement.característiques
1.renaixement.característiquesjesus gutierrez
 
Equacions amb 2 incognites
Equacions amb 2 incognitesEquacions amb 2 incognites
Equacions amb 2 incognitesmbalag27
 
Tdr-Conclusions
Tdr-ConclusionsTdr-Conclusions
Tdr-Conclusionschoriol
 

What's hot (20)

Tema 1. camp gravitatori. exercicis resolts
Tema 1. camp gravitatori. exercicis resoltsTema 1. camp gravitatori. exercicis resolts
Tema 1. camp gravitatori. exercicis resolts
 
Expressions algebraiques
Expressions algebraiquesExpressions algebraiques
Expressions algebraiques
 
La reforma agraria liberal
La reforma agraria liberalLa reforma agraria liberal
La reforma agraria liberal
 
Reaccions de Precipitació
Reaccions de PrecipitacióReaccions de Precipitació
Reaccions de Precipitació
 
Moviment harmònic simple
Moviment harmònic simpleMoviment harmònic simple
Moviment harmònic simple
 
6 Matrius 2n Batxillerat
6 Matrius 2n Batxillerat6 Matrius 2n Batxillerat
6 Matrius 2n Batxillerat
 
John Locke: l'estat de naturalesa
John Locke: l'estat de naturalesaJohn Locke: l'estat de naturalesa
John Locke: l'estat de naturalesa
 
Verbs derivats
Verbs derivatsVerbs derivats
Verbs derivats
 
Moviment Harmònic Simple
Moviment Harmònic SimpleMoviment Harmònic Simple
Moviment Harmònic Simple
 
Magnituds físiques escalars i vectorials
Magnituds físiques escalars i vectorialsMagnituds físiques escalars i vectorials
Magnituds físiques escalars i vectorials
 
Camp magnètic
Camp magnèticCamp magnètic
Camp magnètic
 
Nombres enters 2n ESO
Nombres enters 2n ESONombres enters 2n ESO
Nombres enters 2n ESO
 
El pas del mite al logos
El pas del mite al logosEl pas del mite al logos
El pas del mite al logos
 
El moviment
El movimentEl moviment
El moviment
 
Les fonts històriques i la seva classificació
Les fonts històriques i la seva classificacióLes fonts històriques i la seva classificació
Les fonts històriques i la seva classificació
 
1.renaixement.característiques
1.renaixement.característiques1.renaixement.característiques
1.renaixement.característiques
 
Equacions amb 2 incognites
Equacions amb 2 incognitesEquacions amb 2 incognites
Equacions amb 2 incognites
 
Terra baixa
Terra   baixaTerra   baixa
Terra baixa
 
Tdr-Conclusions
Tdr-ConclusionsTdr-Conclusions
Tdr-Conclusions
 
Camp gravitatori
Camp gravitatoriCamp gravitatori
Camp gravitatori
 

Similar to Matemàtiques 2n de batxillerat Científic

Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíIntegrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
 
Integrals indefinides Mònica Orpí
Integrals indefinides  Mònica OrpíIntegrals indefinides  Mònica Orpí
Integrals indefinides Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
 
Deures matesccss estiu2010
Deures matesccss estiu2010Deures matesccss estiu2010
Deures matesccss estiu2010Escola Cervetó
 
Integrals indefinides
Integrals indefinidesIntegrals indefinides
Integrals indefinidesAlbert Sola
 
Integrals definides
Integrals definidesIntegrals definides
Integrals definidesAlbert Sola
 
2n Batxi Tema 3: Aplicacions de la derivada
2n Batxi Tema 3: Aplicacions de la derivada2n Batxi Tema 3: Aplicacions de la derivada
2n Batxi Tema 3: Aplicacions de la derivadaAlbert Sola
 
Expressions algebriques
Expressions algebriquesExpressions algebriques
Expressions algebriquesEVAMASO
 
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSDerivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSAlbert Sola
 
Matemàtiques 3r eso
Matemàtiques 3r esoMatemàtiques 3r eso
Matemàtiques 3r esoTecno Ponts
 
U7. Funcions i Gràfiques
U7. Funcions i GràfiquesU7. Funcions i Gràfiques
U7. Funcions i Gràfiquesordenata
 
Nombres naturals U1
Nombres naturals U1Nombres naturals U1
Nombres naturals U1mbalag27
 
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...Mònica Orpí Mañé
 
05 Equacions de 2n grau
05 Equacions de 2n grau05 Equacions de 2n grau
05 Equacions de 2n grauAlbert Sola
 
Iniciació a l’algebra
Iniciació a l’algebraIniciació a l’algebra
Iniciació a l’algebrambalag27
 
Joc derivades batx
Joc derivades batxJoc derivades batx
Joc derivades batxxaviermoron
 

Similar to Matemàtiques 2n de batxillerat Científic (20)

Ejercicios calcul
Ejercicios calculEjercicios calcul
Ejercicios calcul
 
Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíIntegrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
 
Integrals indefinides Mònica Orpí
Integrals indefinides  Mònica OrpíIntegrals indefinides  Mònica Orpí
Integrals indefinides Mònica Orpí
 
Deures matesccss estiu2010
Deures matesccss estiu2010Deures matesccss estiu2010
Deures matesccss estiu2010
 
Integrals indefinides
Integrals indefinidesIntegrals indefinides
Integrals indefinides
 
Integrals definides
Integrals definidesIntegrals definides
Integrals definides
 
2n Batxi Tema 3: Aplicacions de la derivada
2n Batxi Tema 3: Aplicacions de la derivada2n Batxi Tema 3: Aplicacions de la derivada
2n Batxi Tema 3: Aplicacions de la derivada
 
Expressions algebriques
Expressions algebriquesExpressions algebriques
Expressions algebriques
 
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSDerivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
 
Matemàtiques 3r eso
Matemàtiques 3r esoMatemàtiques 3r eso
Matemàtiques 3r eso
 
U7. Funcions i Gràfiques
U7. Funcions i GràfiquesU7. Funcions i Gràfiques
U7. Funcions i Gràfiques
 
Deures mates estiu2010
Deures mates estiu2010Deures mates estiu2010
Deures mates estiu2010
 
Nombres naturals U1
Nombres naturals U1Nombres naturals U1
Nombres naturals U1
 
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
 
05 Equacions de 2n grau
05 Equacions de 2n grau05 Equacions de 2n grau
05 Equacions de 2n grau
 
Decreixement i creixement
Decreixement i creixementDecreixement i creixement
Decreixement i creixement
 
Iniciació a l’algebra
Iniciació a l’algebraIniciació a l’algebra
Iniciació a l’algebra
 
Mat3 eq2grau-practica
Mat3 eq2grau-practicaMat3 eq2grau-practica
Mat3 eq2grau-practica
 
Anàlisi 4
Anàlisi 4Anàlisi 4
Anàlisi 4
 
Joc derivades batx
Joc derivades batxJoc derivades batx
Joc derivades batx
 

More from Albert Sola

04 Monomis i Polinomis 3r ESO
04 Monomis i Polinomis 3r ESO04 Monomis i Polinomis 3r ESO
04 Monomis i Polinomis 3r ESOAlbert Sola
 
01 i 02 Matrius i determinants
01 i 02 Matrius i determinants01 i 02 Matrius i determinants
01 i 02 Matrius i determinantsAlbert Sola
 
01 Geometria a l'espai 3r ESO
01 Geometria a l'espai 3r ESO01 Geometria a l'espai 3r ESO
01 Geometria a l'espai 3r ESOAlbert Sola
 
Matemàtiques 3r i 4t eso
Matemàtiques 3r i 4t esoMatemàtiques 3r i 4t eso
Matemàtiques 3r i 4t esoAlbert Sola
 
Polinomis 4t ESO
Polinomis 4t ESOPolinomis 4t ESO
Polinomis 4t ESOAlbert Sola
 
Geometria analítica 4t ESO
Geometria analítica 4t ESOGeometria analítica 4t ESO
Geometria analítica 4t ESOAlbert Sola
 
Trigonometria 4t ESO
Trigonometria 4t ESOTrigonometria 4t ESO
Trigonometria 4t ESOAlbert Sola
 
Els cossos geomètrics. Àrees i volums. 2n d'ESO
Els cossos geomètrics. Àrees i volums. 2n d'ESOEls cossos geomètrics. Àrees i volums. 2n d'ESO
Els cossos geomètrics. Àrees i volums. 2n d'ESOAlbert Sola
 
Tema 6: Geometria plana. Pitàgores i Tales. 2n ESO
Tema 6: Geometria plana. Pitàgores i Tales. 2n ESOTema 6: Geometria plana. Pitàgores i Tales. 2n ESO
Tema 6: Geometria plana. Pitàgores i Tales. 2n ESOAlbert Sola
 
Monomis i polinomis per 2n d'ESO
Monomis i polinomis per 2n d'ESOMonomis i polinomis per 2n d'ESO
Monomis i polinomis per 2n d'ESOAlbert Sola
 
3 Proporcionalitat i percentatges 2n ESO
3 Proporcionalitat i percentatges 2n ESO3 Proporcionalitat i percentatges 2n ESO
3 Proporcionalitat i percentatges 2n ESOAlbert Sola
 
Nombres racionals 2n ESO
Nombres racionals 2n ESONombres racionals 2n ESO
Nombres racionals 2n ESOAlbert Sola
 
Construïm la República Catalana
Construïm la República CatalanaConstruïm la República Catalana
Construïm la República CatalanaAlbert Sola
 
Equacions de 2n grau 3r ESO
Equacions de 2n grau 3r ESOEquacions de 2n grau 3r ESO
Equacions de 2n grau 3r ESOAlbert Sola
 
Sistemes d'equacions 3r ESO
Sistemes d'equacions 3r ESOSistemes d'equacions 3r ESO
Sistemes d'equacions 3r ESOAlbert Sola
 
Introducció a les funcions 2n ESO
Introducció a les funcions 2n ESOIntroducció a les funcions 2n ESO
Introducció a les funcions 2n ESOAlbert Sola
 
Àlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESO
Àlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESOÀlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESO
Àlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESOAlbert Sola
 
3 Polinomis Part 1 3r ESO
3 Polinomis Part 1 3r ESO3 Polinomis Part 1 3r ESO
3 Polinomis Part 1 3r ESOAlbert Sola
 

More from Albert Sola (20)

04 Monomis i Polinomis 3r ESO
04 Monomis i Polinomis 3r ESO04 Monomis i Polinomis 3r ESO
04 Monomis i Polinomis 3r ESO
 
01 i 02 Matrius i determinants
01 i 02 Matrius i determinants01 i 02 Matrius i determinants
01 i 02 Matrius i determinants
 
01 Geometria a l'espai 3r ESO
01 Geometria a l'espai 3r ESO01 Geometria a l'espai 3r ESO
01 Geometria a l'espai 3r ESO
 
Matemàtiques 3r i 4t eso
Matemàtiques 3r i 4t esoMatemàtiques 3r i 4t eso
Matemàtiques 3r i 4t eso
 
Polinomis 4t ESO
Polinomis 4t ESOPolinomis 4t ESO
Polinomis 4t ESO
 
Geometria analítica 4t ESO
Geometria analítica 4t ESOGeometria analítica 4t ESO
Geometria analítica 4t ESO
 
Trigonometria 4t ESO
Trigonometria 4t ESOTrigonometria 4t ESO
Trigonometria 4t ESO
 
Funcions
FuncionsFuncions
Funcions
 
Estadística
EstadísticaEstadística
Estadística
 
Els cossos geomètrics. Àrees i volums. 2n d'ESO
Els cossos geomètrics. Àrees i volums. 2n d'ESOEls cossos geomètrics. Àrees i volums. 2n d'ESO
Els cossos geomètrics. Àrees i volums. 2n d'ESO
 
Tema 6: Geometria plana. Pitàgores i Tales. 2n ESO
Tema 6: Geometria plana. Pitàgores i Tales. 2n ESOTema 6: Geometria plana. Pitàgores i Tales. 2n ESO
Tema 6: Geometria plana. Pitàgores i Tales. 2n ESO
 
Monomis i polinomis per 2n d'ESO
Monomis i polinomis per 2n d'ESOMonomis i polinomis per 2n d'ESO
Monomis i polinomis per 2n d'ESO
 
3 Proporcionalitat i percentatges 2n ESO
3 Proporcionalitat i percentatges 2n ESO3 Proporcionalitat i percentatges 2n ESO
3 Proporcionalitat i percentatges 2n ESO
 
Nombres racionals 2n ESO
Nombres racionals 2n ESONombres racionals 2n ESO
Nombres racionals 2n ESO
 
Construïm la República Catalana
Construïm la República CatalanaConstruïm la República Catalana
Construïm la República Catalana
 
Equacions de 2n grau 3r ESO
Equacions de 2n grau 3r ESOEquacions de 2n grau 3r ESO
Equacions de 2n grau 3r ESO
 
Sistemes d'equacions 3r ESO
Sistemes d'equacions 3r ESOSistemes d'equacions 3r ESO
Sistemes d'equacions 3r ESO
 
Introducció a les funcions 2n ESO
Introducció a les funcions 2n ESOIntroducció a les funcions 2n ESO
Introducció a les funcions 2n ESO
 
Àlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESO
Àlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESOÀlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESO
Àlgebra i Equacions de 1r Grau 2n ESO
 
3 Polinomis Part 1 3r ESO
3 Polinomis Part 1 3r ESO3 Polinomis Part 1 3r ESO
3 Polinomis Part 1 3r ESO
 

Recently uploaded

II BLOC ACTIVITATS APP INVENTOR PROGRAMACIO I DIGITALITZACIÓ
II BLOC ACTIVITATS APP INVENTOR PROGRAMACIO I DIGITALITZACIÓII BLOC ACTIVITATS APP INVENTOR PROGRAMACIO I DIGITALITZACIÓ
II BLOC ACTIVITATS APP INVENTOR PROGRAMACIO I DIGITALITZACIÓLasilviatecno
 
Concepte de sostenibilitat. "El desenvolupament que assegura les necessitats ...
Concepte de sostenibilitat. "El desenvolupament que assegura les necessitats ...Concepte de sostenibilitat. "El desenvolupament que assegura les necessitats ...
Concepte de sostenibilitat. "El desenvolupament que assegura les necessitats ...malvarez27
 
INFORME_BAREM_PROVISIONAL_BAREMELLUCH.pdf
INFORME_BAREM_PROVISIONAL_BAREMELLUCH.pdfINFORME_BAREM_PROVISIONAL_BAREMELLUCH.pdf
INFORME_BAREM_PROVISIONAL_BAREMELLUCH.pdfErnest Lluch
 
4 RATLLES - MAIG 2024 - ESCOLA AMETLLERS
4 RATLLES - MAIG 2024 - ESCOLA AMETLLERS4 RATLLES - MAIG 2024 - ESCOLA AMETLLERS
4 RATLLES - MAIG 2024 - ESCOLA AMETLLERSSuperAdmin9
 
Presentació bloc 3 Perspectiva gènere.pptx
Presentació bloc 3 Perspectiva gènere.pptxPresentació bloc 3 Perspectiva gènere.pptx
Presentació bloc 3 Perspectiva gènere.pptxRosabel UA
 
feedback.pdf55555555555555555555555555555
feedback.pdf55555555555555555555555555555feedback.pdf55555555555555555555555555555
feedback.pdf55555555555555555555555555555twunt
 
TIPUS DE POSICIONS D'UNA RECTA. VERITABLE MAGNITUD.
TIPUS DE POSICIONS D'UNA RECTA. VERITABLE MAGNITUD.TIPUS DE POSICIONS D'UNA RECTA. VERITABLE MAGNITUD.
TIPUS DE POSICIONS D'UNA RECTA. VERITABLE MAGNITUD.Lasilviatecno
 
Programa Dansa Ara Garraf Les Roquetes Sa
Programa Dansa Ara Garraf Les Roquetes SaPrograma Dansa Ara Garraf Les Roquetes Sa
Programa Dansa Ara Garraf Les Roquetes SaISMAELALVAREZCABRERA
 

Recently uploaded (8)

II BLOC ACTIVITATS APP INVENTOR PROGRAMACIO I DIGITALITZACIÓ
II BLOC ACTIVITATS APP INVENTOR PROGRAMACIO I DIGITALITZACIÓII BLOC ACTIVITATS APP INVENTOR PROGRAMACIO I DIGITALITZACIÓ
II BLOC ACTIVITATS APP INVENTOR PROGRAMACIO I DIGITALITZACIÓ
 
Concepte de sostenibilitat. "El desenvolupament que assegura les necessitats ...
Concepte de sostenibilitat. "El desenvolupament que assegura les necessitats ...Concepte de sostenibilitat. "El desenvolupament que assegura les necessitats ...
Concepte de sostenibilitat. "El desenvolupament que assegura les necessitats ...
 
INFORME_BAREM_PROVISIONAL_BAREMELLUCH.pdf
INFORME_BAREM_PROVISIONAL_BAREMELLUCH.pdfINFORME_BAREM_PROVISIONAL_BAREMELLUCH.pdf
INFORME_BAREM_PROVISIONAL_BAREMELLUCH.pdf
 
4 RATLLES - MAIG 2024 - ESCOLA AMETLLERS
4 RATLLES - MAIG 2024 - ESCOLA AMETLLERS4 RATLLES - MAIG 2024 - ESCOLA AMETLLERS
4 RATLLES - MAIG 2024 - ESCOLA AMETLLERS
 
Presentació bloc 3 Perspectiva gènere.pptx
Presentació bloc 3 Perspectiva gènere.pptxPresentació bloc 3 Perspectiva gènere.pptx
Presentació bloc 3 Perspectiva gènere.pptx
 
feedback.pdf55555555555555555555555555555
feedback.pdf55555555555555555555555555555feedback.pdf55555555555555555555555555555
feedback.pdf55555555555555555555555555555
 
TIPUS DE POSICIONS D'UNA RECTA. VERITABLE MAGNITUD.
TIPUS DE POSICIONS D'UNA RECTA. VERITABLE MAGNITUD.TIPUS DE POSICIONS D'UNA RECTA. VERITABLE MAGNITUD.
TIPUS DE POSICIONS D'UNA RECTA. VERITABLE MAGNITUD.
 
Programa Dansa Ara Garraf Les Roquetes Sa
Programa Dansa Ara Garraf Les Roquetes SaPrograma Dansa Ara Garraf Les Roquetes Sa
Programa Dansa Ara Garraf Les Roquetes Sa
 

Matemàtiques 2n de batxillerat Científic

  • 1. MATEMÀTIQUES 2n de Batxillerat Curs 2016-2017 INS Les Termes Sabadell Prof: Albert Sola
  • 2. Temari matemàtiques 2n de Batxillerat 1. Límits i continuïtat de funcions (7) 2. Derivades (8) 3. Aplicacions de la derivada (9-10) 4. Primitives, integrals indefinides (11) 5. Integrals definides (12) 6. Matrius i determinants (1-2) 7. Sistemes d'equacions lineals (3) 8. Geometria a l'espai (4) 9. Distàncies i angles (5-6) ANÀLISI ÀLGEBRA LINEAL GEOMETRIA 1T 2T 3T 3 grans temes de la sele:
  • 3. Tema 1(7): Límits i continuïtat de funcions 1. Concepte de límit 2. Càlcul de límits 3. Indeterminacions 4. Límits en funcions 5. Repàs funcions principals 6. Teoremes a l'entorn dels límits
  • 4. 1. Concepte de límit. El límit és "el lloc preparat", "la tendència". lim x→1 f ( x)=+∞ lim x→3 f ( x)=∃ lim x→3− f ( x)=−2 lim x→3+ f ( x)=1 lim x→5 f ( x)=3 lim x→+∞ f ( x)=1 lim x→0 f ( x)=0 lim x→−∞ f ( x)=−∞ Pàg.196: E5, 5, E7, E8, 7, 8
  • 5. 2. Càlcul de límits. a) Límits de potències: lim x→+∞ xn = Exemples de cada un, Pàg.200: 13,14 +∞ si n > 0 1 si n = 0 0 si n < 0 lim x→−∞ xn = +∞ si n > 0 i parell -∞ si n > 0 i senar 1 si n = 0 0 si n < 0 lim x→+∞ ax = +∞ si a > 1 0 si 0<a<1 Ø si a < 0 lim x→−∞ ax = 0 si a > 1 +∞ si 0<a<1 0 si a < 0 variablealabasevariableal'exponent
  • 6. 2. Càlcul de límits. b) Límits de polinomis: lim x→±∞ (ak xk +ak−1 xk−1 +...+a1 x+a0 )= = lim x→±∞ ak xk =ak · lim x→±∞ xk =a k ·(±∞) Atenció amb els signes! c) Límits de quocients entre polinomis: lim x→±∞(ak x k bp xp)= ak b p · lim x→±∞(x k xp)= Menyspreant termes de grau inferior: ±∞ si k > p 0 si p > k ak/bp si p = k p201: E12, 15, 16
  • 7. 2. Càlcul de límits. d) Propietats de les operacions amb límits: lim x→+∞ [ f ( x)±g( x)]= lim x→+∞ f ( x)± lim x→+∞ g( x) lim x→+∞ [ f ( x)· g( x)]=lim x→+∞ f ( x)· lim x→+∞ g( x) lim x→+∞ f (x) g (x) = lim x→+∞ f ( x) lim x→+∞ g( x) (si lim g(x) diferent de 0)
  • 8. lim x→+∞ p √f (x)=p √ lim x→+∞ f ( x) lim x→+∞ [ f ( x)]p =[ lim x→+∞ f ( x)]p lim x→+∞ loga f ( x)=loga lim x→+∞ f ( x) lim x→+∞ f ( x)g( x) =( lim x→+∞ f ( x))lim x→+∞ g(x) (si lim f(x) i lim g(x) diferent de 0) p199: E9, 11, 12, 44 i 45 cap de setmana
  • 9. 3. Indeterminacions a) ∞/∞ b) ∞ - ∞ c) 1∞ lim x→+∞ 3x2 √4x+1 = ∞ ∞ Dividir numerador i denominador entre la potència més gran de x Resoldre la resta de fraccions Multiplicat pel conjugat (entre arrels) Novetat! a) ∞/∞ grau 2 grau 1/2
  • 10. 3. Indeterminacions lim x→+∞ 3x2 √4x+1 = ∞ ∞ a) ∞/∞ grau 2 grau 1/2 lim x→+∞ 3x2 x 2 √4x+1 x 2 = lim x→+∞ 3 √4x x4 + 1 x4 = 3 0 =+∞ Altre exemple p202, 17, 18
  • 11. 3. Indeterminacions lim x→+∞(x 2 −3 x−5 − x 3 x2 +1)=∞−∞ b1) ∞ - ∞ (resta) x2 −3 x−5 − x3 x 2 +1 = (x2 −3)( x2 +1)−x3 ( x−5) (x−5)(x 2 +1) = x4 +x2 −3x2 −3−x4 +5x3 x 3 +x−5x 2 −5 = 5x3 −2x2 −3 x 3 −5x 2 +x−5 lim x→+∞(5x 3 x3 )=5
  • 12. 3. Indeterminacions lim x→−∞ (√x4 +1−√x2 −1)=∞−∞ b2) ∞ - ∞ (conjugat) (√x4 +1−√x2 −1 )·(√x4 +1+√x2 −1) √x4 +1+√x2 −1 = x 4 +1−( x 2 −1) √x4 +1+√x2 −1 lim x→−∞ x4 −x2 +2 √x4 +1+√x2 −1 =+∞ p203, 19, 20
  • 13. 3. Indeterminacions lim x→∞ f (x)g( x) =elim [ f ( x)−1]·g( x) c) 1∞ lim x→+∞(x2 −3 x 2 −5) 3x+1 =1 ∞ Sempre i quan els límits a l'infinit de f(x) i g(x) per separat siguin 1 i ∞ respectivament.
  • 14. lim x→+∞(x2 −3 x 2 −5) 3x+1 =1 ∞ p204, E2, 21, 22 (x 2 −3 x2 −5 −1 )·(3x+1)= x 2 −3−(x 2 −5) x2 −5 ·(3x+1)= = 2·(3x+1) x2 −5 = 6x+2 x2 −5 lim x→+∞(x2 −3 x 2 −5) 3x+1 =e 0
  • 15. 4. Límits en funcions (tendint a punts concrets) a) En un punt, per l'esquerra, per la dreta lim x→2 (x2 −2x+1)=22 −2·2+1=1 Substituïm valor f(x) = x2 - 2x + 1 f(x) = 2x - 1 si x<1 -x2 + 1 si x>1 lim x→1e (2x−1)=2·1+1=3 lim x→1d (−x2 +1)=−12 +1=0 -Un valor diferent ens indica que hi ha una discontinuïtat de salt finit. -En aquest cas no existeix el límit tendint a 1. -No problem.
  • 16. lim x→3 x2 +1 x−3 = 32 +1 3−3 = 10 0 =∞ El negatiu per l'esquerra ens indica que la branca va cap avall, el positiu per la dreta que la branca va cap amunt. -Ens trobem davant d'una assímptota vertical (salt infinit) f ( x)= x2 +1 x−3 lim x→3e x2 +1 x−3 = 2,92 +1 2,9−3 = 10 −0,1 =−∞ lim x→3d x2 +1 x−3 = 3,12 +1 3,1−3 = 10 0,1 =+∞
  • 17. lim x→2 x2 −4 x 3 −7x+6 = 22 −4 2 3 −7·2+6 = 0 0 -Ens trobem davant d'una INDETERMINACIÓ 0/0!! f ( x)= x2 −4 x 3 −7x+6 Mecanisme: factoritzar i simplificar l'expressió. x2 −4 x 3 −7x+6 = ( x+2)( x−2) ( x−1)( x−2)(x+3) = x+2 ( x−1)( x+3) lim x→2 x+2 (x−1)(x+3) = 2+2 ( 2−1)( 2+3) = 4 5 p205, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 63, 64, 65, 67, 71, 72, 73, 74, 75,76,79, 80, 82
  • 18. b) Interpretació de cara a l'estudi de la continuïtat Perquè una funció sigui contínua en un punt "a" s'han de complir 3 condicions: ᴲ f(a) ᴲ lima f(x) f(a)=lima f(x) ᴲ f(a) ᴲ lim f(a)=lim Gràfica Contínua Ok Ok Ok Disc. evitable Ok Ok Disc. evitable Ok De salt finit Ok De salt finit De salt infinit Ok De salt infinit
  • 19. 5. Repàs de les funcions principals Funcions polinòmiques Funcions racionals ( / ) Funcions amb radicals Funcions exponencials Funcions logarítmiques Funcions trigonomètriques Sempre contínues No contínues quan den=0 Sempre contínues per índex senar. En índex parell, no contínues quan radicand és negatiu. Sempre contínues No contínues quan "a" és 0 o negatiu (logb a) Sin i Cos contínues, Tg no en x=π/2 + kπ
  • 20. "El" problema: -Estudïa la continuïtat de la següent funció: x+1 x2 +x √x+1 f (x) = si x <= 3 si x > 3 1r: Mirar el panorama i decidir els punts d'estudi. -A la primera expressió (racional) hi haurà discontinuïtat quan x2 +x=0 x2 + x = 0; x·(x + 1) = 0; x1 = 0 x2 = -1 -A la segona, tindríem discontinuïtat si x + 1 < 0. Mai serà el cas. Punts d'estudi: -1, 0, 3 (canvi), -∞, +∞ (sempre ajuden)
  • 21. 2n: Mirar què passa amb l'ajuda dels límits. No existeix f(-1), però sí existeix lim: DISCONTINUÏTAT EVITABLE lim x→−1(x+1 x 2 +x)= −1+1 (−1) 2 +(−1) = 0 0 x+1 x2 +x = x+1 x( x+1) = 1 x lim x→−1 1 x =−1 lim x→0 (x+1 x 2 +x )= 0+1 0 2 +0 = 1 0 =∞
  • 22. No existeix f(0), límits tendeixen a infinit: ASÍMPTOTA VERTICAL lim x→0 (x+1 x 2 +x )= 0+1 0 2 +0 = 1 0 =∞ lim x→0e(x+1 x 2 +x)= −0,1+1 (−0,1) 2 −0,1 = 1 −0,09 =−∞ lim x→0d (x+1 x 2 +x)= 0,1+1 (0,1) 2 +0,1 = 1 0,11 =+∞
  • 23. Límits per esquerra i dreta difereixen: SALT FINIT lim x→3e(x+1 x 2 +x)= 3+1 3 2 +3 = 9 12 = 1 3 lim x→3d √x+1=√3+1=2 lim x→−∞(x+1 x 2 +x)=0 lim x→+∞ √x+1=+∞ ASÍMPTOTA HORITZONTAL Va creixent
  • 24. 3r: Representar esquemàticament la funció. p209, 31, 94o, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113
  • 25. 6. Teoremes a l'entorn dels límits Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], i els signes de f(a) i f(b) són diferents, podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un punt c pel qual f(c)=0. Bernhard Bolzano "per força la funció ha de travessar l'eix x" a) El Teorema de Bolzano
  • 26. f ( x)=√x+1 e x + cos x x−1 S'anul·la en algun punt de l'interval [4,6]? 1r: Comprovar que en l'interval sigui contínua: Cap de les expressions que conformen la funció ens indica que no sigui contínua, per tant és contínua. √x+1 ex x−1cos x 2n: Comprovar que el valor dels extrems té signe oposat: f ( 4)=√4+1 e 4 + cos 4 4−1 =−0,17 f (6)=√6+1 e 6 + cos6 6−1 =0,19 Cap de les expressions que conformen la funció ens indica que no sigui contínua, per tant és contínua. Signe diferent: Segons Bolzano, la funció sí s'anul·la en algun punt de l'interval. p210: 33, 125, p223:aplic 7 i 8
  • 27. Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], f(x) pren en aquest interval tots els valors "m" entre f(a) i f(b). Jean Gaston Darboux "per força la funció ha de passar per m" a) El Teorema de Darboux (o dels valors intermedis)
  • 28. f ( x)=( 1−x2 )·cos πx Existeix f(c)=-2 en algun punt c de l'interval [1,2]? 1r: Comprovar que en l'interval sigui contínua: Cap de les expressions que conformen la funció ens indica que no sigui contínua, per tant és contínua. 1−x2 cosπx 2n: Calcular el valor que pren la funció en els extrems: Cap de les expressions que conformen la funció ens indica que no sigui contínua, per tant és contínua. -2 entre -3 i 0: Segons Darboux, la funció sí passa per -2 en algun punt de l'interval. p211: 35, 133, 134 f (1)=(1−12 )·cosπ·1=0 f ( 2)=(1−22 )·cos π·2=−3 -3 < -2 < 0
  • 29. Tema 2(8): Derivades 1. Definició de derivada 2. Funcions derivades 2.1 Funcions elementals 2.2 Regla de la cadena 2.3 Operacions amb derivades 3. Equacions de la recta tangent i normal a una funció 4. Derivabilitat de funcions
  • 30. 1. Definició de derivada -La Taxa de variació mitjana: quant varia un interval? TVM ([a ,b])= f (b)− f (a) b−a a b f(b) f(a) -La derivada: quant varia quan l'interval tendeix a 0? (punt concret) TVM ([a ,b])=mr a a+h f(a+h) f(a) f ' (a)=lim h→ 0 f (a+h)− f (a) h a f(a) h h→0 f ' (a)=mr p190: E1,E2, 2 +amb fórmula
  • 31. 2. Funció derivada 2.1 Funcions elementals p196: 13, 86, 87, 88 no def, E11, 15, 16 2.2 Regla de la cadena
  • 32. 2. Funció derivada 2.3 Operacions amb derivades p195: 11, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102...120 [ f (x)+g(x)]'= f ' (x)+g ' (x) [k·f (x)]'=k·f ' (x) [ f (x)· g(x)]'= f ' (x)· g(x)+ f (x)· g ' (x) [ f (x) g(x) ]'= f ' (x)· g(x)− f (x)· g ' ( x) [ g(x)]2 [(g ο f )(x)]'=g ' ( f (x))· f ' (x)
  • 33. 3. Equacions de la recta normal i tangent a una funció -Equacions de la recta Vectorial: (x,y) = (a, b) + t·(v1 ,v2 ) Paramètriques: x = a + t·v1 y = b + t·v2 Contínua: General: Ax + By + C = 0 Punt-pendent: y - b = m · (x - a) Explícita: y = m·x + n p191: 3 i 4 (t i n), 39, 41, 43, 45, 47, Exercici Sele x−a v1 = y−b v2 Recta tangent a f(x) en x = a: m = f'(a) a = a b = f(a) Recta normal a f(x) en x = a: m= -1/f'(a) a = a b = f(a)
  • 34. 4. Derivabilitat de funcions -Una funció NO és derivable en: Comprovar en x=-1 de: f (x)= x+1 x2 +x a) Punts de discontinuïtat b) Punts angulosos En f(x) definida a trossos, derivada per l'esquerra i per la dreta no són iguals en canvi d'expressió. c) Punts de tangent vertical f ' (a)=ma=tg 90=∞ d) Punts de retrocés f ' (a)=ma=tg 90=∞ -Si una funció és derivable per a x = a, necessàriament és contínua a x = a. I recordar que: si f'(a)>0, f(x) és creixent en x = a si f'(a)<0, f(x) és decreixent en x = a
  • 35. Tema 3(9-10): Aplicacions de la derivada 1. Estudi i representació de funcions 2. Problemes d'optimització 3. Teorema de Rolle 4. Regla de l'Hôpital per a resoldre indeterminacions 0/0
  • 36. 1. Estudi i representació de funcions Repàs apartat 5. del tema 1a) Domini Eix x: Resoldre l'equació f (x) = 0 b) Punts de tall amb els eixos Eix y: Càlcul de f (0) Verticals en x = c quan: c) Asímptotes Horitzontals en y = k quan: lim x →c f (x)=∞ lim x →±∞ f (x)=k Obliqües en y = mx + n quan: lim x →∞ f (x) x =m=0 lim x →∞ [ f (x)−mx]=n
  • 37. Si f'(a) > 0 creix, si f'(a) < 0 decreix d) Monotonia (creix o decreix) e) Curvatura (còncau o convex) Si f'(a) = 0 màx o mín Si f''(a) < 0 Màxim Si f''(a) > 0 Mínim Si f''(a) > 0 és còncava, si f''(a) < 0 és convexa Si f''(a) = 0 és punt d'inflexió Exemples: Polinòmica, Racional, Radical, Exponencial, Logarítmica, a trossos p.247: 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30 i 31 [una cada un, full a part]
  • 38. 2. Problemes d'optimització Objectiu: interpretar les funcions donades / construïdes a) Problemes amb la funció donada 1r: Fer derivada 2n: Igualar a 0 (on hi haurà màxim o mínim) f ' (t)=10−2t 10−2t=0;t=5mesos 3r: Amb derivada 2a mirar si màx o mín f ' ' (t)=−2 Ex pàg 218: Benefici empresa s'expressa com f(t)=10t-t2 t: temps en mesos En quin moment és el màxim benefici? Negatiu, per tant màxim. El màxim benefici és al cap de 5 mesos p218 E3, 13, 14
  • 39. b) Problemes en què cal construir la funció 1r: Expressar funció 2n: Utilitzar condició per tenir només una variable (f(x)) f (x , y)=x2 +2y x· y=125 3r: Seguir amb el procés anterior f ' (x)=2x− 250 x2 Ex pàg 219: Trobar 2 nombres el producte dels quals és 125, de tal manera que el valor del quadrat del primer més el doble del segon sigui mínim condició Els nombres són el 5 i el 25. p219 E4, 15, 16, 67-82 funció y= 125 x f (x)=x 2 +2· 125 x 2x− 250 x 2 =0; x=5 f ' ' (x)=2− 500 x3 f ' ' (5)=6>0
  • 40. 3. Teorema de Rolle Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], derivable en tot l'interval (a,b), i f(a) = f(b), podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un punt c pel qual f'(c) = 0, és a dir, un punt màxim o mínim. Michel Rolle "per força la funció ha de fer un retorn" p220 Ex, 17, 18, 83, 84, 85, 87, 88
  • 41. 4. Regla de l'Hôpital Sempre i quan f(c) = 0, g(c) = 0, i g'(c) # 0. p223 Altre ex, 23, 24, 104, 105, 106, 107 lim x →c f (x) g (x) =lim x→c f ' (x) g ' (x) lim x →−1 x2 +4x+3 x 3 +1 = 0 0 Exemple: lim x →−1 x2 +4x+3 x 3 +1 = lim x →−1 2x+4 3x 2 = 2 3 f ' (x)=2x+4 g ' (x)=3x2
  • 42. Tema 4(11): Integrals indefinides 1. Concepte de primitiva i d'integral 2. Integrals de funcions elementals 3. Mètodes d'integració 3.1 Integració per parts 3.2 Integrals de funcions racionals 3.3 Integració per canvi de variable
  • 43. 1. Concepte de primitiva i d'integral F(x) és primitiva de f(x) si F'(x) = f(x) ∫ f (x)dx=F (x)+k f(x)=x2, f(x)=x+4, f(x)=sinx + 1/x, p266 1 i 2 La integral d'una funció és el conjunt de totes les seves primitives diferencial d'x constant d'integració f(x) = 2x F(x) = x2 F(x) = x2 + k Propietats: ∫[ f (x)±g (x)]dx=∫ f (x)dx±∫g(x)dx ∫[k · f (x)]dx=k ·∫ f (x)dx p267 3
  • 44. 2. Integrals de funcions elementals ∫c dx=cx+k "Truquillu" del factor numèric: Petits exemples + E7abcd, 5 ∫x n dx= xn+1 n+1 +k ∫ f (x)n · f ' (x)dx= f (x)n+1 n+1 +k E7ef, 6c ∫(3x4 −2)3 x3 dx= "Em falta un 12!!" 1 12 ∫(3x4 −2)3 12x3 dx E8, 6ab, 7, 8, 51deures per n=-1
  • 45. ∫ 1 x dx=ln∣x∣+k p270: E9, saber fer, 9, 10 per n=-1 ∫ f '(x) f (x) dx=ln∣f (x)∣+k ∫a x dx= ax ln a +k ∫e x dx=e x +k ∫a f (x) · f ' (x)dx= a f (x) ln a +k ∫e f ( x) · f ' (x)dx=e f (x) +k p271: E10, 11,12
  • 46. ∫sin x dx=−cos x+k p272: E11, 13, 14 ∫sin f (x)· f ' (x)dx=−cos f (x)+k ∫cos x dx=sin x+k ∫cos f (x)· f ' (x)dx=sin f (x)+k ∫(1+tg2 x)dx=tg x+k ∫(1+tg2 f (x))· f ' (x)dx=tg f (x)+k ∫ 1 cos 2 x dx=tg x+k ∫ 1 cos 2 f (x) · f ' (x)dx=tg f (x)+k 52, 53, 54, 55, 57
  • 47. 3. Mètodes d'integració 3.1 Integració per parts ∫u(x)·v' (x)dx= [u(x)·v(x)]'=u' (x)·v(x)+u(x)·v '(x) Polinomi ln ex sin x cos x (fàcils d'integrar) u(x)·v(x)−∫v(x)·u' (x)dx Pels amics, ∫u·dv=u ·v−∫v ·du Demostració: u(x)·v(x)=∫u' (x)·v(x)dx+∫u(x)·v '(x)dx Integro ∫u(x)·v' (x)dx=u(x)·v(x)−∫v(x)·u'(x)dx
  • 48. ∫2x ·e x dx= u dv u=2x Exemple 1: d dv=ex dx i du=2dx v=ex 2x·e x −∫e x ·2dx= 2x·ex −2ex +k= =2ex (x−1)+k int(x2+1)sinx, int x2lnxdx entre tots ∫ln x dx= u dv u=ln x Exemple 4: d dv=1dx i du= 1 x dx v=x x ·ln x−∫x· 1 x dx= x ·ln x−x+k 17a entre tots (2), 17b, 18, 69
  • 49. 3. Mètodes d'integració 3.2 Integració de funcions racionals P(x) Q(x) = A x−a + B x−b +...+ N x−n Grau numerador >= Grau denominador Grau numerador < Grau denominador Fer la divisió 1r pas: Factoritzar denominador (Ruffini/Eq 2n g) Exemple: ∫ 2x+1 x 2 −5x+4 dx x 2 −5x+4=(x−4)(x−1) Exemples meus (x3+x2+x+1/x+1, x2+3x-4/x+1) (només per arrels simples)
  • 50. 2n pas: Descompondre la fracció en altres fraccions i desenvolupar expressió 2x+1 x2 −5x+4 = A x−4 + B x−1 = A(x−1)+B(x−4) (x−4)(x−1) 3r pas: Trobar A i B mitjançant la igualació dels numeradors 2x+1=A(x−1)+B(x−4)=Ax−A+Bx−4B 2x+1=Ax+Bx−A−4B 2x 1 A+B=2 -A-4B=1 B=-1,A=3 4t pas: Resoldre nova integral ∫ 2x+1 x2 −5x+4 dx=∫( 3 x−4 + −1 x−1 )dx=3·ln∣x−4∣−1·ln∣x−1∣+k 2x+1/x2-3x+2, 1/x2+2x-3, 19, 80, x2-x+1/x2-3x+2
  • 51. 3. Mètodes d'integració 3.3 Integració per canvi de variable ∫ 1 x·ln x dx= 29, 30ab, 88, 89 t=ln x d dt= 1 x dx ∫ 1 ln x · 1 x dx=∫1 t dt= ln∣t∣+k=ln∣ln x∣+k ∫ x √1+3x2 dx= t=1+3x2 d dt=6x dx 1 6 ∫ 1 √1+3x2 ·6x dx= 1 6 ∫ 1 √t dt= √t 3 +k= = √1+3x2 3 +k
  • 52. Tema 5(12): Integrals definides 1. Àrea sota una corba 2. La integral definida. Propietats 3. Càlcul d'integrals definides: la Regla de Barrow 4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
  • 53. 1. Àrea sota una corba Aproximació per defecte: x2/2+1 [0,3], p294 1 a b y = f(x) contínua i positiva x0 x1 x2 x3 x4 Àrea Ad = f (x0 ) · (x1 - x0 ) +...+ f (x3 ) · (x4 - x3 ) Aproximació per excés: Ae = f (x1 ) · (x1 - x0 ) +...+ f (x4 ) · (x4 - x3 ) Ad < Areal < Ae Com més particions, més aproximació a l'àrea real Puc fer mitjana
  • 54. 2. La integral definida. Propietats Areal=lim n →∞ Ad =lim n →∞ Ae Propietats: n = número de particions Areal=lim n →∞ ∑ i=1 n f (xi)·(xi−xi−1)=∫ a b f (x)·dx “La integral definida de f a l'interval [a, b]” ∫ a a f (x)dx=0 ∫ a b f (x)dx=−∫ b a f (x)dx
  • 55. Propietats: ∫ a a f (x)dx=0 ∫ a b f (x)dx=−∫ b a f (x)dx ∫ a b k · f (x)dx=k ·∫ a b f (x)dx ∫ a b [ f (x)±g(x)]dx=∫ a b f (x)dx±∫ a b g(x)dx ∫ a b f (x)dx=∫ a c f (x)dx+∫ c b f (x)dx
  • 56. 3. Càlcul d'integrals definides: la regla de Barrow essent F(x) una primitiva de f(x) ∫ a b f (x)·dx=[F (x)]a b =F (b)−F (a) ∫0 3 (x 2 2 +1)dx= Isaac Barrow, 1630-1677 Teòleg i matemàtic anglès, mestre de Newton. Exemple altre dia: [x 3 6 +x]0 3 = =[3 3 6 +3]−[0 3 6 +0]= 27 6 +3= 15 2 =7,5u.a. 14, 15, sf, 16, 17, 61
  • 57. 4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes A=∫ a b f (x)·dx 4.1 Entre una corba, l'eix x i dues rectes verticals: 18,19,sf,20,21,79 A= ∣∫ a b f (x)·dx ∣ A= ∣∫ a c f (x)·dx ∣+ ∣∫ c b f (x)·dx ∣ A A A1 A2 ba f(x)>0 f(x)<0 ba b a c
  • 58. 4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes A=∫ a b ( f (x)−g(x))·dx 4.2 Entre dues corbes o dues funcions: A ba f(x) g(x) Passos a seguir: a) Punts de tall (a i b) mitjançant la resolució de l'equació f(x) = g(x) b) Càlcul de f(x) - g(x) c) Planteig de la integral definida de (f – g)(x) en l'interval [a,b] sf, 22, 23, Ep305, Op sele 10, 24, 25, 116, 118, 120
  • 59. 4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes V =π·∫a b [ f (x)]2 dx 4.3 Volum d'un cos de revolució: ba f(x) Barres Calcula el volum generat per la funció f(x)=x3 +1 en girar entorn l'eix Ox en l'interval [0,2] Extra! Cilindres V =∑ i=1 n V cilindre V cilindre=r 2 ·π·h f(x) dx
  • 60. Tema 6.1 (1): Matrius 1. Nomenclatura i classificació 2. Operacions amb matrius 3. El rang d'una matriu 4. Matrius inverses 5. Equacions matricials
  • 61. 1. Nomenclatura i classificació p10 1,2,3,4,5 element Matrius iguals: mateixa dimensió i elements coincidents. ( a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn ) columna fila Dimensió: m x n Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular.
  • 62. Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu identitat o unitat (I). p12 6,7,8,9 Matriu transposada At : S'obté de canviar les files per les columnes. Si A = (aij ), aleshores At = (aji ) p13 E6,10 Només en les matrius quadrades: -Matrius simètriques: A = At , per tant aij = aji -Matrius antisimètriques: -A = At , per tant -aij = aji A= ( a m n m b v n v c) A= ( a m n −m b v −n −v c)p13 E7 i 11
  • 63. 2. Operacions amb matrius p14 E8, E9, 12, 13 i 14 Suma i resta: A + B = C, essent cij = aij + bij Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent cij = k · aij Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna: (a11 a12 ... a1n )· ( b11 b21 ... bn1 )=a11 ·b11+a12 ·b21+...+a1n ·bn1 p15E10,E11,15i16 ( b11 b21 ... bm1 )·(a11 a12 ... a1n )= ( b11 ·a11 b11 ·a12 ... b11 ·a1n b21 ·a11 b21 ·a12 ... b21 ·a1n ... ... ... ... bm1·a11 bm1·a12 ... bm1·a1n ) “El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)”
  • 64. 2. Operacions amb matrius Multiplicació de dues matrius: p16 17, 18, 19, E12, 20 full a part: 44,45,46,49,51,52,54,60,61 (c11 c12 c21 c22 ) -Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona. -La resultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la segona. -Atenció: en general, NO es presenta la propietat commutativa. (5 −3 4 0 1 2)· ( 4 2 0 5 1 3)= c11=5· 4+(−3)·0+4·1=24 c21=0·4+1·0+2·1=2 c12=5· 2+(−3)·5+4·3=7 c22=0·2+1·5+2·3=11 =(24 7 2 11)
  • 65. 3. El rang d'una matriu El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes. A=(5 −3 4 10 −6 8) Exemples: B=(−4 −4 0 0 3 −3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2 C= ( 2 0 3 −4 3 −5 2 3 8 −10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3 No és immediat! MÈTODE DE GAUSS
  • 66. Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les. Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu: A= ( 0 −2 2 4 2 −1 −1 1 2 −2 0 3) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila F3 – F1( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 2 −2 0 3) ( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 0 −1 1 2)Canvi fila 2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files ( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 0 0 0 0)2F3 – F2 Rang(A) = 22 files no nul·les p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
  • 67. 4. Matrius inverses Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en què sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars. A· A−1 =In -Propietats: A−1 · A=I n (A−1 )−1 =A (A· B)−1 =B−1 · A−1 (At )−1 =(A−1 )t p20 E16, 25!, 26, 27
  • 68. 4. Matrius inverses Trobar la matriu inversa: el mètode de Gauss-Jordan. A= ( 2 −1 2 4 −3 −1 −6 4 −2) ( 2 −1 2 1 0 0 4 −3 −1 0 1 0 −6 4 −2 0 0 1) ( 2 −1 2 1 0 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 (a11=0) F2 – 2F1 ( 2 0 7 3 −1 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 0 −1 1 1 1)F3 + F2 F1 – F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 −1 0 −7 −4 −5 0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3
  • 69. ( 2 −1 2 1 0 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 F2 – 2F1 ( 2 0 7 3 −1 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 0 −1 1 1 1)F3 + F2 F1 – F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 −1 0 −7 −4 −5 0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3 2n pas: Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la matriu identitat. ( 1 0 0 5 3 7/2 0 1 0 7 4 5 0 0 1 −1 −1 −1 )- F2 1/2F1 - F3 p21 28, 29
  • 70. 5. Equacions matricials a) Tipus AX = B AX =B Identitat A −1 · AX =A −1 · B X =A −1 · B b) Tipus XA = B XA=B Identitat XA· A −1 =B· A −1 X =B· A −1 c) Tipus AX + B = C AX +B=C Identitat A−1 · AX =A−1 ·(C−B) X =A−1 ·(C−B) AX =C−B p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10
  • 71. Tema 6.2 (2): Determinants 1. Càlcul de determinants de mtrius quadrades 1.1 D'ordre 2 i 3: Regla de Sarrus 1.2 D'ordre superior a 3: Propietats dels determinants 1.3 De qualsevol ordre: Menors i adjunts 2. Càlcul del rang d'una matriu 3. Càlcul de la inversa d'una matriu
  • 72. 1. Càlcul de determinants Exemples ràpids 1.1 D'ordre 2 i 3: La regla de Sarrus A= (a11 a12 a21 a22 ) ∣A∣= ∣a11 a12 a21 a22 ∣=a11 ·a22−a12 ·a21 A= ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ) ∣A∣= ∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣=a11 ·a22 ·a33+a12 ·a23 ·a31 +a21 ·a32 ·a13−a13 ·a22 ·a31−a12·a21 ·a33−a23·a32 ·a11 p36 1 i 2, 34-42
  • 73. 1. Càlcul de determinants Exemple ordre 3 1.2 D'ordre superior a 3: Propietats dels determinants (9) ∣ k ·a11 k ·a12 k ·a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣=k ·∣A∣ Exemple ordre 3 1a) |A| = |At | 2a) Si en una matriu quadrada intercanviem dues files, o dues columnes, el determinant canvïa de signe. Exemple ordre 3 3a) Si multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una mateixa fila, o columna, el seu determinant queda multiplicat per aquest nombre. Atenció!: |k·A| = kn · |A| Exemple ordre 3 p37 3 i 4
  • 74. Exemple ordre 3 Exemples ordre 3 4a) Si té una fila o columna de 0's, el determinant és 0. 5a) Si a una fila o columna li sumem* una combinació lineal de les altres, el determinant no varia. *no val multiplicar la fila que variem, pq sinó multiplicaríem també el valor del determinant (prop. 3) Exemple ordre 3+ exemple per propietats 6a) Si té dues files o dues columnes iguals o proporcionals, el determinant és 0. p38, 5 i 6 (per triangularització i per Sarrus)
  • 75. Exemple ordre 3 Exemples ordre 3 7a) Si té una fila o columna que és combinació lineal de les altres, el determinant és 0. 8a) Un determinant es pot descomposar en la suma d'uns altres dos determinants separant una fila o columna en dos sumands. Exemple ordre 3 9a) |A · B| = |A| · |B| p39, E4, 7 i 8 Determinant d'una matriu qualsevol: mitjançant les propietats, triangularitzar-la per tal que el valor del determinant sigui el producte dels elements de la diagonal. p40 SF, 9 // 44, 45
  • 76. 1.3 De qualsevol ordre: menors i adjunts A= ( 1 2 1 −3 3 0 −2 4 1) -Menor complementari d'un element: és el determinant de la matriu resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element. p41 E5, 11 α21= ∣2 1 4 1∣=−2 A= ( 1 2 1 −3 3 0 −2 4 1) -Adjunt d'un element: és el determinant de la matriu resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element, amb el signe canviat segons si “i + j” és parell o senar. p41 E6, 12 A21= (−1)2+1 ·∣2 1 4 1∣=−1·(−2)=2
  • 77. p42 E7, 13 i 14 Determinant d'una matriu qualsevol: És igual a la suma dels productes dels elements d'una fila o columna qualsevol pels seus adjunts corresponents.
  • 78. 2. Càlcul del rang d'una matriu A= ( 1 0 −2 3 4 1 2 2 −5 −2 3 1) El rang d'una matriu coincideix amb l'ordre del menor més gran diferent de zero de la matriu. Exemple: 1r pas: Buscar un menor d'ordre 2 diferent de 0 p44 18, 19, 20, 78 A= ( 1 0 −2 3 4 1 2 2 −5 −2 3 1) |1 0 4 1|=1 ≠ 0 Rang ≥ 2 2n pas: Buscar un menor d'ordre 3 diferent de 0 ∣ 1 0 −2 4 1 2 −5 −2 3 ∣=13 ≠ 0 Rang = 3
  • 79. 3. Càlcul de la inversa d'una matriu Matriu dels adjunts: Ex d'ordre 3, 21 A−1 = 1 ∣A∣ · Adj(A)t A= ( a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn ) Adj(A)= ( A11 A12 ... A1n A21 A22 ... A2n ... ... ... ... Am1 Am2 ... Amn ) Matriu inversa: p47, SF, 23, examen anterior amb nous mètodes
  • 80. Tema 7 (3): Sistemes d'equacions 1. Introducció 2. Resolució per equació matricial simple 3. Resolució per Gauss 4. Teorema de Rouché-Fröbenius 5. Regla de Cramer 6. Sistemes homogenis 7. Resolució de sistemes amb paràmetres
  • 81. 1. Introducció a11 x+a12 y+a13 z=b1 A= ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ) p62 E4, 5, 6, 50, 51, 52 a21 x+a22 y+a23 z=b2 a31 x+a32 y+a33 z=b3 Sist. incompatible (0 solucions) Sist. compatible determinat (1 sol.) Sistema compatible indeterminat (∞ sol.) 2. Resolució per equació matricial simple X = ( x y z ) B= ( b1 b2 b3 ) ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 )· ( x y z)= ( b1 b2 b3 ) A· X =B ; X =A−1 · B
  • 82. 3. Resolució per Gauss a11 x+a12 y+a13 z=b1 ( a11 a12 a13 b1 a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 ) p63 SF, 7, 8, 40 a21 x+a22 y+a23 z=b2 a31 x+a32 y+a33 z=b3 Matriu ampliada (A*) ( a11 a12 a13 b1 0 a22 a23 b2 0 0 a33 b3 ) a11 x+a12 y+a13 z=b1 a22 y+a23 z=b2 a33 z=b3 Discussió de sistemes: -Si acabem 0 0 0 0: SCI (més incògnites que equacions) -Si acabem 0 0 2 4: SCD -Si acabem 0 0 0 -2: SI 9, 10
  • 83. 4. Teorema de Rouché-Fröbenius p66 SF, 13, 14, 15, 16 -Si Rang (A) ≠ Rang (A*): Sistema Incompatible -Si Rang (A) = Rang (A*): Sistema Compatible -si aquest Rang = núm. incògnites, SCD -si aquest Rang < núm. incògnites, SCI 5. Regla de Cramer Es pot utilitzar quan: núm. equacions = núm. incògnites determinant de la matriu de coeficients ≠ 0 Si tenim x, y i z en un sistema de tres equacions, x= ∣Ax∣ ∣A∣ y= ∣Ay∣ ∣A∣ z= ∣Az∣ ∣A∣ essent Ax la matriu obtinguda de substituir en A la columna dels coeficients x per la columna dels termes independents, Ay bla bla i Az bla bla bla. p69 SF, 19, 8a, 7b, el de l'examen
  • 84. La regla de Cramer per a SCI: S'obvïa la tercera equació, i en les dues primeres la “z”, que ara és “λ”, es passa a fer companyia als termes independents. 3x+ y−z=2 −2x+ y−z=1 x+2y−2z=3 -Rang(A) = 2 -Rang(A*) = 2 2 < núm incòg. SCI 3x+ y=2+λ −2x+ y=1+λ ∣A∣=∣3 1 −2 1∣=5 ∣Ax∣=∣2+λ 1 1+λ 1∣=2+λ−1−λ=1 ∣Ay∣=∣3 2+λ −2 1+λ∣=3+3λ+4+2λ=5λ+7 x= 1 5 y=λ+ 7 5 z=λ 21
  • 85. 6. Sistemes homogenis p71 SF, 23, 55c i d Un sistema homogeni és aquell en el què tots els termes independents són zeros. a11 x+a12 y+a13 z=0 a21 x+a22 y+a23 z=0 a31 x+a32 y+a33 z=0 Sempre és compatible, ja que Rg(A) = Rg(A*) Una de les solucions sempre és trivial: x = 0, y = 0, z = 0 Si Rang = núm. incògnites, la solució és la trivial; si Rang < núm. incògnites, és un SCI. 7. Sistemes amb paràmetres Per discutir-lo, es farà ús de Rouché-Fröbenius, i per resoldre'l, de Cramer (Atenció!!: λ no té per què ser z). p72-3 SF, 25, 26, 27, 28 op sele 10, 53, 54, 55, 56, 57,58
  • 86. Tema 8 (4): Geometria a l'espai 1. Introducció/recordatori vectors 2. Producte escalar 3. Producte vectorial
  • 87. 1. Introducció-recordatori vectors ⃗v=(v1, v2, v3) A= ( v1 v2 v3 u1 u2 u3 w1 w2 w3 ) 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Concepte de mòdul, direcció i sentit, suma i resta geomètrica, multiplicació per un nombre, linealment dependents (proporcionals) o independents, suma i resta per coordenades, punt mitjà d'un segment. Si Rang(A)=núm.files → Linealment indep. u1 v1 = u2 v2 = u3 v3 ∣⃗v∣=√v1 2 +v2 2 +v3 2 -Vectors linealment independents? Matrius! Si Rang(A)<núm.files → Linealment dep. -Vectors paral·lels? -A, B i C alineats? ⃗AB ésl.d.de ⃗BC ? 10, 11, 57, 61
  • 88. 2. Producte escalar ⃗u·⃗v=∣⃗u∣·∣⃗v∣·cosα p92 E8, 12 Propietats: ⃗v ·⃗v=∣⃗v∣·∣⃗v∣·cos0=∣⃗v∣ 2 ⃗u·⃗v=⃗v ·⃗u ⃗u·(⃗v+⃗w)=⃗u·⃗v+⃗u· ⃗w ⃗u·⃗v=∣⃗u∣·∣⃗v∣·cos90=0 Per ell mateix, mòdul al quadrat Commutativa Distributiva Entre perpendiculars igual a 0 ⃗u·⃗v=u1·v1+u2·v2+u3·v3 p93 E10, 14 cosα= ⃗u·⃗v ∣⃗u∣·∣⃗v∣ = u1·v1+u2·v2+u3·v3 √u1 2 +u2 2 +u3 2 ·√v1 2 +v2 2 +v3 2 Càlcul de l'angle entre dos vectors: p94 E11, 16 (té per resultat un nombre)
  • 89. 3. Producte vectorial ∣⃗u x⃗v∣=∣⃗u∣·∣⃗v∣·sin α p96 20, 21 Propietats: ∣⃗u x⃗u∣=∣⃗u∣·∣⃗u∣·sin 0=0 ⃗u x⃗v=−⃗v x⃗u ⃗u x(⃗v+⃗w)=⃗u x ⃗v+⃗u x ⃗w Per ell mateix o entre paral·lels, igual a 0 Anticommutativa (tirabuixó!) Distributiva (té per resultat un vector ┴, sentit s. tirabuixó) ⃗u x⃗v= ∣ ⃗i ⃗j ⃗k u1 u2 u3 v1 v2 v3 ∣= ∣u2 u3 v2 v3 ∣·⃗i + ∣u3 u1 v3 v1 ∣·⃗j+ ∣u1 u2 v1 v2 ∣·⃗k Per coordenades: ⃗u x⃗v= (∣u2 u3 v2 v3 ∣, ∣u3 u1 v3 v1 ∣, ∣u1 u2 v1 v2 ∣) p97 E13, 23
  • 90. Tema 9 (5-6): Geometria a l'espai 1. Equacions de la recta a l'espai 2. Equacions del pla a l'espai 3. Posicions relatives 3.1 Entre recta i pla 3.2 Entre dos plans 3.3 Entre dues rectes 4. Angles a l'espai 5. Projeccions ortogonals 6. Simetries 7. Distàncies
  • 91. 1. Equacions de la recta Per definir una recta necessitem: -un vector director (direcció) -un punt de pas. Equació vectorial de la recta A(a,b,c) P(x,y,z) Equacions paramètriques de la recta Equació contínua de la recta ⃗vr (x , y , z)=(a ,b ,c)+t ·(v1, v2, v3) x=a+t ·v1 y=b+t ·v2 z=c+t · v3 x−a v1 = y−b v2 = z−c v3
  • 92. Equacions implícites o cartesianes p113 E1, SF, 3, 4, 5 x−a v1 = y−b v2 x−a v1 = z−c v3 v2(x−a)=v1( y−b) v3(x−a)=v1(z−c) v2 x−v1 y−v2 a+v1 b=0 v3 x−v1 z−v3 a+v1 c=0 Ax+By+Cz+D=0 Ex+Fy+Gz+H =0
  • 93. 2. Equacions del pla Per definir un pla necessitem: -dos vectors directors l.i. -un punt de pas. Equació vectorial del pla A(a,b,c) P(x,y,z) Equacions paramètriques del pla ⃗u ⃗v (x , y , z)=(a ,b ,c)+λ ·(v1, v2, v3)+μ·(u1, u2, u3) x=a+v1 ·λ+u1 ·μ y=b+v2 ·λ+u2 ·μ z=c+v3 · λ+u3 ·μ
  • 94. -Vector AP depèn linealment de v i u (v + u = AP) -Les coordenades de AP seran (x – a, y – b, z – c) -La matriu formada per les coordenades dels tres vectors serà de rang = 2. Per tant, el seu determinant serà igual a 0. A(a,b,c) P(x,y,z) Equació general del pla p114 E2, SF, 6, 7, 8, 9, 10, 11 45, 46, 47, 48, 49, 50, 54, 55 12, 13, 14, 15, 57, 58 ⃗u ⃗v ∣ x−a y−b z−c v1 v2 v3 u1 u2 u3 ∣=0 Ax+By+Cz+D=0
  • 95. -Vector normal a un pla: p117 SF, 16, 17, operació sele10, 60, 61, 62, 63, 65, 69 -Vector director d'una recta definida per dos plans: ⃗nπ=(A , B ,C) Ax+By+Cz+D=0 A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 A2 x+B2 y+C2 z+D2=0 ⃗n1 ⃗n2 ⃗vr ⃗vr=⃗n1 x ⃗n2= ∣ i j k A1 B1 C1 A2 B2 c2 ∣
  • 96. 3. Posicions relatives 3.1 Entre recta i pla -Possibilitats: Secants, Paral·lels, Recta continguda al pla. -Mètode: Estudiar el Sistema format per les equacions de recta i pla. -Si Rang(M) = 3, tb Rang(M*) = 3, tenim SCD (1 punt) Secants -Si Rang(M) = 2, i Rang(M*) = 3, tenim SI (0 punts) Paral·lels -Si Rang(M) = 2, i Rang(M*) = 2, tenim SCI (ᴂ punts) R. c. al p. p118 SF, 18, 19, p124 SF, SF, 30, 31 a1 x+b1 y+c1 z+d1=0 a2 x+b2 y+c2 z+d2=0 Ax+By+Cz+D=0 M= ( A B C a1 b1 c1 a2 b2 c2 ) M A= ( A B C D a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 )
  • 97. 3.2 Entre dos plans -Possibilitats: Coincidents, Secants, Paral·lels. -Mètode: Estudiar el Sistema format per les equacions dels dos plans. -Si Rang(M) = 1, i Rang(M*) = 1, tenim SCI (ᴂ punts) Coincidents -Si Rang(M) = 2, tb Rang(M*) = 2, tenim SCI (ᴂ punts) Secants -Si Rang(M) = 1, i Rang(M*) = 2, tenim SI (0 punts) Paral·lels p119 SF, 20 i 21 *Tenim 3 incògnites, > 2 equacions, mai serà SCD (1 sol punt) A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 A2 x+B2 y+C2 z+D2=0 M= (A1 B1 C1 A2 B2 C2 ) M A= (A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 )
  • 98. 3.3 Entre dues rectes -Possibilitats: Coincidents, Secants, Paral·leles, S'encreuen. -Mètode: Estudiar la matriu formada pels dos vectors directors i la matriu formada per aquests i el vector d'una recta a una altra. Coincidents Rang(M) = 1 Secants Paral·leles M = (u1 u2 u3 v1 v2 v3 ) ⃗vr ⃗vs ⃗PQ M A= ( u1 u2 u3 v1 v2 v3 a b c ) Rang(M) = 2 Rang(M*) = 1 Rang(M*) = 2 Rang(M*) = 2 Rang(M*) = 3 S'encreuen Mateix pla p122 SF, 26, 27, 28 i 29 74, 75, 76, 77, 78,79, 81,82,...
  • 99. 4. Angles a l'espai -Entre dues rectes: el format pels respectius vectors directors. -Entre recta i pla: el complementari (90 – α) format per vr i nπ . -Entre dos plans: el format pels respectius vectors normals. p138 SF, SF 1, 2, 3 i 4 cosα= ∣⃗u·⃗v∣ ∣⃗u∣·∣⃗v∣ Valor absolut
  • 100. 5. Projeccions ortogonals a) D'un punt sobre una recta: p140 SF1, 5 ⃗n=⃗vr , P(a ,b ,c)→π: Ax+By+Cz+D=0 P P' r 1r: Trobo l'equació del pla ┴ a r i que passa per P. 2n: P' és intersecció entre π i r. (Resoldre sistema) a1 x+b1 y+c1 z+d1=0 a2 x+b2 y+c2 z+d2=0 Ax+By+Cz+D=0
  • 101. b) D'un punt sobre un pla: p140 SF2, 6 ⃗vr=⃗n , P(a ,b ,c)→r : a1 x+b1 y+c1 z+d1=0 a2 x+b2 y+c2 z+d2=0 P P' r 1r: Trobo l'equació de la recta ┴ a π que passa per P. 2n: P' és intersecció entre π i r. (Resoldre sistema) a1 x+b1 y+c1 z+d1=0 a2 x+b2 y+c2 z+d2=0 Ax+By+Cz+D=0 π
  • 102. 6. Simetries -P'(a, b, c) d'un punt P respecte un punt Q: p142 SF, 9 (q1, q2, q3)=(p1+a 2 , p2+b 2 , p3+c 2 ) Q és punt mig del segment PP', per tant: Només caldrà trobar a, b i c resolent les equacions -P' d'un punt P respecte una recta r: p142 SF, 10 Ídem, però en aquest cas Q és la proj ortogonal de P sobre r: a) Buscar pla ┴ a r que passa per P b) Trobar punt Q d'intersecció entre pla i recta c) Trobar P' respecte Q
  • 103. -P' d'un punt P respecte un pla π: p143 SF, 11 Ídem, però en aquest cas Q és la proj ortogonal de P sobre π: a) Buscar recta r ┴ a π que passa per P b) Trobar punt Q d'intersecció entre recta i pla c) Trobar P' respecte Q
  • 104. 7. Distàncies -Entre dos punts: d (A, B)=∣ ⃗AB∣ -Entre un punt i un pla: d (P ,π)= ∣Ax1+By1+Cz1+D∣ √A2 +B2 +C2 (Si demanen entre dos plans, trobo punt qualsevol d'un dels dos i aplico fórmula) (Si demanen entre recta i pla, trobo punt qualsevol de la recta i aplico fórmula) -Entre un punt i una recta: d (P ,r)= ∣⃗vr x ⃗AP∣ ∣⃗vr∣ Op sele10 4 i a ser feliços!!