Sistemes d'equacions

1. Unitat 5: Sistemes d'Equacions
1. Introducció: definició i solucions
2. Simplificació: arreglem els sistemes
3. Resolució algebraica de sistemes
a) Mètode de substitució
b) Mètode d'igualació
c) Mètode de reducció
4. Problemes a resoldre amb sistemes

2. 1. Introducció: definició i solucions
Tindrem un sistema d'equacions quan dues equacions s'hagin
de complir al mateix temps.
EXEMPLE: El quàdruple d'un nombre més 4 és igual al doble d'un
altre nombre. A més, el triple del segon és igual a 15 menys el triple
del primer.
4x+ 4=2y
3y=15−3x
S'han de complir al mateix temps.
La solució del sistema serà un parell de valors (x i y) que
verificaran simultàniament les dues equacions.

3. 1. Introducció: definició i solucions
Si la solució del sistema és x=1 i y=4, s'ha de verificar:
4x+ 4=2y
3y=15−3x
4·1+ 4=2·4
3· 4=15−3·1
4+ 4=8
12=15−3
Ok.
Segons les solucions,
-Sistema compatible: té una parella de nombres com a solució.
-Sistema compatible indeterminat: té infinites parelles de solucions.
-Sistema incompatible: no té cap parella de solucions,
Exercici 24 p117

4. 2. Simplificació: arreglem els sistemes
Si ens trobem parèntesis i denominadors, abans de fer res els
haurem de liquidar.
Objectiu: deixar el sistema en la forma:
ax+ by=c
dx+ ey= f
Exercici 1 del full
-Els parèntesi els treiem aplicant la propietat distributiva.
-Els denominadors els treiem multiplicant cada terme pel mcm de
tots ells.
*Tinguem en compte que cada una de les dues equacions és independent

5. 3. Resolució algebraica de sistemes
Consisteix a aïllar una de les incògnites en una de les
equacions, i substituir en l'altra equació la incògnita aïllada per la
seva expressió equivalent.
EXEMPLE: 3x+ 2y=−11
x−3y=−33
1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en una de les equacions.
a) Mètode de substitució
x−3y=−33; x=−33+ 3y
La "x" de la segona és la més fàcil:

6. 3x+ 2y=−11
x−3y=−33
1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en una de les equacions.
x−3y=−33; x=−33+ 3y
La "x" de la segona és la més fàcil:
2n pas: Substituir la incògnita aïllada en l'altra equació.
3(−33+ 3y)+ 2y=−11
3r pas: Resoldre l'equació de primer grau que m'ha quedat.
3(−33+ 3y)+ 2y=−11; −99+ 9y+ 2y=−11;
11y=−11+ 99; y=
88
11
=8

7. 3·(−9)+ 2·8=−11
−9−3·8=−33
4t pas: Resoldre l'altra incògnita.
x=−33+ 3y ;
5è pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.
Utilitzant l'expressió obtinguda al primer pas:
Ara ja sabem que y=8
x=−33+ 3·8;
x=−33+ 3·8=−33+ 24=−9
SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = -9 i y = 8
−27+ 16=−11
−9−24=−33
−11=−11
−33=−33
Ok.
Exercici 29, 30, 31 i 32 p119

8. 3. Resolució algebraica de sistemes
Consisteix a aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions, i
igualar l'expressió obtinguda.
EXEMPLE: 5x− y=2
−2x− y=2
1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en les dues equacions.
b) Mètode d'igualació
La "y" és la més fàcil:
5x− y=2
−2x− y=2
5x−2=y
−2x−2= y

9. 5x−2=−2x−2
2n pas: Igualar les dues expressions obtingudes.
3r pas: Resoldre l'equació de primer grau que m'ha quedat.
1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en les dues equacions.
La "y" és la més fàcil:
5x− y=2
−2x− y=2
5x−2=y
−2x−2= y
5x−2=−2x−2;5x+ 2x=−2+ 2
7x=0; x=
0
7
=0

10. 5·0−(−2)=2
−2·0−(−2)=2
4t pas: Resoldre l'altra incògnita.
5x−2=y ;
5è pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.
Utilitzant una de les expressions obtingudes al primer pas:
Ara ja sabem que x=0
5·0−2=y ;
y=−2
SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = 0 i y = -2
0+ 2=2
0+ 2=2
2=2
2=2
Ok.

11. 3. Resolució algebraica de sistemes
Consisteix a multiplicar cada equació pel nombre adequat
perquè, en sumar o restar les dues equacions resultants, s'obtingui
una equació amb una sola incògnita.
EXEMPLE: 3x+ 2y=−11
x−3y=−33
1r pas: Transformar les dues equacions multiplicant-les per un
nombre que faci eliminar una de les dues incògnites.
c) Mètode de reducció
3x+ 2y=−11
x−3y=−33
·1
·(-3)
3x+ 2y=−11
−3x+ 9y=+ 99

12. 2n pas: Sumar les dues equacions, i resoldre la que queda.
1r pas: Transformar les dues equacions multiplicant-les per un
nombre que faci eliminar una de les dues incògnites.
3x+ 2y=−11
x−3y=−33
·1
·(-3)
3x+ 2y=−11
−3x+ 9y=+ 99
3x+ 2y=−11
−3x+ 9y=+ 99
11y=88; y=
88
11
; y=8

13. 3·(−9)+ 2·8=−11
−9−3·8=−33
3r pas: Resoldre l'altra incògnita utilitzant una de les equacions
inicials.
4t pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.
Ara ja sabem que y=8
SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = -9 i y = 8
−27+ 16=−11
−9−24=−33
−11=−11
−33=−33
Ok.
x−3y=−33
x−3·8=−33; x−24=−33;
x=−33+ 24=−9