Temes 1 i 2 de 2n Batxillerat aplicat a les CCSS.

1. Tema 1 i 2: Matrius i determinants
1. Nomenclatura i classificació
2. Operacions amb matrius
3. Càlcul de determinants
4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada
5. Propietats dels determinants
6. El rang d'una matriu
7. Matrius inverses

2. 1. Nomenclatura i classificació
p8 1,2,3,4,5,6
element
(
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
) columna
fila
Ordre: m x n
Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la,
matriu oposada, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular,
matriu transposada (t
A), matrius iguals.

3. Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu
triangular inferior, matriu diagonal, matriu escalar, matriu identitat
o unitat (I).
Només en les matrius quadrades:
-Matrius simètriques: A = At
, per tant aij
= aji
-Matrius antisimètriques: -A = At
, per tant -aij
= aji
A=
(
a m n
m b v
n v c)
A=
(
a m n
−m b v
−n −v c)p11 7, 8, 9, 10, 11
Conceptes: diagonal principal, secundària i traça.

4. 2. Operacions amb matrius
Suma i resta: A + B = C, essent cij
= aij
+ bij
Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent cij
= k · aij
Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna:
(a11 a12 ... a1n )·
(
b11
b21
...
bn1
)=a11 ·b11+a12 ·b21+...+a1n ·bn1
(
b11
b21
...
bm1
)·(a11 a12 ... a1n )=
(
b11 ·a11 b11 ·a12 ... b11 ·a1n
b21 ·a11 b21 ·a12 ... b21 ·a1n
... ... ... ...
bm1·a11 bm1·a12 ... bm1·a1n
)
“El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)”

5. Multiplicació de dues matrius:
p15 12,13,14,16abcd,17,19,20
Activitats finals: 5,10,12,17,22a
(c11 c12
c21 c22
)
-Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes
de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona.
-La resultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la
segona.
-Atenció: en general, NO es presenta la propietat commutativa.
(5 −3 4
0 1 2)·
(
4 2
0 5
1 3)=
c11=5· 4+(−3)·0+4·1=24
c21=0·4+1·0+2·1=2
c12=5· 2+(−3)·5+4·3=7
c22=0·2+1·5+2·3=11
=(24 7
2 11)

6. 3. Càlcul de determinants
Exemples ràpids
D'ordre 2 i 3: La regla de Sarrus
A=
(a11 a12
a21 a22
) ∣A∣=
∣a11 a12
a21 a22
∣=a11 ·a22−a12 ·a21
A=
(
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
) ∣A∣=
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣=a11 ·a22 ·a33+a12 ·a23 ·a31
+a21 ·a32 ·a13−a13 ·a22 ·a31−a12·a21 ·a33−a23·a32 ·a11
p22 1,2,3,4

7. A=
(
1 2 1
−3 3 0
−2 4 1)
-Menor complementari d'un element: és el determinant de la matriu
resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element.
p23 E2
M 21=
∣2 1
4 1∣=−2
A=
(
1 2 1
−3 3 0
−2 4 1)
-Adjunt d'un element: és el determinant de la matriu resultant
d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element, amb el
signe canviat segons si “i + j” és parell o senar.
Fer alguns exemples
m21= (−1)2+1
·∣2 1
4 1∣=−1·(−2)=2
4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada

8. E4, E5, p26: 6, 9 i 10
Determinant d'una matriu qualsevol: És igual a la suma dels
productes dels elements d'una fila o columna qualsevol pels
seus adjunts corresponents.
A=
(
1 2 1
−3 3 0
−2 4 1)
-Matriu adjunta: és la matriu resultant de fer els adjunts de cada un
dels elements.
p24 E3
Adj(A)=
(
3 3 −6
2 3 −8
−3 −3 9 )

9. 5. Propietats dels determinants
Exemple ordre 3
∣
k ·a11 k ·a12 k ·a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣=k ·∣A∣
Exemple ordre 3
1a) |A| = |At
|
2a) Si en una matriu quadrada intercanviem dues files, o dues
columnes, el determinant canvïa de signe.
Exemple ordre 3
3a) Si multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una
mateixa fila, o columna, el seu determinant queda multiplicat per
aquest nombre.
Atenció!: |k·A| = kn
· |A| Exemple ordre n=3

10. Exemple ordre 3
Exemples ordre 3
4a) Si té una fila o columna de 0's, el determinant és 0.
5a) Si a una fila o columna li sumem* una combinació lineal de les
altres, el determinant no varia.
*no val multiplicar la fila que variem, pq sinó multiplicaríem també el valor del
determinant (prop. 3)
Exemple ordre 3+ exemple per propietats
6a) Si té dues files o dues columnes iguals o proporcionals, el
determinant és 0.

11. Exemple ordre 3
Exemples ordre 3
7a) Si té una fila o columna que és combinació lineal de les altres,
el determinant és 0.
8a) Un determinant es pot descomposar en la suma d'uns altres
dos determinants separant una fila o columna en dos sumands.
Exemple ordre 3
9a) |A · B| = |A| · |B|

12. 6. El rang d'una matriu
A=
(
1 0 −2 3
4 1 2 2
−5 −2 3 1)Exemple:
1r pas: Buscar un menor d'ordre 2 diferent de 0
E7,E8,E9 p32: 15
A=
(
1 0 −2 3
4 1 2 2
−5 −2 3 1) |1 0
4 1|=1 ≠ 0 Rang ≥ 2
2n pas: Buscar un menor d'ordre 3 diferent de 0
∣
1 0 −2
4 1 2
−5 −2 3 ∣=13 ≠ 0 Rang = 3
És el nombre de files/columnes no nul·les linealment
independents. Coincideix amb l'ordre del menor més gran diferent
de zero de la matriu.

13. 7. Matrius inverses
Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius
quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en què
sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars.
A· A−1
=In
-Propietats:
A−1
· A=I n
(A−1
)−1
=A
(A· B)−1
=B−1
· A−1
(At
)−1
=(A−1
)t

14. Matriu dels adjunts:
Ex d'ordre 3, 21
A−1
=
1
∣A∣
· Adj(A)t
A=
(
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
) Adj(A)=
(
m11 m12 ... m1n
m21 m22 ... m2n
... ... ... ...
mm1 mm2 ... mmn
)
Matriu inversa:
E10,E11, p35: 19,21,23
Activitats finals: 1,3,5,6,9,10,11,12,15,16,17,18,20,24
-Càlcul de la inversa d'una matriu:

15. 3. El rang d'una matriu
El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment
independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes.
A=(5 −3 4
10 −6 8)
Exemples:
B=(−4 −4 0
0 3 −3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2
C=
(
2 0 3 −4
3 −5 2 3
8 −10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3
No és immediat! MÈTODE DE GAUSS

16. Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota
la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les.
Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu:
A=
(
0 −2 2 4
2 −1 −1 1
2 −2 0 3)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila
F3 – F1(
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
2 −2 0 3) (
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
0 −1 1 2)Canvi
fila
2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files
(
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
0 0 0 0)2F3 – F2
Rang(A) = 22 files no nul·les
p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94

17. 4. Matrius inverses
Trobar la matriu inversa: el mètode de Gauss-Jordan.
A=
(
2 −1 2
4 −3 −1
−6 4 −2) (
2 −1 2 1 0 0
4 −3 −1 0 1 0
−6 4 −2 0 0 1)
(
2 −1 2 1 0 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 1 4 3 0 1)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
(a11=0)
F2 – 2F1
(
2 0 7 3 −1 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 0 −1 1 1 1)F3 + F2
F1 – F2
(
2 0 0 10 6 7
0 −1 0 −7 −4 −5
0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3
F1 + 7F3

18. (
2 −1 2 1 0 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 1 4 3 0 1)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
F2 – 2F1
(
2 0 7 3 −1 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 0 −1 1 1 1)F3 + F2
F1 – F2
(
2 0 0 10 6 7
0 −1 0 −7 −4 −5
0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3
F1 + 7F3
2n pas: Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la
matriu identitat.
(
1 0 0 5 3 7/2
0 1 0 7 4 5
0 0 1 −1 −1 −1 )- F2
1/2F1
- F3
p21 28, 29

19. 5. Equacions matricials
a) Tipus AX = B
AX =B
Identitat
A
−1
· AX =A
−1
· B X =A
−1
· B
b) Tipus XA = B
XA=B
Identitat
XA· A
−1
=B· A
−1
X =B· A
−1
c) Tipus AX + B = C
AX +B=C
Identitat
A−1
· AX =A−1
·(C−B)
X =A−1
·(C−B)
AX =C−B
p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10