Matemàtiques 3r i 4t eso

MATEMÀTIQUES
3r i 4t d'ESO
Setembre 2015 – Juny 2017
INS Les Termes Sabadell
Prof: Albert Sola

3r ESO 15-16
1. Repàs de 2n ESO
2. Estadística
3. Nombres racionals
4. T. de Pitàgores i Semblança
5. Monomis i polinomis
6. Equacions de 2n grau
7. Funcions
8. Sistemes d'equacions
9. Els cossos geomètrics
Sortida a Barcelona
Pel·lícula 21 Black Jack
Taller cossos geomètrics
4t ESO 15-16
1. Semblança
2. Trigonometria
3. Geometria analítica
41. Polinomis
42. Equacions i Sistemes
5. Funcions
6. Arrels
7. Estadística
Sortida a Cornellà
Pel·lícula The imitation game
Taller Colisseu

Unitat 1: Repàs 2n ESO
1. Els nombres
2. Càlcul amb nombres enters
3. Càlcul amb fraccions
4. Potències
5. Proporcionalitat numèrica
6. Proporcionalitat geomètrica
7. Equacions
8. Geometria

1. Els Nombres
-Naturals
-El 0
-Negatius
Nombres Enters
Nombres Fraccionaris
Nombres Racionals
ℕ
ℤ
ℚ
6
8
, -3,26, 5,333...
Els Nombres Racionals (Q) són tots aquells que es poden expressar en
forma de fracció.

a) Criteris en eliminar parèntesis
-En suprimir un parèntesi precedit del signe +, els signes interiors no
varien.
-En suprimir un parèntesi precedit del signe -, els signes interiors
s'inverteixen.
+ (5 – 7 + 4) = 5 – 7 + 4
- (5 – 7 + 4) = -5 + 7 - 4
b) Suma de dos nombres enters
-Si tots dos són positius, se sumen els valors absoluts i el resultat és
positiu.
-Si tots dos són negatius, se sumen els valors absoluts i el resultat és
negatiu.
-Si un és negatiu i l'altre positiu, es resten els valors absoluts i el
resultat té el signe del que sigui més gran.
6 exemples
6 exemples
6 exemples

c) Suma/resta de diversos nombres
-1r eliminarem parèntesis:
Fitxes
5 – (3 – 10) + (4 – 8 + 2) – (7 – 5 + 1) =
5 – 3 + 10 + 4 – 8 + 2 – 7 + 5 – 1 =
-2n ordenarem positius i negatius:
5 + 10 + 4 + 2 + 5 – 3 – 8 – 7 – 1 =
-3r sumarem positius per una banda i negatius per l'altra:
26 – 19 =
-4t farem la resta final.
7

-Caldrà aplicar la regla dels signes:
Positiu Negatiu
Positiu + -
Negatiu - +
O el que és el mateix:
+ · + = + + · - = -
- · - = + - · + = -
-Caldrà aplicar la jerarquia de les operacions:
1r) Interior de parèntesis
2n) Multiplicacions i divisions
3r) Sumes i restes Ex 5 i 6 pàg.11
Extres 11 i 12, pàg. 21
d) Multiplicació i divisió d'enters
e) Operacions combinades

a) Multiplicació i divisió de fraccions
2
3
·
4
5
=
8
15
2
3
:
4
5
=
10
12
=
5
6
Exercici 15 i 16 pàg.41

b) Suma i resta
NOMÉS es podran fer si el denominador té el mateix valor.
Exemple:
1
6
−
7
10

4
15
=

30
−

30


30
1
6
−
7
10

4
15
=


−





1r pas: Trobar un nou denominador, el mcm dels anteriors
6 = 2 · 3
10 = 2 · 5
15 = 3 · 5
Agafem comuns i no comuns amb l'exponent més alt:
mcm (6, 10 i 15) = 2 · 3 · 5 = 30

1
6
−
7
10

4
15
=

30
−

30


30
2n pas: Trobar els nous numeradors
Dividir
Multiplicar
Resultat
30 : 6 = 5 5 · 1 = 5
30 : 10 = 3 3 · 7 = 21
30 : 15 = 2 2 · 4 = 8
1
6
−
7
10

4
15
=
5
30
−
21
30

8
30

3r pas: Resoldre la operació
5
30
−
21
30

8
30
=
58−21
30
=
13−21
30
=
−8
30
=
−4
15
Exercici 2 pàg.31
5, 9 pàg 32
extres 18 i 19, pàg 41
Problemes 1 a 4, pàg. 34
26-42

4. Potències
a·a·a·a·...=a
n
Exponent
Basen vegades ex: 7·7·7·7=74
Ex 2, pàg. 56
-Si la base és positiva, és positiva
-Si la base és negativa: i exponent parell, positiva
i exponent senar, negativa
33
= 3 · 3 · 3 = 27
(-3)2
= -3 · (-3) = + 9
(-3)3
= -3 · (-3) · (-3) = - 27
(-3)4
= -3 · (-3) · (-3) · (-3) = + 81
(-3)5
= -3 · (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = - 243

4. Potències
-Propietats:
Exercici 5, 6, 7 pàg.49
Ex 3, 6, 7, 8 i 9 pàg 56
am
·an
=am+n am
a
n
=a
m−n
(am
)n
=am· n
a0
=1
a−n
=
1
an

Unitat 2: Estadística
1. Conceptes generals
2. Les Taules de freqüències
3. Tipus de gràfics
4. Paràmetres estadístics
4.1 De centralització
4.2 De dispersió
5. Taules de doble entrada

Exemple pàgina 7
L'Estadística és la part de les matemàtiques que s'ocupa de recollir,
ordenar i analitzar dades per tal d'estudiar les característiques o el
comportament d'un col·lectiu.
-Parts de l'estudi estadístic: 1r Elaborar una enquesta
2n Recollida de dades
3r Elaboració de les taules de freqüències
4t Calcular els paràmetres necessaris
5è Elaboració de gràfics
6è Anàlisi crític dels resultats (conclusions)

-Població: Conjunt de persones, animals o objectes al qual fa la
referència l'estudi.
Ex 1, pàg.11
-Mostra: Part de la població sobre la qual duem a terme la recollida de
dades.
Exemples pàgina 8
-Variable estadística: Característica o propietat concreta de la població
que volem estudiar.
Poden ser
-Qualitatives: no es poden expressar amb nombres
Color dels ulls, Menjar preferit, Religió, Professió
-Quantitatives: s'expressen amb números
Número germans, Alçada, Pes, Temperatura, Talles roba
Discretes (valors enters)
Contínues (qualsevol dins interval)

2. Les taules de freqüències
-Freqüència Absoluta (ni
): Nombre de vegades que es repeteix un
determinat caràcter o valor.
Exemple Esport preferit i Número de germans
-Variable estadística (xi
): A la 1a columna, si és quantitativa
s'anomenen valors, si és qualitativa s'anomenen caràcters.
-Mostra (N): La suma de totes les freqüències absolutes, que coincideix
amb el nombre d'individus que té la mostra.
Completar taules

-Tant per cent (%): És la fi
multiplicada per cent.
Ex 2 al 6, pàg.12
Afegim 4 columnes als exemples
-Freqüència relativa (fi
): És el resultat de dividir la ni entre la mostra (N).
-Freqüència absoluta acumulada (Ni
): És el resultat de sumar a la Ni
les Ni anteriors.
fi=
ni
N
-Freqüència relativa acumulada (Fi
): És el resultat de sumar a la fi les fi
anteriors.
N i=∑ni
F i=∑ f i
Exemples pàg.10 (marca de classe)

Ex 7 al 19, pàg.15
a) Diagrama de barres: Barres separades i tan altes com indiquin les
freqüències corresponents. Serveix per variables qualitatives o
quantitatives discretes.
b) Histograma: Barres juntes i tan altes com indiquin les freqüències
corresponents. Serveix per variables quantitatives contínues.
c) Polígon de freqüències: En un histograma, es construeix unint els
punts mitjos superiors de les barres.
d) Diagrama de sectors: Cada sector circular és proporcional a una
freqüència. S'han de repartir els 360 graus.
360 : N = graus per a cada unitat
graus per unitat · freqüència
Equip preferit
Exercici 5
Exercici 5
Equip preferit 5

Ex 20 al 32, pàg.21
a) La mitjana:
̄x=
∑ x· n
N
b) La mediana (Me): Ordenades de menor a majors els valors, la mediana
és el que ocupa el valor central. Si el nombre de valors és parell, es pren
la mitjana dels dos centrals.
c) La moda (Mo): És la variable que més es repeteix.
Exemple notes Albert: 7, 8, 6, 8, 6, 7, 9, 6

Unitat 3: Els nombres racionals
1. Les fraccions
1.1 Definició
1.2 Fracció d'un nombre
1.3 Fraccions equivalents
1.4 Pas a decimals i viceversa
2. Operacions amb fraccions
2.1 Suma i resta
2.2 Multiplicació, potència i divisió
3. Nombres racionals
Representació gràfica

1. Les fraccions
1.1 Definició
-Si numerador < denominador, la fracció és pròpia, expressa una part de
la unitat i el seu valor és inferior a 1.
3
4, 51, 52, 53
4
7
numerador
denominador
-Una fracció ens expressa un nombre que obtenim dividint el numerador
entre el denominador
4
7
=0,5714...
-Si numerador > denominador, la fracció és impròpia i el seu valor és
superior a 1. Si a més el numerador és múltiple del denominador, es tracta
d'un enter. 10
4
=2,5
36
12
=3
1, 42, 43

1. Les fraccions
1.2 Fracció d'un nombre
Problema: L'assistència a un Congrés de científics és de 210 participants.
Dues setenes parts són biòlegs, un terç són químics, una cinquena part
són físics, i 19/105 parts són geòlegs. Quants científics hi ha de cada
especialitat?
Volem calcular els 4/5 de 260
4
5
·260=
4· 260
5
=
1040
5
=208
(el numerador multiplica i el denominador divideix)
2, 44, 45,46, 47, 49, 50

1. Les fraccions
1.3 Fraccions equivalents
5, 54, 55
Dues fraccions són equivalents quan expressen el mateix nombre
3
4
a) Propietat de les fraccions equivalents
6
8
3
4
=
6
8
=0,75
En una equivalència de fraccions, el producte dels extrems és igual
al producte dels mitjans.
3
4
=
6
8
mitjans extrems
3 · 8 = 24
4 · 6 = 24

6, 7, 8, 56, 57, 58
b) Obtenció de fraccions equivalents
-Per amplificació: multipliquem numerador i denominador pel mateix
nombre.
3
4
=
6
8
=
12
16
=
24
32
-Per simplificació: dividim numerador i denominador pel mateix
nombre.
36
48
=
18
24
=
9
12
=
3
4
La fracció irreductible
57 i 58 DESCOMPOSANT!

1. Les fraccions
1.4 Pas de decimal a fracció i viceversa
a) Pas de fracció a decimal: dividir numerador entre denominador
4
7
=0,5714...
b) Pas de decimal exacte a fracció: al numerador s'hi posa el nombre
sense la coma, i al denominador una potència de 10 amb tants 0 com
xifres decimals té el nombre inicial.
3,47=
347
100
0,5=
5
10
=
1
2
2,125=
2125
1000
=
17
8
26, 27, 28, 29, 84

1. Les fraccions
1.4 Pas de decimal a fracció i viceversa
c) Pas de decimal periòdic a fracció: al numerador s'hi posa el resultat
de restar-li el període al nombre sense coma ni barret; al denominador
s'hi posa un nombre format per tants 9 com xifres té el període i
tants 0 com xifres té l'avantperíode.
5,38=
538−53
90
=
485
90
=
97
18
1, 23=
123−1
99
=
122
99
30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 86, 87, 88, 89

2. Operacions amb fraccions
2.1 Suma i resta
NOMÉS es podran fer si el denominador té el mateix valor.
Exemple:
1
6
−
7
10

4
15
=

30
−

30


30
1
6
−
7
10

4
15
=


−





1r pas: Trobar un nou denominador, el mcm dels anteriors
6 = 2 · 3
10 = 2 · 5
15 = 3 · 5
Agafem comuns i no comuns amb l'exponent més alt:
mcm (6, 10 i 15) = 2 · 3 · 5 = 30

3r pas: Resoldre la operació
5
30
−
21
30

8
30
=
58−21
30
=
13−21
30
=
−8
30
=
−4
15
9, 10, 11, 12, 60-67
2.2 Multiplicació, potència i divisió
2
3
·
4
5
=
8
15
2
3
:
4
5
=
10
12
=
5
6
3
2 
2
=
3
2
2
2
=
9
4 3
2 
−2
=2
3 
2
=
2
2
3
2
=
4
9
13, 14, 15, 16, 17, 18, exemp 9 i 10, 19, 20, 21, 68-82
22-25, 83

3. Nombres racionals i irracionals
-Naturals
-El 0
-Negatius
Nombres Enters
Nombres Fraccionaris
Nombres Racionals
Nombres Irracionals
Nombres Reals
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ6
8
, -3,26, 5,333...
3,141592...
Els Nombres Racionals (Q) són tots aquells que es poden expressar en
forma de fracció.
Els nombres amb infinites xifres decimals no periòdiques, que no es poden
expressar en forma de fracció, formen el conjunt dels Nombres Irracionals.

Unitat 4: Teorema de Pitàgores i Proporcionalitat
geomètrica
1. El Teorema de Pitàgores
1.1 Formulació
1.2 Aplicacions
2. Semblança
3. Plànols, mapes i maquetes
4. El Teorema de Tales
4.1 Formulació
4.2 Aplicacions

En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets
és igual al quadrat de la hipotenusa.
1.1 Formulació
Pitàgores de Samos (illa grega), 582-496 aC,
filòsof i matemàtic, relació matemàtiques i la
música, terra rodona, secta dels pitagòrics,
doctrina estricta, “tot és nombre”, prohibit
menjar faves, llegenda mort pel camp de faves.
c
b
a
a2
=b2
c2

En un tringle rectangle, la hipotenusa és el costat oposat a
l'angle recte i el més llarg; els catets són els dos costats
adjacents a l'angle recte.
catet
hipotenusa
catet
Demostració:

a) Si coneixem 2 catets, càlcul de la hipotenusa
1.2 Aplicacions
c=8cm
b=15cm
a?
a
2
=b
2
c
2
a= b
2
c
2
a
2
=15
2
8
2
;
a
2
=22564;
a
2
=289 ;
a= 289=17cm
Exemple

b) Si coneixem la hipotenusa i un catet, càlcul de l'altre catet.
1.2 Aplicacions
c=20dm
b?
a=29dm
a
2
=b
2
c
2
b= a
2
−c
2
29
2
=b
2
20
2
;
841=b
2
400 ;
b
2
=841−400=441;
b= 441=21dm
Exemple 231

c) Si coneixem els tres costats, comprovar si és rectangle o no.
34
2
=30
2
16
2
;
Exercicis 231-257
Exemple 1: Tenim un triangle de costats 30, 16 i 34 cm. És un
triangle rectangle?
El més llarg hauria de ser la hipotenusa, per tant s'hauria de complir:
1156=900256 ; 1156=1156
SÍ
43
2
=32
2
20
2
;
Exemple 2: Tenim un triangle de costats 43, 20 i 32 cm. És un
triangle rectangle?
1849=1024400 ; 1849=1424
NO

2. Semblança
Dues figures són semblants quan són iguals o només es
diferencien en les dimensions que tenen.
a
a'
a
=
b'
b
=
c'
c
=
d '
d
=k
Exemple gràfic amb triangle
53, 54, 55, 261
77, 78, 80, 81, 82
b
c
d
a'
b'
c'
d'
Els segments corresponents són proporcionals, és a dir, la raó
entre cada parella de valors és constant.

Són representacions o figures semblants a la realitat.
La raó de semblança amb la realitat és l'Escala, que és el
quocient entre la unitat de longitud en la reproducció i la longitud
corresponent a la realitat.
E = 1:200 E = 1/200
Un centímetre al plànol són 200 cm de la realitat

-Exercici tipus 1: En el plànol d'una casa dibuixat a E=1/200, una
paret fa 2,5 cm. Quant fa a la realitat?
plànol
realitat
1
200
=
2,5
x
x=
200·2,5
1
=500cm=5m
-Exercici tipus 2: Dues ciutats disten 35 km. A quants centímetres
estan en un mapa a E=1/100000?
1
100000
=
x
3500000
x=
3500000·1
100000
=35cm
plànol
realitat

-Exercici tipus 3: Calcula a quina escala està la maqueta d'un
cotxe si una roda, que fa 60 cm de diàmetre a la realitat, hi és
representada amb un diàmetre de 2 cm.
plànol
realitat
1
x
=
2
60
x=
60·1
2
=30 E=1/30
71, 74, 75, 76
Activitat (llibreta):
I. Distància de Ripollet a Mataró / Distància de Manresa a l'Hospitalet
II. De l'Estació a l'Ajuntament / De la Presó al Centre Natació
III. Altura façana (x), Altura golfes (y), Profunditat semisoterrani (z)
IV. Ample edifici habitacions (x), Ample garatge (y), Llargada façana
sud (z)

Si un feix de rectes paral·leles tallen dues altres rectes
secants, els segments que hi determinen són proporcionals.
4.1 Formulació
Tales de Milet (actual Turquia), 625-546 aC,
filòsof, matemàtic, físic i astrònom, “aigua com
a origen de totes les coses”, terra rodona, lluna
reflecteix llum del sol, prediu eclipsi solar
585aC, viatg. Egipte, llegenda altura piràmides.

4.1 Formulació
b
a
c
b'
a'
c'
a'
a
=
b'
b
=
c'
c
=k Un parell d'exercicis d'exemple
44, 45, 46, 47

Comparteixen tots els angles, per tant són triangles semblants.
4.2 Aplicacions

4.2 Aplicacions
Quan dos triangles tenen dos dels costats sobre la mateixa
recta, i el tercer és paral·lel al corresponent, diem que estan en
posició de Tales, podem afirmar que són semblants i , per tant,
que els seus costats són proporcionals.
b
a
c
b'
a'
c'
b
a
c
b'
a'
c'
266, 265, 267, 268, Exem p126, 6.26, 6.27, 6.28

Unitat 5: Monomis i Polinomis
1. Els monomis x
2. Operacions amb monomis x
3. Polinomis x
3.1 Suma x
3.2 Resta x
3.3 Producte x
3.4 Quocient x
3.5 El valor numèric d'un polinomi x
3.6 Extracció de factor comú x
3.7 Productes notables x

Introducció a l'Àlgebra
Parts de les matemàtiques que coneixeu:
-Treball amb nombres, operacions,
jerarquia, etc.
-Treball amb figures planes i cossos,
al pla o a l'espai.
-Treball amb relacions de dependència
entre nombres: funcions.
-Treball amb dades: recopilació,
representació i interpretació.
-Treball amb nombres desconeguts,
que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...
Àlgebra
Estadística i probabilitat
Anàlisi
Geometria
Aritmètica

Un monomi és el producte indicat entre un nombre
conegut (el coeficient) i un o més nombres desconeguts
(lletres) elevats a un exponent natural (la part literal).
x
2
y
7Són monomis o no?
9xt
4xy
2 2
3
a
3
x
2
3x2
+4x 5√ x
7x
1
x
-Les lletres o incògnites no poden trobar-se al denominador, ni estar
elevades a un nombre que no sigui natural.
-No poden aparèixer ni sumes ni restes.
1. Els monomis

1. Els monomis
El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.
a) Nomenclatura Monomi de grau 4
(3+1=4)5x3
y
Coeficient
(el número) Part literal
(les lletres)
b) Grau d'un monomi
Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que són
monomis semblants.
c) Monomis semblants
3x
2
−4x
2 x
2
3
−5
3
x
2
Exercicis 1-4, 1-2

2. Operacions amb monomis
El producte d'un o més monomis és un monomi que té com a
coeficient el producte dels coeficients, i com a part literal el producte
de les parts literals.
2.1 Suma i resta:
2.2 Producte:
3x
2
+4x
2
−9x
2
=−2x
2
3a ·5b=(3·5)·(a·b)=15ab
Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest
cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part
literal.
2a+b−4a+2b=−2a+3b
5x
2
·2x
3
=(5· 2)·( x
2
· x
3
)=10x
5

2. Operacions amb monomis
2.3 Quocient:
2x2
:5x2
=
2x2
5x
2
=
2
5
Del quocient entre dos monomis se'n pot obtenir un nombre, un altre
monomi o una fracció algebraica. Posarem l'operació en forma de
fracció i simplificarem factors idèntics.
Exemples 3-4, Ex 5-7,3-10
6a3
b2
:2ab2
=
6a3
b2
2ab
2
=
2·3· a·a ·a·b·b
2·a ·b·b
=
3a2
1
=3a2
8x2
y:6y3
=
8x2
y
6y
3
=
2·2·2· x· x · y
2·3· y· y · y
=
4x2
3y
2
(Nombre)
(Monomi)
(Fracció algebraica)

3. Polinomis
a) Nomenclatura Polinomi de grau 4
11x3
y−7xy2
+5x−13
Terme
b) Grau d'un polinomi: el més alt dels termes que el formen.
8-10, 11-13
Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no
semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")
Terme Terme Terme
Grau 4 Grau 3 Grau 1 Grau 0
c) Oposat d'un polinomi: s'obté canviant els signes de cada terme

3. Polinomis
3.1 Suma:
A=5x3
−1
Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els
termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.
Exemple: B=7x3
−5x2
+3
A+B
5x
3
7x
3
−5x
2
+3+
−1
12x
3
−5x
2
+2

3. Polinomis
3.2 Resta:
A=5x3
−1
Restar és el mateix que sumar l'oposat. Així, procedirem de la mateixa
manera però sumant l'oposat del polinomi que actua de subtrahend.
Exemple: B=7x3
−5x2
+3
A−B=A+(−B)
5x
3
−7x
3
+5x
2
−3+
−1
−2x3
+5x2
−4

P(x)=3x
2
−2x+7
15-17, 18-20
Exemple: Q(x)=3x−5
P(x)·Q(x)
x
−15x
2
+10x−35
3x
2
−2x+7
3x−5
9x
3
−6x
2
+21x
9x
3
−21x
2
+31x−35
3. Polinomis
3.3 Multiplicació:

3x ·(5x
3
−2x)
Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la
propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes
de l'interior del parèntesi.
núm 5 fitxa monomis
3x ·(5x
3
−2x)=3x ·5x
3
−3x ·2x
3x·5x
3
−3x ·2x=15x
4
−6x
2
3. Polinomis
3.3 b Multiplicació per propietat distributiva:

18, 19 / 25, 22, 23, 24
P(x) Q(x)
C(x)
R(x)
4x3
+2x2
−4x+3
3. Polinomis
3.4 Divisió de polinomis
Dividend Divisor
Quocient
Residu
-Dividir 1r terme de P(x) entre el 1r terme de Q(x) per obtenir 1r de C(x)
-Multiplicar resultat per Q(x) i restar-lo a P(x) per obtenir nou dividend.
-Repetir operació fins que R(x) sigui de menys grau que Q(x).
2x2
−x+1
2x−4x3
+2x2
−2x
4x2
−6x+3
+2
−4x2
+2x−2
−4x+1

11-13 / 14-15
És el nombre o resultat que s'obté en substituir les incògnites
per nombres determinats i realitzar les operacions indicades.
Exemple: Trobar el valor numèric del següent polinomi per a x = 5.
3x2
+x+10
3·52
+5+10=3· 25+5+10=75+5+10=90
3·52
+5+10
si x = 5
3. Polinomis
3.5 El valor numèric d'un polinomi

15x
4
−6x
2
Extreure factor comú d'una expressió algebraica és aplicar la
propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns
ténen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un parèntesi.
Exemple 13, 21, 35 / fitxa monomis
3·5· x · x · x · x−3·2· x· x
3· x· x·(5· x· x−2)
3x
2
·(5x
2
−2)
3. Polinomis
3.6 Extracció de factors comuns:

ab
2
=a
2
2abb
2
Demostració:
a) Quadrat de la suma
(a+b)
2
=(a+b)·(a+b)=a ·a+a·b+b· a+b·b
a ·a1a ·b1a·bb·b=a
2
2abb
2
Exemple:
2x3y
2
=2x
2
2·2x ·3y3y
2
=4x
2
12xy9y
2
3. Polinomis
3.7 Productes notables

a−b
2
=a
2
−2abb
2
Demostració:
b) Quadrat de la diferència
(a−b)
2
=(a−b)·(a−b)=a ·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)
a ·a−a ·b−a ·bb·b=a
2
−2abb
2
Exemple:
2x
3
−6x
2
=2x
3

2
−2·2x
3
·6x6x
2
=4x
6
−24x
4
36x
2
3. Polinomis
3.7 Productes notables:
24, 25, 26

(a+b)·(a−b)=a
2
−b
2
27, 28, 29 / 26-36
Demostració:
c) Suma per diferència
(a+b)·(a−b)=a · a+a·(−b)+b·a+b·(−b)
a ·a−1a ·b+1a·b−b·b=a
2
−b
2
Exemple:
(x+2y)·(x−2y)=(x)
2
−(2y)
2
=x
2
−4y
2
3. Polinomis
3.7 Productes notables:

Unitat 6: Equacions de 2n Grau
0. Introducció: definició, solucions i tipus
1. Resolució d'equacions ax2
+ c = 0
+ bx = 0
= 0
+ bx + c = 0

0. Introducció
a) Les equacions de 2n grau són aquelles en què hi ha un
terme amb la incògnita x elevada a dos.
5x2
−3+4=3+2x
5x3
+x=4
Ll: 2, 3, 4
b) Poden tenir: dues solucions
una única solució
cap solució.
Sí
No (seria de 3r grau)
Ll: 5 i 6

c) Per resoldre equacions de 2n grau, abans les haurem
d'"arreglar" passant tots els termes al 1r membre i reduint-los,
obtenint la forma: ax2
+ bx + c = 0.
5x2
−3+4=3+2x
d) Hi ha dos tipus d'equacions de 2n grau:
5x2
−2x−2=0
ax2
+bx+c=0
ax2
+bx=0
ax2
+c=0
ax2
=0
Completes
Incompletes (falta algun terme)
"a" és el coeficient que acompanya x2
, "b" la x i "c"
el terme independent Identificar a, b i c

+c=0 (incompletes)
5x2
−180=0;5x2
=180; x2
=
180
5
;
Resol les equacions següents:
-Aïllarem la x2
, i farem l'arrel quadrada, obtenint dues
solucions, la negativa i la positiva.
x2
=36; x=√ 36=±6
3x2
- 3=0
2x2
=50
x2
-64=0
x2
=52-3
x2
-6=30
x2
/2=2
3x2
=220+23
x2
/3+9=60-3
13x2
-12x2
=16
x2
-117=4
-120+20=-x2
4x2
-2x2
=18
T: 47, 48 pàg 72

+bx=0 (incompletes)
-Extraurem factor comú dels termes del membre esquerre, i
igualarem a 0 cada un dels factors resultants, obtenint així dues
equacions senzilles de 1r grau.
3x2
+27x=0;
3· x · x+3·3·3· x=0
T: 49, 50 pàg.72
3x·(x+9)=0 Si el resultat del producte és 0, és
veritat que cada un dels factors pot
ser 0
3x=0; x=0/3; x=0
x+9=0; x=−9

=0 (incompletes)
-Si aïllem la x2
, en aquesta forma l'equació sempre tindrà una única
solució: x= 0.
6x2
=0; x2
=
0
6
; x2
=0 ; x=√ 0; x=0
Uns quants exemples absurds

+bx+c=0 (completes)
-Un cop transformada l'equació en la seva forma canònica,
identificarem els coeficients a, b i c per aplicar la fórmula:
x=
−b±√ b2
−4ac
2a
Exemple:
2x2
−3x−2=0
a=2
b=-3
c=-2
x=
−(−3)±√(−3)
2
−4·2·(−2)
2·2

x=
−(−3)±√(−3)
2
−4·2·(−2)
2·2
x=
3±√ 9+16
4
=
3±√ 25
4
=
3±5
4
3+5
4
=
8
4
=2
3−5
4
=
−2
4
=
−1
2
x=
TE: Ex.7, 17, 18 / p.71: 44, 45, 46
Ll: 22, 23

Exercicis:
3x2
+5x-2=0
5x2
-2x-3=0
x2
-2x+1=0
x2
-3x-4=0
3x2
-2x-1=0
x2
+5x+8=0
2x2
-4x+3=0
2x2
+5x-3=0

Unitat 7: Funcions
1. Introducció
2. Eixos de coordenades
3. Expressió de funcions
4. Funcions abstractes: x i y
5. Funcions lineals (de proporcionalitat directa) y=k·x
6. Funcions afins y=k·x+a
7. Funcions quadràtiques y=ax2
+bx+c
8. Funcions de proporcionalitat inversa y=k/x

1. Introducció
-Magnituds: Aspectes o fenòmens de la realitat que són mesurables:
distància, preu, superfície, temperatura, volum, temps, velocitat, pressió,
etc.
Sabem que n'hi ha que es relacionen entre si:
-Magnituds directament proporcionals
-Magnituds inversament proporcionals
Aquesta relació s'expressa mitjançant
-Les funcions: Són relacions de dependència entre dues variables tals que
cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la
variable dependent.

2. Eixos de coordenades (el terreny de joc)
Serveixen per representar punts concrets en el pla.
-Eix x: eix abscisses.
-Eix y: eix d'ordenades.
-Quatre quadrants.
-Origen de coordenades.
Les coordenades del
punt P són P(3,5).
3 és l'abscissa (x) i 5 és
la ordenada (y).
Exercici pissarra

3. Expressió de funcions
-Exemple1: kg de taronges que compro i el seu preu (m.directament prop.)
kg que compro preu que pago
1 1,25 euros
2 2,50 euros
3 3,75 euros
4 5 euros
a) Taula de valors: b) Expressió algebraica (funció)
Si P és "preu que pago" i n és
"kg que compro":
P = 1,25 · n
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
n: número de kg que compro
P:preuquepago
c) Gràfica en eixos de coordenades: Variable
dependent Variable
independent
1,25 = 1,25 · 1
2,50 = 1,25 · 2
3,75 = 1,25 · 3
5,00 = 1,25 · 4

0 1 2 3 4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
c: costat del quadrat
A:àreadelquadrat
-Exemple 2: àrea d'un quadrat i longitud del seu costat
costat Àrea
1m 1 m2
2m 4 m2
3m 9 m2
4m 16 m2
Si A és "àrea" i c és "costat":
A = c2
c) Gràfica en eixos de coordenades:
Variable
dependent
Variable
independent
1 = 12
4 = 22
9 = 32
16 = 42
Exercici: Taula, expressió i gràfica
de "litres de gasolina consumits"
i "km recorreguts" d'un cotxe
que gasta 7l cada 100km

-Exemple 3: Un cotxe va a 15m/s i frena uniformement, fins a aturar-se,
disminuint 3m/s cada segon. Magnituds: temps i velocitat
temps (s) velocitat (m/s)
0 15
1 12
2 9
3 6
4 3
5 0
Si v és "velocitat" i t és "temps":
v = 15 - 3 · t
Variable
dependent
Variable
independent
0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t: temps
v:velocitat

-Exemple 4: Un venedor de cotxes té un sou fix de 900 euros i cobra a
més 50 euros per cada cotxe venut. Magnituds: sou i cotxes venuts.
cotxes venuts (n) Sou (euros)
0 900
5 1150
10 1400
15 1650
20 1900
25 2150
Si S és "sou" i n és "cotxes venuts":
S = 900 + 50 · n
Variable
dependent
Variable
independent
0 5 10 15 20 25
0
500
1000
1500
2000
2500
n: cotxes venuts
S:salari
Exercici: Taula, expressió i gràfica
de "preu que pago" i "nombre de
retoladors que compro" en una
botiga on els retoladors valen 2 euros.

Aquestes funcions ens expressaven problemes reals.
-En una funció abstracta:
la variable dependent serà y
la variable independent serà x
P = 1,25 · n A = c2
v = 15 - 3 · t S = 900 + 50 · n
EXEMPLE:
y = 3x + 1
Variable
dependent
Variable
independent

-Per representar-la gràficament haurem de fer una taula de valors
y = 3x + 1
x y=3x+1
-2 y=3·(-2)+1=-5
-1 y=3·(-1)+1=-2
0 y=3·0+1=1
1 y=3·1+1=4
2 y=3·2+1=7
Variable
dependent
Variable
independent
Exercici: dibuixar funcions en eixos

Representen parells de magnituds directament proporcionals.
5. Funcions lineals: y=kx
y = k · x
kg que compro preu que pago
1 1,25 euros
2 2,50 euros
3 3,75 euros
4 5 euros
Exemple de les taronges:
1,25 : 1 = 1,25
2,50 : 2 = 1,25
3,75 : 3 = 1,25
5,00 : 4 = 1,25
1,25 és la constant de proporcionalitat "k". P = 1,25 · n
V. dependent
V.independent
nombre
-La v.ind. té per coeficient la constant de proporcionalitat (k).
-Sempre passa per l'origen de coordenades (0,0).
-Com més gran és k, més gran és el pendent de la funció.
-Si k és positiva, la funció lineal és creixent.
-Si k és negativa, la funció lineal és decreixent.

6. Funcions afins: y=kx+a
y = k · x + a
V. dependent
V.independent
nombre
-La v.ind. té per coeficient la constant de proporcionalitat (k).
-Com més gran és k, més gran és el pendent de la funció.
-Si k és positiva, la funció és creixent.
-Si k és negativa, la funció és decreixent.
-El nombre "a" indica el valor per al qual la funció tallarà l'eix
d'ordenades (y)
nombre

7. Funcions quadràtiques: y = ax2
+ bx + c
y = a · x2
+ b · x + c
V. dependent
V.independent
-Les funcions quadràtiques dibuixen una corba anomenada paràbola.
-Com més gran és la "a", més apuntada és la paràbola.
-Si la "a" és positiva, la paràbola mira cap amunt, si la "a" és negativa
mira cap avall.
-Si apareix "bx", la paràbola es desplaça lateralment.
-La "c" indica el valor per al qual la paràbola tallarà l'eix d'ordenades (y)

Representen parells de magnituds inversament proporcionals.
8. Funcions de proporcionalitat inversa: y=k/x
-Exemple 5: En un dòmino de 28 fitxes, quantes fitxes toquen per jugador?
jugadors
(x)
fitxes
c/jug. (y)
1 28
2 14
4 7
7 4
14 2
28 1
Si x és "jugadors" i y és "fitxes/jug":
y = 28 / x
Variable
dependent
Variable
independent
Nombre de jugadors (x) i nombre de fitxes per jugador són mgn.inv.prop.
1 · 28 = 28
2 · 14 = 28
4 · 7 = 28
7 · 4 = 28
14 · 2 = 28
28 · 1 = 28
28 és la constant de proporcionalitat "k"
x · y = 28 ; y = 28/x

La funció forma un corba anomenada "hipèrbola"
Representar 16/x i -16/x

Característiques:
y = k / x
V. dependent
V.independent
nombre
-Les funcions de proporcionalitat inversa dibuixen una corba
anomenada hipèrbola.
-La v.ind. (x) està al denominador.
-Si k és positiva, la funció és decreixent.
-Si k és negativa, la funció és creixent.

EN RESUM:
-Funcions lineals:
-Funcions afins:
-Funcions quadràtiques:
-Funcions de
proporcionalitat inversa:
y = k · x
y = k · x + a
y = k · x2
+ bx + a
y = k / x
Recta
Recta
Paràbola
Hipèrbola

Unitat 8: Sistemes d'Equacions
1. Introducció
2. Mètode de resolució gràfica
3. Mètode de substitució
4. Mètode d'igualació
5. Mètode de reducció
6. Problemes a resoldre amb sistemes

1. Introducció
Tindrem un sistema d'equacions quan dues equacions s'hagin
de complir al mateix temps.
4x+4=2y
3y=15−3x
S'han de complir al mateix temps.
La solució del sistema serà un parell de valors (x i y) que
verificaran simultàniament les dues equacions.
Si x=1 i y=4, s'ha de verificar:
4·1+4=2·4
3· 4=15−3·1
4+4=8
12=15−3
Ok.

2. Mètode de resolució gràfica
Consisteix a assimilar cada equació a una recta
representada a un pla de coordenades. Les solucions x i y
seran les coordenades del punt a on es creuin.
−x+ y=−1
2x+3y=12
x+y=7
x−y=3
3x−y=0
2x+3y=11
4x+y=−8
y−x=7
3x+5y=8
5x−2y=3
x+y=6
x−y=0
2x+ y=7
2x+ y=−2
3x−y=4
6x−2y=8

-Tipus de sistemes:
Compatibles
Incompatibles
Determinats
Indeterminats
Paral·leles
Secants
Coincidents
x−y=3
x+2y=9
x+y=5
x−y=3
2x+y=13
x−y=2
x+y=7
y−x=5
x+y=6
2x−2y=12
3x−5y=9
3x−y=−3
x−3y=2
3x−2y=6
2x−6y=4
9x−6y=18
x+2y=3
2x+4y=6

3. Mètode de substitució
Consisteix a aïllar una de les incògnites en una de les
equacions, i substituir en l'altra equació la incògnita aïllada per la
seva expressió equivalent.
EXEMPLE:
3x+2y=−11
x−3y=−33
1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en una de les equacions.
x−3y=−33; x=−33+3y
La "x" de la segona és la més fàcil:

3x+2y=−11
x−3y=−33
1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en una de les equacions.
x−3y=−33; x=−33+3y
La "x" de la segona és la més fàcil:
2n pas: Substituir la incògnita aïllada en l'altra equació.
3(−33+3y)+2y=−11
3r pas: Resoldre l'equació de primer grau que m'ha quedat.
3(−33+3y)+2y=−11; −99+9y+2y=−11;
11y=−11+99; y=
88
11
=8

3·(−9)+2·8=−11
−9−3·8=−33
4t pas: Resoldre l'altra incògnita.
x=−33+3y ;
5è pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.
Utilitzant l'expressió obtinguda al primer pas:
Ara ja sabem que y=8
x=−33+3·8;
x=−33+3·8=−33+24=−9
SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = -9 i y = 8
−27+16=−11
−9−24=−33
−11=−11
−33=−33
Ok.
A tope amb els del llibre

3x+4y=4
x−3y=10
5x−y=7
x−5y=11
5x−12y=26
3x+4y=38
2x+y=13
x−y=2
x+2y=4
2x−4y=0
x+y=8
x−y=8
x+2y=3
2x+4y=6
2x+ y=13
x−y=2
x+y=5
x−y=3
2x+3y=4
4x+6y=8
3x−4y=8
6x−8y=15

4. Mètode d'igualació
Consisteix a aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions, i
igualar l'expressió obtinguda.
EXEMPLE:
5x− y=2
−2x− y=2
1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en les dues equacions.
La "y" és la més fàcil:
5x− y=2
−2x−y=2
5x−2=y
−2x−2= y

5x−2=−2x−2
2n pas: Igualar les dues expressions obtingudes.
3r pas: Resoldre l'equació de primer grau que m'ha quedat.
1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en les dues equacions.
La "y" és la més fàcil:
5x− y=2
−2x−y=2
5x−2=y
−2x−2= y
5x−2=−2x−2;5x+2x=−2+2
7x=0; x=
0
7
=0

5·0−(−2)=2
−2·0−(−2)=2
4t pas: Resoldre l'altra incògnita.
5x−2= y ;
5è pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.
Utilitzant una de les expressions obtingudes al primer pas:
Ara ja sabem que x=0
5·0−2=y ;
y=−2
SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = 0 i y = -2
0+2=2
0+2=2
2=2
2=2
Ok.

3x+4y=4
x−3y=10
5x−3y=0
2x+ y=11
x+3y=6
5x−y=−2
4x+5y=−12
−2x+ y=6
x+y=5
x−y=3
2x+y=13
x−y=2
2x+5y=10
4x+10y=20
2x−y=−1
3x+ y=11
−x+ y=3
2x−2y=−6
2x+y=8
2x+ y=12
2x+y=8
2x−y=12
x−y=5
2x−2y=10

5. Mètode de reducció
Consisteix a multiplicar cada equació pel nombre adequat
perquè, en sumar o restar les dues equacions resultants, s'obtingui
una equació amb una sola incògnita.
EXEMPLE: 3x+2y=−11
x−3y=−33
1r pas: Transformar les dues equacions multiplicant-les per un
nombre que faci eliminar una de les dues incògnites.
3x+2y=−11
x−3y=−33
·1
·(-3)
3x+2y=−11
−3x+9y=+99

2n pas: Sumar les dues equacions, i resoldre la que queda.
1r pas: Transformar les dues equacions multiplicant-les per un
nombre que faci eliminar una de les dues incògnites.
3x+2y=−11
x−3y=−33
·1
·(-3)
3x+2y=−11
−3x+9y=+99
3x+2y=−11
−3x+9y=+99
11y=88; y=
88
11
; y=8

3·(−9)+2·8=−11
−9−3·8=−33
3r pas: Resoldre l'altra incògnita utilitzant una de les equacions
inicials.
4t pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.
Ara ja sabem que y=8
SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = -9 i y = 8
−27+16=−11
−9−24=−33
−11=−11
−33=−33
Ok.
x−3y=−33
x−3·8=−33; x−24=−33;
x=−33+24=−9

3x+4y=4
x−3y=10
x−y=5
x+ y=3
3x+4y=24
−x+ y=−1
x−3y=1
5x+3y=−13
x+y=0
2x−3y=25
3x+4y=1
4x−2y=5
6x+7y=13
2x+3y=5
x+y=5
x−y=3
2x+3y=4
4x−y=1
2x+y=13
x−y=2
x−5y=6
4x+3y=1
x+2y=25
2x+3y=40

2. Simplificació: arreglem els sistemes
Si ens trobem parèntesis i denominadors, abans de fer res els
haurem de liquidar.
Objectiu: deixar el sistema en la forma:
ax+by=c
dx+ey= f
Exercici 1 del full
-Els parèntesi els treiem aplicant la propietat distributiva.
-Els denominadors els treiem multiplicant cada terme pel mcm de
tots ells.
*Tinguem en compte que cada una de les dues equacions és independent

Unitat 7: Els cossos geomètrics
1. Classificació: poliedres i cossos de revolució
2. Superfícies i desenvolupaments
2.1 Prismes
2.2 Piràmides
2.3 Poliedres regulars
2.4 Cilindres
2.5 Cons
2.6 Esfera
3. Volums
3.1 Unitats de volum
3.2 Prismes i cilindres
3.3 Piràmides i cons
3.4 Esfera

-Prismes
-Piràmides
-Poliedres regulars o platònics
-Poliedre: cos geomètric limitat per polígons.
Elements: cares, arestes i vèrtexs.
-Cilindres
-Cons
-Esferes
-Cos de revolució: cos geomètric que es genera fent girar
una superfície plana al voltant d'un eix.

Un prisma és un poliedre limitat per dos polígons iguals i paral·lels
(les bases) i uns quants parel·lelograms (les cares laterals)
2.1 Els prismes
Prisma de base
hexagonal
Arestes
Cares laterals Vèrtexs
Altura: distància
entre les bases
2 Bases
-Casos especials: Ortoedres i Hexaedres o cubs.

Desenvolupament (desplegar-lo):
2.1 Els prismes
2 bases + 1 rectangle
Àrea base=
P ·ap
2
Àrea lateral=P ·h
Àrea d ' un prisma=Àrea lateral2· Àrea de labase
7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.10 i 7.11

Una piràmide és un poliedre limitat per una sola base i unes cares
laterals en forma de triangle amb un vèrtex en comú.
2.2 Les piràmides
Piràmide de base
pentagonal
Cares laterals
1 base
Apotema de la base
Apotema de la
piràmide
Vèrtex
de la piràmide
Altura de la
piràmide

Desenvolupament:
2.2 Les piràmides
1 base + 5 triangles
Àrea base=
P·apb
2
Àrea lateral=n·
c·app
2
Àrea d ' una piràmide=Àrea lateralÀrea delabase
7.12, 7.13, 7.39, 7.44, 7.47

Un poliedre regular té totes les cares idèntiques.
2.3 Els poliedres regulars o platònics
Tetraedre: quatre triangles equilàters
Hexaedre o cub: sis quadrats
Octaedre: vuit triangles equilàters
Dodecaedre: dotze pentàgons regulars
Icosaedre: vint triangles equilàters
Àrea total=n· Àrea dela cara
Exercici 7.41

Un cilindre és un cos de revolució generat a partir d'un rectangle,
amb dues bases que són cercles.
2.4 Els cilindres
Cilindre recte
Altura (distància
entre les dues bases)
Cara lateral
2 Bases
Eix de rotació
(Altura)
RectangleRadi

Desenvolupament:
2.4 Els cilindres
2 cercles + 1 rectangle
Àrea base=r
2
·
Àrea lateral=2··r ·h
Àrea d ' un cilindre=Àrealateral2· Àrea delabase
7.17, 7.18, 7.19

Un con és un cos de revolució generat a partir d'un triangle
rectangle, amb una base en forma de cercle.
2.5 Els cons
Con recte
Altura (eix de rotació)
Cara lateral
1 base
TriangleRadi
Generatriu

Desenvolupament:
2.5 Els cons
1 cercles + 1 sector
Àrea base=r
2
·
Àrea lateral= ·r · g
Àrea d ' un con=Àrea lateralÀrea dela base
7.22, 7.23, 7.24

Una esfera és un cos de revolució generat a partir d'un semicercle.
2.6 Les esferes
Radi
Àrea d ' una esfera=4· ·r
2
Exercici d'exemple

3. Volums
-La longitud és la mesura de la distància entre dos punts.
3.1 Les unitats de volum
-El volum és la mesura de l'espai que ocupa un cos.
-La superfície o àrea és la mesura de l'extensió que ocupa un pla.
1m
1m2
1m3
1m
1m · 1m = 1m2
1m · 1m · 1m = 1m3

Quina superfície de terra té
l'habitació? I quin volum ocupa?
Ample= 3m
Llarg = 4m
Alt =3m
Àrea = 3m · 4m = 12m2
Volum = 3m · 4m · 3m = 36m3

3. Volums
km hm dam m dm cm mm
3.1 Les unitats de volum
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
·10 :10
·100 :100 (10x10 = 100)
·1000 :1000 (10x10x10 = 1000)
kl hl dal l dl cl ml
L:
S:
V:
·10 :10
Capacitat:

km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
·1000 :1000 (100x100 = 1000)
kl hl dal l dl cl ml
V:
·10 :10
Capacitat:
t xx xx kg hg dag g
·10 :10
Pes (aigua):
Quadre d'exemples quotidians (4x5)
Exercicis pàg. 159
8.3

3. Volums
-L'ortoedre de dimensions a, b, c:
3.2 Prismes i cilindres
Volum=a·b·c Exemple, 8.8
-Per extensió, el cub d'aresta a:
Volum=a
3
Exemple, 8.9
-Per extensió, en prismes i cilindres:
Volum=Àrea delabase·h
8.13, 8.33-34-35-36-37

3. Volums
Per experimentació, sabem que una piràmide o un con ocupa una
tercera part del volum que ocupa el prisme o el cilindre que té la
mateixa base i la mateixa altura.
3.3 Piràmides i cons
Per tant, en piràmides i cons:
Volum=
1
3
· Àrea de la base·h
8.14-15-16

3. Volums
Per experimentació, sabem que una esfera ocupa dues terceres
parts del volum que ocupa el cilindre en la qual la podem inscriure.
3.4 L'esfera
Exemple, 8.19
8.33-58
Si R és el radi de l'esfera, el cilindre té
per radi de la base R, i per altura 2R.
Vc=· R2
·2R=2· · R3
Ve=
2
3
·Vc=
2
3
·2· · R3
Volumesfera=
4
3
· · R3

Institut Les Termes. Departament de Matemàtiques Nota:
3r ESO: Cossos geomètrics i proporcionalitat. Grups "1"
Nom i cognoms: Data: pàg. 1/6
SORTIDAA BARCELONA 3r D'ESO, 23 de novembre de 2015
Matèria: Matemàtiques
Tema: ELS COSSOS GEOMÈTRICS I LA PROPORCIONALITAT
Objectius didàctics de la sortida:
-Geometria: Identificar i reconèixer figures en el pla i cossos en l'espai
-Geometria: Càlcul d'àrees i volums
-Geometria/Informàtica: Ús del "Paint" i de l'"SketchUp"
-Proporcionalitat: Semblança de triangles i escales.
Metodologia:
-Material necessari: Carpeta, llapis i goma per dibuixar, papers en blanc, bolígraf per escriure.
Utilitzareu el mòbil per fer fotografies i per a la calculadora.
-El treball es podrà lliurar imprès en paper o escanejat i en format pdf via email.
-Es treballarà sobre el dossier que tens a les mans, afegint-hi una portada i els annexos necessaris de
dibuixos i fotografies.
-Cadascú lliurarà el treball individualment, si bé la feina durant la sortida es realitzarà en equips de
quatre persones com a màxim, i del mateix grup partit.
Avaluació:
-Aquest treball serà avaluat com una activitat del 1r trimestre.
-La puntuació és sobre 20 punts. Cada pregunta té indicat el seu valor en punts i el tema al qual
pertany (P proporcionalitat, G geometria). Les activitats que tenen el número ombrejat es faran
posteriorment a la sortida.

A. Baixada en tren
1. Membres del grup:
2. Cal que us fixeu bé per on passeu. Marca l'itinerari fet al mapa:
3. (P, 1p) En línia recta, de la Plaça de Catalunya al Parlament hi ha 2 km. Mesura quants
centímetres els separen en el mapa i completa la regla de 3 per esbrinar l'escala.
Paper Realitat
cm > cm
1 > x E: 1/
4. (P, 0,5p) Ara que ja saps l'escala, calcula quina distància hi ha de la Plaça de Sant Jaume a
Urquinaona.

5. (G, 1p) Recorda les fórmules del volum dels cossos a l'espai que coneixes:
Poliedres Cossos de revolució
B. Itinerari per Ciutat Vella
6. (G, 1p) Casa Jorba (1926) (Corte Inglés Portal de l'Àngel). Observa bé aquesta façana. Diries
que és més aviat plana o que té molt de relleu? Fés-li una foto i anota després les figures i cossos
geomètrics que hi puguis identificar.
[Adjunta-ho com a annex]
6b. Escapada fins a la Casa Martí-Els Quatre gats (1896)
7. (G, 1p) Palau Pignatelli (1968) Entra al pati interior i, prenent la mesura del radi, calcula la
longitud de l'arc de pedra.
Radi = Fórmula longitud circumferència:
Longitud arc =
8. (G, 0,5p) Façana posterior Casa de l'Ardiaca. Quins cossos geomètrics pots identificar formant
les torres que volen representar l'antiga muralla romana?
9. (G, 0,5p) Plaça de Sant Jaume. Observa al teu voltant, identifica i fotografia algun cos de
revolució format per un semicercle. Com anomenem aquest tipus de cos?

10. (G, 1p) Seu del Centre Excursionista de Catalunya-Columnes Temple romà. Entra al pati
interior i, prenent la mesura del radi, calcula l'àrea de pas de l'arc d'accés a les estances inferiors.
Radi = Fórmula àrea circumferència:
Àrea de pas =
11. (G, 1p) Capçalera de la Catedral-Plaça del rei. Observa al teu voltant, identifica, fotografia i
anota diferents cossos geomètrics. Aconsegueix-ne com a mínim un de cada família.
12. (G, 2p) Santa Maria del Mar - Façana. Asseu-te a la plaça i fés un dibuix de la façana
principal o lateral. Has d'intentar simplificar els volums i formes que veus.
13. (G, 2p) Santa Maria del Mar - Interior.
a) Observa bé l'espai: la profunditat de les capelles dels murs és la meitat que l'amplada de les naus
laterals, que al seu torn és la meitat de la de la nau central. L'altura d'aquestes capelles coincideix amb
l'ample de la nau central. L'altura màxima interior de l'edifici coincideix amb la seva amplada total: això fa
que la seva secció interior es pugui inscriure en un quadrat de 10x10 mòduls.
b) Observa bé la superfície del terra: cada tram de volta de la nau central és exactament un quadrat
de 4x4 mòduls en planta, i per tant els trams laterals són de 4x2.
Amb aquesta informació, completa esquemàticament la planta i la secció de l'edifici:

14. (G, 2p) Antic Mercat del Born. Càlcul del volum de l'espai central.
a) Quins dos cossos el conformen? Dibuixa'ls esquemàticament.
b) Pren les mesures:
-Costat de la base (c):
-Apotema de la base. Com que no la podem medir perquè hi ha un forat, utilitza aquesta
fórmula:
ap=
√ c
0,765
−
c
2
4
=
-Altura 1 (2c):
-Altura 2 (0,5c):
c) Càlculs:
-Fórmula de l'àrea del polígon regular:
-Aplicació de la fórmula:
-Càlcul del volum 1:
-Càlcul del volum 2:
-Suma total:

C. Parc de la Ciutadella
15. (P, 1,5p) Calcula l'alçada del Monument a Rius i Taulet servint-te de la proporcionalitat directa
entre la teva ombra i la de l'escultura.
a) Dibuix-Esquema:
b) Càlculs:
c) Resposta:
16. (G, 3p) Càlcul del volum del Castell dels Tres Dragons
a) Dibuixa, esquemàticament, l'edifici com a suma de diferens volums simples, i després
acota'l segons les mides preses.
b) Càlcul de l'altura mitjançant la proporcionalitat directa entre la teva ombra i la de l'edifici.
c) Càlculs per al volum total.
17. (GI, 2p) Genera a l'Sketchup Maker una maqueta virtual de l'edifici. Imprimeix diverses vistes.

3r ESO. Activitat per a l'expressió escrita
Nom i cognoms: Data:
VISIONAT DE LA PEL·LÍCULA: "21", Robert Luketic, EUA, 2008
Activitat: Es dedicaran dues sessions i mitja de classe a veure la pel·lícula, per després fer un petit
treball individual de redacció escrita. Aquest treball consisteix en desenvolupar les cinc qüestions
plantejades més avall. Caldrà fer-lo a l'ordinador amb el programa Word o similar i lliurar-lo imprès
en la data que s'indicarà.
Objectius: -Treballar la redacció escrita
-Conceptes matemàtics: Nombre d'Or, Probablilitat, Percentatges
-Treballar l'ús dels processadors de textos informàtics: tipologia lletra, justificacions,
taules, fórmules matemàtiques, etc.
Eines: Al Moodle hi ha penjats arxius d'ajuda per a fer un bon redactat.
Avaluació: El treball s'avaluarà com un examen més de l'assignatura. Els ítems a avaluar de la
redacció escrita són els següents:
Estructura del text: inici, desenvolupament i conclusions (si s'escau) 1 punt
Coherència: claredat i ordre en les idees 2 punts
Concordança i cohesió en les frases 2 punts
Lèxic: variat i adequat 1punt
Ortografia 2 punts
Presentació 2 punts
QÜESTIONS
1. Debat: a l'inici de la pel·lícula veiem com el protagonista té problemes perquè no té diners
per pagar-se la universitat. Creus que els estudis universitaris haurien de ser gratuïts? I els estudis
secundaris? Què opines? [mínim 3-4 línies]

2. En el pastís d'aniversari d'en Ben hi ha escrita amb nata la Successió de Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
a) Quants anys celebra?
b) Quina lògica segueix aquesta successió de nombres?
c) Completa-la fins al 377:
0 1 1 2 3 5 8 13 377
- -E- 1 2 1,5 1,66 1,6 1,62
d) Completa la segona fila de la taula dividint cada número per l'anterior. Què
observes?
e) Activitat grup: Amb l'ajuda de cinc voluntaris i una cinta mètrica, mesureu el
següent:
1. La distància "a" que hi ha, en cm, entre el terra i el melic
2. La distància "b" que hi ha entre el melic i el cap
Anota les mides en el següent quadre:
Distància a Distància b a/b
Persona 1
Persona 2
Persona 3
Persona 4
Persona 5
x =
f) A quin valor s'aproximen els resultats obtinguts? Quina lletra de l'abecedari grec
utilitzem per anomenar aquest nombre? Quin tipus de nombre és?
g) Agafa algun carnet de biblioteca, DNI, targeta sanitària o targeta bancària. Mesura
els dos costats i divideix el llarg entre el curt. Quin nombre torna a sortir?
Costat llarg: Costat curt:
costat llarg
costat curt
=

3. A la classe d'equacions no lineals, el professor Mickey Rosa planteja al protagonista "el
problema de Monty Hall", basat en un antic programa de televisió. Darrere tres portes hi ha
un sol premi, un cotxe; després d'una primera elecció, el presentador, que sap on s'amaga el
cotxe, obre una de les dues portes restants sense premi, i pregunta al concursant si vol
canviar l'elecció.
a) Tu què faries? Raona la teva resposta [mínim 3-4 línies]
b) La probabilitat es calcula amb la Regla de Laplace:
P=
nombre decasos favorables
nombre decasos possibles
Exemple: Càlcul de la probabilitat d'encertar el premi a la primera
P=
1 portaamb premi
3 portes aobrir
=
1
3
=0,33 · 100 = 33%
Llencem una moneda a l'aire, calcula:
-La probabilitat de treure cara: P (C) =
-La probabilitat de treure creu: P (+) =
Tirem un dau de sis cares, calcula:
-La probabilitat que surti un 6: P (6) =
-La probabilitat que surti nombre parell: P (2, 4, 6) =
En una baralla espanyola, calcula:
-La probabilitat de treure bastos: P (bastos) =
-La probabilitat de treure rei: P (rei) =
Jugant a la ruleta russa, calcula:
-La probabilitat de morir el 1r jugador: P (1r) =
-La probabilitat de morir el 2n jugador: P (2n) =
-La probabilitat de morir el 3r jugador: P (3r) =
-La probabilitat de morir el 4t jugador: P (4t) =
-La probabilitat de morir el 5è jugador: P (5è) =
-La probabilitat de morir el 6è jugador: P (6è) =
Si et toqués jugar-hi, què faries? Començar el primer o ser l'últim? [mínim 3-4 línies]

4. Completa la taula dels càlculs que el protagonista fa mentalment quan treballa de
dependent a la botiga:
Article Preu inicial Descompte Preu final
Cinturó 49,95 $ 15,00%
Jaqueta 589,95 $ 10,00%
Pantalons 365,00 $ 10,00%
Sabates 140,77 $ 0,00%
TOTAL:
Si el dòlar està a 0,89 euros, quin seria el cost total a Europa?
5. Escriu una ressenya crítica de la pel·lícula. La redacció ha de contenir com a mínim les
dades (any, lloc, director, actors, etc.), un resum de l'argument i l'opinió personal, si creus
que és bona o no, si t'ha agradat, etc.
[mínim 6-8 línies]

Temari matemàtiques 4t d'ESO
1. Semblança
2. Trigonometria
3. Geometria analítica. Vectors
4. Àlgebra
4.1 Polinomis (Ruffini, Factorització)
4.2 Equacions i sistemes
5. Funcions
6. Estadística
7. Probabilitat
8. Radicals
1T
2T
3T
ANÀLISI
ÀLGEBRA
GEOMETRIA
ARITMÈTICA
ESTADÍSTICA I COMBINATÒRIA
Avaluació: 55% exàmens, 30% activitats (deures) 10% actitud, 5% llibretes/Dossiers

Unitat 1: Semblança
1. Semblança
3. Semblança de triangles
4. Aplicacions de la semblança de triangles
5. Semblança en àrees i volums

1. Semblança
Dues figures són semblants quan tenen la mateixa forma i les
dimensions són proporcionals.
a
a'
a
=
b'
b
=
c'
c
=
d '
d
=k
Exemple pàg.108 Oralment 1, 2 i 3
Moodle: 25, 26, 27, 28, 29, 32, 34
Mètode de Projecció: Exemple 109, 6, 35, 36
b
c
d
a'
b'
c'
d'
Els segments corresponents són proporcionals, és a dir, la raó
de semblança entre cada parella de valors és constant.

2.1 Formulació
Tales de Milet (actual Turquia), 625-546 aC,
filòsof, matemàtic, físic i astrònom, “aigua com
a origen de totes les coses”, terra rodona, lluna
reflecteix llum del sol, prediu eclipsi solar
585aC, viatg. Egipte, llegenda altura piràmides.

2.1 Formulació
b
a
c
b'
a'
c'
a'
a
=
b'
b
=
c'
c
=k p110 E3, 8 i 9(divisió rectes)
40, 41, 45

3. Semblança de triangles
-Criteri 1: Dos triangles són semblants si tenen com a mínim
dos angles iguals. (el tercer tb ho serà)
3.1 Criteris
-Criteri 2: Dos triangles són semblants si els seus tres costats
són proporcionals. (si un falla ja no)
-Criteri 3: Dos triangles són semblants si tenen un angle igual
i els costats contigus són proporcionals.
3.2 Criteris entre dos triangles rectangles
-Criteri 1: Són semblants si un dels angles aguts és igual. (l'altre
tb ho serà)
-Criteri 2: Són semblants si els catets són proporcionals.
10, 47, 49, 51
13, 52, 53

4. Aplicacions de la semblança de triangles
Comparteixen tots els angles, per tant són triangles semblants.
4.1 La posició de Tales

Quan dos triangles tenen dos dels costats sobre la mateixa
recta, i el tercer és paral·lel al corresponent, diem que estan en
posició de Tales, podem afirmar que són semblants i , per tant,
que els seus costats són proporcionals.
b
a
c
b'
a'
c'
b
a
c
b'
a'
c'
E6, E7, 19, 20, 21, 59, 60, 61, 62, 63 i 64
4.2 Càlcul de distàncies

5. Semblança en àrees i volums
-Si dues figures planes són semblants, amb raó de semblança r,
les àrees són proporcionals i la raó de semblança és r2
.
Exemple quadrat
-Si dos cossos geomètrics són semblants, amb raó de semblança r,
els volums són proporcionals i la raó de semblança és r3
.
Exemple cub
E8, 22, 23, 24, 66, 67, 68, 69, 70

Unitat 2: Trigonometria
1. Introducció
1.1 Triangles
1.2 El Teorema de Pitàgores
2. Raons trigonomètriques d'un angle agut
3. Relacions trigonomètriques fonamentals
4. Raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º.
5. Ús de la calculadora
6. Resolució de triangles rectangles
7. Càlcul de longituds i àrees
8. Càlcul de distàncies

1. Introducció
1.1 Els triangles
Quadre classificació
-Un triangle és el polígon de tres costats i tres angles.
*Un polígon és una figura plana formada per una línia poligonal
tancada.
-Classificació segons els costats: Equilàter, Isòsceles i Escalè.
-Classificació segons els angles: Acutangle, Rectangle i Obtusangle.
-Importància en la vida real per la seva indeformabilitat.
Exemples

En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets
és igual al quadrat de la hipotenusa.
Formulació:
Pitàgores de Samos (illa grega), 582-496 aC,
filòsof i matemàtic, relació matemàtiques i la
música, terra rodona, secta dels pitagòrics,
doctrina estricta, “tot és nombre”, prohibit
menjar faves, llegenda mort pel camp de faves.
c
b
a
a2
=b2
c2
1.2 El Teorema de Pitàgores
catet
hipotenusa
catet

Demostració geomètrica:
4 blaus + a2
= 4 blaus + b2
+ c2
a2
= b2
+ c2
Fitxa Pitàgores

2. Raons trigonomètriques d'un angle agut
El sinus:
p124: E1, 1 i 2, 19, 20, 21, 23, Fitxa raons
catet
oposat
hipotenusa
α
catet contigu
catet
contigu
β
catet oposat
hipotenusa
c
b
a
sin α=
catet oposat
hipotenusa
=
c
a
α El cosinus: cosα=
catet contigu
hipotenusa
=
b
a
La tangent: tg α=
catet oposat
catet contigu
=
c
b

3. Relacions trigonomètriques fonamentals
sin
2
α+cos
2
α=1 tg α=
sin α
cosα
c
b
a
α
(c
a )
2
+(b
a )
2
=1
c
2
a2
+
b
2
a2
=1
c
2
+b
2
a2
=1
c
2
+b
2
=a
2
c
b
=
c
a
b
a
c
b
=
c
a
:
b
a
c
b
=
c·a
a·b
c
b
=
c
b
p125:E1,4,27,28,29,fitxaRelacions

4. Raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º
1
1
h
45º
h2
=12
+12
;h2
=1+1;h2
=2;h=√ 2
sin 45=
1
√ 2
=
1·√ 2
√ 2·√ 2
=
√ 2
2
cos 45=
√ 2
2
tg 45=
1
1
=1
a) Angle de 45º
11
1
60º
1/2
b) Angles de 30 i 60º
a
12
=a2
+(1
2)
2
;1=a2
+
1
4
;
a2
=1−
1
4
=
3
4
;a=
√3
4
=
√ 3
√ 4
=
√ 3
2
30º

11
1
60º
1/2
b) Angles de 30 i 60º
a
12
=a2
+(1
2)
2
;1=a2
+
1
4
;
a2
=1−
1
4
=
3
4
;a=
√3
4
=
√ 3
√ 4
=
√ 3
2
30º
sin 30=
1/2
1
=
1
2
cos30=
√ 3/2
1
=
√ 3
2
tg 30=
1
2
:
√ 3
2
=
2
2·√ 3
=
1
√ 3
=
1·√ 3
√ 3·√ 3
=
√ 3
3
sin 60=
√ 3/2
1
=
√ 3
2
cos60=
1/2
1
=
1
2
tg 60=
√ 3
2
:
1
2
=
2·√ 3
2
=√ 3
Fer quadre resum i empollar-lo com a animals

5. Ús de la calculadora
a) Sistema de mesura d'angles
MODE
Deg (1):
Rad (2):
Gra (3):
Degrees = Graus sexagesimals, minuts i segons
Radians: π = 180°, π/2 = 90°
Graus centesimals (90°/100)
Tots posem mode deg
b) Raons trigonomètriques
-Calcular el Cosinus de l'angle 53°23'47'':
COS 53 23 47 = 0,596275472
c) Trobar angle a partir de la raó
-Calcular l'angle que té per tangent 1,34:
SHIFT TAN 1,34 ° ' ''= 53,26717334
tan-1
= 53° 16' 1,82''
fitxa calculadora
° ' '' ° ' '' ° ' ''

6. Resolució de triangles rectangles
a) Problema tipus 1: Tenim dos catets
E3 p127
b) Problema tipus 2: Tenim un catet i la hipotenusa
(Resoldre un triangle significa dir quant valen tots els seus angles i costats)
-Calcular hipotenusa:
-Calcular un dels angles aguts:
-Calcular l'altre angle agut:
fitxa resolució
Per Pitàgores (+)
Amb la tg, i fer inversa
Restar a 90
E4 p127
-Calcular altre catet:
-Calcular un dels angles aguts:
Per Pitàgores (-)
Amb el sin/cos, i fer inversa
Restar a 90
c) Problema tipus 3: Tenim un costat i un angle
E5 p127
-Calcular 2n costat:
-Calcular 3r costat:
Per definició sin/cos/tan
Per definició sin/cos/tan
Restar a 90

7. Càlcul de longituds i àrees
p128, E7, E6 and go on
Àrea pol. reg.=
Perímetre· Apotema
2
Àrea triangle=
Base· Altura
2
Base
h
ap
Només sabent un angle i un costat d'un triangle rectangle, la trigonometria
ens permetrà mesurar altures i apotemes desconeguts.
ap
c
costat
c
c/2
α
h
h=c·sin α
sin α=
h
c α
ap=
c/2
tg α
tg α=
c/2
ap

8. Càlcul de distàncies a punts inaccessibles
47, 48, E9 p129
La clau per resoldre aquests tipus de problemes és:
-Identificar el triangle rectangle
-Tenir un dels costats (cinta mètrica, làser, roda mètrica, etc.)
-Tenir un dels angles (teodolit, clinòmetre)
Amb sin/cos/tg i Pitàgores puc aconseguir tot el què necessito
-Problemes més complexes: 2 triangles rectangles, un SISTEMA D'EQUACIONS
E10, 16, 62, fitxa problemes

Unitat 3: Geometria Analítica
1. Vectors
2. Operacions amb vectors
2.1 Suma i resta gràficament
2.2 Suma i resta per coordenades
2.3 Multiplicació per un nombre
3. Equacions de la recta:
Vectorial, Paramètrica, Contínua, Punt-pendent, Explícita, General
Exemples d'equacions de diverses formes geomètriques
4. Propietats analítiques i mètriques
4.1 Distància entre dos punts
4.2 Càlcul del punt mitjà

1. Vectors
Prèvia repàs coordenades
-Un vector és un segment orientat, amb un origen "A" i un
extrem "B", que anomenem AB.
A (a1
,a2
)
Exemples gràfics
-Mòdul: Longitud del segment.
-Direcció: Recta sobre la qual està situat (inclinació)
-Sentit: Manera d'anar d'origen a extrem (2)
-Coordenades: Indiquen quant avança en x, quant avança en y.
⃗AB=(b1−a1, b2−a2)
B (b1
,b2
)
p140 E1, 1, 2, 3, 4, 34, 35

Per Teorema de Pitàgores:
-Càlcul del mòdul
⃗v=(v1, v2)
p141 E2 amb dibuix, 6, 45, 46
v1
v2 ∣⃗v∣=√(v1)
2
+(v2)
2

2. Operacions amb vectors
2.1 Suma i resta gràficament
Fitxa
⃗v
⃗u
⃗v+⃗u
⃗v
⃗u
⃗v−⃗u
−⃗u

2.2 Suma i resta per coordenades
142 E4, 8, 9, retorn fitxa, 54, 55, 56, 57
⃗v=(v1, v2)
Si
⃗u=(u1, u2)
⃗v+⃗u=(v1+u1, v2+u2)
⃗v−⃗u=(v1−u1, v2−u2)
2.3 Multiplicació per un nombre
k ·⃗v=(k · v1, k · v2)
143 E5, 11, 12, 62, 63

3. Equacions de la recta
3 exemples a dibuixar
Per definir una recta necessitem: -un vector director (direcció)
-un punt de pas.
(x , y)=(a ,b)+t ·(v1, v2)
x=a+t ·v1
Equació vectorial de la recta
y=b+t ·v2
A(a,b)
⃗v P(x,y)
Equacions paramètriques de la recta
Els 3 exemples, p144 E6, 14, 15, 16

x=a+t ·v1
y=b+t ·v2
Equació contínua de la rectap145 E7, 17, 18 i 19
t=
x−a
v1
t=
y−b
v2
x−a
v1
=
y−b
v2
x−a
v1
=
y−b
v2
; (x−a)
v2
v1
= y−b ; m=
v2
v1
Pendent de la recta
y−b=m(x−a)
y−b=mx−ma; y=mx−ma+b ; y=mx+n
Equació punt-pendent
Equació
explícitan
20, 22, 23
E9, 21
Pas eix y

x−a
v1
=
y−b
v2
Equació general
A
(x−a)· v2=( y−b)·v1 ;
(x−a)· v2−( y−b)· v1=0 ;
v2 · x−v2 · a−v1 · y+v1 ·b=0;
v2 · x−v1 · y−v2 ·a+v1 ·b=0;
B C
Ax+By+C=0
⃗v=(v1, v2)=(−B , A)
p147 E10, 23, 24, 25, 26, 65, 66, 67, 69, 70

Exemples d'equacions de diverses formes geomètriques
ax+by+c=0
x−a
v1
=
y−b
v2
x−a
v1
=
y−b
v2
=
z−c
v3
x2
+y2
+Dx+Ey+F=0 (x−a)2
+( y−b)2
+(z−c)2
=r2
Rectaalpla
Rectaal'espai
Circumferència
Esfera

y2
=2px z=
x2
a2
+
y2
b2
z=
y2
b2
−
x2
a2
Paràbola
Paraboloide
Paraboloidehiperbòlicx2
a2
−
y2
b2
=1
Hipèrbola
Hiperboloide
Hiperboloidede2fullesx2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1 z2
c2
−
x2
a2
−
y2
b2
=1

x2
a2
+
y2
b2
=1
El·lipse
El·lipsoide
Hèlixcircular
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
x = a · cos t
y = a · sin t
z = h · t

4. Propietats analítiques i mètriques
p148, 27, 28
4.1 Distància entre dos punts en el pla
d (A, B)=√(b1−a1)2
+(b2−a2)2
⃗AM =
1
2
· ⃗AB
Si A(a1
, a2
) i B(b1
, b2
)
(m1−a1, m2−a2)=
1
2
·(b1−a1, b2−a2)
E11, 29
d (A, B)=∣ ⃗AB∣
4.2 Punt mitjà d'un segment
A
B
M
m1−a1=
b1−a1
2
;
1a coor.
m1=
b1−a1
2
+a1=
b1−a1+2a1
2
=
b1+a1
2
M (b1+a1
2
,
b2+a2
2 )

Unitat 41: Polinomis
1. Recordatori conceptes
2. Operacions bàsiques
3. Regla de Ruffini
4. Factorització de polinomis
5. Simplificació de fraccions algebraiques
6. Binomi de Newton

1. Recordatori conceptes
a) Nomenclatura Polinomi de grau 4
11x3
y−7xy2
+5x−13
Terme
b) Grau d'un polinomi: el més alt dels termes que el formen.
p56 E1, 3
Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no
semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")
Terme Terme Terme
Grau 4 Grau 3 Grau 1 Grau 0
c) Oposat d'un polinomi: s'obté canviant els signes de cada terme
d) Valor numèric d'un polinomi: valor que pren el polinomi quan en
coneixem les variables

2. Operacions bàsiques
2.1 Suma:
A=5x3
−1
Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els
termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.
Exemple: B=7x3
−5x2
+3
A+B
5x
3
7x
3
−5x
2
+3+
−1
12x
3
−5x
2
+2

2.2 Resta:
A=5x3
−1
Restar és el mateix que sumar l'oposat. Així, procedirem de la mateixa
manera però sumant l'oposat del polinomi que actua de subtrahend.
Exemple: B=7x3
−5x2
+3
A−B=A+(−B)
5x3
−7x3
+5x2
−3+
−1
−2x
3
+5x
2
−4

P(x)=3x2
−2x+7
E2, 1, 2, 26, 27, 28
Exemple: Q(x)=3x−5
P(x)·Q(x)
x
−15x
2
+10x−35
3x2
−2x+7
3x−5
9x3
−6x2
+21x
9x3
−21x2
+31x−35
2.3 Multiplicació:

p57 E3, 5, 34
P(x) Q(x)
C(x)
R(x)
4x3
+2x2
−4x+3
2.4 Divisió de polinomis
Dividend Divisor
Quocient
Residu
-Dividir 1r terme de P(x) entre el 1r terme de Q(x) per obtenir 1r de C(x)
-Multiplicar resultat per Q(x) i restar-lo a P(x) per obtenir nou dividend.
-Repetir operació fins que R(x) sigui de menys grau que Q(x).
2x2
−x+1
2x−4x3
+2x2
−2x
4x2
−6x+3
+2
−4x2
+2x−2
−4x+1

3. Regla de Ruffini
La regla de Ruffini ens permet fer divisions ràpidament quan el divisor
és un binomi del tipus “x – a”, essent “a” un nombre enter.
Paolo Ruffini (1765-1822)
Metge, filòsof i matemàtic.
Primer fer (x3
+1):(x-2) com fins ara.
1 0 0 1
2
1
2
2
4
4
8
9
El quocient és x2
+ 2x + 4 i el residu és 9.
8, 9, 10, 37, 38, 40

4. Factorització de polinomis
Un nombre “a” és arrel d'un polinomi P(x) si es compleix que P(x) és
divisible per “x – a”. La divisió ha de tenir un residu igual a 0.
Recordatori factorització de nombres naturals.
4.1 Arrels d'un polinomi
-Quines són les arrels del polinomi P(x) = x2
+ 2x – 3 ?
Propietats:
-L'arrel (nombre “a”) ha de ser divisor del terme independent.
-El nombre d'arrels mai serà superior al grau del polinomi.
p59 E5
1r: Poden ser: Div (-3) = {+1,-1,3,-3}

1 2 -3
+1
1
1
3
3
0
-Quines són les arrels del polinomi P(x) = x2
+ 2x – 3 ?
1r: Poden ser: Div (-3) = {+1,-1,3,-3}
2n: Anar comprovant per Ruffini
1 2 -3
- 3
1
-3
-1
3
0
3r: Les arrels són 1 i -3
p59 11, 12, 49, 50, 51

Factoritzar un polinomi consisteix en anar trobant binomis divisors de
tipus “x – a” fins a arribar a un polinomi irreductible, essent “a” una arrel del
polinomi.
4.2 La factorització d'un polinomi
-Exemple: factoritzar el polinomi P(x) = x4
– 2x3
+ 3x2
+ 2x – 4 ?
1r: Les arrels poden ser: Div (-4) = {+1,-1, 2, -2, 4,-4}
2n: Anar encadenant Ruffini's, començant de nou cada vegada:
1 -2 3 2 -4
1
1
1
-1
-1
2
2
4
4
0
-1 -1 2 -4
1 -2 4 0

-Exemple: factoritzar el polinomi P(x) = x4
– 2x3
+ 3x2
+ 2x – 4 ?
p61 fact. els del 17, E9b, 20 extret, 63, 64
1r: Les arrels poden ser: Div (-3) = {+1,-1, 2, -2, 4,-4}
2n: Anar encadenant Ruffini's, començant de nou cada vegada:
1 -2 3 2 -4
1
1
1
-1
-1
2
2
4
4
0
-1 -1 2 -4
1 -2 4 0
3r: Interpretar el resultat:
P(x) = x4
– 2x3
+ 3x2
+ 2x – 4 = (x – 1)·(x + 1)·(x2
– 2x + 4)

5. Simplificació de fraccions algebraiques
-Una fracció algebraica és aquella formada pel numerador i
denominador en forma de polinomis.
-Per simplificar-les factoritzarem els dos polinomis i n'eliminarem els
factors comuns.
Exemple:
p63 23,24,69,72,73
x2
+x
x
2
+2x+1
x2
+x=x·(x+1)
El numerador:
(no puc fer Ruffini,
extrec factor comú)
Exemple:
x2
+2x+1=(x+1)·(x+1)
El denominador:
(faig Ruffini) 1 2 1
- 1
1
-1
1
-1
0
=
x·(x+1)
(x+1)·(x+1)
=
x
x+1

6. El binomi de Newton
p60 E7, 14, 16, 55, 57
(x+ y)0
=
(x+ y)1
=
(x+ y)2
=
(x+ y)3
=
(x+ y)4
=
1
x+ y
(x+ y)(x+ y)=
x4
+4x3
y+6x2
y2
+4xy3
+y4
x2
+xy+ yx+ y2
= x2
+2xy+y2
(x+ y)(x2
+2xy+y2
)=(x3
+2x2
y+xy2
+yx2
+2xy2
+ y3
)
=x3
+3x2
y+3xy2
+y3
1
11
2
33
1
1
1
1
1
51
6
1010
1
15
4 4
Triangle de
Tartaglia:
(a+b)n
=A·an
+B·an−1
b+C · an−2
b2
+...+X ·bn

Unitat 7: Funcions
1. Introducció – recordatori curs anterior
2. Propietats de les funcions: domini i recorregut, punts de
tall amb els eixos, continuïtat, creixement i decreixement,
simetria, periodicitat
3. Funcions definides a trossos
4. Funcions polinòmiques
5. Funcions racionals
6. Funcions exponencials
7. Funcions trigonomètriques

1. Introducció - recordatori
Les funcions són relacions de dependència entre dues variables tals
que cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la
variable dependent.
a) Funcions lineals: y = k·x (recta)
c) Funcions quadràtiques:
y = k · x2
+ bx + a (paràbola)
b) Funcions afins: y = k·x + a (recta)
d) Funcions de proporcionalitat
inversa: y = k / x (hipèrbola)
Representar p158: 2, 25, 32

2. Propietats de les funcions
a) El domini (Dom f) d'una funció és el conjunt de tots els valors que pren
la variable independent (la x).
El recorregut (Im f) d'una funció és el conjunt de tots els valors que pren
la variable dependent (la y).
Exemples ràpids, 39,40, 41
b) Els punts de tall amb els eixos:
-Amb l'eix y es calcula f(0).
-Amb l'eix x es resol l'equació f(x)=0.
Exemples ràpids
c) Continuïtat: Una funció és contínua si la puc dibuixar amb un sol traç.
Quan aquesta s'interromp parlem de punts de discontinuïtat (evitable, de
salt finit, de salt infinit).
p162 E8, 13, 14

d) Creixement: En interval (x1
, x2
), si f(x1
) < f( x2
) la funció és creixent.
si f(x1
) > f( x2
) la funció és decreixent.
si f(x1
) = f( x2
) la funció és constant.
p163 E9, E10, 16, 17 i 18
e) Simetria: -Respecte eix y: f(-x) = f(x) Funció parella
-Respecte origen: f(-x) = -f(x) Funció imparella
E11, 19, 20 amb sketch
f) Periodicitat: Una funció és periòdica quan els valors de y es repeteixen
a intervals determinats. L'amplitud (T) d'aquest interval s'anomena
període. E12, 22, 23
practica p167, 49, 50, 55
-La funció presenta un màxim quan passa de creixent a decreixent, i un
mínim quan passa de decreixent a creixent.

3. Funcions definides a trossos
p161 10, 11 i 12
a) De primer grau: rectes f (x) = mx + n p174 2, 3
4. Funcions polinòmiques
b) De segon grau: paràboles f (x) = ax2
+ bx + c
p177 E5, 10Posició del vèrtex: V = ( -b/2a, f(-b/2a) )
c) De grau superior: corbes parabòliques
provatures

5. Funcions racionals
p178, sempre gsk, E6, 13, 14, E7, 16
6. Funcions exponencials
La x al denominador: hipèrboles f (x) = a/x
p180, sempre gsk, E8, 19, 20, 22, E10, 25, 26
La x a l'exponent: corbes exponencials f (x) = ax
7. Funcions trigonomètriques

6.Arrels
1. Definició d'arrel
2. Solucions d'una expressió radical
3. Radicals equivalents
4. Potències d'exponent fraccionari
5. Propietats dels radicals
-Producte
-Quocient
-Potència
-Arrel
6. Extracció de factors

1 Definició d'arrel
n
√ a=b
Índex
Radicand
Arrel (solució)
Radical
-L'índex n és sempre un nombre natural
-Si no hi ha valor, vol dir que n=2 i parlem d'arrel quadrada
-Si n=3 parlem d'arrel cúbica
-Si n=4 parlem d'arrel quarta, si n=5 parlem d'arrel cinquena, etc.

n
√ a=b si es compleix que b
n
=a
√ 9
√ 36
= 3 i -3
= 6 i -6
ja que 3 · 3 = 32
= 9
ja que 6 · 6 = 62
= 36
3
√ 27 = 3 ja que 3 · 3 · 3 = 33
= 27
Exercici 1 fitxa d'arrels
1 Definició d'arrel

2 Solucions d'una expressió radical
√ 36=+6
Exercici 2 fitxa
-Si l'índex és parell i el radicand positiu:
√ 36=−6
DUES SOLUCIONS: Una positiva i una negativa
√−9=∅
-Si l'índex és parell i el radicand negatiu:
CAP SOLUCIÓ: Un nombre per ell mateix mai pot donar negatiu
3
√ 8=2
-Si l'índex és senar:
3
√−8=−2
UNA ÚNICA SOLUCIÓ. Si el radicand és positiu l'arrel serà
positiva, i si és negatiu serà negativa

3 Radicals equivalents
√ 4=±2
-Si dos radicals tenen la mateixa arrel (solució), diem que
són equivalents o iguals
Fixem-nos que:
Per passar d'un radical a l'altre estem multiplicant l'índex i
l'exponent del radicand pel mateix nombre
5
√ 32=2
4
√ 16=±2
√ 4=
4
√ 16=
5
√ 32
√ 2
2
=
4
√ 2
4
=
5
√ 2
5
√ 22
=
4
√ 24
=
5
√ 25
·2
·2,5

Exercici 3 fitxa
És a dir:
Si multipliquem o dividim l'índex d'un radical i l'exponent del
radicand per un mateix nombre natural, obtindrem un radical
equivalent.
n
√ a
m
=
n· p
√ a
m· p
3
√ 7
2
=
3·3
√ 7
2·3
=
9
√ 7
6
√5
3
=
2·2
√ 5
3·2
=
4
√5
6
4
√ 3=
4·6
√ 3
1·6
=
24
√ 3
6 10
√ 2
15
=
10/5
√ 2
15/5
=
2
√ 2
3
3. Radicals equivalents

4. Potències d'exponent fraccionari
Exercici 4 fitxa
Una potència d'exponent fraccionari és igual a un radical que té
com a índex el denominador de la fracció, i com a radicand la
base elevada al numerador.
n
√ a
m
=a
m
n
9
1
2
=(3
2
)
1
2
=3
2·
1
2
=3
2
2
=3
√ 9=3i sabem que:
per tant:
√ 9=9
1
2
5
√ 23
=2
3
5 7
√52
=5
2
7 11
√ 7=7
1
11

-El producte de radicals del mateix índex és un altre radical que
té com a índex l'índex comú, i com a radicand el producte dels
radicands.
n
√ a·
n
√ b=
n
√ a·b 3
√ 2·
3
√ 5=
3
√ 2·5=
3
√ 10
-El quocient de radicals del mateix índex és un altre radical que
té com a índex l'índex comú, i com a radicand el quocient dels
radicands.
n
√ a:
n
√ b=
n
√ a:b 5
√ 45:
5
√ 9=
5
√ 45:9=
5
√ 5

-La potència d'un radical és un altre radical que té el mateix
índex i com a radicand la potència del radicand del primer.
(
n
√ a)
m
=
n
√ a
m
-El radical d'un radical és un altre radical de mateix radicand que
té com a índex el producte dels índexs.
m
√ n
√ a=
m·n
√ a
(
4
√ 23)
3
=
4
√ 23
3
3
√ 4
√ 7=
3· 4
√ 7=
12
√ 7
Exercici 5 fitxa

6. Extracció de factors
√ 108
Aplicant la propietat del producte de radicals:
√ 22
·33
=√ 22
·√ 33
=√ 22
·√ 32
·31
=√ 22
·√ 32
·√ 3
=
108
54
27
9
3
1
2
2
3
3
3
√ 2
2
·3
3
√ 2
2
·√ 3
2
·√ 3=2
2
2
·3
2
2
·√ 3=2·3·√ 3=6·√ 3
Passant els radicals a potència d'exponent fraccionari:
√ 108=6·√ 3És a dir:
Hem tret fora del radical tots els
factors possibles per a obtenir
un radicand més senzill.

Passos a seguir per extreure factors d'un radical:
3
√ 432=
3
√ 24
·33
1r: Descomposar en producte de factors el radicand
2n: Agrupar el factors en potències d'exponent igual a l'índex
del radical
3r: Per simplificació, les bases de les potències d'exponent
igual a l'índex, s'extreuen fora de l'arrel
3
√ 24
·33
=
3
√ 23
·21
·33
3
√ 23
· 21
·33
=2·3·
3
√ 2=6·
3
√ 2
Exercici 6 fitxa6. Extracció de factors

Unitat 7: Estadística
2. Les Taules de freqüències
4.2 De dispersió

-Població: Conjunt de persones, animals o objectes (elements) al qual fa
la referència l'estudi.
p194, E1, 1
-Mostra: Part de la població sobre la qual duem a terme la recollida de
dades.
L'Estadística és la part de les matemàtiques que s'ocupa de recollir,
ordenar i analitzar dades per tal d'estudiar les característiques o el
comportament d'un col·lectiu.
-Individu: Cadascun dels elements de la població.

2 i 3
-Variable estadística: Característica o propietat concreta de la població
que volem estudiar.
Poden ser
-Qualitatives: no es poden expressar amb nombres
Color dels ulls, Menjar preferit, Religió, Professió
-Quantitatives: s'expressen amb números
Número germans, Alçada, Pes, Temperatura, Talles roba
Discretes (valors enters)
Contínues (qualsevol dins interval)

-Freqüència Absoluta (fi
): Nombre de vegades que es repeteix un
determinat caràcter o valor.
-Variable estadística (xi
): A la 1a columna, si és quantitativa
s'anomenen valors, si és qualitativa s'anomenen caràcters.
-Mostra (N): La suma de totes les freqüències absolutes, que coincideix
amb el nombre d'individus que té la mostra.
-Tant per cent (%): És la fi
multiplicada per cent.
E2, 4, 5, 6
-Freqüència relativa (hi
), tant per u:
-Freqüència absoluta acumulada (Fi
): És el resultat de sumar a la Ni
les Ni anteriors.
hi=
f i
N
-Freqüència relativa acumulada (Hi
): És el resultat de sumar a la fi les
fi anteriors.
F i=∑ f i
H i=∑hi

7, 8 i 9, E3, 10, 11, 12
a) Diagrama de barres: Barres separades i tan altes com indiquin les
freqüències corresponents. Serveix per variables qualitatives o
quantitatives discretes.
b) Histograma: Barres juntes i tan altes com indiquin les freqüències
corresponents. Serveix per variables quantitatives contínues.
c) Polígon de freqüències: En un histograma, es construeix unint els
punts mitjos superiors de les barres.
d) Diagrama de sectors: Cada sector circular és proporcional a una
freqüència. S'han de repartir els 360 graus.
360 : N = graus per a cada unitat
graus per unitat · freqüència

E4, 13 i 14
a) La mitjana:
̄x=
∑ xi · f i
N
b) La mediana (Me): Ordenades de menor a majors els valors, la mediana
és el que ocupa el valor central. Si el nombre de valors és parell, es pren
la mitjana dels dos centrals.
c) La moda (Mo): És la variable que més es repeteix.

E6, 19, 20, 21
a) El rang: R=Màx−mín
b) Desviació mitjana:
c) Variància (σ2
):
4.2 De dispersió
DM =
∑ f i ·∣xi−̄x∣
N
σ2
=
∑ f i ·(xi−̄x)
2
N
d) Desviació típica (σ):
σ=
√∑ f i ·(xi−̄x)2
N
e) Coeficient de
variació:
CV =σ
̄x

Sortida a Cornellà. Les cúpules de Leonardo

4t ESO: Activitat per a l'expressió oral i escrita
VISIONAT DE LA PEL·LÍCULA “The imitation game” dir. Morten Tyldum, 2014
Activitat: es dedicaran dues sessions i mitja a veure la pel·lícula biogràfica, per
després fer un treball individual d'expressió escrita i una exposició oral en parelles
o trios. El treball escrit caldrà fer-lo en ordinador (TNR 12, 1,5) i lliurar-lo en la
data que s'indicarà.
Objectius:
-Treballar l'expressió escrita
-Treballar l'expressió oral
-Repassar el context històric de la Segona Guerra Mundial
-Reflexionar sobre diferents temes èticosocials
-Conceptes matemàtics: Informàtica, Intel·ligència artificial, Estadística
Avaluació:
Exp. escrita: Estructura del text (1p) Exp. oral: Claredat del discurs (2,5p)
Coherència (2p) Ordre, esctructura i lèxic (2,5p)
Concordança i cohesió (2p) Adequació del contingut (2,5p)
Lèxic (1p) Argumentació (2,5p)
Ortografia (2p)
Presentació (2p)
PART A: EXPRESSIÓ ESCRITA
1. La pel·lícula
Fés un breu resum de l'argument de la pel·lícula.
2.Alan Turing (1912-1954)
Qui fou Alan Turing? Consulta la seva biografia a la Viquipèdia.

3. La Segona Guerra Mundial
Quin és l'origen de la Segona Guerra Mundial? En quins dos bàndols es va desenvolupar la Guerra? Quins països
principals pertanyien a cada bàndol? Qui fou Winston Churchill (1874-1965)? Per què els soviètics tenien espies
dins del Govern britànic? ¿Quin país subministrava queviures a Londres, amb gran dificultat per la presència de
submarins alemanys? Com va acabar la Guerra i a quin any? Quin tipus de Guerra comença llavors?
Ajudant-te d'aquestes qüestions, fés un breu resum del context històric de la Segona Guerra Mundial.
4. El desxifratge de llenguatges i la criptografia
Quina importància van tenir els criptòlegs britànics en el desenllaç de la guerra? Per què els servia als nazis la
màquina Enigma? Com l'aconsegueixen vèncer? Mmfhfjy brtftuft gsbtft pvf bqbsfjyfo b mb qfm·mjdtmb:
“Quan les persones parlen mai diuen el què pensen. En què es diferencia això de la criptografia?”
-----------
“Vindrà ell, li he somrigut fa quinze minuts i ha tornat a mirar-me”
“Vol que m'acosti, m'ha somrigut fa una estona i m'ha tornat a mirar”
Tj fut dbqbd ef eftyjgsbs brtftu ufyu, sftqpo mft qsfhtouft j sfgmfyjpob tpcsf fmt dpejt wfscbmt j op wfscbmt bmt
rtbmt ftub tpunftb mb dpntojdbdjp ivnbob.

5. Les conductes d'assetjament
Llegeix aquestes frases que apareixen a la pel·lícula:
“Els humans obtenen una gran satisfacció de la violència, però si eliminem la satisfacció, l'acte perd
sentit”
“-Em peguen perquè sóc més llest que ells.-. -No, et peguen perquè ets diferent”
“De vegades, la persona a la qual ningú imagina capaç de fer res, fa coses que ningú imagina”
Com soluciona l'Alan Turing nen de la pel·lícula l'assetjament escolar que pateix? Per què creus que l'assetgen?
Has conegut algun cas real? Com es pot solucionar aquesta xacra ben present a la nostra societat?
Tot responent a aquestes preguntes, reflexiona sobre el respecte a la diferència.
6. El paper de la Dona a la societat
Per què la Joan Clarke (1917-1996) no pot accedir a treballar amb els altres criptòlegs? Què explica que el porter
no la cregui capaç d'haver resolt els mots encreuats? A quina Universitat va poder anar després de treure dues
Matrícules d'Honor? Quina és l'actitud dels seus pares davant la possibilitat d'anar a treballar a Bletchley Park?
Què s'entén per conducta indecorosa?
Utilitza aquestes qüestions per descriure el rol de la dona a la societat de mitjans del segle XX i reflexionar sobre
aquest a l'actualitat.

7. La homofòbia
Uns anys després de la Guerra, de què fou acusat Alan Turing? A quin càstig el van sotmetre? Com va acabar els
seus dies? Què s'entén per conducta indecent? Fins a quin any a la Gran Bretanya van estar imposant aquests tipus
de penes? Són vigents encara avui en alguns països?
Amb l'ajuda d'aquestes preguntes, desenvolupa una reflexió sobre la homofòbia, en què consisteix, per què es
produeix i fins a quin punt encara està present a la nostra societat.
8. L'origen de la informàtica i la intel·ligència artificial.
Llegeix aquestes frases que apareixen a la pel·lícula:
“I si només una màquina pot vèncer una altra màquina??”
------> La “Màquina Universal de Turing” (idea de màquina capaç de resoldre qualsevol problema)
“Digui'm: podran algun dia les màquines pensar com els humans?”
“La pregunta és estupida, perquè si màquines i humans són diferents, pensaran diferent.” [no es poden comparar]
“La pregunta és: si algú pensa diferent de nosaltres, significa que no pensa?” [pot pensar una màquina a la seva
manera?]
“¿No permetem que els humans tinguin discrepàncies entre si? Vostè plora amb les pel·lícues tristes i jo ploro
perquè sóc al·lèrgic al pol·len.”
“¿Quina explicació tenen els diferents gustos o preferències si no és que el seu cervell treballa de diferent
manera i per tant pensen diferent?”
“Si podem dir això l'un de l'altre, ¿per què no podem dir el mateix entre un cervell humà i un fet de metall?”
------> El “Test de Turing” (test ideat per comprovar si parles amb una màquina o un ésser humà)
“Què va fer durant la guerra? Vaig treballar en una fàbrica de ràdios.”
“Què va fer realment durant la guerra? ...Vostè m'està escoltant.”
Els últims anys la gran innovació tecnològica han sigut els smartphones (=telèfons intel·ligents) que porteu a la
butxaca. Els propers anys sembla que seran els cotxes sense conductor. Creus que algun dia les màquines podran
pensar? Aprendre? Tenir sentiments? Fer una revolució contra els humans? Moltes pel·lícules de ciència ficció
han tractat sobre el tema, n'has vist alguna?

9. Les fredes dades de l'Estadística
Un cop desxifrada Enigma, per què guarden la informació i no aborten de cop tots els atacs dels nazis? Què passa
amb el germà d'un dels criptòlegs? Quina mena de càlculs matemàtics fan per saber quan atacar i quan no? I amb
quin objectiu?
De vegades, la raó s'oposa als sentiments. Com hauries actuat tu en el seu cas? Salvaries al teu germà o guanyaries
la Guerra? Què opines sobre els atacs militars que alguns països fan contra uns altres, per exemple, per derrocar
un Dictador?
10. El Binomi de Newton
Durant l'entrevista de feina amb el comandant Alastair Denniston l'Alan Turing comenta que té vint-i-set anys i
que encara no ha fet res perquè, entre d'altres, Isaac Newton (1643-1727) ja havia formulat amb vint-i-dos anys el
Teorema del Binomi. Com que el vas aprendre el segon trimestre d'aquest curs, desenvolupa la següent expressió:
(x+3)
4
=
I ja que hi som, anuncia les tres Lleis de Newton de la mecànica clàssica:
I qui, segons el Turing de la pel·lícula, amb vint-i-sis anys posa fi a la mecànica clàssica amb la seva Teoria de la
Relativitat?

PART B: EXPRESSIÓ ORAL
Tria un dels temes implícits a la pel·lícula per fer una exposició oral d'entre 5 i 10 minuts. Es pot fer en solitari, en
parelles o trios com a màxim.
Temes: Alan Turing La Segona Guerra Mundial Criptografia
Assetjament escolar Discriminació per raó de sexe Homofòbia
Intel·ligència Artificial Ètica de la Guerra ...
Utilitza aquesta pàgina per fer un esquema/guió del què exposaràs:

Matemàtiques 3r i 4t eso

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Matemàtiques 3r i 4t eso

Similar to Matemàtiques 3r i 4t eso (20)

More from Albert Sola

More from Albert Sola (18)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

Matemàtiques 3r i 4t eso