Tema de racionals per 2n d'ESO, v.1.0

1. Unitat 2: Els nombres racionals
1. Nombres racionals i irracionals
Tres irracionals famosos
2. Les fraccions
2.1 Definició
2.2 Fracció d'un nombre
2.3 Fraccions equivalents
2.4 Pas a decimals i viceversa
3. Operacions amb fraccions
3.1 Suma i resta
3.2 Multiplicació, potència i divisió
4. Problemes amb fraccions
5. Problemes amb decimals

2. 1. Nombres racionals i irracionals
-Naturals
-El 0
Nombres Enters
-Negatius
Nombres Fraccionaris
Nombres Racionals
Nombres Irracionals
Nombres Reals
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ , -3,26, 5,333...
68
3,141592...
Els Nombres Racionals (Q) són tots aquells que es poden expressar en
forma de fracció.
Els nombres amb infinites xifres decimals no periòdiques, que no es poden
expressar en forma de fracció, formen el conjunt dels Nombres Irracionals.

3. 1. Nombres racionals i irracionals
-Tipus de nombres decimals:
-Decimals exactes:
-Decimals periòdics purs:
mixtes:
-Decimals amb infinites xifres
no periòdiques:
ℚ
Tria quatre nombres naturals i quatre enters negatius i passa'ls en forma
de fracció amb denominador diferent de 1.
Exercici ràpid classificació de nombres
Es poden passar a fracció,
són racionals
No es poden passar a
fracció, són irracionals

4. 1. Nombres racionals i irracionals
-Tres nombres irracionals famosos:
-El nombre π: 3,14159265...
En qualsevol circumferència, és la constant que surt de dividir
la seva longitud entre el seu diàmetre
-L'arrel quadrada de 2:
 2=1,414213...
S'utilitza com a constant de proporcionalitat entre els costats
del sistema DIN-A de fulls de paper.

5. -El nombre Φ (fi) o nombre d'or: 1,618033...
És una constant que trobem diverses vegades a la natura, a la
geometria, o a les matemàtiques, i que la humanitat, havent-la
descobert, l'ha utilitzat en l'art, l'arquitectura o per construir objectes.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

6. 2. Les fraccions
2.1 Definició
Diversos exemples
-Si numerador < denominador, la fracció és pròpia, expressa una part de
la unitat i el seu valor és inferior a 1.
Dels anteriors, quines són pròpies i impròpies
47
numerador
denominador
-Una fracció ens expressa un nombre que obtenim dividint el numerador
entre el denominador
47
=0,5714...
-Si numerador > denominador, la fracció és impròpia i el seu valor és
superior a 1. Si a més el numerador és múltiple del denominador, es tracta
d'un enter. 10
4 =2,5 36
12=3

7. 2. Les fraccions
2.2 Fracció d'un nombre
Volem calcular els 4/5 de 260
45
· 260=4· 260
5 =1040
5 =208
(el numerador multiplica i el denominador divideix)
Problema: L'assistència a un Congrés de científics és de 210 participants.
Dues setenes parts són biòlegs, un terç són químics, una cinquena part
són físics, i 19/105 parts són geòlegs. Quants científics hi ha de cada
especialitat?

8. 2. Les fraccions
2.3 Fraccions equivalents
Dues fraccions són equivalents quan expressen el mateix nombre
Exercici 2.45 pàg 42
Exercici 72
34
68
a) Propietat de les fraccions equivalents
34
=68
=0,75
En una equivalència de fraccions, el producte dels extrems és igual
al producte dels mitjans.
34=6
8
3 · 8 = 24
4 · 6 = 24
mitjans extrems

9. b) Obtenció de fraccions equivalents
-Per amplificació: multipliquem numerador i denominador pel mateix
nombre.
Exercicis 2.1, 2.3, 2.4 pàg 28, 30 i 31
34
=68
=12
16=24
32
-Per simplificació: dividim numerador i denominador pel mateix
nombre.
36
48=18
24= 9
12=34
La fracció irreductible
Exercicis simplificació ràpida descomposant (2.5)

10. 2. Les fraccions
2.4 Pas de decimal a fracció i viceversa
a) Pas de fracció a decimal: dividir numerador entre denominador
Exercici 2.48, pàg 42
Exercici 2.22, pàg 36
47
=0,5714...
b) Pas de decimal exacte a fracció: al numerador s'hi posa el nombre
sense la coma, i al denominador una potència de 10 amb tants 0 com
xifres decimals té el nombre inicial.
3,47=347
100
0,5= 5
10=1
2
2,125=2125
1000=17
8

11. 2. Les fraccions
2.4 Pas de decimal a fracció i viceversa
c) Pas de decimal periòdic a fracció: al numerador s'hi posa el resultat
de restar-li el període al nombre sense coma ni barret; al denominador
s'hi posa un nombre format per tants 9 com xifres té el període i
tants 0 com xifres té l'avantperíode.
Exercici 2.24, 25 pàg 37+mixts
5,3 8 =538−53
90 =485
90 =97
18
1, 23=123−1
99 =122
99

12. 3. Operacions amb fraccions
3.1 Suma i resta
NOMÉS es podran fer si el denominador té el mateix valor.
Exemple:
16
− 7
10 4
15=
30−
30
30
16
7
4
− 10 15=

−



1r pas: Trobar un nou denominador, el mcm dels anteriors
6 = 2 · 3
10 = 2 · 5
15 = 3 · 5
Agafem comuns i no comuns amb l'exponent més alt:
mcm (6, 10 i 15) = 2 · 3 · 5 = 30

13. 2n pas: Trobar els nous numeradors
16
− 7
10 4
15=
30−
30
30
Dividir
Multiplicar
Resultat
30 : 6 = 5 5 · 1 = 5
30 : 10 = 3 3 · 7 = 21
30 : 15 = 2 2 · 4 = 8
16
− 7
10 4
15= 5
30−21
30 8
30

14. 3r pas: Resoldre la operació
5
30−21
30 8
30=58−21
30 =13−21
30 =−8
30 =−4
15
Exercicis 2.10 pàg.31
3.2 Multiplicació, potència i divisió
23
· 4
5= 8
15
23
: 4
5=10
12=56
322
=32
22=94
32
−2
=23
2
=22
32=49
Exercici 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43

15. 4. Problemes amb fraccions
a) Tipus 1: Fracció d'un nombre
Ens dónen un total i n'hem de calcular una part.
Exemple: Hem buidat les 3/8 parts d'un dipòsit que contenia 2400 litres
d'aigua. Quants litres hem extret?
38
· 2400=3· 2400
8 =900 litres
Problemes 46, 47, 53 i 54

16. 4. Problemes amb fraccions
b) Tipus 2: Fracció d'un nombre: problema invers
Ens dónen una part i n'hem de calcular el total.
Exemple: En Jordi s'ha gastat les 3/8 parts dels seus estalvis en un
viatge. Si el viatge li ha costat 900 euros, quants diners tenia estalviats?
3/8 són 900 euros 900:3 = 300 euros cada vuitè
si el total són 8/8 300 · 8 = 2400 euros que tenia.
Problemes 52, 65 i 66

17. 4. Problemes amb fraccions
c) Tipus 3: Diferents parts d'un total
Ens dónen diferents parts d'un mateix total
Exemple: La Marta té 1500 euros en el seu compte. Se'n gasta 1/3 en
una cadena musical i 2/5 en una reparació del cotxe. Quina fracció del
total li queda? Quants diners li queden?
Problemes 45, 50, 51, 58, 61, 63, 64
13
25
= 5
15 6
15=11
15 s'ha gastat 11/15 dels diners.
per tant, li queden 4/15 del total.
4
·1500=4 ·1500
=400 euros
15
15

18. 4. Problemes amb fraccions
d) Tipus 4: Fracció d'una fracció
Ens dónen una part del total, i una altra part de la part que queda.
Exemple: D'un dipòsit de 1500 litres, en traiem 1/3 del contingut i, després,
2/5 del què hi quedava. Quina fracció queda? Quants litres queden?
Problemes 59, 60, 57 i 62
1r s'han tret 1/3 del total (queden 2/3)
25
·23
= 4
15
2n s'han tret 2/5 de 2/3
6
15
·1500=6 ·1500
15 =600litres
13
 4
15= 5
15 4
15= 9
15
per tant s'han tret 9/15 del total (Queden 6/15 = 2/5)
Problemes de concepte 34, 38, 44, 48, 55, 56, 67 a 71 59, 60, 57 i 62