Presentació de les integrals indefinides per a 2n de Batxillerat

1. Tema 4(11): Integrals indefinides
1. Concepte de primitiva i d'integral
2. Integrals de funcions elementals
3. Mètodes d'integració
3.1 Integració per parts
3.2 Integrals de funcions racionals
3.3 Integració per canvi de variable

2. 1. Concepte de primitiva i d'integral
F(x) és primitiva de f(x) si F'(x) = f(x)
∫ f (x)dx=F (x)+ k
f(x)=x2, f(x)=x+4, f(x)=sinx + 1/x, p266 1 i 2
La integral d'una funció és el conjunt de totes les seves primitives
diferencial d'x
constant d'integració
f(x) = 2x F(x) = x2
F(x) = x2
+ k
Propietats: ∫[ f (x)±g (x)]dx=∫ f (x)dx±∫g(x)dx
∫[k · f (x)]dx=k ·∫ f (x)dx p267 3

3. 2. Integrals de funcions elementals
∫c dx=cx+ k
"Truquillu" del factor numèric:
Petits exemples + E7abcd, 5
∫xn
dx=
x
n+ 1
n+ 1
+ k
∫ f (x)n
· f ' (x)dx=
f (x)n+ 1
n+ 1
+ k
E7ef, 6c
∫(3x4
−2)3
x3
dx=
"Em falta un 12!!"
1
12
∫(3x4
−2)3
12x3
dx
E8, 6ab, 7, 8, 51deures
per n=-1

4. ∫ 1
x
dx=ln∣x∣+ k
p270: E9, saber fer, 9, 10
per n=-1
∫ f '(x)
f (x)
dx=ln∣f (x)∣+ k
∫ax
dx=
ax
ln a
+ k
∫ex
dx=ex
+ k
∫a f (x)
· f ' (x)dx=
a f (x)
ln a
+ k
∫e f ( x)
· f ' (x)dx=e f (x)
+ k
p271: E10, 11,12

5. ∫sin x dx=−cos x+ k
p272: E11, 13, 14
∫sin f (x)· f ' (x)dx=−cos f (x)+ k
∫cos x dx=sin x+ k ∫cos f (x)· f ' (x)dx=sin f (x)+ k
∫(1+ tg2
x)dx=tg x+ k ∫(1+ tg2
f (x))· f ' (x)dx=tg f (x)+ k
∫ 1
cos2
x
dx=tg x+ k ∫ 1
cos
2
f (x)
· f ' (x)dx=tg f (x)+ k
52, 53, 54, 55, 57

6. 3. Mètodes d'integració
3.1 Integració per parts
∫u(x)·v' (x)dx=
[u(x)·v(x)]'=u' (x)·v(x)+ u(x)·v '(x)
Polinomi
ln
ex
sin x
cos x
(fàcils d'integrar)
u(x)·v(x)−∫v(x)·u' (x)dx
Pels amics,
∫u·dv=u ·v−∫v ·du
Demostració:
u(x)·v(x)=∫u' (x)·v(x)dx+∫u(x)·v '(x)dx
Integro
∫u(x)·v' (x)dx=u(x)·v(x)−∫v(x)·u'(x)dx

7. ∫2x ·ex
dx=
u dv
u=2x
Exemple 1:
d
dv=e
x
dx i
du=2dx
v=e
x
2x·e
x
−∫e
x
·2dx= 2x·ex
−2ex
+ k=
=2ex
(x−1)+ k
int(x2+1)sinx, int x2lnxdx entre tots
∫ln x dx=
u dv
u=ln x
Exemple 4:
d
dv=1dx i
du=
1
x
dx
v=x
x ·ln x−∫x·
1
x
dx= x ·ln x−x+ k
17a entre tots (2), 17b, 18, 69

8. 3. Mètodes d'integració
3.2 Integració de funcions racionals
P(x)
Q(x)
=
A
x−a
+
B
x−b
+ ...+
N
x−n
Grau numerador >= Grau denominador
Grau numerador < Grau denominador
Fer la divisió
1r pas: Factoritzar denominador (Ruffini/Eq 2n g)
Exemple:
∫ 2x+ 1
x
2
−5x+ 4
dx
x
2
−5x+ 4=(x−4)(x−1)
Exemples meus (x3+x2+x+1/x+1, x2+3x-4/x+1)
(només per arrels
simples)

9. 2n pas: Descompondre la fracció en altres fraccions i desenvolupar expressió
2x+ 1
x2
−5x+ 4
=
A
x−4
+
B
x−1
=
A(x−1)+ B(x−4)
(x−4)(x−1)
3r pas: Trobar A i B mitjançant la igualació dels numeradors
2x+ 1=A(x−1)+ B(x−4)=Ax−A+ Bx−4B
2x+ 1=Ax+ Bx−A−4B
2x 1
A+B=2
-A-4B=1
B=-1,A=3
4t pas: Resoldre nova integral
∫ 2x+ 1
x
2
−5x+ 4
dx=∫(
3
x−4
+
−1
x−1
)dx=3·ln∣x−4∣−1·ln∣x−1∣+ k
2x+1/x2-3x+2, 1/x2+2x-3, 19, 80, x2-x+1/x2-3x+2

10. 3. Mètodes d'integració
3.3 Integració per canvi de variable
∫ 1
x·ln x
dx=
29, 30ab, 88, 89
t=ln x d dt=
1
x
dx
∫ 1
ln x
·
1
x
dx=∫1
t
dt= ln∣t∣+ k=ln∣ln x∣+ k
∫ x
√1+ 3x2
dx=
t=1+ 3x2 d dt=6x dx
1
6
∫ 1
√1+ 3x2
·6x dx=
1
6
∫ 1
√t
dt= √t
3
+ k=
=
√1+ 3x2
3
+ k