1. Dokumen menjelaskan tentang definisi dan macam-macam himpunan serta operasi-operasi yang dapat dilakukan pada himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan lainnya. 2. Terdapat beberapa cara untuk menyatakan suatu himpunan yaitu dengan kata-kata, notasi pembentuk himpunan, mendaftar anggotanya, dan enumerasi. 3. Ada beberapa jenis himpunan seperti himpun

1. 1
BAB 1. HIMPUNAN
1.1 DEFINISI HIMPUNAN
Kumpulan objek-objek yang berbeda dan lebih spesifik atau terdefinisi dengan jelas.
Dinyatakan dengan huruf kapital dari A-Z.
Jika objek himpunan berupa huruf, maka dinyatakan dengan huruf kecil, diletakkan di
dalam kurung kurawal, dan setiap objek dipisahkan dengan tanda koma.
Anggota suatu himpunan tidak boleh sama.
1.2 CARA MENYATAKAN HIMPUNAN
1. Kata-kata (Metode Deskripsi)
Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata atau hanya menyebutkan sifat
keanggotaannya saja.
Contoh: A adalah himpunan nama hari dalam seminggu.
A = {bilangan genap antara 15 dan 30}.
2. Notasi Pembentuk Himpunan (Metode Rule)
Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan.
Contoh: B = {x | x > 15, x ϵ bilangan asli}.
B = {x | x < 20, x ϵ prima}.
3. Mendaftarkan Anggotanya (Metode Roster)
Menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya satu persatu.
Contoh: C = { Januari,Juni,Juli} himpunan nama bulan huruf awal “J”.
C = {1,2,3,4,5,6,12} himpunan bilangan faktor dari 12.
4. Enumerasi
Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda
kurung kurawal {} .
Contoh: A = {1,2,3,4,5} = 5 (mempunyai 5 bilangan asli pertama).
B = {4,5,6,8} = 4 (mempunyai 4 bilangan genap positif pertama).
5. Simbol Baku
Simbol yang digunakan untuk mendefinisikan suatu himpunan.
Contoh: P = himpunan bilangan bulat positif U = himpunan universal
C = himpunan bilangan cacah R = himpunan bilangan riil
N = himpunan bilangan asli Z = himpunan bilangan bulat
6. Kardinalitas
Menyatakan ukuran banyaknya elemen berbeda yang terkandung oleh himpunan
tersebut.
Notasi : n(A) atau |A|, menyatakan kardinalitas himpunan.
Contoh: A = {Semangka, Jeruk, Pisang, Apel, Melon}
|A| = 5atau n(A) = 5

2. 2
7. Diagram Venn
Merupakan gambar himpunan untuk menyatakan hubungan beberapa himpunan.
Contoh: S = {1,2,3,…,9}
A = {1,2,3,4,5}
B = {3,5,7,9}
1.3 MACAM-MACAM HIMPUNAN
1. Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak mempunyai anggota/elemen.
Notasi : Ø atau {}
Contoh: X adalah himpunan bilangan asli kurang dari 1, X={}
Y adalah himpunan bilangan prima genap, Y={}
2. Himpunan Berhingga dan Tak Hingga
 Himpunan berhingga : banyak anggota/bilangannya terbatas.
Contoh: A = Himpunan bilangan asli kurang dari 100
 Himpunan tak hingga : banyak anggota/bilangannya tidak terbatas.
Contoh: B = Himpunan bilangan asli.
3. Himpunan Semesta (S)
Himpunan yang memuat semua objek/ anggota yang sedang dibicarakan.
Notasi : {A⊂ B↔ ∀ x ∈A, maka x∈B}
Contoh: A = {3,5,7} himpunan semesta untuk A yaitu:
S = {bilangan ganjil} S = {bilangan asli}
S = {bilangan ganjil kuarng dari 10} S = {bilangan prima}
4. Himpunan Bagian
Himpunan yang memuat himpunan lain.
“A adalah himpunan bagian dari B jika semua anggota A merupakan anggota B.”
Notasi : 𝐴 ⊆ 𝐵 / B⊇ 𝐴
Contoh: A = {2,3,4} B = {1,2,3,4,5,6}
Karena setiap anggota himpunan A ada di B maka, A⊆B.
5. Himpunan Saling Lepas
Himpunan yang tidak memiliki elemen yang sama.
Notasi : A // B atau A ⊃⊂ B
Contoh: jika A ={bilangan ganjil} dan B ={bilangan genap}, maka A // B.

3. 3
6. Himpunan Kuasa (Power Set)
“Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan
himpunan A sendiri.”
Notasi : P(A) atau 2A
Contoh: Jika A = {1,2}, maka P(A) = {Ø,{1},{2},{1,2}}
7. Himpunan Ekivalen
“Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal
dari kedua himpunan tersebut sama.”
Notasi : A ∼ 𝐵 ↔ |A| = |B|
Contoh: A ={m,e,r,a,h} dan B ={ p,u,t,i,h}, maka A∼B sebab |A| = |B| = 5
8. Himpunan yang Sama
Himpunan yang mempunyai elemen yang sama.
Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh: jika A ={m,u,r,a,h} dan B ={h,a,r,u,m}, maka A=B
1.4 OPERASI PADA HIMPUNAN
1. Irisan (∩)
“Himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan B.”
Notasi : A ∩ B = {x| x ∈A dan x ∈ B}
Contoh: A ={r,s,t,u} dan B ={t,u,v,w}, Maka A ∩ B = {t,u}.
2. Gabungan (∪)
“Himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A atau B.”
Notasi : A ∪ B = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 ∈ 𝐵
Contoh: A ={r,s,t,u} dan B ={t,u,v,w}, Maka A ∪ B = {r,s,t,u,v,w}.
3. Komplemen (Ac atau A’)
“Himpunan yang elemennya merupakan elemen U bukan elemen A.
Notasi : Ac = {x| x ∈ U dan x ∉ 𝐴}
Contoh: A ={r,s,t,u}; B ={t,u,v,w}; U ={r,s,t,u,v,w,x,y,z}, Maka Ac = {v,w,x,y,z}.
4. Selisih (−)
“Himpunan yang merupakan elemen A tapi bukan elemen B.”
Notasi : A−𝐵 = {x| x ∈ A dan x ∉ 𝐵}
Contoh: A ={r,s,t,u}; B ={t,u,v,w}, Maka A−𝐵 = { 𝑟, 𝑠}
5. Penjumlahan (+)
“Himpunan yang merupakan elemen dari A dan B, tapi bukan elemen A iris B.
Notasi : A+𝐵 = {x| x ∈ A dan x ∈ 𝐵, 𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵}
Contoh: A ={r,s,t,u}; B ={t,u,v,w}, Maka A+𝐵 = { 𝑟, 𝑠, 𝑣, 𝑤}.

4. 4
6. Perkalian Kartesian (×)
“Himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen
pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi : A× 𝐵 = {(a,b)|a ∈ A dan b ∈ 𝐵}
Contoh : A ={1,2,3,}; B ={t,u}, Maka A × 𝐵 = {(1,t);(1,u);(2,t);(2,u);(3,t);(3,u)}
7. Beda Setangkup (⊕)
“Himpunan yang elemennnya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada
keduanya.”
Notasi : 𝐴 ⊕ 𝐵 = ( 𝐴 ∪ 𝐵) − ( 𝐴 ∩ 𝐵) = ( 𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)
Contoh : A ={r,s,t,u} dan B ={t,u,v,w},
Maka 𝐴 ⊕ 𝐵 =(r,s,t,u,v,w)−(𝑡, 𝑢) = (r,s,v,w)
1.5 HIMPUNAN GANDA (MULTI SET)
Himpunan ganda adalah himpunan yang elemennya berulang (boleh sama).
Multiplisitas adalah jumlah kemunculan elemen dalam himpunan ganda.
1. Gabungan
𝑃 ∪ 𝑄 adalah himpunan yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas
maksimum elemen tersebut pada himpunan 𝑃𝑑𝑎𝑛 𝑄.
Contoh: Jika 𝑃 = { 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑑} dan 𝑄 = { 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑐}, maka 𝑃 ∪ 𝑄 =
{𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑐, 𝑑, 𝑑}
2. Irisan
𝑃 ∩ 𝑄 adalah himpunan yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas
minimum elemen tersebut pada himpunan 𝑃𝑑𝑎𝑛 𝑄.
Contoh: Jika 𝑃 = { 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑑} dan 𝑄 = { 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑐}, maka
𝑃 ∩ 𝑄 = {𝑎, 𝑎, 𝑐}
3. Selisih
𝑃 − 𝑄 adalah himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan:
 multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika
selisihnya positif.
 0 jika selisihnya nol atau negative.
Contoh: Jika 𝑃 = { 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑑} dan 𝑄 = { 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑐}, maka
𝑃 − 𝑄 = { 𝑎, 𝑑, 𝑑}
𝑄 − 𝑃 = {𝑏, 𝑐}
4. Penjumlahan
𝑃 + 𝑄 adalah himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan
penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.
Contoh: Jika 𝑃 = { 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑑} dan 𝑄 = { 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑐}, maka 𝑃 + 𝑄 =
{𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑐, 𝑐, 𝑑, 𝑑}

5. 5
1.6 HUKUM HIMPUNAN
1.Hukum Identitas
 A ∪ ∅ = A
 A ∩ U = A
7.Hukum Komutatif
 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
 A∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
2.Hukum Null (Dominisasi)
 A ∩ ∅ = ∅
 A ∪ U = U
8.Hukum Asosiatif
 𝐴 ∪ ( 𝐵 ∪ 𝐶) = ( 𝐴 ∪ 𝐶)∪ 𝐶
 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶) = ( 𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
3.Hukum Komplemen
 𝐴 ∪ Ā = 𝑈
 𝐴 ∩ Ā = ∅
9.Hukum Distributif
 𝐴 ∪ ( 𝐵 ∩ 𝐶) = ( 𝐴 ∪ 𝐵) ∩ ( 𝐴 ∪ 𝐶)
 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∪ 𝐶) = ( 𝐴 ∩ 𝐵) ∪ ( 𝐴 ∩ 𝐶)
4.Hukum Idempoten
 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴
 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴
10.Hukum DeMorgan
 ( 𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝐴′
∪ 𝐵
 (𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐴′ ∩ 𝐵′
5.Hukum Absorbsi
 𝐴 ∪ ( 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
 A ∩ ( 𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
11.Hukum Komplemen 2
 ∅′ = 𝑈
 𝑈′
= ∅
6.Hukum Involusi
 ( 𝐴′)′
= 𝐴
1.7 HIMPUNAN BILANGAN
a) Bilangan Kompleks
Bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner.
Bilangan yang berbentuk: 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ,a bagian riil dan b bagian imajiner)
Contoh: 𝑍 = 6 + 3𝑖 atau 𝑍 = 8 − 4𝑖
b) Bilangan Real
Bilangan yang terdapat pada garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau
bentuk geometrik. Terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional serta berbentuk
desimal.
Contoh: 0, 1, 2, ½, 4/7, 55/7, √2, √3, √5,…

6. 6
c) Bilangan Imajiner
Bilangan yang tidak nyata (bukan bilangan rasional maupun irasional).
Himpunan bilangan yang anggotanya merupakan 𝑖 (satuan imajiner), dimana 𝑖 lambang
bilangan baru yang bersifat 𝑖2= −1; i3= 1
Contoh: 𝑖, 3𝑖,5𝑖
d) Bilangan Irasional
Bilangan yang tidak dapat dibagi karena hasil baginya tidak akan pernah terhenti dan
tidak dapat dijadikan bentu a/b.
Contoh: 𝜺, 𝝅, √𝟐,…
e) Bilangan Rasional
Bilangan yang habis dibagi dan dapat dinyatakan dalam bentuk:
𝑎
𝑏
a,b ∈ asli b≠
0(−∞, ∞)
Contoh: 2/5, 2/7, 4/5,...
f) Bilangan Bulat
Bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan negatif(−), nol(0), dan positif(+), tidak
termasuk pecahan.
Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,…
g) Bilangan Pecahan
Bilangan yang mempunyai pembilang dan penyebut.
Contoh: 27/3,24/3,6/12
h) Bilangan Bulat Negatif
Himpunan bilangan yang dimulai dari bilangan negatif satu ke bawah.
Contoh:{…, -5, -4, -3, -2, -1}
i) Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif digabung dengan nol (0 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖(+)∞).
Contoh: 0,1,2,3,4,5,6,7,….
j) Bilangan Asli
Bilangan asli adalah semua bilangan bulat positif tanpa nol.
Contoh: 1,2,3,4,5,...
k) Bilangan Nol
Bilangan pembatas antara bilangan positif dan bilangan negatif yang merupakan
bilangan netral.

7. 7
l) Bilangan Genap
Bilangan yang habis dibagi 2 atau sisa hasil baginya adalah 0.
Contoh: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...
m)Bilangan Ganjil
Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa 1.
Contoh: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,…
n) Bilangan Prima
Bilangan yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri (>1)
Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
o) Bilangan Komposit
Bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima.
Contoh: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …
1.8 SIFAT – SIFAT BILANGAN BULAT
1. Penjumlahan
Sifat komutatif (pertukaran) : ( 𝑎 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑎)
Sifat asosiatif (kelompokan) : ( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
Sifat tertutup : ( 𝑎 + 𝑏 = 𝑐)
Sifat identitas : ( 𝑎 + 0 = 𝑎)
Sifat invers (kebalikan) : (𝑎 + (−𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)
2. Pengurangan
Sifat tertutup : 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 (bilangan bulat)
Sifat identitas : 𝑎 − 0 = 𝑎 atau 0 − 𝑎 = −𝑎
Sifat komutatif : 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
Sifat asosiatif : ( 𝑎 − 𝑏) − 𝑐 = 𝑎 − ( 𝑏 + 𝑐)
3. Perkalian
Sifat tertutup : 𝑎 × 𝑏 = 𝑐
Sifat komutatif : 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
Sifat asosiatif : ( 𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)
Sifat identitas : 𝑎 × 1 = 1 × 𝑎 = 𝑎
Sifat distributif : 𝑎 × ( 𝑏 + 𝑐) = ( 𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐)
𝑎 × ( 𝑏 − 𝑐) = ( 𝑎 × 𝑏) − ( 𝑎 × 𝑐)
4. Pembagian
Dengan bilangan 0 : 𝑎 ÷ 0 = tidak terdefinisi
0 ÷ 𝑎 = 0

8. 8
BAB 2. RELASI DAN FUNGSI
2.1 RELASI (HUBUNGAN)
 Relasi adalah suatu kalimat matematika yang memasangkan nusur-unsur dari suatu
himpunan ke suatu himpunan yang lain.
 Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota himpunan A ke
anggota himpunan B.
A. Cara Menyatakan Relasi :
1. Diagram panah
2. Himpunan pasangan berurutan
3. Diagram cartesius
Contoh:
Diketahui : A = {1,2,3} dan B = {a,b,c}
Ditanya : a) Diagram panah “faktor dari”
b) Himpunan pasangan berurutan
c) Diagram cartesius
Jawab :
a) A “faktor dari” B
b) Himpunan pasangan berurutan
{(1,A), (1,B), (2,B), (3,B), (3,C)}
c) Diagram cartesius
B. Banyaknya Relasi
Jika n(A) = k dan n(B) = l, maka:
Contoh :
n(m) = 4 dan n(N) = 3
R = 2k.l −1
R = 24.3 −1
R = 212 −1
R = 4096 −1
R = 4095
C. Relasi Invers ( R-1)
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B:
Invers dari R, dilambamgkan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung
semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R.
Notasi: 𝑅−1
= {( 𝑏, 𝑎)|( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}
R = 2k.l −1

9. 9
Contoh:
P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,10} dimana (P,Q)∈R, jika P habis dibagi Q.
Maka: R = {(2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8)}
R-1 = {(2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4)}
D. Kombinasi Relasi
1) Irisan : R1 ∩ R2
2) Gabungan : R1 ∪ R2
3) Selisih : R1 – R2 atau R2 – R1
4) Beda Setangkup : R1 ⊕ R2
Contoh:
A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}
R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)}
R2 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)}
Maka:
a) R1 ∩ R2 = {(a,a)}
b) R1 ∪R2 = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
c) R1 – R2 = {(b,b),(c,c)}
R2 – R1 = {(a,b),(a,c),(a,d)}
d) R1 ⊕ R2= {(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
E. Komposisi Relasi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari
himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S  R, adalah relasi
dari A ke C yang didefinisikan oleh:
S o R = {( 𝑎, 𝑐)| 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑑𝑎𝑛 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑏 ∈ 𝐵, ( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 ( 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑆}
Contoh :
Misalkan R = {(x,a),(x, b),(y, b),(y, c),(y, d),(z, d)}
S = {(a,1),(a,3),(b,2),(b,3),(c,5),(d,3),(d,4)}
Tentukan S o R dan R o S !
 S o R = {(x,1),(x,2),(x,3),(y,2),(y,3),(y,4),(y,5),(z,3),(z,4)}
 R o S = {(a,x),(b,x),(b,y),(c,y),(d,y),(d,z)}
2.2 SIFAT – SIFAT RELASI
1. Refleksif (Reflexive)
“Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) ∈ R untuk setiap a ∈ A”.
 Setiap eleman di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri.
 Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A tetapi tidak terdapat (a,a) ∉ 𝑅.
2. Simetris (Setangkup)
“Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) ∈ R, maka (b,a) ∈ 𝑅,untuk
semua a,b ∈ A”.

10. 10
3. Anti Simetris (Tolak-Setangkup)
“Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R maka
a = b,untuk semua a,b ∈ 𝐴 semua a,b ∈ A”.
4. Transitif (Menghantar)
“Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ R maka (a,c) ∈
𝑅, untuk semua a,b,c ∈ 𝐴”
Contoh:
Diketahui: A = {1,2,3,4}
R1= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}
R2= {(1,1),(2,3),(3,2)}
R3= {(3,4)}
R4 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
Ditanya: Manakah dari relasi di atas yang bersifat Refleksif, Simetris, Anti simetris,
dan Taransitif? Jelaskan!
Jawab:
R1 = Anti Simetris, yaitu (1,1); (2,2); (4,4) karena a=b
R2 = Simetris, karena (2,3) dan (3,2) ∈ 𝑅
Anti Simetris, yaitu (1,1) karena a=b
R3 = Transitif, yaitu (3,4) karena tidak ada (a,b) dan (b,c) ∈ 𝑅 sehingga (a,c) ∈ 𝑅
R4 = Refleksif, karena (1,1); (2,2); (3,3); (4,4) ∈ 𝑅
Anti Simetris, yaitu (1,1); (2,2); (3,3); (4,4) karena a=b
Simetris, karena (1,2);(2,1) dan (1,4);(4,1) ∈ 𝑅
2.3 RELASI EKIVALEN
“Relasi R pada himpunan A disebut relasi ekivalen jika memenuhi 3 sifat relasi yaitu
refleksif, simetris, dan transitif.”
Contoh:
Diketahui: A = {1,2,3}
R = A x A = {1,2,3} x {1,2,3}
R = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)}
Buktikan apakah relasi diatas ekivalen atau tidak?
 Refleksif : (1,1); (2,2); (3,3)
 Simetris : (1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (2,3); (3,2)
 Transitif : (1,1); (1,2) = (1,2); (1,3); (3,3) = (1,3)
Karena memiliki sifat Refleksif, Simetris, dan Transitif maka dapat disimpulkan relasi
diatas bersifat Ekivalen.

11. 11
2.4 FUNGSI
“Misalkan A dan B himpunan Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika
setiap elemen didalam A dihubungankan dengan tepat satu elemen didalam B. Jika f
adalah fungsi dari A ke B maka:
BAf : (f memetakan A ke B).”
Rumus : 𝑓 = 𝑙 𝑘
Contoh : 𝐴 = {𝑥| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥 ∈ 𝐴}
Jika : 𝑓 ∶ 𝑥 → ( 𝑥3)atau 𝑓( 𝑥) = 𝑥3
Maka : 𝐴 = {−3, −2,−1, 0, 1, 2}
f (-3) = (-3)3 = 27
f (-2) = (-2)3 = -8
f (-1) = (-1)3 = -1
f (0) = (0)3 = 0
f (1) = (1)3 = 1
f (2) = (2)3 = 8
2.5 SIFAT – SIFAT FUNGSI
1) Injektif ( satu ke satu )
Fungsi f dikatakan injektif jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki
bayangan sama. Jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka f(a)  bf bilamana
ba  . Jika    bfaf  maka implikasinya adalah a = b.
2) Surjektif (onto)
Fungsi f dikatakan surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari
satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan
jelajah dari f disebut fungsi pada himpunan B.

12. 12
3) Bijektif (berkoresponden satu-ke-satu)
Fungsi f dikatakan bijektif jika ia fungsi injektif dan juga fungsi onto.

13. 13
BAB 3. LOGIKA MATEMATIKA
3.1 DEFINISI LOGIKA
Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas
antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak tepat.
3.2 PROPOSISI
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi
tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut
nilai kebenarannya (truth value). Jadi proposi adalah “Pernyataan yang sudah diketahui
nilai kebenarannya.”
Contoh : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
3.3 PROPOSISI KOMPOSIT (PERNYATAAN MAJEMUK)
Proposisi komposit adalah pernyataan yang memuat perangkaian yang diperoleh dari
pengkombinasian. Jadi, pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari
beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata
penghubung logika.
Macam – macam proposisi majemuk :
a. Konjungsi (𝑝 ∧ 𝑞)
Konjungsi adalah dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "dan".
Simbol : "⋀"
Kata yang dipakai : dan, tetapi, ketika, seandainya, seperti, bahwa, walaupun, supaya.
Contoh : 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil.
b. Disjungsi (𝑝 ∨ 𝑞)
Disjungsi adalah dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau".
Simbol : " ∨ "
Kata yang dipakai : atau, alias, kalau, apakah, dll.
Contoh : Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di sebuah rumah sakit
swasta.
c. Negasi atau Ingkaran (~𝑝 𝑎𝑡𝑎𝑢 ~𝑞)
Negasi adalah sebuah pernyataan yang bernilai benar, maka negasinya adalah salah dan
begitu pula sebaliknya.
Simbol : "~"
Kata yang dipakai : tidak, bukan, tidak benar,dll.
Contoh : p = Pohon ini tinggi
~𝑝 = Pohon ini 𝐭𝐢𝐝𝐚𝐤 tinggi atau Tidak benar bahwa pohon ini tinggi.

14. 14
d. Implikasi (𝑝 → 𝑞)
Implikasi adalah dua pernyataan yang mengandung bentuk " jika ... maka ..."
Simbol : " → "
Kata yang dipakai : jika p maka q; jika p,q; p mengakibatkan q; q jika p; q bilamana p; p
hanya jika q; q syarat perlu bagi p; p syarat cukup bagi q; dll.
Contoh : Jika air habis, maka manusia akan mati.
e. Biimplikasi ( 𝑝 ↔ 𝑞)
Biimplikasi adalah dua pernyataan yang mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...".
Simbol : " ↔ "
Kata yang dipakai : p adalah syarat perludan cukup, jika p maka q atau sebaliknya, piff q.
Contoh : Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup.
3.4 TABEL KEBENARAN
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi
atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.
Misalkan p dan q adalah proposisi :
a. Konjungsi. (𝑝 ∧ 𝑞) bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah.
b. Disjungsi (𝑝 ∨ 𝑞) bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar.
c. Negasi p (∼ 𝑝) bernilai benar jika p salah , sebaliknya bernilai salah jika p benar.
d. Implikasi (𝑝 → 𝑞) bernilai salah jika p benar tetapi q salah, selain itu bernilai benar.
e. Biimplikasi ( 𝑝 ↔ 𝑞) bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai sama.
Konjungsi Disjungsi Negasi
Implikasi Biimplikasi

15. 15
3.5 VARIAN PROPOSISI BERSYARAT
Ada 3 varian pada implikasi, yaitu :
a. Konvers : 𝑞 → 𝑝
b. Invers : ~𝑝 → ~𝑞
c. Kontraposisi : ~𝑞 → ~𝑝
Dari tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran p  q sama dengan nilai kebenaran
~q  ~p. Begitu pula nilai kebenaran q  p sama dengan nilai kebenaran ~p  ~q.
Tabel kebenaran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut adalah :
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q ~p ~q p  q q  p ~p  ~q ~q  ~p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
3.6 TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, KONTINGENSI
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk kemungkinan nilai
kebenaran dari pernyataan – pernyataan komponennya.
Kontradiksi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua
kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya.
Kontingensi adalah suatu proporsi majemuk yang bukan termasuk tautologi dan bukan
juga kontradiksi.
3.7 EKIVALEN LOGIKA (≡)
Ekivalen adalah jika dua pernyataan majemuk mempunyai nilai kebenaran yang sama
untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-
komponennya.
Contoh: Tunjukkan bahwa : ~ (p v q) ≡ (~ p ʌ ~ q)
p q ~p ~q p v q ~(p v q) (~p ʌ ~q)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B
Jadi: Pernyataan tersebut benar , karena ~(p v q) ≡ (~p ʌ ~q).

16. 16
3.8 HUKUM PROPOSISI
Hukum proposisi bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi.
1.Hukum Identitas
 𝑝 ∨ 𝑆 ≡ 𝑝
 𝑝 ∧ 𝐵 ≡ 𝑝
6.Hukum Absorpsi
 𝑝 ∨ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
2.Hukum Null (Dominisasi)
 𝑝 ∧ 𝑆 ≡ 𝑆
 𝑝 ∨ 𝐵 ≡ 𝐵
7.Hukum Komutatif
 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝
 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
3.Hukum Negasi
 𝑝 ∧∼ 𝑝 ≡ 𝑆
 𝑝 ∨∼ 𝑝 ≡ 𝐵
8.Hukum Asosiatif
 𝑝 ∨ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟
 𝑝 ∧ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟
4.Hukum Idempoten
 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
 𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
9.Hukum Distributif
 𝑝 ∨ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
 𝑝 ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
5.Hukum Involusi
 ~(~𝑝) ≡ 𝑝
10.Hukum De Morgan
 ∼ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
 ∼ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞

17. 17
3.9 INFERENSI (PENARIKAN KESIMPULAN)
Interferensi (inference) adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi.
1. Modus Ponen
𝑝 → 𝑞
𝑝
∴ 𝑞
6. Penjumlahan
𝑝
∴ 𝑝 ∨ 𝑞
2. Modus Tollen
𝑝 → 𝑞
~𝑞
∴ ~𝑝
7. Konjungsi
𝑝
𝑞
∴ 𝑝 ∧ 𝑞
3. Silogisme Hipotesis
𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
∴ 𝑝 → 𝑟
8. Absorbi
𝑝 → 𝑞
∴ 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞)
4. Silogisme Disjungsi
𝑝 ∨ 𝑞
~𝑝
∴ 𝑞
9. Dilema Konstruktif
( 𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑟 → 𝑡)
∴ 𝑝∨ 𝑡
5. Simplikasi (Penyederhanaan)
𝑝 ∧ 𝑞
∴ 𝑝
10. Dilema Distruktif
( 𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑟 → 𝑡)
~ 𝑞 ∨ ∼ 𝑟
∴ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑟
3.10 KUANTOR
Kuantor adalah kalimat terbuka yang dibubuhkan dengan kata atau ucapan , sehingga
kalimat tersebut menjadi tertutup. Kuantor terbagi dua, yaitu :
A. Kuantor Universal (∀)
Pernyataan kuantor universal “Semua A adalah B” ekuivalen dengan pernyataan
implikasi “Jika 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 ∈ 𝐵".
∀ 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵

18. 18
Simbol : ∀ (dibaca: untuk semua atau untuk setiap)
Contoh : “Semua penjahat memakai topeng”, ekuivalen dengan
“Jika x seorang penjahat, maka x memakai topeng”.
Misalkan p(x) adalah sebuah kaliamat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian
dari p(x) pada himpunan semesta S dituliskan sebagai berikut:
B. Kuantor Eksistensial (∃)
Pernyataan berkuantor eksistensial “ Beberapa A adalah B” ekuivalen dengan
“Sekurang – kurangnya ada sebuah 𝑥 ∈ A yang merupakan ∈ 𝐵".
Simbol : ∃ (dibaca: ada atau beberapa)
Tanda : terdapat, ada, beberapa, sekurang – kurangnya .
Contoh: “Beberapa kuda berwarna coklat”, ekuivalen dengan
“Sekurang – kuranganya ada seekor kuda yang berwarna coklat”.
3.11 INGKARAN DARI PERNYATAAN BERKUANTOR
1. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor
eksistensial.
Notasi :
Dibaca : ingkaran dari” untuk semua x yang berlaku p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang
bukan p(x)”.
Contoh:
Diketahui: p = “ Semua bilangan prima adalah bilangan asli”
Tentukan : ~𝑝 serta nilai kebenarannya.
Jawab : ~𝑝 = “Beberapa biangan prima bukan bilangan asli”
~𝑝 bernilai salah.
∀𝑥, 𝑝(𝑥)
dibaca: untuk semua x berlakulah p(x)
atau
∀𝑥 ∈ 𝑆, 𝑝(𝑥)
dibaca: untuk semua x anggota S berlakulah p(x)
∃𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵
~[∀𝑥, 𝑝( 𝑥)] ≡ ∃𝑥, ~𝑝(𝑥)

19. 19
2. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial
Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor
universal.
Notasi :
Dibaca : ingkaran dari “ada x berlaku p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x bukan
p(x)”.
Contoh:
Diketahui: p = “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”
Tentukan : ~𝑝 serta nilai kebenarannya.
Jawab : ~𝑝 = “Semua bilangan prima bukan bilangan genap”, atau
~𝑝 = “Tidak ada (tiada) bilangan prima yang bilangan genap”, atau
~𝑝 = “Jika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan genap”.
Jadi, jelas bahwa ~𝑝 bernilai salah.
~[∃𝑥, 𝑝( 𝑥)] ≡ ∀𝑥, ~𝑝(𝑥)

20. 20
DAFTAR PUSTAKA
1. Copyright © 2012 All About Life.
Blogger Template by SoraTemplates
http://achieve-ourdreams.blogspot.co.id/2012/05/makalah-logika-matematika.html
2. Copyright © 2015 Ahmad Kurniadi
Design by Mas Sugeng - Powered by Blogger
http://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.html
3. Copyright © 2013 Ping Rumus Matematika
http://rumus-matematika.com/logika-matematika/
4. Buku Catatan PDM (Pendidikan Dasar Matematika) Semester I
5. Munir, Rinaldi. 2014. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika Bandung.
6. Wirodikrotomo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 1untuk kelas X. Jakarta : Erlangga.