Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang definisi himpunan, unsur-unsur himpunan seperti anggota dan keanggotaan, cara penulisan himpunan, operasi-operasi dasar himpunan seperti gabungan, irisan, komplemen, selisih, dan hukum-hukum dasar dalam himpunan."

1. HIMPUNA
N
Yohana Nugraheni, S.Kom, MT

2. Definisi
 Himpunan adalah kumpulan objek yang
berbeda dan dapat didefinisikan secara jelas.
 Notasi himpunan menggunakan huruf kapital,
mis : A, C, E
 Anggota himpunan merupakan objek yang
termasuk dalam suatu himpunan.
 Notasi anggota himp menggunakan huruf
kecil,
mis : f, g, h
 |A| = n  Banyak anggota himpunan A
(Kardinalitas himpunan A) adalah n

3. Elemen
 Keanggotaan dilambangkan dg ‘ ∈ ‘
(Baca : Elemen)
 Contoh :
A = { 6,7,8,9 }
6 ∈ A, 7 ∈ A, 8 ∈ A, 9 ∈ A
10 ∉ A (baca : bukan elemen)

4. Penulisan
 Cara menyatakan himpunan :
1. Enumerasi : Menuliskan semua anggota di
antara {}
Contoh : A = { 1,2,3,4,5}
2. Simbol Baku
Contoh :
N = himpunan bilangan asli = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil

5. Penulisan - 2
 Cara menyatakan himpunan :
3 Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan
himpunan tersebut
Notasi :
{ x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

6. Contoh :
 A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10
A = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A = { x ∈ N | x ≤ 10 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
 M adalah himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah
matematika diskret
M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah
matematika diskret}

7. Penulisan - 3
 Cara menyatakan himpunan :
4 Menggunakan Diagram Venn
Contoh : A = {x,y} adalah himpunan dalam
S
• x
• y
A
Diagram Venn
S

8. Semesta Pembicaraan
 Merupakan himpunan semua objek yang
dibicarakan (simbol S atau U).
 Contoh :
 U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {x|x bilangan genap}
 A = {2,4}
2
4
A
Diagram Venn
S
3
5
1

9.  A himpunan bagian dari B (A subset B) jika dan
hanya jika semua anggota himp. A juga terdapat di
dalam himp. B
 B disebut superset dari A
Himpunan Bagian
B
A  B
A
S

10. Himpunan Bagian - 2
 Contoh : A = {1, 2, 3}.
B={1}, C = {2, 3}, D={1,2,3}
B ⊆ A, C ⊆ A, D⊆ A
 Untuk setiap himpunan A berlaku hal-hal sebagai
berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A
⊆ A).
(b) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C

11. Himpunan Kosong
 Himpunan Kosong adalah himpunan yang
tidak punya anggota.
 Simbol {} atau ø
 Sifat Himpunan Kosong :
Merupakan himpunan bagian dari semua
himpunan.

12. Himpunan Kuasa
 Misal A sembarang himpunan.
Himpunan Kuasa A (simbol : P(A)) adalah
himpunan yang anggotanya semua himpunan
bagian A.
Jika |A| = n, maka |P(A)|=2n

13. Kesamaan Himpunan
 Dua buah himpunan dikatakan sama jika memenuhi
kondisi berikut :
 A = B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan
unsur B dan sebaliknya setiap unsur B merupakan
unsur A.
 Untuk menyatakan A = B, yang perlu dibuktikan adalah
A adalah himpunan bagian dari B dan B merupakan
himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠
B.
 Atau A = B  A ⊆ B dan B ⊆ A

14. Kesamaan Himpunan -2
 Contoh 14 :
 Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 },
maka A = B
 Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 },
maka A = B
 Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8},
maka A ≠ B

15. Kesamaan Himpunan - 3
 Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C
berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) Jika A = B, maka B = A
(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

16. Ekuivalensi Himpunan
 Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika
masing-masing mempunyai kardinalitas
yang sama.
 Notasi yang digunakan adalah : A ~ B
 Misalkan A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d },
maka A ~ B sebab ⏐A⏐ = ⏐B⏐ = 4

17. Disjoint
 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas
(disjoint) jika keduanya tidak memiliki unsur
yang sama.
 Notasi yang digunakan adalah A // B .
 Diagram Venn :

18. Operasi Himpunan
Misal A dan B himp dlm semesta pembicaraan S.
Operasi yang mungkin diterapkan pada A dan B :
1. Gabungan (Union) :
Himpunan semua elemen-elemen x dalam S
dimana x anggota A atau x anggota B.
A  B = {x ∈ S | x ∈ A v x ∈ B }

19. Operasi Himpunan
2. Irisan (Interseksi) :
Himpunan semua elemen-elemen x dalam S
dimana x anggota A dan sekaligus juga anggota B.
A  B = {x ∈ S | x ∈ A  x ∈ B }

20. Operasi Himpunan
3. Komplemen (Complement) :
Himpunan semua elemen x dalam S sedemikian
sehingga x bukan anggota A
Ac = {x ∈ S | x ∉ A}

21. Operasi Himpunan
4. Selisih (Difference) :
Himpunan x dalam S sedemikian sehingga
x anggota A, tetapi x bukan anggota B
A – B = {x ∈ S | x ∈ A  x ∉ B }

22. Prinsip Inklusi dan Eksklusi
 Misal A dan B himpunan yang tidak saling lepas.
Maka:
|A  B| = |A| + |B| - |A  B|
A B
A  B

23. Prinsip Inklusi dan Eksklusi
 Misal A,B,C himpunan yang tidak saling lepas.
Maka:
|A  B  C| = |A| + |B| + |C| - |A  B| - |A  C| - |B  C| + |A  B  C |
C
A B
A  B
A  C
B  C
A  B  C

24. Contoh
 Misalkan diantara 400 tamu-tamu yang datang, 200
orang diantaranya bisa berbahasa Perancis, 50 orang
bisa berbahasa Belanda. Tamu yang bisa berbicara
dalam kedua bahasa tersebut hanya 20 orang. Berapa
banyak tamu yang tidak bisa berbicara dalam 2 bahasa
tersebut ? B = { Tamu yang bisa bahasa Belanda }
P = { Tamu yang bisa bahasa Perancis }
|B| = 50 ; |P| = 200
|B  P| = 20 ; |S| = 400
Ditanya : | ¬ ( B  P ) |
Jawab : |S| = |B  P| + |¬( B  P )|
B P
B  P
S
¬( B  P )

25. Hukum dalam Himpunan
1. Hk. Komutatif
A ∩ B = B ∩ A ; B ∪ A = A ∪ B
2. Hk. Assosiatif
a. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ;
b. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
3. Hk. Distributif
a. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
b. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

26. Hukum dalam Himpunan
4. Hk. Identitas
A ∪ ø = A ; A ∩ S = A
5. Hk. Ikatan
A ∪ S = S ; A ∩ ø = ø
6. Komplemen Ganda
(Ac)c = A
7. Hk. Idempoten
A ∩ A = A ; A ∪ A = A

27. Hukum dalam Himpunan
8. Hk. De Morgan
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ; (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
9. Hk. Penyerapan
a. A ∪ (A ∩ B) = A ;
b. A ∩ (A ∪ B) = A
10. Selisih Himpunan
A – B = A ∩ Bc