Dokumen tersebut membahas tentang himpunan, termasuk definisi, penyajian, jenis, operasi, hukum aljabar, dan konsep-konsep terkait himpunan seperti partisi dan himpunan ganda.
4. HIMPUNAN
Kumpulan dari benda-benda atau obyek yang diterangkan dengan jelas.
Contoh Himpunan: himpunan bilangan prima di bawah 10, anggotanya
yakni: 2, 3, 5, dan 7
5. CARA PENYAJIANNYA
Contoh:
• Himpunan bilangan cacah kurang dari 7
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Himpunan lima bilangan genap positif pertama
B = {2, 4, 6, 8, 10}
• Himpunan bilangan ganjil kurang dari sama dengan 9
D = {1, 3, 5, 7, 9}
Enumerasi
6. SIMBOL-SIMBOL BAKU
• A = himpunan bilangan bulat positif
A = { 1, 2, 3, ... }
• B = himpunan bilangan bulat antara –3 dan 5
B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh:
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan
A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}
7. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x 𝒔𝒚𝒂𝒓𝒂𝒕 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒉𝒂𝒓𝒖𝒔 𝒅𝒊𝒑𝒆𝒏𝒖𝒉𝒊 𝒐𝒍𝒆𝒉 𝒙}
Contoh:
• A = {bilangan cacah kurang dari 7}
Dengan notasi pembentuk himpunan
A = {x | x < 7, x ∈ bilangan cacah}
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
• D = {bilangan ganjil kurang dari sama dengan 9}
Dengan notasi pembentuk himpunan
D = {x | x ≤ 9, x ∈ bilangan ganjil}
D = {1, 3, 5, 7, 9}
8. DIAGRAM VENN
Misalkan:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5}
B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn: U
1 2
5
3 6
8
4
7
A B
9. KARDINALITAS
Merupakan banyaknya jumlah anggota yang ada di dalam sebuah himpunan
Notasi: 𝒏 𝑨 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑨
Contoh:
• A = himpunan yang beranggotakan {merah, kuning, biru, hijau}
maka 𝑨 = 𝟒
• B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
maka 𝑩 = 𝟖
11. HIMPUNAN KOSONG
“Himpunan yang tidak memiliki anggota himpunan”
Notasi : ∅ atau { }
Contoh:
• A = {himpunan bilangan ganjil yang bisa dibagi 2}
A = { } atau A = ∅
• P = {himpunan kelinci bermata lima}
P = { } atau P = ∅
12. HIMPUNAN BAGIAN
Misalkan A dan B adalah dua himpunan dan jika semua anggota himpunan A adalah anggota
pada himpunan B, maka A disebut juga dengan himpunan bagian B.
Notasi : A ⊆ B
Contoh:
• Himpunan A = {2, 4, 6} dan himpunan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
maka A ⊆ B
13. HIMPUNAN SAMA
yaitu dua buah himpunan dikatakan sama apabila kedua himpunan tersebut memiliki
anggota yang sama walaupun urutannya dapat berbeda.
Notasi : 𝑨 = 𝑩 ↔ 𝑨 ⊆ 𝑩 𝒅𝒂𝒏 𝑩 ⊆ 𝑨
Contoh:
• P= { 3, 5, 7} dan Q=(3, 5, 7},
maka P = Q
• A = { 4, 6, 8} dan B = {6, 4, 8 },
maka A = B
14. HIMPUNAN EKIVALEN
himpunan yang unsurnya tidak sama, tapi banyak anggotanya/jumlah anggotanya sama.
Notasi : 𝑨 ∼ 𝑩 ↔ 𝑨 = 𝑩
Contoh:
• A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d },
maka 𝑨 ∼ 𝑩 ↔ 𝑨 = 𝑩 = 𝟒
• P = { a, i, u, e, o } dan Q = { 1, 2, 3, 4, 5},
maka 𝑨 ∼ 𝑩 ↔ 𝑨 = 𝑩 = 𝟓
15. HIMPUNAN SALING LEPAS
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
Notasi : 𝑨 ∕∕ 𝑩
Contoh:
• Jika 𝐴 = 1, 2, 3 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = 4, 5, 6 , maka 𝑨 ∕∕ 𝑩
16. HIMPUNAN KUASA
himpunan kuasa dari himpunan A itu adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua
himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri
Notasi : 𝑷 𝑨 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟐𝑨
Contoh:
D = {1, 2, 3, 4}
Himpunan D memiliki himpunan bagian sebanyak 2⁴ = 16, yaitu:
• 0 anggota = ∅
• 1 anggota = {1}, {2}, {3}, {4}
• 2 anggota = {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
• 3 anggota = {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}
• 4 anggota = {1, 2, 3, 4}
maka 𝑷 𝑫 = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4},
{1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
26. PRINSIP DUALITAS PADA HIMPUNAN
Contoh:
Dual dari 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴
adalah 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨
Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat saling
dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Misalkan S adalah suatu kesamaan yang melibatkan
himpunan dan operasi-operasi seperti ∩, ∪, dan
komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan
mengganti:
∪ ⟶ ∩
∩ → ∪
∅ → 𝑼
𝑼 → ∅
Sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula,
maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari
kesamaan S.
27. PRINSIP INKLUSI - EKSKLUSI
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 − 𝑨 ∩ 𝑩
Contoh:
Berapa banyak bilangan bulat antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Jawab:
Misal: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5
𝐴 ∩ 𝐵 = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5
Ditanya: 𝑨 ∪ 𝑩 = ?
𝐴 = 100/3 = 33 𝐵 = 100/5 = 20 𝐴 ∩ 𝐵 = 100/15 = 6
Maka didapat, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐵 = 33 + 20 − 6 = 47
Jadi, terdapat 47 buah bilangan bulat yang habis dibagi 3 atau 5.
28. Partisi dari sebuah himpunan 𝐴 adalah
sekumpulan himpunan bagian tidak
kosong 𝐴1, 𝐴2, … dari 𝐴 sedemikian
sehingga:
a) 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … = 𝐴, 𝑑𝑎𝑛
b) 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≠ 𝑗
PARTISI
Contoh:
Misal 𝑨 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖 , 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝟏 , 𝟐, 𝟑, 𝟒 , 𝟕, 𝟖 , 𝟓, 𝟔 adalah partisi 𝑨
29. ● Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus
berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya: {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}
● Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan
ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut
pada himpunan ganda.
Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4
HIMPUNAN GANDA
30. OPERASI HIMPUNAN GANDA
• Gabungan
Kata Kunci: mencari multiplisitas maksimum
Contoh:
P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },
maka 𝑷 ∪ 𝑸 = { a, a, a, b, c, c, d, d }
• Irisan
Kata kunci: mencari multiplisitas minimum
Contoh:
P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c },
maka 𝑷 ∩ 𝑸 = { a, a, c }
• Selisih
Kata Kunci:
- multiplisitas elemen pada P dikurangi
multiplisitas pada Q, jika selisihnya positif
- 0, jika hasil selisihnya nol atau negatif
Contoh:
P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan
Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f }, maka P – Q = { a, e }
• Penjumlahan
Kata kunci: penjumlahan dari multiplisitas
elemen atau anggota pada P dan Q
Contoh:
P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },
maka P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }
32. Proposisi himpunan adalah pernyataan
yang menggunakan notasi himpunan.
Implikasi
Jika A B = dan
A (B C) maka berlaku A C
(metode definisi)
- Diagram Venn
- Tabel Keanggotaan
- Hukum Aljabar Himpunan
Kesamaan (identity)
𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ ( 𝑨 ∪ 𝑪)
Proposisi dapat berupa:
Metode pembuktian:
35. • Metode Tabel Keanggotaan
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan
Buktikan bahwa 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ ( 𝐴 ∩ 𝐶)
Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama,
maka A (B C) = (A B) (A C)
A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
