Mata kuliah ini menjelaskan tentang himpunan dan operasinya

1. HIMPUNAN/KUMPULAN
(SET)

2. PENGERTIAN HIMPUNAN (SET)
SUATU HIMPUNAN/KUMPULAN
(SET) DARTIKAN SEBAGAI
KUMPULAN ATAU KELOMPOK
SUATU OBJEK ATAU UNSUR YANG
DIRUMUSKAN SECARA TEGAS DAN
DAPAT DIBEDA-BEDAKAN. OBJEK
ATAU ANGGOTA-ANGGOTA
HIMPUNAN/KUMPULAN (SET)
TERSEBUT DINAMAKAN UNSUR
ATAU ELEMEN.( ASSAURI,2017:1)

3. Contoh 1:
1.1. Suatu himpunan (set) tiga kota besar di
Kalimantan yaitu, Banjarmasin, Pontianak
dan Samarinda. Jadi
K = { Banjarmasin, Pontianak, Samarinda }.
1.2. Suatu himpuan (Set) huruf vocal dari
abjad alfabet, yaitu a,i,e,o,u. Misalkan
himpunan tersebut dinamakan
S, maka S = { a,I,e,o,u }.
Tiap objek yang secara kolekatif membentuk
suatu himpunan (Set) disebut unsur atau
elemen.
Dengan demikian tiap elemen/unsur
merupakan anggota dari suatu himpunan (set).

4. Misalkan x adalah suatu unsur/elemen,
dan S adalah suatu himpunan (Set)
dimana x adalah anggotanya, maka x
adalah anggota himpunan (Set) S,
dalam matematika dinyatakan dengan
notasi : x ∈ S yang artinya x merupakan
unsur/elemen himpunan S. Sebaliknya,
bila a bukan merupakan anggota
himpunan S, didalam matematika
dinyatakan dengan notasi : a ∉ S,
dibaca a buka merupakan unsur/elemen
himpunan S.
Dari contoh No. 1 yang dikemukan
terdahulu bahwa Jakarta bukan
merupakan anggota unsur dari
himpunan K atau Jakarta ∉ K.

5. Berdasarkan contoh 1.2. b bukan merupakan
anggota himpunan (set) S atau b ∉ S, dilain
pihak o merupakan unsur himpunan S, sehingga
o ∈ S
Dari contoh No. 1 yang dikemukan terdahulu
bahwa Jakarta bukan merupakan anggota unsur
dari himpunan K atau Jakarta ∉ K. Himpunan S
= { a, i, e, o, u } adalah himpunan (set) yang
terdiri dari 5 unsur. Sementara itu, himpunan
(set) A = { o } adalah himpunan (set) yang
terdiri dari satu unsur/elemen.
Suatu himpunan (set) yang tidak memiliki
unsur/elemen didalamnya disebut himpunan
kosong ( null set = empty set). Notasi dari
himpunan (set) kososng (null set ) adalah ∅

6. Contoh 2:
2.1. P = { x | x bilangan ganjil yang merupakan kuadrat
bilangan genap }
P = ∅
2.2. A = ∅ = { x ∈ R | x memenuhi x² + 1 = 0 }
Karena tidak akan pernah ditemukan x² + 1 memiliki
hasil yang sama dengan 0, maka himpunan A
adalah himpunan (set) kosong.
2.3. Suatu kelompok terdiri dari 3 mahasiswa yang
gemar berolah raga bulu tangkis. Maka kita peroleh
suatu himpunan (set) yang terdiri atas 3
unsur/elemen. Jika kita ambil hanya satu
mahasiswa yang hobi bulutangkis, terdapat satu
himpunan (Set) dengan satu unsur/elemen.

7. CARA PENULISAN HIMPUNAN (SET)
Himpunan (set) pada umumnya ditandai/dilambangkan
dengan huruf besar/huruf capital, seperti A, B, C, P, R, S,
M, N. Penulisandari himpunan (set) tersebut dapat
dilakukan dengan dua cara berikut :
a. Cara daftar (raster method)
Dengan cara mendaftarkan satu per satu diantara dua
tanda kurawal.
Contoh 1.
1.1. S adalah himpunan huruf vocal , maka dapat ditulis
S = { a, i, e, o, u }
1.

8. CARA PENULISAN HIMPUNAN (SET)
1. 2. Suatu himpunan (set) mahasiswa yang
mendapatkan beasiswa prestasi yaitu, Umar,
Usman, Ali dan Ahmad, maka dapat ditulis
sebagai P = { Umar, Usman, Ali, Ahmad }.
b. Cara Kaidah ( rule method ).
Syarat atau ketentuan yang harus dipenuhi oleh
setiap objek agar dapat dinyatakan sebagai
unsur/elemen himpunan (set) tersebut ditulis atau
dinyatakan di antara tanda kurawal.

9. CARA PENULISAN HIMPUNAN
Contoh 2:
2.1.Dari contoh 1.1. diatas apabila ditulis dengan cara
kedua, yaitu : S = { x | x ialah huruf vocal }.
2.2. Sedangkan sebagai contoh 1.2. dapat ditulis dengan
cara kedua yaitu, P = { x | x mahasiswa penerima
beasiswa prestasi }.
Perincian diatas berarti S dan P ialah himpunan (set) yang
terdiri dari semua unsur/elemen x sedemikian rupa
sehingga x menyatakan syarat-syarat/ketentuan-
ketentuan yang harus dipenuhi objek x agar dapat
merupakan unsur/elemen himpunan (set) S atau P

10. CARA PENULISAN HIMPUNAN
Contoh 3,
1. Apabila T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } dan S merupakan himpunan
yang terdiri dari angka-angka kuadrat dari unsur T, maka
rincian himpunan S menjadi, S = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 } atau
S = { x² | x merupakan unsur dari T }
2. Jika N = { a, e, i, o, u } dimana himpunan N merupakan
himpunan yang terdiri dari 5 huruf maka perincian atau
penulisan himpunan N dengan menggunakan metode
kaidah menjadi :
N = { x | x ialah huruf hidup dari 26 alphabet }
Bila M = { x | x adalah huruf abjad (alphabet) }
maka N = { x | x ialah huruf hidup dari M }

11. CARA PENULISAN HIMPUNAN
Cara daftar merupakan cara yang
paling sederhana guna memperinci
(set). Apabila jumlah unsur/elemen
yang terdapat dalam himpunan (set)
sangat besar atau banyak sekali,
penggunaan cara daftar tidak lagi
sederhana dan tidak efisein. Dalam
hal seperti ini, penggunaan cara
kaidah akan lebih sederhana / efisien.

12. SUB HIMPUNAN

13. “
Seluruh Objek Yang Dibahas Atau
Ditinjau Dalam Suatu Permasalahan Yang
Besar Dan Tetap. Himpunan Itu Disebut
Himpunan Universal ( Himpunan
semestas ), Notasi dari himpunan
universal dinyatakan dengan U. Dari
himpunan universal dapat dibentuk
himpunan-himpunan yang terdiri atas
unsur-unsur yang merupakan unsur dari
himpunan universal. Himpunan yang
demikian ini dinamakan subhimpunan
(sub set/himpunan bagian ).

14. ▪ Apabila himpunan A merupakan
subhimpunan dari himpunan B, setiap
unsur dari himpunan A juga
merupakan unsur dari himpunan B,
yang diberikan Notasi “ A ⊂ B“
▪ Contoh :
▪ Apabila A = { d,e,f } dan B = {x | x
adalah huruf abjad atau alphabet }
maka
▪ A ⊂ B

15. ▪ Suatu himpunan R bukan
merupakan subhimpunan (sub-set)
dari himpunan S, yaitu apabila
terdapat unsur R yang bukan
merupakan unsur dari himpunan S.
Notasi yang menyatakan bahwa
himpunan R bukan merupakan
himpunan dari himpunan S ditandai
dengan R S.

16. Diagram Venn
4. Diagram Venn
Contoh :
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5}
dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn :
A Ո B
1
6

17. Kardinalitas
▪ Jumlah elemen di dalam A
disebut kardinal dari
himpunan A.
▪ Misalkan A merupakan
himpunan berhingga, maka
jumlah elemen berbeda di
dalam A disebut kardinal dari
himpunan A.
▪ notasi : n(A) atau |A|
1
7

18. Contoh
a. A = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih
Kecil dari 20},
b. A={2,3,5,7,11,13,17,19},maka |A| = 8
c. B = {a, {a}, {{a}}, { }}, maka |B| = 4
d. B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih
kecil dari 21 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
maka B = 8
e. T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5
f. A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

19. Himpunan Kosong
▪ Himpunan yang tidak memiliki satupun
elemen atau himpunan dengan kardinal
= 0.
▪ Notasi :  atau { }
▪ Contoh 7:
(i) A = {x | x > x}, maka |A| = 0
(ii) B = {x | x adalah akar persamaan dari
x2 + 5x + 10= 0}, maka |B| = 0
(iii) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
1
9

20. Himpunan Kosong
(iv) P = { orang Indonesia yang pernah ke
bulan }, maka n(P) = 0
(v) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat
x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
▪ himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis
sebagai {, {}}
▪ {} bukan himpunan kosong karena ia
memuat satu elemen yaitu himpunan
kosong.
2
0

21. OPERASI
HIMPUNAN

22. 1. Irissan ( Intersection )
▪ Irisan (intersection)
▫ Irisan dari himpunan A dan B
adalah sebuah himpunan yang
setiap elemennya dari himpunan A
dan B.
▫ Notasi : A  B = {x|x є A dan x є B}
2
2
Contoh 1:
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan
B = {4, 10, 14, 18},
maka A  B = {4, 10}

23. Contoh 2
2
3
Jika A = { 1,3,5,7}
B = {1,2,3,4,}
C = { 5,6,7,8,9 }
maka A  B = { 1, 3 }
A ∩ C = { 5,7 )
B ∩ C = ∅
Sedangkan interaksi dari tiga buah himpunan A,B dan C
merupakan A∩B∩C = { X|X∈A dan x ∈ B dan x ∈ C }
Dari contoh diatas A ∩ B ∩ C = ∅
1. Irissan ( Intersection ) Lanjutan..

24. 2. Gabungan Union
▪ Gabungan (union)
▫ Gabungan dari himpunan A dan B adalah
himpunan yang setiap anggotanya
merupakan anggota himpunan A dan B.
▫ Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }
2
4
Contoh 1 :
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
maka A ∪ B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

25. 2. Gabungan Union (lanjutan..)
▪
2
5
Contoh 2 :
Jika A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { 1, 2, 3, 4 },
C = { 6, 7, 8, 9 }
maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}
dan A ∪ C = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 }
B ∪ C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Sedangkan gabungan (union) dari tiga buah himpunan A, B
dan C merupakan
A ∪ B ∪ C = { X|x ∈ A atau x ∈ B atau x ∈ C }

26. Operasi Himpunan
▪ Komplemen (complement)
▫ Komplemen dari himpunan A adalah
himpunan yang mengandung semua
elemen dalam semesta pembicaraan
yang tidak ada didalam A.
▫ Notasi : A= { x  x  U, x  A }
2
6
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A’ =
{2, 4, 6, 8}

27. OPERASI HIMPUNAN

28. Operasi Himpunan (4)
▪ Selisih (difference)
▫ Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang
elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B.
Selisih dari A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen
himpunan B relatif terhadap himpunan A.
▫ Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A  B
2
8
Contoh :
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5}
= {2}

29. Operasi Himpunan (4)
Selisih (difference)
Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A
tetapi bukan elemen dari B. Selisih dari A dan B dapat
juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif
terhadap himpunan A.
Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A  B
Contoh :
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} –
{1, 3, 5} = {2}

30. Operasi Himpunan
▪ Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda stangkup dari himpunan A dan B adalah
suatu himpunan yang elemennya ada pada
himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
Notasi : A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B) 
(B – A)
3
0
Contoh :
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 },
maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }

31. Perkalian Kartesian (cartesian product)
▪ Perkalian Kartesian dari himpunan A dan B adalah
himpunan yang elemennya adalah semua pasangan
berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari
komponen pertama dari himpunan A dan komponen
kedua dari himpunan B
▪ Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B }
▪ Kardinalitas perkalian kartesian : A  B = AB
▪ Contoh 20.
▪ (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
▪ (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil,
maka
A  B = himpunan semua titik di bidang datar 3
1

32. 3
2
Perkalian Kartesian (cartesian product)
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
A  B = A . B.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a),
dengan kata lain (a, b)  (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A  B  B  A
dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D  C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3),
(b, 1), (b, 2), (b, 3) }  C  D.
4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 

33. 3
3
Perkalian Kartesian (cartesian product)
▪ A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-
gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
▪ B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t =
teh, d = es dawet }
▪ Berapa banyak kombinasi makanan dan
minuman yang dapat disusun dari kedua
himpunan di atas?
▪ Jawab:
▪ A  B = AB = 4  3 = 12 kombinasi dan
minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t),
(g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

34. 34
Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:
X 1 2 3
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)
X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Y

35. 35
Mat
Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan
dalam sistem koordinat cartesius
berikut:
Y
3 • • • •
2 • • • •
1 • • • •
0 1 2 3 4 X
Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai
pekerjaan rumah
H
1
H
2
H
3
H
4
PR = {1, 2} malas
PR = {3, 4} rajin
U = {1, 2} kurang
mengerti U = {3} pintar
Terdapat 4 himp bag
H1 = {malas ttp pintar}
H2 = {malas dan krg
mengerti}
H3 = {rajin ttp krg
ngerti}
H4 = {rajin dan pintar}

36. 3
6
Pembuktian pernyataan suatu himpunan
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh .
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A  (B  C) = (A 
B)  (A  C) dengan diagram Venn.
Bukti:
A  (B  C) (A  B)  (A  C)

37. 3
7
Pembuktian pernyataan suatu himpunan
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang
sama.
Terbukti bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan
yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan
fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai
metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

38. TUGAS
▪ 1. Komplemen
▪ P = { x|x adalah huruf abjad atau
alphabet }
▪ Q = { d,e,f,g }
▪ R = { a,e,i,o,u }
▪ Tentukan Q komplemen dan R
komplemn.

39. 2. A = { 2,4,6,8 }
B = (1,3,5,7}
Tentukan A Ս B
Buatkan diagram Ven
3. A = {2,4,6,8}
B = { 1,2,3,4 }
C = { 5,6,7,8}
Tentukan : A Ո B
A Ս B
B Ո C
4. A ={ 2,4,6,8,10 }
B = {1,2,3,a,b,c }
C = { 8,9,10.c.d.e }
Tentukan
A – B B – C
A - C B – A
C - A C - B
5. S1 = {1,2,3} dan S2 ={4,5}
Berapa banyak pasangan
yang diperoleh, tentukan
pasangan tersebut.

40. WASSALAMU’ALAIKUM WR
WB