Materi tentang pecahan meliputi pengertian pecahan, mengubah pecahan menjadi ekuivalen, resiprok dan penggunaannya, menyederhanakan pecahan, operasi pada pecahan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan, serta pemangkatan pecahan."

1. ALJABAR
MATERI PECAHAN
Disusun Oleh :
Sahala Martua Ambarita (06081181419009)
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sriwijaya

2. MATERI AJAR
I. PENDAHULUAN
A. PECAHAN
1.1 Pengertian Pecahan
 Pecahan adalah satu bagian utuh yang dibagi menjadi beberapa bagian
yang sama besar.
 Sebuah Pecahan bisa berarti pembagian
apabila pembilangnya adalah bilangan yang terbagi (dividen) sedangkan
penyebutnya adalah bilangan pembagi.
Misalnya
𝑎
𝑏
maka a bisa disebut sebagai pembilang dan b bisa disebut
sebagai penyebut. (𝑎, 𝑏 € 𝑁, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 0)
 Sebuah Pecahan bisa berarti rasio
Ketika sebuah pecahan berarti rasio dari dua besaran maka besaran-
besaran tersebut harus mempunyai satuan yang sama.
 Sebuah Pecahan bisa berarti satu bagian dari keseluruhan atau satuan
bagian dari suatu kelompok
1.2 Mengubah Pecahan Menjadi Pecahan yang Ekuivalen
Pecahan-pecahan yang ekuivalaen adalah pecahan-pecahan yang
mempunyai nilai-nilai yang sama meskipun mempunyai pembilang dan
penyebut yang berbeda.
Aturan yang dapat digunakan untuk memperoleh pecahan yang ekuivalen:
 Nilai sebuah pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya
dikalikan dengan bilangan yang sama kecuali nol.
 Nilai sebuah pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya
dibagi dengan bilangan yang sama kecuali nol.

3. 1.3 Resiprok dan Pengunaannya
Resiprok dari sebuah bilangan adalah 1 dibagi dengan bilangan itu sendiri.
Maka, resiprok dari a adalah
1
𝑎
, dengan syarat a ≠ 0.
Aturan-aturan tentang Resiprok:
 Pecahan-pecahan
𝑎
𝑏
dan
𝑏
𝑎
adalah resiprok satu sama lain; dalam hal ini
resiprok dari sebuah pecahan adalah kebalikan pecahan tersebut.
 Hasil kali dari dua resiprok adalah 1
 Untuk membagi dengan sebuah bilangan atau sebuah pecahan, kalikan
dengan resiproknya
 Untuk menyelesaikan sebuah persamaan dengan sebuah variabel tak
diketahui yang mempunyai koefisien pecahan, kalikan kedua ruas dengan
pecahan resiprok.
1.4 Menyederhanakan Pecahan
1.41 Menyederhanakan Pecahan Menjadi Suku Terkecil
Sebuah pecahan dapat disederhanakan menjadi suku-suku terkecilnya
apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor yang sama
kecuali 1.
Aturan yang digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan menjadi
suku-suku terkecil:
 Nilai sebuah pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya
dibagi dengan bilangan sama kecuali nol.
 Jika dua ekspresi benar-benar tepat sama atau mempunyai nilai yang sama,
maka hasil baginya adalah 1.
Maka,
5𝑎𝑏𝑐
5𝑎𝑏𝑐
= 1,
𝑎+𝑏
𝑏+𝑎
= 1,
8(𝑥2
+𝑥−5)
2(𝑥2+𝑥−5)
= 4
 Jika dua binomial saling negatif satu sama lain, maka hasil baginya adalah
-1.

4. Maka,
𝑥−𝑦
𝑦−𝑥
= −1.
(5+𝑥)(5−𝑥)
( 𝑥+5)(𝑥−5)
= −1,
( 𝑎−𝑏)(7−𝑐)
( 𝑏−𝑎)(𝑐−7)
= 1.
Hal-hal yang tidak dibenarkan dalam menyederhanakan pecahan menjadi
suku terkecil:
1. Jangan mengurangkan bilangan yang sama dari pembilang dan
penyebut.
Maka,
5
6
tidak sama dengan
5−4
6−4
atau
1
2
. Demikian pula
𝑛+1
𝑛+2
tidak sama
dengan
𝑛+1
𝑛+2
atau
1
2
2. Jangan menambahkan bilangan yang sama baik ke pembilang maupun
penyebut.
Maka,
1
2
tidak sama dengan
1+3
2+3
atau
4
5
. Demikian pula,
𝑥−3
𝑦−3
tidak sama
dengan
𝑥−3
𝑦−3
atau
𝑥
𝑦
1.5 Pecahan Biasa dan Pecahan Campuran
Apabila nilai pembilang lebih kecil dari nilai penyebut suatu pecahan,
maka pecahan itu disebut pecahan biasa yang murni.
Bila terdapat sebuah bilangan cacah, yaitu 1 dan sebuah pecahan
murni. Pecahan seperti ini disebut pecahan campuran. Untuk suatu
bilangan pecahan dengan b ≠ 0.
1. Jika 𝑎 < 𝑏, maka
𝑎
𝑏
disebut pecahan murni.
2. Jika 𝑎 > 𝑏, maka
𝑎
𝑏
disebut pecahan tidak murni.
3. Jika 𝑚
𝑐
𝑑
dengan m bilangan cacah dan
𝑐
𝑑
pecahan biasa, maka
disebut pecahan campuran.
(pecahan murni dan pecahan tidak murni merupakan pecahan biasa
atau pecahan sederhana).

5. 1.6 Mengubah Bilangan Pecahan Campuran ke Pecahan Biasa
Kita tentu sudah mengenal bilangan pecahan murni, yaitu bilangan
pecahan yang pembilanganya kurang dari penyebutnya. Sebaliknya
pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebut disebut bilangan pecahan
tidak murni atau bisa juga disebut bilangan pecahan campuran, yaitu
pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan biasa
(murni atau pun tidak murni). Pecahan campuran dapat diubah menjadi
bentuk pecahan biasa dan juga sebaliknya.
Catatan: Mengubah bentuk pecahan tidak akan mengubah bentuk
penyebutnya.
Contoh: Tulislah bilangan pecahan campuran 3
2
5
menjadi bilangan pecahan
biasa.
Solusi : 3
2
5
= 3+
2
5
=
15
5
+
2
5
=
17
5
1.7 Membandingkan Dua Pecahan
Jika kita mempunyai pecahan yang tidak senilai maka keduanya dapat
dibandingkan dengan menggunakan notasi lebih dari (>) atau kurang
dari (<).
1.71 Membandingkan Pecahan Senama
Membandingkan pecahan senama dapat dilakukan dengan
membandingkan dua pecahan yang penyebutnya sama(pecahan senama)
bandingkan pembilangya.
Pada pecahan senama :
𝑎
𝑐
dan
𝑏
𝑐
dengan 𝑐 ≠ 0 akan selalu berlaku:

6. a.
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 𝑏
b.
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 𝑏
Contoh :
1. Bandingkanlah
a.
3
5
𝑑𝑎𝑛
4
5
b.
21
112
𝑑𝑎𝑛
17
112
Solusi
a.
3
5
<
4
5
, karena 3 < 4 (syarat membandingkan adalah
peyebutnya telah sama)
b.
21
112
<
17
112
, karena 17 > 21 (syarat membandingkan adalah
peyebutnya telah sama)
1.72 Membandingkan pecahan tak senama
Untuk membandingkan dua pecahan tak senama, ubahlah pecahan itu
kepecahan senama dengan proses KPK penyebut lalu bandingkan
pecahan itu dengan melihat pembilangnya.
Contoh:
1. Bandingkanlah
a.
2
9
𝑑𝑎𝑛
2
7
Solusi
a. Penyebut dari pecahan
2
9
dan
2
7
adalah 9 dan 7, sedangkan
pembilang dari kedua pecahan itu sama yaitu 2. KPK penyebut
dari pecahan
2
9
dan
2
7
adalah 9 × 7 = 63
2
9
=
2 ×7
9 ×7
=
14
63

7. 2
7
=
2 ×9
7 ×9
=
18
63
Jadi,
14
63
<
18
63
, karena 14 < 18
1.8 Pecahan Desimal
Pecahan desimal adalah pecahan yang disajikan dalam bentuk koma.
Untuk mengubah pecahan sederhana ke dalam bentuk pecahan
desimal, caranya adalah dengan mengubah penyebut kedalam nilai 10
atau 100 atau 1.000 atau10.000, dst atau dengan langsung membagi
pecahannya.
Contoh:
a.
1
2
=
1 × 5
2 × 5
=
5
10
= 0,5
b.
3
125
=
3 × 8
125 × 8
=
24
1000
= 0,024
1.9 Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen
Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat dilakukan
dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai
dengan penyebut 100. Adapun untuk mengubah bentuk persen ke
bentuk pecahan biasa/campuran, ubahlah menjadi perseratus kemudian
sederhanakanlah.
Contoh :
Nyatakan pecahan-pecahan berikut dalam bentuk persen:
a.
7
8
b. 32%
Solusi:
a.
7
8
=
7×12,5
8×12,5
=
87,5
100
= 87,%

8. b. 32% =
32
100
=
32÷4
100÷4
=
8
25
1.10 Operasi Pada Pecahan
A. Menjumlahkan Pecahan
Operasi penjumlahan pada pecahan dapat dilakukan asalkan
penyebut dari pecahan yang akan dijumlahkan bernilai sama.
Rumus:
𝑎
𝑝
+
𝑏
𝑝
−
𝑐
𝑝
=
𝑎+𝑏−𝑐
𝑝
 Penjumlahan Pecahan-Pecahan senam
Contoh:
a.
2𝑎
15
+
7𝑎
15
−
4𝑎
15
Solusi
=
2𝑎+7𝑎−4𝑎
15
=
5𝑎
15
=
𝑎
3
 Penjumlahan pecahan tak senama
Contoh:
a.
10𝑥
2𝑥−6
−
9𝑥+3
2𝑥−6
Solusi
=
10𝑥−(9𝑥+3)
2𝑥−6
=
𝑥−3
2(𝑥−3)
=
1
2
B. Mengurangka Pecahan
Pengurangan pecahan dapat dilakukan apabila pecahan-pecahan itu
telah senama (penyebutnya sama).
 Pengurangan pecahan-pecahan senama.
Contoh:

9. a.
5𝑎
3
−
2𝑎−9
3
Solusi
=
5𝑎−(2𝑎−9)
3
=
3𝑎+9
3
=
3(𝑎+3)
3
= 𝑎 + 3
 Pengurangan pecahan tak senama
Contoh:
a.
𝑎+4
3𝑎
−
2−4𝑎
6𝑎
Solusi
KPK= 6𝑎
=
(𝑎+4)
3𝑎
.
2
2
−
2−4𝑎
6𝑎
=
2𝑎+8
6𝑎
−
2−4𝑎
6𝑎
=
6𝑎+6
6𝑎
=
𝑎+1
𝑎
C. Mengalihkan Pecahan
Hasil kali dua pecahan sama dengan suatu pecahan, yang
pembilangnnya merupakan hasil kali pembilang_pembilang asli
dan yang penyebutnya merupakan hasil kali penyebut pecahan asli.
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 Perkalian antar pecahan
Contoh
a.
𝑎
4
.
9
2
.
𝑐
𝑑
.
7
𝑎+𝑐
solusi
=
𝑎(9)( 𝑐)(7)
4(2)( 𝑑)(𝑎+𝑐)
=
63𝑎𝑐
8𝑑( 𝑎+𝑐)

10. b.
𝑎
4
.
3
𝑟
.
𝑟+5
𝑎−2
Solusi
=
𝑎(3)(𝑟+5)
4( 𝑟)(𝑎−2)
=
3𝑎(𝑟+5)
4𝑟(𝑎−2)
D. Membagi Pecahan
Hasil bagi dua pecahan adalah suatu pecahan yang pembilangnnya
dibentuk hasil bagi pembilang-pembilang asli dan yang penyebutnya
dibentuk oleh hasil bagi penyebut-penyebut asli.
𝑎
𝑏
:
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
Contoh:
a.
5𝑦
7
.
2𝑥
𝑦
÷
𝑥5
42
=
5𝑦
7
.
2𝑥
𝑦
.
42
𝑥5 .
=
60
𝑥4 .
1.11 Memangkatkan Pecahan
Suatu bilangan pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat n,
hasilnya sama dengan perkalian berulang tersebut sebanyak n kali.
Rumus:
 (
𝑎
𝑎
) 𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
 (
𝑎
𝑏
)
𝑚
X (
𝑎
𝑏
)
𝑛
= (
𝑎
𝑏
)
𝑚+𝑛
Dengan a,m,n adalah bilangan real, 𝑏 ≠ 0
Contoh:
a. (
2
3
)3
=
2
3
×
2
3
×
2
3
=
8
27

11. LATIHAN SOAL :
1.
3
2𝑦+4
−
5
3𝑦+6
Jawaban:
=−
1
6(𝑦+2)
2.
𝑎+𝑏
5
×
15
11𝑎+11𝑏
Jawaban:
3
11
3.
(𝑥+𝑦)2
𝑏𝑥+𝑏𝑦
×
𝑏2
3𝑥+3𝑦
Jawaban:
𝑏
3
4. (
𝑎2
𝑥
) ÷ (
𝑥
𝑎
−
𝑎
𝑥
)
Jawaban:
𝑎3
𝑥2−𝑎2
5.
(2𝑥−1)2
8𝑥+4
+
(2𝑥−3)
4(2𝑥+1)
Jawaban:
(𝑥−1)
2
6. Nina memiliki gaji Rp 24.000.000,-/ bulan ,
1
3
dari gaji disumbangkan,
1
4
digunakan untuk transportasi,
1
6
ditabung dan sisanya untuk kebutuhan
sehari-hari. Berapakah jumlah uang yang dipakai untuk transportasi,
disumbangkan, dan kebutuhan sehari-hari (persenkan).
Jawaban: 25%
7.
1
( 𝑥−3)(𝑥−4)
−
2
( 𝑥−2)( 𝑥−4)
+
1
( 𝑥−2)(𝑥−3)
Jawaban:
=
2
( 𝑥−2)( 𝑥−3)(𝑥−4)

12. 8.
𝑥
𝑥−1
−
1−2𝑥
𝑥2−1
Jawaban:
=
1
𝑎2+𝑏2
9.
2𝑥2
+5𝑦−3
3𝑥2 −5𝑦−2
×
3𝑥2
−8𝑥−3
2𝑦2 +3𝑥−2
Jawaban:
=
𝑥2
−9
𝑥2−4
10. (
𝑎
𝑎+𝑏
−
( 𝑎−2)
𝑎
) ÷ (
𝑎
𝑎+2
+
( 𝑎−2)
𝑎
)
Jawaban:
=
2
𝑎2−2
11. (
1−𝑥
(1−𝑥)2 ×
2𝑥
1+𝑥3) ÷
𝑥
1−𝑥
Jawaban:
=
2
1+𝑥3
12.
2𝑥+1
𝑥+1
+
2𝑥+9
𝑥+5
−
2𝑥+3
𝑥+2
−
2𝑥+7
𝑥+4
Jawaban:
=
4𝑥4
+ 46𝑥3
+ 180𝑥2
+272𝑥+122
𝑥4 + 12𝑥3 + 49𝑥2 + 78𝑥+40
13. Ubahlah
12𝑎2
36𝑎3 menjadi pecahan yang ekuivalen dengan cara membagi
sukunya dengan 12𝑎2
.
Jawaban:
1
3𝑎
14. Bagilah:
𝑎2
−100
8
÷
2𝑎+20
20
Jawaban: −
2𝑥−1
3𝑥
atau
1−2𝑥
3𝑥

13. 15. Gabungkan:
3𝑥
𝑥−2
+
5𝑥
𝑥+2
Jawaban:
8𝑥2
−4𝑥
( 𝑥−2)(𝑥+2)

14. DAFTAR PUSTAKA
Sukino dan Wilson Simangunsong. 2007. Matematika untuk SMP kelas VII.
Jakarta :Erlangga
Rich Barnett dan Philip A.Schmidt. 2004. Aljabar Elementer edisi ketiga.
Jakarta:Erlangga
Wijdenes. P. 1956. Aldjabar Rendah djilid 1. Jakarta: Pradnja Paramita