Statistics and Probability

1. http://www.free-powerpoint-templates-design.com
Variabel Acak
Presented By. DENI WIJANANTO

2. Pengertian
01 Random Variabel
Suatu fungsi yang didefinisikan pada sample space
02
 Discrete random variables
Cth: Jumlah hari hujan dalam 1 tahun.
 Continous random variables
Cth : Jumlah (volume) hujan selama 1 tahun.
Jenis
03
 X  Variabel Random
 x  nilai variabel random
Notasi
04
 Suatu fungsi variabel random adalah variabel random pula.
 Jika X adalah variabel random, maka Z = f(X) adalah juga Variabel
Random
Fungsi

3. Variable Random Discrete
X = discrete random variables
= x1, x2, x3, ..., xn
fx(x1)
fx(x2)
fx(x3)
fx(xn)
Probabilitas ∑ fx(xi) = 1
Probabilitas
Variabel
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Kumulatif
Diskrit
Probabilitas
x ≤ xi

4.  Distribusi probabilitas kumulatif suatu variabel random X untuk X = x
𝐹𝑋 𝑋 =
𝑥𝑖≤𝑥
𝑓𝑥 𝑥𝑖
 Distribusi probabilitas suatu variabel random X untuk X = x
fx(xi) = Fx(xi) – Fx (xi – 1)
• fxi =Fxi – Fxi-1
Frekuensi Relatif
• Fxi(x) = 𝑗=1
𝑖
𝑓𝑥𝑗
Frekuensi Relatif
Kumulatif
• fx(xi) = Fx(xi) – Fx(xi-1)
Probabilitas
• Fx(x) = 𝑥𝑖≤𝑥 𝑓𝑥(𝑥𝑖)
Probabilitas

5. Variable Random Kontinyu
 Probabilitas
𝑝𝑟𝑜𝑏 𝐴 =
𝑛𝑖
𝑛
= 𝑓𝑥𝑖
𝑛𝑖 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝐾𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖
𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝑑𝑎𝑡𝑎
 Dengan demikian fxi dapat dipandang sebagai estimasi probabilitas fxi
 estimasi prob (A).
Histogram frekuensi  pendekatan distribusi probabilitas
Frekuensi kumulatif  pendekatan distribusi probabilitas kumulatif
Px(x) = prob (X ≤ x)
dPx(x) = px (x) dx
Px(x) = −∞
𝑥
𝑝𝑥 𝑡 𝑑𝑡

6. Sifat Probabilitas

7. Kala Ulang (Return Period)
Diketahui suatu variabel random X
memiliki fungsi kerapatan probabilitas
(pdf) sbb.
𝑝𝑥 𝑥 =
𝑥
2
0
𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 0 < 𝑥 < 2
𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
• Gambarlah pdf tersebut
• Tunjukkan prob (0<x<2) = 1
• Hitung prob (x <1,5) = px(1,5)
• Hitung prob (0,5 < x < 1,5)
Example
Pengolahan data annual series curah hujan
maksimum (H mm) di suatu stasiun ARR
menunjukkan bahwa sebaran probabilitas suatu
besaran curah hujan (pH(h)) dapat dinyatakan
dengan suatu fungsi (pdf) sbb :
𝑝𝐻 ℎ =
1/75
1
350
(100 − ℎ)
0
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 < ℎ < 50
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 50 < ℎ < 100
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 ℎ 𝑦𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
• Gambar pdf tersebut
• Cari fungsi cdf berdasarkan pedff tersebut
• Hitung prob (40<h<60)
Example
 Dalam Definisi Kala Ulang
a. Suatu kejadian yang menyamai atau melampaui suatu nilai tertentu.
b. Suatu kejadian yang melampaui suatu nilai tertentu
 Kedua definisi, a dan b, adalah sama mengingat probabilitas suatu kejadian
menyamai suatu nilai tertentu bernilai nol.
Prob (X ≥ a) = Prob (X > a)
01 02

8. Bivariate Distribustion
Apabila kita ingin mempelajari perilaku
dua atau lebih variabel random, maka
perlu menghitung probabilitas gabungan
atau probabilitas bersama (joint
probability)
Probabilitas Gabungan  pdf Gabungan
𝑝𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝑃𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) pdf
𝑝𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑝𝑟𝑜𝑏 (𝑋 ≤ 𝑥 ⋀𝑌 ≤ 𝑦) cdf
= −∞
+∞
−∞
+∞
𝑝𝑥,𝑦 𝑠,𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑠
Beberapa Sifat Bivariate Distribusion
Px,y (x,)  cdf variabel random x saja
Px,y (,y)  cdf variabel random y saja
Px,y (x,y) ≥ 0
Px,y (+ ,+ ) = 1
Px,y (- ,y) = Px,y (x,- ) = 0

9. Distribusi Marginal
Dua Variabel random x dan y
o Ingin diketahui perilaku variabel X tanpa
mempertimbangkan variabel Y
o Densitas marginal (pdf) dan distribusi
komulatif marginal (cdf)
𝑝𝑥,𝑦 𝑥, 𝑦 → 𝑝𝑥 𝑥
𝑝𝑥,𝑦 𝑥, 𝑦 =
−∞
+∞
𝑝𝑥,𝑦 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡
pdf
𝑝𝑥,𝑦 𝑥, 𝑦 → 𝑝𝑥 𝑥
𝑝𝑥 𝑥 = 𝑃𝑋 𝑥, ∞ = 𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑥 ≤ 𝑥 𝑌 ≤ ∞ = 𝑝𝑟𝑜𝑏(𝑋 ≤ 𝑥)
=
−∞
+∞
−∞
+∞
𝑝𝑥,𝑦 𝑠, 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑠 =
−∞
𝑥
𝑝𝑥 𝑠 𝑑𝑠
cdf

10. Distribusi Marginal
Untuk Variabel y
𝑝𝑥,𝑦 𝑥, 𝑦 → 𝑝𝑥 𝑦
𝑝𝑥,𝑦 𝑥, 𝑦 =
−∞
+∞
𝑝𝑥,𝑦 𝑠, 𝑦 𝑑𝑠
pdf
𝑝𝑥,𝑦 𝑥, 𝑦 → 𝑝𝑦 𝑦
𝑝𝑦 𝑦 = 𝑃𝑦 ∞, 𝑦 = 𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑥 ≤ ∞ 𝑌 ≤ 𝑦 = 𝑝𝑟𝑜𝑏(𝑌 ≤ 𝑦)
=
−∞
𝑦
−∞
+∞
𝑝𝑥,𝑦 𝑠, 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑠 =
−∞
𝑦
𝑝𝑦 𝑡 𝑑𝑡
cdf

11. Distribusi Bersyarat
Dua Variabel random x dan y
o Ingin diketahui perilaku variabel X yang bergantung pada variabel Y
 Distribusi X jika Y = y0
 Distribusi Y jika x1 ≤ X ≤ x2
o Prob (xi|y di dalam S) = 𝑠
𝑝𝑥,𝑦 𝑥,𝑡 𝑑𝑡
𝑠
𝑝𝑦 𝑡 𝑑𝑡
o Prob (x didalam R|y didalam S) = 𝑟
𝑝𝑥|𝑦 𝑥|𝑦 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑆 𝑑𝑥
o Px|y (x|y) =
𝑝𝑥,𝑦 𝑥,𝑦0
𝑝𝑦(𝑦0)
yang lebih sering dituliskan Px|y (x|y) =
𝑝𝑥,𝑦 𝑥,𝑦
𝑝𝑦(𝑦)

12. Contoh :
X dan Y independence jika :
1. px|y (x|y) bukan fungsi y
2. px|y (x|y) = px (x)
VARIABEL RANDOM X DAN Y
Perkalian densitas marginal kedua variabel
px,y(x,y) = px(x).py(y)
JOINT PROBABILITIES
Dari tabel data disamping :
1) Pdf gabungan
2) Pdf marginal & cdf marginal udara rerata
3) Pdf marginal & cdf marginal udara relatif
4) Probabilitas temperatur udara berkisar 280C – 300C
5) Probabilitas temperatur udara berkisar 280C – 300C
pada saat kelembaban udara relatif 60% - 80%.
INDEPENDENCE