Dokumen tersebut membahas tentang integral, termasuk definisi integral, rumus integral parsial, dan contoh-contoh penyelesaian integral dengan menggunakan teknik-teknik tertentu seperti pemilihan fungsi u dan dv, penggunaan rumus integral parsial, serta teknik cover up.

1. MATEMATIKA
Oleh:
Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

2. Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi
dalam variabel x, maka pengintegralan
ditentukan oleh hubungan:
dvu∫
duvvudvu ∫∫ −= .
Perlu diperhatikan!
• memilih bagian dv sehingga v dengan segera dapat ditentukan
melalui hubungan
• harus lebih mudah diselesaikan dibandingkan dengan
∫= dvv
duv∫ dvu∫

3. Contoh 1:
Tentukanlah Integral berikut ini:
dxxx
dxxx
dxxx
∫
∫
∫
+5.3
sin.2
cos..1
2

4. Jawab:
dxxx∫ cos..1
Misalkan u = x, sehingga du = dx
dv = cos x dx, sehingga v = xdxxdv sincos == ∫∫
duvvudvu ∫∫ −= .
Dengan menggunakan rumus integral parsil
diperoleh:
Cxxx
dxxxx
++=
−= ∫
cossin.
sinsin.

5. Jawab:
Misalkan u = x2
, sehingga du = 2x. dx
dv = sinx dx, sehingga v =
duvvudvu ∫∫ −= .
Dengan menggunakan rumus integral parsil
diperoleh:
dxxx∫ sin.2 2
dxxxxx ∫ −−−= 2).cos()cos.(2
dxxxxx ∫+−= )(cos2)cos.(2
Cxxxxx
Cxxxxx
2cos2sin.2)cos.(
)cossin.(2)cos.(
2
2
+++−=
+++−=
Kxxxxx +++−= cos2sin2cos2
xdxxdv cossin −== ∫∫

6. dxxx∫ + 5.3
Misalkan u = x, sehingga du = dx
dv = dx, sehingga
Dengan menggunakan rumus integral parsil
duvvudvu ∫∫ −= . diperoleh:
5+x
2
3
)5(5 3
2
+=+== ∫∫ xdxxdvv
Cxxx
xxx
xxx
++−+=
+−+=
+−+= ∫
2
5
2
3
2
5
2
3
2
3
2
3
)5()5(
)5(.)5(.
)5()5(.
15
4
3
2
5
2
3
2
3
2
3
2
3
2

7. Tentukanlah integral berikut ini:
∫
∫
dxex
dxex
x
x
32
..2
..1
Jawab:
∫ dxex x
..1
Misalkan u = x , maka du = dx
dv = maka v = ex
∫ dxex
duvvudvu ∫∫ −= . diperoleh
= x. ex
-
= x.ex
– ex
+ C
∫ dxex

8. + x2
e3x
- 2x 1/3 e3x
+ 2 1/9 e3x
- 0 1/27e3x
+ 1/81e3x
∫ dxex x32
..2
Turunan Integral
Cexeexdxex xxxx
++−=∫
33
9
232
3
132
27
2
.

9. Langkah menguraikan fungsi rasional:
a. Bila penyebut merupakan faktor-faktor linier yang berlainan:
b. Bila penyebut mengandung faktor linier yang berulang
c. Bila penyebut mengandung faktor yang bukan linier
))((
)()(
))((
1
bxax
axBbxA
bx
B
ax
A
bxax ++
+++
=
+
+
+
=
++
)()(
)()())((
)()()(
1
2
2
22
bxax
axCbxBbxaxA
bx
C
ax
B
ax
A
bxax ++
++++++
=
+
+
+
+
+
=
++
))((
)())((
))((
1
2
2
22
bxax
axCbxBAx
bx
C
ax
BAx
bxax ++
++++
=
+
+
+
+
=
++

10. Contoh 1:
Hitunglah ∫ +− 232
xx
dx
)2)(1(
2
)2)(1(
)1()2(
21
)2)(1(
1
23
1
2
−−
−+−
=
−−
−+−
=
−
+
−
=
+−
=
+−
xx
BBxAAx
xx
xBxA
x
B
x
A
xxxx

11. A + B = 0
-2A – B = 1
+
-A = 1 A = -1, B = 1
Sehingga
c
x
x
cxx
x
dx
x
dx
xx
dx
+
−
−
=
+−+−−=
−
+
−
−
=
+− ∫∫∫
1
2
ln
2ln1ln
21232

12. Contoh 2:
Hitunglah dx
x
x
∫ + 2
)1(
Jawab:
10;1
)1(
)1(
)1(
)1(1)1(
2
2
22
−=⇒=+=
+
++
=
+
++
=
+
+
+
=
+
BBAA
x
BAAx
x
BxA
x
B
x
A
x
x

13. Sehingga:
c
x
x
u
u
u
du
u
du
x
dx
x
dx
dxduxumisal
x
dx
x
dx
dx
x
x
+
+
++=
+=
−=
+
−
+
=⇒+=
+
−
+
=
+
∫∫∫∫
∫∫∫
1
1
1ln
1
ln
)1(1
1:
)1(1)1(
22
22

14. Contoh 3:
Hitunglah dengan menggunakan bantuan
“Cover Up” rule
dx
xx
x
∫ −+ )2(
3
2
Jawab:
Untuk mendapatkan nilai A, cover up x-1 dengan
mensubsitusi x= 1 pada ruas kiri.
)2()1(
)2)(1(
3
)2(
3
2
+
+
−
=
+−
=
−+
x
B
x
A
xx
x
xx
x

15. Sehingga:
1
3
3
)21)(1(
1.3
==
+−
=
x
A
Untuk mendapatkan B, cover up x+2 dan subsitusi x =
-2 pada ruas kiri, menjadikan
2
3
6
)2)(12(
)2.(3
=
−
−
=
+−−
−
=
x
B
cxx
dx
x
dx
x
dx
xx
x
+++−=
+
+
−
=
+− ∫∫∫
2ln21ln
2
2
1
1
)2)(1(
3

16. TERIMA KASIH
Selamat Belajar