PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFFERENTIAL EQUATION

1. PERSAMAAN
DIFERENSIAL
(DIFFERENTIAL EQUATION)
metode euler
metode runge-kutta

2. Persamaan Diferensial
• Persamaan paling penting dalam bidang
rekayasa, paling bisa menjelaskan apa yang
terjadi dalam sistem fisik.
• Menghitung jarak terhadap waktu dengan
kecepatan tertentu, 50 misalnya.
50=
dt
dx

4. Rate equations

5. Persamaan Diferensial
• Solusinya, secara analitik dengan integral,
• C adalah konstanta integrasi
• Artinya, solusi analitis tersebut terdiri dari
banyak ‘alternatif’
• C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x
dan t. Sehingga, untuk contoh di atas, jika
x(0) = (x saat t=0) = 0, maka C = 0
∫∫ = dtdx 50 Ctx += 50

6. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Persamaan yang mengandung turunan dari
satu atau lebih variabel tak bebas, terhadap
satu atau lebih variabel bebas.
• Dibedakan menurut:
– Tipe (ordiner/biasa atau parsial)
– Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang
ada
– Liniarity (linier atau non-linier)

7. PDO
Pers.dif. Ordiner = pers. yg mengandung
sejumlah tertentu turunan ordiner dari satu
atau lebih variabel tak bebas terhadap satu
variabel bebas.
y(t) = variabel tak bebas
t = variabel bebas
dan turunan y(t)
Pers di atas: ordiner, orde dua, linier
t
ety
dt
tdy
t
dt
tyd
=++ )(5
)()(
2
2

8. PDO
• Dinyatakan dalam 1 peubah dalam
menurunkan suatu fungsi
• Contoh:
kPPkP
dt
dP
xyx
dx
dy
=>−=
=>−=
'
sin'sin

9. Partial Differential Equation
• Jika dinyatakan dalam lebih dari 1 peubah, disebut
sebagai persamaan diferensial parsial
• Pers.dif. Parsial mengandung sejumlah tertentu
turunan dari paling tidak satu variabel tak bebas
terhadap lebih dari satu variabel bebas.
• Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan
(adveksi, dispersi, diffusi)
0
),(),(
2
2
2
2
=+
t
txy
x
txy
δ
δ
δ
δ

10. PDO
x
eyy
dt
sd
yy
=−
−=
=+
3)'(
32
24'''
2
2
2
Ordiner, linier, orde 3
Ordiner, linier, orde 2
Ordiner, non linier, orde 1

11. Solusi persamaan diferensial
• Secara analitik, mencari solusi persamaan
diferensial adalah dengan mencari fungsi
integral nya.
• Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara
eksponensial, persamaan umum:
kP
dt
dP
=

12. Rate equations

13. But what you really want to know is…
the sizes of the boxes (or state variables) and how they
change through time
That is, you want to know:
the state equations
There are two basic ways of finding the state equations
for the state variables based on your known rate
equations:
1) Analytical integration
2) Numerical integration

14. Suatu kultur bakteria tumbuh dengan
kecepatan yang proporsional dengan
jumlah bakteria yang ada pada setiap
waktu. Diketahui bahwa jumlah bakteri
bertambah menjadi dua kali lipat setiap 5
jam. Jika kultur tersebut berjumlah satu
unit pada saat t = 0, berapa kira-kira
jumlah bakteri setelah satu jam?

15. • Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5 jam, maka k
= (ln 2)/5
• Jika P0 = 1 unit, maka setelah satu jam…
Solusi persamaan diferensial
kP
dt
dP
=
dtk
P
dP
t
t
P
P
∫∫ =
1
0
1
0
)(ln 0
0
ttCk
P
P
−=
kt
ePtP 0)( =
)(1)1(
)1)(
5
)2(ln(
eP =
1487.1=

16. Rate equation State equation(dsolve in Maple)
The Analytical Solution of the Rate Equation
is the State Equation

17. There are very few models in
ecology that can be solved
analytically.

18. Solusi Numerik
• Numerical integration
– Eulers
– Runge-Kutta

19. Numerical integration makes use of this relationship:
Which you’ve seen before…
Relationship between continuous and discrete time models
*You used this relationship in Lab 1 to program the
logistic rate equation in Visual Basic:
1where,11 =∆∆





−+=+ tt
K
N
rNNN t
ttt
t
dt
dy
yy ttt ∆+≈∆+

20. , known
Fundamental Approach of Numerical Integration
y = f(t), unknown
∆t, specified
y
t
yt, known
dt
dy
yt+∆t, estimated
t
dt
dy
yy ttt ∆+≈∆+
yt+∆t,
unknown

21. Euler’s Method: yt+ ∆t ≈ yt + dy
/dt ∆t
1where,1 =∆∆





−+=∆+ tt
K
N
rNNN t
tttt
dt
dN
Calculate dN/dt*1
at Nt
Add it to Nt to
estimate Nt+ ∆t
Nt+ ∆t becomes the new Nt
Calculte dN/dt * 1 at new Nt
Use dN/dt to estimate next Nt+ ∆t
Repeat these steps to estimate the state
function over your desired time length
(here 30 years)
Nt/K with time, lambda = 1.7, time step = 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 10 20 30 40 50
time (years)
Nt/K

22. Example of Numerical Integration
dy
dt
y y= −6 007 2
.
Analytical solution to dy/dt
Y0 = 10
∆ t = 0.5
point to
estimate

23. y
Euler’s Method: yt+ ∆t ≈ yt + dy
/dt ∆t
yt = 10
m1 = dy/dt at yt
m1 = 6*10-.007*(10)2
∆y = m1*∆t
yest= yt + ∆y
∆ t = 0.5
∆y
estimated y(t+ ∆t)
analytical y(t+ ∆t)
dy
dt
y y= −6 007 2
.

24. Runge-Kutta Example
dy
dt
y y= −6 007 2
.
∆ t = 0.5
point to
estimate
Problem: estimate the slope to
calculate ∆y
∆y

25. Runge-Kutta Example
yt
W
eighted average of > 1 slope
Unknown point to
estimate, yt+Δt
½ Δt Δtt
estimated yt+Δt
estimated yt+Δt
estimated yt+Δt
∆ t = 0.5

26. Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes (m1…m4)
within Δt:
Runge-Kutta, 4th order
),(
)2/,2/(
)2/,2/(
),(
34
23
12
1
tmyttm
tmyttfm
tmyttfm
ytfm
∆+∆+=
∆+∆+′=
∆+∆+′=
′=
),(atderivative),( ytytf =′
tmmmmyy ttt ∆++++=∆+ )22(
6
1
4321
These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the
state function between t and t + Δt, which is used to estimate
yt+ Δt:

27. y
Step 1:
Evaluate slope at current value of state
variable.
y0 = 10
m1 = dy/dt at y0
m1 = 6*10-.007*(10)2
m1 = 59.3
m1=slope 1
y0

28. Step 2:
A) Calculate y1at t +∆t/2 using m1.
B) Evaluate slope at y1.
A) y1 = y0 + m1* ∆t /2
y1 = 24.82
B) m2 = dy/dt at y1
m2 = 6*24.8-.007*(24.8)2
m2 = 144.63 m2=slope 2
∆ t = 0.5/2
y1

29. Step 3:
Calculate y2 at t +∆t/2 using k2.
Evaluate slope at y2.
y2 = y0 + k2* ∆t /2
y2 = 46.2
k3 = dy/dt at y2
k3 = 6*46.2-.007*(46.2)2
k3 = 263.0
k3 = slope 3
∆ t = 0.5/2
y2

30. Step 4:
Calculate y3 at t +∆t using k3.
Evaluate slope at y3.
y3 = y0 + k3* ∆t
y3 =141.5
k4 = dy/dt at y3
k4 = 6*141.0-.007*(141.0)2
k4 = 706.9
k4 = slope 4
∆ t = 0.5
y2
y3

31. m4 = slope 4
∆ t = 0.5
m3 = slope3
m2 = slope 2
m1 = slope 1
Now you have 4 calculations of the slope of the state equation
between t and t+Δt

32. Step 5:
Calculate weighted slope.
Use weighted slope to estimate y at t +∆t
∆ t = 0.5
weighted slope =
true value
estimated value
weighted slope
tmmmmyy ttt ∆++++=∆+ )22(
6
1
4321
)22(
6
1
4321 mmmm +++

33. Conclusions
• 4th order Runge-Kutta offers
substantial improvement over
Eulers.
• Both techniques provide estimates,
not “true” values.
• The accuracy of the estimate
depends on the size of the step used
in the algorithm.
Runge-Kutta
Analytical
Eulers