Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan sifat-sifat elips, meliputi cara melukis elips, persamaan elips, direktris dan eksentrisitas elips, hubungan garis terhadap elips, serta persamaan garis singgung elips. Secara rinci dibahas tentang konsep-konsep dasar elips seperti fokus, puncak, sumbu mayor dan minor, serta contoh soal untuk memahami konsep-konsep tersebut.

1. ELIPS

2. Anggota Kelompok 3
Atika
Luthfiyatil
Fathinah
Caca
Istiqomah
12218005 12218017
Rizky Aris
Akbar
12218007
Sabila Gitry
Haslin
12218015
01 02 03 04

3. ELLIPS
Definisi Elips Melukis Elips
Persamaan Elips Direktrik dan
Eksentrisitet
01 02
06
04
05
Garis dan Elips
03
Garis Singgung Elips

4. Definisi Elips
01

5. 1. Definisi Elips
Elips adalah tempat kedudukan
titik-titik pada bidang yang jumlah
jaraknya terhadap dua titik tertentu
adalah tetap. Kedua titik tertentu itu
disebut fokus.

6. Melukis Elips
02

7. 2. Melukis Elips

8. 1. (F1dan F2) disebut fokus. Jika T adalah sembarang titik pada
elips, maka TF1 + TF2 = 2a. F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c
2. A1A2 merupakan sumbu panjang (sumbu mayor) yang panjangnya
sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek
(sumbu minor) yang panjangnya sama dengan 2b. Sumbu yang melalui
pusat dari B Karena itu a > b.
3. Latus rectum yaitu segmen garis yang melaui titik fokus, tegak lurus
sumbu mayor, dan melalui fokus (DE dan KL) Panjang latus rectum
DE = KL =
2𝑏2
𝑎
4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.
5. Titik puncak elips yaitu A1, A2, B1, dan B2
Keterangan:

9. Jika (a > b) maka elips horizontal.
Jika (b > a) maka elips vertikal.

10. Persamaan Elips
03

11. Tabel Persamaan Elips dengan Titik Pusat (0, 0)
Keterangan Elips Horizontal Elips Vertikal
Persamaan elips
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
𝒙𝟐
𝒃𝟐
+
𝒚𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏
Fokus (-c, 0), (c, 0) (0, -c), (0, c)
Puncak (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, c)
LR
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Direktris (garis arah) x =±
𝑎2
𝑐
y =±
𝑎2
𝑐
Eksentrisitas e =
𝑐
𝑎
e =
𝑐
𝑎
Sumbu mayor Sumbu x. Panjangnya= 2a Sumbu y. Panjangnya= 2a
Sumbu minor Sumbu y. Panjangnya= 2b Sumbu y. Panjangnya= 2b

12. Contoh soal:
Diketahui pusat elips (0, 0)
Titik puncak (13, 0) ⇔ a = 13
Titik fokus (-12, 0) dan (12, 0)
⇔ c = 12
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
= 132
− 122
= 169 – 144
= 25
b = 25 = 5
Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya (13, 0) dan fokus
F1 (-12, 0) dan F2(12, 0).
Penyelesaian:
Sumbu utama adalah sumbu x, sehingga persamaan elipsnya adalah:
𝑥2
132 +
𝑦2
52 = 1 atau
𝑥2
169
+
𝑦2
25
= 1

13. Tabel Persamaan Elips dengan Titik Pusat(p, q)
Keterangan Elips Horizontal Elips Vertikal
Persamaan elips
(𝑥 − 𝑝)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑏2
= 1
(𝑥 − 𝑝)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑎2
= 1
Fokus (p + c, q), (p - c, q) (p, q + c), (p, q - c)
Puncak (p + a, q), (p - a, q) (p, q + b), (p, q - b)
Latus Rectum
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Direktris x = p±
𝑎2
𝑐
y = q±
𝑎2
𝑐
Eksentrisitas e=
𝑐
𝑎
e=
𝑐
𝑎
Panjang sumbu mayor 2a 2a
Panjang sumbu minor 2b 2b

14. Contoh soal:
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak dan panjang latus rectum dari
elips yang mempunyai persamaan
𝑥−2 2
25
+
𝑦+1 2
9
= 1
Penyelesaian:
𝑎2
= 25 ↔ 𝑎 = 5
𝑏2
= 9 ↔ 𝑏 = 3
Titik pusat (p, q) = (2, -1)
Elips ini adalah elips horizontal karena a > b.
Titik fokus (p + c, q), (p - c, q)
c = 𝑎2 − 𝑏2 = 25 − 9 = 4
Jadi, titik fokus → 6, −1 dan −2, −1
Titik puncak (p + a, q), (p - a, q) →
7, −1 dan −3, −1
Panjang latus rectum:
LR =
2𝑏2
𝑎
=
2(3)2
5
=
18
5
LR =
18
5

15. 3. Bentuk Umum Persamaan Elips
Hubungan antara persamaan Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 dengan
persamaan
(𝑥−𝑚)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑛)2
𝑏2 = 1, adalah sebagai berikut:
Jika A > B, maka A = a2, B = b2 , C = -2a2 m, D = -2b2 n,
E = a2m2 + b2n2 - a2b2
Jika A < B, maka A = b2, B = a2 , C = -2b2 m, D = -2a2 n,
E = b2m2 + a2n2 - a2b2
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

16. Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki
Persamaan 4x2+ 9y2-16x+ 18y -11=0.
JAWAB :
Diketahui persamaan elips: 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.
A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11
𝑏2
= A = 4 ⇔ b = 2
𝑎2
= B = 9 ⇔ a = 3
C = -2b2m D = -2a2n
-16 = -2.4.m 18 = -2.9.n
-16 = -8m 18 = -18n
2 = m -1 = n
Pusat P(m, n) ⇔ P(2, -1)
Fokus F1 (m-c, n) = F1
Jawab:
Contoh soal:
F2 F2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
= 9 − 4
c = 5

17. Direktrik dan
Eksentrisitet
04

18. A. DIREKTRIK
Definisi:
Direktrik/direktris adalah sebuah garis arah yang
tegak lurus dengan sumbu mayor dan berada di luar
elips.

19. Persamaan Direktris:
Keterangan Elips Horizontal Elips Vertikal
Titik Pusat (0,0) x = ±
𝑎2
𝑐
y =±
𝑎2
𝑐
Titik Pusat (p,q) x = p±
𝑎2
𝑐
y = q±
𝑎2
𝑐

20. B. EKSENTRISITET
Eksentrisitet/eksentrisitas menggambarkan seberapa pipih suatu elips
tersebut. Eksentrisitas bisa dirumuskan sebagai jarak antara pusat
elips ke 𝐹1 dibagi dengan a.
Misal titik pusatnya adalah P:
e =
𝑃.𝐹1
𝑎
=
𝑃.𝐹2
𝑎
Jarak antara P ke 𝐹1 adalah c. Maka,
e =
𝑐
𝑎

21. Tentukan persamaan direktris daan eksentrisitas dari persamaan elips
(𝑥−2)2
25
+
(𝑦+1)2
9
= 1
Penyelesaian:
Contoh soal:
𝑎2
= 25 ↔ 𝑎 = 5
𝑏2
= 9 ↔ 𝑏 = 3
Titik pusat (p,q) = (2, -1)
Mencari direktris:
𝑥 = 𝑝 ±
𝑎2
𝑐
x = 2 +
52
4
=
33
4
dan
x = 2 -
52
4
= −
17
4
Mencari eksentrisitas:
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
4
5

22. Garis dan Elips
05

23. Kedudukan garis terhadap elips
dibagi ke dalam tiga kondisi. Ketiga
kondisi kedudukan garis terhadap
elips meliputi: garis tidak memotong
elips, garis memotong elips di satu
titik (menyinggung elips), dan garis
memotong elips di dua titik.
05. Kedudukan Garis
Terhadap Elips

24. Garis dikatakan tidak memotong elips berarti kedudukan garis dan elips saling
lepas, sehingga keduanya tidak memiliki titik potong. Untuk kedudukan garis terhadap
elips yang berpotongan pada satu titik atau menyingggung elips, antara titik dan
elips memiliki satu titik potong. Sedangkan garis yang berpotongan dengan elips
pada dua titik artinya garis dan elips memiliki dua titik yang sama-sama dilewati
keduanya.

25. Sebuah garis dikatakan tidak memotong
elips jika garis dan elips tidak memiliki titik
potong, keduanya saling lepas. Kita dapat
mengetahui garis tidak memotong elips dari
nilai diskriminannya. Jika nilai diskriminan
elips kurang dari nol (D < 0 ) maka garis
dan elips saling lepas. Dengan kata lain,
garis tidak memotong elips.
a. Garis Tidak Memotong Elips

26. Kedudukan garis terhadap elips yang akan
dibahas di sini adalah garis memotong elips
pada satu titik. Atau dapat juga dikatakan
dengan garis menyinggung elips. Sebuah garis
dikatakan menyinggung elips jika hanya
memiliki satu titik potong. Garis memotong
elips di satu titik dapat dilihat jika nilai
dikriminannya sama dengan nol, D = 0.
b. Garis Memotong Elips di Satu Titik (Menyinggung Elips)

27. Berikutnya adalah ulasan kedudukan
garis terhadap elips untuk garis memotong
elips di dua titik. Garis yang memotong
elips di dua titik, artinya memiliki dua
buah titik yang sama-sama dilalui, baik
oleh garis atau elips. Kriteria garis
memotong elips di dua titik dapat dilihat
dari nilai diskriminannya yang lebih besar
dari nol, D > 0.
c. Garis Memotong Elips di Dua Titik

28. Tentukan kedudukan garis y = 2x + 3 pada elips dengan
persamaan seperti berikut.
Pertama, kita akan menentukan kedudukan garis y = 2x + 3
terhadap elips dengan melihat nilai diskriminannya.
Contoh soal:

29. Substitusi persamaan garis y = 2x + 3 pada persamaan elips:

30. Dari persamaan kuadrat yang didapat di atas,
diperoleh nilai a = 5, b = 7, dan c = 2.
Selanjutnya akan ditentukan nilai
diskriminannya.
Nilai diskriminan (D):
D = b2 – 4ac
D = 72 – 4(5)(2)
D = 49 – 40 = 9
Bedasarkan hasil perhitungan di atas, nilai
diskriminannya adalah 9 (D > 0). Sehingga,
kesimpulannya adalah garis memotong elips di
dua titik.
Terlihat bahwa garis y = 2x + 3 memotong elips di dua titik.

31. Garis Singgung
Elips
06

32. a. Persamaan Garis Singgung Elips di Titik P(𝒙𝟏, 𝒚𝟏)
Persamaan Elips
Persamaan Garis Singgung
Melalui titik (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) Dengan gradien p
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
𝒙𝟏𝒙
𝒂𝟐
+
𝒚𝟏𝒚
𝒃𝟐
= 𝟏 𝒚 = 𝒑𝒙 ± 𝒂𝟐𝒑𝟐 + 𝒃𝟐
𝒙𝟐
𝒃𝟐
+
𝒚𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏
𝒙𝟏𝒙
𝒃𝟐
+
𝒚𝟏𝒚
𝒂𝟐
= 𝟏 𝒚 = 𝒑𝒙 ± 𝒂𝟐 + 𝒑𝟐𝒃𝟐
6. Persamaan Garis Singgung Elips

33. Tentukan persamaan garis singgung elips berikut,
x2
28
+
y2
21
= 1, pada titik (4, 3)!
Contoh soal:

34. Tentukan persamaan garis singgung elips berikut,
x2
22
+
y2
3
= 1, dengan gradien 1!
Contoh soal:
Penyelesaian:
⇔ 𝑎2
= 22, 𝑏2
= 3, dan p = 1
Persamaan garis singgung :
𝒚 = 𝒑𝒙 ± 𝒂𝟐𝒑𝟐 + 𝒃𝟐
⇔𝑦 = 𝑥 ± 22.1 + 3
⇔𝑦 = 𝑥 ± 25
⇔𝑦 = 𝑥 ± 5
⇔y = x + 5 dan y = x - 5

35. b. Persamaan Garis Singgung Elips di titik P(m, n)
Persamaan Elips
Persamaan Garis Singgung
Melalui titik(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) Dengan gradien p
(𝐱 − 𝐦)𝟐
𝐚𝟐
+
(𝐲 − 𝐧)𝟐
𝐛𝟐
= 𝟏
(𝒙𝟏 − 𝒎)(𝒙 − 𝒎)
𝒂𝟐
+
(𝒚𝟏−𝒏)(𝒚 − 𝒏)
𝒃𝟐
= 𝟏 𝒚 − 𝒏 = 𝒑(𝒙 − 𝒎) ± 𝒂𝟐𝒑𝟐 + 𝒃𝟐
(𝐱 − 𝐦)𝟐
𝐛𝟐
+
(𝐲 − 𝐧)𝟐
𝐚𝟐
= 𝟏
(𝒙𝟏−𝒎)(𝒙 − 𝒎)
𝒃𝟐
+
(𝒚𝟏−𝒏)(𝒚 − 𝒏)
𝒂𝟐
= 𝟏 𝒚 − 𝒏 = 𝒑(𝒙 − 𝒎) ± 𝒂𝟐 + 𝒑𝟐𝒃𝟐

36. Tentukan persamaan garis singgung elips
berikut
(x−1)2
18
+
(y+2)2
9
= 1, pada titik (5, -3)!
Contoh soal:
Penyelesaian:
Pusat (m, n)⇔ (1, -2)
(5, -3)⇔ x1 = 5 dan y1 = -3
Persamaan garis singgung :
(𝐱𝟏−𝐦)(𝐱 − 𝐦)
𝐚𝟐
+
(𝐲𝟏 − 𝐧)(𝐲 − 𝐧)
𝐛𝟐
= 𝟏
⇔
(5−1)(x−1)
18
+
(−3+2)(y+2)
9
= 1
⇔
4(x−1)
18
+
−(y+2)
9
= 1
⇔
2(x−1)
9
+
−(y+2)
9
= 1
⇔ 2(x – 1) - (y + 2) = 9
⇔ 2x – 2 – y – 2 = 9
⇔ 2x – y = 9 + 4
⇔ 2x – y = 13

37. Tentukan persamaan garis singgung elips
(x+3)2
15
+
(y−4)2
4
= 1, dengan gradien 2
Contoh soal:
Penyelesaian:
m = -3, n = 4, 𝑎2
= 15, 𝑏2
= 4, dan p = 2
Persamaan garis singgung:
𝒚 − 𝒏 = 𝒑(𝒙 − 𝒎) ± 𝒂𝟐𝒑𝟐 + 𝒃𝟐
⇔𝑦 − 4 = 2(𝑥 + 3) ± 15.22 + 4
⇔𝑦 − 4 = 2(𝑥 + 3) ± 64
⇔y = 2x + 6 ± 8 + 4
⇔y = 2x + 18 dan y = 2x + 2

38. —S. Gudder
“Inti dari matematika adalah untuk tidak
membuat hal-hal sederhana menjadi
rumit, tetapi untuk membuat hal-hal
rumit menjadi sederhana.”

39. TERIMA KASIH
Semoga Bermanfaat