Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
i
KAPITA SELEKTA MATEMATIKA
MODUL PEMBELAJARAN
EDITOR
Drs. Budi Santoso M.Si
Elika Kurniadi, S.Pd., M.Sc
PENDIDIKAN MATEMA...
ii
iii
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur tim editor panjatkan kehadirat Allah SWT , yang telah melimpahkan
berbagai nikmat-Nya se...
v
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .................................................................................................
vi
3.1.5. Fungsi Invers......................................................................................................
vii
7.5 Pajak Dan Bunga Tabungan ............................................................................................
viii
12.1.2 Posisi Titik terhadap Titik Asal (0,0) dan Titik Tertentu (a,b) ..........................147
12.2 Menentukan ...
ix
PENDAHULUAN
οƒ˜ LATAR BELAKANG
Kebanyakan siswa menganggap Matematika adalah pelajaran yang sulit. Pada
dasarnya Matemati...
x
1 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
BAB 1
LOGIKA MATEMATIKA
PETA KONSEP
2 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabunga...
3 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Becak memiliki tiga buah roda Tidak benar bahwa becak memiliki tiga buah...
4 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
B B B Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B S B Jika p b...
5 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
B B B
p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR
(dianggap benar)...
6 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
1.5. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini dapat diterapkan dalam ...
7 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernya...
8 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
LATIHAN SOAL
1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataa...
9 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
9. Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jik...
10 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Andy Maulana
Sondang Meriapul Kristiani Sitohang
Iga Octriana
Rati Sept...
11 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
BAB 2
George Cantor (1845-1918) dianggap
sebagai Bapak teori himpunan, ...
12 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
13 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
2.1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obye...
14 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
2.3. Menyatakan Suatu Himpunan
Untuk menyatakan himpunan dapat digunaka...
15 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
contoh:
R={1,2,3,4,5}
Himpunan semesta yang mungkin adalah:
S={bilangan...
16 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Aturan untuk membuat diagram Venn:
1. Himpunan semesta digambarkan dala...
17 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Daerah yang diarsir merupakan daerah A ∩ B
Contoh:
Diketahui:
A={bilang...
18 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
2. Gabungan Himpunan
Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang...
19 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
3. Selisih Himpunan
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan anggota A ...
20 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Tentukan A + B!
Jawab:
A+B= {a,b,c,d,e,f} + {d,e,f,g,h,i} = {a,b,c,g,h,...
21 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
4. Dalil De Morgan
Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota-an...
22 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Sekarang dicari jumlah anak yang suka fisika saja, yaitu anak yang suka...
23 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
6. A = {1,3,5,7,9}
B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
C = {2,4,6,8}
Tentukan 𝐴 ∩ 𝐡...
24 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Dea Maria Neli Saragih
Dita Larissa
Melia Kartika
Qonita Amyra Nisrina
25 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
BAB 3
Mengenai sejarah fungsi ini memang sangat tua sekali, hampir setu...
26 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
PETA KONSEP
FUNGSI
A. FUNGSI DAN
JENIS-JENISNYA
B. OPERASI
ALJABAR PADA...
27 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
3.1 Fungsi Dan Jenis-Jenisnya
3.1.1. PengertianFungsi
Fungsi atau pemet...
28 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
c. Fungsi Satu-Satu dan Pada
f : A β†’ B merupakan fungsi satu-satu dan p...
29 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
c. Fungsi kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fung...
30 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:
a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f...
31 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Penyelesaian:
a. f(–2) = –1
b. f(0) = 0
c. f(3) = 2
d. f(5) = 3
e. Gamb...
32 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
3.1.4. FungsiKomposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat m...
33 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
3.1.5. FungsiInvers
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan deng...
34 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
3.1.6. FungsiInvers Dari FungsiKomposisi
ο‚· Teorema 1: Jika f : A β†’ B bi...
35 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
4 .Invers dari fungsi f(x) = (7x + 5)/(3x - 4), x β‰  4/3 adalah ...
A. (...
36 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
E. 4x2 + 8x + 2.
8. Diketahui fungsi f : R β†’ R, g : R β†’ R dirumuskan de...
37 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
BAB 4
FUNGSI KUADRAT
PETA KONSEP
Pengertian
FungsiKuadrat
FUNGSI
KUADRA...
38 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
4.1 Pengertian fungsi kuadrat
Suatu fungsi dalam himpunan bilangan rill...
39 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Jadi, titik puncak fungsi kuadrat adalah (βˆ’
b
2a
βˆ’
D
4a
).
4.3 Keduduka...
40 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Berdasarkan gambar di atas, kedudukan fungsi kuadrat terhadap sumbu X
d...
41 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
f. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan tidak
memot...
42 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
LATIHAN SOAL
A. PILIHAN GANDA
1. Jika fungsi y = ax2 + 4x + 3a mempunya...
43 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
b. x = -3 atau x = -4
c. x = 1 atau x = -2
d. x = 1 atau x = 2
e. x = -...
44 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Bannati Khairani
Indah Sari
Raden Ayu Maudiana Sari
Rani Sembiln Sembil...
45 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
BAB 5
Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah ...
46 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
PETA KONSEP
47 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
5.1 Definisi Lingkaran
Perhatikan gambar lingkaran di samping!
Sebuah l...
48 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Pada segitiga ABC di atas, berlaku :
𝐴𝐡² = 𝐴𝐢² + 𝐡𝐢²
𝐴𝐡² = (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1)2
+...
49 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
(𝒙 βˆ’ 𝒂) 𝟐
+ (π’š βˆ’ 𝒃) 𝟐
= 𝒓 𝟐
Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapa...
50 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
5.2 Bentuk Umum PersamaanLingkaran
Dengan menggunakan persamaan lingkar...
51 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
5.5 Hubungan Lingkaran Dengan Titik
Ada 3 kemungkinan kedudukan titik t...
52 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
x2 + y2 = r2 maka
Hub. titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran Berlaku Jika
...
53 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingka...
54 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
D>0 garis memotong pada 2 titik yang berbeda
2. Garis Memotong Lingkara...
55 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
𝐷 = 𝑏2
βˆ’ 4π‘Žπ‘
Jika D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Be...
56 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran
Garis singgung bergrad...
57 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
5.7.2 PersamaanGaris Singgung MelaluiSatu titik pada Lingkaran
Persamaa...
58 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Jika titik A(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 , maka garis singgung l...
59 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
βˆ†π‘¦ = 𝑦2 βˆ’ 𝑦2 = 4 βˆ’ 1 = 3
Kemiringan ruas garis AB dapat ditentukan deng...
60 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
5𝑦
5
=
βˆ’2π‘₯
5
Y = -
2
5
π‘₯
Dari perhitungan tersebut kita dapat memperole...
61 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Rumus persamaan garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan ga...
62 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
𝑦 = π‘šπ‘₯ Β± 5√1 + π‘š2 β†’ 𝑦 = π‘šπ‘₯ βˆ’ 7π‘š + 1
5√1 + π‘š2 = 7π‘š + 1
25(1 + π‘š2 ) = 49π‘š...
63 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
5.8 Hubungan Antar Lingkaran
a. Dua lingkaran yang saling berpotongan
B...
64 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
(b) 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan
Pada gambar b (i) lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersi...
65 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih a...
66 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
67 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Aldillah Fatmawati
Fatria Anggita
Freti Lesiana
Muthmainah
BAB 6
PYTHAG...
68 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
PETA KONSEP
TEOREMA
PYTHAGORAS
CARA MENEMUKAN TEOREMA
PYTHAGORAS
MATERI...
69 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
6.1 Materi Prasyarat Teorema Phytagoras
Pernahkah kalian memerhatikan k...
70 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
contoh :
c. Luas Daerah Persegi
D C
S
s
A s B
Pada gambar di atas tampa...
71 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
d. Luas Segitiga Siku-siku
D C
l
A p B
Pada gambar tersebut tampak sebu...
72 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Contoh :
Tentukan luas segitiga jika diketahui alasnya berukuran 12 cm ...
73 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Untuk menghitung berapa kali Rayhan harus menapakkan kakinya dari tempa...
74 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
serta hipotenusanya adalah AC.
Perhatikan panjang sisi-sisi Ξ” ABC pada ...
75 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
C
a
b
A c B
Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a panjang sisi mi...
76 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
𝐡𝐢2 = 𝐴𝐡2 + 𝐴𝐢2
𝐴𝐢2 = 𝐡𝐢2 – 𝐴𝐡2
= 52 – 92
= 225 – 81
= 144
AC =√144 = 1...
77 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
3. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan s...
78 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Alma Alpiana
Destia Eka Putri
Rizky Diah Peratiwi
Upika Rizkie
79 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
BAB 7
ARITMATIKA SOSIAL
PETA KONSEP
ARITMATIKA SOSIAL
KONSEP ARITMATIKA...
80 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Kegiatan perdagangan yang biasa dilakukan oleh masyarakat meliputi kegi...
81 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian mempunyai suatu h...
82 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Dalam suatu kegiatan jual beli atau perdagangan ada dua pihak yang sali...
83 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Seorang pedagang membeli sebuah laptop bekas dengan harga Rp 2.500.000....
84 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Untuk membiayai sekolahnya, Wawan berjualan koran. Pada suatu hari ia m...
85 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
seperti besarnya harga jual, kondisi barang yang dijual (mengalami keru...
86 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
harga pembelian. Besar selisih antar harga pembelian dan harga penjuala...
87 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Menyatakan keuntungan dengan persentase dari harga pembelian dirumuskan...
88 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
Besarnya kerugian yang diderita seorang pedagang juga dapat dinyatakan ...
89 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
3. Menghitung Harga Pembelian Atau Penjualan Berdasarkan Persentase Unt...
90 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
= Rp 375. 000,00
Jadi Budi harus membayar Rp 375.000,00
Bruto, Neto, da...
91 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
tetapi tanpa mendapat jasa balik dari negara secara langsung. Hasil dar...
92 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
1. Pak Soni memiliki tabungan di Bank B sebesar Rp. 750.000 dengan bung...
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

of

Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 1 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 2 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 3 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 4 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 5 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 6 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 7 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 8 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 9 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 10 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 11 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 12 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 13 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 14 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 15 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 16 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 17 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 18 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 19 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 20 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 21 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 22 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 23 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 24 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 25 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 26 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 27 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 28 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 29 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 30 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 31 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 32 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 33 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 34 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 35 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 36 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 37 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 38 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 39 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 40 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 41 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 42 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 43 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 44 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 45 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 46 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 47 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 48 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 49 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 50 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 51 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 52 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 53 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 54 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 55 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 56 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 57 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 58 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 59 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 60 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 61 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 62 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 63 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 64 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 65 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 66 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 67 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 68 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 69 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 70 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 71 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 72 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 73 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 74 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 75 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 76 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 77 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 78 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 79 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 80 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 81 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 82 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 83 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 84 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 85 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 86 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 87 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 88 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 89 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 90 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 91 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 92 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 93 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 94 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 95 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 96 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 97 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 98 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 99 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 100 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 101 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 102 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 103 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 104 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 105 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 106 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 107 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 108 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 109 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 110 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 111 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 112 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 113 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 114 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 115 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 116 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 117 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 118 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 119 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 120 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 121 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 122 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 123 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 124 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 125 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 126 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 127 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 128 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 129 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 130 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 131 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 132 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 133 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 134 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 135 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 136 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 137 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 138 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 139 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 140 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 141 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 142 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 143 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 144 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 145 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 146 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 147 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 148 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 149 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 150 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 151 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 152 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 153 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 154 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 155 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 156 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 157 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 158 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 159 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 160 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 161 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 162 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 163 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 164 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 165 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 166 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 167 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 168 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 169 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 170 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 171 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 172 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 173 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 174 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 175 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 176 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 177 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 178 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 179 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 180 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 181 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 182 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 183 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 184 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 185 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 186 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 187 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 188 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 189 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 190 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 191 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 192 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 193 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 194 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 195 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 196 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 197 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 198 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 199 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 200 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 201 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 202 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 203 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 204 Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika Slide 205
Upcoming SlideShare
Soal dan pembahasan osn matematika smp tingkat kota 2015 [bagian a] (m2suidhat.blogspot.com)
Next
Download to read offline and view in fullscreen.

39 Likes

Share

Download to read offline

Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika

Download to read offline

Kapita Selekta Matematika merupakan salah satu mata kuliah saya di semester 2 , nah di mata kuliah ini kami mempelajari materi yang tidak kami pelajari di mata kuliah mata kuliah yang kami ambil lainnya . Jadi, ibaratkan kami memilih sendiri materi apa yang ingin kami pelajari di mata kuliah tersebut atau bisa dibilang mata kuliah tersebut ialah pelengkap dari mata kuliah lainnya , eakkk :D

Related Books

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Related Audiobooks

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Modul Pembelajaran Kapita Selekta Matematika

  1. 1. i KAPITA SELEKTA MATEMATIKA MODUL PEMBELAJARAN EDITOR Drs. Budi Santoso M.Si Elika Kurniadi, S.Pd., M.Sc PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2017
  2. 2. ii
  3. 3. iii
  4. 4. iv KATA PENGANTAR Puji dan syukur tim editor panjatkan kehadirat Allah SWT , yang telah melimpahkan berbagai nikmat-Nya sehingga tim editor dapat menyelesaikan modul ini. Shalawat serta salam juga tak lupa tim editor haturkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW , yang telah membawa umat manusia keluar dari zaman jahiliyah menuju zaman yang penuh dengan IPTEK. Modul ini merupakan hasil dari pembelajaran mata kuliah Kapita Selekta Matematika yang disusun menjadi sebuah buku. Jadi tujuan utama penyusunan modul ini adalah sebagai salah satu media pembelajaran matematika. Tim editor juga berharap , modul ini dapat bermanfaat bagi siapa saja yang membacanya . Ucapan terima kasih tidak lupa penulis sampaikan kepada orang tua tim, dosen mata kuliah Kapita Selekta Matematika , teman-teman , seluruh civitas akademika Unsri , dan juga semua pihak yang telah membantu tim menyelesaikan modul ini. Seperti kata pepatah , β€œAdat Periuk Berkerat, Adat Lesung Berdedak”, modul ini juga masih sangat jauh dari sempurna . Oleh karena itu , kritik dan saran sangat tim editor harapkan agar dapat memacu tim editor untuk menyusun buku yang jauh lebih baik pada buku-buku yang akan datang . Semoga pembaca dapat menikmati dan mengambil manfaat dari modul ini . Selamat membaca . Indralaya , Maret 2016 Tim Editor
  5. 5. v DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ........................................................................................................... iv DAFTAR ISI ...........................................................................................................................v PENDAHULUAN .................................................................................................................. ix BAB 1.......................................................................................................................................1 LOGIKA MATEMATIKA....................................................................................................1 1.1. Pernyataan......................................................................................................................2 1.2. Negasi / Pernyataan Ingkaran ........................................................................................2 1.3. Pernyataan Majemuk .....................................................................................................3 1.4. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk .................................................................................5 1.5. Konvers, Invers dan Kontraposisi..................................................................................6 1.6. Kuantor Pernyataan .......................................................................................................6 1.7. Ingkaran Dari Pernyataan Berkuantor ...........................................................................6 LATIHAN SOAL .................................................................................................................8 BAB 2.....................................................................................................................................11 HIMPUNAN..........................................................................................................................11 2.1. Pengertian Himpunan ..................................................................................................13 2.2. Anggota Himpunan......................................................................................................13 2.3. Menyatakan Suatu Himpunan......................................................................................14 2.4. Macam-macam Himpunan...........................................................................................14 2.5. Diagram Venn..............................................................................................................15 2.7. Operasi pada Himpunan ..............................................................................................16 2.8. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan..............................................................................20 LATIHAN SOAL ...............................................................................................................22 BAB 3.....................................................................................................................................25 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS ...............................................................25 3.1 Fungsi Dan Jenis-Jenisnya...........................................................................................27 3.1.1. Pengertian Fungsi..................................................................................................27 3.1.2. Sifat-Sifat Fungsi...................................................................................................27 3.1.3. Jenis-Jenis Fungsi..................................................................................................28 3.1.4. Fungsi Komposisi..................................................................................................32
  6. 6. vi 3.1.5. Fungsi Invers.........................................................................................................33 3.1.6. Fungsi Invers Dari Fungsi Komposisi...................................................................34 LATIHAN SOAL ...............................................................................................................34 BAB 4.....................................................................................................................................37 FUNGSI KUADRAT............................................................................................................37 4.1 Pengertian fungsi kuadrat .............................................................................................38 4.2 Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat ................................................................38 4.3 Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat terhadap Sumbu X................................................39 4.4 Menentukan Fungsi Kuadrat.........................................................................................41 4.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat ...............................................................................................41 LATIHAN SOAL...................................................................................................................42 BAB 5.....................................................................................................................................45 PERSAMAAN LINGKARAN.............................................................................................45 5.1 Definisi Lingkaran........................................................................................................47 5.2 Jarak Dua Titik .............................................................................................................47 5.3 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari..............................................48 5.4 Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r...........................................49 5.5 Hubungan Lingkaran Dengan Titik ..............................................................................51 5.6 Hubungan Antara Garis Dan Lingkaran ......................................................................52 5.7 Persamaan Garis Singgung......................................................................................55 5.8 Hubungan Antar Lingkaran ..........................................................................................63 LATIHAN SOAL ...............................................................................................................65 BAB 6.....................................................................................................................................67 PYTHAGORAS....................................................................................................................67 6.1 Materi Prasyarat Teorema Phytagoras.....................................................................69 6.2 Menemukan Teorema Phytagoras ................................................................................72 LATIHAN SOAL ...............................................................................................................76 BAB 7.....................................................................................................................................79 ARITMATIKA SOSIAL......................................................................................................79 7.1 Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, Dan Nilai Sebagian ..........................................80 7.2 Harga Pembelian Dan Harga Penjualan ..................................................................81 7.3 Untung Dan Rugi.....................................................................................................84 7.4 Diskon (Rabat), Bruto, Neto, Dan Tara...................................................................89
  7. 7. vii 7.5 Pajak Dan Bunga Tabungan .........................................................................................90 LATIHAN SOAL ...............................................................................................................92 BAB 8.....................................................................................................................................97 PERBANDINGAN ...............................................................................................................97 8.1 Pengertian Perbandingan .............................................................................................98 8.2 Pengertian Skala ..........................................................................................................99 8.3 Terapan Perbandingan ...............................................................................................100 8.4 Jenis-Jenis Perbandingan...........................................................................................103 LATIHAN SOAL .............................................................................................................107 BAB 9...................................................................................................................................109 GENERALISASI DN POLA BILANGAN ......................................................................109 9.1 Generalisasi.................................................................................................................110 9.1.1 Pengertian.............................................................................................................110 9.1.2 Indikator ...............................................................................................................110 9.2 Pola Bilangan..............................................................................................................111 9.2.1 Pengertian.............................................................................................................111 9.3 Barisan Dan Deret Bilangan .......................................................................................113 9.3.1 Pengertian.............................................................................................................113 9.3.2 Jenis – Jenis.........................................................................................................114 LATIHAN SOAL .............................................................................................................119 BAB 10.................................................................................................................................123 KAIDAH PENCACAHAN ................................................................................................123 10.1 Pengertian Kaidah Pencacahan..............................................................................124 LATIHAN SOAL .............................................................................................................128 BAB 11.................................................................................................................................131 PELUANG...........................................................................................................................131 11.1 Peluang Suatu Kejadian.........................................................................................132 11.2 Peluang Kejadian Majemuk...................................................................................136 LATIHAN SOAL .............................................................................................................139 BAB 12.................................................................................................................................143 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS.............................................................................143 12.1 Menentukan Posisi Titik ........................................................................................145 12.1.1 Posisi Titik terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y...................................................145
  8. 8. viii 12.1.2 Posisi Titik terhadap Titik Asal (0,0) dan Titik Tertentu (a,b) ..........................147 12.2 Menentukan Posisi Garis .......................................................................................150 12.2.1 Posisi Garis terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y..................................................150 LATIHAN SOAL .............................................................................................................152 PEMBAHASAN..................................................................................................................156 PENUTUP...........................................................................................................................191 PROFIL TIM EDITOR .....................................................................................................193 PROFIL HIMMALAYA 2015...........................................................................................194 DAFTAR PUSTAKA ........................................................... Error! Bookmark not defined.
  9. 9. ix PENDAHULUAN οƒ˜ LATAR BELAKANG Kebanyakan siswa menganggap Matematika adalah pelajaran yang sulit. Pada dasarnya Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang logika berpikir. Soal sesulit apapun akan menjadi mudah jika mahasiswa memiliki logika berpikir yang baik. Sama halnya dengan buku yang kami buat berjudul β€œKAPITA SELEKTA MATEMATIKA”. Untuk menjawab soal-soal yang ada di dalam buku ini sendiri tentu setiap siswa harus memiliki kecakapan dalam menganalisi semua data yang di peroleh dengan system logika berpikir yang baik. οƒ˜ TUJUAN Untuk memudahkan siswa untuk belajar dan memahami konsep dari pelajaran Matematika itu sendiri.
  10. 10. x
  11. 11. 1 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A BAB 1 LOGIKA MATEMATIKA PETA KONSEP
  12. 12. 2 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah. 1.1. Pernyataan Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertutup dan terbuka. A. Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya. B. Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya. Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini: ο‚· 30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup) ο‚· 30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup) ο‚· Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka) 1.2. Negasi / Pernyataan Ingkaran Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini: Pernyataan Negasi
  13. 13. 3 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Becak memiliki tiga buah roda Tidak benar bahwa becak memiliki tiga buah roda 1.3. Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya: a. Konjungsi Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai β€˜dan’ . Tabel berikut ini menunjukkan logika yang berlaku dalam sistem konjungsi: P Q p^ q Logika matematika B B B Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar B S S Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah S B S Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah S S S Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungsi, kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap salah. b. Disjungsi Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini: P Q p v q Logika matematika
  14. 14. 4 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A B B B Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar B S B Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar S B B Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar S S S Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep β€˜atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah. c. Implikasi Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut: P Q p => q Logika matematika B B B Jika p BENAR lalu q BENAR maka dianggap BENAR B S S Jika p BENAR lalu q SALAH maka dianggap SALAH S B B Jika p SALAH lalu q BENAR maka dianggap BENAR S S B Jika p SALAH lalu q SALAH maka dianggap BENAR d. Biimplikasi Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol dengan makna β€˜ p ….. Jika dan hanya jika q …..' P Q p q Logika matematika
  15. 15. 5 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A B B B p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar) B S S p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah) S B B p adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah) S S B p adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar) 1.4. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar di bawah ini: Pada ekuivalensi pernyataan majemuk, jika semua hasil pernyataan menyatakan benar, maka hasilnya disebut dengan Tautology. Sedangkan jika semua hasil pernyataan menyatakan salah, maka disebut Kontradiksi.
  16. 16. 6 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 1.5. Konvers, Invers dan Kontraposisi Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar bawah ini: 1.6. Kuantor Pernyataan Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial. a. Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua. b. Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat. 1.7. Ingkaran Dari Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah ini: 1.8. PenarikanKesimpulan
  17. 17. 7 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini: a. Modus Ponens b. Modus Tollens c. Silogisme
  18. 18. 8 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A LATIHAN SOAL 1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di bawah ini: "Jika hari ini hujan maka Wayan mengendarai mobil" 2. Tentukanlah kesimpulan dari dua buah premis berikut: premis 1 : Jika harga BBM turun maka harga cabai turun premis 2 : Harga cabai tidak turun Maka kesimpulan dari premis di atas adalah "Harga BBM tidak turun" 3. Negasi dari pernyataan β€œJika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin.” adalah ? 4. Suatu pernyataan "Jika ABCD layang-layang maka AC tegak lurus BD". Pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah ... 5. Perhatikan premis berikut : (1) Jika Taylor Swift konser di Jakarta, maka Reza akan menonton (2) Jika Reza menonton, maka ia akan senang Invers dari kesimpulan di atas adalah ... 6. Diketahui premis-premis : (1) Jika Rani menjadi juara kelas dan menjuarai olimpiade nasional, Ibu akan menyekolahkan Rani ke luar Negeri. (2) Ibu tidak menyekelohkan Rani ke luar Negeri. Kesimpulan yang sah adalah .... 7. Diketahui pernyataan : (1) Jika hari panas, maka Dian memakai topi (2) Dian tidak memakai topi atau ia memakai payung (3) Dian tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah ... 8. Suatu pernyataan "Jika ABCD layang-layang maka AC tegak lurus BD". Pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah ...
  19. 19. 9 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 9. Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah ... 10. Perhatikan premis berikut : (1) Jika Aldi giat belajar, maka ia bisa menjadi juara (2) Jika bisa menjadi juara, maka ia boleh ikut liburan. Kesimpulan yang sah adalah ...
  20. 20. 10 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Andy Maulana Sondang Meriapul Kristiani Sitohang Iga Octriana Rati Septyani
  21. 21. 11 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A BAB 2 George Cantor (1845-1918) dianggap sebagai Bapak teori himpunan, karena beliaulah yang pertama kali mengembangkan cabang matematika ini. Ide-idenya tentang teori himpunan dapat memuaskan keinginan publik terutama idenya tentang himpunan tak berhingga (infinit) (himpunan yang banyak anggotanya tak berhingga). Sekitar tahun 1867 dan 1871, Cantor menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang sangat penting terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss. Cantor bertemu Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan di antara mereka. Sekitar tahun 1873- 1879, banyak huruf yang diawetkan meskipun hanya sedikit membahas tentang matematika yang dijelaskan Dedekind secara abstrak yang mana mengembangkan ide-ide dari Cantor. Cantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. karya ini berisi ide-ide Cantor tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional. Sekitar tahun 1874, Cantor menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai kelahiran teori himpunan. PETA KONSEP TOKOH INSPIRASI
  22. 22. 12 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
  23. 23. 13 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 2.1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Contoh: 1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11. Anggota himpunannya adalah 2,4,6,8,10. Jadi A = {2,4,6,8,10} 2. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 Anggota himpunannya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Jadi B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3. C adalah himpunan nama bulan yang huruf depannya J Anggota himpunannya adalah Januari, Juni, Juli Jadi C = {Januari, Juni, Juli} 2.2. Anggota Himpunan Anggota himpunan adalah semua benda atau obyek yang terdapat di dalam himpunan. Anggota himpunan dinyatakan dengan notasi ∈ dan jika bukan anggota himpunan dinyatakan dengan notasi βˆ‰. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A). Contoh: A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10 ditulis: A={bilangan prima kurang dari 10} atau A = {2,3,5,7} maka 2 ∈ A, 3 ∈ A, 5 ∈ A, 7 ∈ A sedangkan 1 βˆ‰ A, 4 βˆ‰ A, 6 βˆ‰ A, 8 βˆ‰ A, 9 βˆ‰ A Banyak anggota himpunan A adalah n(A) = 4
  24. 24. 14 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 2.3. Menyatakan Suatu Himpunan Untuk menyatakan himpunan dapat digunakan 3 cara : 1. Menuliskan dengan kata-kata atau syarat keanggotaannya 2. Memberikan notasi pembentuk himpunan 3. Mendaftarkan anggota-anggotanya No Dengan kata-kata Notasi pembentuk himpunan Mendaftarkan anggotanya 1 A adalah himpunan bilangan genap dibawah 10 𝐴 = {π‘₯|π‘₯ < 10 ∈ π‘π‘–π‘™π‘Žπ‘›π‘”π‘Žπ‘› π‘”π‘’π‘›π‘Žπ‘} A= {2,4,6,8} 2 B adalah himpunan keliapatan 5 dibawah 10 𝐡 = {π‘₯|π‘₯ < 10 ∈ π‘˜π‘’π‘™π‘–π‘π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘› 5} B={5,10,15} 2.4. Macam-macam Himpunan 1. Himpunan kosong Himpunan yang tidak mempunyai anggota, dilambangkan dengan { } atau βˆ… contoh: P adalah himpunan nama bulan yang diawali huruf K. Tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf K, maka P={ } 2. Himpunan terhingga Himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas contoh: P adalah himpunan bilangan genap di bawah 5, ditulis P ={2,4} 3. Himpunan tak terhingga Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas. contoh: Q adalah himpunan bilangan cacah, ditulis Q={0,1,2,3,...} 4. Himpunan semesta Himpunan yang memuat semua objek (anggota himpunan) yang dibicarakan. Himpunan semesta dilambangkan dengan β€œS”.
  25. 25. 15 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A contoh: R={1,2,3,4,5} Himpunan semesta yang mungkin adalah: S={bilangan asli di bawah 10}, S={Bilangan cacah} dsb. 5. Himpunan Bagian Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A βŠ‚ B. contoh: A={2,4} B={1,2,3,4,5} maka A βŠ‚ B Himpunan A dengan banyak anggota n(A) mempunyai himpunan bagian yang mungkin dari himpunan itu sebanyak 2 𝑛(𝐴) contoh: Banyak himpunan yang mungkin dari himpunan A adalah : 2 𝑛(𝐴) = 23 = 8 Himpunan bagian dari A adalah: { }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5} Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. 6. Himpunan Ekuivalen Himpunan A dan B dikatakan Ekuivalen jika banyak anggota kedua himpunan contoh: n(A) = n(B), maka A ekuivalen dengan B 2.5. Diagram Venn Diagram Venn adalah suatu diagram yang digunakan untuk meyatakan sebuah himpunan atau beberapa himpunan yang saling berhubungan.
  26. 26. 16 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Aturan untuk membuat diagram Venn: 1. Himpunan semesta digambarkan dalam sebuah persegipanjang, simbol S ditulis pada pojok kiri atas. 2. Setiap himpunan yang dibicarakan ditunjukkan dengan gambar berupa kurva tertutup sederhana. 3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah atau titik Contoh: S= {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} A={2,4,6,8,10,12} B={10,12,14,16,18,20} Diagram Vennnya: S A B ·2 ·14 ·4 ·6 ·10 ·16 ·8 ·12 ·18 ·20 2.7. Operasi pada Himpunan 1. Irisan Himpunan Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan: A ∩ B = {x| x ∈ A dan x ∈ B}
  27. 27. 17 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Daerah yang diarsir merupakan daerah A ∩ B Contoh: Diketahui: A={bilangan ganjil kurang dari 10} B={bilangan prima kurang dari 10} carilah A ∩ B dan gambar diagram Vennnya! Jawab: A ={1,3,5,7,9} B ={2,3,5,7} A ∩ B = { 3,5,7 } Diagram Vennnya: S A B ·1 ·9 ·3 ·5 ·2 ·7
  28. 28. 18 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 2. Gabungan Himpunan Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan himpunan A saja atau himpunan B saja. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan: A βˆͺ B = {x| x ∈ A atau x ∈ B} Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan A βˆͺ B contoh: Diketahui: A={faktor prima dari 30} B={Nilai genap dibawah 10} Tentukan A βˆͺ B dan gambar diagram Vennnya! Jawab: A={2,3,5} B={2,4,6,8} A βˆͺ B ={2,3,4,5,6,8} Diagram Vennnya: S A B Β·3 Β·4 Β·5 Β·2 Β·6 Β·8
  29. 29. 19 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 3. Selisih Himpunan Selisih himpunan A dan B adalah himpunan anggota A yang tidak menjadi anggota B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan: A – B, dibaca A kurang B contoh: Diketahui: A={1,2,3,4,5} B={4,5,6,7,8} Tentukan A – B! Jawab: A-B = {1,2,3,4,5} - {4,5,6,7,8} = {1,2,3} 4. Jumlah Himpunan Jumlah himpunan A dan B adalah himpunan dimana anggotanya adalah gabungan A dan B tetapi bukan irisan A dan B. contoh: Diketahui: A={a,b,c,d,e,f} B={d,e,f,g,h,i}
  30. 30. 20 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Tentukan A + B! Jawab: A+B= {a,b,c,d,e,f} + {d,e,f,g,h,i} = {a,b,c,g,h,i} 5. Komplemen Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A. Komplemen A dinotasikan A’ dengan atau Ac contoh: S={1,2,3,4,5,6} A={4,5,6} tentukan Ac ! Jawab: Ac= {1,2,3} 2.8. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan 1. Komutatif. A ∩ B = B ∩ A A βˆͺ B = B βˆͺ A 2. Asosiatif (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A βˆͺ B) βˆͺ C = A βˆͺ (B βˆͺ C) 3. Distributif A ∩ (B βˆͺ C) = (A ∩ B) βˆͺ (A ∩ C) A βˆͺ (B ∩ C) = (A βˆͺ B) ∩ (A βˆͺ C)
  31. 31. 21 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 4. Dalil De Morgan Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan anggota A dan dilambangkan dengan Ac. (A ∩ B)c = Ac βˆͺ Bc (A βˆͺ B)c = Ac ∩ Contoh Soal : Dalam sebuah kelas terdapat 48 anak. 23 orang suka matematika, 35 orang suka fisika dan 14 orang suka kedua-duanya. Berapakah jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya? Jawaban : diagram ven Mari kita lihat gambar di atas. Soal diatas bisa dibuat menjadi diagram ven. M = anak yang suka matematika F = anak yang suka fisika X = anak yang tidak suka kedua-duanya. Kalau tidak suka harus ditempatkan diluar lingkaran. Dalam soal ada anak yang suka kedua-duanya, berarti kedua lingkaran M dan F saling berpotongan dan ditengahnya diisi dengan angka 14, yaitu jumlah anak yang suka kedua- duanya (angka berwarna biru). Kemudian dicari jumlah anak yang suka matematika saja, yaitu dengan mengurangkan jumlah anak yang suka matematika dengan jumlah anak yang suka kedua-duanya, yaitu 23- 14.
  32. 32. 22 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Sekarang dicari jumlah anak yang suka fisika saja, yaitu anak yang suka fisika dikurangi dengan anak yang suka kedua-duanya, yaitu 35-14. Langkah terakhir adalah menjumlakan semuanya 48 = (23-14) + (35-14) + 14 + x 48 = 9 + 21 + 14 + x 48 = 44 + x 48 - 44 = x 4 = x Jadi jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya adalah 4 orang. LATIHAN SOAL 1. A = {Nama-nama bulan pada kalender} Berapa elemen dari A? 2. Tentukan himpunan semesta dari M = {Mawar, Melati, Anggrek, Tulip} 3. Subset dari a. X = {m,n} b. Y = {2,4,6,8} 4. Gambarkan diagram venn untuk P = {bilangan genap} Q = {bilangan riil} 5. Diberikan Semesta = {bilangan antara 21 dan 37} A = {kelipatan 5} B = {bilangan ganjil} Tentukan 𝐴 ∩ 𝐡 Jumlah anak = jumlah anak yang hanya suka matematika + jumlah anak yang suka fisika + jumlah anak yang suka kedua-duanya + jumlah anak yang tidak suka kedua- duanya
  33. 33. 23 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 6. A = {1,3,5,7,9} B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} C = {2,4,6,8} Tentukan 𝐴 ∩ 𝐡 ∩ 𝐢 7. Diketahui K={bilangan prima antara 2 dan 12} L={4 bilangan kelipatan 3 yang pertama} Dit: K∩ 𝐿? 8. Dalam sebuah kelas terdapat 17 orang gemar matematika,15 gemar fisika,8 siswa gemar keduanya.Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah… 9. Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka gemari. Ternyata 29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua olahraga tersebut. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut. Tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli. Banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli ada 14 orang 10. Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan ekstrakurikuler. Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih PMR, dan 16 siswa belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja dan KIR saja.
  34. 34. 24 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Dea Maria Neli Saragih Dita Larissa Melia Kartika Qonita Amyra Nisrina
  35. 35. 25 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A BAB 3 Mengenai sejarah fungsi ini memang sangat tua sekali, hampir setua ilmu matematika itu sendiri, hal itu dikenal sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang, adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua jenis binatang (sebagai contoh : kambing & unta) memiliki jumlah yang sama, kemudian dari segi administrasi, pada jaman nabi sulaeman dulu jelas melakukan perhitungan matematika yang didalamnya termasuk fungsi misalnya begini f(kunci) = 500 gudang karena didalam gudang terdapat kunci -kunci penyimpanan beras dsb, jelas ini memakai fungsi sebagai perhitungannya, hanya tidak dibukukan atau tidak tercatat dalam sejarah.
  36. 36. 26 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A PETA KONSEP FUNGSI A. FUNGSI DAN JENIS-JENISNYA B. OPERASI ALJABAR PADA FUNGSI C. FUNGSI KOMPOSISI D. FUNGSI INVERS E. FUNGSI INVERS DARI FUNGSI SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI TEOREMA FUNGSI INVERS PENGERTIAN FUNGSI SIFAT-SIFAT FUNGSI FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
  37. 37. 27 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 3.1 Fungsi Dan Jenis-Jenisnya 3.1.1. PengertianFungsi Fungsi atau pemetaan f dari A ke B adalah pemasangan setiap unsur di A ke tepat satu unsur di B, dengan A, B himpunan tak kosong. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dilambangkan dengan D dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dilambangkan dengan K. Sementara itu, himpunan semua peta dari himpunan A di B disebut daerah hasil (range) dan dilambangkan dengan R. Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h. Misalnya f adalah fungsi yang memetakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis f : A β†’ B Contoh: Diagaram disamping adalah pemetaan f: A β†’ B dengan daerah asal A = {a,b,c} daerah kawan B = {x,y,z} f(a) = x; f(b) = y; f(c) = z, sehingga didapat range (daerah hasil) H = {x,y,z} 3.1.2. Sifat-SifatFungsi a. Fu ngsi Satu-Satu f : A β†’ B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsure yang berbeda di A memiliki peta yang saling beda. Fungsi satu-satu digambarkan sebagai berikut. b. Fungsi Pada f : A β†’ B merupakan fungsi pada (surjektif) jika setiap unsur di B memiliki prapeta di A. Gambar berikut merupakan contoh fungsi pada.
  38. 38. 28 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A c. Fungsi Satu-Satu dan Pada f : A β†’ B merupakan fungsi satu-satu dan pada (bijektif) hanya jika f satu-satu dan pada. 3.1.3. Jenis-Jenis Fungsi a. Fungsi konstan (fungsi tetap) Suatu fungsi f : A β†’ B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini. Diketahui f : R β†’ R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≀ x < 2}. Sehingga, gambar grafiknya. b. Fungsi linear Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a β‰  0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan contoh berikut. Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya
  39. 39. 29 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A c. Fungsi kuadrat Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a β‰  0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Perhatikan contoh fungsi kuadrat berikut. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya. d. Fungsi identitas Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini. Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x. a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).
  40. 40. 30 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A b. Gambarlah grafiknya. Penyelesaian: a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3). f(x) = x f(–2) = –2 f(0) = 0 f(1) = – 1 f(3) = 3 b. Gambar grafik. e. Fungsi tangga (bertingkat) Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval- interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Diketahui fungsi: Tentukan interval dari: a. f(–2) b. f(0) e. gambar grafiknya. c. f(3) d. f(5) e. gambar grafiknya.
  41. 41. 31 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Penyelesaian: a. f(–2) = –1 b. f(0) = 0 c. f(3) = 2 d. f(5) = 3 e. Gambar grafik f. Fungsi modulus Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Untuk lebih memahaminya, pelajarilah fungsi berikut berikut. f : x β†’ | x | atau f : x β†’ | ax + b | f(x) = | x | artinya: Gambar grafiknya
  42. 42. 32 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 3.1.4. FungsiKomposisi Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). Fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah: (g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g (f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f Sifat-sifat Fungsi Komposisi: - Tidak Komutatif: (g o f)(x) = (f o g)(x) - Asosiatif: (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x) - Fungsi Identitas I(x) = x : (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x) Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui : Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. Demikian juga sebaliknya. Contoh: Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi g (x). Jawab : (f o g) (x) = -4x + 4 f (g (x)) = -4x + 4 2 (g (x)) + 2 = -4x + 4 2 g (x) = -4x + 2 g (x) = βˆ’4x + 2 2 g (x) = -2x + 1 Jadi fungsi g (x) = -2x + 1
  43. 43. 33 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 3.1.5. FungsiInvers Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : Aβ†’ B adalah f-1: A β†’ B. Dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya. Teorema fungsi invers Misalkan f : A β†’ B adalah fungsi bijektif f-1: B β†’ A menyatakan fungsi invers dari f yang juga bijektif. Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui: 1. Ubah persamaan y = f (x) kemudian diubah menjadi bentuk x = g(y) 2. Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y)= g(y) 3. Ubah huruf y menjadi x sehingga [f-1(y) menjadi f-1(x)] Grafik fungsi f-1 (x) adalah pencerminan dari grafik fungsi f(x) terhadap garis y = x Rumus Fungsi Invers f(x) f-1(x) π‘Žπ‘₯ + b π‘₯βˆ’π‘ π‘Ž ax2 + bx + c βˆ’π‘Β±βˆšπ‘2 βˆ’4π‘Žπ‘ 2π‘Ž π‘Žπ‘₯+𝑏 𝑐π‘₯+𝑑 βˆ’π‘‘π‘₯+𝑏 𝑐π‘₯βˆ’π‘Ž π‘Žπ‘₯ 𝑛 + 𝑏 π‘₯βˆ’π‘ π‘Ž 1 𝑛 √ π‘Žπ‘₯ + 𝑏 𝑛 π‘₯ 𝑛 βˆ’π‘ π‘Ž π‘Ž 𝑏π‘₯+𝑐 βˆ’π‘+π‘Žπ‘™π‘œπ‘” π‘₯ 𝑏 alog (𝑏π‘₯ + 𝑐) π‘Ž π‘₯ βˆ’π‘ 𝑏 f(x) = y f-1(y) = x
  44. 44. 34 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 3.1.6. FungsiInvers Dari FungsiKomposisi ο‚· Teorema 1: Jika f : A β†’ B bijektif dan f-1 adalah fungsi invers dari f, maka f-1 o f= f o f-1= I, dengan I fungsi identitas. ο‚· Teorema 2: Jika f : A β†’ B bijektif dan g : B β†’ A bijektif sehingga g o f = f o g = I, maka g = f-1. ο‚· Teorema 3: Misalkan f : A β†’ B bijektif dan g : B β†’ C bijektif, maka g o f = A β†’ C bijektif dan fungsi inversnya (g o f)-1 = f-1 o g-1. Sehingga, (f o g o h)-1= h-1 o g-1 o f-1, jika f, g, dan h bijektif. LATIHAN SOAL 1. Diketahui f(x) = x2 + 4x dan g(x) = -2 + √(x + 4) dengan x β‰₯ -4 dan x bilangan real. Fungsi komposisi (g o f)(x) adalah ... A. 2x - 4 B. x - 2 C. x + 2 D. x E. 2x 2. Jika g(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = x2 + 3x + 1 maka f(x) sama dengan ... A. x2 + 5x + 5 B. x2 + x - 1 C. x2 + 4x + 3 D. x2 + 6x + 1 E. x2 + 3x - 1 3. Diketahui f(x) = -(2 - 3x)/ 2, maka f-1(x) sama dengan ... A. 2/3 (1 + x) B. 2/3 (1 - x) C. 3/2 (1 + x) D. -2/3 (1 + x) E. -3/2 (x - 1)
  45. 45. 35 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 4 .Invers dari fungsi f(x) = (7x + 5)/(3x - 4), x β‰  4/3 adalah ... A. (4x + 5)/ (3x - 7), x β‰  7/3 B. (7x + 5)/ (3x + 4), x β‰  -4/3 C. (5x + 7)/ (4x - 3), x β‰  3/4 D. (7x + 4)/ (3x - 5), x β‰  5/3 E. (7x + 4)/ (3x + 5), x β‰  -5/3 5. Jika g(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = x2 + 3x + 1 maka f(x) sama dengan ... A. X2 + 5x + 5 B. X2 + X - 1 C. X2 + 4X + 3 D. X2 + 6X + 1 E. X2 + 3X – 1 6.jika g(x + 1) = 2x - 1 dan f(g(x + 1)) = 2x + 4, maka f(0) sama dengan ... A. 6 B. 5 C. 3 D. -4 E. -6 7. Diketahui f(x) = - 2x + 3 dan g(x) = x2 - 4x + 5. Komposisi fungsi g o f(x) =... A. 4x2 - 4x + 2. B. 4x2 - 4x + 7. C. 4x2 - 6x + 7. D. 4x2 + 2x + 2.
  46. 46. 36 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A E. 4x2 + 8x + 2. 8. Diketahui fungsi f : R β†’ R, g : R β†’ R dirumuskan dengan f(x) = 2x - 1 dan g(x) = (x + 3) / (2 - x), x β‰  2. Fungsi Invers dari f o g(x) = .... A. (2x + 4) / (x + 3) B. (2x - 4) / (x + 3) C. (2x + 4) / (x - 3) D. (3x - 2) / (2x + 2) E. (3x - 3) / (-2x + 2) 9.Diketahui f(x) = 4x + 2 dan g(x) = (x - 3) / (x + 1), x β‰  - 1. Invers dari g o f(x) adalah... A. (4x + 1) / (3x + 4) B. (4x - 1) / (-3x + 4) C. (3x - 1) / (4x + 4) D. (3x + 1) / (4 - 4x) E. (3x + 1) / (4x + 4) 10.Diketahui f : R β†’ R, g : R β†’ R, f(x) = x2 + x - 1 dan g(x) = 2x + 1. Hasil dari f o g(x) adalah... A. 2x2 + 2x - 1 B. 2x2 - 2x - 1 C. 4x2 + 6x + 1 D. 4x2 + 2x + 1 E. 4x2 + 6x - 1
  47. 47. 37 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A BAB 4 FUNGSI KUADRAT PETA KONSEP Pengertian FungsiKuadrat FUNGSI KUADRAT Menentukan Fungsi Kuadrat Kedudukan Fungsi Kuadrat Meggambar Grafik Fungsi Kuadrat Aplikasi Fungsi Kuadrat Menentu- kan Titik Potong Menentu- kan Titik Puncak Berdasar- kan Tanda a Berdasar- kan Tanda D = b2- 4ac
  48. 48. 38 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 4.1 Pengertian fungsi kuadrat Suatu fungsi dalam himpunan bilangan rill yang dinyatakan dengan rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a β‰  0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris. 4.2 Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Berikut ini adalah langkah-langkah untuk melukis grafik fungsi kuadrat. 1. Menentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0. Bila D > 0, x1 β‰  x2. Grafik memotong sumbu X di dua titik yaitu (x1,0) dan (x2,0). Bila D = 0, x1 = x2. Grafik memotong sumbu X di satu titik yaitu (x1,0). Grafik yang sedemikian menyinggung sumbu x. Bila D < 0, tidak ada nilai yang memenuhi. Ini berarti grafik tidak memotong sumbu x. b. Titik potong grafik dengan sumbu Y, jika x = 0. y = ax2 + bx + c = a(0)2 + b(0) + c = c Jadi,titik potong dengan sumbu Y adalah (0,c). 2. Menentukan Titik Puncak Untuk menentukan titik puncak kita dapat mengubah fungsi kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. y = ax2 + bx + c = a(x2 + b a x) + c = a(x2 + b a x + b2 4a2 - b2 4a2 ) + c = a(x2 + b a x + b2 4a2 )– b2 4a2 + c = a(x + b 2a )2 + βˆ’ ( b2 βˆ’ 4ac) 4a = a (x + b 2a )2 + βˆ’D 4a Dari bentuk kuadrat sempurna tersebut diperoleh bahwa nilai( x + b 2a )2 tidakakan pernah negative berapa pun nilai x. Sehingga nilai fungsi akan maksimum/minimum untuk x + b 2a = 0 atau x = βˆ’ b 2a dan nilai maksimum/minimum fungsi adalah y = βˆ’D 4a .
  49. 49. 39 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Jadi, titik puncak fungsi kuadrat adalah (βˆ’ b 2a βˆ’ D 4a ). 4.3 Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat terhadap Sumbu X Kedudukan grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c terhadap sumbu X ditentukan oleh tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari diskriminan D = b2 – 4ac. Secara umum tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari diskriminan D dapat ditetapkan sebagai berikut. 1. Berdasarkan tanda a Jika a > 0, maka grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum atau parabolanya terbuka keatas. Jika a < 0, maka grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum atau parabolanya terbuka ke bawah. Persamaan sumbu simetri parabola : x = βˆ’ b 2a . Nilai ekstrim (maksimum/minimum) parabola : y = βˆ’ D 4a . 2. Berdasarkan tanda D = b2- 4ac Dengan menggabungkan tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari diskriminan D, kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c terhadap sumbu X dapat diperhatikan padagambar berikut.
  50. 50. 40 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Berdasarkan gambar di atas, kedudukan fungsi kuadrat terhadap sumbu X dapat ditetapkan sebagai berikut. a. Jika a > 0 dan D > 0, maka parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. b. Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola terbuka ke atas dan menyinggung sumbu X. Dikatakan parabola di atas dan pada sumbu X untuk setiap x ∈ R. Secara aljabar dapat dikatakan: Bentuk aljabar ax2 + bx + c β‰₯ 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx + c tidak pernah negative untuk setiap x ∈ R. c. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola terbuka ke atas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. Dikatakan parabola selalu berada di atas sumbu X untuk setiap x ∈ R. Secara aljabar dapat dikatakan : Bentuk ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx + c disebut definit positif. d. Jika a <0 dan D > 0, maka parabola terbuka ke bawah dan memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. e. Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu X. Dikatakan parabola di bawah dan pad asumbu X untuk setiap x ∈ R. Secara aljabar dapat dikatakan: Bentuk aljabar ax2 + bx + c ≀ 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx + c tidak pernah positif untuk setiap x ∈ R.
  51. 51. 41 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A f. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. Dikatakan parabola selalu berada di bawah sumbu X untuk setiap x ∈ R. Secara aljabar dapat dikatakan : Bentuk ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx + c disebut definit negatif. 4.4 Menentukan Fungsi Kuadrat Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat sering kali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya adalah sebagai berikut. a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(x1, 0) dan B(x2, 0) serta melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : y = f(x) = a (x – x1) (x – x2) dengan nilai a ditentukan kemudian. b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A (x1, 0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: y = f(x) = a (x –x1)2dengan nilai a ditentukan kemudian. c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik pun cakatau titik balikP(xp, yp) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : y = f(x) = a (x –xp)2+ yp dengan nilai a ditentukan kemudian. d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3). Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : y = f(x) = ax2 + bx + c dengan nilai a, b dan c ditentukan kemudian. 4.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat Selain dalam matematika, fungsi kuadrat juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari.
  52. 52. 42 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A LATIHAN SOAL A. PILIHAN GANDA 1. Jika fungsi y = ax2 + 4x + 3a mempunyai nilai maksimum -11, maka a2 – a adalah: a. 1/6 b. 1/3 c. 3 d. 10 e. 20 2. Apabila grafik fungsi y = kx2 + (k – 3)x – 4 seluruhnya dibawah sumbu x, maka nilai k tidak mungkin sama dengan: a. -10 b. -8 c. -6 d. -4 e. -2 3. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik-titik A(-2, 17). B(1, 5) dan C(4, 11) mempunyai persamaan… a. y = x2 + 3x – 7 b. y = x2 +3x – 3 c. y = x2 + 3x – 3 d. y = x2 + 3x – 3 e. y = x2 – 3x + 7 f. jawab: e. y = x2 – 3x + 7 4. Grafik fungsi y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu y di titik: a. (-8, 0) b. (-4, 0) c. (0, 8) d. (0, -8) e. (-4, 8) 5. Pembuat nol dari fungsi kuadrat y = x2 – x – 12 adalah: a. x = -1 atau x = 2
  53. 53. 43 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A b. x = -3 atau x = -4 c. x = 1 atau x = -2 d. x = 1 atau x = 2 e. x = -3 atau x = 4 B. ESSAY 1. Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x2 - 20x + 1! 2. Tentukan titik balik fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)2 + 3! 3. Tentukan koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x - 6) (x + 2). 4. Jika grafik fungsi y = x2 + px + k mempunyai titik puncak (1,2), maka tentukan nilai p dan k. 5. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 - x - 2 dengan sumbu x dan sumbu y.
  54. 54. 44 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Bannati Khairani Indah Sari Raden Ayu Maudiana Sari Rani Sembiln Sembilan S
  55. 55. 45 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A BAB 5 Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan Ο€ = 256 / 81 atau sekitar 3,16. Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan masalah inscribing dan escribing poligon. Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi masalah ini. Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini Ο€^2 dan panjang kurva adalah suatu 2Ο€. Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan limacon jika titik pedal bukan pada keliling. Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.Sejarah aljabar dimulai di Mesir kuno dan Babilonia, di mana orang belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan quadratic (ax^2 + bx = c) persamaan, sertapersamaan tak tentu seperti x^2 + y^2 = z^2, dimana beberapa diketahui terlibat. Orang-orang Babilonia kuno dapat memecahkan persamaan kuadrat dengan prosedur yang sama. Mereka juga bisa memecahkan beberapa persamaan tak tentu.
  56. 56. 46 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A PETA KONSEP
  57. 57. 47 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 5.1 Definisi Lingkaran Perhatikan gambar lingkaran di samping! Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsur, diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran . O merupakan titik pusat. OA, OB , dan OC adalah jari – jari . Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang yang sama. Sehingga, OA = OB = OC Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik (himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu adalah sama ( konstan ) . Titik tertentu disebut pusat lingkaran, dan jarak konstan disebut jari – jari lingkaran. 5.2 Jarak Dua Titik Sebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik A (x1,y1) dan B (x2,y2,) . 0 y x A(x1,y1) C B(x2,y2) O A B C
  58. 58. 48 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Pada segitiga ABC di atas, berlaku : 𝐴𝐡² = 𝐴𝐢² + 𝐡𝐢² 𝐴𝐡² = (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1)2 + (𝑦2 βˆ’ 𝑦1)Β² 𝐴𝐡 = √(π‘₯2 βˆ’ π‘₯1)2 + (𝑦2 βˆ’ 𝑦1 )2 Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari – jarinya r. 5.3 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari Misalkan titik P(x0,y0) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran, maka: 𝑂𝑃 = π‘Ÿ √(π‘₯0 βˆ’ 0)2 + (𝑦0 βˆ’ 0)2 = π‘Ÿ (π‘₯0 βˆ’ 0)2 + ( 𝑦0 βˆ’ 0)2 = π‘Ÿ2 π‘₯0 2 + 𝑦0 2 = π‘Ÿ2 Y X P(x0, O
  59. 59. 49 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A (𝒙 βˆ’ 𝒂) 𝟐 + (π’š βˆ’ 𝒃) 𝟐 = 𝒓 𝟐 Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x0 dan y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi π‘₯2 + 𝑦2 = π‘Ÿ2 . Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah : π‘₯2 + 𝑦2 = π‘Ÿ2 5.4 Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x0,y0) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran didapat : 𝑀𝑃 = π‘Ÿ √(π‘₯0 βˆ’ π‘Ž)2 + (𝑦0 βˆ’ 𝑏)2 = π‘Ÿ (π‘₯0 βˆ’ π‘Ž)2 + ( 𝑦0 βˆ’ 𝑏)2 = π‘Ÿ2 Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (π‘₯ βˆ’ π‘Ž)2 + (𝑦 βˆ’ 𝑏)2 = π‘Ÿ2 Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah : O P ( x0,y0 ) M (a,b) Y X
  60. 60. 50 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 5.2 Bentuk Umum PersamaanLingkaran Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut : Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (x-a)2+ (y-b)2 = r2  x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2  x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 - r2 = 0 Bila -2a = A, -2b = B dan C = a2 + b2 – r2, maka persamaan x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 - r2 = 0 dapat ditulis sebagai : π‘₯2 + 𝑦2 + 𝐴π‘₯ + 𝐡𝑦 + 𝐢 = 0 Dengan demikian bila diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka : π‘₯2 + 𝐴π‘₯ + ( 1 2 𝐴) Β² + 𝑦2 + 𝐡𝑦 + ( 1 2 𝐡)Β² + 𝐢 βˆ’ ( 1 2 𝐴) Β² βˆ’ ( 1 2 𝐡) Β² = 0 (π‘₯ + 1 2 𝐴)2 + (𝑦 + 1 2 𝐡) 2 = 1 4 𝐴2 + 1 4 𝐡2 βˆ’ 𝐢 Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah 𝑃 (βˆ’ 1 2 𝐴, βˆ’ 1 2 𝐡) dan jari – jari lingkaran 𝑅 = √ 1 4 𝐴2 + 1 4 𝐡2 βˆ’ 𝐢, 𝑅 = βˆ’βˆš 1 4 𝐴2 + 1 4 𝐡2 βˆ’ 𝐢 tidak diambil, karena jari – jari lingkaran selalu positif.
  61. 61. 51 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 5.5 Hubungan Lingkaran Dengan Titik Ada 3 kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran : 1. Titik di luar lingkaran,jika kuasa titik (K) > 0 2. Titik pada lingkaran,jika kuasa titik (K) = 0 3. Titik di dalam lingkaran,jika kuasa titik (K) < 0 Kuasa titik (K) terhadap lingkaran : Definisi : 1. Kuasa titik terhadap lingkaran adalah bilangan yang di dapat dari pemetaan koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran umum. 2. Kuasa titik terhadap lingkaran adalah kuadrat jarak antara titik itu ke titik singgung dari garis pada lingkaran. Contoh : 1. Diketahui persamaan x2 + y2 = 9 dan titik P (5,1) Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 9 adalah : K = 25 + 1 – 9 = 17 K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran A. Menurut definisi (2) K = PQ2 Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17 Jika ada sebuah titik dengan nama O (0,0) maka kemungkinan posisinya terhadap lingkaran
  62. 62. 52 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A x2 + y2 = r2 maka Hub. titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran Berlaku Jika Di dalam lingkaran x1 2+y12 < r2 Terletak di Lingkaran x1 2+y12 < r2 Di Luar Lingkaran x1 2+y12 < r2 Kedudukan titik Q ( x,y ) terhadap lingkaran dengan pusat P ( a,b ) dan jari-jari r memenuhi : ( 1 ) Terletak di dalam Lingkaran β†’ ( x – a )2 + ( y – b )2 < r2 ( 2 ) Terletak pada Lingkaran β†’ ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 ( 3 ) Terletak di luar Lingkaran β†’ ( x – a )2 + ( y – b )2 > r2 5.6 Hubungan Antara Garis Dan Lingkaran P Y X A C B 0 𝒍 𝟏 𝒍 πŸ‘ 𝒍 𝟐
  63. 63. 53 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran, misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis 𝑙1 yang memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis 𝑙2 yang memotong lingkaran di satu titik saja, yaitu titik C dan garis 𝑙3 yang tidak memotong lingkaran. GARIS KUASA Garis kuasa adalah kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran. Cara mencari garis kuasa cukup dengan mengurangkan persamaan lingkaran yang satu dengan lingkaran kedua. Jika kedua lingkaran berpotongan maka garis kuasanya adalah garis potong kedua lingkaran. Jika kedua lingkaran sekonsentris (pusatnya sama) maka tidak mempunyai garis kuasa. Contoh gambar garis kuasa : Pada gambar di samping, garis yang berwarna merah adalah garis kuasa dari L1L1 dan L2L2. Semua titik yang berada pada garis kuasa misalnya titikAA dan BB, mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran. A. Posisi Garis Terhadap Lingkaran 1. Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda A B
  64. 64. 54 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A D>0 garis memotong pada 2 titik yang berbeda 2. Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut Garis Menyinggung Lingkaran D= 0 garis menyinggung pada satu titik 3. Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan: A
  65. 65. 55 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 𝐷 = 𝑏2 βˆ’ 4π‘Žπ‘ Jika D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda D= 0 garis menyinggung pada satu titik D>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran 5.7 Persamaan Garis Singgung 5.7.1 DefinisiGaris Singgung Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut! ο‚· g ≑ Garis singgung ο‚· A(x1,Y1) titik singgung ο‚· 𝐴𝑃 βŠ₯ 𝑔 Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini: P(a,b) r A(x1,y2) D=0 g≑Garis Singgung O(0,0)
  66. 66. 56 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran Garis singgung bergradien m Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran Y=mx+c T(x1,y1) Y=m+c2 Y=m+c1 Y=m2x+c2 R(x1,y1) Y=m1x+c1
  67. 67. 57 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 5.7.2 PersamaanGaris Singgung MelaluiSatu titik pada Lingkaran Persamaan garis singgung melalui A(x1,y1) pada Lingkaran x2 + y2 = r2 Perhatikan Gambar 6., garis k menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik A(x1,y1). Garis singgung lingkaran k itu memiliki sifat tegaklurus terhadap garis OA. Titik O(0,0) dan A(x1,y1) , maka gari s OA memiliki gradien π‘š1 = 𝑦1 π‘₯1 . Karena garis k tegak lurus garis OA maka gradien garis singgung k adalah π‘š2 = βˆ’π‘₯1 𝑦1 (kedua garis saling tegak lurus bila hasil kali gradiennya m1.m2 = -1) y A(x1,y1) x Titik A(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 ,maka x1 2 + y1 2 = r2 . Selanjutnya,persamaan garis k yang melalui A(x1,y1) dengan gradien m2 adalah y - y1 = m2 (x – x1 ) y - y1 = βˆ’π‘₯1 𝑦1 ( x-x1) 𝑦1 𝑦 βˆ’ 𝑦1 2 = -x1x + x2 x1x .y1y = x1 2 + y1 2 x1x .y1y = r2 Dengan demikian diperoleh kesimpulan:
  68. 68. 58 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Jika titik A(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 , maka garis singgung lingkaran yang melalui titik A adalah x1x+y1y = r2. Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut: Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung π‘₯2 + 𝑦2 = π‘Ÿ2 π‘₯π‘₯1 + 𝑦𝑦1 = π‘Ÿ2 (π‘₯ βˆ’ π‘Ž)2 + (𝑦 βˆ’ 𝑏)2 = π‘Ÿ2 ( π‘₯ βˆ’ π‘Ž)( π‘₯1 βˆ’ π‘Ž) + ( 𝑦 βˆ’ 𝑏)(𝑦1 βˆ’ 𝑏) = π‘Ÿ2 π‘₯2 + 𝑦2 + 𝐴π‘₯ + 𝐡𝑦 + 𝐢 = 0 π‘₯π‘₯1 + 𝑦𝑦1 + 1 2 𝐴( π‘₯ + π‘₯1) + 1 2 𝐡( 𝑦 + 𝑦1) + 𝐢 = 0 Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui satu titik pada lingkaran. 5.7.3 PersamaanGaris Singgung Bergradienm Gradien ( m) Ruas garis AB melalui titik- titik A(3, 1) dan B(6, 2). Untuk menentukan kemiringan ruas garis AB, kita tentukan terlebih dahulu lebar, Ξ”x, dan tingginya, Ξ”y. βˆ†π‘₯ = π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 = 6 βˆ’ 3 = 3
  69. 69. 59 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A βˆ†π‘¦ = 𝑦2 βˆ’ 𝑦2 = 4 βˆ’ 1 = 3 Kemiringan ruas garis AB dapat ditentukan dengan membagi Ξ”y dengan Ξ”x. Sehingga kemiringan ruas garis AB: Ξ”y/Ξ”x = 3/3 = 1. Kemiringan dari ruas garis ini selanjutnya disebut gradien. Gradien merupakan tingkat kemiringan ruas garis atapun garis. Gradien dapat ditentukan dengan membagi Ξ”y dengan Ξ”x. Dari kesimpulan tersebut, kita juga dapat menentukan gradien dari ruas garis KL dan PQ. Gradien dari ruas garis KL adalah Ξ”y/Ξ”x = (7 – 3)/(2 – 0) = 4/2 = 2. Sedangkan gradien dari ruas garis PQ adalah (5 – 6)/(3 – 1) = –1/2. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx Garis yang memiliki persamaan y = mx melalui titik asal, O(0, 0). Karena apabila kita substitusikan x = 0, maka kita dapatkan y = m(0) = 0. Untuk (x, y) titik selain (0, 0) yang dilewati oleh garis y = mx, kita dapat menentukan gradien garis tersebut sebagai berikut. Gradien = βˆ†π‘¦ βˆ†π‘₯ = 𝑦2βˆ’π‘¦1 π‘₯2βˆ’π‘₯1 = π‘¦βˆ’0 π‘₯βˆ’0 = 𝑦 π‘₯ = π‘šπ‘₯ π‘₯ = π‘š Perhitungan di atas dapat membawa kita untuk mengetahui gradien dari y = mx. Apa yang dapat kita peroleh dari perhitungan di atas? Gradien dari garis yang memiliki persamaan y = mx adalah m. Sebagai contoh kita dapat menentukan gradien dari garis yang memiliki persamaan y = 3xdan –2x = 5y. Dengan jelas kita dapat menentukan gradien dari y = 3x adalah 3. Bagaimana dengan gradien garis –2x = 5y? Untuk menentukan gradien garis tersebut, kita ubah dulu persamaan garis tersebut menjadi bentuk y = mx. -2x = 5y 5y = -2x
  70. 70. 60 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 5𝑦 5 = βˆ’2π‘₯ 5 Y = - 2 5 π‘₯ Dari perhitungan tersebut kita dapat memperoleh bahwa gradien dari garis –2x = 5y adalah –2/5. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c dan ax + by + c = 0 Misalkan dua titik K(x1, y1) dan L(x2, y2) dilalui oleh garis y = mx + c. Maka y1 = mx1 + cdan y2 = mx2 + c. Sehingga gradien dari garis y = mx dapat ditentukan sebagai berikut. πΊπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘–π‘’π‘› = βˆ†π‘¦ βˆ†π‘₯ = 𝑦2 βˆ’π‘¦1 π‘₯2βˆ’π‘₯1 = ( 𝑦2+𝑐)βˆ’( 𝑦1+𝑐) π‘₯2βˆ’π‘₯2 = π‘šπ‘₯2+π‘βˆ’π‘šπ‘₯1βˆ’π‘ π‘₯2βˆ’π‘₯1 = π‘šπ‘₯2βˆ’π‘šπ‘₯1 π‘₯2βˆ’π‘₯1 = π‘š(π‘₯2βˆ’π‘₯1) π‘₯2βˆ’π‘₯1 = m Sehingga gradien garis yang memiliki persamaan garis y = mx + c adalah m, yaitu koefisien dari x. Bagaimana dengan gradien dari garis yang memiliki persamaan garis ax +by + c = 0? Untuk menentukan gradien dari ax + by + c = 0, kita ubah dulu persamaan ax + by + c = 0 menjadi bentuk y = mx + c, seperti berikut. ax + by + c =0 by = -ax-c y = βˆ’π‘Žπ‘₯βˆ’π‘ 𝑏 y = βˆ’ π‘Ž 𝑏 π‘₯ βˆ’ 𝑐 𝑏 Dari uraian di atas, ax + by + c = 0 dapat diubah menjadi y = –a/b x – c/b. Sehingga, gradien dari ax + by + c = 0 adalah –a/b. Gradien dari garis y = mx + c adalah m, sedangkan gradien dari garis ax + by + c = 0 adalah –a/b.
  71. 71. 61 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Rumus persamaan garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsur lain yang berhubungan dengan gradien. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung π‘₯2 + 𝑦2 = π‘Ÿ2 𝑦 = π‘šπ‘₯ Β± π‘Ÿβˆš1 + π‘š2 (π‘₯ βˆ’ π‘Ž)2 + (𝑦 βˆ’ 𝑏)2 = π‘Ÿ2 𝑦 βˆ’ 𝑏 = π‘š(π‘₯ βˆ’ π‘Ž) Β± π‘Ÿβˆš1 + π‘š2 π‘₯2 + 𝑦2 + 𝐴π‘₯ + 𝐡𝑦 + 𝐢 = 0 Ubah bentuk persamaan ke (π‘₯ βˆ’ π‘Ž)2 + (𝑦 βˆ’ 𝑏)2 = π‘Ÿ2 gunakan rumus 𝑦 βˆ’ 𝑏 = π‘š(π‘₯ βˆ’ π‘Ž) Β± π‘Ÿβˆš1 + π‘š2 5.7.4 PersamaanGaris Singgung MelaluiTitik di Luar Lingkaran Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m. a. Menggunakan rumus Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik 𝐴(π‘₯1, 𝑦1) pada lingkaran (π‘₯ βˆ’ π‘Ž)2 + (𝑦 βˆ’ 𝑏)2 = π‘Ÿ2 adalah 𝑦 βˆ’ 𝑦1 = π‘š(π‘₯ βˆ’ π‘₯1) adalah dengan π‘š = ( 𝑦1 βˆ’ 𝑏)( π‘₯1 βˆ’ π‘Ž) Β± √( 𝑦1 βˆ’ 𝑏)2 + ( π‘₯1 βˆ’ π‘Ž)2 βˆ’ π‘Ÿ2 ( π‘₯1 βˆ’ π‘Ž)2 βˆ’ π‘Ÿ2 b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui 𝐴(π‘₯1, 𝑦1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m. Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, π‘₯2 + 𝑦2 = 25 yang malalui (7,1) Jawab Persamaan 1 : 𝑦 βˆ’ 𝑦1 = π‘š( π‘₯ βˆ’ π‘₯1) 𝑦 βˆ’ 1 = π‘š (π‘₯ βˆ’ 7) 𝑦 = π‘šπ‘₯ βˆ’ 7π‘š + 1 Persamaan 2 : 𝑦 = π‘šπ‘₯ Β± π‘Ÿβˆš1 + π‘š2 𝑦 = π‘šπ‘₯ Β± 5√1+ π‘š2
  72. 72. 62 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 𝑦 = π‘šπ‘₯ Β± 5√1 + π‘š2 β†’ 𝑦 = π‘šπ‘₯ βˆ’ 7π‘š + 1 5√1 + π‘š2 = 7π‘š + 1 25(1 + π‘š2 ) = 49π‘š2 βˆ’ 14π‘š + 1 25 + 25π‘š2 = 49π‘š2 βˆ’ 14π‘š + 1 24 βˆ’ 14 βˆ’ 24 = 0 (4π‘š + 3)(3π‘š βˆ’ 4) = 0 π‘š1 = βˆ’ 3 4 π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ π‘š2 = 4 3 Persamaan Garis singgung 1 π‘š1 = 𝑦 = π‘šπ‘₯ βˆ’ 7π‘š + 1 𝑦 = βˆ’ 3 4 π‘₯ βˆ’ 7 (βˆ’ 3 4 ) + 1 4𝑦 = βˆ’3π‘₯ + 21 + 4 3π‘₯ + 4𝑦 = 25 Persamaan Garis singgung ke 2 π‘š2 = 𝑦 = π‘šπ‘₯ βˆ’ 7π‘š + 1 𝑦 = 4 3 π‘₯ βˆ’ 7 ( 4 3 ) + 1 3𝑦 = 4π‘₯ βˆ’ 28 + 3 4π‘₯ βˆ’ 3𝑦 = 25
  73. 73. 63 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 5.8 Hubungan Antar Lingkaran a. Dua lingkaran yang saling berpotongan Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran : Pada gambar a lngkaran 𝑙1 dan 𝑙2 berpotongan di dua titik yang berlainan - Jika pusat lingkaran 𝑙2 berada di lingkaran 𝑙1, atau sebaliknya dikatakan 𝑙1 dan 𝑙2 berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i) - Jika pusat lingkaran 𝑙2 di luar lingkaran 𝑙1 atau sebaliknya ,dikatakan 𝑙1 dan 𝑙2 berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii) b. Dua lingkaran yang saling menyinggung b(i) a (i) a(ii) b (ii) (i)
  74. 74. 64 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A (b) 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan Pada gambar b (i) lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di dalam sedangkan gambar b(ii), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di luar c. Dua Lingkaran yang Tidak Saling Berpotongan dan Menyinggung c (i) (c) 𝑙1 dan 𝑙2 Tidak berpotongan maupun bersinggungan Pada gambar c(i), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung didalam Pada gambar c(ii), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung diluar Jika lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di kataka 𝑙1 dan 𝑙2 saling lepas. (ii) c (ii) (i ) (ii)
  75. 75. 65 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu: ο‚· Dua lingkaran sepusat atau kosentris Lingkaran 𝑙1 dikatakan sepusat dengan lingkaran 𝑙2 , jika pusat lingkaran 𝑙1 berimpit dengan pusat lingkaran 𝑙2 , tetapi jari – jari lingkaran 𝑙1 tidak sama dengan jari – jari lingkaran 𝑙2 ο‚· Dua lingkaran berimpit Lingaran 𝑙1 dikatakan berimpit dengan lingkaran 𝑙2 jika pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙1 sama dengan pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙2 LATIHAN SOAL 1. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25 maka tentukan c ! 2. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar 90Β° searah jarum jam terhadap titik O (0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan ! 3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 di (5,1 ) ! 4. Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 βˆ’ 1 2 ax + 4y βˆ’ 12 = 0 melalui titik (1, βˆ’ 1). Diameter lingkaran tersebut adalah.... 5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x βˆ’ 2)2 + (y + 1)2 = 13 dititik yang berabsis -1! 6. Tentukan nilai m supaya garis 3x – 4y + m = 0 menyinggung lingkaran x2+y2=16 7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 -2x + 4y + 4 = 0 yang tegak lurus garis 3x - 4y - 5=0 8. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y ! 9. Tentukan persamaan garis singggung yang melalui titik B (1,4) dan lingkaran (x+3)2 + ( y-2)2 = 20 10. Lingkaran x2+y2-8x+2Ay+5 = 0 melalui titik (6,-1). Titik pusat lingkaran tersebut adalah...
  76. 76. 66 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
  77. 77. 67 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Aldillah Fatmawati Fatria Anggita Freti Lesiana Muthmainah BAB 6 PYTHAGORAS TAHUKAH ANDA?? β€œJIKA ENGKAU INGIN HIDUP SENANG, MAKA HENDAKLAH ENGKAU RELA DIANGGAP SEBAGAI TIDAK BERAKAL ATAU DIANGGAP BODOH” (PYTHAGORAS) Pythagoras (569-475 S.M) adalah seorang agamawan dan filsuf di Yunani yang mengembangkan matematika, astronomi dan teori musik.
  78. 78. 68 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A PETA KONSEP TEOREMA PYTHAGORAS CARA MENEMUKAN TEOREMA PYTHAGORAS MATERI PRASYARAT TEOREMA PYTHAGORAS Kuadrat Luas PersegiAkar Kuadrat Luas Segitiga Siku-siku RumusDefinisi
  79. 79. 69 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 6.1 Materi Prasyarat Teorema Phytagoras Pernahkah kalian memerhatikan kerangka sebuah rumah yang dibuat dari kayu. Pada kerangka rumah tersebut sebagian besar rusuk tegak lurus terhadap rusuk yang lain. Sudut-sudut yang terbentuk pada rusuk yang saling tegak lurus tersebut merupakan sudut siku-siku. Dengan memanfaatkan teorema Pythagoras, dapatkah kalian menentukan panjang dari rusuk-rusuk yang saling tegak lurus tersebut? Dalam Teorema Phytagoras melibatkan bilangan kuadrat dan akar kuadrat dalam sebuah segitiga. Oleh karena itu, sebelum membahas Teorema Pythagoras, marilah kita mengingat kembali materi kuadrat bilangan, akar kuadrat bilangan, luas daerah persegi, dan luas daerah segitiga siku-siku. Luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi siku-siku segitiga tersebut. a. Kuadrat ο‚· Untuk menentukan kuadrat dari suatu bilangan adalah dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan dirinya sendiri. Contoh : b. Akar Kuadrat ο‚· Kebalikan dari kuadarat suatu bilangan adalah akar kuadrat. Misalkan, bilangan p yang tak negatif diperoleh p2 = 16. Maka bilangan p dapat ditentukan dengan menarik √16 menjadi p = √16. Bilangan p yang diinginkan adalah 4 karena 42 = 4 Γ— 4 = 16. Bilangan p = 4 dinamakan akar kuadrat dari bilangan 16. Jadi, akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan tak negatif yang apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan semula. Tentukan kuadrat dari bilangan berikut! a. 8,3 b. 12 Penyelesaian: a. 8,32 = 8,3 Γ— 8,3 = 68,89 b. 122 = 12 Γ— 12 = 144
  80. 80. 70 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A contoh : c. Luas Daerah Persegi D C S s A s B Pada gambar di atas tampak sebuah persegi ABCD yang panjang sisinya s satuan panjang. Luas persegi ABCD = sisi Ρ… sisi L = s Ρ… s Contoh: Tentukan luas persegi jika diketahui sisi sisinya berukuran 21 cm! Tentukan akar kuadrat dari √441 ! √441 = √21 x √21 = 21 L = s2 satuan luas Penyelesaian: L = s2 = 21 cm Γ— 21 cm = 441 cm2 Jadi luas persegi adalah 441 cm2.
  81. 81. 71 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A d. Luas Segitiga Siku-siku D C l A p B Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi panjang ABCD yang panjangnya p dan lebarnya l satuan. Diagonal BD membagi persegi panjang ABCD menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu Ξ” ABD dan Ξ” BCD. Luas persegi panjang ABCD sama dengan jumlah luas Ξ” ABD dan Ξ” BCD. Adapun luas Ξ” ABD sama dengan luas Ξ” BCD, sehingga diperoleh luas Ξ” ABD = luas Ξ” BCD = 1 2 luas persegi panjang ABCD Karena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebar l, luas Ξ” ABD = 1 2 x p x l atau luas segitiga siku-siku = 1 2 x π‘Žπ‘™π‘Žπ‘  x 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
  82. 82. 72 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Contoh : Tentukan luas segitiga jika diketahui alasnya berukuran 12 cm dan tingginya 5 cm! 6.2 Menemukan Teorema Phytagoras Perhatikan contoh soal berikut! Rayhan menapakkan kakinya ke arah Selatan sebanyak 8 kali, kemudian dilanjutkan ke arah Timur sebanyak 6 kali. Dalam menapakkan kakinya, Rayhan menempelkan tumit kaki kirinya pada ujung kaki kanannya, kemudian tumit kaki kanannya ditempelkan pada ujung kaki kirinya, dan seterusnya. Berapa kali Rayhan harus menapakkan kakinya jika ia mulai berjalan langsung tanpa berbelok dari tempat semula ke tempat terakhir? Jika satu kotak mewakili 1 telapak kaki Rayhan, maka perjalanan Rayhan dapat dengan mudah digambarkan pada kertas berpetak seperti berikut. Penyelesaian: L = 1 2 x alas x tinggi = 1 2 Γ— 12 cm x 5 cm = 30 cm2 Jadi luas segitiga adalah 30 cm2.
  83. 83. 73 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Untuk menghitung berapa kali Rayhan harus menapakkan kakinya dari tempat semula ke tempat terakhir, kita gunakan kertas berpetak lainnya sebagai bantuan Dengan menghitung banyaknya kotak, berapakah panjang AB? Apakah Ξ” ABC berupa segitiga siku-siku? Berapa kotakkah luasnya? Pada gambar di atas, sisi siku-sikunya adalah AB dan BC, Dalam segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari dua sisi yang saling tegak lurus yang disebut sisi siku-siku, dan satu sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring atau juga disebut hipotenusa.
  84. 84. 74 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A serta hipotenusanya adalah AC. Perhatikan panjang sisi-sisi Ξ” ABC pada gambar di atas. Apakah hipotenusa Ξ” ABC merupakan sisi terpanjang? Kita gambar suatu persegi dengan sisi AB (8 kotak) pada kertas berpetak berwarna merah. Berapakah luas persegi dengan sisi tersebut? Gambar persegi dengan sisi BC (6 kotak) pada kertas berpetak berwarna biru. Berapakah luas persegi dengan sisi tersebut? Gambar persegi dengan sisi terpanjang yaitu (10 kotak) pada kertas berpetak berwarna kuning. Berapa luas persegi dengan sisi tersebut? Perhatikan luas ketiga persegi tersebut. Apakah jumlah dua luas persegi yang kecil sama dengan luas persegi terbesar? Simpulan di atas, disebut sebagai Teorema Pythagoras. Dalam segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat hipotenusanya. JAWAB
  85. 85. 75 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A C a b A c B Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi siku- sikunya maka berlaku : Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi : Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga sikusiku dengan a, b dan c bilangan asli, maka a, b, c disebut bilangan Tripel Pythagoras. Contoh : Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm. Jika panjang salah satu sisi siku-sikunya 9 cm, tentukan panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya! C ? 15 cm A 9 cm B a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2 atau c2 = a2 – b2
  86. 86. 76 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 𝐡𝐢2 = 𝐴𝐡2 + 𝐴𝐢2 𝐴𝐢2 = 𝐡𝐢2 – 𝐴𝐡2 = 52 – 92 = 225 – 81 = 144 AC =√144 = 12 cm Jadi, panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya (AC ) = 12 cm LATIHAN SOAL 1. Pernyataan di bawah ini sesuai dengan dalil Pythagoras, kecuali.... 2. Panjang KN pada gambar di bawah ini adalah .... A. 100 cm C. 115 cm B. 105 cm D. 125 cm A. BC2 = AC2 + AB2 C. AB2 = AC2 βˆ’ BC2 B. AC2 = BC2 + AB2 D. a2 = b2 βˆ’ c2
  87. 87. 77 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 3. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki panjang 28 cm. Tentukan luas segitiga tersebut! 4. Perhatikan gambar segitiga berikut! Tentukan panjang sisi AB! 5. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini! Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!
  88. 88. 78 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Alma Alpiana Destia Eka Putri Rizky Diah Peratiwi Upika Rizkie
  89. 89. 79 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A BAB 7 ARITMATIKA SOSIAL PETA KONSEP ARITMATIKA SOSIAL KONSEP ARITMATIKA SOSIAL NILAI KESELURUHAN, NILAI PER UNIT, DAN NILAI SEBAGIAN HARGA PEMBELIAN DAN HARGA PENJUALAN UNTUNG DAN RUGI MENGHITUNG UNTUNG DAN RUGI MENGHITUNG PERSENTASE UNTUNG DAN RUGI MENGHITUNG HARGA PEMBELIAN ATAU PENJUALAN BERDASARKAN PERSENTASE UNTUNG DAN RUGI DISKON (RABAT), BRUTO, NETO, DAN TARA PAJAK DAN BUNGA TABUNGAN
  90. 90. 80 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Kegiatan perdagangan yang biasa dilakukan oleh masyarakat meliputi kegiatan jual beli barang antara penjual (pedagang) dan pembeli. Kegiatan perdagangan dapat terjadi berdasarkan prinsip saling menguntungkan. Penjual mendapat keuntungan berupa uang dari barang yang dijualnya, sedangkan pembeli mendapat keuntungan dari barang yang dibelinya atas dasar manfaat yang diperoleh dari barang tersebut. Dalam melakukan kegiatan perdagangan, seorang pedagang harus pandai melakukan perhitungan perdagangan atas barang dagangannya. Misalnya, untuk mendapatkan keuntungan yang wajar, seorang pedagang harus menetapkan berapa harga jual pada barang dagangannya sehingga harga jual tersebut tidak terlalu tinggi (agar dapat bersaing) dan juga tidak terlalu rendah (agar tidak rugi). Hal itu tentunya membutuhkan perhitungan tertentu yang dibahas dalam aritmetika sosial. Aritmetika merupakan bagian dari matematika yang disebut ilmu hitung. Kata β€œsosial” dapat diartikan sebagai hal-hal yang berkenaan dengan masyarakat. Jadi, aritmetika sosial dapat diartikan sebagai bagian dari matematika yang membahas perhitungan-perhitungan yang digunakan masyarakat dalam kehidupan sehari-hari. Kamu pasti sudah pernah ke supermarket atau pasar. Di sana tentu kalian dapat melihat kegiatan-kegiatan yang dilakukan orang-orang yang melakukan jual-beli. Kegiatan jual beli yang dilakukan supermarket atau pasar, merupakan salah satu contoh aritmatika sosial dalam kegiatan ekonomi. 7.1 Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, Dan Nilai Sebagian
  91. 91. 81 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian mempunyai suatu hubungan, yaitu: Seorang pedagang buah membeli 25 buah mangga. Ia membayar dengan 2 lembar uang seratus ribuan dan mendapat uang kembalian sebesar Rp40.000,00. a. Tentukan harga pembelian seluruhnya. b. Tentukan harga pembelian tiap buah. c. Jika pedagang tersebut hanya membeli 7 buah mangga, berapakah ia harus membayar? 7.2 Harga Pembelian Dan Harga Penjualan Nilai keseluruhan = banyak unit x nilai per unit Nilai per unit = Nilai sebagian = banyak sebagian unit x nilai per unit Contoh Penyelesaian: a. Harga pembelian = 2 x Rp100.000,00 - Rp40.000,00 = Rp200.000,00 - Rp40.000,00 = Rp160.000,00 Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp160.000,00. b. Harga mangga per buah = = Rp6.400,00 Jadi, Harga tiap buah mangga adalah Rp6.400,00. c. Harga 7 buah mangga = 7 x Rp6.400,00 = Rp44.800,00 Jadi, harga 7 buah mangga adalah Rp44.800,00.
  92. 92. 82 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Dalam suatu kegiatan jual beli atau perdagangan ada dua pihak yang saling berkepentingan, yaitu penjual dan pembeli. Penjual adalah orang yang menyerahkan barang kepada pembeli dengan menerima imbalan berupa sejumlah uang dari pembeli. Pembeli adalah orang yang menerima barang dari penjual dengan menyerahkan sejumlah uang kepada penjual sebagai pembayarannya. Untuk mendapatkan barang yang akan dijual, seorang pedagang terlebih dahulu harus membelinya dari pedagang lain dengan mengeluarkan sejumlah uang yang disebut harga pembelian atau modal. Setelah barang itu didapatkan, kemudian dijual kembali kepada pembeli. Uang yang diterima pedagang dari pembeli atas barang yang dijualnya disebut harga penjualan. Jika harga penjualan lebih tinggi daripada harga pembelian, dan besar untung sama dengan harga penjualan dikurangi harga pembelian maka diperoleh hubungan berikut ini. Harga pembelian sebuah kalkulator Rp50.000,00. Setelah terjual ternyata pedagang itu mendapat untung Rp15.000,00. Tentukan harga penjualan! Sebaliknya, jika jual-beli mengalami kerugian, maka harga penjualan lebih rendah dari harga pembelian, dan rugi sama dengan harga pembelian dikurangi harga penjualan, sehingga diperoleh hubungan berikut ini. Harga penjualan = harga pembelian + untung Harga pembelian = harga penjualan – untung Contoh Penyelesaian: Harga pembelian = Rp50.000,00 Untung = Rp15.000,00 Harga penjualan = harga pembelian + untung = Rp50.000,00 + Rp15.000,00 = Rp65.000,00 Jadi, harga penjualan kalkulator adalah Rp65.000,00. Harga penjualan = harga pembelian – rugi Harga pembelian = harga penjualan + rugi
  93. 93. 83 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Seorang pedagang membeli sebuah laptop bekas dengan harga Rp 2.500.000. Jika pedagang itu menderita rugi Rp 150.000, maka berapakah harga penjualannya? Karena harga penjualan adalah hasil perkalian antara harga jual tiap satuan barang dan banyaknya barang, maka diperoleh rumus sebagai berikut: Karena harga pembelian adalah hasil perkalian harga beli tiap satuan barang dan banyaknya barang, maka diperoleh harga sebagai berikut: Contoh Penyelesaian: Harga pembelian = Rp2.500.000,00 Rugi = Rp150.000,00 Harga penjualan = Rp2.500.000,00 - Rp. 150.000,00 = Rp2.350.000,00 Jadi, Harga penjualan laptop adalah Rp2.350.000,00. Harga penjualan = harga jual tiap satuan barang Γ— banyaknya barang Harga jual tiap satuan barang = β„Žπ‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž π‘π‘’π‘›π‘—π‘’π‘Žπ‘™π‘Ž 𝑛 π‘π‘Žπ‘›π‘¦π‘Žπ‘˜π‘›π‘¦π‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘” Harga pembelian = harga beli tiap satuan barang Γ— banyaknya barang Harga beli tiap satuan barang = β„Žπ‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž π‘π‘’π‘šπ‘π‘’π‘™π‘–π‘Žπ‘› π‘π‘Žπ‘›π‘¦π‘Žπ‘˜π‘›π‘¦π‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘” Contoh
  94. 94. 84 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Untuk membiayai sekolahnya, Wawan berjualan koran. Pada suatu hari ia membeli 50 koran dari agen korannya dengan harga Rp. 2.000,00 tiap koran. Karena hari hujan, ia hanya dapat menjual 30 koran pada pagi hari. Koran yang tersisa dijualnya pada siang hari dengan harga Rp. 1.500,00. Setelah dihitung-hitung, ternyata Wawan menderita rugi sebesar Rp. 10.000,00. Berapa harga jual setiap Koran yang dijajakan Wawan pada pagi hari? 7.3 Untung Dan Rugi 1. Menghitung Untung Dan Rugi Dalam perdagangan, terdapat dua kemungkinan yang akan dialami oleh pedagang, yaitu untung dan rugi. Pedagang dapat mengalami untung atau rugi tergantung pada beberapa hal, Penyelesaian : Harga pembelian = 50 Γ— Rp. 2.000,00 = Rp. 100.000,00 Harga penjualan seluruhnya = harga pembelian – rugi = Rp. 100.000,00 - Rp. 10.000,00 = Rp. 90.000,00 Harga penjualan seluruhnya = harga penjualan pagi hari + harga penjualan siang hari Harga penjualan pagi hari = harga penjualan seluruhnya – harga penjualan siang hari = Rp. 90.000,00 - (50-30) Γ— Rp. 1.500,00 = Rp. 90.000,00 – Rp. 30.000,00 = Rp. 60.000,00 Harga jual setiap Koran pada pagi hari = β„Žπ‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž π‘π‘’π‘›π‘—π‘’π‘Žπ‘™π‘Žπ‘› π‘π‘Žπ‘”π‘– β„Žπ‘Žπ‘Ÿπ‘– π‘π‘Žπ‘›π‘¦π‘Žπ‘˜π‘›π‘¦π‘Ž π‘˜π‘œπ‘Ÿπ‘Žπ‘› π‘¦π‘Žπ‘›π‘” π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘—π‘’π‘Žπ‘™ = 𝑅𝑝.60.000 ,00 30 = Rp 2000,00 Jadi, harga jual setiap Koran yang dijajakan Wawan pada pagi hari = Rp2000,00
  95. 95. 85 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A seperti besarnya harga jual, kondisi barang yang dijual (mengalami kerusakan atau tidak), dan situasi pembeli. Pengertian Untung Seorang pedagang dikatakan mendapat untung apabila ia berhasil menjual barang dagangannya dengan harga penjualan yang lebih tinggi daripada harga pembeliannya. Besarnya selisih antara harga penjualan dan harga pembelian itu merupakan besarnya untung yang diperoleh pedagang tersebut. Keuntungan yang diperoleh seorang pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut: Seorang pedagang membeli telur 10 kg dengan harga Rp 120.000, kemudian telur itu dijual dengan harga Rp12.500/kg. Berapakah keuntungan pedagang tersebut? Pengertian Rugi Seorang pedagang dikatakan mendapat rugi apabila ia menjual barang dagangannya dengan harga penjualan yang lebih rendah daripada Untung = Harga Penjualan – Harga Pembelian Contoh Rugi = harga pembelian – harga penjualan Penyelesaian : Harga beli 10 kg telur Rp. 120.000,00 Harga jual 1 kg telur Rp. 12.500,00 Untung = Harga Jual – Harga Beli Harga jual = 10 x Rp. 12.500,00 = Rp. 125.000,00 Untung = Rp. 125.000,00 – Rp. 120.000,00 = Rp. 5.000,00 Jadi, pedagang itu mendapat keuntungan Rp. 5000,00
  96. 96. 86 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A harga pembelian. Besar selisih antar harga pembelian dan harga penjualan adalah besar kerugian yang diderita oleh pedagang tersebut. Besarnya kerugian yang diderita oleh seorang pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut: Pak Dono membeli sebuah mobil dengan harga Rp. 10.000.000,00. Pada suatu saat karena ia sangat membutuhkan uang, ia bermaksud menjual mobilnya. Ternyata ia hanya dapat menjual mobilnya dengan harga Rp. 8.000.000,00. Berapa kerugian Pak Dono? 2. Menghitung Persentase Untung Dan Rugi Dalam dunia perdagangan untung atau rugi dapat dinyatakan dengan persen. Misalnya, bila kita sedang tawar-menawar suatu barang di pasar (karena harganya dirasakan terlalu mahal bagi kita), kadang-kadang pedagang itu berkilah dengan mengatakan bahwa ia hanya mengambil keuntungan sedikit, beberapa persen saja. Dengan menyatakan keuntungan atau kerugian dalam bentuk persen, kita dapat melihat apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh pedagang tersebut berada dalam tingkat yang wajar atau tidak. Kemudian juga, kita dapat membandingkan besarnya keuntungan atau kerugian yang diperoleh oleh dua buah barang yang berbeda. Apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh oleh barang yang satu lebih besar atau lebih kecil daripada yang diperoleh oleh barang yang lain. Menyatakan Persentase Keuntungan Persentase keuntungan biasanya dihitung dari harga pembelian. Jadi, jika kita mendengar ada seorang pedagang yang mengambil keuntungan 10%, itu berarti bahwa pedagang tersebut mengambil keuntungan sebesar 10% dari harga pembelian barang itu. Contoh Penyelesaian : Harga pembelian = Rp. 10.000.000,00 Harga penjualan = Rp. 8.000.000,00 Rugi = harga pembelian – harga penjualan = Rp. 10.000.000,00 - Rp. 8.000.000,00 = Rp. 2.000.000,00 Jadi, Pak Dono mengalami kerugian sebesar Rp. 2.000.000,00.
  97. 97. 87 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Menyatakan keuntungan dengan persentase dari harga pembelian dirumuskan sebagai berikut: Jadi, berdasarkan rumus tersebut, tahapan-tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentase keuntungan dari harga pembelian adalah sebagai berikut: ο‚· Memperhatikan besarnya modal atau harga pembelian dan harga penjualan. ο‚· Menentukan besarnya untung. ο‚· Membandingkan nilai untung dengan harga pembelian. ο‚· Mengalikan nilai perbandingan tersebut dengan 100% sehingga didapatkan persentase keuntungan. Apabila harga pembelian (modal) dan persentase keuntungan diketahui, maka perhitungan untuk mendapatkan harga penjualan dapat diturunkan dari rumus persentase keuntungan diatas. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa keuntungan = persentase keuntungan Γ— harga pembelian Karena harga penjualan sama dengan harga pembelian ditambah keuntungan, maka diperoleh rumus sebagai berikut: Seorang pedagang membeli gula 5 kg dengan harga Rp. 35.000,00 kemudian dijual dengan harga Rp. 45.000,00. Berapakah besar persentase keuntungan pedagang tersebut? Penyelesaian : Harga beli Rp. 35.000,00 Harga jual Rp. 45.000,00 Untung = Rp 45.000 – Rp 35.000 = Rp 10.000 Persentase keuntungan (%) = 𝑅𝑝.10.000 𝑅𝑝.35.000 Γ— 100% = 28,6% Jadi persentase keuntungannya adalah 28,6 % Menyatakan Persentase Kerugian Persentase keuntungan (%) = π‘˜π‘’π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘› β„Žπ‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž π‘π‘’π‘šπ‘π‘’π‘™π‘–π‘Žπ‘› Γ— 100% Harga penjualan = harga pembelian + persentase keuntungan Γ— harga pembelian = harga pembelian (1 + persentase keuntungan) Contoh
  98. 98. 88 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A Besarnya kerugian yang diderita seorang pedagang juga dapat dinyatakan dalam persentase yang dihitung dari harga pembelian. Jadi, jika seseorang menderita sebesar 5%, itu artinya orang tersebut menderita kerugian 5% dari harga pembelian. Persentase kerugian ini dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut: Tahapan-tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentase kerugian sama dengan tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentase keuntungan. Hanya besarnya keuntungan kita ganti dengan besarnya kerugian. Apabila harga pembelian (modal) dan persentase kerugian dikerahui maka perhitungan untuk mendapatkan harga penjualan dapat diturunkan dari rumus persentase kerugian di atas. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa kerugian = persentase kerugian Γ— harga pembelian Karena harga penjualan sama dengan harga harga pembelian dikurangi kerugian maka diperoleh rumus harga penjualan sebagai berikut: Seorang bapak membeli sebuah mobil seharga Rp. 50.000.000,00 karena sudah bosan dengan mobil tersebut maka mobil tersebut dijual dengan harga Rp. 45.000.000,00. Tentukan persentase kerugiannya! Penyelesaian : Harga beli Rp. 50.000.000,00 Harga jual Rp. 45.000.000,00 Rugi = Rp. 50.000.000,00 – Rp. 45.000.000,00 = Rp 5.000.000 Persentase kerugian = 𝑅𝑝.5.000.000 𝑅𝑝.50.000.000 Γ— 100% = 10% Jadi persentase kerugiannya adalah 10%. Persentase kerugian (%) = π‘˜π‘’π‘Ÿπ‘’π‘”π‘–π‘Žπ‘› β„Žπ‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž π‘π‘’π‘šπ‘π‘’π‘™π‘–π‘Žπ‘› Γ— 100% Harga penjualan = harga pembelian + persentase kerugian Γ— harga pembelian = harga pembelian (1 - persentase kerugian) Contoh
  99. 99. 89 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 3. Menghitung Harga Pembelian Atau Penjualan Berdasarkan Persentase Untung Atau Rugi Seorang pedagang membeli sebuah mainan seharga Rp. 125.000. Jika pedagang tersebut menghendaki untung 20%, berapa rupiahkah mainan tersebut harus dijual? Penyelesaian : Harga pembelian = Rp. 125.000 Untung 20% = 20 100 Γ— Rp. 125.000 = Rp. 25.000 Harga penjualan = harga pembelian + untung = Rp. 125.000 + Rp.25.000 = Rp. 150.000 7.4 Diskon (Rabat), Bruto, Neto, Dan Tara Rabat Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Rabat biasanya diberikan kepada pembeli dari suatu grosir atau toko tertentu. Rabat (diskon) seringkali dijadikan alat untuk menarik para pembeli, misalnya ada toko yang melakukan obral dengan diskon dari 10% sampai 50%, sehingga para pembeli menjadi tertarik untuk berbelanja di toko tersebut, karena harganya terkesan menjadi murah. Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon) Pada rumus di atas, harga kotor adalah harga sebelum dipotong diskon, dan harga bersih adalah harga setelah dipotong diskon. Sebuah toko memberikan diskon 15 %, Budi membeli sebuah rice cooker dengan harga Rp. 420.000,00. Berapakah harga yang harus dibayar budi? Penyelesaian : Harga sebelum diskon = Rp. 420.000,00 Potongan harga = 15 % x Rp. 420.000,00 = Rp. 63.000,00 Harga setelah diskon = Rp. 420.000,00 – Rp. 63.000,00 Contoh Contoh
  100. 100. 90 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A = Rp 375. 000,00 Jadi Budi harus membayar Rp 375.000,00 Bruto, Neto, dan Tara ο‚· Bruto (berat kotor) adalah berat benda ditambah dengan berat kemasan. ο‚· Neto (berat bersih) adalah berat bendanya saja. ο‚· Tara adalah selisih antara bruto dan neto. Hubungan antara bruto, neto, dan tara dapat dirumuskan sebagai berikut. 1. Dalam sebuah karung yang berisi pupuk tertera tulisan berat bersih 50 kg. Sedangkan berat kotor 0,08 kg, maka berat seluruhnya = 50kg + 0,08kg = 50,8kg. Berat karung dan pupuk yaitu 50,8 kg disebut bruto (berat kotor). Berat karung 0,08 kg disebut tara. Berat pupuk 50 kg disebut berat neto ( berat bersih). 2. Seorang pedagang membeli 5 karung beras dengan bruto masing-masing 72 kg dan tara 1%. Berapa rupiah pedagang itu harus membayar jika harga setiap kg beras Rp. 4.500? Penyelesaian : Berat bruto = 5 Γ— 72 kg = 360 kg Tara 1% = 1 100 Γ— 360 kg = 3,6 kg Neto = 360 kg – 3,6 kg = 356,4 kg Jadi, pedagang harus membayar = 356,4 Γ— Rp. 4.500 = Rp. 1.603.800 7.5 Pajak Dan Bunga Tabungan 1. PAJAK Pajak merupakan suatu kewajiban dari warga negara untuk menyerahkan sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang ditetapkan oleh pemerintah, Bruto = Neto + Tara Neto = Bruto – Tara Tara = Bruto – Neto Tara = %Tara Γ— Bruto Contoh
  101. 101. 91 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A tetapi tanpa mendapat jasa balik dari negara secara langsung. Hasil dari pajak digunakan untuk kesejahteraan umum. Pegawai tetap dari perusahaan swasta atau pegawai negeri dikenakan pajak pengahasilan kena pajaknya yang disebut dengan Pajak Penghasilan (PPh). Apabila kita berbelanja di dealer, atau grosir, atau toko swalayan, atau tempat lainnya, maka terdapat barang-barang yang harganya ditambah dengan pajak yang disebut dengan Pajak Pertambahan Nilai (PPN). Seorang ibu mendapat gaji sebulan sebesar Rp. 1.000.000,00 dengan penghasilan tidak kena pajak Rp. 400.000,00. Jika besar pajak penghasilan (PPh) adalah 10 % berapakah gaji yang diterima ibu tersebut? Penyelesaian: Besar penghasilan = Rp. 1.000.000,00 Penghasilan tidak kena pajak Rp. 400.000,00 Penghasilan kena pajak = Rp. 1.000.000,00 – Rp. 400.000,00 = Rp 600.000,00 Besar pajak penghasilan = 10 % x Rp. 600.000,00 = Rp. 60.000,00 Jadi besar gaji yang diterima ibu tersebut adalah = Rp 1.000.000 – Rp 60.000 = Rp 940.000 2. BUNGA TABUNGAN Jika kita menyimpan uang di bank, maka uang kita akan bertambah karena kita mendapat bunga. Jenis bunga tabungan yang akan kita pelajari adalah bunga tunggal, artinya yang mendapat bunga hanya modalnya saja, sedangkan bunganya tidak akan berbunga lagi. Apabila bunganya turut berbunga lagi, maka jenis bunga tersebut disebut bunga majemuk yang kelak akan dipelajari di sekolah yang lebih tinggi. Bunga tabungan biasanya dihitung dalam persen yang berlaku untuk jangka waktu 1 tahun, bunga 15% per tahun artinya tabungan akan mendapat bunga 15% jika telah disimpan di bank selama 1 tahun. Persen bunga selalu dinyatakan untuk 1 tahun, kecuali jika ada keterangan lain pada soal. Contoh Bunga 1 tahun = persen bunga Γ— modal Bunga n bulan = 𝑛 12 Γ— persen bunga Γ— modal = 𝑛 12 Γ— bunga 1 tahun
  102. 102. 92 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A 1. Pak Soni memiliki tabungan di Bank B sebesar Rp. 750.000 dengan bunga 15% per tahun. Berapa jumlah uang Pak Soni setelah 1 tahun? Penyelesaian : Bunga 1 tahun = 15 100 Γ— Rp. 750.000 = Rp. 112.500 Jumlah uang Pak Soni setelah disimpan 1 tahun = Rp. 750.000 + Rp. 112.500 = Rp. 862.500 2. Rio menabung dibank sebesar Rp 75.000,00 dengan bunga 12% per tahun. Hitung jumlah uang rio setelah enam bulan. Penyelesaian : Besar modal (uang tabungan) = Rp 75.000,00 Bunga 1 tahun 12 % = 12 100 Γ— Rp. 75.000,00 = Rp. 9.000,00 Bunga 6 bulan = Rp. 4.500,00 Jadi jumlah uang Rio setelah disimpan selama enam bulan menjadi: = Rp. 75.000,00 + Rp. 4.500,00 = Rp. 79.500,00 LATIHAN SOAL I. PILIHAN GANDA 1. Seorang pedagang membeli 3 kodi pakaian dengan harga Rp 600.000,- perkodi. Pakaian tersebut ia jual kembali dengan harga Rp 400.000,- perlusin. Dalam waktu dua hari pakaian tersebut sudah habis. Keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah .... A. Rp 200.000,- C. Rp 400.000,- E.Rp 600.000,- B. Rp 300.000,- D. Rp 500.000,- 2. Seorang pedagang membeli sebuah TV dengan harga Rp 2.000.000,-. Jika TV tersebut ia jual kembali dengan harga Rp 2.400.000,- maka persentase keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah .... A. 10% C. 25% E. 50% B. 20% D. 30% Contoh
  • ariyantiwati

    Mar. 28, 2021
  • ririnagustin6

    Mar. 9, 2021
  • siratjudin1

    Nov. 14, 2020
  • aammaryam

    Sep. 30, 2020
  • AlifiyaNafisah

    Sep. 19, 2020
  • MikaelSamosir

    Mar. 4, 2020
  • RirinKusmawati1

    Feb. 25, 2020
  • WidaSusanti1

    Feb. 18, 2020
  • SekarKusumaningtyas

    Feb. 5, 2020
  • zulinura

    Jan. 6, 2020
  • pakwarso

    Nov. 26, 2019
  • EristaZulkiFahrudi

    Sep. 10, 2019
  • cantikku

    Aug. 22, 2019
  • MellaPratika

    Aug. 20, 2019
  • nurulDIDIW

    Aug. 5, 2019
  • SufiatiSufiati

    Jul. 20, 2019
  • nurlailyrahmatika

    Jul. 11, 2019
  • IntanRsmn

    Jun. 1, 2019
  • ArnetaDesriyani

    May. 22, 2019
  • qranaoctaviani

    Mar. 18, 2019

Kapita Selekta Matematika merupakan salah satu mata kuliah saya di semester 2 , nah di mata kuliah ini kami mempelajari materi yang tidak kami pelajari di mata kuliah mata kuliah yang kami ambil lainnya . Jadi, ibaratkan kami memilih sendiri materi apa yang ingin kami pelajari di mata kuliah tersebut atau bisa dibilang mata kuliah tersebut ialah pelengkap dari mata kuliah lainnya , eakkk :D

Views

Total views

24,751

On Slideshare

0

From embeds

0

Number of embeds

654

Actions

Downloads

422

Shares

0

Comments

0

Likes

39

Γ—