Μάκης Χατζόπουλος, profile picture
Uploaded byΜάκης Χατζόπουλος
16,345 views

Θεωρία Γυμνασίου 2021

Επιμέλεια: Γιώργος Αντωνάτος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

Embed presentation

Downloaded 39 times
1 / 106
2 / 106
3 / 106
4 / 106
5 / 106
6 / 106
7 / 106
Most read
8 / 106
9 / 106
10 / 106
11 / 106
Most read
12 / 106
Most read
13 / 106
14 / 106
15 / 106
16 / 106
17 / 106
18 / 106
19 / 106
20 / 106
21 / 106
22 / 106
23 / 106
24 / 106
25 / 106
26 / 106
27 / 106
28 / 106
29 / 106
30 / 106
31 / 106
32 / 106
33 / 106
34 / 106
35 / 106
36 / 106
37 / 106
38 / 106
39 / 106
40 / 106
41 / 106
42 / 106
43 / 106
44 / 106
45 / 106
46 / 106
47 / 106
48 / 106
49 / 106
50 / 106
51 / 106
52 / 106
53 / 106
54 / 106
55 / 106
56 / 106
57 / 106
58 / 106
59 / 106
60 / 106
61 / 106
62 / 106
63 / 106
64 / 106
65 / 106
66 / 106
67 / 106
68 / 106
69 / 106
70 / 106
71 / 106
72 / 106
73 / 106
74 / 106
75 / 106
76 / 106
77 / 106
78 / 106
79 / 106
80 / 106
81 / 106
82 / 106
83 / 106
84 / 106
85 / 106
86 / 106
87 / 106
88 / 106
89 / 106
90 / 106
91 / 106
92 / 106
93 / 106
94 / 106
95 / 106
96 / 106
97 / 106
98 / 106
99 / 106
100 / 106
101 / 106
102 / 106
103 / 106
104 / 106
105 / 106
106 / 106
Ά Γυμνασίου Μαθηματικά Θεωρία Αντωνάτος Γιώργος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ email: antonatos.geo@gmail.com 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 1 1.1 Φυσικοί Αριθμοί  Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5,……………….,99, 100, 101,……………………,1254, 1255,……………….. ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.  Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο και έναν προηγούμενο, εκτός από το 0 που έχει μόνο επόμενο.  Μπορούμε να δημιουργήσουμε απεριόριστο πλήθος φυσικών αριθμών χρησιμοποιώντας τους: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  Σε έναν φυσικό αριθμό, η αξία του κάθε ψηφίου του, καθορίζεται από την θέση που έχει, δηλαδή την δεκαδική τάξη του. Η δεκαδική τάξη ενός ψηφίου μπορεί να είναι μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, εκατομμύρια κλπ ΆΡΤΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Άρτιοι ή ζυγοί ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2. Οι φυσικοί αριθμοί 2, 4, 6, 8 και όσοι αριθμοί τελειώνουν με αυτούς (ή τελειώνουν σε 0), είναι άρτιοι. Περιττοί ή μονοί ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 2. Οι φυσικοί αριθμοί 1, 3, 5, 7, 9 και όσοι αριθμοί τελειώνουν με αυτούς, είναι περιττοί. Πλήθος διαδοχικών φυσικών αριθμών και Διάταξη φυσικών αριθμών  Το πλήθος των διαδοχικών φυσικών αριθμών που υπάρχουν από τον αριθμό α μέχρι και τον αριθμό β είναι ίσος με την διαφορά τους αυξημένη κατά 1, δηλαδη β-α+1 Πχ. από το 5 μέχρι το 24 υπάρχουν 24 – 5 + 1 = 19 + 1 = 20 αριθμοί  Το πλήθος των διαδοχικών φυσικών αριθμών που υπάρχουν ανάμεσα στους αριθμούς α και β είναι ίσο με την διαφορά τους μειωμένη κατά 1, δηλαδή β-α-1 Πχ. ανάμεσα στο 5 και το 24 υπάρχουν 24 – 5 – 1 = 19 – 1 = 18 αριθμοί  Για να συγκρίνουμε (διατάξουμε) δυο αριθμούς, χρησιμοποιούμε τα παρακάτω σύμβολα:  Το = που σημαίνει «ίσος με»  Το < που σημαίνει «μικρότερος από»  Το > που σημαίνει «μεγαλύτερος από» Μπορούμε επομένως να διατάξουμε τους φυσικούς αριθμούς από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, δηλαδή κατά αύξουσα σειρά. Σημείωση: Στα σύμβολα < και >, η «μυτούλα» δείχνει τον μικρότερο αριθμό από τους δύο. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2 Αντιστοίχιση φυσικών αριθμών με σημεία ενός άξονα Σε μια ευθεία (άξονα), τοποθετούμε αυθαίρετα το σημείο Ο στο οποίο αντιστοιχούμε τον αριθμό 0. Το σημείο Ο το ονομάζουμε αρχή του άξονα. Δεξιά του Ο, διαλέγουμε επίσης αυθαίρετα ένα σημείο Α. Το ΟΑ ονομάζεται μονάδα μέτρησης και με την βοήθεια του μπορούμε να τοποθετήσουμε στον άξονα όλους τους φυσικούς αριθμούς. Στρογγυλοποίηση Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό, πρώτα εντοπίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση και στην συνέχεια εξετάζουμε το αμέσως επόμενο ψηφίο.  Αν είναι μικρότερο του 5 ( δηλαδή 0, 1, 2, 3, 4) τότε αντικαθιστούμε αυτό το ψηφίο, καθώς και όλα τα ψηφία μικρότερης τάξης, με το 0.  Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8, 9) τότε αυξάνουμε κατά 1 το ψηφίο αυτό και μηδενίζουμε όλα τα ψηφία μικρότερης τάξης. Παράδειγμα Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 295.847 στις: α) εκατοντάδες, β) χιλιάδες, γ) δεκάδες χιλιάδες. α) Θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στις εκατοντάδες, δηλαδή στο ψηφίο 8. Παρατηρούμε ότι το ψηφίο της μικρότερης τάξης, είναι το 4. Και επειδή 4<5, τότε το 4 και όλα τα μικρότερης τάξης ψηφία, μηδενίζονται. Δηλαδή 295.847  295.800 β) Θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στις χιλιάδες, δηλαδή στο ψηφίο 5. Παρατηρούμε ότι το ψηφίο μικρότερης τάξης είναι το 8. Και επειδή 8>5, τότε το 5 θα αυξηθεί κατά ένα και όλα τα μικρότερης τάξης ψηφία, θα μηδενιστούν. Δηλαδή 295.847  296.000 γ) Θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στις δεκάδες χιλιάδες, δηλαδή στο 9. Παρατηρούμε ότι το ψηφίο μικρότερης τάξης είναι το 5. Και επειδή 5=5, τότε το 9 θα αυξηθεί κατά ένα το οποίο σημαίνει ότι το 9 θα γίνει 0 και θα αυξηθεί κατά ένα και το ψηφίο 2. Όλα τα μικρότερης τάξης ψηφία, θα μηδενιστούν. Δηλαδή 295.847  300.000 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3 1.2 Πρόσθεση, Αφαίρεση και Πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση – Ιδιότητες πρόσθεσης  Στην πρόσθεση α + β = γ , οι αριθμοί α και β λέγονται προσθετέοι, ενώ ο αριθμός γ λέγεται άθροισμα.  Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και όταν προστεθεί σε έναν φυσικό αριθμό α, δεν τον μεταβάλλει. Δηλαδή α + 0 = α  Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α + β = β + α  Προσεταιριστική Ιδιότητα: (α + β) + γ = α + (β + γ) Αφαίρεση – Ιδιότητες αφαίρεσης  Αφαίρεση είναι οι πράξη με την οποία, όταν δίνονται δυο αριθμοί Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος), βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά). Δηλαδή Μ – Α = Δ  Στους φυσικούς αριθμούς, ο αφαιρετέος (Α) πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με τον μειωτέο (Μ). Διαφορετικά δεν μπορεί να γίνει η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς  Το 0, όταν βρίσκεται στη θέση του αφαιρετέου (Α), είναι ουδέτερο στοιχείο. Δηλαδή α – 0 = α  Αν αφαιρέσουμε από ένα φυσικό αριθμό τον εαυτό του, τότε έχουμε αποτέλεσμα 0 α – α = 0 Πολλαπλασιασμός – Ιδιότητες πολλαπλασιασμού  Στον πολλαπλασιασμό α ∙ β = γ, οι αριθμοί α και β λέγονται παράγοντες και ο αριθμός γ λέγεται γινόμενο.  Ουδέτερο Στοιχείο: α ∙ 1 = α ή 1 ∙ α = α  α ∙ 0 = 0 ή 0 ∙ α = 0  Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α  Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙ γ) = (α ∙ β) ∙ γ Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν φυσικό αριθμό με το 10, 100, 1000 κ.ο.κ αρκεί να προσθέσουμε στο τέλος του αριθμού αντίστοιχα ένα 0, δυο 0, τρία 0 κ.ο.κ δηλαδή όσα μηδενικά έχει ο παράγοντας 10, 100, 1000 κ.ο.κ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 4 1.3 Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δύναμη ενός αριθμού α στην ν, ονομάζουμε το γινόμενο α∙α∙α……∙α (ν φορές) και συμβολίζουμε αν Το α ονομάζεται βάση της δύναμης, ενώ το ν εκθέτης. Ουσιαστικά ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον εαυτό της.  α2 : α στην δευτέρα ή α στο τετράγωνο  α3 : α στην τρίτη ή α στον κύβο  α1 = α  1v = 1 Τις δυνάμεις του 10, δηλαδή το 10v , τις υπολογίζουμε ως εξής. Γράφουμε το 1 και συμπληρώνουμε v μηδενικά. Για παράδειγμα 104 = 10000 Προτεραιότητα Πράξεων Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (+ , - , ∙ , ÷). Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα 1) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν) 2) Δυνάμεις αριθμών 3) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις 4) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις 1.4 Ευκλείδεια Διαίρεση – Διαιρετότητα Τύπος: Δ = δ ∙ π + υ, όπου Δ: Διαιρετέος (ο αριθμός τον οποίο διαιρούμε) δ: διαιρέτης (ο αριθμός με τον οποίο διαιρούμε) π: πηλίκο (το αποτέλεσμα της διαίρεσης/πόσες φορές χωράρει ο διαρέτης στον Διαιρετέο) υ: υπόλοιπο  Ο διαιρέτης μια διαίρεσης δεν μπορεί να είναι 0  Το υπόλοιπο είναι ΠΑΝΤΑ μικρότερο του διαιρέτη (υ<δ) o δ ≠ 0 o α : α = 1 o α : 1 = α o 0 : α = 0 Αν το υπόλοιπο την διαίρεσης είναι 0, τότε η διαίρεση ονομάζεται τέλεια διαίρεση. Ισχύει δηλαδή ότι Δ = δ ∙ π 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 5 1.5 Χαρακτήρες Διαιρετότητας – ΕΚΠ και ΜΚΔ – Ανάλυση Αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού ονομάζουμε τους αριθμούς που προκύπτουν όταν πολλαπλασιάσουμε αυτόν το αριθμό με όλους τους φυσικούς. Δηλαδή για έναν φυσικό αριθμό α, τα πολλαπλάσιά του είναι 0, α, 2∙α, 3∙α, 4∙α, …………… Πχ πολλαπλάσια του 2 είναι 0,2,4,6,8,10,12,…… Όταν λέμε ότι ένας αριθμός α διαιρεί τον β, εννοούμε ότι η διαίρεση τους είναι τέλεια δηλαδή υ=0 Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δυο ή περισσοτέρων αριθμών (ΕΚΠ), ονομάζεται το μικρότερο από τα κοινά τους πολλαπλάσια. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δυο ή περισσοτέρων αριθμών (ΜΚΔ), ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες τους Ένας αριθμός που έχει διαιρέτες ΜΟΝΟ τον εαυτό του και το 1, λέγεται πρώτος Διαφορετικά λέγεται σύνθετος Δυο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους, όταν ο ΜΚΔ(α,β)=1 Εύρεση ΕΚΠ και ΜΚΔ με τη βοήθεια της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Για να βρούμε το ΕΚΠ και ΜΚΔ δυο ή περισσοτέρων αριθμών, αναλύουμε αρχικά τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Στη συνέχεια:  Για το ΕΚΠ παίρνουμε το γινόμενο από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη.  Για το ΜΚΔ παίρνουμε το γινόμενο από τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 6 2.1 Η έννοια του κλάσματος Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο από ομοειδή αντικείμενα, χωριστεί σε ν ίσα μέρη, τότε καθένα από αυτά ονομάζεται «ένα νιοστό» και συμβολίζεται με 1 𝜈 . Κάθε αριθμός αυτής της μορφής λέγεται κλάσμα ή κλασματική μονάδα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής λέγονται όροι του κλάσματος. Σε ΚΑΘΕ κλάσμα ο παρονομαστής ΔΕΝ πρέπει να είναι 0. Το κλάσμα εκφράζει την διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή, δηλαδή 𝜅 𝜈 = κ : ν Από το τελευταίο προκύπτουν τα ακόλουθα:  Κάθε φυσικός αριθμός α γράφεται ως κλάσμα, με αριθμητή το α και παρονομαστή τη μονάδα (1), δηλαδή α 1 = α  Όταν οι όροι του κλάσματος είναι ίσοι, τότε το κλάσμα ισούται με τη μονάδα: o α α = 1  Όταν ο αριθμητής του κλάσματος είναι το μηδέν (0), τότε όλο το κλάσμα είναι ίσο με το μηδέν: o 0 𝛼 = 0 Σύγκριση ενός κλάσματος με την μονάδα Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος, είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1 Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο από το 1 Το 1 𝜈 ενός αριθμού Για να βρούμε το 1 𝜈 ενός αριθμού α, πολλαπλασιάζουμε το 1 𝜈 με το α ή αλλιώς διαιρούμε το α με το ν. Δηλαδή το 1 𝜈 του α ισούται με: 𝟏 𝝂 ∙ α = 𝛂 𝛎 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 7 2.2 Ισοδύναμα Κλάσματα Δυο κλάσματα 𝛼 𝛽 και 𝛾 𝛿 λέγονται ισοδύναμα ή ίσα, όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών. Γράφουμε τότε 𝛼 𝛽 = 𝛾 𝛿 Αν δυο κλάσματα 𝛼 𝛽 και 𝛾 𝛿 είναι ίσα, τότε τα «χιαστί γινόμενά» τους α∙δ και β∙γ είναι ίσα. Δηλαδή: Αν 𝛼 𝛽 = 𝛾 𝛿 τότε α∙δ= β∙γ Αν σε ένα κλάσμα, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα, Δηλαδή: Απλοποίηση ενός κλάσματος ονομάζεται η μετατροπή του σε ισοδύναμο με όσο το δυνατόν μικρότερους όρους. Η απλοποίηση ενός κλάσματος 𝛼 𝛽 γίνεται ως εξής: Βρίσκουμε τον ΜΚΔ (α,β) Διαιρούμε με τον ΜΚΔ (α,β) τον αριθμητή (α) και τον παρονομαστή (β) Ένα κλάσμα 𝛼 𝛽 λέγεται ανάγωγο, όταν δεν μπορεί να απλοποιηθεί άλλο. Σε ένα ανάγωγο κλάσμα 𝛼 𝛽 ισχύει ότι ΜΚΔ (α,β) = 1 Ομώνυμα και Ετερώνυμα Κλάσματα Όταν δυο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, λέγονται ομώνυμα, ενώ όταν έχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα. Για να μετατρέψουμε δυο ή περισσότερα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα, εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών Πολλαπλασιάζουμε τους όρους (αριθμητή και παρονομαστή) με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε όλοι οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το παραπάνω ΕΚΠ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 8 2.3 Σύγκριση Κλασμάτων  Αν δυο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή (ομώνυμα), μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μεγαλύτερο αριθμητή  Αν δυο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή  Αν δεν έχουν κανένα όρο τους ίσο, τότε τα κάνουμε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε 2.4 Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων  Για να προσθέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα, αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή και προσθέτουμε τους αριθμητές τους. α β + γ β = α+γ β  Για να αφαιρέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα, αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή και αφαιρούμε τους αριθμητές τους. α β - γ β = α−γ β Αν δεν είναι ομώνυμα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και ακολουθούμε την αντίστοιχη διαδικασία.  Όταν έχουμε πρόσθεση ενός φυσικού αριθμού με κλάσμα μικρότερο της μονάδας, παραλείπουμε το + και γράφουμε: Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται μεικτοί. 2.5 Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων Το γινόμενο δυο κλασμάτων είναι το κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρανομαστή το γινόμενο των παρανομαστων. Το γινόμενο ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, είναι το κλάσμα με αριθμητή, το γινόμενο του αριθμητή με τον φυσικό αριθμό και παρονομαστή τον ίδιο 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 9 Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού στα κλάσματα, δηλαδή 2.6 Διαίρεση Κλασμάτων Για να διαιρέσουμε δυο φυσικούς αριθμούς, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή: Για να διαιρέσουμε δυο κλάσματα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή: Ένα κλάσμα του οποίου ένας όρος τουλάχιστον είναι κλάσμα, λέγεται σύνθετο. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 10 3.1 Δεκαδικά Κλάσματα – Δεκαδικοί Αριθμοί – Διάταξη Δεκαδικών Αριθμών - Στρογγυλοποίηση  Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από το ακέραιο μέρος και το δεκαδικό μέρος, τα οποία χωρίζονται με μια υποδιαστολή.  Στο ακέραιο μέρος, όπως και στους φυσικούς αριθμούς, οι τάξεις των ψηφίων είναι μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κτλ.  Στο δεκαδικό μέρος οι τάξεις των ψηφίων είναι δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά, δεκάκις χιλιοστά, εκατοντάκις χιλιοστά, εκατομμυριοστά, κτλ.  Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού δεν αλλάζει αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού μέρους του. Δεκαδικά Κλάσματα λέγονται τα κλάσματα που έχουν στον παρονομαστή τους μια δύναμη του 10. 5 10 , 32 100 , 58 1000 Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε δεκαδικούς αριθμούς Μπορούμε να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό ως εξής: Γράφουμε μόνο τον αριθμητή και χωρίζουμε με υποδιαστολή τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής. Αν τα ψηφία του αριθμητή δεν φτάνουν, συμπληρώνουμε όσα μηδενικά χρειαζόμαστε αριστερά του αριθμητή. 5 10 = 0,5 32 100 = 0,32 58 1000 = 0,058 Για την αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή για να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα, γράφουμε ένα κλάσμα που έχει αριθμητή τον αριθμό αυτό χωρίς την υποδιαστολή και παρονομαστή το 1 ακολουθούμενο από τόσα μηδενικά όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία του δεκαδικού αριθμού. 0,4 = 4 10 0,03 = 3 100 0,503 = 503 1000 Σύγκριση Δεκαδικών Αριθμών Για να συγκρίνουμε δυο δεκαδικούς αριθμούς, ξεκινάμε κοιτώντας τα ακέραια μέρη τους:  Αν είναι διαφορετικά, τότε μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει μεγαλύτερο ακέραιο μέρος.  Αν είναι ίσα, τότε συγκρίνουμε τα δεκαδικά μέρη των δυο αριθμών ως εξής: τα συμπληρώνουμε με μηδενικά, ώστε να έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων και στην συνέχεις τα συγκρίνουμε όπως τους φυσικούς αριθμούς. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 11 Στρογγυλοποίηση Δεκαδικών Αριθμών Η στρογγυλοποίηση δεκαδικών αριθμών είναι ίδια με αυτή των φυσικών αριθμών. Εντοπίζουμε δηλαδή την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση και εξετάζουμε το μικρότερης τάξης ψηφίο (το αμέσως επόμενο δεξιά).  Αν αυτό είναι μικρότερο του 5, αφήνουμε τα ψηφία του αριθμού όπως είναι μέχρι και εκείνο που θα γίνει η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε με μηδενικά όλα τα επόμενα  Αν αυτό είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5, αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο που σημειώσαμε για στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε με μηδενικά όλα τα επόμενα ψηφία του. Δεκαδικοί αριθμοί όπως το 0,6666………, στους οποίους τα δεκαδικά ψηφία είναι άπειρα και επαναλαμβάνονται, ονομάζονται περιοδικοί αριθμοί και δεν μπορούν να γραφούν ως δεκαδικά κλάσματα. Μπορούν όμως να γραφούν ως κλάσματα με κάποιον άλλο παρονομαστή. Για παράδειγμα 2 3 = 0,6666….. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 12 4.1 Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις α + x = β, α – x = β, αx=β, α:x=β, x:α=β Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα (που είναι ο άγνωστος). Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός που όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει τη δοσμένη ισότητα. Η διαδικασία μέσω της οποίας βρίσκουμε τη λύση μιας εξίσωσης λέγεται επίλυση της εξίσωσης. Μια εξίσωση λέγεται αόριστη ή ταυτότητα, όταν όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις της. Μια εξίσωση λέγεται αδύνατη, όταν κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει. Μορφή Εξίσωσης Λύση Εξίσωσης x + α = β x = β – α x – α = β x = β + α α – x = β x = α – β α ∙ x = β x = β : α x : α = β x = α ∙ β α : x = β x = α : β 5.1 Ποσοστά  Το σύμβολο α% ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή πιο απλά ποσοστό και ισχύει ότι: α% = α 100  Το ποσοστό α% του β είναι α 100 ∙ β  Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά Μετατροπή ποσοστού % σε δεκαδικό αριθμό και αντίστροφα Για να μετατρέψουμε ένα ποσοστό % σε δεκαδικό: 1. Γράφουμε το ποσοστό % ως κλάσμα με παρονομαστή το 100 2. Γράφουμε το κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό (μεταφέρουμε στον αριθμητή την υποδιαστολή δυο θέσεις αριστερά) Για να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε ποσοστό % τον γράφουμε ως κλάσμα με παρονομαστή το 100 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 13 Μετατροπή κλάσματος σε ποσοστό Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα σε ποσοστό % χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους: 1ος Τρόπος: Μετατρέπουμε το κλάσμα σε ισοδύναμο με παρονομαστή το 100, πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο φυσικό αριθμό τους όρους του κλάσματος. 2ος Τρόπος: Γράφουμε το κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό (κάνοντας διαίρεση) και στη συνέχεια μετατρέπουμε τον δεκαδικό σε ποσοστό % 5.2 Προβλήματα με ποσοστά Έκπτωση = α 100 ∙ (Αρχική Τιμή) Τελική Τιμή = (Αρχική Τιμή) – (Έκπτωση) Φόρος Προστιθέμενης Αξίας ( Φ.Π.Α.) είναι ένας γενικός φόρος που επιβάλλεται σχεδόν σε όλα τα προϊόντα και τις παρεχόμενες υπηρεσίες. Φ.Π.Α. = α 100 ∙ (Αρχική Τιμή) Τόκος (Τ) λέγεται το κέρδος που έχει κάποιος όταν αποταμιεύει σε κάποια τράπεζα ή όταν δανείζει τα χρήματά του. Ο τόκος των 100€ για ένα έτος λέγεται επιτόκιο (Ε). Για παράδειγμα, επιτόκιο 3% σημαίνει ότι για κάθε 100€ που καταθέτουμε στην τράπεζα, παίρνουμε στο τέλος του χρόνου 3€ επιπλέον. Συνολικά, δηλαδή, στο τέλος του χρόνου θα πάρουμε 100 + 3 = 103€ Ο τόκος δηλαδή είναι 3€ Ο τόκος Τ που μας δίνει ένα κεφάλαιο Κ, όταν αυτό τοκιστεί για ένα χρόνο με επιτόκιο Ε%, είναι: Τ = Κ ∙ Ε 100 Ο τόκος Τ που μας δίνει ένα κεφάλαιο Κ, όταν αυτό τοκιστεί για X μήνες (X<12) με επιτόκιο Ε%, είναι: Τ = Χ 12 ∙ Ε 100 ∙ Κ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 14 7.1 Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί (Ρητοί Αριθμοί) Τα σύμβολα «+» (συν) και «-» (πλην) λέγονται πρόσημα και χωρίζουν τους αριθμούς σε θετικούς και αρνητικούς αντίστοιχα. Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός και δεν έχει πρόσημο. Στους θετικούς, το πρόσημο μπορούμε να το παραλείψουμε. Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο Φυσικοί αριθμοί είναι οι : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………… Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους: ………, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..... Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας αριθμοί έως τώρα, δηλαδή οι φυσικοί, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους. 7.2 Απόλυτη τιμή Ρητού αριθμού – Αντίθετοι Ρητοί – Σύγκριση ρητών Ορισμός: Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α είναι η απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την αρχή του άξονα, δηλαδή από το 0. Συμβολίζεται με |𝛼| Πχ |+2| = 2 |-4| = 4 |0| = 0 Δυο αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι, όταν είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. Ο αντίθετος του x είναι ο –x.  Μεγαλύτερος ρητός, είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα.  Όλοι οι θετικοί ρητοί είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και τους αρνητικούς.  Μεγαλύτερος από δυο θετικούς ρητούς, είναι αυτός με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.  Μεγαλύτερος από δυο αρνητικούς ρητούς, είναι αυτός με την μικρότερη απόλυτη τιμή. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 15 7.3 Πρόσθεση Ρητών Αριθμών Για να προσθέσουμε δυο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο. Για να προσθέσουμε δυο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από την μεγαλύτερη και στην διαφορά τους βάζουμε το πρόσημο του ρητού που έχει τη μεγαλύτερη τιμή. Ιδιότητες της Πρόσθεσης  Αντιμεταθετική Ιδιότητα α + β = β + α  Προσεταιριστική Ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ  Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = 0 + α = α  Άθροισμα Αντίθετων α + (-α) = (-α) + α = 0 7.3 Αφαίρεση Ρητών Αριθμών Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β. Δηλαδή: α – β = α + (-β) Απαλοιφή Παρενθέσεων Σε ορισμένες αριθμητικές παραστάσεις εμφανίζονται παρενθέσεις, οι οποίες περιέχουν έναν ή και περισσότερους αριθμούς με τα πρόσημά τους. Μπροστά από τις παρενθέσεις αυτές μπορεί να υπάρχουν τα πρόσημα «+» ή «-». Για να τις απαλείψουμε, εργαζόμαστε ως εξής: Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «+» (ή δεν έχει πρόσημο), τότε βγάζουμε την παρένθεση, μαζί με το «+» (αν έχει), και γράφουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους όπως είναι. Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «-», τότε βγάζουμε την παρένθεση και γράφουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 16 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 16 Παράδειγμα: 𝛢 = +(−5) – (−3) + (+6) – (−14) = −5 + 3 + 6 + 14 = −2 + 20 = 18 7.5 Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών Το γινόμενο δυο ομόσημων (2 θετικοί ή 2 αρνητικοί) ρητών αριθμών, είναι πάντα θετικός αριθμός. + ∙ + = + και - ∙ - = + Το γινόμενο δυο ετερόσημων ρητών αριθμών, είναι πάντα αρνητικός αριθμός. + ∙ - = - ή - ∙ + = - Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού  Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α  Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙γ) = (α ∙ β) ∙ γ  Ουδέτερο Στοιχείο: 1 ∙ α = α ∙ 1 = α  Γινόμενο με το 0: 0 ∙ α = α ∙ 0 = 0  Επιμεριστική Ιδιότητα: α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ Αντίστροφοι Αριθμοί Δυο ρητοί αριθμοί α και β, διάφοροι του μηδενός, λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή όταν ισχύει: α ∙ β = 1  Ο καθένας από τους α και β είναι αντίστροφος του άλλου  Ο αντίστροφος του κ είναι ο 1 κ  Ο αντίστροφος του κ λ είναι ο 𝜆 κ  Δύο αντίστροφοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 17 Γινόμενο πολλών παραγόντων Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων (που είναι διάφοροι του μηδενός), πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε:  Το πρόσημο «+» αν το πλήθος αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο.  Το πρόσημο «-» αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό.  Αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν (0), τότε και το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν 7.6 Διαίρεση Ρητών Αριθμών  Για να διαιρέσουμε δυο ομόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «+» + : + = + και - : - = +  Για να διαιρέσουμε δυο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «-» + : - = - και - : + = - Θυμάμαι: Προτεραιότητα Πράξεων Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς. Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα 5) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν) 6) Δυνάμεις αριθμών 7) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις 8) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις 7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών Όταν σε έναν δεκαδικό αριθμό, ένα μέρος των δεκαδικών του ψηφίων επαναλαμβάνεται, ο αριθμός αυτός ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και το τμήμα των επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος. Κάθε ρητός αριθμός, λοιπόν, μπορεί να γραφεί με την μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού Πχ. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 18 1.1Σημείο – Ευθύγραμμο Τμήμα Ευθεία – Ημιευθεία Επίπεδο – Ημιεπίπεδο Η Γεωμετρία στηρίζεται σε τρεις βασικές έννοιες. Την έννοια του σημείου, της ευθείας και του επιπέδου. Για αυτές τις έννοιες δεν μπορούμε να δώσουμε ορισμό. Η κατανόηση τους προκύπτει από την εμπειρία. Σημείο Το σημείο δεν έχει διαστάσεις (μήκος, πλάτος, εμβαδό). Ένα σημείο μπορούμε να το παραστήσουμε με μια τελεία και το συμβολίζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα πχ Α, Β, Γ, Μ, κτλ. Ευθύγραμμο τμήμα Για να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, αρκεί να ενώσουμε με μια γραμμή δυο σημεία. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει άκρα τα σημεία Α και Β, τα οποία λέμε ότι το ορίζουν. Ευθεία Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα προς και τα δυο του άκρα, το σχήμα που προκύπτει ονομάζεται ευθεία. Η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή, ούτε τέλος. Μια ευθεία τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα (πχ ε, ζ, …), είτε με δύο μικρά γράμματα (πχ χ’χ, ψ’ψ, …) είτε με τα γράμματα δυο σημείων της ευθείας.  Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες  Από δυο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία Ημιευθεία Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα προς το ένα άκρο του μόνο, τότε το σχήμα που προκύπτει ονομάζεται ημιευθεία. Η ημιευθεία έχει αρχή αλλά δεν έχει τέλος. Δύο ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, ονομάζονται αντικείμενες ημιευθείες. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 19 Επίπεδο Η επιφάνεια του καθρέφτη, το πάτωμα του δωματίου μας δίνουν την έννοια του επιπέδου. Συμβολίζουμε το επίπεδο με ένα κεφαλαίο γράμμα πχ Π, Ρ, Σ, κτλ. Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα. Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται μόνο ένα επίπεδο. Ημιεπίπεδο Κάθε ευθεία ενός επιπέδου, το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα Π1 και Π2. Πλευρές ενός πολυγώνου είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν δύο διαδοχικές κορυφές. Διαγώνιες ενός πολυγώνου είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν δυο μη διαδοχικές κορυφές. Πλευρά ΓΔ Διαγώνιος ΒΔ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 20 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 20 1.2 Γωνία – Γραμμή – Επίπεδα Σχήματα – Ευθύγραμμα Σχήματα – Ίσα Σχήματα Σχεδιάζουμε δυο ημιευθείες Ox και Οy, με κοινή αρχή Ο. Το μέρος του επιπέδου Π1 ονομάζεται κυρτή γωνία, ενώ το Π2 μη κυρτή γωνία. Το σημείο Ο ονομάζεται κορυφή της γωνίας, ενώ οι ημιευθείες Ox και Oy ονομάζονται πλευρές της γωνίας. Μια γωνία μπορούμε να την ονομάζουμε: Α) με ένα μικρό γράμμα (πχ φ, ω, ψ, ….) Β) με το γράμμα της κορυφής (πχ Α, Β, Μ, ….) Γ) με τρία γράμματα, όπως στο παράδειγμα της φωτογραφίας xOy ή yOx (!!!Το γράμμα της κορυφής να βρίσκεται στην μέση!!!) Τεθλασμένη γραμμή – Ευθύγραμμο σχήμα  Τεθλασμένη γραμμή είναι μια γραμμή που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.  Ευθύγραμμο σχήμα ονομάζεται κάθε τεθλασμένη γραμμή της οποίας τα άκρα συμπίπτουν. Μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κυρτή όταν η προέκταση κάθε πλευράς αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στο ίδιο επίπεδο. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 21 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 21 Αν η προέκταση μιας τουλάχιστον πλευράς της τεθλασμένης γραμμής αφήνει ορισμένες πλευρές στο ένα ημιεπίπεδο και ορισμένες στο άλλο, τότε η τεθλασμένη γραμμή λέγεται μη κυρτή. 1.3 Μονάδες μέτρησης μήκους – Απόσταση Σημείων – Μέσο ευθύγραμμου τμήματος Χιλιόμετρο Km Μέτρο m Δεκατόμετρο (δέκατο) dm Εκατοστόμετρο (εκατοστό) cm Χιλιοστόμετρο (χιλιοστό) mm Απόσταση δυο σημείων ονομάζουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία αυτά. Μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, ονομάζουμε το σημείο Μ που απέχει το ίδιο από τα άκρα του τμήματος (δηλαδή βρίσκεται στη μέση του.) X1000 X10 X10 X10 :1000 :10 :10 :10 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 22 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 22 1.4 Πρόσθεση και Αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων  Για να προσθέσουμε δύο ή περισσότερα ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε διαδοχικά πάνω σε μία ευθεία. Το τμήμα που ορίζεται από την αρχή του πρώτου και το τέλος του τελευταίου, είναι το άθροισμά τους.  Για να αφαιρέσουμε δύο ή περισσότερα ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε με κοινή αρχή πάνω σε μια ημιευθεία. Το τμήμα που ορίζεται από το τέλος του μικρότερου και το τέλος του μεγαλύτερου, είναι η διαφορά τους. Μήκος τεθλασμένης γραμμής Μια τεθλασμένη γραμμή, έχει μήκος ίσο με το άθροισμα των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων από τα οποία αποτελείται. Περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών του σχήματος. 1.5 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών – Διχοτόμος γωνίας Μονάδα μέτρησης γωνιών Η μονάδα μέτρησης της γωνίας είναι η μοίρα η οποία συμβολίζεται 1ο . Η μία μοίρα (1ο ) έχει 60 πρώτα λεπτά (60’) και το 1 πρώτο λεπτό έχει 60 δεύτερα λεπτά (60’’) 1ο = 60’ και 1’ = 60’’  Κάθε γωνία έχει μοναδικό μέτρο.  Αν δυο γωνίες έχουν ίδιο μέτρο, είναι ίσες.  Με xOy συμβολίζουμε εκτός από την γωνία και το μέτρο της. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες, είναι ίσες. Διχοτόμος μιας γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 23 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 23 1.6 Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες Ορθή γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 90ο Οι πλευρές μια ορθής γωνίας είναι κάθετες ημιευθείες. Μια ορθή γωνία τη σημειώνουμε με το σύμβολο L . Οξεία γωνία λέγεται η γωνία ω που είναι μικρότερη από την ορθή, έχει δηλαδή μέτρο μικρότερη από 90ο 0ο < ω < 90ο Αμβλεία γωνία λέγεται η γωνία ω που έχει μέτρο μεγαλύτερο από 90ο και μικρότερο από 180ο . 90ο < ω < 180ο Ευθεία γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 180ο . Οι πλευρές της ευθείας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες. Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία ω που έχει μέτρο μεγαλύτερο των 180ο και μικρότερο των 360ο . 180ο < ω < 360ο Μηδενική γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 0ο . Οι πλευρές της μηδενικής γωνίας ταυτίζονται (συμπίπτουν). 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 24 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 24 Πλήρης γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 360ο . Οι πλευρές της πλήρους γωνίας ταυτίζονται, όμως η μια πλευρά της ουσιαστικά έχει κάνει μια πλήρης περιστροφή γύρω από την κορυφή της. Δυο ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες, όταν οι γωνίες που σχηματίζουν είναι ορθές (90ο) και συμβολίζουμε ε1 ε2. 1.7 Εφεξής και Διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών Εφεξής γωνίες Δυο γωνίες λέγονται εφεξής, όταν:  Έχουν την ίδια κορυφή  Έχουν μια κοινή πλευρά  Δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο Διαδοχικές γωνίες Τρεις ή περισσότερες γωνίες λέγονται διαδοχικές, όταν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμία από αυτές, είναι εφεξής με την επόμενη ή την προηγούμενη. Άθροισμα και Διαφορά γωνιών Άθροισμα γωνιών Για να προσθέσουμε δυο γωνίες φ και ω, πρέπει να τις κάνουμε πρώτα εφεξής. Η γωνία που σχηματίζεται από τις μη κοινές πλευρές, είναι το άθροισμα τους. Διαφορά γωνιών Για να αφαιρέσουμε δυο γωνίες φ και ω, τις τοποθετούμε έτσι ώστε να έχουν κοινή κορυφή, μια κοινή πλευρά έτσι ώστε να είναι η μία γωνία «μέσα» στην άλλη. Η γωνία που σχηματίζεται από τις μη κοινές πλευρές τους, είναι η διαφορά τους. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 25 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 25 1.8 Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Δυο γωνίες φ και ω λέγονται παραπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα 180ο . φ + ω = 180ο Σε δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες, οι μη κοινές πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. Δυο γωνίες φ και ω λέγονται συμπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα 90ο . φ + ω = 90ο Σε δυο εφεξής και συμπληρωματικές γωνίες, οι μη κοινές πλευρές τους είναι κάθετες ημιευθείες. Δυο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν, όταν  Έχουν κοινή κορυφή.  Οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. Δυο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 1.9 Θέσεις ευθειών στο επίπεδο Παράλληλες ευθείες Δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου θα λέγονται παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν. Δυο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 συμβολίζονται ε1//ε2 . Τεμνόμενες ευθείες Δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου θα λέγονται τεμνόμενες όταν έχουν μόνο ένα κοινό σημείο Το κοινό τους αυτό σημείο ονομάζεται σημείο τομής των ευθειών. Σύμφωνα με τα παραπάνω, δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου, θα είναι τεμνόμενες ή παράλληλες. Θα έχουν δηλαδή ένα μόνο ή κανένα κοινό σημείο. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 26 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 26 Ορισμός 1 Δυο ευθείες ενός επιπέδου, που είναι κάθετες σε μια άλλη ευθεία του ίδιου επιπέδου, είναι μεταξύ τους παράλληλες. Ορισμός 2 (Ευκλείδειο Αίτημα) Από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από μια ευθεία ε, μπορούμε να φέρουμε μία μόνο ευθεία που να είναι παράλληλη στην ε. 1.10 Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση Παραλλήλων Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση σημείου από ευθεία, ονομάζουμε το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει το σημείο με την ευθεία.  Το σημείο Α0 ονομάζεται ίχνος της κάθετης από το σημείο Α.  Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑ0 , που έχει δηλαδή άκρα το σημείο Α και το ίχνος του, είναι το μικρότερο τμήμα που ενώνει την ευθεία με το σημείο Α. Απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών Απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών, ονομάζουμε το μήκος οποιουδήποτε κάθετου ευθυγράμμου τμήματος ενώνει τις ευθείες και έχει τα άκρα του σε αυτές. Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση παραλλήλων ευθειών 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 27 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 27 1.11 Κύκλος και στοιχεία του κύκλου Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο.  Η απόσταση αυτή λέγεται ακτίνα του κύκλου και συμβολίζεται με ρ.  Το σημείο Ο λέγεται κέντρο του κύκλου.  Ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ, συμβολίζεται (Ο,ρ).  Δυο κύκλοι με ίσες ακτίνες, είναι ίσοι. Χορδή κύκλου Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δυο σημεία ενός κύκλου, λέγεται χορδή του κύκλου. Διάμετρος κύκλου Μια χορδή ενός κύκλου που περνάει από το κέντρο του, ονομάζεται διάμετρος του κύκλου. Σε κάθε κύκλο ισχύουν τα εξής: Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου. Η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας του κύκλου (δ=2ρ). Ένας κύκλος έχει άπειρες διαμέτρους. Τα άκρα μιας διαμέτρου, ονομάζονται αντιδιαμετρικά σημεία. Το μέσο μιας διαμέτρου, είναι το κέντρο του κύκλου. Ημικύκλιο – Τόξο  Μια διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δυο ίσα μέρη. Καθένα από αυτά ονομάζεται ημικύκλιο.  Δυο σημεία Α και Β ενός κύκλου τον χωρίζουν σε δυο μέρη. Καθένα από αυτά ονομάζεται τόξο με άκρα τα Α και Β, δηλαδή τόξο ΑΒ. Για να ξεχωρίζουμε τα δυο αυτά τόξα ενός κύκλου, χρησιμοποιούμε ένα ενδιάμεσο σημείο πχ τόξο ΑΓΒ. Ομόκεντροι κύκλοι Δυο ή περισσότεροι κύκλοι με ίδιο κέντρο και διαφορετικές ακτίνες, λέγονται ομόκεντροι. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 28 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 28 Κυκλικός δίσκος Κυκλικός δίσκος (Ο,ρ) είναι ο κύκλος (Ο,ρ) μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Όλα τα σημεία του κυκλικού δίσκου, απέχουν από το κέντρο του Ο, απόσταση ίση ή μικρότερη της ακτίνας. 1.13 Θέσεις ευθείας και κύκλου Μια ευθεία και ένας κύκλος μπορεί να έχουν: Κανένα κοινό σημείο Στην περίπτωση αυτή, η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου θα είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα, δηλαδή: d > ρ Η ευθεία αυτή, που δεν τέμνει τον κύκλο, λέγεται εξωτερική του κύκλου. (Με d θα συμβολίζουμε την απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου) Ένα κοινό σημείο Στην περίπτωση αυτή η ευθεία θα λέγεται εφαπτομένη του κύκλου και το κοινό τους σημείο θα λέγεται σημείο επαφής. Η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου θα είναι ίση με την ακτίνα, δηλαδή: d = ρ Δυο κοινά σημεία Στην περίπτωση αυτή η ευθεία λέγεται τέμνουσα του κύκλου. Η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου είναι μικρότερη της ακτίνας, δηλαδή: d < ρ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 29 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 29 1.12 Επίκεντρη γωνία Κατασκευάζουμε έναν κύκλο (𝛰, 𝜌). Μια γωνία 𝒙𝑶̂ 𝒚 λέγεται επίκεντρη, αν η κορυφή της συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου Αν οι πλευρές της τέμνουν το κύκλο στα σημεία Α και Β, τότε το τόξο 𝛢𝛤̂ 𝛣 που βρίσκεται στο εσωτερικό της κυρτής γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας 𝑥𝑂̂ 𝑦. Ως μέτρο ενός τόξο ορίζουμε το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δύο ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα τόξα και το αντίστροφο. 2.1 Συμμετρία ως προς άξονα Συμμετρικό σημείο ως προς ευθεία Συμμετρικό σημείου Α προς ευθεία ε είναι το σημείο Α’ με το οποίο συμπίπτει το Α, αν διπλώσουμε το φύλλο κατά μήκος της ευθείας ε. Κάθε σημείο μιας ευθείας ε είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς την ευθεία ε. Συμμετρικά σχήματα ως προς ευθεία Δυο σχήματα (Σ1) και (Σ2) λέγονται συμμετρικά ως προς μια ευθεία ε, όταν καθένα αποτελείται από τα συμμετρικά σημεία του άλλου ως προς την ευθεία ε. Τα συμμετρικά ως προς ευθεία σχήματα, είναι ίσα., 2.2 Άξονας συμμετρίας Άξονας συμμετρίας ενός σχήματος ονομάζεται μια ευθεία που χωρίζει το σχήμα σε δυο μέρη, τα οποία συμπίπτουν όταν το σχήμα διπλωθεί κατά μήκος της ευθείας ε. Όταν ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας, το συμμετρικό του ως προς άξονα συμμετρίας είναι το ίδιο το σχήμα. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 30 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 30 2.3 Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα και διέρχεται από το μέσο του. Ιδιότητες μεσοκαθέτου 1. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. 2. Κάθε σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος, βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος αυτού. 3. Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ο άξονας συμμετρίας του. 2.4 Συμμετρία ως προς σημείο Συμμετρικό σημείου Κ ως προς το κέντρο Ο, είναι το σημείο Κ’, με το οποίο συμπίπτει το Κ αν περιστραφεί γύρω από το Ο κατά 180ο .  Δυο σημεία Κ και Κ’ είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν το Ο είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΚΚ’.  Το συμμετρικό του σημείου Ο ως προς το σημείο Ο, είναι το ίδιο το σημείο Ο. 2.5 Κέντρο συμμετρίας Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος ονομάζεται ένα σημείο Ο, γύρω από το οποίο αν το σχήμα περιστραφεί κατά 180ο , τότε συμπίπτει με το αρχικό. Αν ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας, τότε το συμμετρικό του σχήματος ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι το ίδιο σχήμα. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 31 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 31 2.6 Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Έστω ε1 και ε2 δυο παράλληλες ευθείες, οι οποίες τέμνονται από την ευθεία δ. Για τις γωνίες που σχηματίζουν αυτές οι ευθείες, έχουμε τους εξής χαρακτηρισμούς:  Οι γωνίες που βρίσκονται εντός των παραλλήλων, χαρακτηρίζονται «εντός».  Οι γωνίες που βρίσκονται εκτός των παραλλήλων, χαρακτηρίζονται «εκτός».  Αν οι γωνίες βρίσκονται από την ίδια μεριά της τέμνουσας χαρακτηρίζονται ως «επί τα αυτά».  Αν οι γωνίες βρίσκονται από διαφορετικές μεριές της τέμνουσας, χαρακτηρίζονται ως «εναλλάξ». Παραδείγματα: a. Οι γωνίες Α3 και Β2 είναι εντός των παραλλήλων και επί τα αυτά της τέμνουσας. b. Οι γωνίες Β3 και Α1 είναι εκτός των παραλλήλων και εναλλάξ της τέμνουσας. c. Οι γωνίες Α2 και Β1 είναι εντός-εκτός των παραλλήλων και εναλλάξ της τέμνουσας. Σχέσεις μεταξύ των γωνιών  Όλες οι οξείες γωνίες, είναι μεταξύ τους ίσες.  Όλες οι αμβλείες γωνίες, είναι μεταξύ τους ίσες.  Μια οξεία και μια αμβλεία γωνία, είναι μεταξύ τους παραπληρωματικές (έχουν άθροισμα 180ο ). Ίσες γωνίες Εντός εναλλάξ Εκτός εναλλάξ Εντός-εκτός και επί τα αυτά Παραπληρωματικές γωνίες Εντός και επί τα αυτά Εκτός και επί τα αυτά Εντός-εκτός εναλλάξ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 32 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 32 3.1 Στοιχεία Τριγώνου – Είδη Τριγώνου 1) Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Τα τρίγωνα χωρίζονται σε χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Α) Με κριτήριο τις γωνίες τους Β) Με κριτήριο της πλευρές τους Α) Με κριτήριο τις γωνίες τους, τα τρίγωνα χωρίζονται σε: Β) Με κριτήριο τις πλευρές τους, τα τρίγωνα χωρίζονται σε: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 33 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 33 2) Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος. Διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Ύψος είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με την ευθεία της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μια κορυφή, διχοτομεί την αντίστοιχη γωνία και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Οι τρείς διάμεσοι του τριγώνου περνάνε όλες από το ίδιο σημείο Θ, που ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου. Τα τρία ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο Η, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο του τριγώνου. Οι τρεις διχοτόμοι περνάνε από το ίδιο σημείο Ι, το οποίο ονομάζεται έκκεντρο του τριγώνου. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 34 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 34 3.2 Άθροισμα γωνιών τριγώνου – Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο . Δηλαδή σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: 𝐴̂ + 𝛣̂ + 𝛤̂ = 180ο Εξωτερική γωνία τριγώνου Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ σχεδιάζουμε την προέκταση Γx της πλευράς ΒΓ προς το μέρος του Γ. Η γωνία 𝛢𝛤𝑥̂ = 𝜑̂ ονομάζεται εξωτερική γωνία της 𝛤̂. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με την εξωτερική της τρίτης γωνίας. Δηλαδή στο διπλανό σχήμα ισχύει: 𝐴̂ + 𝛣̂ = 𝜑̂ Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές. Δηλαδή αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, με =90ο , τότε ισχύει: 𝛣̂ + 𝛤̂ = 90ο Ιδιότητες ισοσκελούς και ισόπλευρου τριγώνου Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Ένα τρίγωνο λέγεται ισοσκελές, όταν έχει δυο πλευρές ίσες μεταξύ τους. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ότι:  Η ευθεία της διαμέσου που αντιστοιχεί στη βάση του ισοσκελούς είναι άξονας συμμετρίας του.  Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ύψος και διχοτόμος.  Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς είναι ίσες μεταξύ τους. Ιδιότητες ισόπλευρου τριγώνου Ένα τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο, όταν και οι τρεις πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει ότι:  Οι ευθείες των διαμέσων είναι άξονες συμμετρίας του ισόπλευρου τριγώνου.  Κάθε διάμεσος του ισόπλευρου τριγώνου είναι επίσης ύψος και διχοτόμος.  Όλες οι γωνίες του ισοπλεύρου είναι ίσες μεταξύ τους και ίσες με 60ο . 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 35 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 35 3.3 Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος – Τετράγωνο – Τραπέζιο – Ισοσκελές τραπέζιο Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.  Κάθε πλευρά του παραλληλογράμμου μπορεί να θεωρηθεί ως βάση του.  Ύψος ενός παραλληλογράμμου λέγεται η απόσταση μιας βάσης του από την απέναντι πλευρά. Στο διπλανό σχήμα ισχύουν: 1. ΑΔ//ΒΓ και ΑΒ//ΔΓ 2. ΕΖ και ΗΘ είναι ύψη Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμων Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο λέγεται ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές. Οι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι και ύψη του ορθογωνίου. Ρόμβος λέγεται ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες μεταξύ τους. Τετράγωνο λέγεται ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες. Το τετράγωνο είναι ορθογώνιο (αφού έχει όλες τις γωνίες ορθές) και ρόμβος (αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες). Τραπέζιο λέγεται ένα τετράπλευρο με μόνο δυο παράλληλες πλευρές.  Οι δυο παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίου ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου.  Η απόσταση των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ΑΒ//ΔΓ , όπου ΑΒ και ΔΓ οι βάσεις του τραπεζίου Αν ένα τραπέζιο έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες, τότε λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ΑΔ = ΒΓ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 36 of 106
B’ Γυμνασίου Μαθηματικά Θεωρία Αντωνάτος Γιώργος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ email: antonatos.geo@gmail.com 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 37 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 1 7.1 Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί (Ρητοί Αριθμοί) Τα σύμβολα «+» (συν) και «-» (πλην) λέγονται πρόσημα και χωρίζουν τους αριθμούς σε θετικούς και αρνητικούς αντίστοιχα. Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός και δεν έχει πρόσημο. Στους θετικούς, το πρόσημο μπορούμε να το παραλείψουμε. Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο Φυσικοί αριθμοί είναι οι : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………… Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους: ………, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..... Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας αριθμοί έως τώρα, δηλαδή οι φυσικοί, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους. 7.2 Απόλυτη τιμή Ρητού αριθμού – Αντίθετοι Ρητοί – Σύγκριση ρητών Ορισμός: Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α είναι η απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την αρχή του άξονα, δηλαδή από το 0. Συμβολίζεται με |𝛼| Πχ |+2| = 2 |-4| = 4 |0| = 0 Δυο αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι, όταν είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. Ο αντίθετος του x είναι ο –x. Μεγαλύτερος ρητός, είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα. Όλοι οι θετικοί ρητοί είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και τους αρνητικούς. Μεγαλύτερος από δυο θετικούς ρητούς, είναι αυτός με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Μεγαλύτερος από δυο αρνητικούς ρητούς, είναι αυτός με την μικρότερη απόλυτη τιμή. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 38 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2 Αν ο αριθμός x είναι θετικός, τότε είναι μεγαλύτερος του 0 και γράφουμε: X > 0 ή 0 < X Αν ο αριθμός x είναι αρνητικός, τότε είναι μικρότερος του 0 και γράφουμε: X < 0 ή 0 > X 7.3 Πρόσθεση Ρητών Αριθμών Για να προσθέσουμε δυο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο. Για να προσθέσουμε δυο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από την μεγαλύτερη και στην διαφορά τους βάζουμε το πρόσημου του ρητού που έχει τη μεγαλύτερη τιμή. Ιδιότητες της Πρόσθεσης  Αντιμεταθετική Ιδιότητα α + β = β + α  Προσεταιριστική Ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ  Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = 0 + α = α  Άθροισμα Αντίθετων α + (-α) = (-α) + α = 0 7.3 Αφαίρεση Ρητών Αριθμών Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β. Δηλαδή: α – β = α + (-β) 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 39 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3 Απαλοιφή Παρενθέσεων Σε ορισμένες αριθμητικές παραστάσεις εμφανίζονται παρενθέσεις, οι οποίες περιέχουν έναν ή και περισσότερους αριθμούς με τα πρόσημά τους. Μπροστά από τις παρενθέσεις αυτές μπορεί να υπάρχουν τα πρόσημα «+» ή «-». Για να τις απαλείψουμε, εργαζόμαστε ως εξής: Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «+» (ή δεν έχει πρόσημο), τότε βγάζουμε την παρένθεση, μαζί με το «+» (αν έχει), και γράφουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους όπως είναι. Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «-», τότε βγάζουμε την παρένθεση και γράφουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα. Παράδειγμα: 𝛢 = +(−5) – (−3) + (+6) – (−14) = −5 + 3 + 6 + 14 = −2 + 20 = 18 7.5 Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών Το γινόμενο δυο ομόσημων (2 θετικοί ή 2 αρνητικοί) ρητών αριθμών, είναι πάντα θετικός αριθμός. + ∙ + = + και - ∙ - = + Το γινόμενο δυο ετερόσημων ρητών αριθμών, είναι πάντα αρνητικός αριθμός. + ∙ - = - ή - ∙ + = - Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού  Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α  Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙γ) = (α ∙ β) ∙ γ  Ουδέτερο Στοιχείο: 1 ∙ α = α ∙ 1 = α  Γινόμενο με το 0: 0 ∙ α = α ∙ 0 = 0  Επιμεριστική Ιδιότητα: α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 40 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 4 Αντίστροφοι Αριθμοί Δυο ρητοί αριθμοί α και β, διάφοροι του μηδενός, λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή όταν ισχύει: α ∙ β = 1  Ο καθένας από τους α και β είναι αντίστροφος του άλλου  Ο αντίστροφος του κ είναι ο 1 κ  Ο αντίστροφος του κ λ είναι ο 𝜆 κ  Δύο αντίστροφοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο Γινόμενο πολλών παραγόντων Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων (που είναι διάφοροι του μηδενός), πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε:  Το πρόσημο «+» αν το πλήθος αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο.  Το πρόσημο «-» αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό.  Αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν (0), τότε και το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν 7.6 Διαίρεση Ρητών Αριθμών  Για να διαιρέσουμε δυο ομόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «+» + : + = + και - : - = +  Για να διαιρέσουμε δυο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «-» + : - = - και - : + = - Θυμάμαι: Προτεραιότητα Πράξεων Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς. Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα 1) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν) 2) Δυνάμεις αριθμών 3) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις 4) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 41 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 5 7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών Όταν σε έναν δεκαδικό αριθμό, ένα μέρος των δεκαδικών του ψηφίων επαναλαμβάνεται, ο αριθμός αυτός ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και το τμήμα των επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος. Κάθε ρητός αριθμός, λοιπόν, μπορεί να γραφεί με την μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού Πχ. 7.8-7.9 Δυνάμεις αριθμών Θυμάμαι: Δύναμη ενός αριθμού α στην ν, ονομάζουμε το γινόμενο α∙α∙α……∙α (ν φορές) και συμβολίζουμε αν Το α ονομάζεται βάση της δύναμης, ενώ το ν εκθέτης. Ουσιαστικά ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον εαυτό της.  α2 : α στην δευτέρα ή α στο τετράγωνο  α3 : α στην τρίτη ή α στον κύβο  α1 = α  1v = 1 Τις δυνάμεις του 10, δηλαδή το 10v , τις υπολογίζουμε ως εξής. Γράφουμε το 1 και συμπληρώνουμε v μηδενικά. Για παράδειγμα 104 = 10000  Με εκθέτη φυσικό Αν 1. α>0 τότε αν >0 2. α<0 και ν άρτιος, τότε αν >0 πχ (−2)2 = +4 (γιατί το «2» είναι άρτιος) 3. α<0 και ν περιττός, τότε αν <0 πχ (−2)3 = −8 (γιατί το «3» είναι περιττός)  Με εκθέτη ακέραιο 1. α-ν = ( 1 𝜶 𝝂 ) = ( 1 𝛼 ) 𝜈 2. ( 𝛼 𝛽 ) −𝜈 = ( 𝛽 𝛼 ) 𝜈 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 42 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 6 Ιδιότητες Δυνάμεων 7.10 Τυποποιημένη μορφή μικρών και μεγάλων δεκαδικών αριθμών Όπως οι μεγάλοι αριθμοί, έτσι και οι πολύ μικροί μπορούν να γραφούν σε τυποποιημένη μορφή α ∙ 10ν , όπου α είναι ένας δεκαδικός αριθμός με ακέραιο μέρος μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και μικρότερο του 10 και ω φυσικό αριθμό. Δηλαδή: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 43 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 7 1.1 Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές Παραστάσεις Αλγεβρική παράσταση λέγεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές, δηλαδή γράμματα που παριστάνουν έναν οποιοδήποτε αριθμό. Θυμίζουμε την Επιμεριστική Ιδιότητα: α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ Παραδείγματα: 3∙ (5+x) = 3 ∙ 5 + 3 ∙ x = 15 + 3x -2∙(x – y – 6) = - 2x + 2y + 12  Ισχύουν οι κανόνες απαλοιφής των παρενθέσεων που αναφέραμε στο προηγούμενο κεφάλαιο!! Όροι αλγεβρικής παράστασης – Αναγωγή όμοιων όρων  Οι προσθετέοι μιας αλγεβρικής παράστασης, λέγονται όροι της παράστασης.  Όσοι όροι περιέχουν την ίδια μεταβλητή, λέγονται όμοιοι  Μπορούμε να γράψουμε σε απλούστερη μορφή μια αλγεβρική παράσταση, συγκεντρώνοντας τους όμοιους όρους, κάνοντας δηλαδή αναγωγή ομοίων όρων. Στην διαδικασία αυτή χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα, η οποία μπορεί να γραφεί και στην μορφή: β ∙ α + γ ∙ α = (β + γ) ∙ α Πολλαπλασιασμοί της μορφής (α + β) ∙ (γ + δ) Με την βοήθεια της επιμεριστικής μπορούμε να κάνουμε τον παραπάνω υπολογισμό. Πιο σύντομα μπορούμε να θυμόμαστε ότι πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό της πρώτης παρένθεσης με κάθε αριθμό της δεύτερης παρένθεσης, δηλαδή: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 44 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 8 1.2 Εξισώσεις α’ βαθμού Μια ισότητα δυο παραστάσεων που περιέχουν αριθμούς και μια μεταβλητή (για παράδειγμα x) ονομάζεται εξίσωση με έναν άγνωστο τον αριθμό x. Έτσι λοιπόν η ισότητα 3x – 7 = x + 5 είναι μια εξίσωση. Η παράσταση 3x – 7 λέγεται πρώτο μέλος και η παράσταση x + 5 λέγεται δεύτερο μέλος. Η διαδικασία κατά την οποία βρίσκουμε τον άγνωστο αριθμό x λέγεται επίλυση της εξίσωσης. Ιδιότητες Πράξεων Αν και στα δυο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει πάλι μια ισότητα Αν α=β τότε α + γ = β + γ Αν και στα δυο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει πάλι μια ισότητα Αν α=β τότε α – γ = β – γ Αν και τα δυο μέλη μιας ισότητας τα πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει πάλι μια ισότητα Αν α=β τότε α ∙ γ = β ∙ γ Αν και τα δυο μέλη μιας ισότητας τα διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει πάλι μια ισότητα Αν α=β τότε 𝛼 𝛾 = 𝛽 𝛾  Σε μια εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημό τους.  Αδύνατη εξίσωση είναι κάθε εξίσωση της μορφής 0 ∙ x = α , όπου α≠0  Ταυτότητα ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής 0 ∙ x = 0 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 45 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 9 1.3 Επίλυση Τύπων Πολλές φορές όταν έχουμε έναν τύπο με πολλές μεταβλητές, είναι χρήσιμο να απομονώσουμε στο ένα μέρος μια μεταβλητή. Η διαδικασία αυτή λέγεται επίλυση τύπου ως προς τη μεταβλητή αυτή. 1.4 Επίλυση Προβλημάτων με χρήση εξισώσεων 1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα για να καταλάβουμε ποια είναι τα δεδομένα και ποια τα ζητούμενα. 2. Επιλέγουμε ποιο από τα ζητούμενα θα συμβολίσουμε με τον άγνωστο x. 3. Εκφράζουμε με την βοήθεια του x τα υπόλοιπα ζητούμενα που πιθανόν να υπάρχουν. 4. Μετατρέπουμε τις εκφράσεις του προβλήματος σε μαθηματικές σχέσεις. 5. Σχηματίζουμε μια εξίσωση την οποία κα λύνουμε. 6. Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Αν δεν τις ικανοποιεί, την απορρίπτουμε. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 46 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 10 2.1Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθμού  Τετραγωνική Ρίζα ή ρίζα ενός θετικού αριθμού α λέγεται ο θετικός αριθμός ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με √α  Επειδή 02 = 0, ορίζουμε √0 = 0  Προκύπτει επομένως ότι αν √α = x , όπου α ≥ 0 ,τότε x ≥ 0 και x2 = α  Αν α ≥ 0 ,τότε (√α)2 = α Επίσης ισχύει ότι (-5)2 = 25. Ωστόσο είναι λάθος να γράψουμε √25 = -5 , διότι -5 < 0. Η √25 ισούται με τον θετικό αριθμό που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, το αποτέλεσμα είναι 25. Μερικές χρήσιμες τετραγωνικές ρίζες:  √121 = 11  √144 = 12  √169 = 13  √196 = 14  √225 = 15  √256 = 16  √289 = 17  √324 = 18  √361 =19  √400 = 20 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 47 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 11 Ιδιότητα για τις (√α )2 και √α2  Αν α ≥ 0 , τότε (√α )2 = α και √α2 = α  Αν α < 0 , τότε √α2 = -α Γενικά √α2 = |α| και √ 𝛼 2 = 𝛼 Γενικές Ιδιότητες  Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 , τότε ισχύει √α ∙ β = √α ∙ √β  Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 , τότε ισχύει √ α β = √α √β ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν α ,β > 0 τότε √𝛂 + 𝛃 ≠ √ 𝛂 + √𝛃 Οι λύσεις της εξίσωσης x2 = α Αν α > 0 , τότε η εξίσωση x2 = α έχει λύσεις τις: x = √α ή x = - √α  Αν α > 0 , τότε η √α είναι η θετική λύση της εξίσωσης x2 = α  Η εξίσωση x2 = 0 έχει λύση την x = 0  Αν α < 0 , τότε η εξίσωση x2 = α είναι αδύνατη  Σε μια ρίζα, το υπόριζο πρέπει να είναι ΠΑΝΤΑ θετικός αριθμός. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 48 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 12 2.2Άρρητοι Αριθμοί – Πραγματικοί Αριθμοί Άρρητοι Αριθμοί Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί με την μορφή κλάσματος κ ν με κ,ν ακέραιους και ν≠0, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Έτσι λοιπόν τους άρρητους αριθμούς, όπως πχ x = √2, τους οποίους δεν μπορούμε να τους υπολογίσουμε με ακρίβεια, θα τους υπολογίσουμε προσεγγιστικά με κάποιον αριθμό που είναι περίπου ίσος ( συμβολικά ≈ ) Αποδεικνύεται έτσι ότι και οι αριθμοί √3 , √5 , √7 , √8 , √10 , √11 , …….. είναι άρρητοι. Αργότερα θα μάθουμε ότι υπάρχουν και άλλοι άρρητοι αριθμοί που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών, όπως για παράδειγμα ο γνωστός μας από τον κύκλο αριθμός π. Πραγματικοί Αριθμοί 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 49 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 13 Ρητοποίηση Παρονομαστή Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα της μορφής β √α σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε με √ 𝛼 αριθμητή και παρονομαστή. Δηλαδή: Έστω 3 √2 = 3 ∙ √2 √2 ∙ √2 = 3√2 (√2)2 = 3√2 2 3.1Η έννοια της Συνάρτησης Ορισμός της Συνάρτησης Έστω δυο μεταβλητές x και y οι οποίες παίρνουν πραγματικές τιμές. Μια ισότητα που συνδέει τις μεταβλητές x και y έτσι, ώστε κάθε τιμή της μεταβλητής x να αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y ονομάζεται συνάρτηση. Μπορούμε επίσης να λέμε ότι: «η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής x». Τιμές συνάρτησης – Πίνακας τιμών  Όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση που συνδέει δυο μεταβλητές x και y, τότε για μια τιμή του x μπορούμε να βρούμε ποια τιμή παίρνει η μεταβλητή y.  Η αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των μεταβλητών x και y σε μια συνάρτηση παρουσιάζεται καλύτερα με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών. Ο πίνακας τιμών παρουσιάζει συγκεντρωμένα τα ζεύγη των αντίστοιχων τιμών των μεταβλητών x και y. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση y = 7 – 2x a) Ποια η τιμή του y για x=2; b) Για ποια τιμή του x είναι y=9; a) Για x = 2 η τιμή της y είναι: y = 7 – 2 ∙ 2 = 7 – 4 = 3 b) Αν η συνάρτησηy = 7 – 2x βάλουμε στη θέση του y τον αριθμό 9 έχουμε: 9 = 7 – 2x ή 2x = 7 – 9 ή 2x = -2 ή 2x 2 = −2 2 ή x = -1 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 50 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 14 3.2 Καρτεσιανές Συντεταγμένες – Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Σχεδιάζουμε δυο κάθετους άξονες x’x και y’y με κοινή αρχή Ο. Οι δυο άξονες αυτοί αποτελούν ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων ή απλά ένα σύστημα αξόνων. Το σημείο Ο ονομάζεται αρχή των αξόνων. Αν οι μονάδες μέτρησης και στους δυο άξονες είναι ίδιες, τότε λέμε ότι αποτελούν ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Συντεταγμένες σημείου Έστω ένα τυχαίο σημείο Μ σε ένα σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων xOy. Για να προσδιορίσουμε τη θέση του, εργαζόμαστε ως εξής:  Από το Μ φέρνουμε παράλληλη στο άξονα y’y, η οποία τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Κ, που αντιστοιχεί σε έναν αριθμό α του άξονα x’x.  Από το Μ φέρνουμε παράλληλη στο άξονα x’x, η οποία τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Λ, που αντιστοιχεί σε έναν αριθμό β του άξονα y’y. Έτσι σχηματίζεται το ζεύγος αριθμών α και β του σημείου Μ, και συμβολίζουμε με Μ(α,β).  Ο πρώτος αριθμός (το α) λέγεται τετμημένη του σημείου Μ.  Ο δεύτερος αριθμός (το β) λέγεται τεταγμένη του σημείου Μ.  Η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου Μ λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ. Μ (α,β)  Κάθε σημείο του x’x άξονα έχει τεταγμένη 0, δηλαδή είναι της μορφής Κ(α,0).  Κάθε σημείο του y’y άξονα έχει τετμημένη 0, δηλαδή είναι της μορφής Λ(0,β).  Η αρχή των αξόνων έχει συντεταγμένες Ο(0,0). β α τεταγμένη τετμημένη Συντεταγμένες Λ Κ y y’ xx’ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 51 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 15 Τεταρτημόρια  Ένα σύστημα αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε 4 «μέρη», τα οποία λέγονται τεταρτημόρια.  Τα τεταρτημόρια αριθμούνται (1ο ,2ο ,3ο ,4ο ) όπως φαίνεται στο σχήμα.  Στο σχήμα φαίνονται επίσης τα πρόσημα των συντεταγμένων των σημείων ανάλογα με το τεταρτημόριο που βρίσκονται. Παραδείγματα: 1. Το σημείο Α(2,4) έχει θετική τετμημένη και θετική τεταγμένη, άρα βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο. 2. Το σημείο Β(-3,2) έχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη, άρα βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο. 3. Το σημείο Γ(-2,-3) έχει αρνητική τετμημένη και αρνητική τεταγμένη, άρα βρίσκεται στο 3ο τεταρτημόριο. 4. Το σημείο Δ(3,-2) έχει θετική τετμημένη και αρνητική τεταγμένη, άρα βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο. Συμμετρικά σημεία  Δυο σημεία είναι συμμετρικά ως προς άξονα x’x όταν έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Έτσι το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς τον άξονα x’x είναι το Γ(α, -β).  Δυο σημεία είναι συμμετρικά ως προς άξονα y’y όταν έχουν ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες. Έτσι το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς τον άξονα y’y είναι το Β(-α, β).  Δυο σημεία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) όταν έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έτσι το συμμετρικό του Κ(α, β) ως προς την αρχή των αξόνων είναι το Δ(-α, -β). Απόσταση δύο σημείων Έστω σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία σε ένα σύστημα αξόνων. Τότε η απόσταση ΑΒ των δύο σημείων είναι ίση με: ΑΒ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 1ο Τεταρτημόριο ( + , + ) 2ο Τεταρτημόριο ( - , + ) 4ο Τεταρτημόριο ( + , - ) 3ο Τεταρτημόριο ( - , - ) 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 52 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 16 3.3 Η Συνάρτηση y = α ∙ x  Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας με έναν αριθμό τις τιμές του ενός ποσού, τότε πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό και οι τιμές του άλλου ποσού.  Όταν δύο ποσά x και y είναι ανάλογα, τότε ο λόγος 𝑦 𝑥 είναι πάντα σταθερός.  Αν α είναι ο σταθερός λόγος των ποσών x και y, τότε ισχύει: y x = α ή y = α ∙ x  Με την σχέση y = α ∙ x έχουμε εκφράσει το y ως συνάρτηση του x.  Λέμε ότι ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία ή ότι μια ευθεία διέρχεται από ένα σημείο, όταν οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν. Παράδειγμα: Το σημείο Μ(1,3) ανήκει στην ευθεία y = 2x +1 γιατί για x = 1 και y =3 => 3 = 2 ∙ 1 + 1 => 3 = 2 + 1 => 3 = 3 το οποίο ισχύει!!  Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Η ευθεία y = αx βρίσκεται:  Στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο όταν α>0  Στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο όταν α<0  Σε μια ευθεία y = αx ο λόγος y x είναι πάντα σταθερός και ίσος με α. Δηλαδή: y = αx ή y x = α για x ≠ 0 Ο λόγος αυτός, δηλαδή ο αριθμός α, λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 53 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 17 Οι ευθείες y = x και y = -x Η ευθεία y = x είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων. Η ευθεία y = -x είναι η διχοτόμος της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων. Ο άξονας x’x είναι και αυτός μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει εξίσωση: y = 0 ∙ x ή y = 0 3.4Η συνάρτηση y = αx + β  Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, με β ≠ 0, είναι μια ευθεία παράλληλη στην ευθεία y = αx, η οποία διέρχεται από το σημείο του άξονα y’y με τεταγμένη β.  Η ευθεία y = αx + β έχει κλίση ίση με τον αριθμό α.  Μια ευθεία της μορφής y = κ παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x’x που τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο με τεταγμένη κ.  Μια ευθεία της μορφής x = κ παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y’y που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο με τετμημένη κ. y = κ x = κ Δυο ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν ίδια κλίση και αντίστροφα. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 54 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 18 Σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες Η ευθεία y = αx + β, δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων, επόμενως τέμνει τους άξονες x’x και y’y στα εξής σημεία:  Τον x’x στο σημείο με συντεταγμένες A(x,0). Για να το βρω, πηγαίνω στην εξίσωση της ευθείας και βάζω y = 0.  Τον y’y στο σημείο με συντεγμένες Β(0,y) [Πιο συγκεκριμένα στο (0,β)]. Για να το βρω, πηγαίνω στην εξίσωση της ευθείας και βάζω x = 0. 3.5 Η συνάρτηση της μορφής y = 𝛼 𝑥 – Η Υπερβολή Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα αν κάθε φορά που πολλαπλασιάζουμε μια τιμή του ενός ποσού με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται με τον ίδιο αριθμό. Όταν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό. Αν α ≠ 0 είναι σταθερό γινόμενο των ποσών x και y, τότε ισχύει: x ∙ y = α ή y = 𝛂 𝐱 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 55 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 19 4.1 Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα Το ποσοστό α% είναι ένα κλάσμα με αριθμητή α και παρονομαστή 100. Δηλαδή: α% = α 100 1) Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία θέλουμε να μελετήσουμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό λέγεται πληθυσμός και το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε τον πληθυσμό ονομάζεται μεταβλητή. 2) Η διαδικασία με την οποία, μελετώντας έναν πληθυσμό, εξετάζουμε ένα προς ένα όλα τα άτομα του πληθυσμού, λέγεται απογραφή. 3) Πολλές φορές, αντί να μελετήσουμε ολόκληρο τον πληθυσμό, μελετούμε μια μικρή ομάδα αυτού. Η ομάδα αυτή λέγεται δείγμα. Το πλήθος των ατόμων που αποτελούν το δείγμα ονομάζεται μέγεθος του δείγματος. Για να είναι ακριβή τα συμπεράσματα ενός δείγματος, θα πρέπει η επιλογή του να γίνει με σωστό τρόπο, δηλαδή το δείγμα να είναι αντιπροσωπευτικό. 4) Η επιλογή του δείγματος και η μελέτη του, λέγεται δειγματοληψία. 4.2 Γραφικές Παραστάσεις Στατιστική είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με τη συγκέντρωση στοιχείων, την ταξινόμησή τους και την παρουσίαση τους με κατάλληλη μορφή έτσι ώστε να μπορούν να αναλυθούν και να ερμηνευτούν για να εξαγάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα τα οποία μας εξυπηρετούν σε διάφορους σκοπούς. Διαγράμματα λέγονται οι εικόνες που παρουσιάζουν με σύντομο και παραστατικό τρόπο ένα σύνολο αριθμητικών πληροφοριών. Οι πληροφορίες παρουσιάζονται από τα διαγράμματα κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μας βοηθήσουν να αντιληφθούμε σύντομα ένα θέμα χωρίς να μπούμε σε λεπτομέρειες. Βασικές μορφές διαγραμμάτων είναι: - Τα εικονογράμματα - Τα ραβδογράμματα - Τα κυκλικά διαγράμματα - Τα χρονογράμματα Εικονογράμματα είναι τα διαγράμματα όπου οι πληροφορίες δίνονται με την επανάληψη μιας εικόνας που χρησιμοποιείται σαν κλίμακα. Μειονέκτημα τους είναι ότι χρειάζονται αρκετό χρόνο και δεξιοτεχνία για να σχεδιαστούν και κυρίως όταν θέλουμε να παραστήσουμε ένα μέρος της κλίμακας (εικόνας). 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 56 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 20 Χρονογράμματα είναι τα διαγράμματα που χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε την εξέλιξη ενός φαινομένου σε διάφορες χρονικές στιγμές (που συνήθως ισαπέχουν). Ραβδογράμματα είναι τα διαγράμματα που οι πληροφορίες δίνονται με κατακόρυφα (ή οριζόντια) ορθογώνια. Γενικά σχεδιάζονται εύκολα και είναι πιο ακριβή από τα εικονογράμματα. Κυκλικά διαγράμματα είναι τα διαγράμματα που οι πληροφορίες για τα διάφορα μέρη ενός μεγέθους ή ποσού δίνονται με «κομμάτια μιας ολόκληρης πίτας» η οποία συμβολίζει ολόκληρο το μέγεθος. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 57 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 21 4.5 Μέση Τιμή - Διάμεσος Μέσος όρος ή μέση τιμή Για να βρούμε τον μέσο όρο ή μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. Δηλαδή: Μέση τιμή = άθροισμα των παρατηρήσεων πλήθος των παρατηρήσεων Διάμεσος Για να βρούμε τη διάμεσο ν παρατηρήσεων, εργαζόμαστε ως εξής:  Πρώτα διατάσσουμε τις παρατηρήσεις κατά σειρά μεγέθους.  Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι:  Αν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττό, τότε υπάρχει μία «μεσαία» παρατήρηση η οποία θα χωρίζει όλες τις άλλες σε δύο ισοπληθείς ομάδες. Η «μεσαία» αυτή παρατήρηση είναι η διάμεσος των ν παρατηρήσεων.  Αν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι άρτιο, τότε θα υπάρχουν δύο παρατηρήσεις που θα χωρίζουν όλες τις άλλες σε δύο ισοπληθείς ομάδες. Το ημιάθροισμα των δύο αυτών παρατηρήσεων είναι ή διάμεσος των ν παρατηρήσεων. Μέση τιμή από πίνακα κατανομής συχνοτήτων Όταν τα δεδομένα μας παρουσιάζονται σε έναν πίνακα κατανομής συχνοτήτων, για να βρούμε τη μέση τιμή τους, εργαζόμαστε ως εξής:  Πολλαπλασιάζουμε κάθε τιμή με τη συχνότητά της.  Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα που βρήκαμε.  Διαιρούμε το παραπάνω άθροισμα με το άθροισμα των συχνοτήτων. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 58 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 22 1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, ο οποίος εκφράζει την «έκταση» που καταλαμβάνει η επιφάνεια στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών που χρησιμοποιούμε και προκύπτει συγκρίνοντας την επιφάνεια την οποία θέλουμε να μετρήσουμε με την επιφάνεια που επιλέξαμε ως μονάδα μέτρησης. 1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών Έστω ένα τετράγωνο με πλευρά 1m. Το εμβαδόν του τετραγώνου αυτού λέγεται τετραγωνικό μέτρο και συμβολίζουμε 1 m2 . Το τετραγωνικό μέτρο είναι η βασική μονάδα μέτρησης εμβαδού. Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου Τετραγωνικό δεκατόμετρο Τετραγωνικό εκατοστόμετρο Τετραγωνικό χιλιοστόμετρο Πολλαπλάσια του τετραγωνικού μέτρου Τετραγωνικό χιλιόμετρο 1 Km2 = 1.000.000 m2 ή 1 m2 = 1 1.000.000 Km2 Το στρέμμα 1 στρέμμα = 1.000 m2 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 59 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 23 1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Για να συμβολίσουμε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος, μπορούμε να το γράφουμε μέσα σε μια παρένθεση. Για παράδειγμα, το εμβαδόν του τετράπλευρου ΑΒΓΔ συμβολίζεται με (ΑΒΓΔ). Επίπεδο σχήμα Τύπος Εμβαδού Σχήμα Τετράγωνο (με πλευρά α) Ε = α2 Ορθογώνιο (με πλευρές α & β) Ε = α ∙ β Παραλληλόγραμμο (με βάση β και ύψος υ) Ε = β ∙ υ Τρίγωνο (με βάση β μια πλευρά του και ύψος υ το αντίστοιχο στην πλευρά ύψος) Ε = β ·υ 2 Τραπέζιο (με βάσεις Β & β και ύψος υ) Ε = (Β+β)∙υ 2  Η διάμεσος ενός τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα που έχουν ίσα εμβαδά.  Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν ισούται με το μισό του γινομένου των δυο καθέτων πλευρών. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 60 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 24 1.4 Πυθαγόρειο Θεώρημα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας, ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών. Δηλαδή σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90ο ), ισχύει: ΒΓ2 = ΑΓ2 + ΑΒ2 ή α2 = β2 + γ2 Γεωμετρική ερμηνεία του Πυθαγορείου Θεωρήματος Το τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι ορθογώνιο. Εξωτερικά του τριγώνου έχουμε σχεδιάσει τρία τετράγωνα. Ισχύει ότι Ε1 = α2, Ε2 = β2 και Ε3 = γ2. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι: α2 = β2 + γ2 ή Ε1 = Ε2 + Ε3 Αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απένταντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 61 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 25 2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με: Α = 90ο Λέμε ότι:  Η κάθετη πλευρά ΑΓ ονομάζεται «απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Β»  Η κάθετη πλευρά ΑΒ ονομάζεται «προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Β» Επίσης:  Η πλευρά ΑΒ ονομάζεται «απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Γ»  Η πλευρά ΑΓ ονομάζεται «προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Γ» Εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Ονομάζουμε εφαπτομένη της οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, και τη συμβολίζουμε εφω, τον λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά. εφω = απέναντι κάθετη πλευρά προσκείμενη κάθετη πλευρά Άρα στο παραπάνω σχήμα έχουμε: εφΒ = ΑΓ ΑΒ = β γ εφΓ = ΑΒ ΑΓ = γ β Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90ο , οι εφαπτομένες των οξειών γωνιών του Β και Γ είναι αντίστροφοι αριθμοί, δηλαδή: εφΒ ∙ εφΓ = 1 Η κλίση της ευθείας y = αx είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x’x. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 62 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 26 2.2 Ημίτονο και Συνημίτονο οξείας γωνίας Σχέση ημιτόνου-συνημίτονου-εφαπτομένης γωνίας Αν διαιρέσουμε το ημω της γωνίας ω, με το συνω της ω παρατηρούμε ότι: Επομένως προκύπτει ότι:  Γενικά για μια οξεία γωνία ω ισχύει ότι: 0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 63 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 27 2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30ο , 45ο και 60ο Οι υπολογισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκονται στο τετράδιο θεωρίας!! Ύψος και εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου Το ύψος υ και το εμβαδόν Ε ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α δίνονται αντίστοιχα από τους τύπους: υ = α√3 2 και Ε = α2 √3 4 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 64 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 28 3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες Επίκεντρη λέγεται η γωνία της οποίας η κορυφή είναι το κέντρο Ο ενός κύκλου και οι πλευρές της τέμνονται με τον κύκλο. Αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του κύκλου με τις πλευρές της επίκεντρης γωνίας, το τόξο ΑΒ της κυρτής γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας χΟy. Έχουμε συμφωνήσει ότι κάθε επίκεντρη γωνία ίση σε μέτρο με το αντίστοιχο τόξο της. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκύπτει ότι: α. Κάθε κύκλος είναι τόξο που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 360ο η οποία αντιστοιχεί στην πλήρη γωνία. β. Κάθε ημικύκλιο είναι τόξο που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 180ο η οποία αντιστοιχεί στην ευθεία γωνία. γ. Κάθε τεταρτοκύκλιο είναι 90ο και αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 90ο η οποία αντιστοιχεί στην ορθή γωνία (1L ). Εγγεγραμμένη γωνία λέγεται μια γωνία της οποίας η κορυφή είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνονται με τον κύκλο. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. Σχέσεις εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας 1. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία, ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχουν το ίδιο τόξο. 2. Οι εγγεγραμμένες ενός κύκλου που βαίνουν σε ίδιο τόξο ή έχουν ίσα τόξα, είναι ίσες. 3. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο, είναι ορθή. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 65 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 29 3.2 Κανονικά Πολύγωνα Ένα πολύγωνο με 4 κορυφές ονομάζεται τετράπλευρο. Ένα πολύγωνο με ν κορυφές ονομάζεται ν-γωνο. Τα βασικά στοιχεία ενός πολυγώνου είναι οι κορυφές, οι πλευρές, οι διαγώνιοι και οι γωνίες. Στο διπλανό σχήμα για παράδειγμα: Κορυφές: Α, Β, Γ, Δ, Ε Πλευρές: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ Διαγώνιες: ΑΓ, ΑΔ, ΒΕ, ΒΔ, ΓΕ Γωνίες: Α, Β ,Γ, Δ, Ε Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του μεταξύ τους ίσες και όλες τις γωνίες του μεταξύ τους ίσες. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 66 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 30 Αποδεικνύεται ότι όποιος και να είναι ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, υπάρχει πάντα κύκλος ο οποίος διέρχεται από όλες τις κορυφές του. Το πολύγωνο τότε λέγεται εγγεγραμμένο και ο κύκλος περιγεγραμμένος. Η κεντρική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου είναι: ω = 360ο ν Η κανονική γωνία φ ενός κανονικού ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής του γωνίας. φ = 180ο – ω 3.3 Μήκος Κύκλου Το μήκος (ή περίμετρος) ενός κύκλου είναι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που προκύπτει αν «κόψουμε» τον κύκλο σε ένα σημείο του και στη συνέχεια τον «τεντώσουμε». Το μήκος ενός κύκλου συμβολίζεται με L. Ο λόγος του μήκους L ενός κύκλου προς τη διάμετρό του δ, είναι ένας σταθερός αριθμός και συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα π. Δηλαδή σε κάθε κύκλο ισχύει: L δ = π Ο αριθμός π είναι άρρητος, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία. Τα πρώτα 20 δεκαδικά ψηφία του π είναι: π = 3,14159265358979323846 Εμείς θα χρησιμοποιούμε την τιμή π = 3,14. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 67 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 31 Μήκος κύκλου Το μήκος L ενός κύκλου με διάμετρο δ και ακτίνα ρ (δ=2ρ) υπολογίζεται από τη σχέση: 𝐿 = 𝜋𝛿 ή 𝐿 = 2𝜋𝜌 Για τα μήκη (L1, L2), τις ακτίνες (ρ1, ρ2) και τις διαμέτρους (δ1, δ2) δύο κύκλων ισχύει ότι: 𝐿1 𝐿2 = 𝜌1 𝜌2 = 𝛿1 𝛿2 3.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου  Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ είναι ίσο με: 𝛦 = 𝜋𝜌2  Η περιοχή μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων λέγεται κυκλικός δακτύλιος (ή κυκλική στεφάνη).  Ο λόγος των εμβαδών δύο κυκλικών δίσκων ισούται με το τετράγωνο του λόγου των ακτίνων τους. Δηλαδή ισχύει ότι: Ε1 Ε2 = ( ρ1 ρ2 )2 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 68 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 32 4.2 – 4.3 – 4.4 – 4.6 Στερεό Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας Εμβαδόν ολικής επιφάνειας Όγκος Ορθό Πρίσμα Επ = Πβ ∙ υ (όπου Πβ η περίμετρος της βάσης) Εολ = Επ + 2Εβ V = Εβ ∙ υ Κύλινδρος Επ = 2πρ ∙ υ Εολ = 2πρ ∙ υ + 2πρ2 V = πρ2 ∙ υ Κανονική Πυραμίδα Επ = 1 2 Πβ ∙ α (όπου Πβ η περίμετρος της βάσης και α το απόστημα) Εολ = Επ + Εβ V = 1 3 Εβ ∙ υ (Ο τύπος του όγκου ισχύει για οποιαδήποτε πυραμίδα, ακόμη κι αν δεν είναι κανονική) Κώνος Επ = πρλ Εολ = πρλ + πρ2 V = 1 3 πρ2 ∙ υ Σφαίρα - Ε = 4πρ2 V = 4 3 πρ3 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 69 of 106
Γ’ Γυμνασίου Μαθηματικά Θεωρία Αντωνάτος Γιώργος - μαθηματικοσ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ email: antonatos.geo@gmail.com 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 70 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1 1.1 Πράξεις με Πραγματικούς Αριθμούς Ρητοί και Άρρητοι αριθμοί Οι αριθμοί που έχουμε γνωρίσει μέχρι σήμερα είναι οι εξής: Φυσικοί είναι οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, …. Ακέραιοι είναι οι …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …… Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να πάρουν τη μορφή ενός κλάσματος μ ν , όπου μ και ν είναι ακέραιοι αριθμοί με ν ≠ 0. Για παράδειγμα οι αριθμοί 3 5 , −7 4 ,- 8 1 είναι ρητοί. Άρρητοι ονομάζονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δηλαδή δεν μπορούν να πάρουν την μορφή κλάσματος με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί √2 , √5, √11, κτλ. Υπάρχουν επίσης και άρρητοι αριθμοί που δεν εκφράζονται υποχρεωτικά ως ρίζες κάποιου αριθμού, όπως είναι ο αριθμός π ≈ 3,14159….. Πραγματικοί είναι οι αριθμοί που αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Αν οι πραγματικοί αριθμοί τοποθετηθούν πάνω σε μια ευθεία, τότε την «γεμίζουν» πλήρως, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιπροσωπεύει έναν πραγματικό αριθμό. Η ευθεία αυτή ονομάζεται ευθεία ή άξονας των πραγματικών αριθμών. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α ονομάζουμε την απόσταση του σημείου που παριστάνει τον αριθμό α από την αρχή Ο του άξονα των πραγματικών αριθμών.  Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |α|.  Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α είναι πάντα ένας αριθμός θετικός ή μηδέν. Συγκεκριμένα ισχύει ότι: |α| = α, αν α ≥ 0 |α| = - α, αν α < 0 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 71 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2 Πράξεις στους Πραγματικούς Αριθμούς Πρόσθεση πραγματικών αριθμών  Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο.  Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από την μεγαλύτερη και στη διαφορά τους βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Πολλαπλασιασμός πραγματικών αριθμών  Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο « + ». Ισχύουν δηλαδή οι κανόνες: + · + = + και - · - = +  Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο « - ». Ισχύουν δηλαδή οι κανόνες: + · - = - και - · + = -  Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α · 0 = 0 Αφαίρεση πραγματικών αριθμών Δυο αριθμοί λέγονται αντίθετοι, όταν έχουν άθροισμα ίσο με 0 (μηδέν). Δηλαδή, αν α και β είναι δύο αντίθετοι αριθμοί, τότε γράφουμε α + β = 0.  Ο αντίθετος του α είναι ο –α.  Για να κάνουμε την αφαίρεση α – β, προσθέτουμε στον μειωτέο (α) τον αντίθετο του αφαιρετέου (β). Δηλαδή: α – β = α + (-β) 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 72 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3 Διαίρεση πραγματικών αριθμών Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν έχουν γινόμενο 1 (μονάδα). Δηλαδή, αν α και β είναι πραγματικοί αριθμοί, με α, β ≠ 0, αντίστροφοι, τότε γράφουμε α · β = 1 Ο αντίστροφος του α είναι ο 1 α και ο αντίστροφος του 𝛼 β είναι ο 𝛽 α .  Για να κάνουμε διαίρεση α : β, με β≠0, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο (α) με τον αντίστροφο του διαιρέτη (β). Δηλαδή: α : β = α · 1 𝛽  Ένα σύνθετο κλάσμα μετατρέπεται σε απλό, ως εξής: 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 = 𝛼·𝛿 𝛽·𝛾 Αν α · β = 0 τότε α = 0 ή β = 0 Προτεραιότητα Πράξεων Αλγεβρική Παράσταση ονομάζεται μια παράσταση, η οποία εκτός από αριθμούς περιέχει και μεταβλητές (γράμματα). Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα 1) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν) 2) Δυνάμεις αριθμών 3) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις 4) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό ν ≥ 2 συμβολίζεται με αν και είναι ένα γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με α. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 73 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 4 Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x συμβολίζεται με √ 𝒙 και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό x.  Ορίζουμε επίσης ότι √0 = 0  Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο να είναι αρνητικός αριθμός.  Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: √𝑥2 = |x|  Για κάθε x ≥ 0 ισχύει: (√ 𝑥)2 = x Γενικά για δύο μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει √α ∙ β = √α · √β και √ α β = √α √β Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε √𝛂 + 𝛃 ≠ √ 𝛂 + √𝛃 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 74 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5 1.2 Μονώνυμα – Πράξεις με μονώνυμα  Αριθμητική παράσταση ονομάζεται κάθε παράσταση που περιέχει μόνο αριθμούς και πράξεις μεταξύ αυτών.  Αλγεβρική παράσταση ονομάζεται κάθε παράσταση που εκτός από αριθμούς περιέχει και μεταβλητές.  Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές μιας αλγεβρικής παράστασης με αριθμούς, τότε ο αριθμός που θα προκύψει μετά τις πράξεις, λέγεται αριθμητική τιμή ή τιμή της αλγεβρικής παράστασης.  Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της γίνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης (ή της αφαίρεσης) και του πολλαπλασιασμού και επιπλέον οι εκθέτες των μεταβλητών είναι φυσικοί αριθμοί. Μονώνυμο Μια ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ ενός αριθμού και μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών, ονομάζεται μονώνυμο. Ο αριθμητικός παράγοντας ενός μονωνύμου, λέγεται συντελεστής του μονωνύμου. Σε ένα μονώνυμο, το γινόμενο όλων των μεταβλητών του (μαζί με τους εκθέτες τους) λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου.  Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος, ονομάζονται όμοια.  Τα όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα μονώνυμα.  Δύο όμοια μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές λέγονται αντίθετα μονώνυμα.  Ο εκθέτης μιας μεταβλητής ενός μονωνύμου λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς την μεταβλητή αυτή.  Το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών ενός μονωνύμου λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του.  Κάθε αριθμός θεωρείται ότι είναι και αυτός μονώνυμο, το οποίο λέμε σταθερό μονώνυμο. Ειδικότερα ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο.  Ο βαθμός ενός σταθερού και μη μηδενικού μονωνύμου είναι 0. Για παράδειγμα ο αριθμός 3 είναι ένα σταθερό μονώνυμο μηδενικού βαθμού. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει βαθμό. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 75 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6 Πράξεις με μονώνυμα Πρόσθεση (άθροισμα) μονωνύμων Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοιο μονώνυμο, που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Αν δύο μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο. Για παράδειγμα, τα μονώνυμα 2xy2 και 3x3 y έχουν άθροισμα 2xy2 + 3x3 y το οποίο δεν είναι μονώνυμο. Πολλαπλασιασμός (γινόμενο) μονωνύμων Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει:  συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους.  κύριο μέλος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη σε κάθε μεταβλητή το άθροισμα των εκθετών της. Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμα δεν είναι απαραίτητο να είναι όμοια. Στον πολλαπλασιασμό μονωνύμων στηριζόμαστε στην ιδιότητα: xν · xμ = xν+μ Διαίρεση (πηλίκο) μονωνύμων Η διαίρεση δύο μονωνύμων γίνεται με πολλαπλασιασμό του διαιρετέου με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα, δεν είναι απαραίτητο τα μονώνυμα να είναι όμοια. Για την διαίρεση μονωνύμων στηριζόμαστε στην ιδιότητα: 𝑥 𝜈 𝑥 𝜇 = xν-μ Το πηλίκο δυο μονωνύμων, μπορεί να είναι μονώνυμο αλλά μπορεί και να μην είναι μονώνυμο!!! 1.3Πολυώνυμα – Πρόσθεση και Αφαίρεση Πολυωνύμων Πολυώνυμο ονομάζεται κάθε αλγεβρική παράσταση που προκύπτει ως άθροισμα μονωνύμων, τα οποία δεν είναι όμοια μεταξύ τους. Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου.  Διώνυμο, αν έχει 2 όρους,  Τριώνυμο, αν έχει 3 όρους. Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης της μεταβλητής αυτής. Βαθμός πολυωνύμου ως προς περισσότερες μεταβλητές είναι το μεγαλύτερο άθροισμα των εκθετών, των μεταβλητών σε κάθε όρο πολυωνύμου. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 76 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 7  Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ένα πολυώνυμο, το οποίο λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικότερα ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο.  Ο βαθμός ενός σταθερού και μη μηδενικού πολυωνύμου είναι 0. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό.  Όταν ένα πολυώνυμο έχει μια μεταβλητή, για παράδειγμα x, συμβολίζεται εν συντομία P(x) ή Q(x) ή A(x) κλπ.  Όταν έχουμε ένα πολυώνυμο P(x) συνήθως γράφουμε με τέτοια σειρά τους όρους, ώστε ο καθένας από αυτούς να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του.  Την αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου P(x) για x = α την συμβολίζουμε P(α). Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοιοι όροι, δηλαδή όμοια μονώνυμα, μπορούμε να τα αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Κάνουμε δηλαδή αναγωγή όμοιων όρων. Δυο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. Όταν δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) είναι ίσα, σημαίνει ότι οι αντίστοιχοι συντελεστές των όμοιων όρων είναι ίσοι. Άθροισμα και Διαφορά πολυωνύμων 1.4 Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων Μονώνυμο με Πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο στηρίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα: α(β + γ) = αβ + αγ Συνεπώς, για να πολλαπλασιάσουμε ένα μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 77 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 8 Πολυώνυμο με Πολυώνυμο Για τον υπολογισμό του γινομένου πολυωνύμων εφαρμόζουμε την ιδιότητα: (α + β)(γ + δ) = (α + β)·γ + (α + β)·δ = αγ + βγ + αδ + βδ = αγ + αδ + βγ + βδ Συνεπώς, για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου και στη συνέχεια προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. 1.5Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ταυτότητα είναι μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. 1. Να αποδείξετε ότι (𝜶 + 𝜷) 𝟐 = 𝜶 𝟐 + 𝟐𝜶𝜷 + 𝜷 𝟐 (𝛼 + 𝛽)2 = (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽) = 𝛼2 + 𝛼𝛽 + 𝛽𝛼 + 𝛽2 = 𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2 2. Να αποδείξετε ότι (𝜶 − 𝜷) 𝟐 = 𝜶 𝟐 − 𝟐𝜶𝜷 + 𝜷 𝟐 (𝛼 − 𝛽)2 = (𝛼 − 𝛽)(𝛼 − 𝛽) = 𝛼2 − 𝛼𝛽 − 𝛽𝛼 + 𝛽2 = 𝛼2 − 2𝛼𝛽 + 𝛽2 3. Να αποδείξετε ότι (𝜶 + 𝜷) 𝟑 = 𝜶 𝟑 + 𝟑𝜶 𝟐 𝜷 + 𝟑𝜶𝜷 𝟐 + 𝜷 𝟑 (𝛼 + 𝛽)3 = (𝛼 + 𝛽)2(𝛼 + 𝛽) = (𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2)(𝛼 + 𝛽) = 𝛼3 + 𝛼2 𝛽 + 2𝛼2 𝛽 + 2𝛼𝛽2 + 𝛼𝛽2 + 𝛽3 = 𝛼3 + 3𝛼2 𝛽 + 3𝛼𝛽2 + 𝛽3 4. Να αποδείξετε ότι (𝜶 − 𝜷) 𝟑 = 𝜶 𝟑 − 𝟑𝜶 𝟐 𝜷 + 𝟑𝜶𝜷 𝟐 − 𝜷 𝟑 (𝛼 − 𝛽)3 = (𝛼 − 𝛽)2(𝛼 − 𝛽) = (𝛼2 − 2𝛼𝛽 + 𝛽2)(𝛼 − 𝛽) = 𝛼3 − 𝛼2 𝛽 − 2𝛼2 𝛽 + 2𝛼𝛽2 + 𝛼𝛽2 − 𝛽3 = 𝛼3 − 3𝛼2 𝛽 + 3𝛼𝛽2 − 𝛽3 5. Να αποδείξετε ότι (𝜶 − 𝜷)(𝜶 + 𝜷) = 𝜶 𝟐 − 𝜷 𝟐 (𝛼 − 𝛽)(𝛼 + 𝛽) = 𝛼2 + 𝛼𝛽 − 𝛽𝛼 − 𝛽2 = 𝛼2 − 𝛽2 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 78 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 9 1.6Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Παραγοντοποίηση ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία, μια αλγεβρική παράσταση που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Όταν μια παράσταση δεν επιδέχεται άλλη παραγοντοποίηση, θα λέμε ότι έχει αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Όταν μας ζητούν να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση, τότε θα πρέπει να την αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, δηλαδή να την φέρουμε σε μορφή που δεν επιδέχεται άλλη παραγοντοποίηση. Οι βασικές μέθοδοι παραγοντοποίησης είναι: α) Κοινός παράγοντας β) Ομαδοποίηση γ) Διαφορά τετραγώνων δ) Ανάπτυγμα τετραγώνου ε) Τριώνυμο στ) Διαφορά ή άθροισμα κύβων α) Κοινός Παράγοντας Όταν όλοι οι όροι μιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε αυτή μετατρέπεται σε γινόμενο με την χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας αβ + αγ = α(β + γ) ή αβ – αγ = α(β – γ) β) Κοινός παράγοντας κατά ομάδες - Ομαδοποίηση Όταν οι όροι μιας παράστασης, δεν έχουν όλοι κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουμε σε ομάδες φροντίζοντας ώστε:  Κάθε ομάδα που δημιουργούμε να έχει κοινό παράγοντα.  Οι παραστάσεις που μένουν στις παρενθέσεις μετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα κάθε ομάδας, να είναι ίδιες. ή 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 79 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 10 γ) Διαφορά τετραγώνων Όταν μια παράσταση είναι ή μπορεί να γραφεί ως διαφορά δύο τετραγώνων, τότε αυτή μετατρέπεται σε γινόμενο (παραγοντοποιείται) σύμφωνα με την ταυτότητα: α2 – β2 = (α + β)(α – β) παράδειγμα 𝑥2 − 64 = 𝑥2 – 82 = (𝑥 + 8)(𝑥 – 8) δ) Ανάπτυγμα τετραγώνου Όταν μια παράσταση έχει 3 όρους, θα ελέγχουμε μήπως είναι ανάπτυγμα τετραγώνου, οπότε και θα παραγοντοποιούμε σύμφωνα με τις ταυτότητες: α2 + 2αβ + β2 = (α + β)2 και α2 - 2αβ + β2 = (α - β)2 παράδειγμα 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 𝑥2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 32 = (𝑥 − 3)2 ε) Παραγοντοποίηση τριωνύμου Η παραγοντοποίηση ενός τριωνύμου της μορφής x2 + (α +β)x + αβ γίνεται σύμφωνα με τον τύπο: x2 + (α +β)x + αβ = (x + α)(x + β) Η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστεί μόνο αν ο συντελεστής του x2 είναι 1, δηλαδή όταν έχουμε ένα τριώνυμο της μορφής x2 + λx + μ. Συγκεκριμένα ψάχνουμε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα α + β = λ και γινόμενο αβ = μ. Παράδειγμα 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 80 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 11 1.8Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. αριθμών Για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) και τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσοτέρων αριθμών, τους αναλύουμε αρχικά σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Στη συνέχεια: Το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με τον μεγαλύτερο εκθέτη Ο Μ.Κ.Δ. είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων με το μικρότερο εκθέτη. Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. μονωνύμων  Το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων μονωνύμων, είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή το Ε.Κ.Π. των συντελεστών των μονωνύμων. Κύριο μέρος το γινόμενο των κοινών και μη κοινών μεταβλητών με το μεγαλύτερο εκθέτη.  Ο Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσοτέρων μονωνύμων, είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή τον Μ.Κ.Δ. των συντελεστών των μονωνύμων. Κύριο μέρος το γινόμενο των κοινών μεταβλητών με το μικρότερο εκθέτη. Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. πολυωνύμων Για να βρούμε το Ε.Κ.Π. ή τον Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσοτέρων πολυωνύμων, πρέπει αρχικά κάθε πολυώνυμο να το αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, δηλαδή να το παραγοντοποιήσουμε. Στη συνέχεια:  Το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο εκθέτη.  Ο Μ.Κ.Δ. είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων με το μικρότερο εκθέτη. 1.9 Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις Ορισμός Ρητής Αλγεβρικής Παράστασης Μια αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα, του οποίου οι όροι είναι πολυώνυμα, λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς αλγεβρική παράσταση. Κάθε κλάσμα για να ορίζεται πρέπει να έχει παρονομαστή διάφορο του μηδενός. Έτσι σε μια ρητή παράσταση, οι μεταβλητές δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή. Απλοποίηση ρητών παραστάσεων Αν σε ένα κλάσμα και οι δύο όροι του (αριθμητής και παρονομαστής) είναι γινόμενα, τα οποία έχουν ένα κοινό παράγοντα, τότε ο παράγοντας αυτός μπορεί να απλοποιηθεί. Έτσι για να απλοποιήσουμε μια ρητή παράσταση, εργαζόμαστε ως εξής: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 81 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 12 α) Παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της. β) Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες των όρων της. ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν κάνουμε απλοποίηση εάν δεν είναι οι όροι του κλάσματος γινόμενα Σε μια κλασματική παράσταση παίρνουμε τους περιορισμούς πριν κάνουμε οποιαδήποτε απλοποίηση. Οι περιορισμοί ισχύουν και για την απλοποιημένη μορφή της κλασματικής παράστασης. 1.10 Πράξεις Ρητών παραστάσεων Πολλαπλασιασμός Ρητών Παραστάσεων  Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ρητές παραστάσεις, χρησιμοποιούμε τον κανόνα:  Για να πολλαπλασιάσουμε μια ακέραια με μια ρητή παράσταση, χρησιμοποιούμε τον κανόνα: Διαίρεση Ρητών παραστάσεων  Για να διαιρέσουμε δύο ρητές παραστάσεις, χρησιμοποιούμε τον κανόνα: Δηλαδή αντιστρέφουμε τον διαιρέτη και κάνουμε πολλαπλασιασμό. Σύνθετα κλάσματα Για να μετατρέψουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό, χρησιμοποιούμε τον εξής κανόνα: Τον ίδιο κανόνα χρησιμοποιούμε όταν οι όροι του κλάσματος είναι ρητές παραστάσεις!! 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 82 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 13 Πρόσθεση – Αφαίρεση ρητών παραστάσεων Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν ίδιους παρονομαστές Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες: Τους ίδιους κανόνες χρησιμοποιούμε και για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ρητές παραστάσεις που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Αν όμως οι ρητές αριθμητικές παραστάσεις αποτελούνται από ετερώνυμα κλάσματα, τότε τις μετατρέπουμε σε ομώνυμες όπως ακριβώς και στα κλάσματα. Παράδειγμα Θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 83 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 14 2.2 Εξισώσεις 2ου Βαθμού Εξίσωση 2ου βαθμού με έναν άγνωστο ή πιο απλά δευτεροβάθμια εξίσωση λέμε κάθε εξίσωση της μορφής: αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0 Σε κάθε εξίσωση της μορφής αυτής:  οι αριθμοί α, β και γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης.  ο αριθμός γ λέγεται και σταθερός όρος της εξίσωσης. Α) Επίλυση με ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων  Εξίσωση της μορφής αx2 + βx = 0 , με α ≠ 0 Για να λύσουμε τις εξισώσεις αυτής της μορφής, βγάζουμε κοινό παράγοντα το x και στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα: Αν α · β = 0, τότε α=0 ή β=0  Εξίσωση της μορφής αx2 + γ = 0 , με α ≠ 0 1ος Τρόπος Αν το 1ο μέλος μπορεί να γραφεί ως διαφορά τετραγώνων, τότε το παραγοντοποιούμε και στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα: Αν α · β = 0, τότε α=0 ή β=0 2ος Τρόπος Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή x2 = λ  Αν λ > 0, τότε η εξίσωση x2 = λ έχει δύο λύσεις, τις x = √𝛌 και x = - √𝛌  Αν λ = 0, τότε η εξίσωση γίνεται x2 = 0 και έχει όπως λέμε διπλή λύση, την x = 0  Αν λ < 0, τότε η εξίσωση x2 = λ είναι αδύνατη. (Αυτό συμβαίνει γιατί το x2 είναι πάντα θετικός αριθμός ή μηδέν, οπότε δεν μπορεί να ισούται με αρνητικό αριθμό). παραδείγματα 𝑥2 = 9 𝑥 = √9 ή 𝑥 = −√9 𝑥 = 3 ή 𝑥 = −3 𝑥2 = 0 𝑥 = 0 𝑥2 = −16 Αδύνατη 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 84 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 15  Εξίσωση της μορφής αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0 1η περίπτωση: Ανάπτυγμα τετραγώνου Αν σε μια εξίσωση της μορφής αx2 + βx + γ = 0, το 1ο μέλος είναι ανάπτυγμα τετραγώνου, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή: (λx + μ)2 = 0 από την οποία προκύπτει: λx + μ = 0 Η λύση που βρίσκουμε τελικά είναι διπλή Παράδειγμα (𝑥 + 1)2 = 0 𝑥 + 1 = 0 𝑥 = −1 2η περίπτωση: Παραγοντοποίηση Τριωνύμου Για να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0, αναζητούμε δύο αριθμούς με γινόμενο γ και άθροισμα β. Παράδειγμα 𝑥2 – 3𝑥 – 10 = 0 Ψάχνουμε δύο αριθμούς με γινόμενο −10 και άθροισμα −3. Οι αριθμοί αυτοί είναι ο −5 και ο +2. Άρα ισχύει: 𝑥2 – 3𝑥 – 10 = (𝑥 – 5)(𝑥 + 2) και επομένως η εξίσωση διαδοχικά γίνεται: 𝑥2 – 3𝑥 – 10 = 0 (𝑥 – 5)(𝑥 + 2) = 0 (𝑥 – 5) = 0 ή (𝑥 + 2) = 0 𝒙 = 𝟓 ή 𝒙 = −𝟐 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 85 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 16 Β) Επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού με τη βοήθεια τύπου Για να επιλύσουμε οποιαδήποτε εξίσωση 2ου βαθμού με γενική μορφή: αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0 χρησιμοποιούμε την παράσταση με τύπο Δ = β2 – 4αγ Η παράσταση αυτή ονομάζεται διακρίνουσα της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 και συμβολίζεται με Δ. Υπολογίζονται λοιπόν την διακρίνουσα Δ, διακρίνουμε 3 περιπτώσεις: 1η περίπτωση: Δ > 0 Λέμε τότε ότι η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις, τις X1,2 = −β ± √Δ 2α 2η περίπτωση: Δ = 0 Λέμε τότε ότι η εξίσωση έχει μια διπλή λύση, την X0 = −β 2α 3η περίπτωση: Δ < 0 Λέμε τότε ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Συνοπτικά Εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 ,με α ≠ 0 Δ = β2 – 4αγ Πλήθος λύσεων Λύσεις Δ > 0 2 άνισες λύσεις X1,2 = −β ± √Δ 2α Δ = 0 1 διπλή λύση X0 = −β 2α Δ < 0 Δεν έχει λύσεις --- 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 86 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 17 Παραγοντοποίηση τριωνύμου με χρήση της διακρίνουσας Για την παραγοντοποίση ενός τριωνύμου αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: 1) Αν Δ > 0 , τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις x1 και x2 και το τριώνυμο γίνεται ως εξής: αx2 + βx + γ = α(x – x1)(x – x2) 2) Αν Δ = 0, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή λύση x0 και το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής: αx2 + βx + γ = α(x – x0)2 3) Αν Δ < 0 , τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις και το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται. 2.3 Προβλήματα εξισώσεων 2ου βαθμού Για να επιλύσουμε ένα πρόβλημα με την βοήθεια εξισώσεων εργαζόμαστε ως εξής: 1. Επιλέγουμε ποιο από τα ζητούμενα θα συμβολίσουμε με x 2. Εκφράζουμε όλα τα ζητούμενα (αν υπάρχουν) με τη βοήθεια του x 3. Μετατρέπουμε τις εκφράσεις του προβλήματος σε μαθηματικές σχέσεις και σχηματίζουμε μια εξίσωση με άγνωστο τον x. 4. Λύνουμε την εξίσωση αυτή. 5. Εξετάζουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν το πρόβλημα. Αν κάποια λύση δεν ικανοποιεί το πρόβλημα, την απορρίπτουμε. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 87 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 18 2.5 Ανισότητες – Ανισώσεις με έναν άγνωστο Ιδιότητες της διάταξης Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά Αν α > β, τότε { 𝜶 + 𝜸 > 𝜷 + 𝜸 𝜅𝛼𝜄 𝜶 − 𝜸 > 𝜷 − 𝜸 Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά Αν α > β και γ > 0, τότε: α · γ > β · γ και 𝜶 𝜸 > 𝜷 𝜸 Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με αντίθετη φορά Αν α > β και γ < 0, τότε: α · γ < β · γ και 𝜶 𝜸 < 𝜷 𝜸 Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά Αν α > β και γ > δ, τότε: α + γ > β + δ Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά Αν α > β και γ > δ, με α, β, γ, δ > 0 τότε: α · γ > β · δ Μεταβατική ιδιότητα Αν α > β και β > γ, τότε α > γ Ποιες ιδιότητες ΔΕΝ έχουν οι ανισότητες Οι ιδιότητες που δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε στις ανισότητες, είναι οι ακόλουθες:  Δεν επιτρέπεται να αφαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες  Δεν επιτρέπεται να διαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες  Δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες, αν δεν είναι όλα τα μέλη τους θετικά 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 88 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 19 3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η εξίσωση αx + βy = γ  Κάθε εξίσωσης της μορφής: αx + βy = γ λέγεται γραμμική εξίσωση με αγνώστους x και y.  Λύση μιας εξίσωσης της μορφής αx + βy = γ λέγεται κάθε ζεύγος αριθμών ( x, y ) που την επαληθεύει Η εξίσωση αx + βy = γ, με α ≠ 0 ή β ≠ 0  Μια εξίσωση της μορφής: αx + βy = γ, με α ≠ 0 ή β ≠ 0 έχει άπειρες λύσεις. Αν τα ζεύγη (x, y), που είναι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, τα παραστήσουμε σε μια ευθεία του επιπέδου, τότε τα σημεία αυτά θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ε. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση αx + βy = γ λέγεται εξίσωση της ευθείας ε και συμβολικά γράφουμε: ε: αx + βy = γ Γενικά ισχύει ότι:  Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.  Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.  Μια γραμμική εξίσωση της μορφής αx + βy = γ με αγνώστους x και y, παριστάνει ευθεία μόνο όταν α ≠ 0 ή β ≠ 0. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 89 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 20 3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του  Δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x και y, των οποίων ψάχνουμε τις κοινές λύσεις, αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Ένα τέτοιο γραμμικό σύστημα έχει τη μορφή: { 𝛼1x+ β1y = γ1 α2x+ β2y = γ2  Λύση του παραπάνω συστήματος ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (x, y) που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις του.  Επίλυση ενός γραμμικού συστήματος λέγεται η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τα ζεύγη (x, y) που επαληθεύουν συγχρόνως και τις δύο εξισώσεις. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος μπορεί να γίνει είτε αλγεβρικά (όπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο) είτε γραφικά. Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος Αν ισχύουν (α1 ≠ 0 ή β1 ≠ 0) και (α2 ≠ 0 ή β2 ≠ 0), τότε καθεμία από τις εξισώσεις του γραμμικού συστήματος: 𝛼1x+ β1y = γ1 α2x+ β2y = γ2 παριστάνει μια ευθεία. Αν σχεδιάσουμε σε ένα σύστημα αξόνων τις δύο αυτές ευθείες, τότε οι συντεταγμένες των κοινών τους σημείων αποτελούν τις λύσεις του συστήματος. 3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος Η Αλγεβρική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με δίνει τη δυνατότητα να προσδιορίσουμε με ακρίβεια τη λύση (αν υπάρχει) του συστήματος. Οι τρόποι επίλυσης που θα μελετήσουμε στη Γ’ γυμνασίου είναι οι παρακάτω: 1. Μέθοδος της αντικατάστασης 2. Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 90 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 21 Παραδείγματα Να λυθεί το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: Να λυθεί το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών: { 𝑥 + 2𝑦 = 9 2𝑥 − 𝑦 = 3 { 𝑥 + 2𝑦 = 9 2𝑥 − 𝑦 = 3 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 2𝑥 − 𝑦 = 3 Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο { 𝑥 + 2𝑦 = 9 | 2𝑥 − 𝑦 = 3 | ∙ 2 Πολλαπλασιάζουμε κάθε εξίσωση με τον κατάλληλο αριθμό, έτσι ώστε οι συντελεστές του ενός από τους δύο αγνώστους να είναι αντίθετοι αριθμοί. { 𝑥 = 9 − 2𝑦 2(9 − 2𝑦) − 𝑦 = 3 Αντικαθιστούμε την πρώτη εξίσωση (το x) στην δεύτερη εξίσωση { 𝑥 + 𝟐𝑦 = 9 4𝑥 − 𝟐𝑦 = 6 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 18 − 4𝑦 − 𝑦 = 3 Λύνουμε την δεύτερη εξίσωση που προκύπτει, η οποία είναι 1ου βαθμού Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω εξισώσεις. (Αν έχουμε κάνει σωστά τα βήματα, θα προκύπτει εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο) { 𝑥 = 9 − 2𝑦 −4𝑦 − 𝑦 = 3 − 18 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑥 − 2𝑦 = 9 + 6 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 −5𝑦 = −15 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑥 − 2𝑦 = 9 + 6 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 −5𝑦 −5 = −15 −5 𝑥 + 4𝑥 = 9 + 6 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 𝑦 = 3 5𝑥 = 15 5𝑥 5 = 15 5 𝑥 = 3 { 𝑥 = 9 − 2 ∙ 3 𝑦 = 3 Αντικαθιστούμε το y που βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση 𝑥 + 2𝑦 = 9 3 + 2𝑦 = 9 2𝑦 = 9 − 3 2𝑦 = 6 2𝑦 2 = 6 2 𝑦 = 3 Επιλέγω μία από τις δύο εξισώσεις του αρχικού συστήματος και αντικαθιστώ το 𝑥 που βρήκα { 𝑥 = 3 𝑦 = 3 Η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (𝑥, 𝑦) = (3, 3) 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 91 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 22 5.1 Σύνολα Η έννοια του συνόλου Σε πολλές περιπτώσεις συνηθίζουμε να συλλέγουμε και να ταξονομούμε σε ομάδες ή σε κατηγορίες διάφορα πράγματα, όπως βιβλία, νομίσματα κ.λ.π. Σε κατηγορίες, επίσης, ταξονομούμε τους αριθμούς. Ομάδες ή κατηγορίες όπως οι παραπάνω, στα Μαθηματικά ονομάζονται σύνολα. «Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλα ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.»  Ένα σύνολο πρέπει να είναι καλά ορισμένο, πχ «το σύνολο των βιβλίων που έχουν πάνω από 400 σελίδες» και όχι «το σύνολο των βιβλίων με πολλές σελίδες».  Τα στοιχεία ενός συνόλου, πρέπει να είναι διακεκριμένα, δηλαδή κάθε στοιχείο του συνόλου να είναι διαφορετικό από τα άλλα.  Κάθε σύνολο συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου (π.χ. Α, Β, Γ, Δ, Ν, κ.λ.π.).  Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε ένα σύνολο ονομάζεται στοιχείο του συνόλου και το συμβολίζουμε συνήθως με κάποιο μικρό γράμμα (π.χ. α, β, γ, χ κ.λ.π). Παράσταση ενός συνόλου 1) Με αναγραφή των στοιχείων του:  Όταν γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία ενός συνόλου και το πλήθος τους είναι μικρό, τότε γράφουμε μία φορά καθένα από τα στοιχεία του (με οποιαδήποτε σειρά) και τα τοποθετούμε ανάμεσα σε δύο άγκιστρα.  Όταν τα στοιχεία του συνόλου είναι πολλά ή άπειρα, τότε γράφουμε ορισμένα μόνο από αυτά (ανάμεσα σε δύο άγκιστρα) και τα υπόλοιπα τα παραλείπουμε βάζοντας ασποισωπητικά. Πρέπει βέβαια να εννοούνται με σαφήνεια τα στοιχεία που παραλείπονται. 2) Με περιγραφή των στοιχείων του: Όταν όλα τα στοιχεία ενός συνόλου ικανοποιούν μια συγκεκριμένη ιδιότητα, τότε αντί να γράψουμε όλα τα στοιχεία, μπορούμε να περιγράψουμε την ιδιότητα αυτή ανάμεσα σε δύο άγκιστρα. Συγκεκριμένα, αν από ένα σύνολο Α επιλέξουμε όλα τα στοιχεία εκείνα που έχουν μια ιδιότητα Ι, τότε δημιουργούμε το σύνολο: { x ∈ Α, όπου το x έχει την ιδιότητα Ι } 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 92 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 23 3) Με διαγράμμα Venn Ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με το εσωτερικό μιας κλειστής γραμμής. Το διάγραμμα που χρησιμοποιούμε γι’ αυτήν την παρουσίαση ενός συνόλου ονομάζεται διάγραμμα Venn. Για παράδειγμα, το σύνολο Α = {α, β, γ, δ} μπορεί να παρασταθεί με διάγραμμα Venn όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε ότι: Α C B Χρησιμοποιώντας διάγραμμα Venn μπορούμε να δέιξουμε ότι Α C B, με τον τρόπο που φαίνεται στο διπλανό σχήμα Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι εξής ιδιότητες: Για κάθε σύνολο Α, ισχύει Α C Α Αν Α C B και Β C Γ , τότε Α C Γ Τα σύνολα με τα οποία ασχολούμαστε συνήθως, είναι υποσύνολα ενός ευρύτερου συνόλου, το οποίο ονομάζεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. Σε ένα διάγραμμα Venn το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου. Κάθε υποσύνολο του Ω παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής γραμμής μέσα στο ορθογώνιο. Δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα, όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και γράφουμε: Α = Β Με άλλα λόγια, δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντίστροφα, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α.  Το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με ∅ ή { }. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 93 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 24  Ισχύει ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου, δηλαδή ∅ C Α Για τα γνωστά μας σύνολα των φυσικών, ακεραίων, ρητών, πραγματικών ισχύει: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 94 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 25 1.2 Ισότητα Τριγώνων Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι:  Οι κορυφές του Α, Β και Γ  Οι πλευρές του ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ  Οι γωνίες του 𝚨̂, 𝚩̂ και 𝚪̂ Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις γωνίες 𝚨̂, 𝚩̂ και 𝚪̂ συμβολίζονται αντίστοιχα α, β και γ Η γωνία ενός τριγώνου που περιέχεται μεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόμενη γωνία αυτών των πλευρών. Οι γωνίες ενός τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα μιας πλευράς, λέγονται προσκείμενες γωνίες της πλευράς αυτής. Είδη τριγώνων Με κριτήριο τις γωνίες: Με κριτήριο τις πλευρές: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 95 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 26 Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Ίσα τρίγωνα Αν δυο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ίσες μια προς μια και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα. Αντίστροφα, αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π – Γ – Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. Για παράδειγμα, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ του διπλανού σχήματος ισχύουν:  ΑΒ = Α’Β’  ΑΓ = Α’Γ’  𝛢̂ = 𝛢’̂ Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. «Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες» 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Γ – Π – Γ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Για παράδειγμα, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ του διπλανού σχήματος ισχύουν:  𝛣̂ = 𝛣’̂  ΒΓ = Β’Γ’  𝛤̂ = 𝛤’̂ Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. «Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές» 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 96 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 27 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π – Π – Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους μία προς μία ίσες, τότε είναι ίσα. Για παράδειγμα, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ του διπλανού σχήματος ισχύουν: ΑΒ = Α’Β’ ΑΓ = Α’Γ’ ΒΓ = Β’Γ’ Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές. Έτσι λοιπόν, δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: Δύο ανίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία Μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου 1. Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς, είναι ίσες 2. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση, είναι ταυτόχρονα ύψος και δίχοτόμος Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, όλες του οι γωνίες είναι ίσες με 60ο 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 97 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 28 Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη σε αυτό και διέρχεται από το μέσο του τμήματος. Ισχύουν: 1. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος. 2. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος, είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος αυτού. Διχοτόμος μιας γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες Ισχύουν: 1. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας 2. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές μιας γωνίας είναι σημείο της διχοτόμου του. 1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει. Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα είναι ε1 // ε2 // ε3 και οι ευθείες αυτές τέμνονται από τις ευθείες ζ και η. Αν είναι ΑΒ = ΑΓ, τότες και Α’Β’ = Β’Γ’ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 98 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 29 Εφαρμογή στα τραπέζια και στα τρίγωνα Τραπέζια Σε ένα τραπέζιο, αν από το μέσο της μιας μη παράλληλης πλευράς φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τις βάσεις του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται και από το μέσο της άλλης μη παράλληλης πλευράς. Τρίγωνα Σε ένα τρίγωνο, αν από το μέσο μιας πλευράς φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα «Στο τετράδιο θεωρίας» Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων – Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα 1. Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων  Ο λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, συμβολίζεται ΓΔ ΑΒ και είναι ο αριθμός λ για τον οποίο ισχύει ΓΔ = λ · ΑΒ, δηλαδή: ΓΔ ΑΒ = λ ή ΓΔ = λ · ΑΒ  Ο λόγος δύο ευθύγραμμων τμημάτων είναι ίσος με το λόγο των μηκών τους, εφόσον έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης. 2. Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ , όταν ισχύει: α β = γ δ Μια ισότητα της μορφής α β = γ δ ονομάζεται αναλογία με όρους τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ, δ. Τα α, δ ονομάζονται άκροι όροι, ενώ τα β, γ ονομάζονται μέσοι όροι της αναλογίας. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 99 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 30 3. Ιδιότητες αναλογιών Οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών είναι οι εξής:  Σε κάθε αναλογία τα «χιαστί» γινόμενα είναι ίσα. Δηλαδή: Αν α β = γ δ τότε αδ = βγ Σε μια αναλογία μπορούμε να εναλλάξουμε τους μέσους ή τους ακραίους όρους και να προκύψει πάλι αναλογία. Δηλαδή: Αν α β = γ δ τότε α γ = β δ Αν α β = γ δ τότε δ β = γ α Όταν δύο λόγοι είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε είναι ίσοι και με τον λόγο που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών. Δηλαδή: Αν α β = γ δ τότε α β = γ δ = α+γ β+δ Τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Δηλαδή στο τρίγωνο ΑΒΓ, αν Μ είναι το μέσο της ΑΒ και Ν το μέσο της ΑΓ, ισχύει: ΜΝ//ΒΓ και ΜΝ = ΒΓ 2 Διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Δηλαδή στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, αν Μ είναι το μέσο της υποτείνουσας ΒΓ, ισχύει: ΑΜ = ΒΓ 2 Δηλαδή ΑΜ = ΜΓ και ΑΜ = ΜΒ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 100 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 31 1.3 Το Θεώρημα του Θαλή Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη. Δηλαδή: 𝛼𝜈 𝜀1//𝜀2//𝜀3 τότε 𝛢𝛣 𝛢′ 𝛣′ = 𝛣𝛤 𝛣′ 𝛤′ = 𝛢𝛤 𝛢′ 𝛤′ 1.5 Ομοιότητα Α. Όμοια πολύγωνα Αν έχουμε δύο πολύγωνα Π και Π’ που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου, τότε τα πολύγωνα αυτά τα λέμε όμοια και γράφουμε Π ≈ Π’. Κριτήριο Ομοιότητας Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. Λόγος Ομοιότητας  Δύο οποιεσδήποτε αντίστοιχες πλευρές όμοιων πολυγώνων έχουν τον ίδιο λόγο, γι’ αυτό λέγονται ομόλογες.  Ο λόγος των ομόλογων πλευρών δύο όμοιων πολυγώνων λέγεται λόγος ομοιότητας.  Για να είναι δύο πολύγωνα όμοια, πρέπει να έχουν και τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 101 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 32 Βασική ιδιότητα όμοιων πολυγώνων Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους. Κλίμακα Οι χάρτες ή τα σχέδια παρουσιάζουν διάφορα αντικείμενα ή σχήματα, όμοια με τα πραγματικά, σε σμίκρυνση ή μεγέθυνση. Ο λόγος ομοιότητας του σχήματος στον χάρτη ή στο σχέδιο προς το πραγματικό ονομάζεται κλίμακα. Ισχύει: Κλίμακα = απόσταση στο σχέδιο πραγματική απόσταση Η απόσταση στο σχέδιο και η πραγματική απόσταση πρέπει να είναι μετρημένες με την ίδια μονάδα. Β. Όμοια τρίγωνα Δύο τρίγωνα είναι όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους μια προς μια ίσες, τότε είναι όμοια. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 102 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 33 1.6 Λόγος εμβαδών όμοιων σχημάτων Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Για παράδειγμα, έστω ότι τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και Α’Β’Γ’Δ’ είναι όμοια, με λόγο ομοιότητας λ, δηλαδή: ΑΔ Α′Δ′ = ΑΒ Α′Β′ = ΒΓ Β′Γ′ = ΓΔ Γ′Δ′ = λ Τότε για τα εμβαδά τους (ΑΒΓΔ) και (Α’Β’Γ’Δ’), ισχύει ότι: (ΑΒΓΔ) (Α′Β′Γ′Δ′) = λ2 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 103 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 34 2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0ο≤ ω ≤ 180ο Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ω ορθογωνίου τριγώνου ορίζονται ως εξής: ημω = απένταντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα εφω = απένταντι κάθετη πλευρά προσκείμενη κάθετη πλευρά συνω = προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα Για παράδειγμα, στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ισχύει: ημΒ̂ = = ΑΓ ΒΓ συνΒ̂ = = ΑΒ ΒΓ εφΒ̂ = = ΑΓ ΑΒ Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0ο ≤ ω ≤ 180ο Τοποθετούμε τη γωνία ω σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy, ώστε η κορυφή της να συμπέσει με την αρχή Ο, η μια πλευρά της να συμπέσει με τον θετικό ημιάξονα Ox και η άλλη πλευρά της να βρεθεί από τον άξονα x’x και πάνω. Στην πλευρά αυτή παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Μ (x,y), διαφορετικό από το Ο. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω ορίζονται ως εξής: ημω = τεταγμένη του Μ απόσταση του Μ από το Ο συνω = τετμημένη του Μ απόσταση του Μ από το Ο εφω = τεταγμένη του Μ τετμημένη του Μ Αν συμβολίσουμε με ρ την απόσταση ΟΜ του Μ(x,y) από το σημείο Ο, τότε ισχύει: ρ = √𝑥2 + 𝑦2 και για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω έχουμε: ημω = y ρ συνω = x ρ εφω = y x 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 104 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 35 Για το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, έχουμε: ημω συνω εφω ω οξεία + + + ω αμβλεία + - - Θυμίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που πρέπει να ξέρουμε: ω 0ο 30ο 45ο 60ο 90ο 180ο ημω 0 1 2 √2 2 √3 2 1 0 συνω 1 √3 2 √2 2 1 2 0 -1 εφω 0 √3 3 1 √3 Δεν ορίζεται 0 Για μια γωνία ω, με 0ο≤ ω ≤ 180ο , ισχύει ότι: 0 ≤ ημω ≤ 1 και -1 ≤ συνω ≤ 1 ενώ για την εφω (με ω ≠ 90ο ) δεν υπάρχουν περιορισμοί στις τιμές που μπορεί να πάρει. 2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών Οι παραπληρωματικές γωνίες ω και 180ο – ω , έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Δηλαδή ισχύουν: ημ(180ο – ω) = ημω συν(180ο – ω) = -συνω εφ(180ο – ω) = - εφω 𝜼𝝁𝒙 = 𝜼𝝁𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝝎 ή 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎 𝝄 − 𝝎 𝝈𝝊𝝂𝒙 = 𝝈𝝊𝝂𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝝎 𝝈𝝊𝝂𝒙 = −𝝈𝝊𝝂𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎 𝒐 − 𝝎 𝜺𝝋𝒙 = 𝜺𝝋𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝝎 𝜺𝝋𝒙 = −𝜺𝝋𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎 𝒐 − 𝝎 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 105 of 106
ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 36 2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ότι: ημ2 ω + συν2 ω = 1 εφω = ημω συνω Αποδείξεις: 𝜼𝝁 𝟐 𝒙 + 𝝈𝝊𝝂 𝟐 𝒙 = 𝟏 Για την απόσταση ενός σημείου 𝛭(𝑥, 𝑦) από την αρχή των αξόνων ισχύει: 𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 ή 𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το 𝜌2 , τότε έχουμε: 𝜌2 𝜌2 = 𝑥2 𝜌2 + 𝑦2 𝜌2 ή ( 𝑥 𝜌 ) 2 + ( 𝑦 𝜌 ) 2 = 1 Επειδή 𝜂𝜇𝜔 = 𝑦 𝜌 και 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑥 𝜌 , η παραπάνω ισότητα γίνεται: (𝜎𝜐𝜈𝜔)2 + (𝜂𝜇𝜔)2 = 1 ή 𝜼𝝁 𝟐 𝒙 + 𝝈𝝊𝝂 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝜺𝝋𝝎 = 𝜼𝝁𝝎 𝝈𝝊𝝂𝝎 Αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις ισότητες 𝜂𝜇𝜔 = 𝑦 𝜌 και 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑥 𝜌 , με την προϋπόθεση ότι 𝜎𝜐𝜈𝜔 ≠ 0, έχουμε: 𝜂𝜇𝜔 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑦 𝜌 𝑥 𝜌 ή 𝜂𝜇𝜔 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑦𝜌 𝑥𝜌 ή 𝜂𝜇𝜔 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑦 𝑥 = 𝜀𝜑𝜔 Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, με 𝜎𝜐𝜈𝜔 ≠ 0 ισχύει: 𝜺𝝋𝝎 = 𝜼𝝁𝝎 𝝈𝝊𝝂𝝎 2.4 Νόμος ημιτόνων – Νόμος συνημιτόνων Νόμος ημιτόνων: Σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 𝛼 𝜂𝜇𝛢 = 𝛽 𝜂𝜇𝛣 = 𝛾 𝜂𝜇𝛤 Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: 𝛼2 = 𝛽2 + 𝛾2 − 2𝛽𝛾𝜎𝜐𝜈𝛢 𝛽2 = 𝛼2 + 𝛾2 − 2𝛼𝛾𝜎𝜐𝜈𝛣 𝛾2 = 𝛼2 + 𝛽2 − 2𝛼𝛽𝜎𝜐𝜈𝛤 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 106 of 106

More Related Content

PDF
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPS
A A03 Dynameis Ii
byA Z
 
PPT
Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό
byΓιάννης Φερεντίνος
 
DOCX
ΒΙΟΛΟΓΙΑ : ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
bychris09xgames
 
PPTX
Η μόλυνση του περιβάλλοντος και ο άνθρωπος
byGeorge Markatatos
 
PDF
α γυμνασιου 35 θεματα εξετασεων 2016
byChristos Loizos
 
DOC
τα ειδη των συνθετων
byDimitra Stefani
 
DOC
σχηματα λογου
byGeorgia Sofi
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
A A03 Dynameis Ii
byA Z
 
Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό
byΓιάννης Φερεντίνος
 
ΒΙΟΛΟΓΙΑ : ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
bychris09xgames
 
Η μόλυνση του περιβάλλοντος και ο άνθρωπος
byGeorge Markatatos
 
α γυμνασιου 35 θεματα εξετασεων 2016
byChristos Loizos
 
τα ειδη των συνθετων
byDimitra Stefani
 
σχηματα λογου
byGeorgia Sofi
 

What's hot

PPT
εξισωσεις 1 Α Γυμνασίου
byVasilis Gkimisis
 
PPTX
ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2018
byΚΑΤΕΡΙΝΑ ΑΡΩΝΗ
 
DOCX
διαγωνισμα α τετραμηνου στο μαθημα της νεοελληνικης λογοτεχνιας
byRia Papamanoli
 
PPTX
ΦΥΣΙΚΗ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΜΑΤΑ 2018
byΚΑΤΕΡΙΝΑ ΑΡΩΝΗ
 
DOC
50 εισαγωγικές έρευνες από το μάθημα της Τεχνολογίας της Γ τάξης Γυμνασίου
byJohn Tzortzakis
 
PPTX
5.η νέα παιδαγωγική αναλυση
byDimitra Stefani
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 5ης Ενότητας κεφ. 30 - 35 ΄΄
byΧρήστος Χαρμπής
 
PPTX
επίθετα σε –ης , ες
byΧρήστος Κύρκου
 
DOC
Γεωγραφία Β Γυμνασίου - Μάθημα 12
byFotini Pog
 
PPT
ΓΛΩΣΣΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
byanny1976
 
PDF
Γεωγραφία Β΄ Γυμνασίου (20 διαγωνίσματα)
byKats961
 
PDF
Enotita 14
byMaria Michali
 
PDF
Γλώσσα Α' Γυμνασίου- σχέδιο μαθήματος/ πρόταση διδασκαλίας
bySxedioMathimatos
 
DOC
κλασματα 1
byΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ
 
PDF
Διαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίηση
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Φύλλο Εργασίας 2: "Μετρήσεις Χρόνου-Ακρίβεια" με Απαντήσεις / Α΄Γυμνασίου/Μιχ...
byHOME
 
DOCX
γεωμετρία α γυμνασιου
byΔημήτρης Παπαθεοδώρου
 
PPTX
κινησεισ και μεση ταχυτητα
byHIOTELIS IOANNIS
 
PDF
Οδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίας
byvserdaki
 
PDF
Οδύσσεια α γυμνασίου , ενότητες 7η και 8η , σχέδιο μαθήματος - φύλλο εργασίας
byvserdaki
 
εξισωσεις 1 Α Γυμνασίου
byVasilis Gkimisis
 
ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2018
byΚΑΤΕΡΙΝΑ ΑΡΩΝΗ
 
διαγωνισμα α τετραμηνου στο μαθημα της νεοελληνικης λογοτεχνιας
byRia Papamanoli
 
ΦΥΣΙΚΗ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΜΑΤΑ 2018
byΚΑΤΕΡΙΝΑ ΑΡΩΝΗ
 
50 εισαγωγικές έρευνες από το μάθημα της Τεχνολογίας της Γ τάξης Γυμνασίου
byJohn Tzortzakis
 
5.η νέα παιδαγωγική αναλυση
byDimitra Stefani
 
Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 5ης Ενότητας κεφ. 30 - 35 ΄΄
byΧρήστος Χαρμπής
 
επίθετα σε –ης , ες
byΧρήστος Κύρκου
 
Γεωγραφία Β Γυμνασίου - Μάθημα 12
byFotini Pog
 
ΓΛΩΣΣΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
byanny1976
 
Γεωγραφία Β΄ Γυμνασίου (20 διαγωνίσματα)
byKats961
 
Enotita 14
byMaria Michali
 
Γλώσσα Α' Γυμνασίου- σχέδιο μαθήματος/ πρόταση διδασκαλίας
bySxedioMathimatos
 
κλασματα 1
byΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ
 
Διαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίηση
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Φύλλο Εργασίας 2: "Μετρήσεις Χρόνου-Ακρίβεια" με Απαντήσεις / Α΄Γυμνασίου/Μιχ...
byHOME
 
γεωμετρία α γυμνασιου
byΔημήτρης Παπαθεοδώρου
 
κινησεισ και μεση ταχυτητα
byHIOTELIS IOANNIS
 
Οδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίας
byvserdaki
 
Οδύσσεια α γυμνασίου , ενότητες 7η και 8η , σχέδιο μαθήματος - φύλλο εργασίας
byvserdaki
 

Similar to Θεωρία Γυμνασίου 2021

PDF
α γ μαθ 2015 16
byChristos Loizos
 
PDF
Μαθηματικά ΣΤ΄ - Επανάληψη 1ης ενότητας, κεφ. 1-24
byΧρήστος Χαρμπής
 
PDF
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ
byGnostis Pantognostis
 
PDF
mathimatiki_periodi_ekdosi
by4gymalex
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 4ης Ενότητας, κεφ. 22-29΄΄
byΧρήστος Χαρμπής
 
PDF
Διαιρετότητα
byKonstantinos Georgiou
 
PDF
Τετράδιο Επανάληψης Μαθηματικών Α Γυμνασίου
byMatheno.gr Λυσάρια, Βοηθήματα, Βιβλία
 
PDF
Issue11
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Κεφάλαιο 1 θεωρία - θυμάμαι ότι - 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Κεφάλαιο 1ο - Φύλλα εργασίας 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Μαθηματικά: Εφαρμογές στην καθημερινή ζωή
byΧρήστος Χαρμπής
 
PDF
Κεφάλαιο 1 θεωρία - θυμάμαι ότι - 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Typologio mathimatikwn
byChristos Loizos
 
PDF
Βιβλίο: Μαθηματικά (Ά Γυμνασίου)
byAngel
 
PDF
Typologio 2003
byChristos Loizos
 
PDF
Xt a gym-a_1_5
byxr3dis
 
PDF
gymnasioum book for A class
byChristos Loizos
 
PDF
Erotiseis theorias a gymn
byΓιάννης Μαδεμτζόγλου
 
PPTX
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...
byDr. Maria D. Chalkou
 
α γ μαθ 2015 16
byChristos Loizos
 
Μαθηματικά ΣΤ΄ - Επανάληψη 1ης ενότητας, κεφ. 1-24
byΧρήστος Χαρμπής
 
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ
byGnostis Pantognostis
 
mathimatiki_periodi_ekdosi
by4gymalex
 
Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 4ης Ενότητας, κεφ. 22-29΄΄
byΧρήστος Χαρμπής
 
Διαιρετότητα
byKonstantinos Georgiou
 
Τετράδιο Επανάληψης Μαθηματικών Α Γυμνασίου
byMatheno.gr Λυσάρια, Βοηθήματα, Βιβλία
 
Issue11
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 1 θεωρία - θυμάμαι ότι - 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 1ο - Φύλλα εργασίας 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Μαθηματικά: Εφαρμογές στην καθημερινή ζωή
byΧρήστος Χαρμπής
 
Κεφάλαιο 1 θεωρία - θυμάμαι ότι - 1 μέχρι 13
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Typologio mathimatikwn
byChristos Loizos
 
Βιβλίο: Μαθηματικά (Ά Γυμνασίου)
byAngel
 
Typologio 2003
byChristos Loizos
 
Xt a gym-a_1_5
byxr3dis
 
gymnasioum book for A class
byChristos Loizos
 
Erotiseis theorias a gymn
byΓιάννης Μαδεμτζόγλου
 
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...
byDr. Maria D. Chalkou
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

PDF
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
byΜάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
byΜάκης Χατζόπουλος
 

Recently uploaded

PDF
2.1 Τα ελληνιστικά πνευματικά κέντρα - 2.2 Η γλώσσα
byKvarnalis75
 
PDF
ΤΕΤΑΡΤΗ 21 ΙΑΝ-1.pdf - Τροποποιημένο πρόγραμμα
byTassos Karampinis
 
PPTX
6.2 ΙΩΑΝΝΗΣ Ο ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ.pptx ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
byzaxoula9
 
PDF
ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΟ ΚΟΥΤΙ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ Δ1.pdf
byDimotiko mesopotamias
 
PDF
olokaytoma sxoleia 2026egkyklios ypourgeio.pdf
bykonstantinantountoum1
 
PPTX
5.1 Συναντηση χριστιανισμου ελληνισμου.pptx εισαγωγικά
byzaxoula9
 
PPTX
3.4 ΜΩΥΣΗΣ.Η ΚΛΗΣΗ ΤΟΥ ΜΩΥΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΘΕΟpptx
byzaxoula9
 
PDF
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΑΚΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΑΠΣ
bysomakris
 
PPTX
1. Solón en la corte de Creso Texto, análisis y traducción
byLeticiaPaniego1
 
2.1 Τα ελληνιστικά πνευματικά κέντρα - 2.2 Η γλώσσα
byKvarnalis75
 
ΤΕΤΑΡΤΗ 21 ΙΑΝ-1.pdf - Τροποποιημένο πρόγραμμα
byTassos Karampinis
 
6.2 ΙΩΑΝΝΗΣ Ο ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ.pptx ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
byzaxoula9
 
ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΟ ΚΟΥΤΙ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ Δ1.pdf
byDimotiko mesopotamias
 
olokaytoma sxoleia 2026egkyklios ypourgeio.pdf
bykonstantinantountoum1
 
5.1 Συναντηση χριστιανισμου ελληνισμου.pptx εισαγωγικά
byzaxoula9
 
3.4 ΜΩΥΣΗΣ.Η ΚΛΗΣΗ ΤΟΥ ΜΩΥΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΘΕΟpptx
byzaxoula9
 
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΑΚΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΑΠΣ
bysomakris
 
1. Solón en la corte de Creso Texto, análisis y traducción
byLeticiaPaniego1
 

Θεωρία Γυμνασίου 2021

  • 1.
    Ά Γυμνασίου Μαθηματικά Θεωρία ΑντωνάτοςΓιώργος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ email: antonatos.geo@gmail.com 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 106
  • 2.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 1 1.1Φυσικοί Αριθμοί  Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5,……………….,99, 100, 101,……………………,1254, 1255,……………….. ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.  Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο και έναν προηγούμενο, εκτός από το 0 που έχει μόνο επόμενο.  Μπορούμε να δημιουργήσουμε απεριόριστο πλήθος φυσικών αριθμών χρησιμοποιώντας τους: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  Σε έναν φυσικό αριθμό, η αξία του κάθε ψηφίου του, καθορίζεται από την θέση που έχει, δηλαδή την δεκαδική τάξη του. Η δεκαδική τάξη ενός ψηφίου μπορεί να είναι μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, εκατομμύρια κλπ ΆΡΤΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Άρτιοι ή ζυγοί ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2. Οι φυσικοί αριθμοί 2, 4, 6, 8 και όσοι αριθμοί τελειώνουν με αυτούς (ή τελειώνουν σε 0), είναι άρτιοι. Περιττοί ή μονοί ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 2. Οι φυσικοί αριθμοί 1, 3, 5, 7, 9 και όσοι αριθμοί τελειώνουν με αυτούς, είναι περιττοί. Πλήθος διαδοχικών φυσικών αριθμών και Διάταξη φυσικών αριθμών  Το πλήθος των διαδοχικών φυσικών αριθμών που υπάρχουν από τον αριθμό α μέχρι και τον αριθμό β είναι ίσος με την διαφορά τους αυξημένη κατά 1, δηλαδη β-α+1 Πχ. από το 5 μέχρι το 24 υπάρχουν 24 – 5 + 1 = 19 + 1 = 20 αριθμοί  Το πλήθος των διαδοχικών φυσικών αριθμών που υπάρχουν ανάμεσα στους αριθμούς α και β είναι ίσο με την διαφορά τους μειωμένη κατά 1, δηλαδή β-α-1 Πχ. ανάμεσα στο 5 και το 24 υπάρχουν 24 – 5 – 1 = 19 – 1 = 18 αριθμοί  Για να συγκρίνουμε (διατάξουμε) δυο αριθμούς, χρησιμοποιούμε τα παρακάτω σύμβολα:  Το = που σημαίνει «ίσος με»  Το < που σημαίνει «μικρότερος από»  Το > που σημαίνει «μεγαλύτερος από» Μπορούμε επομένως να διατάξουμε τους φυσικούς αριθμούς από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, δηλαδή κατά αύξουσα σειρά. Σημείωση: Στα σύμβολα < και >, η «μυτούλα» δείχνει τον μικρότερο αριθμό από τους δύο. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 106
  • 3.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2 Αντιστοίχισηφυσικών αριθμών με σημεία ενός άξονα Σε μια ευθεία (άξονα), τοποθετούμε αυθαίρετα το σημείο Ο στο οποίο αντιστοιχούμε τον αριθμό 0. Το σημείο Ο το ονομάζουμε αρχή του άξονα. Δεξιά του Ο, διαλέγουμε επίσης αυθαίρετα ένα σημείο Α. Το ΟΑ ονομάζεται μονάδα μέτρησης και με την βοήθεια του μπορούμε να τοποθετήσουμε στον άξονα όλους τους φυσικούς αριθμούς. Στρογγυλοποίηση Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό, πρώτα εντοπίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση και στην συνέχεια εξετάζουμε το αμέσως επόμενο ψηφίο.  Αν είναι μικρότερο του 5 ( δηλαδή 0, 1, 2, 3, 4) τότε αντικαθιστούμε αυτό το ψηφίο, καθώς και όλα τα ψηφία μικρότερης τάξης, με το 0.  Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8, 9) τότε αυξάνουμε κατά 1 το ψηφίο αυτό και μηδενίζουμε όλα τα ψηφία μικρότερης τάξης. Παράδειγμα Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 295.847 στις: α) εκατοντάδες, β) χιλιάδες, γ) δεκάδες χιλιάδες. α) Θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στις εκατοντάδες, δηλαδή στο ψηφίο 8. Παρατηρούμε ότι το ψηφίο της μικρότερης τάξης, είναι το 4. Και επειδή 4<5, τότε το 4 και όλα τα μικρότερης τάξης ψηφία, μηδενίζονται. Δηλαδή 295.847  295.800 β) Θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στις χιλιάδες, δηλαδή στο ψηφίο 5. Παρατηρούμε ότι το ψηφίο μικρότερης τάξης είναι το 8. Και επειδή 8>5, τότε το 5 θα αυξηθεί κατά ένα και όλα τα μικρότερης τάξης ψηφία, θα μηδενιστούν. Δηλαδή 295.847  296.000 γ) Θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στις δεκάδες χιλιάδες, δηλαδή στο 9. Παρατηρούμε ότι το ψηφίο μικρότερης τάξης είναι το 5. Και επειδή 5=5, τότε το 9 θα αυξηθεί κατά ένα το οποίο σημαίνει ότι το 9 θα γίνει 0 και θα αυξηθεί κατά ένα και το ψηφίο 2. Όλα τα μικρότερης τάξης ψηφία, θα μηδενιστούν. Δηλαδή 295.847  300.000 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 106
  • 4.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3 1.2Πρόσθεση, Αφαίρεση και Πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση – Ιδιότητες πρόσθεσης  Στην πρόσθεση α + β = γ , οι αριθμοί α και β λέγονται προσθετέοι, ενώ ο αριθμός γ λέγεται άθροισμα.  Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και όταν προστεθεί σε έναν φυσικό αριθμό α, δεν τον μεταβάλλει. Δηλαδή α + 0 = α  Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α + β = β + α  Προσεταιριστική Ιδιότητα: (α + β) + γ = α + (β + γ) Αφαίρεση – Ιδιότητες αφαίρεσης  Αφαίρεση είναι οι πράξη με την οποία, όταν δίνονται δυο αριθμοί Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος), βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά). Δηλαδή Μ – Α = Δ  Στους φυσικούς αριθμούς, ο αφαιρετέος (Α) πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με τον μειωτέο (Μ). Διαφορετικά δεν μπορεί να γίνει η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς  Το 0, όταν βρίσκεται στη θέση του αφαιρετέου (Α), είναι ουδέτερο στοιχείο. Δηλαδή α – 0 = α  Αν αφαιρέσουμε από ένα φυσικό αριθμό τον εαυτό του, τότε έχουμε αποτέλεσμα 0 α – α = 0 Πολλαπλασιασμός – Ιδιότητες πολλαπλασιασμού  Στον πολλαπλασιασμό α ∙ β = γ, οι αριθμοί α και β λέγονται παράγοντες και ο αριθμός γ λέγεται γινόμενο.  Ουδέτερο Στοιχείο: α ∙ 1 = α ή 1 ∙ α = α  α ∙ 0 = 0 ή 0 ∙ α = 0  Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α  Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙ γ) = (α ∙ β) ∙ γ Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν φυσικό αριθμό με το 10, 100, 1000 κ.ο.κ αρκεί να προσθέσουμε στο τέλος του αριθμού αντίστοιχα ένα 0, δυο 0, τρία 0 κ.ο.κ δηλαδή όσα μηδενικά έχει ο παράγοντας 10, 100, 1000 κ.ο.κ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 106
  • 5.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 4 1.3Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δύναμη ενός αριθμού α στην ν, ονομάζουμε το γινόμενο α∙α∙α……∙α (ν φορές) και συμβολίζουμε αν Το α ονομάζεται βάση της δύναμης, ενώ το ν εκθέτης. Ουσιαστικά ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον εαυτό της.  α2 : α στην δευτέρα ή α στο τετράγωνο  α3 : α στην τρίτη ή α στον κύβο  α1 = α  1v = 1 Τις δυνάμεις του 10, δηλαδή το 10v , τις υπολογίζουμε ως εξής. Γράφουμε το 1 και συμπληρώνουμε v μηδενικά. Για παράδειγμα 104 = 10000 Προτεραιότητα Πράξεων Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (+ , - , ∙ , ÷). Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα 1) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν) 2) Δυνάμεις αριθμών 3) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις 4) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις 1.4 Ευκλείδεια Διαίρεση – Διαιρετότητα Τύπος: Δ = δ ∙ π + υ, όπου Δ: Διαιρετέος (ο αριθμός τον οποίο διαιρούμε) δ: διαιρέτης (ο αριθμός με τον οποίο διαιρούμε) π: πηλίκο (το αποτέλεσμα της διαίρεσης/πόσες φορές χωράρει ο διαρέτης στον Διαιρετέο) υ: υπόλοιπο  Ο διαιρέτης μια διαίρεσης δεν μπορεί να είναι 0  Το υπόλοιπο είναι ΠΑΝΤΑ μικρότερο του διαιρέτη (υ<δ) o δ ≠ 0 o α : α = 1 o α : 1 = α o 0 : α = 0 Αν το υπόλοιπο την διαίρεσης είναι 0, τότε η διαίρεση ονομάζεται τέλεια διαίρεση. Ισχύει δηλαδή ότι Δ = δ ∙ π 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 106
  • 6.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 5 1.5Χαρακτήρες Διαιρετότητας – ΕΚΠ και ΜΚΔ – Ανάλυση Αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού ονομάζουμε τους αριθμούς που προκύπτουν όταν πολλαπλασιάσουμε αυτόν το αριθμό με όλους τους φυσικούς. Δηλαδή για έναν φυσικό αριθμό α, τα πολλαπλάσιά του είναι 0, α, 2∙α, 3∙α, 4∙α, …………… Πχ πολλαπλάσια του 2 είναι 0,2,4,6,8,10,12,…… Όταν λέμε ότι ένας αριθμός α διαιρεί τον β, εννοούμε ότι η διαίρεση τους είναι τέλεια δηλαδή υ=0 Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δυο ή περισσοτέρων αριθμών (ΕΚΠ), ονομάζεται το μικρότερο από τα κοινά τους πολλαπλάσια. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δυο ή περισσοτέρων αριθμών (ΜΚΔ), ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες τους Ένας αριθμός που έχει διαιρέτες ΜΟΝΟ τον εαυτό του και το 1, λέγεται πρώτος Διαφορετικά λέγεται σύνθετος Δυο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους, όταν ο ΜΚΔ(α,β)=1 Εύρεση ΕΚΠ και ΜΚΔ με τη βοήθεια της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Για να βρούμε το ΕΚΠ και ΜΚΔ δυο ή περισσοτέρων αριθμών, αναλύουμε αρχικά τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Στη συνέχεια:  Για το ΕΚΠ παίρνουμε το γινόμενο από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη.  Για το ΜΚΔ παίρνουμε το γινόμενο από τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 106
  • 7.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 6 2.1Η έννοια του κλάσματος Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο από ομοειδή αντικείμενα, χωριστεί σε ν ίσα μέρη, τότε καθένα από αυτά ονομάζεται «ένα νιοστό» και συμβολίζεται με 1 𝜈 . Κάθε αριθμός αυτής της μορφής λέγεται κλάσμα ή κλασματική μονάδα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής λέγονται όροι του κλάσματος. Σε ΚΑΘΕ κλάσμα ο παρονομαστής ΔΕΝ πρέπει να είναι 0. Το κλάσμα εκφράζει την διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή, δηλαδή 𝜅 𝜈 = κ : ν Από το τελευταίο προκύπτουν τα ακόλουθα:  Κάθε φυσικός αριθμός α γράφεται ως κλάσμα, με αριθμητή το α και παρονομαστή τη μονάδα (1), δηλαδή α 1 = α  Όταν οι όροι του κλάσματος είναι ίσοι, τότε το κλάσμα ισούται με τη μονάδα: o α α = 1  Όταν ο αριθμητής του κλάσματος είναι το μηδέν (0), τότε όλο το κλάσμα είναι ίσο με το μηδέν: o 0 𝛼 = 0 Σύγκριση ενός κλάσματος με την μονάδα Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος, είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1 Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο από το 1 Το 1 𝜈 ενός αριθμού Για να βρούμε το 1 𝜈 ενός αριθμού α, πολλαπλασιάζουμε το 1 𝜈 με το α ή αλλιώς διαιρούμε το α με το ν. Δηλαδή το 1 𝜈 του α ισούται με: 𝟏 𝝂 ∙ α = 𝛂 𝛎 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 106
  • 8.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 7 2.2Ισοδύναμα Κλάσματα Δυο κλάσματα 𝛼 𝛽 και 𝛾 𝛿 λέγονται ισοδύναμα ή ίσα, όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών. Γράφουμε τότε 𝛼 𝛽 = 𝛾 𝛿 Αν δυο κλάσματα 𝛼 𝛽 και 𝛾 𝛿 είναι ίσα, τότε τα «χιαστί γινόμενά» τους α∙δ και β∙γ είναι ίσα. Δηλαδή: Αν 𝛼 𝛽 = 𝛾 𝛿 τότε α∙δ= β∙γ Αν σε ένα κλάσμα, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα, Δηλαδή: Απλοποίηση ενός κλάσματος ονομάζεται η μετατροπή του σε ισοδύναμο με όσο το δυνατόν μικρότερους όρους. Η απλοποίηση ενός κλάσματος 𝛼 𝛽 γίνεται ως εξής: Βρίσκουμε τον ΜΚΔ (α,β) Διαιρούμε με τον ΜΚΔ (α,β) τον αριθμητή (α) και τον παρονομαστή (β) Ένα κλάσμα 𝛼 𝛽 λέγεται ανάγωγο, όταν δεν μπορεί να απλοποιηθεί άλλο. Σε ένα ανάγωγο κλάσμα 𝛼 𝛽 ισχύει ότι ΜΚΔ (α,β) = 1 Ομώνυμα και Ετερώνυμα Κλάσματα Όταν δυο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, λέγονται ομώνυμα, ενώ όταν έχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα. Για να μετατρέψουμε δυο ή περισσότερα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα, εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών Πολλαπλασιάζουμε τους όρους (αριθμητή και παρονομαστή) με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε όλοι οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το παραπάνω ΕΚΠ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 106
  • 9.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 8 2.3Σύγκριση Κλασμάτων  Αν δυο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή (ομώνυμα), μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μεγαλύτερο αριθμητή  Αν δυο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή  Αν δεν έχουν κανένα όρο τους ίσο, τότε τα κάνουμε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε 2.4 Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων  Για να προσθέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα, αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή και προσθέτουμε τους αριθμητές τους. α β + γ β = α+γ β  Για να αφαιρέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα, αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή και αφαιρούμε τους αριθμητές τους. α β - γ β = α−γ β Αν δεν είναι ομώνυμα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και ακολουθούμε την αντίστοιχη διαδικασία.  Όταν έχουμε πρόσθεση ενός φυσικού αριθμού με κλάσμα μικρότερο της μονάδας, παραλείπουμε το + και γράφουμε: Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται μεικτοί. 2.5 Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων Το γινόμενο δυο κλασμάτων είναι το κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρανομαστή το γινόμενο των παρανομαστων. Το γινόμενο ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, είναι το κλάσμα με αριθμητή, το γινόμενο του αριθμητή με τον φυσικό αριθμό και παρονομαστή τον ίδιο 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 106
  • 10.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 9 Ισχύουνόλες οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού στα κλάσματα, δηλαδή 2.6 Διαίρεση Κλασμάτων Για να διαιρέσουμε δυο φυσικούς αριθμούς, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή: Για να διαιρέσουμε δυο κλάσματα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή: Ένα κλάσμα του οποίου ένας όρος τουλάχιστον είναι κλάσμα, λέγεται σύνθετο. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 106
  • 11.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 10 3.1Δεκαδικά Κλάσματα – Δεκαδικοί Αριθμοί – Διάταξη Δεκαδικών Αριθμών - Στρογγυλοποίηση  Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από το ακέραιο μέρος και το δεκαδικό μέρος, τα οποία χωρίζονται με μια υποδιαστολή.  Στο ακέραιο μέρος, όπως και στους φυσικούς αριθμούς, οι τάξεις των ψηφίων είναι μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κτλ.  Στο δεκαδικό μέρος οι τάξεις των ψηφίων είναι δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά, δεκάκις χιλιοστά, εκατοντάκις χιλιοστά, εκατομμυριοστά, κτλ.  Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού δεν αλλάζει αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού μέρους του. Δεκαδικά Κλάσματα λέγονται τα κλάσματα που έχουν στον παρονομαστή τους μια δύναμη του 10. 5 10 , 32 100 , 58 1000 Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε δεκαδικούς αριθμούς Μπορούμε να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό ως εξής: Γράφουμε μόνο τον αριθμητή και χωρίζουμε με υποδιαστολή τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής. Αν τα ψηφία του αριθμητή δεν φτάνουν, συμπληρώνουμε όσα μηδενικά χρειαζόμαστε αριστερά του αριθμητή. 5 10 = 0,5 32 100 = 0,32 58 1000 = 0,058 Για την αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή για να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα, γράφουμε ένα κλάσμα που έχει αριθμητή τον αριθμό αυτό χωρίς την υποδιαστολή και παρονομαστή το 1 ακολουθούμενο από τόσα μηδενικά όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία του δεκαδικού αριθμού. 0,4 = 4 10 0,03 = 3 100 0,503 = 503 1000 Σύγκριση Δεκαδικών Αριθμών Για να συγκρίνουμε δυο δεκαδικούς αριθμούς, ξεκινάμε κοιτώντας τα ακέραια μέρη τους:  Αν είναι διαφορετικά, τότε μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει μεγαλύτερο ακέραιο μέρος.  Αν είναι ίσα, τότε συγκρίνουμε τα δεκαδικά μέρη των δυο αριθμών ως εξής: τα συμπληρώνουμε με μηδενικά, ώστε να έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων και στην συνέχεις τα συγκρίνουμε όπως τους φυσικούς αριθμούς. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 106
  • 12.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 11 ΣτρογγυλοποίησηΔεκαδικών Αριθμών Η στρογγυλοποίηση δεκαδικών αριθμών είναι ίδια με αυτή των φυσικών αριθμών. Εντοπίζουμε δηλαδή την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση και εξετάζουμε το μικρότερης τάξης ψηφίο (το αμέσως επόμενο δεξιά).  Αν αυτό είναι μικρότερο του 5, αφήνουμε τα ψηφία του αριθμού όπως είναι μέχρι και εκείνο που θα γίνει η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε με μηδενικά όλα τα επόμενα  Αν αυτό είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5, αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο που σημειώσαμε για στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε με μηδενικά όλα τα επόμενα ψηφία του. Δεκαδικοί αριθμοί όπως το 0,6666………, στους οποίους τα δεκαδικά ψηφία είναι άπειρα και επαναλαμβάνονται, ονομάζονται περιοδικοί αριθμοί και δεν μπορούν να γραφούν ως δεκαδικά κλάσματα. Μπορούν όμως να γραφούν ως κλάσματα με κάποιον άλλο παρονομαστή. Για παράδειγμα 2 3 = 0,6666….. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 106
  • 13.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 12 4.1Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις α + x = β, α – x = β, αx=β, α:x=β, x:α=β Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα (που είναι ο άγνωστος). Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός που όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει τη δοσμένη ισότητα. Η διαδικασία μέσω της οποίας βρίσκουμε τη λύση μιας εξίσωσης λέγεται επίλυση της εξίσωσης. Μια εξίσωση λέγεται αόριστη ή ταυτότητα, όταν όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις της. Μια εξίσωση λέγεται αδύνατη, όταν κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει. Μορφή Εξίσωσης Λύση Εξίσωσης x + α = β x = β – α x – α = β x = β + α α – x = β x = α – β α ∙ x = β x = β : α x : α = β x = α ∙ β α : x = β x = α : β 5.1 Ποσοστά  Το σύμβολο α% ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή πιο απλά ποσοστό και ισχύει ότι: α% = α 100  Το ποσοστό α% του β είναι α 100 ∙ β  Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά Μετατροπή ποσοστού % σε δεκαδικό αριθμό και αντίστροφα Για να μετατρέψουμε ένα ποσοστό % σε δεκαδικό: 1. Γράφουμε το ποσοστό % ως κλάσμα με παρονομαστή το 100 2. Γράφουμε το κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό (μεταφέρουμε στον αριθμητή την υποδιαστολή δυο θέσεις αριστερά) Για να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε ποσοστό % τον γράφουμε ως κλάσμα με παρονομαστή το 100 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 106
  • 14.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 13 Μετατροπήκλάσματος σε ποσοστό Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα σε ποσοστό % χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους: 1ος Τρόπος: Μετατρέπουμε το κλάσμα σε ισοδύναμο με παρονομαστή το 100, πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο φυσικό αριθμό τους όρους του κλάσματος. 2ος Τρόπος: Γράφουμε το κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό (κάνοντας διαίρεση) και στη συνέχεια μετατρέπουμε τον δεκαδικό σε ποσοστό % 5.2 Προβλήματα με ποσοστά Έκπτωση = α 100 ∙ (Αρχική Τιμή) Τελική Τιμή = (Αρχική Τιμή) – (Έκπτωση) Φόρος Προστιθέμενης Αξίας ( Φ.Π.Α.) είναι ένας γενικός φόρος που επιβάλλεται σχεδόν σε όλα τα προϊόντα και τις παρεχόμενες υπηρεσίες. Φ.Π.Α. = α 100 ∙ (Αρχική Τιμή) Τόκος (Τ) λέγεται το κέρδος που έχει κάποιος όταν αποταμιεύει σε κάποια τράπεζα ή όταν δανείζει τα χρήματά του. Ο τόκος των 100€ για ένα έτος λέγεται επιτόκιο (Ε). Για παράδειγμα, επιτόκιο 3% σημαίνει ότι για κάθε 100€ που καταθέτουμε στην τράπεζα, παίρνουμε στο τέλος του χρόνου 3€ επιπλέον. Συνολικά, δηλαδή, στο τέλος του χρόνου θα πάρουμε 100 + 3 = 103€ Ο τόκος δηλαδή είναι 3€ Ο τόκος Τ που μας δίνει ένα κεφάλαιο Κ, όταν αυτό τοκιστεί για ένα χρόνο με επιτόκιο Ε%, είναι: Τ = Κ ∙ Ε 100 Ο τόκος Τ που μας δίνει ένα κεφάλαιο Κ, όταν αυτό τοκιστεί για X μήνες (X<12) με επιτόκιο Ε%, είναι: Τ = Χ 12 ∙ Ε 100 ∙ Κ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 106
  • 15.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 14 7.1Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί (Ρητοί Αριθμοί) Τα σύμβολα «+» (συν) και «-» (πλην) λέγονται πρόσημα και χωρίζουν τους αριθμούς σε θετικούς και αρνητικούς αντίστοιχα. Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός και δεν έχει πρόσημο. Στους θετικούς, το πρόσημο μπορούμε να το παραλείψουμε. Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο Φυσικοί αριθμοί είναι οι : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………… Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους: ………, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..... Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας αριθμοί έως τώρα, δηλαδή οι φυσικοί, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους. 7.2 Απόλυτη τιμή Ρητού αριθμού – Αντίθετοι Ρητοί – Σύγκριση ρητών Ορισμός: Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α είναι η απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την αρχή του άξονα, δηλαδή από το 0. Συμβολίζεται με |𝛼| Πχ |+2| = 2 |-4| = 4 |0| = 0 Δυο αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι, όταν είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. Ο αντίθετος του x είναι ο –x.  Μεγαλύτερος ρητός, είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα.  Όλοι οι θετικοί ρητοί είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και τους αρνητικούς.  Μεγαλύτερος από δυο θετικούς ρητούς, είναι αυτός με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.  Μεγαλύτερος από δυο αρνητικούς ρητούς, είναι αυτός με την μικρότερη απόλυτη τιμή. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 106
  • 16.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 15 7.3Πρόσθεση Ρητών Αριθμών Για να προσθέσουμε δυο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο. Για να προσθέσουμε δυο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από την μεγαλύτερη και στην διαφορά τους βάζουμε το πρόσημο του ρητού που έχει τη μεγαλύτερη τιμή. Ιδιότητες της Πρόσθεσης  Αντιμεταθετική Ιδιότητα α + β = β + α  Προσεταιριστική Ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ  Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = 0 + α = α  Άθροισμα Αντίθετων α + (-α) = (-α) + α = 0 7.3 Αφαίρεση Ρητών Αριθμών Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β. Δηλαδή: α – β = α + (-β) Απαλοιφή Παρενθέσεων Σε ορισμένες αριθμητικές παραστάσεις εμφανίζονται παρενθέσεις, οι οποίες περιέχουν έναν ή και περισσότερους αριθμούς με τα πρόσημά τους. Μπροστά από τις παρενθέσεις αυτές μπορεί να υπάρχουν τα πρόσημα «+» ή «-». Για να τις απαλείψουμε, εργαζόμαστε ως εξής: Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «+» (ή δεν έχει πρόσημο), τότε βγάζουμε την παρένθεση, μαζί με το «+» (αν έχει), και γράφουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους όπως είναι. Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «-», τότε βγάζουμε την παρένθεση και γράφουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 16 of 106
  • 17.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 16 Παράδειγμα: 𝛢= +(−5) – (−3) + (+6) – (−14) = −5 + 3 + 6 + 14 = −2 + 20 = 18 7.5 Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών Το γινόμενο δυο ομόσημων (2 θετικοί ή 2 αρνητικοί) ρητών αριθμών, είναι πάντα θετικός αριθμός. + ∙ + = + και - ∙ - = + Το γινόμενο δυο ετερόσημων ρητών αριθμών, είναι πάντα αρνητικός αριθμός. + ∙ - = - ή - ∙ + = - Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού  Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α  Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙γ) = (α ∙ β) ∙ γ  Ουδέτερο Στοιχείο: 1 ∙ α = α ∙ 1 = α  Γινόμενο με το 0: 0 ∙ α = α ∙ 0 = 0  Επιμεριστική Ιδιότητα: α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ Αντίστροφοι Αριθμοί Δυο ρητοί αριθμοί α και β, διάφοροι του μηδενός, λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή όταν ισχύει: α ∙ β = 1  Ο καθένας από τους α και β είναι αντίστροφος του άλλου  Ο αντίστροφος του κ είναι ο 1 κ  Ο αντίστροφος του κ λ είναι ο 𝜆 κ  Δύο αντίστροφοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 106
  • 18.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 17 Γινόμενοπολλών παραγόντων Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων (που είναι διάφοροι του μηδενός), πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε:  Το πρόσημο «+» αν το πλήθος αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο.  Το πρόσημο «-» αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό.  Αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν (0), τότε και το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν 7.6 Διαίρεση Ρητών Αριθμών  Για να διαιρέσουμε δυο ομόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «+» + : + = + και - : - = +  Για να διαιρέσουμε δυο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «-» + : - = - και - : + = - Θυμάμαι: Προτεραιότητα Πράξεων Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς. Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα 5) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν) 6) Δυνάμεις αριθμών 7) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις 8) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις 7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών Όταν σε έναν δεκαδικό αριθμό, ένα μέρος των δεκαδικών του ψηφίων επαναλαμβάνεται, ο αριθμός αυτός ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και το τμήμα των επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος. Κάθε ρητός αριθμός, λοιπόν, μπορεί να γραφεί με την μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού Πχ. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 106
  • 19.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 18 1.1Σημείο– Ευθύγραμμο Τμήμα Ευθεία – Ημιευθεία Επίπεδο – Ημιεπίπεδο Η Γεωμετρία στηρίζεται σε τρεις βασικές έννοιες. Την έννοια του σημείου, της ευθείας και του επιπέδου. Για αυτές τις έννοιες δεν μπορούμε να δώσουμε ορισμό. Η κατανόηση τους προκύπτει από την εμπειρία. Σημείο Το σημείο δεν έχει διαστάσεις (μήκος, πλάτος, εμβαδό). Ένα σημείο μπορούμε να το παραστήσουμε με μια τελεία και το συμβολίζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα πχ Α, Β, Γ, Μ, κτλ. Ευθύγραμμο τμήμα Για να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, αρκεί να ενώσουμε με μια γραμμή δυο σημεία. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει άκρα τα σημεία Α και Β, τα οποία λέμε ότι το ορίζουν. Ευθεία Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα προς και τα δυο του άκρα, το σχήμα που προκύπτει ονομάζεται ευθεία. Η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή, ούτε τέλος. Μια ευθεία τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα (πχ ε, ζ, …), είτε με δύο μικρά γράμματα (πχ χ’χ, ψ’ψ, …) είτε με τα γράμματα δυο σημείων της ευθείας.  Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες  Από δυο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία Ημιευθεία Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα προς το ένα άκρο του μόνο, τότε το σχήμα που προκύπτει ονομάζεται ημιευθεία. Η ημιευθεία έχει αρχή αλλά δεν έχει τέλος. Δύο ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, ονομάζονται αντικείμενες ημιευθείες. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 106
  • 20.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 19 Επίπεδο Ηεπιφάνεια του καθρέφτη, το πάτωμα του δωματίου μας δίνουν την έννοια του επιπέδου. Συμβολίζουμε το επίπεδο με ένα κεφαλαίο γράμμα πχ Π, Ρ, Σ, κτλ. Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα. Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται μόνο ένα επίπεδο. Ημιεπίπεδο Κάθε ευθεία ενός επιπέδου, το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα Π1 και Π2. Πλευρές ενός πολυγώνου είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν δύο διαδοχικές κορυφές. Διαγώνιες ενός πολυγώνου είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν δυο μη διαδοχικές κορυφές. Πλευρά ΓΔ Διαγώνιος ΒΔ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 20 of 106
  • 21.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 20 1.2Γωνία – Γραμμή – Επίπεδα Σχήματα – Ευθύγραμμα Σχήματα – Ίσα Σχήματα Σχεδιάζουμε δυο ημιευθείες Ox και Οy, με κοινή αρχή Ο. Το μέρος του επιπέδου Π1 ονομάζεται κυρτή γωνία, ενώ το Π2 μη κυρτή γωνία. Το σημείο Ο ονομάζεται κορυφή της γωνίας, ενώ οι ημιευθείες Ox και Oy ονομάζονται πλευρές της γωνίας. Μια γωνία μπορούμε να την ονομάζουμε: Α) με ένα μικρό γράμμα (πχ φ, ω, ψ, ….) Β) με το γράμμα της κορυφής (πχ Α, Β, Μ, ….) Γ) με τρία γράμματα, όπως στο παράδειγμα της φωτογραφίας xOy ή yOx (!!!Το γράμμα της κορυφής να βρίσκεται στην μέση!!!) Τεθλασμένη γραμμή – Ευθύγραμμο σχήμα  Τεθλασμένη γραμμή είναι μια γραμμή που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.  Ευθύγραμμο σχήμα ονομάζεται κάθε τεθλασμένη γραμμή της οποίας τα άκρα συμπίπτουν. Μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κυρτή όταν η προέκταση κάθε πλευράς αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στο ίδιο επίπεδο. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 21 of 106
  • 22.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 21 Ανη προέκταση μιας τουλάχιστον πλευράς της τεθλασμένης γραμμής αφήνει ορισμένες πλευρές στο ένα ημιεπίπεδο και ορισμένες στο άλλο, τότε η τεθλασμένη γραμμή λέγεται μη κυρτή. 1.3 Μονάδες μέτρησης μήκους – Απόσταση Σημείων – Μέσο ευθύγραμμου τμήματος Χιλιόμετρο Km Μέτρο m Δεκατόμετρο (δέκατο) dm Εκατοστόμετρο (εκατοστό) cm Χιλιοστόμετρο (χιλιοστό) mm Απόσταση δυο σημείων ονομάζουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία αυτά. Μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, ονομάζουμε το σημείο Μ που απέχει το ίδιο από τα άκρα του τμήματος (δηλαδή βρίσκεται στη μέση του.) X1000 X10 X10 X10 :1000 :10 :10 :10 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 22 of 106
  • 23.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 22 1.4Πρόσθεση και Αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων  Για να προσθέσουμε δύο ή περισσότερα ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε διαδοχικά πάνω σε μία ευθεία. Το τμήμα που ορίζεται από την αρχή του πρώτου και το τέλος του τελευταίου, είναι το άθροισμά τους.  Για να αφαιρέσουμε δύο ή περισσότερα ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε με κοινή αρχή πάνω σε μια ημιευθεία. Το τμήμα που ορίζεται από το τέλος του μικρότερου και το τέλος του μεγαλύτερου, είναι η διαφορά τους. Μήκος τεθλασμένης γραμμής Μια τεθλασμένη γραμμή, έχει μήκος ίσο με το άθροισμα των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων από τα οποία αποτελείται. Περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών του σχήματος. 1.5 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών – Διχοτόμος γωνίας Μονάδα μέτρησης γωνιών Η μονάδα μέτρησης της γωνίας είναι η μοίρα η οποία συμβολίζεται 1ο . Η μία μοίρα (1ο ) έχει 60 πρώτα λεπτά (60’) και το 1 πρώτο λεπτό έχει 60 δεύτερα λεπτά (60’’) 1ο = 60’ και 1’ = 60’’  Κάθε γωνία έχει μοναδικό μέτρο.  Αν δυο γωνίες έχουν ίδιο μέτρο, είναι ίσες.  Με xOy συμβολίζουμε εκτός από την γωνία και το μέτρο της. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες, είναι ίσες. Διχοτόμος μιας γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 23 of 106
  • 24.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 23 1.6Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες Ορθή γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 90ο Οι πλευρές μια ορθής γωνίας είναι κάθετες ημιευθείες. Μια ορθή γωνία τη σημειώνουμε με το σύμβολο L . Οξεία γωνία λέγεται η γωνία ω που είναι μικρότερη από την ορθή, έχει δηλαδή μέτρο μικρότερη από 90ο 0ο < ω < 90ο Αμβλεία γωνία λέγεται η γωνία ω που έχει μέτρο μεγαλύτερο από 90ο και μικρότερο από 180ο . 90ο < ω < 180ο Ευθεία γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 180ο . Οι πλευρές της ευθείας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες. Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία ω που έχει μέτρο μεγαλύτερο των 180ο και μικρότερο των 360ο . 180ο < ω < 360ο Μηδενική γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 0ο . Οι πλευρές της μηδενικής γωνίας ταυτίζονται (συμπίπτουν). 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 24 of 106
  • 25.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 24 Πλήρηςγωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 360ο . Οι πλευρές της πλήρους γωνίας ταυτίζονται, όμως η μια πλευρά της ουσιαστικά έχει κάνει μια πλήρης περιστροφή γύρω από την κορυφή της. Δυο ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες, όταν οι γωνίες που σχηματίζουν είναι ορθές (90ο) και συμβολίζουμε ε1 ε2. 1.7 Εφεξής και Διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών Εφεξής γωνίες Δυο γωνίες λέγονται εφεξής, όταν:  Έχουν την ίδια κορυφή  Έχουν μια κοινή πλευρά  Δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο Διαδοχικές γωνίες Τρεις ή περισσότερες γωνίες λέγονται διαδοχικές, όταν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμία από αυτές, είναι εφεξής με την επόμενη ή την προηγούμενη. Άθροισμα και Διαφορά γωνιών Άθροισμα γωνιών Για να προσθέσουμε δυο γωνίες φ και ω, πρέπει να τις κάνουμε πρώτα εφεξής. Η γωνία που σχηματίζεται από τις μη κοινές πλευρές, είναι το άθροισμα τους. Διαφορά γωνιών Για να αφαιρέσουμε δυο γωνίες φ και ω, τις τοποθετούμε έτσι ώστε να έχουν κοινή κορυφή, μια κοινή πλευρά έτσι ώστε να είναι η μία γωνία «μέσα» στην άλλη. Η γωνία που σχηματίζεται από τις μη κοινές πλευρές τους, είναι η διαφορά τους. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 25 of 106
  • 26.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 25 1.8Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Δυο γωνίες φ και ω λέγονται παραπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα 180ο . φ + ω = 180ο Σε δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες, οι μη κοινές πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. Δυο γωνίες φ και ω λέγονται συμπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα 90ο . φ + ω = 90ο Σε δυο εφεξής και συμπληρωματικές γωνίες, οι μη κοινές πλευρές τους είναι κάθετες ημιευθείες. Δυο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν, όταν  Έχουν κοινή κορυφή.  Οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. Δυο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 1.9 Θέσεις ευθειών στο επίπεδο Παράλληλες ευθείες Δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου θα λέγονται παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν. Δυο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 συμβολίζονται ε1//ε2 . Τεμνόμενες ευθείες Δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου θα λέγονται τεμνόμενες όταν έχουν μόνο ένα κοινό σημείο Το κοινό τους αυτό σημείο ονομάζεται σημείο τομής των ευθειών. Σύμφωνα με τα παραπάνω, δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου, θα είναι τεμνόμενες ή παράλληλες. Θα έχουν δηλαδή ένα μόνο ή κανένα κοινό σημείο. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 26 of 106
  • 27.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 26 Ορισμός1 Δυο ευθείες ενός επιπέδου, που είναι κάθετες σε μια άλλη ευθεία του ίδιου επιπέδου, είναι μεταξύ τους παράλληλες. Ορισμός 2 (Ευκλείδειο Αίτημα) Από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από μια ευθεία ε, μπορούμε να φέρουμε μία μόνο ευθεία που να είναι παράλληλη στην ε. 1.10 Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση Παραλλήλων Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση σημείου από ευθεία, ονομάζουμε το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει το σημείο με την ευθεία.  Το σημείο Α0 ονομάζεται ίχνος της κάθετης από το σημείο Α.  Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑ0 , που έχει δηλαδή άκρα το σημείο Α και το ίχνος του, είναι το μικρότερο τμήμα που ενώνει την ευθεία με το σημείο Α. Απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών Απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών, ονομάζουμε το μήκος οποιουδήποτε κάθετου ευθυγράμμου τμήματος ενώνει τις ευθείες και έχει τα άκρα του σε αυτές. Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση παραλλήλων ευθειών 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 27 of 106
  • 28.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 27 1.11Κύκλος και στοιχεία του κύκλου Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο.  Η απόσταση αυτή λέγεται ακτίνα του κύκλου και συμβολίζεται με ρ.  Το σημείο Ο λέγεται κέντρο του κύκλου.  Ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ, συμβολίζεται (Ο,ρ).  Δυο κύκλοι με ίσες ακτίνες, είναι ίσοι. Χορδή κύκλου Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δυο σημεία ενός κύκλου, λέγεται χορδή του κύκλου. Διάμετρος κύκλου Μια χορδή ενός κύκλου που περνάει από το κέντρο του, ονομάζεται διάμετρος του κύκλου. Σε κάθε κύκλο ισχύουν τα εξής: Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου. Η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας του κύκλου (δ=2ρ). Ένας κύκλος έχει άπειρες διαμέτρους. Τα άκρα μιας διαμέτρου, ονομάζονται αντιδιαμετρικά σημεία. Το μέσο μιας διαμέτρου, είναι το κέντρο του κύκλου. Ημικύκλιο – Τόξο  Μια διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δυο ίσα μέρη. Καθένα από αυτά ονομάζεται ημικύκλιο.  Δυο σημεία Α και Β ενός κύκλου τον χωρίζουν σε δυο μέρη. Καθένα από αυτά ονομάζεται τόξο με άκρα τα Α και Β, δηλαδή τόξο ΑΒ. Για να ξεχωρίζουμε τα δυο αυτά τόξα ενός κύκλου, χρησιμοποιούμε ένα ενδιάμεσο σημείο πχ τόξο ΑΓΒ. Ομόκεντροι κύκλοι Δυο ή περισσότεροι κύκλοι με ίδιο κέντρο και διαφορετικές ακτίνες, λέγονται ομόκεντροι. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 28 of 106
  • 29.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 28 Κυκλικόςδίσκος Κυκλικός δίσκος (Ο,ρ) είναι ο κύκλος (Ο,ρ) μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Όλα τα σημεία του κυκλικού δίσκου, απέχουν από το κέντρο του Ο, απόσταση ίση ή μικρότερη της ακτίνας. 1.13 Θέσεις ευθείας και κύκλου Μια ευθεία και ένας κύκλος μπορεί να έχουν: Κανένα κοινό σημείο Στην περίπτωση αυτή, η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου θα είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα, δηλαδή: d > ρ Η ευθεία αυτή, που δεν τέμνει τον κύκλο, λέγεται εξωτερική του κύκλου. (Με d θα συμβολίζουμε την απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου) Ένα κοινό σημείο Στην περίπτωση αυτή η ευθεία θα λέγεται εφαπτομένη του κύκλου και το κοινό τους σημείο θα λέγεται σημείο επαφής. Η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου θα είναι ίση με την ακτίνα, δηλαδή: d = ρ Δυο κοινά σημεία Στην περίπτωση αυτή η ευθεία λέγεται τέμνουσα του κύκλου. Η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου είναι μικρότερη της ακτίνας, δηλαδή: d < ρ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 29 of 106
  • 30.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 29 1.12Επίκεντρη γωνία Κατασκευάζουμε έναν κύκλο (𝛰, 𝜌). Μια γωνία 𝒙𝑶̂ 𝒚 λέγεται επίκεντρη, αν η κορυφή της συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου Αν οι πλευρές της τέμνουν το κύκλο στα σημεία Α και Β, τότε το τόξο 𝛢𝛤̂ 𝛣 που βρίσκεται στο εσωτερικό της κυρτής γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας 𝑥𝑂̂ 𝑦. Ως μέτρο ενός τόξο ορίζουμε το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δύο ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα τόξα και το αντίστροφο. 2.1 Συμμετρία ως προς άξονα Συμμετρικό σημείο ως προς ευθεία Συμμετρικό σημείου Α προς ευθεία ε είναι το σημείο Α’ με το οποίο συμπίπτει το Α, αν διπλώσουμε το φύλλο κατά μήκος της ευθείας ε. Κάθε σημείο μιας ευθείας ε είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς την ευθεία ε. Συμμετρικά σχήματα ως προς ευθεία Δυο σχήματα (Σ1) και (Σ2) λέγονται συμμετρικά ως προς μια ευθεία ε, όταν καθένα αποτελείται από τα συμμετρικά σημεία του άλλου ως προς την ευθεία ε. Τα συμμετρικά ως προς ευθεία σχήματα, είναι ίσα., 2.2 Άξονας συμμετρίας Άξονας συμμετρίας ενός σχήματος ονομάζεται μια ευθεία που χωρίζει το σχήμα σε δυο μέρη, τα οποία συμπίπτουν όταν το σχήμα διπλωθεί κατά μήκος της ευθείας ε. Όταν ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας, το συμμετρικό του ως προς άξονα συμμετρίας είναι το ίδιο το σχήμα. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 30 of 106
  • 31.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 30 2.3Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα και διέρχεται από το μέσο του. Ιδιότητες μεσοκαθέτου 1. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. 2. Κάθε σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος, βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος αυτού. 3. Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ο άξονας συμμετρίας του. 2.4 Συμμετρία ως προς σημείο Συμμετρικό σημείου Κ ως προς το κέντρο Ο, είναι το σημείο Κ’, με το οποίο συμπίπτει το Κ αν περιστραφεί γύρω από το Ο κατά 180ο .  Δυο σημεία Κ και Κ’ είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν το Ο είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΚΚ’.  Το συμμετρικό του σημείου Ο ως προς το σημείο Ο, είναι το ίδιο το σημείο Ο. 2.5 Κέντρο συμμετρίας Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος ονομάζεται ένα σημείο Ο, γύρω από το οποίο αν το σχήμα περιστραφεί κατά 180ο , τότε συμπίπτει με το αρχικό. Αν ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας, τότε το συμμετρικό του σχήματος ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι το ίδιο σχήμα. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 31 of 106
  • 32.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 31 2.6Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Έστω ε1 και ε2 δυο παράλληλες ευθείες, οι οποίες τέμνονται από την ευθεία δ. Για τις γωνίες που σχηματίζουν αυτές οι ευθείες, έχουμε τους εξής χαρακτηρισμούς:  Οι γωνίες που βρίσκονται εντός των παραλλήλων, χαρακτηρίζονται «εντός».  Οι γωνίες που βρίσκονται εκτός των παραλλήλων, χαρακτηρίζονται «εκτός».  Αν οι γωνίες βρίσκονται από την ίδια μεριά της τέμνουσας χαρακτηρίζονται ως «επί τα αυτά».  Αν οι γωνίες βρίσκονται από διαφορετικές μεριές της τέμνουσας, χαρακτηρίζονται ως «εναλλάξ». Παραδείγματα: a. Οι γωνίες Α3 και Β2 είναι εντός των παραλλήλων και επί τα αυτά της τέμνουσας. b. Οι γωνίες Β3 και Α1 είναι εκτός των παραλλήλων και εναλλάξ της τέμνουσας. c. Οι γωνίες Α2 και Β1 είναι εντός-εκτός των παραλλήλων και εναλλάξ της τέμνουσας. Σχέσεις μεταξύ των γωνιών  Όλες οι οξείες γωνίες, είναι μεταξύ τους ίσες.  Όλες οι αμβλείες γωνίες, είναι μεταξύ τους ίσες.  Μια οξεία και μια αμβλεία γωνία, είναι μεταξύ τους παραπληρωματικές (έχουν άθροισμα 180ο ). Ίσες γωνίες Εντός εναλλάξ Εκτός εναλλάξ Εντός-εκτός και επί τα αυτά Παραπληρωματικές γωνίες Εντός και επί τα αυτά Εκτός και επί τα αυτά Εντός-εκτός εναλλάξ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 32 of 106
  • 33.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 32 3.1Στοιχεία Τριγώνου – Είδη Τριγώνου 1) Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Τα τρίγωνα χωρίζονται σε χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Α) Με κριτήριο τις γωνίες τους Β) Με κριτήριο της πλευρές τους Α) Με κριτήριο τις γωνίες τους, τα τρίγωνα χωρίζονται σε: Β) Με κριτήριο τις πλευρές τους, τα τρίγωνα χωρίζονται σε: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 33 of 106
  • 34.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 33 2)Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος. Διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Ύψος είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με την ευθεία της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μια κορυφή, διχοτομεί την αντίστοιχη γωνία και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Οι τρείς διάμεσοι του τριγώνου περνάνε όλες από το ίδιο σημείο Θ, που ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου. Τα τρία ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο Η, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο του τριγώνου. Οι τρεις διχοτόμοι περνάνε από το ίδιο σημείο Ι, το οποίο ονομάζεται έκκεντρο του τριγώνου. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 34 of 106
  • 35.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 34 3.2Άθροισμα γωνιών τριγώνου – Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο . Δηλαδή σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: 𝐴̂ + 𝛣̂ + 𝛤̂ = 180ο Εξωτερική γωνία τριγώνου Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ σχεδιάζουμε την προέκταση Γx της πλευράς ΒΓ προς το μέρος του Γ. Η γωνία 𝛢𝛤𝑥̂ = 𝜑̂ ονομάζεται εξωτερική γωνία της 𝛤̂. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με την εξωτερική της τρίτης γωνίας. Δηλαδή στο διπλανό σχήμα ισχύει: 𝐴̂ + 𝛣̂ = 𝜑̂ Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές. Δηλαδή αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, με =90ο , τότε ισχύει: 𝛣̂ + 𝛤̂ = 90ο Ιδιότητες ισοσκελούς και ισόπλευρου τριγώνου Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Ένα τρίγωνο λέγεται ισοσκελές, όταν έχει δυο πλευρές ίσες μεταξύ τους. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ότι:  Η ευθεία της διαμέσου που αντιστοιχεί στη βάση του ισοσκελούς είναι άξονας συμμετρίας του.  Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ύψος και διχοτόμος.  Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς είναι ίσες μεταξύ τους. Ιδιότητες ισόπλευρου τριγώνου Ένα τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο, όταν και οι τρεις πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει ότι:  Οι ευθείες των διαμέσων είναι άξονες συμμετρίας του ισόπλευρου τριγώνου.  Κάθε διάμεσος του ισόπλευρου τριγώνου είναι επίσης ύψος και διχοτόμος.  Όλες οι γωνίες του ισοπλεύρου είναι ίσες μεταξύ τους και ίσες με 60ο . 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 35 of 106
  • 36.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 35 3.3Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος – Τετράγωνο – Τραπέζιο – Ισοσκελές τραπέζιο Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.  Κάθε πλευρά του παραλληλογράμμου μπορεί να θεωρηθεί ως βάση του.  Ύψος ενός παραλληλογράμμου λέγεται η απόσταση μιας βάσης του από την απέναντι πλευρά. Στο διπλανό σχήμα ισχύουν: 1. ΑΔ//ΒΓ και ΑΒ//ΔΓ 2. ΕΖ και ΗΘ είναι ύψη Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμων Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο λέγεται ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές. Οι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι και ύψη του ορθογωνίου. Ρόμβος λέγεται ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες μεταξύ τους. Τετράγωνο λέγεται ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες. Το τετράγωνο είναι ορθογώνιο (αφού έχει όλες τις γωνίες ορθές) και ρόμβος (αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες). Τραπέζιο λέγεται ένα τετράπλευρο με μόνο δυο παράλληλες πλευρές.  Οι δυο παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίου ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου.  Η απόσταση των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ΑΒ//ΔΓ , όπου ΑΒ και ΔΓ οι βάσεις του τραπεζίου Αν ένα τραπέζιο έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες, τότε λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ΑΔ = ΒΓ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 36 of 106
  • 37.
    B’ Γυμνασίου Μαθηματικά Θεωρία ΑντωνάτοςΓιώργος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ email: antonatos.geo@gmail.com 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 37 of 106
  • 38.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 1 7.1Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί (Ρητοί Αριθμοί) Τα σύμβολα «+» (συν) και «-» (πλην) λέγονται πρόσημα και χωρίζουν τους αριθμούς σε θετικούς και αρνητικούς αντίστοιχα. Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός και δεν έχει πρόσημο. Στους θετικούς, το πρόσημο μπορούμε να το παραλείψουμε. Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο Φυσικοί αριθμοί είναι οι : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………… Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους: ………, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..... Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας αριθμοί έως τώρα, δηλαδή οι φυσικοί, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους. 7.2 Απόλυτη τιμή Ρητού αριθμού – Αντίθετοι Ρητοί – Σύγκριση ρητών Ορισμός: Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α είναι η απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την αρχή του άξονα, δηλαδή από το 0. Συμβολίζεται με |𝛼| Πχ |+2| = 2 |-4| = 4 |0| = 0 Δυο αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι, όταν είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. Ο αντίθετος του x είναι ο –x. Μεγαλύτερος ρητός, είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα. Όλοι οι θετικοί ρητοί είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και τους αρνητικούς. Μεγαλύτερος από δυο θετικούς ρητούς, είναι αυτός με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Μεγαλύτερος από δυο αρνητικούς ρητούς, είναι αυτός με την μικρότερη απόλυτη τιμή. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 38 of 106
  • 39.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2 Ανο αριθμός x είναι θετικός, τότε είναι μεγαλύτερος του 0 και γράφουμε: X > 0 ή 0 < X Αν ο αριθμός x είναι αρνητικός, τότε είναι μικρότερος του 0 και γράφουμε: X < 0 ή 0 > X 7.3 Πρόσθεση Ρητών Αριθμών Για να προσθέσουμε δυο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο. Για να προσθέσουμε δυο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από την μεγαλύτερη και στην διαφορά τους βάζουμε το πρόσημου του ρητού που έχει τη μεγαλύτερη τιμή. Ιδιότητες της Πρόσθεσης  Αντιμεταθετική Ιδιότητα α + β = β + α  Προσεταιριστική Ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ  Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = 0 + α = α  Άθροισμα Αντίθετων α + (-α) = (-α) + α = 0 7.3 Αφαίρεση Ρητών Αριθμών Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β. Δηλαδή: α – β = α + (-β) 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 39 of 106
  • 40.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3 ΑπαλοιφήΠαρενθέσεων Σε ορισμένες αριθμητικές παραστάσεις εμφανίζονται παρενθέσεις, οι οποίες περιέχουν έναν ή και περισσότερους αριθμούς με τα πρόσημά τους. Μπροστά από τις παρενθέσεις αυτές μπορεί να υπάρχουν τα πρόσημα «+» ή «-». Για να τις απαλείψουμε, εργαζόμαστε ως εξής: Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «+» (ή δεν έχει πρόσημο), τότε βγάζουμε την παρένθεση, μαζί με το «+» (αν έχει), και γράφουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους όπως είναι. Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «-», τότε βγάζουμε την παρένθεση και γράφουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα. Παράδειγμα: 𝛢 = +(−5) – (−3) + (+6) – (−14) = −5 + 3 + 6 + 14 = −2 + 20 = 18 7.5 Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών Το γινόμενο δυο ομόσημων (2 θετικοί ή 2 αρνητικοί) ρητών αριθμών, είναι πάντα θετικός αριθμός. + ∙ + = + και - ∙ - = + Το γινόμενο δυο ετερόσημων ρητών αριθμών, είναι πάντα αρνητικός αριθμός. + ∙ - = - ή - ∙ + = - Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού  Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α  Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙γ) = (α ∙ β) ∙ γ  Ουδέτερο Στοιχείο: 1 ∙ α = α ∙ 1 = α  Γινόμενο με το 0: 0 ∙ α = α ∙ 0 = 0  Επιμεριστική Ιδιότητα: α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 40 of 106
  • 41.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 4 ΑντίστροφοιΑριθμοί Δυο ρητοί αριθμοί α και β, διάφοροι του μηδενός, λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή όταν ισχύει: α ∙ β = 1  Ο καθένας από τους α και β είναι αντίστροφος του άλλου  Ο αντίστροφος του κ είναι ο 1 κ  Ο αντίστροφος του κ λ είναι ο 𝜆 κ  Δύο αντίστροφοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο Γινόμενο πολλών παραγόντων Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων (που είναι διάφοροι του μηδενός), πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε:  Το πρόσημο «+» αν το πλήθος αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο.  Το πρόσημο «-» αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό.  Αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν (0), τότε και το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν 7.6 Διαίρεση Ρητών Αριθμών  Για να διαιρέσουμε δυο ομόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «+» + : + = + και - : - = +  Για να διαιρέσουμε δυο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «-» + : - = - και - : + = - Θυμάμαι: Προτεραιότητα Πράξεων Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς. Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα 1) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν) 2) Δυνάμεις αριθμών 3) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις 4) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 41 of 106
  • 42.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 5 7.7Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών Όταν σε έναν δεκαδικό αριθμό, ένα μέρος των δεκαδικών του ψηφίων επαναλαμβάνεται, ο αριθμός αυτός ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και το τμήμα των επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος. Κάθε ρητός αριθμός, λοιπόν, μπορεί να γραφεί με την μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού Πχ. 7.8-7.9 Δυνάμεις αριθμών Θυμάμαι: Δύναμη ενός αριθμού α στην ν, ονομάζουμε το γινόμενο α∙α∙α……∙α (ν φορές) και συμβολίζουμε αν Το α ονομάζεται βάση της δύναμης, ενώ το ν εκθέτης. Ουσιαστικά ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον εαυτό της.  α2 : α στην δευτέρα ή α στο τετράγωνο  α3 : α στην τρίτη ή α στον κύβο  α1 = α  1v = 1 Τις δυνάμεις του 10, δηλαδή το 10v , τις υπολογίζουμε ως εξής. Γράφουμε το 1 και συμπληρώνουμε v μηδενικά. Για παράδειγμα 104 = 10000  Με εκθέτη φυσικό Αν 1. α>0 τότε αν >0 2. α<0 και ν άρτιος, τότε αν >0 πχ (−2)2 = +4 (γιατί το «2» είναι άρτιος) 3. α<0 και ν περιττός, τότε αν <0 πχ (−2)3 = −8 (γιατί το «3» είναι περιττός)  Με εκθέτη ακέραιο 1. α-ν = ( 1 𝜶 𝝂 ) = ( 1 𝛼 ) 𝜈 2. ( 𝛼 𝛽 ) −𝜈 = ( 𝛽 𝛼 ) 𝜈 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 42 of 106
  • 43.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 6 ΙδιότητεςΔυνάμεων 7.10 Τυποποιημένη μορφή μικρών και μεγάλων δεκαδικών αριθμών Όπως οι μεγάλοι αριθμοί, έτσι και οι πολύ μικροί μπορούν να γραφούν σε τυποποιημένη μορφή α ∙ 10ν , όπου α είναι ένας δεκαδικός αριθμός με ακέραιο μέρος μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και μικρότερο του 10 και ω φυσικό αριθμό. Δηλαδή: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 43 of 106
  • 44.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 7 1.1Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές Παραστάσεις Αλγεβρική παράσταση λέγεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές, δηλαδή γράμματα που παριστάνουν έναν οποιοδήποτε αριθμό. Θυμίζουμε την Επιμεριστική Ιδιότητα: α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ Παραδείγματα: 3∙ (5+x) = 3 ∙ 5 + 3 ∙ x = 15 + 3x -2∙(x – y – 6) = - 2x + 2y + 12  Ισχύουν οι κανόνες απαλοιφής των παρενθέσεων που αναφέραμε στο προηγούμενο κεφάλαιο!! Όροι αλγεβρικής παράστασης – Αναγωγή όμοιων όρων  Οι προσθετέοι μιας αλγεβρικής παράστασης, λέγονται όροι της παράστασης.  Όσοι όροι περιέχουν την ίδια μεταβλητή, λέγονται όμοιοι  Μπορούμε να γράψουμε σε απλούστερη μορφή μια αλγεβρική παράσταση, συγκεντρώνοντας τους όμοιους όρους, κάνοντας δηλαδή αναγωγή ομοίων όρων. Στην διαδικασία αυτή χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα, η οποία μπορεί να γραφεί και στην μορφή: β ∙ α + γ ∙ α = (β + γ) ∙ α Πολλαπλασιασμοί της μορφής (α + β) ∙ (γ + δ) Με την βοήθεια της επιμεριστικής μπορούμε να κάνουμε τον παραπάνω υπολογισμό. Πιο σύντομα μπορούμε να θυμόμαστε ότι πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό της πρώτης παρένθεσης με κάθε αριθμό της δεύτερης παρένθεσης, δηλαδή: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 44 of 106
  • 45.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 8 1.2Εξισώσεις α’ βαθμού Μια ισότητα δυο παραστάσεων που περιέχουν αριθμούς και μια μεταβλητή (για παράδειγμα x) ονομάζεται εξίσωση με έναν άγνωστο τον αριθμό x. Έτσι λοιπόν η ισότητα 3x – 7 = x + 5 είναι μια εξίσωση. Η παράσταση 3x – 7 λέγεται πρώτο μέλος και η παράσταση x + 5 λέγεται δεύτερο μέλος. Η διαδικασία κατά την οποία βρίσκουμε τον άγνωστο αριθμό x λέγεται επίλυση της εξίσωσης. Ιδιότητες Πράξεων Αν και στα δυο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει πάλι μια ισότητα Αν α=β τότε α + γ = β + γ Αν και στα δυο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει πάλι μια ισότητα Αν α=β τότε α – γ = β – γ Αν και τα δυο μέλη μιας ισότητας τα πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει πάλι μια ισότητα Αν α=β τότε α ∙ γ = β ∙ γ Αν και τα δυο μέλη μιας ισότητας τα διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει πάλι μια ισότητα Αν α=β τότε 𝛼 𝛾 = 𝛽 𝛾  Σε μια εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημό τους.  Αδύνατη εξίσωση είναι κάθε εξίσωση της μορφής 0 ∙ x = α , όπου α≠0  Ταυτότητα ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής 0 ∙ x = 0 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 45 of 106
  • 46.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 9 1.3Επίλυση Τύπων Πολλές φορές όταν έχουμε έναν τύπο με πολλές μεταβλητές, είναι χρήσιμο να απομονώσουμε στο ένα μέρος μια μεταβλητή. Η διαδικασία αυτή λέγεται επίλυση τύπου ως προς τη μεταβλητή αυτή. 1.4 Επίλυση Προβλημάτων με χρήση εξισώσεων 1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα για να καταλάβουμε ποια είναι τα δεδομένα και ποια τα ζητούμενα. 2. Επιλέγουμε ποιο από τα ζητούμενα θα συμβολίσουμε με τον άγνωστο x. 3. Εκφράζουμε με την βοήθεια του x τα υπόλοιπα ζητούμενα που πιθανόν να υπάρχουν. 4. Μετατρέπουμε τις εκφράσεις του προβλήματος σε μαθηματικές σχέσεις. 5. Σχηματίζουμε μια εξίσωση την οποία κα λύνουμε. 6. Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Αν δεν τις ικανοποιεί, την απορρίπτουμε. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 46 of 106
  • 47.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 10 2.1ΤετραγωνικήΡίζα Θετικού Αριθμού  Τετραγωνική Ρίζα ή ρίζα ενός θετικού αριθμού α λέγεται ο θετικός αριθμός ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με √α  Επειδή 02 = 0, ορίζουμε √0 = 0  Προκύπτει επομένως ότι αν √α = x , όπου α ≥ 0 ,τότε x ≥ 0 και x2 = α  Αν α ≥ 0 ,τότε (√α)2 = α Επίσης ισχύει ότι (-5)2 = 25. Ωστόσο είναι λάθος να γράψουμε √25 = -5 , διότι -5 < 0. Η √25 ισούται με τον θετικό αριθμό που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, το αποτέλεσμα είναι 25. Μερικές χρήσιμες τετραγωνικές ρίζες:  √121 = 11  √144 = 12  √169 = 13  √196 = 14  √225 = 15  √256 = 16  √289 = 17  √324 = 18  √361 =19  √400 = 20 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 47 of 106
  • 48.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 11 Ιδιότηταγια τις (√α )2 και √α2  Αν α ≥ 0 , τότε (√α )2 = α και √α2 = α  Αν α < 0 , τότε √α2 = -α Γενικά √α2 = |α| και √ 𝛼 2 = 𝛼 Γενικές Ιδιότητες  Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 , τότε ισχύει √α ∙ β = √α ∙ √β  Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 , τότε ισχύει √ α β = √α √β ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν α ,β > 0 τότε √𝛂 + 𝛃 ≠ √ 𝛂 + √𝛃 Οι λύσεις της εξίσωσης x2 = α Αν α > 0 , τότε η εξίσωση x2 = α έχει λύσεις τις: x = √α ή x = - √α  Αν α > 0 , τότε η √α είναι η θετική λύση της εξίσωσης x2 = α  Η εξίσωση x2 = 0 έχει λύση την x = 0  Αν α < 0 , τότε η εξίσωση x2 = α είναι αδύνατη  Σε μια ρίζα, το υπόριζο πρέπει να είναι ΠΑΝΤΑ θετικός αριθμός. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 48 of 106
  • 49.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 12 2.2ΆρρητοιΑριθμοί – Πραγματικοί Αριθμοί Άρρητοι Αριθμοί Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί με την μορφή κλάσματος κ ν με κ,ν ακέραιους και ν≠0, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Έτσι λοιπόν τους άρρητους αριθμούς, όπως πχ x = √2, τους οποίους δεν μπορούμε να τους υπολογίσουμε με ακρίβεια, θα τους υπολογίσουμε προσεγγιστικά με κάποιον αριθμό που είναι περίπου ίσος ( συμβολικά ≈ ) Αποδεικνύεται έτσι ότι και οι αριθμοί √3 , √5 , √7 , √8 , √10 , √11 , …….. είναι άρρητοι. Αργότερα θα μάθουμε ότι υπάρχουν και άλλοι άρρητοι αριθμοί που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών, όπως για παράδειγμα ο γνωστός μας από τον κύκλο αριθμός π. Πραγματικοί Αριθμοί 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 49 of 106
  • 50.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 13 ΡητοποίησηΠαρονομαστή Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα της μορφής β √α σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε με √ 𝛼 αριθμητή και παρονομαστή. Δηλαδή: Έστω 3 √2 = 3 ∙ √2 √2 ∙ √2 = 3√2 (√2)2 = 3√2 2 3.1Η έννοια της Συνάρτησης Ορισμός της Συνάρτησης Έστω δυο μεταβλητές x και y οι οποίες παίρνουν πραγματικές τιμές. Μια ισότητα που συνδέει τις μεταβλητές x και y έτσι, ώστε κάθε τιμή της μεταβλητής x να αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y ονομάζεται συνάρτηση. Μπορούμε επίσης να λέμε ότι: «η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής x». Τιμές συνάρτησης – Πίνακας τιμών  Όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση που συνδέει δυο μεταβλητές x και y, τότε για μια τιμή του x μπορούμε να βρούμε ποια τιμή παίρνει η μεταβλητή y.  Η αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των μεταβλητών x και y σε μια συνάρτηση παρουσιάζεται καλύτερα με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών. Ο πίνακας τιμών παρουσιάζει συγκεντρωμένα τα ζεύγη των αντίστοιχων τιμών των μεταβλητών x και y. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση y = 7 – 2x a) Ποια η τιμή του y για x=2; b) Για ποια τιμή του x είναι y=9; a) Για x = 2 η τιμή της y είναι: y = 7 – 2 ∙ 2 = 7 – 4 = 3 b) Αν η συνάρτησηy = 7 – 2x βάλουμε στη θέση του y τον αριθμό 9 έχουμε: 9 = 7 – 2x ή 2x = 7 – 9 ή 2x = -2 ή 2x 2 = −2 2 ή x = -1 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 50 of 106
  • 51.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 14 3.2Καρτεσιανές Συντεταγμένες – Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Σχεδιάζουμε δυο κάθετους άξονες x’x και y’y με κοινή αρχή Ο. Οι δυο άξονες αυτοί αποτελούν ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων ή απλά ένα σύστημα αξόνων. Το σημείο Ο ονομάζεται αρχή των αξόνων. Αν οι μονάδες μέτρησης και στους δυο άξονες είναι ίδιες, τότε λέμε ότι αποτελούν ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Συντεταγμένες σημείου Έστω ένα τυχαίο σημείο Μ σε ένα σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων xOy. Για να προσδιορίσουμε τη θέση του, εργαζόμαστε ως εξής:  Από το Μ φέρνουμε παράλληλη στο άξονα y’y, η οποία τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Κ, που αντιστοιχεί σε έναν αριθμό α του άξονα x’x.  Από το Μ φέρνουμε παράλληλη στο άξονα x’x, η οποία τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Λ, που αντιστοιχεί σε έναν αριθμό β του άξονα y’y. Έτσι σχηματίζεται το ζεύγος αριθμών α και β του σημείου Μ, και συμβολίζουμε με Μ(α,β).  Ο πρώτος αριθμός (το α) λέγεται τετμημένη του σημείου Μ.  Ο δεύτερος αριθμός (το β) λέγεται τεταγμένη του σημείου Μ.  Η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου Μ λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ. Μ (α,β)  Κάθε σημείο του x’x άξονα έχει τεταγμένη 0, δηλαδή είναι της μορφής Κ(α,0).  Κάθε σημείο του y’y άξονα έχει τετμημένη 0, δηλαδή είναι της μορφής Λ(0,β).  Η αρχή των αξόνων έχει συντεταγμένες Ο(0,0). β α τεταγμένη τετμημένη Συντεταγμένες Λ Κ y y’ xx’ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 51 of 106
  • 52.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 15 Τεταρτημόρια Ένα σύστημα αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε 4 «μέρη», τα οποία λέγονται τεταρτημόρια.  Τα τεταρτημόρια αριθμούνται (1ο ,2ο ,3ο ,4ο ) όπως φαίνεται στο σχήμα.  Στο σχήμα φαίνονται επίσης τα πρόσημα των συντεταγμένων των σημείων ανάλογα με το τεταρτημόριο που βρίσκονται. Παραδείγματα: 1. Το σημείο Α(2,4) έχει θετική τετμημένη και θετική τεταγμένη, άρα βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο. 2. Το σημείο Β(-3,2) έχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη, άρα βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο. 3. Το σημείο Γ(-2,-3) έχει αρνητική τετμημένη και αρνητική τεταγμένη, άρα βρίσκεται στο 3ο τεταρτημόριο. 4. Το σημείο Δ(3,-2) έχει θετική τετμημένη και αρνητική τεταγμένη, άρα βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο. Συμμετρικά σημεία  Δυο σημεία είναι συμμετρικά ως προς άξονα x’x όταν έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Έτσι το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς τον άξονα x’x είναι το Γ(α, -β).  Δυο σημεία είναι συμμετρικά ως προς άξονα y’y όταν έχουν ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες. Έτσι το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς τον άξονα y’y είναι το Β(-α, β).  Δυο σημεία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) όταν έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έτσι το συμμετρικό του Κ(α, β) ως προς την αρχή των αξόνων είναι το Δ(-α, -β). Απόσταση δύο σημείων Έστω σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σημεία σε ένα σύστημα αξόνων. Τότε η απόσταση ΑΒ των δύο σημείων είναι ίση με: ΑΒ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 1ο Τεταρτημόριο ( + , + ) 2ο Τεταρτημόριο ( - , + ) 4ο Τεταρτημόριο ( + , - ) 3ο Τεταρτημόριο ( - , - ) 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 52 of 106
  • 53.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 16 3.3Η Συνάρτηση y = α ∙ x  Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας με έναν αριθμό τις τιμές του ενός ποσού, τότε πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό και οι τιμές του άλλου ποσού.  Όταν δύο ποσά x και y είναι ανάλογα, τότε ο λόγος 𝑦 𝑥 είναι πάντα σταθερός.  Αν α είναι ο σταθερός λόγος των ποσών x και y, τότε ισχύει: y x = α ή y = α ∙ x  Με την σχέση y = α ∙ x έχουμε εκφράσει το y ως συνάρτηση του x.  Λέμε ότι ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία ή ότι μια ευθεία διέρχεται από ένα σημείο, όταν οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν. Παράδειγμα: Το σημείο Μ(1,3) ανήκει στην ευθεία y = 2x +1 γιατί για x = 1 και y =3 => 3 = 2 ∙ 1 + 1 => 3 = 2 + 1 => 3 = 3 το οποίο ισχύει!!  Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Η ευθεία y = αx βρίσκεται:  Στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο όταν α>0  Στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο όταν α<0  Σε μια ευθεία y = αx ο λόγος y x είναι πάντα σταθερός και ίσος με α. Δηλαδή: y = αx ή y x = α για x ≠ 0 Ο λόγος αυτός, δηλαδή ο αριθμός α, λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 53 of 106
  • 54.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 17 Οιευθείες y = x και y = -x Η ευθεία y = x είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων. Η ευθεία y = -x είναι η διχοτόμος της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων. Ο άξονας x’x είναι και αυτός μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει εξίσωση: y = 0 ∙ x ή y = 0 3.4Η συνάρτηση y = αx + β  Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, με β ≠ 0, είναι μια ευθεία παράλληλη στην ευθεία y = αx, η οποία διέρχεται από το σημείο του άξονα y’y με τεταγμένη β.  Η ευθεία y = αx + β έχει κλίση ίση με τον αριθμό α.  Μια ευθεία της μορφής y = κ παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x’x που τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο με τεταγμένη κ.  Μια ευθεία της μορφής x = κ παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y’y που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο με τετμημένη κ. y = κ x = κ Δυο ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν ίδια κλίση και αντίστροφα. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 54 of 106
  • 55.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 18 Σημείατομής της ευθείας με τους άξονες Η ευθεία y = αx + β, δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων, επόμενως τέμνει τους άξονες x’x και y’y στα εξής σημεία:  Τον x’x στο σημείο με συντεταγμένες A(x,0). Για να το βρω, πηγαίνω στην εξίσωση της ευθείας και βάζω y = 0.  Τον y’y στο σημείο με συντεγμένες Β(0,y) [Πιο συγκεκριμένα στο (0,β)]. Για να το βρω, πηγαίνω στην εξίσωση της ευθείας και βάζω x = 0. 3.5 Η συνάρτηση της μορφής y = 𝛼 𝑥 – Η Υπερβολή Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα αν κάθε φορά που πολλαπλασιάζουμε μια τιμή του ενός ποσού με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται με τον ίδιο αριθμό. Όταν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό. Αν α ≠ 0 είναι σταθερό γινόμενο των ποσών x και y, τότε ισχύει: x ∙ y = α ή y = 𝛂 𝐱 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 55 of 106
  • 56.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 19 4.1Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα Το ποσοστό α% είναι ένα κλάσμα με αριθμητή α και παρονομαστή 100. Δηλαδή: α% = α 100 1) Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία θέλουμε να μελετήσουμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό λέγεται πληθυσμός και το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε τον πληθυσμό ονομάζεται μεταβλητή. 2) Η διαδικασία με την οποία, μελετώντας έναν πληθυσμό, εξετάζουμε ένα προς ένα όλα τα άτομα του πληθυσμού, λέγεται απογραφή. 3) Πολλές φορές, αντί να μελετήσουμε ολόκληρο τον πληθυσμό, μελετούμε μια μικρή ομάδα αυτού. Η ομάδα αυτή λέγεται δείγμα. Το πλήθος των ατόμων που αποτελούν το δείγμα ονομάζεται μέγεθος του δείγματος. Για να είναι ακριβή τα συμπεράσματα ενός δείγματος, θα πρέπει η επιλογή του να γίνει με σωστό τρόπο, δηλαδή το δείγμα να είναι αντιπροσωπευτικό. 4) Η επιλογή του δείγματος και η μελέτη του, λέγεται δειγματοληψία. 4.2 Γραφικές Παραστάσεις Στατιστική είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με τη συγκέντρωση στοιχείων, την ταξινόμησή τους και την παρουσίαση τους με κατάλληλη μορφή έτσι ώστε να μπορούν να αναλυθούν και να ερμηνευτούν για να εξαγάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα τα οποία μας εξυπηρετούν σε διάφορους σκοπούς. Διαγράμματα λέγονται οι εικόνες που παρουσιάζουν με σύντομο και παραστατικό τρόπο ένα σύνολο αριθμητικών πληροφοριών. Οι πληροφορίες παρουσιάζονται από τα διαγράμματα κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μας βοηθήσουν να αντιληφθούμε σύντομα ένα θέμα χωρίς να μπούμε σε λεπτομέρειες. Βασικές μορφές διαγραμμάτων είναι: - Τα εικονογράμματα - Τα ραβδογράμματα - Τα κυκλικά διαγράμματα - Τα χρονογράμματα Εικονογράμματα είναι τα διαγράμματα όπου οι πληροφορίες δίνονται με την επανάληψη μιας εικόνας που χρησιμοποιείται σαν κλίμακα. Μειονέκτημα τους είναι ότι χρειάζονται αρκετό χρόνο και δεξιοτεχνία για να σχεδιαστούν και κυρίως όταν θέλουμε να παραστήσουμε ένα μέρος της κλίμακας (εικόνας). 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 56 of 106
  • 57.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 20 Χρονογράμματαείναι τα διαγράμματα που χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε την εξέλιξη ενός φαινομένου σε διάφορες χρονικές στιγμές (που συνήθως ισαπέχουν). Ραβδογράμματα είναι τα διαγράμματα που οι πληροφορίες δίνονται με κατακόρυφα (ή οριζόντια) ορθογώνια. Γενικά σχεδιάζονται εύκολα και είναι πιο ακριβή από τα εικονογράμματα. Κυκλικά διαγράμματα είναι τα διαγράμματα που οι πληροφορίες για τα διάφορα μέρη ενός μεγέθους ή ποσού δίνονται με «κομμάτια μιας ολόκληρης πίτας» η οποία συμβολίζει ολόκληρο το μέγεθος. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 57 of 106
  • 58.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 21 4.5Μέση Τιμή - Διάμεσος Μέσος όρος ή μέση τιμή Για να βρούμε τον μέσο όρο ή μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. Δηλαδή: Μέση τιμή = άθροισμα των παρατηρήσεων πλήθος των παρατηρήσεων Διάμεσος Για να βρούμε τη διάμεσο ν παρατηρήσεων, εργαζόμαστε ως εξής:  Πρώτα διατάσσουμε τις παρατηρήσεις κατά σειρά μεγέθους.  Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι:  Αν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττό, τότε υπάρχει μία «μεσαία» παρατήρηση η οποία θα χωρίζει όλες τις άλλες σε δύο ισοπληθείς ομάδες. Η «μεσαία» αυτή παρατήρηση είναι η διάμεσος των ν παρατηρήσεων.  Αν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι άρτιο, τότε θα υπάρχουν δύο παρατηρήσεις που θα χωρίζουν όλες τις άλλες σε δύο ισοπληθείς ομάδες. Το ημιάθροισμα των δύο αυτών παρατηρήσεων είναι ή διάμεσος των ν παρατηρήσεων. Μέση τιμή από πίνακα κατανομής συχνοτήτων Όταν τα δεδομένα μας παρουσιάζονται σε έναν πίνακα κατανομής συχνοτήτων, για να βρούμε τη μέση τιμή τους, εργαζόμαστε ως εξής:  Πολλαπλασιάζουμε κάθε τιμή με τη συχνότητά της.  Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα που βρήκαμε.  Διαιρούμε το παραπάνω άθροισμα με το άθροισμα των συχνοτήτων. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 58 of 106
  • 59.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 22 1.1Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, ο οποίος εκφράζει την «έκταση» που καταλαμβάνει η επιφάνεια στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών που χρησιμοποιούμε και προκύπτει συγκρίνοντας την επιφάνεια την οποία θέλουμε να μετρήσουμε με την επιφάνεια που επιλέξαμε ως μονάδα μέτρησης. 1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών Έστω ένα τετράγωνο με πλευρά 1m. Το εμβαδόν του τετραγώνου αυτού λέγεται τετραγωνικό μέτρο και συμβολίζουμε 1 m2 . Το τετραγωνικό μέτρο είναι η βασική μονάδα μέτρησης εμβαδού. Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου Τετραγωνικό δεκατόμετρο Τετραγωνικό εκατοστόμετρο Τετραγωνικό χιλιοστόμετρο Πολλαπλάσια του τετραγωνικού μέτρου Τετραγωνικό χιλιόμετρο 1 Km2 = 1.000.000 m2 ή 1 m2 = 1 1.000.000 Km2 Το στρέμμα 1 στρέμμα = 1.000 m2 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 59 of 106
  • 60.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 23 1.3Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Για να συμβολίσουμε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος, μπορούμε να το γράφουμε μέσα σε μια παρένθεση. Για παράδειγμα, το εμβαδόν του τετράπλευρου ΑΒΓΔ συμβολίζεται με (ΑΒΓΔ). Επίπεδο σχήμα Τύπος Εμβαδού Σχήμα Τετράγωνο (με πλευρά α) Ε = α2 Ορθογώνιο (με πλευρές α & β) Ε = α ∙ β Παραλληλόγραμμο (με βάση β και ύψος υ) Ε = β ∙ υ Τρίγωνο (με βάση β μια πλευρά του και ύψος υ το αντίστοιχο στην πλευρά ύψος) Ε = β ·υ 2 Τραπέζιο (με βάσεις Β & β και ύψος υ) Ε = (Β+β)∙υ 2  Η διάμεσος ενός τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα που έχουν ίσα εμβαδά.  Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν ισούται με το μισό του γινομένου των δυο καθέτων πλευρών. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 60 of 106
  • 61.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 24 1.4Πυθαγόρειο Θεώρημα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας, ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών. Δηλαδή σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90ο ), ισχύει: ΒΓ2 = ΑΓ2 + ΑΒ2 ή α2 = β2 + γ2 Γεωμετρική ερμηνεία του Πυθαγορείου Θεωρήματος Το τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι ορθογώνιο. Εξωτερικά του τριγώνου έχουμε σχεδιάσει τρία τετράγωνα. Ισχύει ότι Ε1 = α2, Ε2 = β2 και Ε3 = γ2. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι: α2 = β2 + γ2 ή Ε1 = Ε2 + Ε3 Αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απένταντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 61 of 106
  • 62.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 25 2.1Εφαπτομένη οξείας γωνίας Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με: Α = 90ο Λέμε ότι:  Η κάθετη πλευρά ΑΓ ονομάζεται «απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Β»  Η κάθετη πλευρά ΑΒ ονομάζεται «προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Β» Επίσης:  Η πλευρά ΑΒ ονομάζεται «απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Γ»  Η πλευρά ΑΓ ονομάζεται «προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Γ» Εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Ονομάζουμε εφαπτομένη της οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, και τη συμβολίζουμε εφω, τον λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά. εφω = απέναντι κάθετη πλευρά προσκείμενη κάθετη πλευρά Άρα στο παραπάνω σχήμα έχουμε: εφΒ = ΑΓ ΑΒ = β γ εφΓ = ΑΒ ΑΓ = γ β Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90ο , οι εφαπτομένες των οξειών γωνιών του Β και Γ είναι αντίστροφοι αριθμοί, δηλαδή: εφΒ ∙ εφΓ = 1 Η κλίση της ευθείας y = αx είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x’x. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 62 of 106
  • 63.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 26 2.2Ημίτονο και Συνημίτονο οξείας γωνίας Σχέση ημιτόνου-συνημίτονου-εφαπτομένης γωνίας Αν διαιρέσουμε το ημω της γωνίας ω, με το συνω της ω παρατηρούμε ότι: Επομένως προκύπτει ότι:  Γενικά για μια οξεία γωνία ω ισχύει ότι: 0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 63 of 106
  • 64.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 27 2.4Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30ο , 45ο και 60ο Οι υπολογισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκονται στο τετράδιο θεωρίας!! Ύψος και εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου Το ύψος υ και το εμβαδόν Ε ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α δίνονται αντίστοιχα από τους τύπους: υ = α√3 2 και Ε = α2 √3 4 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 64 of 106
  • 65.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 28 3.1Εγγεγραμμένες γωνίες Επίκεντρη λέγεται η γωνία της οποίας η κορυφή είναι το κέντρο Ο ενός κύκλου και οι πλευρές της τέμνονται με τον κύκλο. Αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του κύκλου με τις πλευρές της επίκεντρης γωνίας, το τόξο ΑΒ της κυρτής γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας χΟy. Έχουμε συμφωνήσει ότι κάθε επίκεντρη γωνία ίση σε μέτρο με το αντίστοιχο τόξο της. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκύπτει ότι: α. Κάθε κύκλος είναι τόξο που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 360ο η οποία αντιστοιχεί στην πλήρη γωνία. β. Κάθε ημικύκλιο είναι τόξο που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 180ο η οποία αντιστοιχεί στην ευθεία γωνία. γ. Κάθε τεταρτοκύκλιο είναι 90ο και αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 90ο η οποία αντιστοιχεί στην ορθή γωνία (1L ). Εγγεγραμμένη γωνία λέγεται μια γωνία της οποίας η κορυφή είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνονται με τον κύκλο. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. Σχέσεις εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας 1. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία, ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχουν το ίδιο τόξο. 2. Οι εγγεγραμμένες ενός κύκλου που βαίνουν σε ίδιο τόξο ή έχουν ίσα τόξα, είναι ίσες. 3. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο, είναι ορθή. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 65 of 106
  • 66.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 29 3.2Κανονικά Πολύγωνα Ένα πολύγωνο με 4 κορυφές ονομάζεται τετράπλευρο. Ένα πολύγωνο με ν κορυφές ονομάζεται ν-γωνο. Τα βασικά στοιχεία ενός πολυγώνου είναι οι κορυφές, οι πλευρές, οι διαγώνιοι και οι γωνίες. Στο διπλανό σχήμα για παράδειγμα: Κορυφές: Α, Β, Γ, Δ, Ε Πλευρές: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ Διαγώνιες: ΑΓ, ΑΔ, ΒΕ, ΒΔ, ΓΕ Γωνίες: Α, Β ,Γ, Δ, Ε Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του μεταξύ τους ίσες και όλες τις γωνίες του μεταξύ τους ίσες. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 66 of 106
  • 67.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 30 Αποδεικνύεταιότι όποιος και να είναι ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, υπάρχει πάντα κύκλος ο οποίος διέρχεται από όλες τις κορυφές του. Το πολύγωνο τότε λέγεται εγγεγραμμένο και ο κύκλος περιγεγραμμένος. Η κεντρική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου είναι: ω = 360ο ν Η κανονική γωνία φ ενός κανονικού ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής του γωνίας. φ = 180ο – ω 3.3 Μήκος Κύκλου Το μήκος (ή περίμετρος) ενός κύκλου είναι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που προκύπτει αν «κόψουμε» τον κύκλο σε ένα σημείο του και στη συνέχεια τον «τεντώσουμε». Το μήκος ενός κύκλου συμβολίζεται με L. Ο λόγος του μήκους L ενός κύκλου προς τη διάμετρό του δ, είναι ένας σταθερός αριθμός και συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα π. Δηλαδή σε κάθε κύκλο ισχύει: L δ = π Ο αριθμός π είναι άρρητος, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία. Τα πρώτα 20 δεκαδικά ψηφία του π είναι: π = 3,14159265358979323846 Εμείς θα χρησιμοποιούμε την τιμή π = 3,14. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 67 of 106
  • 68.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 31 Μήκοςκύκλου Το μήκος L ενός κύκλου με διάμετρο δ και ακτίνα ρ (δ=2ρ) υπολογίζεται από τη σχέση: 𝐿 = 𝜋𝛿 ή 𝐿 = 2𝜋𝜌 Για τα μήκη (L1, L2), τις ακτίνες (ρ1, ρ2) και τις διαμέτρους (δ1, δ2) δύο κύκλων ισχύει ότι: 𝐿1 𝐿2 = 𝜌1 𝜌2 = 𝛿1 𝛿2 3.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου  Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ είναι ίσο με: 𝛦 = 𝜋𝜌2  Η περιοχή μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων λέγεται κυκλικός δακτύλιος (ή κυκλική στεφάνη).  Ο λόγος των εμβαδών δύο κυκλικών δίσκων ισούται με το τετράγωνο του λόγου των ακτίνων τους. Δηλαδή ισχύει ότι: Ε1 Ε2 = ( ρ1 ρ2 )2 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 68 of 106
  • 69.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 32 4.2– 4.3 – 4.4 – 4.6 Στερεό Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας Εμβαδόν ολικής επιφάνειας Όγκος Ορθό Πρίσμα Επ = Πβ ∙ υ (όπου Πβ η περίμετρος της βάσης) Εολ = Επ + 2Εβ V = Εβ ∙ υ Κύλινδρος Επ = 2πρ ∙ υ Εολ = 2πρ ∙ υ + 2πρ2 V = πρ2 ∙ υ Κανονική Πυραμίδα Επ = 1 2 Πβ ∙ α (όπου Πβ η περίμετρος της βάσης και α το απόστημα) Εολ = Επ + Εβ V = 1 3 Εβ ∙ υ (Ο τύπος του όγκου ισχύει για οποιαδήποτε πυραμίδα, ακόμη κι αν δεν είναι κανονική) Κώνος Επ = πρλ Εολ = πρλ + πρ2 V = 1 3 πρ2 ∙ υ Σφαίρα - Ε = 4πρ2 V = 4 3 πρ3 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 69 of 106
  • 70.
    Γ’ Γυμνασίου Μαθηματικά Θεωρία ΑντωνάτοςΓιώργος - μαθηματικοσ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ email: antonatos.geo@gmail.com 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 70 of 106
  • 71.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1 1.1 Πράξεις με Πραγματικούς Αριθμούς Ρητοί και Άρρητοι αριθμοί Οι αριθμοί που έχουμε γνωρίσει μέχρι σήμερα είναι οι εξής: Φυσικοί είναι οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, …. Ακέραιοι είναι οι …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …… Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να πάρουν τη μορφή ενός κλάσματος μ ν , όπου μ και ν είναι ακέραιοι αριθμοί με ν ≠ 0. Για παράδειγμα οι αριθμοί 3 5 , −7 4 ,- 8 1 είναι ρητοί. Άρρητοι ονομάζονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δηλαδή δεν μπορούν να πάρουν την μορφή κλάσματος με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί √2 , √5, √11, κτλ. Υπάρχουν επίσης και άρρητοι αριθμοί που δεν εκφράζονται υποχρεωτικά ως ρίζες κάποιου αριθμού, όπως είναι ο αριθμός π ≈ 3,14159….. Πραγματικοί είναι οι αριθμοί που αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Αν οι πραγματικοί αριθμοί τοποθετηθούν πάνω σε μια ευθεία, τότε την «γεμίζουν» πλήρως, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιπροσωπεύει έναν πραγματικό αριθμό. Η ευθεία αυτή ονομάζεται ευθεία ή άξονας των πραγματικών αριθμών. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α ονομάζουμε την απόσταση του σημείου που παριστάνει τον αριθμό α από την αρχή Ο του άξονα των πραγματικών αριθμών.  Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |α|.  Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α είναι πάντα ένας αριθμός θετικός ή μηδέν. Συγκεκριμένα ισχύει ότι: |α| = α, αν α ≥ 0 |α| = - α, αν α < 0 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 71 of 106
  • 72.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2 Πράξεις στους Πραγματικούς Αριθμούς Πρόσθεση πραγματικών αριθμών  Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο.  Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από την μεγαλύτερη και στη διαφορά τους βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Πολλαπλασιασμός πραγματικών αριθμών  Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο « + ». Ισχύουν δηλαδή οι κανόνες: + · + = + και - · - = +  Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο « - ». Ισχύουν δηλαδή οι κανόνες: + · - = - και - · + = -  Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α · 0 = 0 Αφαίρεση πραγματικών αριθμών Δυο αριθμοί λέγονται αντίθετοι, όταν έχουν άθροισμα ίσο με 0 (μηδέν). Δηλαδή, αν α και β είναι δύο αντίθετοι αριθμοί, τότε γράφουμε α + β = 0.  Ο αντίθετος του α είναι ο –α.  Για να κάνουμε την αφαίρεση α – β, προσθέτουμε στον μειωτέο (α) τον αντίθετο του αφαιρετέου (β). Δηλαδή: α – β = α + (-β) 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 72 of 106
  • 73.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3 Διαίρεση πραγματικών αριθμών Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν έχουν γινόμενο 1 (μονάδα). Δηλαδή, αν α και β είναι πραγματικοί αριθμοί, με α, β ≠ 0, αντίστροφοι, τότε γράφουμε α · β = 1 Ο αντίστροφος του α είναι ο 1 α και ο αντίστροφος του 𝛼 β είναι ο 𝛽 α .  Για να κάνουμε διαίρεση α : β, με β≠0, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο (α) με τον αντίστροφο του διαιρέτη (β). Δηλαδή: α : β = α · 1 𝛽  Ένα σύνθετο κλάσμα μετατρέπεται σε απλό, ως εξής: 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 = 𝛼·𝛿 𝛽·𝛾 Αν α · β = 0 τότε α = 0 ή β = 0 Προτεραιότητα Πράξεων Αλγεβρική Παράσταση ονομάζεται μια παράσταση, η οποία εκτός από αριθμούς περιέχει και μεταβλητές (γράμματα). Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα 1) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν) 2) Δυνάμεις αριθμών 3) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις 4) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό ν ≥ 2 συμβολίζεται με αν και είναι ένα γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με α. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 73 of 106
  • 74.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 4 Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x συμβολίζεται με √ 𝒙 και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό x.  Ορίζουμε επίσης ότι √0 = 0  Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο να είναι αρνητικός αριθμός.  Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: √𝑥2 = |x|  Για κάθε x ≥ 0 ισχύει: (√ 𝑥)2 = x Γενικά για δύο μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει √α ∙ β = √α · √β και √ α β = √α √β Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε √𝛂 + 𝛃 ≠ √ 𝛂 + √𝛃 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 74 of 106
  • 75.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5 1.2 Μονώνυμα – Πράξεις με μονώνυμα  Αριθμητική παράσταση ονομάζεται κάθε παράσταση που περιέχει μόνο αριθμούς και πράξεις μεταξύ αυτών.  Αλγεβρική παράσταση ονομάζεται κάθε παράσταση που εκτός από αριθμούς περιέχει και μεταβλητές.  Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές μιας αλγεβρικής παράστασης με αριθμούς, τότε ο αριθμός που θα προκύψει μετά τις πράξεις, λέγεται αριθμητική τιμή ή τιμή της αλγεβρικής παράστασης.  Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της γίνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης (ή της αφαίρεσης) και του πολλαπλασιασμού και επιπλέον οι εκθέτες των μεταβλητών είναι φυσικοί αριθμοί. Μονώνυμο Μια ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ ενός αριθμού και μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών, ονομάζεται μονώνυμο. Ο αριθμητικός παράγοντας ενός μονωνύμου, λέγεται συντελεστής του μονωνύμου. Σε ένα μονώνυμο, το γινόμενο όλων των μεταβλητών του (μαζί με τους εκθέτες τους) λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου.  Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος, ονομάζονται όμοια.  Τα όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα μονώνυμα.  Δύο όμοια μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές λέγονται αντίθετα μονώνυμα.  Ο εκθέτης μιας μεταβλητής ενός μονωνύμου λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς την μεταβλητή αυτή.  Το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών ενός μονωνύμου λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του.  Κάθε αριθμός θεωρείται ότι είναι και αυτός μονώνυμο, το οποίο λέμε σταθερό μονώνυμο. Ειδικότερα ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο.  Ο βαθμός ενός σταθερού και μη μηδενικού μονωνύμου είναι 0. Για παράδειγμα ο αριθμός 3 είναι ένα σταθερό μονώνυμο μηδενικού βαθμού. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει βαθμό. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 75 of 106
  • 76.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6 Πράξεις με μονώνυμα Πρόσθεση (άθροισμα) μονωνύμων Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοιο μονώνυμο, που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Αν δύο μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο. Για παράδειγμα, τα μονώνυμα 2xy2 και 3x3 y έχουν άθροισμα 2xy2 + 3x3 y το οποίο δεν είναι μονώνυμο. Πολλαπλασιασμός (γινόμενο) μονωνύμων Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει:  συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους.  κύριο μέλος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη σε κάθε μεταβλητή το άθροισμα των εκθετών της. Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμα δεν είναι απαραίτητο να είναι όμοια. Στον πολλαπλασιασμό μονωνύμων στηριζόμαστε στην ιδιότητα: xν · xμ = xν+μ Διαίρεση (πηλίκο) μονωνύμων Η διαίρεση δύο μονωνύμων γίνεται με πολλαπλασιασμό του διαιρετέου με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα, δεν είναι απαραίτητο τα μονώνυμα να είναι όμοια. Για την διαίρεση μονωνύμων στηριζόμαστε στην ιδιότητα: 𝑥 𝜈 𝑥 𝜇 = xν-μ Το πηλίκο δυο μονωνύμων, μπορεί να είναι μονώνυμο αλλά μπορεί και να μην είναι μονώνυμο!!! 1.3Πολυώνυμα – Πρόσθεση και Αφαίρεση Πολυωνύμων Πολυώνυμο ονομάζεται κάθε αλγεβρική παράσταση που προκύπτει ως άθροισμα μονωνύμων, τα οποία δεν είναι όμοια μεταξύ τους. Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου.  Διώνυμο, αν έχει 2 όρους,  Τριώνυμο, αν έχει 3 όρους. Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης της μεταβλητής αυτής. Βαθμός πολυωνύμου ως προς περισσότερες μεταβλητές είναι το μεγαλύτερο άθροισμα των εκθετών, των μεταβλητών σε κάθε όρο πολυωνύμου. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 76 of 106
  • 77.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 7  Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ένα πολυώνυμο, το οποίο λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικότερα ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο.  Ο βαθμός ενός σταθερού και μη μηδενικού πολυωνύμου είναι 0. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό.  Όταν ένα πολυώνυμο έχει μια μεταβλητή, για παράδειγμα x, συμβολίζεται εν συντομία P(x) ή Q(x) ή A(x) κλπ.  Όταν έχουμε ένα πολυώνυμο P(x) συνήθως γράφουμε με τέτοια σειρά τους όρους, ώστε ο καθένας από αυτούς να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του.  Την αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου P(x) για x = α την συμβολίζουμε P(α). Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοιοι όροι, δηλαδή όμοια μονώνυμα, μπορούμε να τα αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Κάνουμε δηλαδή αναγωγή όμοιων όρων. Δυο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. Όταν δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) είναι ίσα, σημαίνει ότι οι αντίστοιχοι συντελεστές των όμοιων όρων είναι ίσοι. Άθροισμα και Διαφορά πολυωνύμων 1.4 Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων Μονώνυμο με Πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο στηρίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα: α(β + γ) = αβ + αγ Συνεπώς, για να πολλαπλασιάσουμε ένα μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 77 of 106
  • 78.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 8 Πολυώνυμο με Πολυώνυμο Για τον υπολογισμό του γινομένου πολυωνύμων εφαρμόζουμε την ιδιότητα: (α + β)(γ + δ) = (α + β)·γ + (α + β)·δ = αγ + βγ + αδ + βδ = αγ + αδ + βγ + βδ Συνεπώς, για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου και στη συνέχεια προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. 1.5Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ταυτότητα είναι μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. 1. Να αποδείξετε ότι (𝜶 + 𝜷) 𝟐 = 𝜶 𝟐 + 𝟐𝜶𝜷 + 𝜷 𝟐 (𝛼 + 𝛽)2 = (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽) = 𝛼2 + 𝛼𝛽 + 𝛽𝛼 + 𝛽2 = 𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2 2. Να αποδείξετε ότι (𝜶 − 𝜷) 𝟐 = 𝜶 𝟐 − 𝟐𝜶𝜷 + 𝜷 𝟐 (𝛼 − 𝛽)2 = (𝛼 − 𝛽)(𝛼 − 𝛽) = 𝛼2 − 𝛼𝛽 − 𝛽𝛼 + 𝛽2 = 𝛼2 − 2𝛼𝛽 + 𝛽2 3. Να αποδείξετε ότι (𝜶 + 𝜷) 𝟑 = 𝜶 𝟑 + 𝟑𝜶 𝟐 𝜷 + 𝟑𝜶𝜷 𝟐 + 𝜷 𝟑 (𝛼 + 𝛽)3 = (𝛼 + 𝛽)2(𝛼 + 𝛽) = (𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2)(𝛼 + 𝛽) = 𝛼3 + 𝛼2 𝛽 + 2𝛼2 𝛽 + 2𝛼𝛽2 + 𝛼𝛽2 + 𝛽3 = 𝛼3 + 3𝛼2 𝛽 + 3𝛼𝛽2 + 𝛽3 4. Να αποδείξετε ότι (𝜶 − 𝜷) 𝟑 = 𝜶 𝟑 − 𝟑𝜶 𝟐 𝜷 + 𝟑𝜶𝜷 𝟐 − 𝜷 𝟑 (𝛼 − 𝛽)3 = (𝛼 − 𝛽)2(𝛼 − 𝛽) = (𝛼2 − 2𝛼𝛽 + 𝛽2)(𝛼 − 𝛽) = 𝛼3 − 𝛼2 𝛽 − 2𝛼2 𝛽 + 2𝛼𝛽2 + 𝛼𝛽2 − 𝛽3 = 𝛼3 − 3𝛼2 𝛽 + 3𝛼𝛽2 − 𝛽3 5. Να αποδείξετε ότι (𝜶 − 𝜷)(𝜶 + 𝜷) = 𝜶 𝟐 − 𝜷 𝟐 (𝛼 − 𝛽)(𝛼 + 𝛽) = 𝛼2 + 𝛼𝛽 − 𝛽𝛼 − 𝛽2 = 𝛼2 − 𝛽2 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 78 of 106
  • 79.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 9 1.6Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Παραγοντοποίηση ονομάζεται η διαδικασία κατά την οποία, μια αλγεβρική παράσταση που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Όταν μια παράσταση δεν επιδέχεται άλλη παραγοντοποίηση, θα λέμε ότι έχει αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Όταν μας ζητούν να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση, τότε θα πρέπει να την αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, δηλαδή να την φέρουμε σε μορφή που δεν επιδέχεται άλλη παραγοντοποίηση. Οι βασικές μέθοδοι παραγοντοποίησης είναι: α) Κοινός παράγοντας β) Ομαδοποίηση γ) Διαφορά τετραγώνων δ) Ανάπτυγμα τετραγώνου ε) Τριώνυμο στ) Διαφορά ή άθροισμα κύβων α) Κοινός Παράγοντας Όταν όλοι οι όροι μιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε αυτή μετατρέπεται σε γινόμενο με την χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας αβ + αγ = α(β + γ) ή αβ – αγ = α(β – γ) β) Κοινός παράγοντας κατά ομάδες - Ομαδοποίηση Όταν οι όροι μιας παράστασης, δεν έχουν όλοι κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουμε σε ομάδες φροντίζοντας ώστε:  Κάθε ομάδα που δημιουργούμε να έχει κοινό παράγοντα.  Οι παραστάσεις που μένουν στις παρενθέσεις μετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα κάθε ομάδας, να είναι ίδιες. ή 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 79 of 106
  • 80.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 10 γ) Διαφορά τετραγώνων Όταν μια παράσταση είναι ή μπορεί να γραφεί ως διαφορά δύο τετραγώνων, τότε αυτή μετατρέπεται σε γινόμενο (παραγοντοποιείται) σύμφωνα με την ταυτότητα: α2 – β2 = (α + β)(α – β) παράδειγμα 𝑥2 − 64 = 𝑥2 – 82 = (𝑥 + 8)(𝑥 – 8) δ) Ανάπτυγμα τετραγώνου Όταν μια παράσταση έχει 3 όρους, θα ελέγχουμε μήπως είναι ανάπτυγμα τετραγώνου, οπότε και θα παραγοντοποιούμε σύμφωνα με τις ταυτότητες: α2 + 2αβ + β2 = (α + β)2 και α2 - 2αβ + β2 = (α - β)2 παράδειγμα 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 𝑥2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 32 = (𝑥 − 3)2 ε) Παραγοντοποίηση τριωνύμου Η παραγοντοποίηση ενός τριωνύμου της μορφής x2 + (α +β)x + αβ γίνεται σύμφωνα με τον τύπο: x2 + (α +β)x + αβ = (x + α)(x + β) Η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστεί μόνο αν ο συντελεστής του x2 είναι 1, δηλαδή όταν έχουμε ένα τριώνυμο της μορφής x2 + λx + μ. Συγκεκριμένα ψάχνουμε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα α + β = λ και γινόμενο αβ = μ. Παράδειγμα 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 80 of 106
  • 81.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 11 1.8Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. αριθμών Για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) και τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσοτέρων αριθμών, τους αναλύουμε αρχικά σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Στη συνέχεια: Το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με τον μεγαλύτερο εκθέτη Ο Μ.Κ.Δ. είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων με το μικρότερο εκθέτη. Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. μονωνύμων  Το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων μονωνύμων, είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή το Ε.Κ.Π. των συντελεστών των μονωνύμων. Κύριο μέρος το γινόμενο των κοινών και μη κοινών μεταβλητών με το μεγαλύτερο εκθέτη.  Ο Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσοτέρων μονωνύμων, είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή τον Μ.Κ.Δ. των συντελεστών των μονωνύμων. Κύριο μέρος το γινόμενο των κοινών μεταβλητών με το μικρότερο εκθέτη. Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. πολυωνύμων Για να βρούμε το Ε.Κ.Π. ή τον Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσοτέρων πολυωνύμων, πρέπει αρχικά κάθε πολυώνυμο να το αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, δηλαδή να το παραγοντοποιήσουμε. Στη συνέχεια:  Το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο εκθέτη.  Ο Μ.Κ.Δ. είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων με το μικρότερο εκθέτη. 1.9 Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις Ορισμός Ρητής Αλγεβρικής Παράστασης Μια αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα, του οποίου οι όροι είναι πολυώνυμα, λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς αλγεβρική παράσταση. Κάθε κλάσμα για να ορίζεται πρέπει να έχει παρονομαστή διάφορο του μηδενός. Έτσι σε μια ρητή παράσταση, οι μεταβλητές δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή. Απλοποίηση ρητών παραστάσεων Αν σε ένα κλάσμα και οι δύο όροι του (αριθμητής και παρονομαστής) είναι γινόμενα, τα οποία έχουν ένα κοινό παράγοντα, τότε ο παράγοντας αυτός μπορεί να απλοποιηθεί. Έτσι για να απλοποιήσουμε μια ρητή παράσταση, εργαζόμαστε ως εξής: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 81 of 106
  • 82.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 12 α) Παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της. β) Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες των όρων της. ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν κάνουμε απλοποίηση εάν δεν είναι οι όροι του κλάσματος γινόμενα Σε μια κλασματική παράσταση παίρνουμε τους περιορισμούς πριν κάνουμε οποιαδήποτε απλοποίηση. Οι περιορισμοί ισχύουν και για την απλοποιημένη μορφή της κλασματικής παράστασης. 1.10 Πράξεις Ρητών παραστάσεων Πολλαπλασιασμός Ρητών Παραστάσεων  Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ρητές παραστάσεις, χρησιμοποιούμε τον κανόνα:  Για να πολλαπλασιάσουμε μια ακέραια με μια ρητή παράσταση, χρησιμοποιούμε τον κανόνα: Διαίρεση Ρητών παραστάσεων  Για να διαιρέσουμε δύο ρητές παραστάσεις, χρησιμοποιούμε τον κανόνα: Δηλαδή αντιστρέφουμε τον διαιρέτη και κάνουμε πολλαπλασιασμό. Σύνθετα κλάσματα Για να μετατρέψουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό, χρησιμοποιούμε τον εξής κανόνα: Τον ίδιο κανόνα χρησιμοποιούμε όταν οι όροι του κλάσματος είναι ρητές παραστάσεις!! 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 82 of 106
  • 83.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 13 Πρόσθεση – Αφαίρεση ρητών παραστάσεων Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν ίδιους παρονομαστές Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες: Τους ίδιους κανόνες χρησιμοποιούμε και για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ρητές παραστάσεις που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Αν όμως οι ρητές αριθμητικές παραστάσεις αποτελούνται από ετερώνυμα κλάσματα, τότε τις μετατρέπουμε σε ομώνυμες όπως ακριβώς και στα κλάσματα. Παράδειγμα Θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 83 of 106
  • 84.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 14 2.2 Εξισώσεις 2ου Βαθμού Εξίσωση 2ου βαθμού με έναν άγνωστο ή πιο απλά δευτεροβάθμια εξίσωση λέμε κάθε εξίσωση της μορφής: αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0 Σε κάθε εξίσωση της μορφής αυτής:  οι αριθμοί α, β και γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης.  ο αριθμός γ λέγεται και σταθερός όρος της εξίσωσης. Α) Επίλυση με ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων  Εξίσωση της μορφής αx2 + βx = 0 , με α ≠ 0 Για να λύσουμε τις εξισώσεις αυτής της μορφής, βγάζουμε κοινό παράγοντα το x και στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα: Αν α · β = 0, τότε α=0 ή β=0  Εξίσωση της μορφής αx2 + γ = 0 , με α ≠ 0 1ος Τρόπος Αν το 1ο μέλος μπορεί να γραφεί ως διαφορά τετραγώνων, τότε το παραγοντοποιούμε και στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα: Αν α · β = 0, τότε α=0 ή β=0 2ος Τρόπος Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή x2 = λ  Αν λ > 0, τότε η εξίσωση x2 = λ έχει δύο λύσεις, τις x = √𝛌 και x = - √𝛌  Αν λ = 0, τότε η εξίσωση γίνεται x2 = 0 και έχει όπως λέμε διπλή λύση, την x = 0  Αν λ < 0, τότε η εξίσωση x2 = λ είναι αδύνατη. (Αυτό συμβαίνει γιατί το x2 είναι πάντα θετικός αριθμός ή μηδέν, οπότε δεν μπορεί να ισούται με αρνητικό αριθμό). παραδείγματα 𝑥2 = 9 𝑥 = √9 ή 𝑥 = −√9 𝑥 = 3 ή 𝑥 = −3 𝑥2 = 0 𝑥 = 0 𝑥2 = −16 Αδύνατη 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 84 of 106
  • 85.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 15  Εξίσωση της μορφής αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0 1η περίπτωση: Ανάπτυγμα τετραγώνου Αν σε μια εξίσωση της μορφής αx2 + βx + γ = 0, το 1ο μέλος είναι ανάπτυγμα τετραγώνου, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή: (λx + μ)2 = 0 από την οποία προκύπτει: λx + μ = 0 Η λύση που βρίσκουμε τελικά είναι διπλή Παράδειγμα (𝑥 + 1)2 = 0 𝑥 + 1 = 0 𝑥 = −1 2η περίπτωση: Παραγοντοποίηση Τριωνύμου Για να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0, αναζητούμε δύο αριθμούς με γινόμενο γ και άθροισμα β. Παράδειγμα 𝑥2 – 3𝑥 – 10 = 0 Ψάχνουμε δύο αριθμούς με γινόμενο −10 και άθροισμα −3. Οι αριθμοί αυτοί είναι ο −5 και ο +2. Άρα ισχύει: 𝑥2 – 3𝑥 – 10 = (𝑥 – 5)(𝑥 + 2) και επομένως η εξίσωση διαδοχικά γίνεται: 𝑥2 – 3𝑥 – 10 = 0 (𝑥 – 5)(𝑥 + 2) = 0 (𝑥 – 5) = 0 ή (𝑥 + 2) = 0 𝒙 = 𝟓 ή 𝒙 = −𝟐 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 85 of 106
  • 86.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 16 Β) Επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού με τη βοήθεια τύπου Για να επιλύσουμε οποιαδήποτε εξίσωση 2ου βαθμού με γενική μορφή: αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0 χρησιμοποιούμε την παράσταση με τύπο Δ = β2 – 4αγ Η παράσταση αυτή ονομάζεται διακρίνουσα της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 και συμβολίζεται με Δ. Υπολογίζονται λοιπόν την διακρίνουσα Δ, διακρίνουμε 3 περιπτώσεις: 1η περίπτωση: Δ > 0 Λέμε τότε ότι η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις, τις X1,2 = −β ± √Δ 2α 2η περίπτωση: Δ = 0 Λέμε τότε ότι η εξίσωση έχει μια διπλή λύση, την X0 = −β 2α 3η περίπτωση: Δ < 0 Λέμε τότε ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Συνοπτικά Εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 ,με α ≠ 0 Δ = β2 – 4αγ Πλήθος λύσεων Λύσεις Δ > 0 2 άνισες λύσεις X1,2 = −β ± √Δ 2α Δ = 0 1 διπλή λύση X0 = −β 2α Δ < 0 Δεν έχει λύσεις --- 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 86 of 106
  • 87.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 17 Παραγοντοποίηση τριωνύμου με χρήση της διακρίνουσας Για την παραγοντοποίση ενός τριωνύμου αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: 1) Αν Δ > 0 , τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις x1 και x2 και το τριώνυμο γίνεται ως εξής: αx2 + βx + γ = α(x – x1)(x – x2) 2) Αν Δ = 0, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή λύση x0 και το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής: αx2 + βx + γ = α(x – x0)2 3) Αν Δ < 0 , τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις και το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται. 2.3 Προβλήματα εξισώσεων 2ου βαθμού Για να επιλύσουμε ένα πρόβλημα με την βοήθεια εξισώσεων εργαζόμαστε ως εξής: 1. Επιλέγουμε ποιο από τα ζητούμενα θα συμβολίσουμε με x 2. Εκφράζουμε όλα τα ζητούμενα (αν υπάρχουν) με τη βοήθεια του x 3. Μετατρέπουμε τις εκφράσεις του προβλήματος σε μαθηματικές σχέσεις και σχηματίζουμε μια εξίσωση με άγνωστο τον x. 4. Λύνουμε την εξίσωση αυτή. 5. Εξετάζουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν το πρόβλημα. Αν κάποια λύση δεν ικανοποιεί το πρόβλημα, την απορρίπτουμε. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 87 of 106
  • 88.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 18 2.5 Ανισότητες – Ανισώσεις με έναν άγνωστο Ιδιότητες της διάταξης Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά Αν α > β, τότε { 𝜶 + 𝜸 > 𝜷 + 𝜸 𝜅𝛼𝜄 𝜶 − 𝜸 > 𝜷 − 𝜸 Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά Αν α > β και γ > 0, τότε: α · γ > β · γ και 𝜶 𝜸 > 𝜷 𝜸 Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με αντίθετη φορά Αν α > β και γ < 0, τότε: α · γ < β · γ και 𝜶 𝜸 < 𝜷 𝜸 Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά Αν α > β και γ > δ, τότε: α + γ > β + δ Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά Αν α > β και γ > δ, με α, β, γ, δ > 0 τότε: α · γ > β · δ Μεταβατική ιδιότητα Αν α > β και β > γ, τότε α > γ Ποιες ιδιότητες ΔΕΝ έχουν οι ανισότητες Οι ιδιότητες που δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε στις ανισότητες, είναι οι ακόλουθες:  Δεν επιτρέπεται να αφαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες  Δεν επιτρέπεται να διαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες  Δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες, αν δεν είναι όλα τα μέλη τους θετικά 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 88 of 106
  • 89.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 19 3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η εξίσωση αx + βy = γ  Κάθε εξίσωσης της μορφής: αx + βy = γ λέγεται γραμμική εξίσωση με αγνώστους x και y.  Λύση μιας εξίσωσης της μορφής αx + βy = γ λέγεται κάθε ζεύγος αριθμών ( x, y ) που την επαληθεύει Η εξίσωση αx + βy = γ, με α ≠ 0 ή β ≠ 0  Μια εξίσωση της μορφής: αx + βy = γ, με α ≠ 0 ή β ≠ 0 έχει άπειρες λύσεις. Αν τα ζεύγη (x, y), που είναι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, τα παραστήσουμε σε μια ευθεία του επιπέδου, τότε τα σημεία αυτά θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ε. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση αx + βy = γ λέγεται εξίσωση της ευθείας ε και συμβολικά γράφουμε: ε: αx + βy = γ Γενικά ισχύει ότι:  Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.  Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.  Μια γραμμική εξίσωση της μορφής αx + βy = γ με αγνώστους x και y, παριστάνει ευθεία μόνο όταν α ≠ 0 ή β ≠ 0. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 89 of 106
  • 90.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 20 3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του  Δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x και y, των οποίων ψάχνουμε τις κοινές λύσεις, αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Ένα τέτοιο γραμμικό σύστημα έχει τη μορφή: { 𝛼1x+ β1y = γ1 α2x+ β2y = γ2  Λύση του παραπάνω συστήματος ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (x, y) που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις του.  Επίλυση ενός γραμμικού συστήματος λέγεται η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τα ζεύγη (x, y) που επαληθεύουν συγχρόνως και τις δύο εξισώσεις. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος μπορεί να γίνει είτε αλγεβρικά (όπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο) είτε γραφικά. Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος Αν ισχύουν (α1 ≠ 0 ή β1 ≠ 0) και (α2 ≠ 0 ή β2 ≠ 0), τότε καθεμία από τις εξισώσεις του γραμμικού συστήματος: 𝛼1x+ β1y = γ1 α2x+ β2y = γ2 παριστάνει μια ευθεία. Αν σχεδιάσουμε σε ένα σύστημα αξόνων τις δύο αυτές ευθείες, τότε οι συντεταγμένες των κοινών τους σημείων αποτελούν τις λύσεις του συστήματος. 3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος Η Αλγεβρική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με δίνει τη δυνατότητα να προσδιορίσουμε με ακρίβεια τη λύση (αν υπάρχει) του συστήματος. Οι τρόποι επίλυσης που θα μελετήσουμε στη Γ’ γυμνασίου είναι οι παρακάτω: 1. Μέθοδος της αντικατάστασης 2. Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 90 of 106
  • 91.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 21 Παραδείγματα Να λυθεί το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: Να λυθεί το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών: { 𝑥 + 2𝑦 = 9 2𝑥 − 𝑦 = 3 { 𝑥 + 2𝑦 = 9 2𝑥 − 𝑦 = 3 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 2𝑥 − 𝑦 = 3 Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο { 𝑥 + 2𝑦 = 9 | 2𝑥 − 𝑦 = 3 | ∙ 2 Πολλαπλασιάζουμε κάθε εξίσωση με τον κατάλληλο αριθμό, έτσι ώστε οι συντελεστές του ενός από τους δύο αγνώστους να είναι αντίθετοι αριθμοί. { 𝑥 = 9 − 2𝑦 2(9 − 2𝑦) − 𝑦 = 3 Αντικαθιστούμε την πρώτη εξίσωση (το x) στην δεύτερη εξίσωση { 𝑥 + 𝟐𝑦 = 9 4𝑥 − 𝟐𝑦 = 6 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 18 − 4𝑦 − 𝑦 = 3 Λύνουμε την δεύτερη εξίσωση που προκύπτει, η οποία είναι 1ου βαθμού Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω εξισώσεις. (Αν έχουμε κάνει σωστά τα βήματα, θα προκύπτει εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο) { 𝑥 = 9 − 2𝑦 −4𝑦 − 𝑦 = 3 − 18 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑥 − 2𝑦 = 9 + 6 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 −5𝑦 = −15 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑥 − 2𝑦 = 9 + 6 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 −5𝑦 −5 = −15 −5 𝑥 + 4𝑥 = 9 + 6 { 𝑥 = 9 − 2𝑦 𝑦 = 3 5𝑥 = 15 5𝑥 5 = 15 5 𝑥 = 3 { 𝑥 = 9 − 2 ∙ 3 𝑦 = 3 Αντικαθιστούμε το y που βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση 𝑥 + 2𝑦 = 9 3 + 2𝑦 = 9 2𝑦 = 9 − 3 2𝑦 = 6 2𝑦 2 = 6 2 𝑦 = 3 Επιλέγω μία από τις δύο εξισώσεις του αρχικού συστήματος και αντικαθιστώ το 𝑥 που βρήκα { 𝑥 = 3 𝑦 = 3 Η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (𝑥, 𝑦) = (3, 3) 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 91 of 106
  • 92.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 22 5.1 Σύνολα Η έννοια του συνόλου Σε πολλές περιπτώσεις συνηθίζουμε να συλλέγουμε και να ταξονομούμε σε ομάδες ή σε κατηγορίες διάφορα πράγματα, όπως βιβλία, νομίσματα κ.λ.π. Σε κατηγορίες, επίσης, ταξονομούμε τους αριθμούς. Ομάδες ή κατηγορίες όπως οι παραπάνω, στα Μαθηματικά ονομάζονται σύνολα. «Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλα ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.»  Ένα σύνολο πρέπει να είναι καλά ορισμένο, πχ «το σύνολο των βιβλίων που έχουν πάνω από 400 σελίδες» και όχι «το σύνολο των βιβλίων με πολλές σελίδες».  Τα στοιχεία ενός συνόλου, πρέπει να είναι διακεκριμένα, δηλαδή κάθε στοιχείο του συνόλου να είναι διαφορετικό από τα άλλα.  Κάθε σύνολο συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου (π.χ. Α, Β, Γ, Δ, Ν, κ.λ.π.).  Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε ένα σύνολο ονομάζεται στοιχείο του συνόλου και το συμβολίζουμε συνήθως με κάποιο μικρό γράμμα (π.χ. α, β, γ, χ κ.λ.π). Παράσταση ενός συνόλου 1) Με αναγραφή των στοιχείων του:  Όταν γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία ενός συνόλου και το πλήθος τους είναι μικρό, τότε γράφουμε μία φορά καθένα από τα στοιχεία του (με οποιαδήποτε σειρά) και τα τοποθετούμε ανάμεσα σε δύο άγκιστρα.  Όταν τα στοιχεία του συνόλου είναι πολλά ή άπειρα, τότε γράφουμε ορισμένα μόνο από αυτά (ανάμεσα σε δύο άγκιστρα) και τα υπόλοιπα τα παραλείπουμε βάζοντας ασποισωπητικά. Πρέπει βέβαια να εννοούνται με σαφήνεια τα στοιχεία που παραλείπονται. 2) Με περιγραφή των στοιχείων του: Όταν όλα τα στοιχεία ενός συνόλου ικανοποιούν μια συγκεκριμένη ιδιότητα, τότε αντί να γράψουμε όλα τα στοιχεία, μπορούμε να περιγράψουμε την ιδιότητα αυτή ανάμεσα σε δύο άγκιστρα. Συγκεκριμένα, αν από ένα σύνολο Α επιλέξουμε όλα τα στοιχεία εκείνα που έχουν μια ιδιότητα Ι, τότε δημιουργούμε το σύνολο: { x ∈ Α, όπου το x έχει την ιδιότητα Ι } 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 92 of 106
  • 93.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 23 3) Με διαγράμμα Venn Ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με το εσωτερικό μιας κλειστής γραμμής. Το διάγραμμα που χρησιμοποιούμε γι’ αυτήν την παρουσίαση ενός συνόλου ονομάζεται διάγραμμα Venn. Για παράδειγμα, το σύνολο Α = {α, β, γ, δ} μπορεί να παρασταθεί με διάγραμμα Venn όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε ότι: Α C B Χρησιμοποιώντας διάγραμμα Venn μπορούμε να δέιξουμε ότι Α C B, με τον τρόπο που φαίνεται στο διπλανό σχήμα Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι εξής ιδιότητες: Για κάθε σύνολο Α, ισχύει Α C Α Αν Α C B και Β C Γ , τότε Α C Γ Τα σύνολα με τα οποία ασχολούμαστε συνήθως, είναι υποσύνολα ενός ευρύτερου συνόλου, το οποίο ονομάζεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. Σε ένα διάγραμμα Venn το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου. Κάθε υποσύνολο του Ω παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής γραμμής μέσα στο ορθογώνιο. Δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα, όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και γράφουμε: Α = Β Με άλλα λόγια, δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντίστροφα, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α.  Το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με ∅ ή { }. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 93 of 106
  • 94.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 24  Ισχύει ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου, δηλαδή ∅ C Α Για τα γνωστά μας σύνολα των φυσικών, ακεραίων, ρητών, πραγματικών ισχύει: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 94 of 106
  • 95.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 25 1.2 Ισότητα Τριγώνων Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι:  Οι κορυφές του Α, Β και Γ  Οι πλευρές του ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ  Οι γωνίες του 𝚨̂, 𝚩̂ και 𝚪̂ Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις γωνίες 𝚨̂, 𝚩̂ και 𝚪̂ συμβολίζονται αντίστοιχα α, β και γ Η γωνία ενός τριγώνου που περιέχεται μεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόμενη γωνία αυτών των πλευρών. Οι γωνίες ενός τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα μιας πλευράς, λέγονται προσκείμενες γωνίες της πλευράς αυτής. Είδη τριγώνων Με κριτήριο τις γωνίες: Με κριτήριο τις πλευρές: 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 95 of 106
  • 96.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 26 Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Ίσα τρίγωνα Αν δυο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ίσες μια προς μια και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα. Αντίστροφα, αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π – Γ – Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. Για παράδειγμα, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ του διπλανού σχήματος ισχύουν:  ΑΒ = Α’Β’  ΑΓ = Α’Γ’  𝛢̂ = 𝛢’̂ Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. «Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες» 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Γ – Π – Γ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Για παράδειγμα, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ του διπλανού σχήματος ισχύουν:  𝛣̂ = 𝛣’̂  ΒΓ = Β’Γ’  𝛤̂ = 𝛤’̂ Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. «Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές» 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 96 of 106
  • 97.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 27 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π – Π – Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους μία προς μία ίσες, τότε είναι ίσα. Για παράδειγμα, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ του διπλανού σχήματος ισχύουν: ΑΒ = Α’Β’ ΑΓ = Α’Γ’ ΒΓ = Β’Γ’ Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές. Έτσι λοιπόν, δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: Δύο ανίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία Μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου 1. Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς, είναι ίσες 2. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση, είναι ταυτόχρονα ύψος και δίχοτόμος Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, όλες του οι γωνίες είναι ίσες με 60ο 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 97 of 106
  • 98.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 28 Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη σε αυτό και διέρχεται από το μέσο του τμήματος. Ισχύουν: 1. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος. 2. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος, είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος αυτού. Διχοτόμος μιας γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες Ισχύουν: 1. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας 2. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές μιας γωνίας είναι σημείο της διχοτόμου του. 1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει. Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα είναι ε1 // ε2 // ε3 και οι ευθείες αυτές τέμνονται από τις ευθείες ζ και η. Αν είναι ΑΒ = ΑΓ, τότες και Α’Β’ = Β’Γ’ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 98 of 106
  • 99.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 29 Εφαρμογή στα τραπέζια και στα τρίγωνα Τραπέζια Σε ένα τραπέζιο, αν από το μέσο της μιας μη παράλληλης πλευράς φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τις βάσεις του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται και από το μέσο της άλλης μη παράλληλης πλευράς. Τρίγωνα Σε ένα τρίγωνο, αν από το μέσο μιας πλευράς φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα «Στο τετράδιο θεωρίας» Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων – Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα 1. Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων  Ο λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, συμβολίζεται ΓΔ ΑΒ και είναι ο αριθμός λ για τον οποίο ισχύει ΓΔ = λ · ΑΒ, δηλαδή: ΓΔ ΑΒ = λ ή ΓΔ = λ · ΑΒ  Ο λόγος δύο ευθύγραμμων τμημάτων είναι ίσος με το λόγο των μηκών τους, εφόσον έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης. 2. Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ , όταν ισχύει: α β = γ δ Μια ισότητα της μορφής α β = γ δ ονομάζεται αναλογία με όρους τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ, δ. Τα α, δ ονομάζονται άκροι όροι, ενώ τα β, γ ονομάζονται μέσοι όροι της αναλογίας. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 99 of 106
  • 100.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 30 3. Ιδιότητες αναλογιών Οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών είναι οι εξής:  Σε κάθε αναλογία τα «χιαστί» γινόμενα είναι ίσα. Δηλαδή: Αν α β = γ δ τότε αδ = βγ Σε μια αναλογία μπορούμε να εναλλάξουμε τους μέσους ή τους ακραίους όρους και να προκύψει πάλι αναλογία. Δηλαδή: Αν α β = γ δ τότε α γ = β δ Αν α β = γ δ τότε δ β = γ α Όταν δύο λόγοι είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε είναι ίσοι και με τον λόγο που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών. Δηλαδή: Αν α β = γ δ τότε α β = γ δ = α+γ β+δ Τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Δηλαδή στο τρίγωνο ΑΒΓ, αν Μ είναι το μέσο της ΑΒ και Ν το μέσο της ΑΓ, ισχύει: ΜΝ//ΒΓ και ΜΝ = ΒΓ 2 Διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Δηλαδή στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, αν Μ είναι το μέσο της υποτείνουσας ΒΓ, ισχύει: ΑΜ = ΒΓ 2 Δηλαδή ΑΜ = ΜΓ και ΑΜ = ΜΒ 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 100 of 106
  • 101.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 31 1.3 Το Θεώρημα του Θαλή Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη. Δηλαδή: 𝛼𝜈 𝜀1//𝜀2//𝜀3 τότε 𝛢𝛣 𝛢′ 𝛣′ = 𝛣𝛤 𝛣′ 𝛤′ = 𝛢𝛤 𝛢′ 𝛤′ 1.5 Ομοιότητα Α. Όμοια πολύγωνα Αν έχουμε δύο πολύγωνα Π και Π’ που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου, τότε τα πολύγωνα αυτά τα λέμε όμοια και γράφουμε Π ≈ Π’. Κριτήριο Ομοιότητας Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. Λόγος Ομοιότητας  Δύο οποιεσδήποτε αντίστοιχες πλευρές όμοιων πολυγώνων έχουν τον ίδιο λόγο, γι’ αυτό λέγονται ομόλογες.  Ο λόγος των ομόλογων πλευρών δύο όμοιων πολυγώνων λέγεται λόγος ομοιότητας.  Για να είναι δύο πολύγωνα όμοια, πρέπει να έχουν και τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 101 of 106
  • 102.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 32 Βασική ιδιότητα όμοιων πολυγώνων Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους. Κλίμακα Οι χάρτες ή τα σχέδια παρουσιάζουν διάφορα αντικείμενα ή σχήματα, όμοια με τα πραγματικά, σε σμίκρυνση ή μεγέθυνση. Ο λόγος ομοιότητας του σχήματος στον χάρτη ή στο σχέδιο προς το πραγματικό ονομάζεται κλίμακα. Ισχύει: Κλίμακα = απόσταση στο σχέδιο πραγματική απόσταση Η απόσταση στο σχέδιο και η πραγματική απόσταση πρέπει να είναι μετρημένες με την ίδια μονάδα. Β. Όμοια τρίγωνα Δύο τρίγωνα είναι όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους μια προς μια ίσες, τότε είναι όμοια. 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 102 of 106
  • 103.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 33 1.6 Λόγος εμβαδών όμοιων σχημάτων Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Για παράδειγμα, έστω ότι τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και Α’Β’Γ’Δ’ είναι όμοια, με λόγο ομοιότητας λ, δηλαδή: ΑΔ Α′Δ′ = ΑΒ Α′Β′ = ΒΓ Β′Γ′ = ΓΔ Γ′Δ′ = λ Τότε για τα εμβαδά τους (ΑΒΓΔ) και (Α’Β’Γ’Δ’), ισχύει ότι: (ΑΒΓΔ) (Α′Β′Γ′Δ′) = λ2 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 103 of 106
  • 104.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 34 2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0ο≤ ω ≤ 180ο Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ω ορθογωνίου τριγώνου ορίζονται ως εξής: ημω = απένταντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα εφω = απένταντι κάθετη πλευρά προσκείμενη κάθετη πλευρά συνω = προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα Για παράδειγμα, στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ισχύει: ημΒ̂ = = ΑΓ ΒΓ συνΒ̂ = = ΑΒ ΒΓ εφΒ̂ = = ΑΓ ΑΒ Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0ο ≤ ω ≤ 180ο Τοποθετούμε τη γωνία ω σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy, ώστε η κορυφή της να συμπέσει με την αρχή Ο, η μια πλευρά της να συμπέσει με τον θετικό ημιάξονα Ox και η άλλη πλευρά της να βρεθεί από τον άξονα x’x και πάνω. Στην πλευρά αυτή παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Μ (x,y), διαφορετικό από το Ο. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω ορίζονται ως εξής: ημω = τεταγμένη του Μ απόσταση του Μ από το Ο συνω = τετμημένη του Μ απόσταση του Μ από το Ο εφω = τεταγμένη του Μ τετμημένη του Μ Αν συμβολίσουμε με ρ την απόσταση ΟΜ του Μ(x,y) από το σημείο Ο, τότε ισχύει: ρ = √𝑥2 + 𝑦2 και για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω έχουμε: ημω = y ρ συνω = x ρ εφω = y x 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 104 of 106
  • 105.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 35 Για το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, έχουμε: ημω συνω εφω ω οξεία + + + ω αμβλεία + - - Θυμίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που πρέπει να ξέρουμε: ω 0ο 30ο 45ο 60ο 90ο 180ο ημω 0 1 2 √2 2 √3 2 1 0 συνω 1 √3 2 √2 2 1 2 0 -1 εφω 0 √3 3 1 √3 Δεν ορίζεται 0 Για μια γωνία ω, με 0ο≤ ω ≤ 180ο , ισχύει ότι: 0 ≤ ημω ≤ 1 και -1 ≤ συνω ≤ 1 ενώ για την εφω (με ω ≠ 90ο ) δεν υπάρχουν περιορισμοί στις τιμές που μπορεί να πάρει. 2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών Οι παραπληρωματικές γωνίες ω και 180ο – ω , έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Δηλαδή ισχύουν: ημ(180ο – ω) = ημω συν(180ο – ω) = -συνω εφ(180ο – ω) = - εφω 𝜼𝝁𝒙 = 𝜼𝝁𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝝎 ή 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎 𝝄 − 𝝎 𝝈𝝊𝝂𝒙 = 𝝈𝝊𝝂𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝝎 𝝈𝝊𝝂𝒙 = −𝝈𝝊𝝂𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎 𝒐 − 𝝎 𝜺𝝋𝒙 = 𝜺𝝋𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝝎 𝜺𝝋𝒙 = −𝜺𝝋𝝎, 𝜏ό𝜏𝜀 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎 𝒐 − 𝝎 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 105 of 106
  • 106.
    ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 36 2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ότι: ημ2 ω + συν2 ω = 1 εφω = ημω συνω Αποδείξεις: 𝜼𝝁 𝟐 𝒙 + 𝝈𝝊𝝂 𝟐 𝒙 = 𝟏 Για την απόσταση ενός σημείου 𝛭(𝑥, 𝑦) από την αρχή των αξόνων ισχύει: 𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 ή 𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το 𝜌2 , τότε έχουμε: 𝜌2 𝜌2 = 𝑥2 𝜌2 + 𝑦2 𝜌2 ή ( 𝑥 𝜌 ) 2 + ( 𝑦 𝜌 ) 2 = 1 Επειδή 𝜂𝜇𝜔 = 𝑦 𝜌 και 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑥 𝜌 , η παραπάνω ισότητα γίνεται: (𝜎𝜐𝜈𝜔)2 + (𝜂𝜇𝜔)2 = 1 ή 𝜼𝝁 𝟐 𝒙 + 𝝈𝝊𝝂 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝜺𝝋𝝎 = 𝜼𝝁𝝎 𝝈𝝊𝝂𝝎 Αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις ισότητες 𝜂𝜇𝜔 = 𝑦 𝜌 και 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑥 𝜌 , με την προϋπόθεση ότι 𝜎𝜐𝜈𝜔 ≠ 0, έχουμε: 𝜂𝜇𝜔 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑦 𝜌 𝑥 𝜌 ή 𝜂𝜇𝜔 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑦𝜌 𝑥𝜌 ή 𝜂𝜇𝜔 𝜎𝜐𝜈𝜔 = 𝑦 𝑥 = 𝜀𝜑𝜔 Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, με 𝜎𝜐𝜈𝜔 ≠ 0 ισχύει: 𝜺𝝋𝝎 = 𝜼𝝁𝝎 𝝈𝝊𝝂𝝎 2.4 Νόμος ημιτόνων – Νόμος συνημιτόνων Νόμος ημιτόνων: Σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 𝛼 𝜂𝜇𝛢 = 𝛽 𝜂𝜇𝛣 = 𝛾 𝜂𝜇𝛤 Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: 𝛼2 = 𝛽2 + 𝛾2 − 2𝛽𝛾𝜎𝜐𝜈𝛢 𝛽2 = 𝛼2 + 𝛾2 − 2𝛼𝛾𝜎𝜐𝜈𝛣 𝛾2 = 𝛼2 + 𝛽2 − 2𝛼𝛽𝜎𝜐𝜈𝛤 21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 106 of 106