Skip to main content
UploadLanguage (EN)Support
BusinessMobileSocial MediaMarketingTechnologyArt & PhotosCareerDesignEducationPresentations & Public SpeakingGovernment & NonprofitHealthcareInternetLawLeadership & ManagementAutomotiveEngineeringSoftwareRecruiting & HRRetailSalesServicesScienceSmall Business & EntrepreneurshipFoodEnvironmentEconomy & FinanceData & AnalyticsInvestor RelationsSportsSpiritualNews & PoliticsTravelSelf ImprovementReal EstateEntertainment & HumorHealth & MedicineDevices & HardwareLifestyle
Χρήστος Χαρμπής, profile picture
Uploaded byΧρήστος Χαρμπής
178,967 views

Μαθηματικά ΣΤ΄ - Επανάληψη 1ης ενότητας, κεφ. 1-24

http://st-taksh.blogspot.gr Μαθηματικά ΣΤ΄ - Επανάληψη 1ης ενότητας, κεφ. 1-24

Education◦
Downloaded 2,361 times
Επιμέλεια : Χρήστος Χαρμπής Μαθηματικά ΣΤ΄- Επανάληψη 1ης Ενότητας: Κεφ. 1 -24 1.Φυσικοί αριθμοί 3. Αριθμητικές παραστάσεις 5. Ε.Κ.Π. 7. Κλάσματα 2. Δεκαδικοί αριθμοί 4. Μ.Κ.Δ. 6. Δυνάμεις 8. Επαναληπτικά Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.1
ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.2
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:____________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ 1. α. Ποιοι από τους αριθμούς είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Τους χρωματίζω αντίστοιχα με κίτρινο και πράσινο χρώμα. 3 5 7 9 13 15 19 20 21 24 25 27 29 30 31 33 β. Γράφω ποιοι από αυτούς είναι:  πρώτοι αριθμοί: …………………………………………………………………….  σύνθετοι αριθμοί: ………………………………………………………………….. 2. α. Βρίσκω ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι (με τη βοήθεια των διαιρετών): Διαιρέτες Αριθμοί 101 102 103 107 109 181 218 231 2  + 3 5 7 11 β. Γράφω ποιοι από αυτούς είναι:  πρώτοι αριθμοί: …………………………………………………………………….  σύνθετοι αριθμοί: ………………………………………………………………….. 3. Παρουσιάζω τον κάθε αριθμό ως γινόμενο δύο παραγόντων: 15=…..…….….. 35=…..…….….. 36=…..…….….. 63=…..…….….. 54=…..…….….. 72=…..…….….. 88=…..…….….. 96=…..…….….. Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.3
ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τρεις φίλοι είπαν τα κάλαντα. Την παραμονή των Χριστουγέννων μάζεψαν 57,7 € και την παραμονή της Πρωτοχρονιάς μάζεψαν 61,4 €. α) Πόσα € μάζεψαν συνολικά οι τρεις φίλοι; β) Πόσα € πήρε κάθε παιδί, αν μοιράστηκαν εξίσου τα χρήματα; Η Αναστασία είχε 130 γραμματόσημα. Έδωσε 20 στη φίλη της τη Μυρτώ και τα υπόλοιπα τα έβαλε σ' ένα άλμπουμ. Αν τοποθέτησε 10 γραμματόσημα σε κάθε σελίδα, πόσες σελίδες του άλμπουμ γέμισε; Ένας μανάβης προμηθεύτηκε από έναν παραγωγό 225 κιλά ροδάκινα. Όμως τα 25 κιλά σάπισαν. Τα υπόλοιπα ροδάκινα πουλήθηκαν και ο μανάβης εισέπραξε 330 €. Πόσα € πούλησε το 1 κιλό ροδάκινα; Η Ειρήνη αγόρασε δύο σακούλες με καραμέλες. Η μία σακούλα είχε 72 καραμέλες και η άλλη 48 καραμέλες. Αν μοίρασε εξίσου τις καραμέλες σε 12 φίλες της, τότε πόσες καραμέλες πήρε κάθε φίλη της; Δύο ψαροκάικα βγήκαν για ψάρεμα. Όταν επέστρεψαν, στο πρώτο ψαροκάικο είχαν πιάσει 168 κιλά ψάρια και στο δεύτερο 192 κιλά ψάρια. Τοποθέτησαν όλα τα ψάρια σε κασέλες που η καθεμία χωράει 12 κιλά ψάρια. Πόσες κασέλες χρησιμοποίησαν; Ένας αγρότης καλλιεργεί σε δυο χωράφια πατάτες. Από το πρώτο χωράφι έβγαλε 3.588 κιλά πατάτες και από το άλλο 2.652 κιλά πατάτες. Με όλες τις πατάτες κατάφερε να γεμίσει 15 τσουβάλια. Πόσα κιλά πατάτες χωράει κάθε τσουβάλι; elena Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.4
Μια παρέα αγόρασε από το ζαχαροπλαστείο της γειτονιάς παγωτό και πλήρωσε 10,5 €. α) Αν κάθε κιλό παγωτό κόστιζε 7 ευρώ πόσα κιλά παγωτό αγόρασαν; β) Αν η παρέα έφαγε όλο το παγωτό και κάθε άτομο κατανάλωσε 0,1 κιλό παγωτό , τότε πόσα άτομα υπήρχαν στην παρέα; elena Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.5
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:______________________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ  Για να διαιρέσουμε δεκαδικό με φυσικό αριθμό, κάνουμε την διαίρεση σαν να ήταν και οι δύο αριθμοί φυσικοί και, όταν τελειώσει το ακέραιο μέρος του διαιρετέου, βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζουμε τη διαίρεση. Αν τυχόν μείνει υπόλοιπο, προσθέτουμε όσα μηδενικά θέλουμε στο τέλος του διαιρετέου και συνεχίζουμε την πράξη. 5,400 8 60 0,675 40 0 1,350 25 100 0,054 00 2,0 0 8 40 0,25 0 351 19,5 3510 195 1560 18 000 295,75 3,5 2957,5 35 157 84,5 175 00 397,5 0,05 39750 5 47 7950 25 00 Όταν ο διαιρετέος είναι μικρότερος από το διαιρέτη (δηλ. ο διαιρέτης δε χωράει στο ακέραιο μέρος του), βάζουμε μηδέν στο πηλίκο και υποδιαστολή. Κατόπιν, χωρίζουμε ένα δεκαδικό ψηφίο στο διαιρετέο και συνεχίζουμε τη διαίρεση. (Παρ. 1,2) Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2 Αν ο διαιρετέος είναι φυσικός αριθμός (και ο διαιρέτης δε χωράει στο διαιρετέο), τρέπουμε το διαιρέτη σε δεκαδικό (βάζοντας υποδιαστολή στο τέλος και στη συνέχεια όσα μηδενικά θέλουμε) και έπειτα εκτελούμε τη διαίρεση. (π.χ 2 : 5) Για να διαιρέσουμε φυσικό με δεκαδικό αριθμό, μεταφέρουμε την υποδιαστολή στο τέλος του δεκαδικού διαιρέτη, ώστε να γίνει ακέραιος, πολλαπλασιάζοντάς τον ανάλογα με 10 ή 100 ή 1000 κτλ. και προσθέτουμε στο τέλος του διαιρετέου τόσα μηδενικά, όσα δεκαδικά ψηφία έχει ο διαιρέτης, πολλαπλασιάζοντάς τον με τον ίδιο αριθμό. Για να διαιρέσουμε δεκαδικό με δεκαδικό αριθμό, μεταφέρουμε την υποδιαστολή στο τέλος του διαιρέτη, πολλαπλασιάζοντάς τον επί 10 ή 100 ή 1000 κτλ., ώστε να γίνει ακέραιος, και κατόπιν μεταφέρουμε και την υποδιαστολή του διαιρετέου τόσες θέσεις προς τα δεξιά, όσα δεκαδικά ψηφία έχει ο διαιρέτης, πολλαπλασιάζοντάς τον με τον ίδιο αριθμό. Αν ο διαιρετέος έχει λιγότερα δεκαδικά ψηφία από το διαιρέτη, συμπληρώνουμε τις θέσεις που μας λείπουν με μηδενικά. Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.6
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:______________________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ  Τέλεια λέγεται η διαίρεση στην οποία το υπόλοιπο είναι 0. Όταν το υπόλοιπο είναι διαφορετικό από το 0, η διαίρεση λέγεται ατελής.  Η τέλεια διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού. Πχ. 4  5 = 20  20 : 5 = 4 και 20 : 4 = 5  Σε κάθε διαίρεση ο Διαιρετέος (Δ) είναι ίσος με το γινόμενο του διαιρέτη (δ) επί το πηλίκο (π) συν το υπόλοιπο (υ). Δηλαδή: Δ = δ  π + υ π.χ. 21 = 4  5 + 1  Κάθε αριθμός, αν διαιρεθεί με το 1, δίνει πηλίκο τον εαυτό του. Π.χ. 4:1=4 4,5:1=4,5  Κάθε αριθμός, αν διαιρεθεί με τον εαυτό του, δίνει πηλίκο 1. Π.χ. 4:4=1 4,5:4,5=1  Το 0 με όποιον αριθμό και αν διαιρεθεί, δίνει πηλίκο 0. Π.χ. 0:4=0 0:4,5=0  Σε κάθε διαίρεση, αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει. Π.χ. 15 : 3 = 5 (152) : (52) = 30 : 6 =5 (15:2) : (5:2) = 5 : 1 =5  Για να διαιρέσουμε σύντομα ένα φυσικό αριθμό με το 10 ή 100 ή 1000 κτλ. χωρίζουμε αντίστοιχα από το τέλος του ένα ή δύο ή τρία κτλ. δεκαδικά ψηφία. Π.χ. 425:10=42,5 425:100=4,25 425:1000=0,425  Για να διαιρέσουμε σύντομα ένα δεκαδικό αριθμό με το 10 ή 100 ή 1000 κτλ. μετακινούμε αντίστοιχα την υποδιαστολή του δεκαδικού μία ή δύο ή τρεις κτλ. θέσεις προς τα αριστερά. Και στις δύο περιπτώσεις, αν μας λείπουν ψηφία, συμπληρώνουμε μηδενικά. Π.χ. 23,5:10=2,35 23,5:100=0,235 23,5:1000=0,0235  Για να διαιρέσουμε σύντομα ένα φυσικό αριθμό επί 0,1 ή 0,01 ή 0,001 κτλ. αρκεί να το πολλαπλασιάσουμε αντίστοιχα επί 10 ή 100 ή 1000 κτλ. δηλ. προσθέτοντας αντίστοιχα στο τέλος του ένα ή δύο ή τρία κτλ. μηδενικά. Π.χ. 5:0,1=50 5:0,01=500 5:0,001=5000  Για να διαιρέσουμε σύντομα ένα δεκαδικό αριθμό επί 0,1 ή 0,01 ή 0,001 κτλ. μεταφέρουμε αντίστοιχα την υποδιαστολή μία ή δύο ή τρεις κτλ. θέσεις προς τα δεξιά. Αν δε μας φτάνουν τα δεκαδικά ψηφία που έχουμε, συμπληρώνουμε μηδενικά. Π.χ. 4,25:0,1=42,5 4,25:0,01=425 4,25:0,001=4,250 Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.7
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:______________________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ 27,3 6 5,675 25 0,256 8 3 80 6,75 4,5 292 0,8 1. Εκτελώ τις διαιρέσεις και τις δοκιμές τους. 2. Συμπληρώνω τους παρακάτω πίνακες. : 10 100 1.000 10.000 100.000 3.425 48 235,25 15,3 : 0,1 0,01 0,001 0,0001 4,25 5 0,125 12 ΔΟΚΙΜΗ ΔΟΚΙΜΗ ΔΟΚΙΜΗ ΔΟΚΙΜΗ ΔΟΚΙΜΗ ΔΟΚΙΜΗ Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.8
AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 13-15 Προβλήματα 1) Χωρίς να κάνεις καμία πράξη να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 12, 59, 302, 2160 διαιρούνται συγχρόνως με το 2, το 3 και το 5. Λύση Aπάντηση 12 59 302 2160 :2 :3 :5 2) Σε ένα βαρέλι υπάρχουν 243 κιλά κρασί. Μπορούμε να μοιράσουμε το κρασί σε δοχεία των 4 τεσσάρων κιλών και να μην περισσέψει καθόλου; Μπορούμε να το μοιράσουμε εξίσου σε δοχεία των εννέα κιλών; ( Να μη γίνουν πράξεις) Λύση ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ Απάντηση _______________________________________________________ 3) Η τάξη του Θοδωρή έχει περισσότερους από 21 και λιγότερους από 28 μαθητές. Αν τους χωρίσουμε σε δυάδες ή τριάδες δεν περισσεύει κανένας. Πόσους μαθητές έχει η τάξη του Θοδωρή; Λύση _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ Απάντηση jite Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.9
4)Να γράψεις τους δέκα πρώτους “πρώτους αριθμούς” _______________________________________________________ 5)Να εξετάσεις αν οι παρακάτω αριθμοί είναι πρώτοι ή σύνθετοι. 78 121 140 :2 :3 :5 :7 :11 Aπάντηση ______________________________ ______________________________ 6) Ο Χάρης ρώτησε τον παππού του πόσων ετών είναι. Εκείνος απάντησε ότι η ηλικία του είναι πρώτος αριθμός μεγαλύτερος του 65 και μικρότερος του 72( 65<ηλικία<72 ). Επιπλέον , αν αντιστραφούν τα ψηφία του, ο αριθμός διαιρείται με το 2. Πόσο χρονών είναι ο παππούς; Λύση ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ Απάντηση: ______________________________________________ jite Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.10
7) Να αναλύσεις τους παρακάτω αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δεντροδιάγραμμα: 60 78 84 90 126 140 Λύση 60 78 84 60= 78= 84= 90 126 140 90= 126= 140= 8)Να κυκλώσεις στη στήλη κάτω από κάθε σύνθετο αριθμό την ανάλυσή του σε πρώτους παράγοντες: 165 245 420 3.55 2.5.5 7.60 5.33 5.7.7 42.10 3.5.11 5.35 2.2.3.5.7 9) Nα αναλύσεις το 520 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με διαίρεση. jite Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.11
ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα: Ο φυσικός αριθμός με ψηφία Χωρίζω τον αριθμό με τελείες Ο φυσικός αριθμός ολογράφως 101010001 140800005 205400009 Ενενήντα εκατομμύρια εννιά χιλιάδες επτά Πεντακόσια ένα εκατομμύρια τριακόσιες τρία Τρία δισεκατομμύρια τρία Έξι δισεκατομμύρια έξι εκατομμύρια έξι χιλιάδες 2. Γράφω τον προηγούμενο και τον επόμενο αριθμό: 1.000.000 2.999.999 3.000.001 9.999.999 999.999.999 3.Αναλύω και συνθέτω τους παρακάτω αριθμούς: 215.345.234= 8.345.230= 123.453.098= 2ΕΕ+3ΜΕ+4ΜΧ+5Μ= 2ΔΕ+3ΕΧ+4ΜΧ+6Δ= 6ΕΕ+5ΔΕ+5ΜΧ+8Μ= 4.Βρίσκω το ανάπτυγμα των αριθμών: 2.134.234= 123.230.560= kristy Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.12
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:……………………………………………ΒΑΘΜΟΣ:…… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:_____________________________________ ΤΕΣΤ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. Γράψε τι φανερώνει το ψηφίο 5 στους παρακάτω αριθμούς: 15→ 583→ 5.001→ 52→ 1,5→ 6,305→ 7,054→ 9,50→ 59.800→ 57,631→ 2.Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις κάθετα: α) 89.500 + 720,82 + 901,58 β) 100 - 5,123 3. Να συμπληρώσεις τα μαγικά τετράγωνα: 18 16 15 12 4. Συμπλήρωσε τις ισότητες: 8,35▪ =83,5 965,89 ▪ =9,6589 4,69 ▪ 100= 678,5 ▪ 0,001= 18 ▪ 0,001= 5. Κάνε τις διαιρέσεις: 18 : 0,001 = 3,05 : 100 = 148 : 1000= 0,99 : 100 = 6.000 : 60 = 2 2,4 2,6 2,3 2,8 ΦΡΑΓΚΟΥ ΖΑΝΝΕΤΑ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.13
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: _______________________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ 1. Εκτελώ τις πράξεις με δύο τρόπους όπως στο παράδειγμα.  (4,25 + 3,25) 1,8 = 7,5 1,8 = 13,5 = (4,25  1,8) + (3,25  1,8) = 7,65 + 5,85 = 13,5  (4,25 – 3,5)  1,8 = ______________________________________________ ______________________________________________  35  (6 – 2) = ______________________________________________ ______________________________________________ (8,4 – 6,2)  3,2 = ______________________________________________ ______________________________________________ 40  (4 + 0,3) = ______________________________________________ ______________________________________________  (5 + 4)  3,6 = ______________________________________________ ______________________________________________ 20  (0,4 + 0,3) = ______________________________________________ ______________________________________________ 2. Συμπληρώνω το αριθμό που λείπει.  24,85  …….. = 248,5  4,75  ……. = 475  0,208  …….. = 20,8  6,325  …….. = 6.325  5,3  ……. = 530  0,005  …….. = 5  5  …….. = 500  2  ……. = 2.000  425  …….. = 4.250  4,25  …….. = 42,5  12,4  ……. = 12.400  6,5  100 = ………..  0,36  …….. = 36  17,82  ……. = 178,2  0,6  1000 = ………..  25  …….. = 2,5  3,5  ……. = 0,035  40,5  …….. = 40,5  25  …….. = 250  42,5  ……. = 4,25  40,5  …….. = 4,05  25  …….. = 0,25  0,5  ……. = 0,005  40,5  …….. = 0,405 Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.14
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: _______________________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ 3. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα πολλαπλασιασμού. επί 6 8 7 4 3 4 20 12 56 14 9 54 42 60 8 72 4. Λύνω τα παρακάτω προβλήματα. Από το σούπερ μάρκετ ψωνίσαμε: 4 πακέτα μακαρόνια προς 1,75 € το πακέτο, 6 γιαούρτια προς 1,25 € το ένα, 4 χυμούς προς 1,5 € τον έναν. Τι ρέστα θα πάρουμε από ένα χαρτονόμισμα των 50 €; ΛΥΣΗ Απάντηση:_____________________________ Τα παιδιά της ΣΤ τάξης ενός σχολείου συγκέντρωσαν για την ανακύκλωση αλουμινίου 1.850 κουτιά από πορτοκαλάδες και 2.150 κουτιά από λεμονάδες. Το βάρος του κάθε κουτιού είναι 0,075 γραμμ. Πόσα ευρώ θα πάρουν, αν το πουλήσουν προς 0,50 € το κιλό; ΛΥΣΗ Απάντηση:_____________________________ Ένας οικοπεδούχος πούλησε δύο οικόπεδα. Το ένα ήταν 352,5 τ.μ. και το άλλο ήταν 286,75 τ.μ. Αν το πρώτο το πούλησε προς 165 € το τ.μ. και το δεύτερο προς 225 € το τ.μ., πόσα ευρώ εισέπραξε και από τα δύο οικόπεδα; ΛΥΣΗ Απάντηση:_____________________________ Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.15
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤ΄ ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Νο: 1 ΚΑΛΟΓΕΡΑ ΕΥΤΥΧΙΑ Ονοματεπώνυμο: Ημερομηνία: ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ  ΠΡΟΣΘΕΣΗ – ΑΦΑΙΡΕΣΗ: Αλλάζοντας τη σειρά των προσθετέων, το άθροισμά τους δε μεταβάλλεται. (αντιμεταθετική ιδιότητα) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαιρέσουμε τον έναν, βρίσκουμε τον άλλο. Αν προσθέσουμε στον αφαιρετέο τη διαφορά, βρίσκουμε το μειωτέο. Η πρόσθεση με την αφαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες. Για αυτό η μία χρησιμοποιείται ως επαλήθευση της άλλης. Για να προσθέσω πολλούς αριθμούς, προσθέτω τους δύο πρώτους και στο άθροισμά τους προσθέτω τον τρίτο. Στο νέο άθροισμα προσθέτω τον τέταρτο κ.ο.κ. Αν αλλάξω τα ζευγάρια των προσθετέων, το άθροισμά τους δε μεταβάλλεται (προσεταιριστική ιδιότητα). 678 α΄ προσθετέος 789 + 789 β΄ προσθετέος ή + 678 1.467 άθροισμα 1.467 1.467 μειωτέος 1.467 789 - 789 αφαιρετέος - 678 + 678 επαλήθευση 678 διαφορά 789 1.467 7 + 3,5 + 5,67 = (7 + 3,5) + 5,67 = 10,5 + 5,67 = 16,17 ή 7 + 3,5 + 5,67 = 7 + (3,5 + 5,67) = 7 + 9,17 = 16,17 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.16
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤ΄ ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Νο: 1 ΚΑΛΟΓΕΡΑ ΕΥΤΥΧΙΑ Αν σε έναν αριθμό προσθέσω το 0, ο αριθμός αυτός δε θα αλλάξει (ουδέτερο στοιχείο). Η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει, όταν πρόκειται να προσθέσουμε πολλούς αριθμούς, να αλλάζουμε τη σειρά τους και να φτιάχνουμε τα κατάλληλα ζευγαράκια τα οποία θα μας οδηγήσουν πιο εύκολα στο αποτέλεσμα.  ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ: Αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, το γινόμενό τους δε μεταβάλλεται. (αντιμεταθετική ιδιότητα) Για να πολλαπλασιάσω τρεις αριθμούς, πολλαπλασιάζω πρώτα τους δύο και το γινόμενό τους με τον τρίτο. (προσεταιριστική ιδιότητα) 5.923 + 0 = 5.923 ή 0 + 5.923= 5.923 34 + 25 + 75 + 18 + 80 + 90 + 22 + 45 + 70 + 15 = (25 + 75) + (18 + 22) + (70 + 80) + (90 + 15) + (34 + 45) = 100 + 40 + 150 + 105 + 79 = 474 7 παράγοντας 9 x 9 παράγοντας ή x 7 63 γινόμενο 63 5 x 3 x 4 = (5 x 3) x 4 = 15 x 4 = 60 ή 5 x 3 x 4 = 5 x (3 x 4) = 5 x 12 = 60 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.17
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤ΄ ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Νο: 1 ΚΑΛΟΓΕΡΑ ΕΥΤΥΧΙΑ Για να πολλαπλασιάσω αριθμό με άθροισμα, πολλαπλασιάζω τον αριθμό με κάθε προσθετέο και προσθέτω τα γινόμενα (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση). Ισχύει και στην αφαίρεση.  ΔΙΑΙΡΕΣΗ: Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες. Για να διαιρέσουμε άθροισμα με αριθμό, διαιρούμε κάθε προσθετέο με τον αριθμό και προσθέτουμε τα πηλίκα (επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση). Ισχύει και στην αφαίρεση. Σε μια διαίρεση αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και 2 x (4,5 + 3,2) = (2 x 4,5) + (2 x 3,2) = 9 + 6,4 = 15,4 ή 2 x (4,5 + 3,2) = 2 x 7,7 = 15,4 Διαιρετέος(Δ) διαιρέτης(δ) επαλήθευση 112 4 28 3 2 28 πηλίκο(π) x 4 0 112 υπόλοιπο(υ) (1.200 + 400) : 2 = (1.200 : 2) + (400 : 2) = 600 + 200 = 800 ή (1.200 + 400) : 2 = 1.600 : 2 = 800 18 : 6 = 3  (18 x 2) : (6 x 2) = 36 : 12 = 3 ή 18 : 6 = 3  (18 : 2) : (6 : 2) = 9 : 3 = 3 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.18
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤ΄ ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Νο: 1 ΚΑΛΟΓΕΡΑ ΕΥΤΥΧΙΑ τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο θα παραμείνει ίδιο. 1. Λύνω με δύο τρόπους: Α) 34 + 4,9 + 3,76 = ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _________________________________________________________________ Β) 2,7 x 1,65 x 5,8 = ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _________________________________________________________________ Γ) 7 x (256 + 432) = ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _________________________________________________________________ Δ) (830 + 576) : 8 = ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 2. Συμπληρώνω τον πίνακα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.19
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤ΄ ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Νο: 1 ΚΑΛΟΓΕΡΑ ΕΥΤΥΧΙΑ Διαιρετέος διαιρέτης πηλίκο υπόλοιπο 4.852 105 22 18 54 14 936 12 0 Πράξεις: 3. Λύνω κάθετα: 123 : 10,25 = 423 x 97 = 45 + 3,876 + 136,2 = 67 – 6,7 = 0,03 x 0,2 = 45 : 105 = Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.20
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:_____________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ 1. Να γίνουν οι πράξεις κατακόρυφα. α. 256,09 + 4,32 β. 7,287 – 2,15 γ. 45,891 + 36,2 δ. 81,45 – 16,24 ε. 300 – 4,24 στ. 3 + 5,3 + 7,2 + 4,12 2. Να βρεθούν οι αριθμοί που λείπουν. 3. Να επαληθεύσετε με τη μέθοδο της δοκιμής, αν οι παρακάτω αφαιρέσεις είναι σωστές. α. 153 – 24 = 129 ΔΟΚΙΜΗ β. 6 – 4,25 = 1,75 γ. 7,23 – 4,25 = 2,98 δ. 4,214 – 0,122 = 4,092 ε. 7,204 – 3,46 = 3,744 στ. 10,483 – 8,204 = 2,278 ζ. 5,27 – 1,001 – 4,269 η. 4,111 – 2,999 = 1,112 4 2 8 , 3 __ + 2__ , __ 4 ___________ 4 5 0 , 4 2 3 , __ __ 4 + 1 , 3 2 __ ___________ 5 , 2 5 8 7 2 , 4 __ 3 - 0 , __ 4 __ ___________ 7 2 , 3 6 2 3 6 , __ 4 __ - _ , 4 __ 5 ___________ 3 3 , 0 1 1 5 , 4 2 __ + 3 , __ __ 1 ___________ 9 , 1 5 0 5 7 , 1 2 4 -1 __ , __ 4 _ ___________ 4 3 , 0 8 4 2 Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.21
ΤΕΛΙΚΑ, ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ Ή ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ; Όταν έχουμε ένα γνωστό γινόμενο, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε κι άλλα παρόμοια, χωρίς να κάνουμε πολλές πράξεις! Αρκεί να θυμόμαστε ότι σε κάθε πολλαπλασιασμό... Όσο αυξάνονται ( ) οι παράγοντες, τόσο αυξάνεται και το γινόμενο! π.χ. Αν ξέρω ότι 5 x 3 = 15 τότε αυξάνοντας 10 φορές το 3, αυξάνεται 10 φορές και το 15! Άρα 5 x 30 = 150 Όσο μειώνονται ( ) οι παράγοντες, τόσο μειώνεται και το γινόμενο! π.χ. Αν ξέρω ότι 800 x 7 = 5600 τότε μειώνοντας 10 φορές το 800, μειώνεται 10 φορές και το 5600! Άρα 80 x 7 = 560 Tί γίνεται όταν αλλάζουν και οι δύο παράγοντες; Αν τα βελάκια των παραγόντων συμφωνούν, τότε τα ακολουθεί και το γινόμενο! Δηλαδή, όταν και οι δύο παράγοντες αυξάνονται, αυξάνεται και το γινόμενο! π.χ. Αν ξέρω ότι 15 x 20 = 300, τότε και 150 x 200 = 30000 (Σκέφτομαι : “Αυξήθηκε 10 φορές το 15 και παράλληλα 10 φορές το 20. Άρα, το γινόμενο συνολικά αυξήθηκε 10 x 10 = 100 φορές”, ή απλά προσθέτω 2 μηδενικά στο αρχικό γινόμενο) Αν τα βελάκια των παραγόντων διαφωνούν, τότε υπερισχύει η μεγαλύτερη αλλαγή! Δηλαδή, αν ένας παράγοντας αυξάνεται περισσότερο από όσο μειωνεται ο άλλος παράγοντας, τότε το γινόμενο θα αυξηθεί! π.χ. Αν ξέρω ότι 60 x 4 = 240, τότε και 6 x 400 = 2400 (Σκέφτομαι: “ Μειώθηκε 10 φορές το 6, ενώ αυξήθηκε 100 φορές το 4. Άρα το γινόμενο συνολικά αυξήθηκε 100 : 10 = 10 φορές”, ή απλά προσθέτω 1 μηδενικό στο αρχικό γινόμενο) Σιμίκογλου Ελένη Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.22
Αντίστοιχα, αν ένας παράγοντας μειώνεται περισσότερο από όσο αυξάνεται ο άλλος, τότε το γινόμενο θα μειωθεί! π.χ. Αν ξέρω ότι 0,5 x 7000 = 3500, τότε και 5 x 7 = 35 (Σκέφτομαι: “ Αυξήθηκε 10 φορές το 0,5, ενώ μειώθηκε 1000 φορές το 7000. Άρα το γινόμενο συνολικά μειώθηκε 1000 : 10 = 100 φορές”, ή απλά αφαιρώ 2 μηδενικά από το αρχικό γινόμενο) Αν ένας παράγοντας αυξηθεί όσο μειωθεί ο άλλος, τότε το γινόμενο δε θα αλλάξει! π.χ. 20 x 80 = 1600, τότε και 2 x 800 = 1600 (Σκέφτομαι: “Μειώθηκε 10 φορές το 2, ενώ αυξήθηκε 10 φορές το 80. Άρα η μια μεταβολή αναίρεσε την άλλη και το αποτέλεσμα παραμένει σταθερό”) Σιμίκογλου Ελένη Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.23
ΟΝΟΜΑ:…………………………… Ημερ/νια:___/___/201_ Θεωρία: • Οι αριθμοί 0,1,2,3, … ,9,10,11, … ,100,101, … , 1000,1001, … λέγονται φυσικοί αριθμοί. • Κάθε φυσικός αριθμός, εκτός από το 0, σχηματίζεται από προηγούμενο του προσθέτοντας τον αριθμό 1 (π.χ επόμενος του 18 είναι ο αριθμός 18+1=19) • Οι φυσικοί αριθμοί γράφονται συνδυάζοντας, με το κατάλληλο τρόπο κάθε φορά, τα 10 ψηφία:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Η θέση κάθε ψηφίου σε ένα φυσικό αριθμό δηλώνει την αξία του. Ο παρακάτω πίνακας περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο γράφω ή διαβάζω έναν αριθμό, ο οποίος έχει μέχρι εννιά ψηφία: Εκατομμύρια Χιλιάδες Μονάδες Εκατοντάδες/δεκάδες/μο νάδες Εκατοντάδες/δεκάδες/μο νάδες Εκατοντάδες/δεκάδες/μο νάδες ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Γράψε ένα φυσικό αριθμό (όποιον θέλεις) και έναν αριθμό που δεν είναι φυσικός. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. 2,85 2. Πώς σχηματίζεται κάθε φυσικός αριθμός(εκτός από το 0) από τον προηγούμενο του; ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 2,85 3.Η πρόταση που ακολουθεί είναι σωστή η λάθος; <<Αν σε κάποιο φυσικό αριθμό προσθέσω τον φυσικό αριθμό 1, το άθροισμα θα είναι φυσικός αριθμός.>> George Tachos Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.24
………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… 4.Τι δηλώνει κάθε ψηφίο του αριθμού 126.743; (Συμπλήρωσε τον πίνακα) 1 2 6 7 4 3 5.Να γράψεις τους 3 τριψήφιους αριθμούς τους οποίους πρέπει κάθε Έλληνας να γνωρίζει απέξω για περιπτώσεις έκτακτης ανάγκης. 1._____________________ 2._____________________ 3._____________________ 6.Ποίοι τριψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται χρησιμοποιώντας κάθε φορά μόνο τα ψηφία 0,1 και 2; Να τους γράψεις και να τους ταξινομήσεις σε αύξουσα σειρά. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………. 7.Ποίος είναι ο επταψήφιος αριθμός στον οποίο το ψηφίο 3 δηλώνει εκατοντάδες και μονάδες εκατομμυρίων, το 4 δηλώνει μονάδες χιλιάδων και δεκάδες εκατομμυρίων , το 2 δηλώνει δεκάδες και εκατοντάδες μονάδες χιλιάδων και το 0 δηλώνει μονάδες και δεκάδες χιλιάδες; Να τον γράψεις με ψηφία και λόγια. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….. 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 George Tachos Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.25
ΣΥΝΟΛΟ: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 19,95 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.26
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤ’ ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Όνομα / Επώνυμο:_______________________________________Ημερομηνία:___________ 1. Στρογγυλοποιώ τους παρακάτω αριθμούς στο ψηφίο : των δεκάδων των δεκάτων των μονάδων χιλιάδων 384 _______ 43,64 ________ 53825 _______ 972 _______ 9,28 ________ 72238 _______ 538 _______ 7,06 ________ 18524 _______ 2. Στρογγυλοποιώ τους αριθμούς στο ψηφίο των εκατοστών και τους προσθέτω κάθετα : 13,465 + 2,903 + 7,086 3. Στρογγυλοποιώ τους παρακάτω αριθμούς στο ψηφίο των μονάδων και βρίσκω με το νου μου το αποτέλεσμα : 8,25 + 6,9 + 2,3 + 9,8 = __________________________________________ 7,4 + 12,1 + 0,998 + 10,9 = ________________________________________ 4. Στρογγυλοποιώ τους αριθμούς στα δέκατα : 0,726 _________________ 7,354 ________________ 35,96 _________________ 0,065 ________________ 0,19 _________________ 25,03 ________________ 5. Ένας τεχνίτης πήρε τον ένα μήνα 1.100 € και τον επόμενο 968 €. Το ημερομίσθιό του είναι 44 €. Πόσες μέρες εργάστηκε ; (Να λυθεί με αριθμητική παράσταση) ΛΥΣΗ Απάντηση:____________________________________________________________________ Παγώνη Ηλέκτρα Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.27
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:________________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ 1. Να βάλετε Σ για σωστό ή Λ για λάθος.  6,032 < 6,023 ( )  7,127 > 8,126 ( )  4,302 > 4,3021 ( )  0,3 < 0,31 ( )  3,2 < 3,21 < 3,22 ( )  0 < 4 ( ) 2. Να συμπληρώσετε το κατάλληλο σύμβολο (< , >, =) στα ζεύγη των αριθμών.  14,3 …….. 75,2  32,4 ……. 32,04  6,14 …….. 6,014  7,23 …….. 7,203  0,17 ……. 0  0 …….. 1,23  4 …….. 3,98  5,9 ……. 6  1,06 …….. 1,6 3. Βρείτε όλους τους δεκαδικούς με διψήφιο δεκαδικό μέρος που είναι ανάμεσα στους παρακάτω αριθμούς όπως στο παράδειγμα.  0,75 και 0,8  0,76 0,77 0,78 0,79  6,36 και 6,44  _____________________________________  41,3 και 41,36  _____________________________________  0,1 και 0,2  _______________________________________  4 και 4,12  _______________________________________ 4. Να διατάξεις τους αριθμούς από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. α. 0,107 , 0,017 , 0,170 , 0,7 , 0,071 _____________________________________________________ β. 10 4 , 1 , 1,02 , 1 10 5 , 0,7 _____________________________________________________ Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.28
4Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΩ ΤΑΞΗ ΣΤ΄ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ..................................................................................................... • Υπολογίζω με το νου τις παρακάτω απαντήσεις : 88:10= 678:1000= 5:1000= 8,8:10= 0,08:10= 34:0,1= 3,4:0,01= 3,04:100= 4:0,001= 4,5:1= • Κάνω τις πράξεις: ( 6,42+ 3,58) : 0,2=................................................................................................................................................................ ( 6,42-0,42) : 0,2=................................................................................................................................................................ • Κάνω κάθετα τις διαιρέσεις: 0,03264: 32 = 18,081:123= • Συμπληρώνω τους αριθμούς που λείπουν; ΔΙΑΙΡΕΤΕΟΣ διαιρέτης Πηλίκο Υπόλοιπο Δ=π.δ+υ 2,5 12 0 .....= (2,5 . 12)+0 503 25 3 20 18 4 ΠΡΟΥΝΤΖΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.29
ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.30
4Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΩ ΤΑΞΗ : ΣΤ΄ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:.................................................................................. • Γράψε τους δεκαδικούς αριθμούς: Πέντε χιλιοστά:............... Εκατόν τριάντα δέκατα: ............. Τρία ευρώ και πέντε λεπτά:.............. Πέντε κιλά και είκοσι πέντα γραμμάρια:................. Τέσσερα και έξι εκατοστά:............... Τρεις ακέραιες μονάδες και έξι χιλιοστά:.............. Πενήντα πέντε χιλιοστά................ • Γράψε με δεκαδικούς αριθμούς και δεκαδικά κλάσματα ΔΕΚΑΔΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΚΛΑΣΜΑ 1,5 0,56 22,32 123 10 356 100 18 1000 • Σβήνω τα μηδενικά όπου δε χρειάζονται: 3,0800 40,080 008,8 2,000 2,200 0,009 50,800 • Βάζω υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση ώστε : Το 5 να δηλώνει δέκατα: 152 12456 2050 1005 5 Το 3 να δηλώνει χιλιοστά: 253 12453 13 30 ΠΡΟΥΝΤΖΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.31
• Γράφω με δεκαδικό: 3 κιλά και 500 γραμμάρια: ............. 3 ευρώ και 50 λεπτά:.................. 153 γραμμάρια:................. 2800 γραμμάρια:.............. • Γιώργος ήθελε να αγοράσει 450 γραμμάρια τυρί , ο Νίκος 35/100 του κιλού και ο Τάκης 0,5 κιλά .Εάν το δοχείο είχε 3 κιλά, έφτασε να πάρουν όλοι; ΛΥΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: • Άμα έχεις 125 λεπτά του ευρώ και σου δώσει ο παππούς 6,5 ευρώ και η γιαγιά 30/100 του ευρώ πόσα σου λείπουν για να συμπληρώσεις 10 ευρώ; ΛΥΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΠΡΟΣΟΧΗ! ΜΕΤΑΤΡΕΠΩ ΟΛΑ ΤΑ ΠΟΣΑ ΣΕ ΙΔΙΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΠΡΟΥΝΤΖΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.32
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1-2 ΟΝΟΜΑ:……………………………… …………………………………………. ΘΕΩΡΙΑ:  Δεκαδικοί αριθμοί : είναι οι αριθμοί που αποτελούνται από ένα ακέραιο και ένα δεκαδικό μέρος. Τα δυο μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με την υποδιαστολή. Όπως οι φυσικοί, έτσι και οι δεκαδικοί αριθμοί, σχηματίζονται από μονάδες διαφόρων τάξεων στο ακέραιο και στο δεκαδικό μέρος.  Τόσο στο ακέραιο όσο και στο δεκαδικό μέρος κάθε τάξη είναι 10 φορές μεγαλύτερη από την αμέσως επόμενη προς τα δεξιά της. Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού δεν αλλάζει, αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε μηδενικά στο τέλος του. 1. Να γράψετε με λόγια (όποιον τρόπο θέλετε) τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς. α. 4,6 …………………………………………………………… β. 2,061 ………………………………………………………… γ. 0,1……………………………………………………………. δ. 3,78………………………………………………………….. ε. 0,324…………………………………………………………. στ. 0,001……………………………………………………….. ζ. 345.789……………………………………………………….. Πασιόπουλος Γιώργος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.33
2. Τοποθέτησε την υποδιαστολή σε κατάλληλη θέση, έτσι ώστε: α. το 5 στον αριθμό 2567 να φανερώνει δέκατα, β. το 1 στον αριθμό 24561 να φανερώνει δέκατα γ. το 6 στον αριθμό 206 να φανερώνει εκατοστά δ. το 4 στον αριθμό 336479 να φανερώνει δέκατα 3. Ο κύριος Πέτρος αγόρασε μια εφημερίδα που κόστιζε 1,30 ευρώ, ένα κιλό ψωμί που έκανε 0,90 ευρώ και 2,040 κιλά μπριζόλες. Στο ταμείο έδωσε 5,00 ευρώ και πήρε ρέστα 1,4200 ευρώ. Να ξαναγράψετε όλους τους αριθμούς που διαβάσατε διαγράφοντας το μηδέν εκεί που δεν χρειάζεται. ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………….... Εκπαιδευτικός Πασιόπουλος Γιώργος Πασιόπουλος Γιώργος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.34
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΜΕ 0,1 0,01 0,001 56,4 . 0,1= 47,98 . 0,01= 2,67 . 0,001= 0,3 . 0,1= 56,4 . 0,01= 47,98 . 0,1= 2,67 . 0,01= 0,3 . 0,01= 5,64 . =0,564 478,9. =47,89 2,67. =0,267 32,7 . =0,327 4,789 . =0,4789 267 . =2,67 10. 0,1= 10. 0,01= 10. 0,001= 100 . 0,1= ‘Έμαθα πολ/σμό και διαίρεση με το 0,1 0,01 και 0,001 Αλήθεια; Tι ψεύτης ,θεέ μου ! Θα μας μάθεις κι εμάς; Είμαι όλος αφτιά! Ξεκινώ με τον πολλαπλασιασμό. Είναι σαν να διαιρείτε τον αριθμό σας με 10 100 ή 1000. Δηλαδή μικραίνει ο αριθμός , αντί να μεγαλώνει. Ξέρω,ξέρω! Π άω αριστερά την υποδιαστολή μία,δύο ή τρεις θέσεις. Πρώτος, ε; Φέρτε μου πολλαπλασιασμούς. jite Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.35
105:0,1= 105:0,01= 105:0,001= 100:0,1= 10,2:0,1= 10,2:0,01= 10,2:0,001= 100:0,01= 25,3:0,001= 25,3:0,01= 25,3:0,1= 67: =670 67: =6700 67: =67000 102,5: =1025 102,5: =102500 102,5: =10250 Aντιστοίχισε με τη μεσαία στήλη. 99,4:0,1 994 994000 .0,1 99,4:0,01 99400 9940 . 0,1 99,4:0,001 9940 994000 . 0,01 Μπράβο! Είσαι πανέξυπνο άλογο ! Ακούστε τώρα για τη διαίρεση. Είναι σαν να πολλαπλασιάζετε τον αριθμό σας με 10 100 ή 1000. Δηλαδή μεγαλώνει ο αριθμός, αντί να μικραίνει. Τα καταλάβαμε όλα ,αρχηγέ. Δώσε μας ασκήσεις. Σιγά τα δύσκολα! Παιχνιδάκι! jite Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.36
ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΜΕ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥΣ 120,55 12,5 45,3 22,1 1205,5 125 326,5 3,265 250 5,5 48,244 2,4 Θείε Ντόναλντ , να μην αργήσουμε πολύ , γιατί έχουμε εργασία με πολλές διαιρέσεις με δεκαδικούς. Εντάξει, ανηψούδια μου. Η θεία σας Νταίζη κι εγώ θα σας βοηθήσουμε, αν δυσκολεύεστε. Δε θυμάμαι καλά πώς τις κάναμε στο σχολείο. Ο διαιρέτης πρέπει οπωσδήποτε να γίνει ακέραιος. Γι’αυτό πολλαπλασιάζω Διαιρετέο και διαιρέτη με 10 100 ή 1000. Ύστερα κάνω τη διαίρεση με τους νέους αριθμούς. 120,55 . 10=1205,5 12,5 .10=125 jite Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.37
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.38
1ο Δ.Σ.Καρδίας Στ΄ Τάξη Μαθηματικά • Αριθμητική παράσταση ονομάζουμε μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων. π.χ. 25 + 5 + 10 x 2 4 x 2,5 + 40 : 10 • Ο τρόπος λύσης ενός προβλήματος μπορεί να εκφραστεί με την κατάλληλη αριθμητική παράσταση (με την αριθμητική παράσταση εκφράζουμε τη δομή του προβλήματος). Παράδειγμα Αγόρασα 2 χυμούς προς 0,75€ τον ένα και 3 τυρόπιτες προς 1,5€ τη μία. Πόσο πλήρωσα; Λύση: 2 x 0,75 + 3 x 1,5 = 1,5 + 4,5 = 6 € πλήρωσα. • Το αποτέλεσμα που βρίσκουμε, όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που είναι σημειωμένες στην αριθμ. παράσταση, λέγεται τιμή της αριθμητικής παράστασης. Για να υπολογίσουμε την τιμή της αριθμ. παράστασης , εκτελούμε τις πράξεις με την εξής σειρά:  Σε αριθμ. παραστάσεις που δεν έχουν παρενθέσεις: - Πρώτα εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις με τη σειρά που σημειώνονται (από αριστερά προς τα δεξιά). - Μετά εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Π.χ. 20 : 2 x 5 + 4,5 = 10 x 5 + 4,5 = 50 + 4,5 = 54,5  Σε αριθμ. παραστάσεις που έχουν παρενθέσεις: - Εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που περιγράψαμε, - Στη συνέχεια τις πράξεις στην αριθμητική παράσταση που προκύπτει (με τη σειρά που αναφέραμε προηγουμένως). Π.χ. (8,5 + 1,5) : (6,75 – 1,75)= 10 : 5 = 2 Κοντούλη Γιώτα Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.39
Ασκήσεις: 1. Βρίσκω με δύο τρόπους την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 20 x (3,5 + 1,5) = ………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………….. (360 + 240) : 4= ………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………….. 2,5 x (50 – 30) = ………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………….. 2. Βρίσκω την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 2 x 11 – 1 + 5 x 3 – 18 : 9 = 0,75 + 4,25 – 4,2 + 8,2 : 2 = 500 + 8 x (45 – 20) = (25 – 18,5) : 100 = 6 x (5 + 4) – 2 x (19 – 15)= (2,1 : 3 + 0,4) x (3 : 10 + 2) = Κοντούλη Γιώτα Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.40
3. Υπολογίζω τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: Α = (α + β : γ) x (δ – ε) και Β = (α + β) : (γ – δ) – ε όταν α= 462, β= 75, γ= 1,5, δ = 1,4, και ε = 1,1 Άρα Α = ………… Άρα Β = ………… 4. Λύνω τα παρακάτω προβλήματα με αριθμητική παράσταση:  Ένας μελισσοκόμος έχει να πουλήσει 60 κουτιά μέλι. Το μεικτό βάρος όλων των κουτιών είναι 112,2 κιλά και το απόβαρό τους 7,2. Πόσο μέλι περιέχει το κάθε κουτί; Λύση: (112,2 – 7,2) : 60 = 105 : 60 = 1,75 κιλά μέλι περιέχει το κάθε κουτί.  Ο παππούς του Αντρέα έχει 4 βαρέλια κρασί. Το μεικτό βάρος τους καθενός είναι 200 κιλά και το απόβαρο 25,5 κιλά. Πόσα κιλά κρασί έχει συνολικά; Λύση:  Ο Αντρέας με ένα χαρτονόμισμα των 20 € αγόρασε 4 τετράδια προς 2,5€ το ένα και με τα υπόλοιπα 8 μαρκαδόρους. Πόσο κόστισε ο κάθε μαρκαδόρος; Λύση: (α + β : γ) x (δ – ε) = (462 + 75 : 1,5) x (1,4 – 1,1) = (α + β) : (γ – δ) – ε = Κοντούλη Γιώτα Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.41
ΟΝΟΜΑ: …../…../200…. Αριθμητικές παραστάσεις Αριθμητική παράσταση λέγεται μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων ( +. - , • , : ). Π.χ. 2+ 3 • 2 – 8 : 2 = Σε πολλές αριθμητικές παραστάσεις χρησιμοποιούμε παρενθέσεις. Π.χ (2 + 3)• 2 – ( 8 : 2 ) = Λύση αριθμητικών παραστάσεων. Για να λύσουμε αριθμητικές παραστάσεις ακολουθούμε ορισμένους κανόνες. 1) Οι πράξεις στην αριθμητική παράσταση αρχίζουν πρώτα από αριστερά και συνεχίζουμε προς τα δεξιά. 2) Πρώτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς , μετά τις διαιρέσεις, μετά τις προσθέσεις και τελευταίες τις αφαιρέσεις. Π.χ. 2+ 3 • 2 – 8 : 2 = Πρώτα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό και τα υπόλοιπα τα αφήνουμε όπως είναι: 2 + 6- 8 : 2 = Μετά κάνουμε τη διαίρεση και τα υπόλοιπα τα αφήνουμε όπως είναι: 2 + 6 – 4 = Μετά κάνουμε την πρόσθεση και τα υπόλοιπα τα αφήνουμε όπως είναι: 8 – 4 = Τέλος κάνουμε την αφαίρεση: 8 – 4 = 4 3) Όταν έχουμε παρενθέσεις, πρώτα κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και μετά ακολουθούμε τη σειρά που είπαμε παραπάνω. Π.χ. (2 + 3)• 2 – ( 8 : 2 ) = Πρώτα κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις: 5 • 2 – 4 = Μετά κάνουμε τον πολλαπλασιασμό και τα υπόλοιπα τα αφήνουμε όπως είναι: 10 – 4 = Τέλος κάνουμε την αφαίρεση: 10-4= 6 Κοντόπουλος Γεώργιος - Παιδαράκη Δάφνη 1 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.42
Όπως θα παρατηρήσετε παραπάνω, ενώ χρησιμοποιούμε τους ίδιους αριθμούς και τις ίδιες αριθμητικές πράξεις έχουμε διαφορετικά αποτελέσματα, γι` αυτό πρέπει να μάθουμε σωστά τους κανόνες των αριθμητικών παραστάσεων για να έχουμε σωστά αποτελέσματα στις πράξεις μας. Όταν έχουμε πράξεις μέσα σε μια μεγάλη παρένθεση και μία έξω από αυτή, εκτελούμε όλες τις πράξεις μέσα στην παρένθεση, με τη σειρά που είπαμε παραπάνω και στο τέλος κάνουμε την πράξη που είναι έξω από την παρένθεση. Π.χ (2 + 4 • 2 –8) : 2 = ( 2 + 8 – 8 ) : 2 = ( 10 – 8 ) : 2= 2 : 2 = 1 1) Να λύσετε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: 3 + 4 • 6 – 3 • 4 : 6 = ( 5 + 9 ) • 8 – ( 16 – 7) : 3 = ( 46 – 12) + ( 6• 5) – ( 18 : 9 ) + 38 = ( 9 + 6 • 3 – 2 • 4 + 15) : 2 = 2,3 + 3,8• 3 – (1,2 + 4,6 ) : 0,2 = Κοντόπουλος Γεώργιος - Παιδαράκη Δάφνη 2 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.43
1ο Δ.Σ.Καρδίας Μαθηματικά Διάρκεια: 30 ‘ Όνομα : _____________________ Ημ/νία: 18/10/2001 Βαθμός:__________/ 10 1. Να βρεις την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: (4 β.) 7 x (6 + 4) – 3 x (18 – 14)= (24 : 3 + 12) x (40 : 8 + 6) = 2. Να λύσεις το πρόβλημα με αριθμητική παράσταση: (2 β.) Ο παππούς του Αντρέα έχει 6 τενεκέδες λάδι. Το μεικτό βάρος τους καθενός είναι 40 κιλά και το απόβαρο 2,5 κιλά. Πόσα κιλά λάδι έχει συνολικά; Λύση: 3. Να βρεις με δύο τρόπους την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: (4 β.) (240 + 560) : 5= ………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………….. . ……………………………………………………………………….. Κοντούλη Γιώτα Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.44
[ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ] 12 Οκτωβρίου 2010 Εδώ κάνεις τις πράξεις Όνομα : _____________________________________ 1. Να βρεθεί το αποτέλεσμα των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων . (40/100) α) ( 2 ∙ 5) + ( 26 – 8 ) : 2 = β) ( 450 + 800 ) : 20 – 9 ∙ 11 = γ) 3 ∙ ( 2,5 + 1,2 ) – 8 : 8 + 5,3 = γ) ( 7 + 3 ) ∙ 4 : 8 = 2. Ο Πίνακας δείχνει τον πληθυσμό των 15 χωρών μελών της ΕΕ . τι αντιπροσωπεύει το ψηφίο (6) στον πληθυσμό ……………………. ( 30/100) Έτη Πληθυσμός 1999 375.016.700 2000 376.203.900 2001 377.653.500 2002 378.361.500 του 1999 ………………………………………. του 2001 ………………………………………… του 2000 ……………………………………….. του 2002 ………………………………………… 3. Να κάνεις τις διαιρέσεις με τον νου. (30/100) 0,37 : 10 = 125,5 : 0,1 = 8,37 : 0,01 = 3,45 : 100 = 1832 : 100= 965,89 : 0,01 = Παγκαλάκης Γεώργιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.45
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤ’ ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αντιγράφω στο τετράδιο σπιράλ και λύνω τις παρακάτω παραστάσεις: 18 + 6 – 11 + 9 = 2 x (7 + 5) – 2 x 7 – 2 x 5 = 72 – 23 + 21 + 13 = 5 x (24 + 66) - (87 - 17) : 2 = 15,73 + 8,7 – 9,6 + 4 = (860 + 140) : 25 – (760 + 40) : 40 = 840 – 240 + 68 – 18 = 30 : (6 + 4) – (3.40 – 120) x 8 = 1.176 : 7 – 525 : 7 = (35 – 8,5) : 100 + (1 – 0,5) x10 = 30 – 6 x 2 + 35 : 7 – 6 = 500 – 6 x (0,45 : 0,01) + 25 = 500 – 30 x15 + 25 x 4 = 0,75 + 4,25 – 4,20 + 8,2 : 2= (25 x 18,5 ) : 100 = 100 + 3 x (25 - 13) + 8 = 2. Συμπληρώνω τον αριθμό που πρέπει για να ισχύουν οι ισότητες : 25,75 x·__________ = 257,5 50 : ___________ = 0,5 7,75 x __________ = 775 8 : ___________ = 0,08 4,5 x ___________ = 450 25 : __________ = 0,0025 5. Ο Πέτρος έχει 0,20 € λιγότερα από την Άννα, την αδελφή του, και 0,07 € περισσότερα από τον Κώστα, που έχει 0,40 €. Πόσα € έχει το κάθε παιδί;Πόσα € πρέπει να δώσουμε στον Πέτρο και τον Κώστα, για να έχει καθένας όσα και η Άννα ; Απάντηση:_____________________________________________________________ Παγώνη Ηλέκτρα Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.46
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Όνομα / Επώνυμο:______________________________________-Ημερομηνία:_________ Λύνω τις παραστάσεις :  5 x (11,5 - 3,5) = 10 + 3 x 18 – 4 = ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________  30 – 6 x 2 + 35 : 7 – 6 = 20 + 5 x (16 – 7) = __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________  6 x (5 + 4) + 2 x (19 – 15) – 3 =_____________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 3. Με την παρακάτω αριθμητική παράσταση γράφω ένα δικό μου πρόβλημα και το λύνω : (1850 – 235) x 3,5 = Πρόβλημα ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ________________________________________________________ Λύση Απάντηση : _______________________________________________________ Παγώνη Ηλέκτρα Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.47
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΕΙΚΤΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ο Παναγιώτης πήγε για ψώνια και αγόρασε ένα πουλόβερ με 25,45 €, ένα παντελόνι με 26,5 € και ένα μπλουζάκι με 19,16 €. Έδωσε 4 χαρτονομίσματα των 20 €. Πόσα ρέστα πήρε; Ο κ. Μιχάλης αγόρασε από το ψιλικα- τζίδικο της γειτονιάς του 4 σοκοφρέτες προς 0,85 € η μία, 10 εισιτήρια για λεωφορείο προς 0,50 € το ένα, 1 περιοδικό προς 6,50 € και 2 μπουκαλάκια νερό προς 0,5 €. Έδωσε ένα χαρτονόμισμα των 20 €. Πόσα ρέστα πήρε; Σ' ένα δημοτικό υπάρχουν 3 τμήματα της Α' τάξης με 22 παιδιά σε κάθε τμήμα, 2 τμήματα της Β' τάξης με 26 παιδιά σε κάθε τμήμα , 2 τμήματα της Γ' τάξης με 22 παιδιά σε κάθε τμήμα ,3 τμήματα της Δ’ τάξης με 21 παιδιά , 1 τμήμα της Ε’ τάξης με 27 παιδιά και ένα τμήμα της Στ’ τάξης με 28 παιδιά. α) Πόσοι μαθητές υπάρχουν στην Α' τάξη; β) Πόσοι μαθητές υπάρχουν στη Β' κα στη Γ' τάξη μαζί; γ) Πόσοι μαθητές υπάρχουν σε όλο το δημοτικό Ο κύριος Χρήστος έχει στον λογαρια- σμό της τράπεζας 4.798 €. Κατέθεσε 3 χαρτονομίσματα των 100 €, 7 χαρτονομίσματα των 50 € και 10 χαρτονομίσματα των 20 €. Πόσα χρήματα έχει τώρα στον λογαριασμό του; elena Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.48
Σε μια τάξη υπάρχουν 23 παιδιά. Η δασκάλα πρέπει να δώσει 5 μαρκαδόρους σε κάθε παιδί. Αν η δασκάλα έχει 10 κουτιά με 12 συνδετήρες το καθένα, να βρείτε πόσοι μαρκαδόροι θα περισσέψουν. elena Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.49
ΟΝΟΜΑ:……………………………………….. Ημερομηνία…../…../…. Αριθμητικές παραστάσεις Αριθμητική παράσταση λέγεται μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων ( +, - , • , : ). Π.χ. 2+ 3 • 2 – 8 : 2 = Σε πολλές αριθμητικές παραστάσεις χρησιμοποιούμε παρενθέσεις. Π.χ. (2 + 3) • 2 – ( 2 + 3) = Λύση αριθμητικών παραστάσεων. Για να λύσουμε αριθμητικές παραστάσεις ακολουθούμε ορισμένους κανόνες. 1) Οι πράξεις στην αριθμητική παράσταση αρχίζουν πρώτα από αριστερά και συνεχίζουν προς τα δεξιά. 2) Η σειρά των πράξεων είναι:  Πρώτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς ,  μετά τις διαιρέσεις,  και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις αλλά με τη σειρά που τις συναντάμε από τα αριστερά προς τα δεξιά Π.χ. 17 + 3 – 2 • 2 – 8 : 2 + 3 • 5 = • Πρώτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς ενώ τα υπόλοιπα τα αφήνουμε όπως είναι: 17 + 3 – 4 – 8 : 2 + 15 = • Μετά κάνουμε τη διαίρεση ενώ τα υπόλοιπα τα αφήνουμε όπως είναι: 17 + 3 – 4 – 4 + 15 = • Μετά κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με την σειρά που τις συναντούμε από τα αριστερά προς τα δεξιά (προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους πρώτους 2 αριθμούς από τα αριστερά αφήνοντας τους υπόλοιπους όπως είναι) : 20 – 4 – 4 + 15 = (πρόσθεση) 16 – 4 + 15 = (αφαίρεση) 12 + 15 = 27 (αφαίρεση και πρόσθεση) Ακριβός Θεμιστοκλής 1 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.50
3) Όταν έχουμε παρενθέσεις, • πρώτα κάνουμε τις πράξεις μέσα σ’ αυτές, αφήνοντας τα υπόλοιπα όπως είναι: Π.χ. 8 + (2 + 3) • 2 – ( 8 : 2 ) = 8 + 5 • 2 – 4 = • και μετά ακολουθούμε τη σειρά που είπαμε παραπάνω: 8 + 10 – 4 = (πολλαπλασιασμός) 18 – 4 = 14 (πρώτα πρόσθεση και μετά αφαίρεση) • Αν σε μια παρένθεση έχουμε περισσότερες από μία πράξεις τότε ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων (Βλέπε κανόνα 2), αφήνοντας τις πράξεις έξω από την παρένθεση όπως είναι: Π.χ. 3 + (2 • 6 + 10 : 2 – 3) : 2 = 3 + ( 12 + 5 – 3) : 2 = (κάνω πολ/μούς και διαιρέσεις) 3 + ( 17 – 3) : 2 = (από αριστερά ανά 2, πρόσθεση) 3 + 14 : 2 = (αφαίρεση & φεύγει η παρένθεση) • και συνεχίζουμε ακολουθώντας τη σειρά των πράξεων (Βλέπε κανόνα 2): 3 + 7 = 10 (πρώτα η διαίρεση, μετά πρόσθεση ) Συμπεράσματα  Είναι πολύ σημαντικό να τηρούμε ακριβώς τους κανόνες της σειράς των πράξεων γιατί διαφορετικά θα οδηγηθούμε σε λάθος υπολογισμούς.  Είναι προτιμότερο να γράψουμε μια δυο γραμμές παραπάνω κάνοντας αναλυτικά τις πράξεις,  Μη βιάζεστε να φτάσετε στο αποτέλεσμα υπολογίζοντας με το μυαλό περισσότερες από μία πράξεις γιατί είναι πιθανό να οδηγηθείτε σε λάθος.  Το ίσον «=» γράφεται κάθε φορά στο τέλος της παράστασης και όχι σε κάθε πράξη που γίνεται στην παράσταση. 1) Να λύσετε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: 3 + 4 • 6 – (3 • 4 + 12 ) : 6 = ………………………………………. ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ( 5 + 9 ) • 5 – ( 16 – 7) : 3 = …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… Ακριβός Θεμιστοκλής 2 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.51
Όνομα …………………………………………………………..  Να λύσετε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: ( 46 – 12) + ( 6 • 5) – ( 18 : 9 ) + 38 = ................................................................. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ( 9 + 6 • 3 – 2 • 4 + 15) : 2 = …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… (2+6) • (25-7)+ 318 : 3 = …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2,5 + 3,8 • 3 – (1,2 + 4,6 ) : 2 = …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 35 – 27 – 42 : 7 = …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 5 • (3+12) – 15 : 3 +4 • 5 + 20 = …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 12 • 100 – (90 : 0,1 + 50) – 15 • 10 = …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. (180 • 0,1) : 2 + 11 – 100 • 0,01 = …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 26 : 0,01 – 5000 • 0,1 – (2 • 1000 + 5000 : 100) – 2 • (200 : 10) = …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………… Ακριβός Θεμιστοκλής 3 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.52
ΟΝΟΜΑ: …./…./ 200… Αριθμητικές παραστάσεις 1) Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: Α) 6.2 • 3 + ( 7 – 2,4) • 9 – 5 • ( 4,7 + 3,3) = Β) 34,7 – 12 • 3 + ( 8- 4) • 3,2 = Γ) ( 7,2 • 5 + 3 • 3,5 – 4,5) : 8 = 2) Να λύσετε το πρόβλημα γράφοντας τις πράξεις σε αριθμητικές παραστάσεις: Α) Η Μαρία πήγε για ψώνια και αγόρασε 3 μπλούζες προς 16,7 ευρώ τη μία, 4 ζευγάρια κάλτσες προς 2,3 ευρώ τη μία, 2 παντελόνια προς 36,9 ευρώ το ένα και 1 ζευγάρι παπούτσια που κόστιζε 56,5 ευρώ. Έδωσε 2 χαρτονομίσματα των 100 ευρώ. Πόσα ρέστα πήρε; Σκέψη:__________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Λύση: Απάντηση: Κοντόπουλος Γεώργιος - Παιδαράκη Δάφνη Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.53
Μ.Κ.Δ. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.54
ΟΝΟΜΑ:_____________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ 1. α. Εξετάζω σύμφωνα με τα κριτήρια διαιρετότητας τις παρακάτω διαιρέσεις και σημειώνω ΝΑΙ ή ΟΧΙ σε κάθε στήλη. Αριθμοί Διαιρούνται ακριβώς με το …. 2 3 4 5 9 10 25 12.150 6.545 375 9.540 482 6.148 209.130 89.100 β. Από τους παραπάνω αριθμούς γράφω αυτούς που διαιρούνται συγχρόνως:  με το 2, το 3 και το 5: ………………………………………………………………………………………….  με το 4, το 10 και το 25: ..……………………………………………………………………………………. 2. Βρίσκω τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο φυσικό αριθμό, που διαιρείται κάθε φορά ακριβώς.  με το 2 507 1.408 2.999  με το 4 234 510 999  με το 5 507 701 5.003  με το 3 121 310 448  με το 9 134 200 980  με το 25 209 2.036 395 Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.55
3. Συμπληρώνω το πίνακα σημειώνοντας  για το σωστό. Αριθμοί Διαιρούνται ακριβώς και συγχρόνως με το 2 και το 3 με το3 και το 9 με το 3 και το 5 με το 3 και το 4 240 1.032 675 4.536 3.240 7.032 9.180 19.800 4. Συμπληρώνω τους αριθμούς βάζοντας ένα ψηφίο, ώστε κάθε αριθμός να διαιρείται ακριβώς και (συγχρόνως όπου ζητείται). 5. Υπολόγισε το Μ.Κ.Δ. των παρακάτω αριθμών. Μ.Κ.Δ.(14,21,28)= Μ.Κ.Δ.(12,36,48) = Δ14=_________________ Δ12=_________________ Δ21=_________________ Δ36=_________________ Δ28= _________________ Δ48=_________________ Κ.Δ= ______ Κ.Δ= ______  με το 2 83___ 99___ 4.87___  με το 3 83___ 99___ 4.87___  με το 3 και το 9 83___ 99___ 4.87___  με το 10 και το 5 83___ 99___ 4.87___ Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.56
Μαθηματικά - ΜΚΔ και κριτήρια διαιρετότητας Όνομα: 6-11-09 1 Συμπληρώνω τις παρακάτω προτάσεις: - Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 όταν ......................... .......................... Πχ ..................... - Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 όταν......................... .......................... Πχ ..................... - Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν ......................... .......................... Πχ ..................... -Ένας αριθμός διαιρείται με το 100 όταν ........................ .......................... Πχ ...................... 2 Συμπληρώνω μ' ένα ναι ή όχι, οι παρακάτω αριθμοί διαιρούνται ακριβώς: Με το 3 Με το 4 Με το 2 και το 3 Με το 5 και το 2 1254 87420 41568 236532 18250 3 Λύνω τα παρακάτω προβλήματα: Α. Οι μαθητές της Στ2 τάξης του 2ου Δημοτικού Σχολείου Αγίου Νικολάου συγκέντρωσαν διάφορα τρόφιμα για να τα στείλουν σε οικογένειες που τα έχουν ανάγκη. Κατάφεραν να μαζέψουν 28 συσκευασίες όσπρια, 56 συ- σκευασίες μακαρόνια, 98 κουτιά γάλα και 70 συσκευασίες ρυζιού. Θέλουν να μοιράσουν τα προϊόντα σε όσες περισσότερες οικογένειες μπορούν. Σε πόσες οικογένειες μπορούν να στείλουν όμοια πακέτα και τι θα περιέχει μέσα το καθένα; Β. Ψάχνουμε να βρούμε την ημερομηνία γέννησης του διάσημου ζωγράφου Δομίνικου Θεοτοκόπουλου ή αλλιώς El Greco. Γνωρίζουμε ότι : -γεννήθηκε την πέμπτη δεκαετία του 16ου αιώνα - ο αριθμός της χρονιάς αυτής δε διαιρείται με το 2 ή το 5 -αν στο άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού προσθέσεις τον αριθμό 1 τότε ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 3 αλλά όχι με το 9. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; poppysc Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.57
Όνομα: …………………………………………………………………… Ημερομηνία: …………………………………………………………… 12. Διαιρέτες ενός αριθμού-Μ.Κ.Δ. αριθμών 1. Να βρεις και να γράψεις: τους διαιρέτες του 20: ………………………………………………………………… τους διαιρέτες του 32: ………………………………………………………………… τους Κοινούς διαιρέτες του 20 και του 32: ……………………………… το Μ.Κ.Δ.(20,32): ………… 2. Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 14 , 21 , 28 . ……………………………………………………………………………………………………… 3. Ο Θανάσης έχει ένα παιχνίδι με 90 κάρτες και θέλει να τις τοποθετήσει σε κουτάκια που το καθένα χωράει μέχρι 20 κάρτες. Πόσα κουτάκια το λιγότερο θα χρειαστεί αν βάλει σε όλα τον ίδιο αριθμό καρτών και δεν περισσέψει καμία κάρτα; ΛΥΣΗ Απάντηση: ……………………………………………………………………………………………………………………… Τόλη Παναγιώτα Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.58
Μαθηματικά Στ’ – Κεφάλαιο 12ο : Μ.Κ.Δ. Όνομα:…………………………………… …../..…/……. Αφού διαβάσετε τον κανόνα (Β.Μ. σελ.32) προσπαθήστε να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις. Ποιος είναι ο Μ.Κ.Δ. (Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης) των αριθμών;  12: ………………………………………………………………………………………………… 48: ………………………………………………………………………………………………… Μ.Κ.Δ.  64: ………………………………………………………………………………………………… 80: ………………………………………………………………….……………………………… Μ.Κ.Δ.  10: ………………………………………………………………………………………………… 20: ………………………………………………………………….……………………………… 50: ………………………………………………………………………………………………… Μ.Κ.Δ.  6: ………………………………………………………………………………………………… 12: ………………………………………………………………….…………………………… 30: ………………………………………………………………………………………………… Μ.Κ.Δ.  35: ………………………………………………………………………………………………… 30: ………………………………………………………………….…………………………… Μ.Κ.Δ. katerina_kara Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.59
 81: ………………………………………………………………………………………………… 27: ………………………………………………………………….…………………………… Μ.Κ.Δ.  9: ………………………………………………………………………………………………… 15: ………………………………………………………………….…………………………… Μ.Κ.Δ.  56: ………………………………………………………………………………………………… 24: ………………………………………………………………….…………………………… Μ.Κ.Δ.  18: ………………………………………………………………………………………………… 27: ………………………………………………………………….…………………………… 45: ………………………………………………………………….…………………………… Μ.Κ.Δ.  56: ………………………………………………………………………………………………… 49: ………………………………………………………………….…………………………… 21 : ………………………………………………………………….…………………………… Μ.Κ.Δ.  15: ………………………………………………………………………………………………… 40: ………………………………………………………………….…………………………… 25: ……………………………………………………………………….………………………… katerina_kara Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.60
Μ.Κ.Δ. katerina_kara Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.61
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 9o Δημ. Σχ. Αθηνών Τάξη: Στ2΄ ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ Λύσε στο τετράδιό σου τα επόμενα προβλήματα (περίληψη, λύση, απάντηση) 1. Ο Σύλλογος Γονέων και Κηδεμόνων ενός δημοτικού σχολείου, ετοιμάζει πακέτα με τρόφιμα για να τα μοιράσει στα παιδιά της Στ΄ τάξης κατά τη διάρκεια της ημερήσιας εκδρομής τους. Τα πακέτα αυτά θα πρέπει να είναι ίδια μεταξύ τους και να μην περισσεύουν τρόφιμα. Πόσα περισσότερα τέτοια πακέτα θα ετοιμαστούν, όταν τα τρόφιμα που πρέπει να τοποθετηθούν σ’ αυτά είναι: 64 σάντουιτς, 96 σοκολάτες και 160 μπουκαλάκια με νερό; Τι θα πρέπει τοποθετηθεί μέσα στο κάθε πακέτο; 2. Ένας βιβλιοπώλης έχει στη διάθεσή του 300 μπλε, 240 κόκκινα και 180 μαύρα στυλό. Όλα αυτά τα στυλό θέλει να τα τοποθετήσει σε κασετίνες. Πόσες το περισσότερο όμοιες κασετίνες μπορεί να φτιάξει και πόσα μπλε, κόκκινα και μαύρα στυλό θα πρέπει να τοποθετήσει σε καθεμιά; 3. Ένας ανθοπώλης έχει 48 λευκά τριαντάφυλλα, 36 κόκκινα τριαντάφυλλα, 24 μαργαρίτες και 72 γαρίφαλα. α) Πόσες το πολύ ίδιες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει, χωρίς να του περισσέψει κανένα λουλούδι; β) Πόσα λευκά τριαντάφυλλα, πόσα κόκκινα τριαντάφυλλα, πόσες μαργαρίτες και πόσα γαρίφαλα, θα έχει καθεμία από αυτές τις ανθοδέσμες; 4. Σ’ ένα ζαχαροπλαστείο ετοιμάζουν κουτάκια με διάφορα σοκολατάκια. Μια μέρα έχουν 90 σοκολατάκια «μαργαρίτες», 120 σοκολατάκια με γέμιση φουντούκι, 135 σοκολατάκια με γέμιση αμύγδαλο και 105 σοκολατάκια με άσπρη σοκολάτα. Μοιράζουν τα σοκολατάκια με τέτοιο τρόπο, ώστε όλα τα κουτιά να είναι ίδια μεταξύ τους, να είναι όσο το δυνατό περισσότερα και να μην περισσεύει κανένα σοκολατάκι. Πόσα κουτάκια γέμισαν και πόσα σοκολατάκια από το κάθε είδος έβαλαν στο καθένα; Επιτέλους προβλήματα!! Κατσαούνος Γιώργος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.62
Ε.Κ.Π. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.63
ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΕΚΠ Να βρεις το ΕΚΠ(12, 40, 15) 1ος τρόπος: (ασφαλής αλλά… χρονοβόρος!) ΕΚΠ(12, 40, 15); Π(12): 12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,156,168,180,192,204,216,228,240,252,264, 276,288,300,312,324,336,348,360… Π(40): 40,80,120,160,200,240,280,320,360… Π(15): 15,30,45,60,75,90,105,120,135,150,165,180,195,210,225,240,255,270,285,300,315 330,345,360… ΚΠ(12, 40, 15):120,360 ΕΚΠ(12, 40, 15):120 2ος τρόπος (έξυπνος και σύντομος!) ΕΚΠ(12, 40, 15);  Επιλέγουμε τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς.  Ελέγχουμε αν είναι πολλαπλάσιο των μικρότερων.  Αν είναι ,τότε αυτός είναι και το ΕΚΠ τους.  Αν ο μεγαλύτερος αριθμός δεν είναι πολλαπλάσιο των άλλων, τότε τον διπλασιάζουμε ή τον τριπλασιάζουμε ή … … μέχρι να βρούμε το πρώτο κοινό τους πολλαπλάσιο. Π.χ.: − Το 40 δεν είναι πολλαπλάσιο του 12, ούτε του 15. − Διπλασιάζουμε: 2⋅40=80. Το 80 δεν είναι πολλαπλάσιο του 12, ούτε του 15. − Τριπλασιάζουμε το 40 (3⋅40=120). Είναι το 120 είναι πολλαπλάσιο και του 12 και του 15 − Άρα ΕΚΠ(12, 40, 15)=120. 3ος τρόπος (ο επιστημονικός)  Αναλύω ταυτόχρονα όλους τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: 12 40 15 2 6 20 15 2 3 10 15 2 3 5 15 3 1 5 5 5 1 1 1  ΕΚΠ(12, 40, 15)= 23 ⋅3⋅5=120 Ελένη Τσάντζου Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.64
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεις με τον πρώτο τρόπο: ΕΚΠ(3,5), ΕΚΠ(11,6), ΕΚΠ(5,12). 2. Να βρεις με το δεύτερο τρόπο: ΕΚΠ(3,6,9), ΕΚΠ(3,2,5), ΕΚΠ(8,12,15). 3. Να επαληθεύσεις το ΕΚΠ(8,12,15), που βρήκες στην άσκηση 2 εφαρμόζοντας τον τρίτο τρόπο. 4. Να βρεις με τον τρίτο τρόπο το ΕΚΠ(10,12,36). Πιστεύεις ότι σ’ αυτήν την περίπτωση θα σε διευκόλυνε περισσότερο κάποιος από τους άλλους δυο τρόπους; Ελένη Τσάντζου Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.65
Πώς βρίσκω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Τοποθετώ στη σειρά τους αριθμούς από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, σε μία σειρά. Στα δεξιά των αριθμών κάνω μία κάθετη γραμμή και ξεκινώ διαιρώντας τους αριθμούς αυτούς με τους πρώτους αριθμούς. Πρώτοι ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους. Κάτω από κάθε αριθμό τοποθετώ τον αριθμό που δείχνει πόσες φορές διαιρείται αυτός ο αριθμός, με τον πρώτο αριθμό. Αν κάποιος αριθμός δε διαιρείται, τότε κατεβαίνει στην κάτω σειρά όπως είναι. Στο τέλος πολλαπλασιάζω τους πρώτους αριθμούς και το γινόμενο των αριθμών αυτών είναι το Ε.Κ.Π.. Σταματάω τις διαιρέσεις όταν στο κάτω μέρος των αριθμών, όλοι οι αριθμοί έχουν γίνει 1. 2 3 6 2 (στο 2 μία φορά, στο 6 τρεις ) 1 3 3 3 (στο 3 μία φορά ) 1 1 Ε.Κ.Π. ( 2, 3, 6 ) = 2 · 3 = 6 Κριτήρια Διαιρετότητας 1. Το 2 διαιρεί κάθε αριθμό που τελειώνει σε ζυγό ψηφίο, δηλαδή σε 0 , 2 , 4 , 6 , 8 π.χ. Το 56 διαιρείται με το 2 γιατί τελειώνει σε 6 2. Το 3 διαιρεί κάθε αριθμό που το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων είναι ίσο με 3 , 6 , 9 π.χ. 1356 έχουμε 1+3+5+6= 15 ⇒ 1+5= 6 Αφού το 3 χωράει στο 6 διαιρεί και το 1356 3. Εάν το 4 διαιρεί τα δύο τελευταία ψηφία κάποιου αριθμού, τότε διαιρεί ολόκληρο τον αριθμό π.χ. 240 το 4 χωράει στο 40, άρα διαιρεί και το 240 4. Το 5 διαιρεί κάθε αριθμό που τελειώνει σε 0 ή 5 π.χ. Το 1350 διαιρείται με το 5 γιατί τελειώνει σε 0 5. Εάν ένας αριθμός διαιρείται πρώτα με το 2 και μετά με το 3 , τότε ο αριθμός αυτός διαιρείται με το 6 π.χ. 132 : 2 = 66 ⇒Το 132 διαιρείται με το 2 66 : 3 = 22⇒Το αποτέλεσμα διαιρείται με το 3 Άρα το 132 διαιρείται με το 6 6. Πάρε το τελευταίο ψηφίο και διπλασίασέ το. Αφαίρεσέ το από τα υπόλοιπα. Αν το αποτέλεσμα που βρήκες χωράει στο 7 τότε ο αριθμός διαιρείται με το 7 π.χ. 133 Παίρνω το τελευταίο ψηφίο και το διπλασιάζω 32= 6. Το αφαιρώ από τα υπόλοιπα ψηφία 13-6= 7. Το 7 διαιρείται με το 7, άρα διαιρείται και με τον 133 7. Εάν το 8 διαιρεί τα τρία τελευταία ψηφία κάποιου αριθμού, τότε διαιρεί ολόκληρο τον αριθμό π.χ. 7.368 διαιρείται ακριβώς με το 8 γιατί και ο 368 διαιρείται με το 8 8. Το 9 διαιρεί κάθε αριθμό που το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι ίσο με 9 π.χ. 3213 Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 3+2+1+3= 9. Συνεπώς το 9 διαιρεί το 3213 9. Το 10 διαιρεί κάθε αριθμό που τελειώνει σε 0 10. Εάν ο αριθμός τελειώνει σε 00 , 25 , 50 , 75 τότε διαιρείται με το 25 11. Το 100 διαιρεί κάθε αριθμό που τελειώνει σε 00 12. Το 1000 διαιρεί κάθε αριθμό που τελειώνει σε 000 Αράπογλου Δημήτριος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.66
ΟΝΟΜΑ: ………………………………………………………………………………………… ΣΤ1 – 2-11-10 1) Να υπολογίσεις με το νου και να κυκλώσεις το σωστό. Ε.Κ.Π. (6,10) α) 10 β) 24 γ) 30 Ε.Κ.Π. (4,12) α) 12 β) 16 γ) 24 Ε.Κ.Π. (8,5) α) 20 β) 40 γ) 80 2) Να βρεις το Ε.Κ.Π. των αριθμών: 45 60 42 168 11 55 88 Ε.Κ.Π.(45,60) ……….. Ε.Κ.Π.(42,168) ……….. Ε.Κ.Π.(11,55,88) ……. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3) Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός χρημάτων σε € που μπορεί να μοιραστεί σε 22, 21 ή 14 παιδιά και να μην περισσέψει κανένα €; (τι θα χρειαστεί να βρω;) Λύση: Απάντηση: ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.67
ΔΥΝΑΜΕΙΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.68
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ 10 ● Για να σχηματίσουμε δυνάμεις του 10 βάζουμε βάση κάθε φορά το 10 και εκθέτη τον αριθμό που δείχνει πόσα μηδενικά έχει ο αριθμός. π.χ.100=10²,10.000.000=10,100.000.000=10 ● Για να αναλύσουμε δυνάμεις του 10, γράφουμε κάθε φορά το 1 και βάζουμε τόσα μηδενικά όσα μας λέει ο εκθέτης. π.χ. 10³=1.000, 10=10.000, 10= 100.000 ● Για να γράψουμε έναν πολυψήφιο αριθμό με δύναμη του 10, εργαζόμαστε ως εξής: ▪ Γράφουμε τον αριθμό ως γινόμενο με το 10, το 100, το 1.000 κ.ο.κ ανάλογα με το πλήθος των 0 που υπάρχουν στο τέλος. ▪ Μετατρέπουμε το 10, το 100. το 1.000 κ.ο.κ. σε δύναμη του 10. π.χ. 9.000.000=9χ1.000.000=9χ106 ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν γράφουμε έναν αριθμό χρησιμοποιώντας δυνάμεις του 10, προσέχουμε ο αριθμός που βρίσκεται μπροστά από τη δύναμη του 10 να είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του 10. π.χ. 63.000.000. Δεν γράφεται ως 63χ109 αλλά ως 6,3χ1010. Γράφουμε τον αριθμό ως δεκαδικό με το πρώτο του μη μηδενικό ψηφίο ως ακέραιο μέρος και τα υπόλοιπα μη μηδενικά ψηφία ως δεκαδικό μέρος και αυξάνουμε τον εκθέτη τόσα ψηφία όσα είναι και τα δεκαδικά ψηφία. π.χ.234.000.000=2,34χ108 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Σχηματίζω δυνάμεις του 10: 10χ10χ10χ10χ10χ10χ10=……… 10χ10χ10=…………. 10χ10χ10χ10=…………… 10χ10χ10χ10χ10χ10χ10χ10χ10=………… 10χ10χ10χ10χ10χ10=………… 2) Βρίσκω τους παρακάτω αριθμούς: ▪3χ102=…………….. ▪ 4χ105=…………………… ▪4χ103+5χ104=……………… ▪ 8χ103+2χ102=………….. ▪4χ103+5χ104=……………… ▪ 7χ105+2χ103=………….. ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.69
3) Ο Όλυμπος έχει ύψος 2χ103+9χ102+101+7 μέτρα. Να βρεθεί πόσα μέτρα ύψος έχει ο Όλυμπος. 4) Το άστρο Τζινάχ, που βρίσκεται στον αστερισμό του Κύκνου, απέχει από τη Γη 680 τρισεκατομμύρια χιλιόμετρα. Να γράψετε τον αριθμό αυτόν: α) στην κανονική του μορφή. β) με τη βοήθεια δυνάμεων του 10. 5) Τα ετήσια έσοδα μιας ναυτιλιακής εταιρείας είναι 3,2χ108€ και τα ετήσια έξοδα της 2,5χ108€. Να βρείτε τα ετήσια κέρδη της εταιρείας και να τα γράψετε με τη βοήθεια δυνάμεων του 10. 6) Η Γη έχει ηλικία περίπου 4,6χ109 χρόνων. Τα πρώτα ίχνη ζωής εμφανίστηκαν πριν από 3,5 δισεκατομμύρια χρόνια περίπου. Για πόσα χρόνια περίπου δεν υπήρχε ζωή στη Γη; 7) Η θερμοκρασία στο κέντρο του Ήλιου είναι 1,5χ107 βαθμοί Κελσίου, ενώ στην επιφάνειά του είναι 3.000 βαθμοί Κελσίου μικρότερη. Πόσους βαθμούς Κελσίου είναι η θερμοκρασία στην επιφάνεια του Ήλιου; ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.70
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αναλύουμε τον αριθμό 16 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: 16 2 8 2 4 2 2 2 2 Όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι μεταξύ τους. Το γινόμενο 2 • 2 • 2 • 2 μπορούμε να το γράψουμε 24 . Το σύμβολο αυτό λέγεται δύναμη του 2. Για να γράψουμε ένα γινόμενο με ίσους παράγοντες, με μορφή δύναμης, γράφουμε τον αριθμό που επαναλαμβάνεται (βάση) και πάνω στο δεξί του μέρος, με μικρότερου μεγέθους ψηφίο, τον εκθέτη, δηλαδή τις φορές που βλέπουμε τον αριθμό. π.χ. 5 • 5 =52 5 • 5 • 5 = 53 5 • 5 • 5 • 5 = 54 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 55 Το σύμβολο 52 διαβάζεται πέντε στη δευτέρα ή πέντε στο τετράγωνο. Το σύμβολο 53 διαβάζεται πέντε στην τρίτη ή πέντε στον κύβο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να υπολογίσετε τις παρακάτω δυνάμεις: 3 2 = 3 • 3 =9 2 2 = _______________ 6 2 = ________________ 3 3 =________________ 2 3 = _______________ 8 3 = ________________ 3 4 =________________ 2 4 = _______________ 10 4 = ________________ 2) Να γράψετε με μορφή δυνάμεων τα παρακάτω γινόμενα: 4 • 4 = 4 2 5 • 5 = _____ 3 • 3 • 5 • 5 = 3 2 • 5 2 4 • 4 • 4 = _____ 5 • 5 • 5 = _____ 6 • 2 • 2 • 2 = _________ 4 • 4 • 4 • 4 = _____ 5 • 5 • 5 • 5 = _____ 7 • 7 • 3 • 3 = _________ 3) Να γράψετε με τη μορφή δύναμης τους παρακάτω αριθμούς: 25 = 5 • 5 = 5 2 49 = _______________ 16 = ______________ 36 = _____________ 81 = _______________ 64 = ______________ 9 = _____________ 100 = ______________ 144=______________ ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.71
4) Να βρείτε και να γράψετε : Το διπλάσιο και το τετράγωνο του αριθμού 4 :__________________________ Το τριπλάσιο και τον κύβο του αριθμού 5 : _________________________ 5) Να αναλύσετε τους παρακάτω αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και ύστερα να τους γράψετε με μορφή γινομένου δυνάμεων: 72 2 900 36 2 18 2 9 3 3 3 1 72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3= 2 3 • 3 2 900 = __________________ 5) Να λυθεί το πρόβλημα: Ο Άγγελος έμαθε ότι: ▪ Οι Δελφοί βρίσκονται σε υψόμετρο 5,9χ10² μέτρα. ▪ Το αρχαίο θέατρο των Δελφών έχει χωρητικότητα 5χ10³ θεατές. ▪ Ο ναός του Απόλλωνα κάηκε το 548 π.Χ. Το κόστος ανακατασκευής του υπολογίστηκε σε 3χ10² τάλαντα.(νόμισμα της Αρχαίας Ελλάδας). ▪ Η Δωδώνη έχει υψόμετρο 7,3χ10² μέτρα. ▪ Το αρχαίο θέατρο της Δωδώνης έχει χωρητικότητα 5,7χ10² θεατές. Γράφω τους παραπάνω αριθμούς στην κανονική τους μορφή. ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.72
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:_______________________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ 17. ΔΥΝΑΜΕΙΣ 1. Υπολογίζω τις παρακάτω δυνάμεις. 32 = 3  3 = 9 22 = ………………………. 62 = ………………………. 33 = ………………. 33 = ………………………. 83 = ………………………. 34 = ………………. 24 = ………………………. 104 = ………………………. 2. Γράφω με μορφή δυνάμεων τα γινόμενα. 4  4 = 42 5  5 = ………. 3  3  5  5 = 32  52 4  4  4 = ………… 5  5  5 = …………. 6  2  2  2 = ……………. 4  4  4  4 = ……………. 5  5  5  5 = ……………. 7  7  7  7 = ……………. 3. Γράφω με μορφή δύναμης τους παρακάτω αριθμούς. 25 = 5  5 = 52 49 = ………………………. 16 = ………………………. 36 = ………………. 81 = ………………………. 64 = ………………………. 9 = ………………. 100 = ……………………. 121 = ………………………. 4. Συμπληρώνω στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών. α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 α2 4 α3 8 5. Αναλύω τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και ύστερα τους γράφω με μορφή γινομένου δυνάμεων: 72 =22233 = 2332 200=....................…………. 900=....................……… 72 200 900 Παλάνης Αθανάσιος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.73
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «ΔΥΝΑΜΕΙΣ» (2) 1) Να βρείτε την τιμή των παρακάτω δυνάμεων: 33 = __________________________ 82= ___________________________ 25 = __________________________ 122= ___________________________ 52 = __________________________ 24= ___________________________ 34 = __________________________ 43 =___________________________ 63 = __________________________ 36 =____________________________ 2) Να γράψετε με μορφή δυνάμεων τα γινόμενα: 3∙3∙3∙2∙2 = _______________ 4∙5∙5∙6∙6 = ___________________ 2∙2∙2∙3∙3 = ______________ 4∙4∙3∙3∙5∙5 = ___________________ 7∙2∙2∙5∙5 = _______________ 8∙6∙8∙6∙8 = ____________________ 3) Να αναλύσετε τους αριθμούς 140, 96, 240, 300 σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και να τους γράψετε με μορφή δυνάμεων: 140 240 300 96 140=_______ 240=_______ 300=______ 96=_________ 4) Σ’ ένα σχολείο υπάρχουν 6³ παιδιά. Από αυτά, τα 5³ είναι κορίτσια. Πόσα αγόρια υπάρχουν στο σχολείο; 5) Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: 34 + 43 = _______________________ 73 + 24 = _____________ 55 - 63 = _______________________ 63 - 32 = _____________ 5) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: ( 3²χ 4² ) + ( 4χ 2³ ) - 6 -5³= _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.74
Να γράψετε με τη μορφή δυνάμεων τα παρακάτω γινόμενα: 2.2.3.3= 4.4.4.7.7= 6.6.6.6.5.5.5= 9.9.3.3.3.3= 10.10= 10.10.10.10= Να βρείτε το διπλάσιο και το τετράγωνο των παρακάτω αριθμών: 2 5 7 11 12 25 10 διπλάσιο τετράγωνο Να γράψετε με τη μορφή δύναμης το εμβαδό των παρακάτω τετραγώνων ΕΜΒΑΔΟ : ΕΜΒΑΔΟ: 2 εκ. 3 εκ. Να βρείτε το τριπλάσιο και τον κύβο των παρακάτω αριθμών: 2 6 9 11 10 5 4 τριπλάσιο κύβος 3.3=32 4.4.4.4.4.4=46 10.10.10=103 jite Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.75
Να γράψετε με τη μορφή δύναμης τον όγκο των παρακάτω κύβων: ΕΜΒΑΔΟ: ΕΜΒΑΔΟ: 1 εκ. 3 εκ. Γράψε τους παρακάτω αριθμούς με τη βοήθεια των δυνάμεων του 10 600= 7000= 800= 300000= 20000000= 3000000= 400000000= 320= 6400= 98000= 573000= 6800000= 7250= 35000= Μέσα στο εθνικό πάρκο της Κένυας υπάρχουν 102 αρσενικά λιοντάρια, 104 βίσσονες, 103 ζέβρες, 106 σουρικάτες. Πόσα ζώα από κάθε είδος ζουν εκεί; 102 = 103 = 104 = 106 = Γράψε με αριθμό τα πιο κάτω μεγέθη: Διάμετρος Ήλιου 1,4.106 χμ. Θερμοκρασία Ήλιου περίπου 5.103 βαθμοί Κελσίου Ταχύτητα φωτός στο κενό 3.108 μέτρα το δευτερόλεπτο Απόσταση Άρη-Ήλιου 2,3.108 χμ. jite Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.76
ΚΛΑΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.77
ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1.1 Η ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ Ένα ολόκληρο αντικείμενο ή ένα σύνολο αντικειμένων είναι μία ακέραιη μονάδα. Π.χ. 1 πορτοκάλι, 1 τσάντα , 1σοκολάτα , 1βιβλίο Πολλές φορές δε χρησιμοποιούμε ολόκληρη την ακέραιη μονάδα , αλλά μόνο ένα κομμάτι της. Τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν μπορούμε να εκφράσουμε αυτό το κομμάτι με έναν ακέραιο αριθμό. Αν π.χ. μοιράσω ένα πορτοκάλι σε 4 άτομα , πόσο πορτοκάλι θα δώσω στον καθένα ; Γι’ αυτές τις περιπτώσεις έχουμε επινοήσει τους κλασματικούς αριθμούς .Η λέ- ξη κλάσμα είναι αρχαιοελληνική και σημαίνει κομμάτι . Αν λοιπόν θελήσουμε να μοιράσουμε το πορτοκάλι του προηγούμενου παραδείγματος σε 4 άτομα τότε θα κόψουμε το πορτοκάλι σε 4 ίσα μέρη και θα δώσουμε από 1 κομμάτι στον καθένα. Ή αλλιώς λέμε ότι ο καθένας θα πάρει το 4 1 του πορτοκαλιού . 4 1 Ο παρονομαστής μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μονάδα , στο παράδειγμά μας το πορτοκάλι το χωρίσαμε σε 4 ίσα μέρη . Ο αριθμη- τής μας δείχνει πόσα κομμάτια θα πάρουμε , στην περίπτωσή μας ένα . 1.2 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ Ας ξαναγυρίσουμε στο αρχικό μας παράδειγμα . Καθαρίζουμε το πορτοκάλι και βλέπουμε ότι αποτελείται από 12 φέτες . Αν είχε μόνο 4 φέτες δε θα υπήρχε πρόβλημα γιατί ο καθένας θα έπαιρνε από 1 φέτα . Τι γίνεται όμως τώρα που έχουμε 12 φέτες ; Η λύση του προβλήματος είναι απλή : το 4 1 του 12 = 12 : 4 = 3 δηλαδή για να υπολογίσουμε την κλασματική μονάδα ενός αριθμού διαιρούμε τον αριθμό μας με τον παρονομαστή . παραδείγματα : Το 5 1 του κιλού, πόσα γραμμάρια είναι; ( το κιλό έχει 1000 γραμμάρια , άρα ) 1000 : 5 =200 αριθμητής παρονομαστής κλασματική γραμμή - 1 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.78
Το 10 1 της ώρας, πόσα λεπτά είναι; ( η μία ώρα έχει 60 λεπτά ,άρα ) 60 : 10 = 6 Το 8 1 του χρόνου πόσες ημέρες είναι ; ( ο χρόνος έχει 360 ημέρες ,άρα )360 : 8 = 45 1.3 ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Αν κόψουμε μία πίτσα σε 4 κομμάτια και πάρουμε το 1 και κόψουμε την ίδια πίτσα σε 5 κομμάτια και πάρουμε 1 πότε θα φάμε μεγαλύτερο κομμάτι ; 4 1 5 1 Μεγαλύτερο είναι όπως φαίνεται το 4 1 γιατί χωρίσαμε σε λιγότερα κομμάτια . Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες κλασματικές μονάδες μεγαλύτερη είναι εκεί- νη που έχει το μικρότερο παρονομαστή. 1.4 ΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κλασματικός αριθμός ή κλάσμα λέγεται κάθε αριθμός, που προκύπτει με την επα- νάληψη μιας κλασματικής μονάδας. π.χ. το κλάσμα 6 5 έγινε από το 6 1 ( 6 1 + 6 1 + 6 1 + 6 1 + 6 1 = 6 5 ) Το κλάσμα 6 5 μας δείχνει ότι χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα μας π.χ. μία σοκολάτα σε 6 ίσα μέρη και πήραμε τα 5 από αυτά . Το παρακάτω παράδειγμα θα μας δείξει τη χρησιμότητα των κλασμάτων .Έστω ότι έχουμε 5 σοκολάτες και θέλουμε να τις μοιράσουμε δίκαια σε 8 παιδιά . Είναι φα- νερό ότι δεν μπορούμε να μοιράσουμε τις σοκολάτες . Αν όμως χωρίσουμε κάθε σοκο- λάτα σε 8 ίσα μέρη τότε κάθε παιδί θα πάρει : 8 1 + 8 1 + 8 1 + 8 1 + 8 1 = 8 5 Αντί λοιπόν να κάνουμε τη διαίρεση 5:8 που είναι ατελής εκφράζουμε το πο- σό με ένα κλάσμα . Κάθε κλάσμα λοιπόν δηλώνει μια διαίρεση . κλπ. 100 1 10 1 5 1 4 1 3 1 2 1 π.χ. >>>>> - 2 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.79
1.4 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΜΙΑΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ Έχουμε μια σοκολάτα χωρισμένη σε 15 κομμάτια και θέλουμε να φάμε μόνο τα 5 3 της σοκολάτας . Πόσα κομμάτια θα φάμε ; Για να λύσουμε την απορία μας πρέπει να βρούμε πόσα κομμάτια είναι τα 5 3 της σοκο- λάτας . Ο υπολογισμός γίνεται με τον παρακάτω τρόπο : τα 5 3 του 15 = ( 15:5 ) χ 3 = 3 χ 3 = 9 δηλαδή για να υπολογίσουμε το κλάσμα ενός αριθμού διαιρούμε τον αριθμό μας με τον παρονομαστή και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή . παραδείγματα : Τα 12 5 της ώρας, πόσα λεπτά είναι ; ( 1 ώρα = 60 λεπτά ) ( 60 : 12 ) χ 5 = 5 χ 5 = 25 λεπτά τα 10 6 του 450 = ( 450 : 10 ) χ 6 = 45 χ 6 = 270 - 3 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.80
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2.1 ΓΝΗΣΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ • Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή λέγο- νται γνήσια κλάσματα. Αυτά είναι μικρότερα από μία ακέραιη μονάδα. π.χ. 6 2 < 1, 10 7 < 1 Το κλάσμα 6 2 μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 6 μέρη και πήραμε τα 2 ,δηλαδή λιγότερα από το σύνολο. • Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό λέγο- νται ισοδύναμα με την ακέραιη μονάδα. Αυτά έχουν την ίδια αξία με την ακέραιη μονάδα. π.χ. 5 5 = 1, 8 8 = 1, 12 12 = 1 Το κλάσμα 5 5 μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 μέρη και πήραμε τα 5 ,δηλαδή τα πήραμε όλα άρα ολόκληρη την ακέραιη μονάδα . • Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή λέγο- νται καταχρηστικά κλάσματα. Αυτά είναι μεγαλύτερα από μία ακέραιη μονάδα. π.χ. 8 12 > 1, 7 14 > 1, 3 9 > 1 Το κλάσμα 8 12 μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 8 μέρη και πήραμε τα 12 . Αυτό φαινομενικά δε γίνεται γιατί δεν έχουμε 12 ,αλλά μόνο 8 κομμάτια . Η λύση στο πρόβλημα είναι απλή : αν πάρω 2 ακέραιες μονάδες και τις κόψω σε 8 κομμάτια την κα- θεμιά τότε θα έχω 8+8=16 κομμάτια και θα μπορέσω να πάρω 12. - 4 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.81
2.2 ΑΠΛΑ ΚΑΙ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ • Απλό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται μόνο από αριθμητή και παρονο- μαστή. π.χ. 6 2 , 3 9 , 8 8 • Μεικτό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλάσμα . π.χ. 4 6 2 , 5 3 9 , 7 8 8 Το μεικτό κλάσμα μας δείχνει ότι παίρνουμε π.χ. 4 ακέραιες μονάδες και τα 6 2 μι- ας ακόμη ακέραιης μονάδας. Δηλαδή χρειαζόμαστε συνολικά 5 ακέραιες μονάδες. 2.3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΠΟ ΑΠΛΑ ΣΕ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ 1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής : 6 5 3 • Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 χ 6 = 30 • Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33 • Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο. 6 5 3 = 5 33 4 6 2 = 6 2)64( +x = 6 26 5 3 2 = 3 2)35( +x = 3 17 2.Για να μετατρέψουμε ένα απλό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής : 5 13 = 2 5 3 • Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή : 13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3 • Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής και παρονομαστής μένει ο ίδιος 5 13 = 2 5 3 13:5=2 3 υπόλοιπο παρονομαστής ο ίδιος - 5 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.82
2.4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το ίδιο κομμάτι της ακέραιης μονάδας , π.χ. 5 3 = 10 6 . Αν δηλαδή κόψω μια πίτα σε 5 κομμάτια και πάρω τα 3 ή αν την κόψω σε 10 κομμάτια και πάρω τα 6 τότε θα έχω πάρει την ίδια ποσότητα και στις δύο περιπτώσεις. • Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή να διαιρέσω τους όρους του κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής) με τον ίδιο αριθμό . χ2 χ3 χ4 χ5 6 2 = 12 4 = 18 6 = 24 8 = 30 10 Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο . :2 :3 :4 60 24 = 30 12 = 20 8 = 15 6 Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο . 2.5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα διαιρούμε τον αριθμητή του και τον παρο- νομαστή του με τον ίδιο αριθμό . Όταν οι όροι του κλάσματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα ονομά- ζεται ανάγωγο. 32 12 = 8 3 Για να γίνει απλοποίηση υπάρχουν δύο τρόποι : • Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με οποιονδήποτε αριθμό ( συνήθως το 2) και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι να γίνει το κλάσμα ανάγωγο . :2 :2 :2 64 24 = 32 12 = 16 6 = 8 3 διαιρούμε αριθμητή και πα- ρονομαστή με το 4 - 6 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.83
• Βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη ( δηλαδή το μεγαλύτερο αριθμό που δι- αιρεί και τους δύο όρους του κλάσματος ) και διαιρούμε απευθείας με αυτόν . :8 64 24 = 8 3 Με όποιο τρόπο κι αν κάνουμε την απλοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο . Αν το κλάσμα είναι καταχρηστικό , το μετατρέπουμε σε μεικτό και μετά κάνουμε απλοποίηση . - 7 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.84
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα τότε μπορεί να συναντήσουμε τις 3 παρακάτω περιπτώσεις :  Τα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές , δηλαδή είναι ομώνυμα . Τότε η σύγκριση είναι πολύ εύκολη γιατί μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή . 5 3 > 5 2 Ο λόγος που τα 5 3 είναι μεγαλύτερο είναι προφανής . Κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 κομμάτια και πήραμε τα 3 , ενώ στη δεύτερη περίπτωση πήραμε 2 κομμάτια από τα 5 .  Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα, αλλά έχουν τους ίδιους αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το μικρότερο αριθμητή 5 3 > 8 3 Ο λόγος που τα 5 3 είναι μεγαλύτερο είναι γιατί κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 κομμάτια και πήραμε τα 3 ,ενώ στα 8 3 κόψαμε την ίδια ακέραιη μονάδα σε 8 κομμάτια ( άρα μικρότερα ) και πήραμε πάλι τρία αλλά πολύ μικρότερα κομμάτια .  Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα, αλλά έχουν και διαφορετικούς αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μετά να τα συγκρίνουμε . - 8 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.85
3.2 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΩΝΥΜΑ 1. Έχουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα και θέλουμε να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα για να τα συγκρίνουμε . 2. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών . 3. Στη συνέχεια διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές και σημειώνουμε το αποτέλεσμα πάνω από το κλάσμα . 4. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον αριθμό που σημειώσαμε πάνω από κάθε κλάσμα 5. Τα κλάσματά μας είναι πλέον ομώνυμα . 1. 5 3 , 8 2 2. Ε.Κ.Π.( 5, 8 ) = 40 40:5=8 40:8=5 3. 5 3 , 8 2 4. 85 83 x x , 58 52 x x 5. 40 24 , 40 10 - 9 - Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.86
3.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή . 5 2 + 5 1 = 5 3 Αν κάποιο κλάσμα είναι μεικτό το μετατρέπουμε πρώτα σε απλό και μετά κάνουμε τις πράξεις . Δεν ξεχνάμε στο τέλος να κάνουμε απλοποιήσεις και να μετατρέψουμε τα απλά κλάσματα σε μεικτά αν είναι απαραίτητο . 2 4 2 - 1 4 3 = 4 10 - 4 7 = 4 3 Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα , τα κάνουμε πρώτα ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα . 4 5 5 2 + 4 3 = 20 8 + 20 15 = 20 23 = 1 20 3 4 5 5 4 - 4 3 = 20 16 - 20 15 = 20 1 Αν θέλουμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσμα με ακέραιο μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα με τον παρακάτω τρόπο : 5 1 4 - 5 2 = 1 4 - 5 2 = 5 20 - 5 2 = 5 18 = 3 5 3 ο παρονομαστής δεν αλλάζει Για να μετατρέψουμε έναν ακέραιο σε κλάσμα αρκεί να βάλουμε παρονομαστή τη μονάδα Δεν ξεχνάμε να βγάλουμε τις ακέραιες μονάδες 10 Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.87
3.2 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε και τους αριθμητές και τους παρανομαστές .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα . 5 4 × 8 3 = 40 12 = 10 3 3.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα . 5 4 : 8 3 = 5 4 × 3 8 = 15 32 = 2 15 2 Αντιστρέφουμε μόνο το δεύτερο κλάσμα και σε καμία περίπτωση δεν αλλάζουμε τη σειρά των αριθμών Αν έχουμε να κάνουμε διαίρεση με ακέραιο τον μετατρέπουμε σε κλάσμα και κάνουμε την πράξη με τον ίδιο τρόπο : 3 2 : 4 = 3 2 : 1 4 = 3 2 χ 4 1 = 12 2 = 6 1 απλοποίηση Βγάζουμε ακέραιες μονάδες 11 Πηγή: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.88
Τα κλασματα 1. Το κλάσμα εκφράζει το ακριβές πηλίκο μιας διαίρεσης: της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή του κλάσματος 6 = 6 : 7 7 2. Οι δεκαδικοί αριθμοί γράφονται και ως δεκαδικά κλάσματα 0,5= 5 0,23= 23 10 100 3. Αφού κάθε κλάσμα είναι μία διαίρεση, μετατρέπω ένα κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό αν διαιρέσω τον αριθμητή με τον παρονομαστή . 4. Δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα όταν έχουν την ίδια αξία αλλά διαφορετικούς όρους . 5. Για να φτιάξω ισοδύναμα κλάσματα με ένα αρχικό κλάσμα , πολλαπλασιάζω ή διαιρώ αριθμητή και παρονομαστή με τον ΙΔΙΟ αριθμό. 6. Για να απλοποιήσω ένα κλάσμα ΔΙΑΙΡΩ τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον ΙΔΙΟ αριθμό 7. Ανάγωγο λέμε το κλάσμα που δεν απλοποιείται άλλο. πχ 8. Ένας τρόπος για να βρω ποιος αριθμός διαιρεί τον αριθμητή και τον παρανομαστή ενός κλάσματος, δηλαδή για να το απλοποιήσω, είναι να βρω το ΜΚΔ τους. 9. Ένα κλάμα είναι γνήσιο, είναι δηλαδή μικρότερο από το 1 όταν ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του . πχ 10.Ένα κλάσμα είναι ίσο με το 1 όταν ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή του. 10. Ένα κλάσμα είναι καταχρηστικό, δηλαδή μεγαλύτερο από το 1, όταν ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του. ΠΧ 11. Μεικτός λέγεται ο αριθμός που έχει και ακέραιο μέρος και κλασματικό -Μετατρέπω μεικτό σε κλάσμα: πολλαπλασιάζω τον παρονομαστή με τον ακέραιο και προσθέτω τον αριθμητή . Αυτόν τον αριθμό τον βάζω αριθμητή του νέου κλάσματος. Παρονομαστή αφήνω τον ίδιο . -Μετατρέπω καταχρηστικό κλάσμα σε μεικτό : Διαιρώ τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Το πηλίκο τηε διαίρεσης είναι το ακαίρεο μέρος του μεικτού, αριθμητής του κλάσματος το υπόλοιπο και παρονομαστής ο ίδιος (δηλ. ο διαιρέτης ) 11 = 11 :4 = 2 3 4 4 12. Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή . Δασκάλα ΒΜ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.89
Πώς συγκρίνω ομώνυμα κλάσματα Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή . 13.Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, αλλά διαφορετικό πχ Πώς συγκρίνω ετερώνυμα κλάσματα 1. ετερώνυμα κλάματα με τον ίδιο αριθμητή : Μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μικρότερο παρονομαστή. 2. ετερώνυμα κλάματα με διαφορετικό αριθμητή : Α τρόπος: Μετατρέπω τα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς Β τρόπος: Μετατρέπω τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα Για να μετατρέψω ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα ακολουθώ την παρακάτω διαδικασία: α) Βρίσκω το ΕΚΠ των παρονομαστών τους ΕΚΠ (4,6,8)= 24 β) Διαιρώ το ΕΚΠ με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και το πηλίκο το βάζω στο καπελάκι 24: 4=6 24:6=4 24:8=3 γ) Πολλαπλασιάζω τους όρους (αριθμητή και παρονομαστή) κάθε κλάσματος με τον αριθμό στο καπελάκι (φτιάχνω έτσι ισοδύναμα ομώνυμα κλάσματα) Αφού 9 < 12 < 20 ΑΡΑ 3 < 2 < 5 24 24 24 8 4 6 Δασκάλα ΒΜ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.90
Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Για να κάνουμε πρόσθεση ή αφαίρεση κλασμάτων πρέπει να τα μετατρέψουμε πρώτα σε ομώνυμα (με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω) 1. Προσθέτω ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές τους . Προσθέτω μεικτούς αριθμούς. Προσθέτω πρώτα το ακέραιο μέρος και μετά το κλασματικό (τα κλάσματα τα έχω κάνει ομώνυμα) 2. Αφαιρώ ομώνυμα κλάσματα αφαιρώντας τους αριθμητές τους Αφαιρώ κλάσμα από ακέραιο Μετατρέπω τον ακέραιο σε κλάσμα βάζοντας παρονομαστή το 1. Μετά κάνω τα κλάσματα ομώνυμα και αφαιρώ τους αριθμητές Πολλαπλασιασμός κλασμάτων Θυμάμαι : πολλαπλασιάζω ΠΑΝΤΑ κλάσμα με κλάσμα, τον ακέραιο ή το μεικτό ΠΡΕΠΕΙ να τον μετατρέψω σε κλάσμα για να τον πολλαπλασιάσω με κλάσμα. 1. Κλάσμα με κλάσμα Πολλαπλασιάζω αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή . ΠΡΟΣΟΧΗ: Δε χρειάζεται να είναι ομώνυμα. 2. Ακέραιο με κλάσμα Μετατρέπω τον ακέραιο σε κλάσμα βάζοντας παρονομαστή το 1. 3.Μεικτό με κλάσμα Μετατρέπω το μεικτό σε κλάσμα Διαίρεση κλασμάτων Θυμάμαι ότι και στη διαίρεση ισχύει ό,τι για τον πολλαπλασιασμό. Μπορώ να διαιρέσω ΜΟΝΟ κλάσματα. Μετατρέπω τον ακέραιο ή το μεικτό σε κλάσμα για να τον διαιρέσω με κλάσμα Για να διαιρέσω κλάσματα αντιστρέφω τους όρους του δεύτερου κλάσματος κι αντί για διαίρεση κάνω πολλαπλασιασμό Δασκάλα ΒΜ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.91
Δημοτικό Σχολείο Μενιδίου Σχ. Έτος: 2012-13 Μαθηματικά ΣΤ΄:¨Κλάσματα – Κλασματικές μονάδες – Μεικτός αριθμός¨ Υπεύθυνος τάξης: Γεωργακόπουλος Ανδρέας Τι είναι το κλάσμα και σε τι μας χρειάζεται. 1 ακέραια μονάδα 1 ακέραια μονάδα Στο τρίτο σχήμα από τα 16 χρωματίσαμε τα 8 Τη φράση από τα 16 χρωματίσαμε τα 8 τη γράφουμε… Παρονομαστής ( σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε την ακέραια μονάδα). Αριθμητής ( πόσα ίσα μέρη πήραμε από την ακέραια μονάδα). Κλασματική γραμμή Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.92
Και λίγη … εξάσκηση Στο τετράδιό σου γράψε τα κλάσματα που αντιστοιχούν στις παρακάτω φράσεις. (τις προτάσεις με αστερίσκο πρόσεξέ τες ιδιαίτερα) 1. Από μια σανίδα (ενός) 1 μέτρου έκοψα ένα κομμάτι 45 εκατοστά. 2. Από τους 85 μαθητές, θα πάνε εκδρομή οι 63. 3. Από τα 5 κιλά πατάτες, χρησιμοποίησα τα 2000 γραμμάρια. * 4. Οι 36 ώρες, τι μέρος του μήνα είναι; (1 μήνας= 30 ημέρες) * 5. Έχω διανύσει 256 μέτρα από μια απόσταση 1,5 χμ. * 45 100 1. 2. 63 85 3. 2000 5000 4. 36 720 5. 256 1500 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.93
Κλασματικές μονάδες. Κλασματικές μονάδες λέγονται τα κλάσματα που έχουν την μορφή.. Όταν συγκρίνουμε κλασματικές μονάδες, μεγαλύτερη είναι αυτή που έχει τον μικρότερο παρονομαστή. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.94
Μεικτοί αριθμοί Είναι μικρότερο από την ακέραια μονάδα. Είναι ίσο με την ακέραια μονάδα. 9 9 1 4 9 Μεικτός Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.95
Δημοτικό Σχολείο Μενιδίου Σχ. Έτος: 2012-13 Μαθηματικά ΣΤ΄: ¨ Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων¨ Υπεύθυνος τάξης: Γεωργακόπουλος Ανδρέας Όταν θέλουμε να προσθέσουμε κλάσματα που είναι ομώνυμα, το μόνο που κάνουμε είναι να προσθέσουμε τους αριθμητές τους. Στο νέο κλάσμα, αριθμητής θα είναι το άθροισμα των αριθμητών, ενώ παρονομαστή βάζουμε τον ίδιο. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και όταν θέλουμε να αφαιρέσουμε. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.96
Τι γίνεται όμως όταν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα; Για να προσθέσουμε ή για να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει πρώτα να τα κάνουμε ομώνυμα. Ας θυμηθούμε πώς το βρίσκουμε. 16 9 8 9 4 9 2 9 1 9 1 3 1 1 2 2 2 2 3 3 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.97
Πώς χρησιμοποιούμε το ΕΚΠ; Διαιρούμε τους παρονομαστές των κλασμάτων με το ΕΚΠ και με το αποτέλεσμα (πηλίκο) πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. 144 16 99 144 9 1616 ομώνυμα Μπορούμε να προσθέσουμε πολλά κλάσματα ταυτόχρονα βρίσκοντας το ΕΚΠ των παρονομαστών τους. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.98
Τα θυμόμαστε; Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.99
1 2.2 ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοδύναµα κλάσµατα : ∆ύο κλάσµατα α β και γ δ λέγονται ισοδύναµα όταν εκφράζουν το ίδιο τµήµα ενός µεγέθους ή ίσων µεγεθών Σε αυτή την περίπτωση γράφουµε α β = γ δ 2. Έλεγχος της ισοδυναµίας = α γ β δ Τα κλάσµατα α β και γ δ είναι ισοδύναµα όταν τα «χιαστί» γινόµενα αδ και βγ είναι ίσα . ∆ηλαδή α β = γ δ όταν αδ = βγ . 3. ∆ηµιουργία ισοδύναµων κλασµάτων Αν πολλαπλασιάσουµε ή διαιρέσουµε τους όρους ενός κλάσµατος µε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό, προκύπτει κλάσµα ισοδύναµο µε το αρχικό 4. Απλοποίηση κλάσµατος : Είναι η διαδικασία µε την βοήθεια της οποίας βρίσκουµε κλάσµα ισοδύναµο µε κάποιο άλλο, αλλά µε µικρότερους όρους 5. Ανάγωγο κλάσµα : Είναι το κλάσµα που δεν απλοποιείται. Σε αυτή την περίπτωση ο ΜΚ∆ των όρων του είναι το 1 6. Οµώνυµα – ετερώνυµα κλάσµατα : Οµώνυµα κλάσµατα είναι αυτά που έχουν τον ίδιο παρονοµαστή Ετερώνυµα κλάσµατα είναι αυτά που έχουν διαφορετικούς παρονοµαστές Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://st-taksh.blogspot.gr σελ.100