23 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจำนวน

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง
จานวนจริง

ตอน สื่อปฏิสัมพันธ์
เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน
โดย

ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ทิพวัลย์ สันติวิภานนท์

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง จานวนจริง
2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง
- ระบบจานวนจริง
- สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ
- การแยกตัวประกอบ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม
- สมการพหุนามกาลังหนึ่ง
- สมการพหุนามกาลังสอง
- สมการพหุนามกาลังสูง
- การประยุกต์สมการพหุนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ
- เส้นจานวนและช่วง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังหนึ่ง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังสูง
7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ
- อสมการในรูปเศษส่วน
- การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง
- การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร
- การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์
- ค่าสัมบูรณ์
- สมการค่าสัมบูรณ์

1


9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
- อสมการค่าสัมบูรณ์
- โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์
- กราฟค่าสัมบูรณ์
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
จานวนจริง นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง จานวนจริง (สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน)
หมวด สื่อปฏิสัมพันธ์
ตอนที่ 1 (1/3)
หัวข้อย่อย 1. ช่วงประเภทต่าง ๆ
2. การดาเนินการของช่วง
3. ช่วงที่ซับซ้อนขึ้น
4. ช่วงและการแก้อสมการ
5. แบบฝึกหัด

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนได้ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ในการศึกษา เรื่อง จานวนจริง เกี่ยวกับ
1. รูปแบบของช่วงประเภทต่าง ๆ บนเส้นจานวน
2. การใช้ช่วงบนเส้นจานวนสร้างความเข้าใจในมโนทัศน์เรื่องต่าง ๆ เกี่ยวกับจานวนจริง ได้แก่
2.1 การดาเนินการของช่วงบนเส้นจานวน
2.2 ช่วงที่ซับซ้อน
2.3 ช่วงและการแก้อสมการ

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถใช้สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวนเพื่อ
1. สร้างความเข้าใจหรือทบทวนเกี่ยวกับช่วงประเภทต่าง ๆ บนเส้นจานวน
2. ใช้ในการอธิบายการดาเนินการของช่วงบนเส้นจานวน ได้แก่ ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน
คอมพลีเมนต์ และ ผลต่างระหว่างช่วง พร้อมทั้งหาผลของการดาเนินการได้
3. เพิ่มความเข้าใจช่วงที่ซับซ้อนบนเส้นจานวนเพื่อช่วยในการแก้อสมการ
4. ช่วยในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับช่วงบนเส้นจานวนได้

3


เนื้อหาในสื่อการสอน
สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน

 การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
 ช่วงประเภทต่าง ๆ
 การดาเนินการของช่วง
 ช่วงที่ซับซ้อนขึ้น
 ช่วงและการแก้อสมการ
 แบบฝึกหัด

4


การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

5


การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

สื่อการสอนชุดนี้พัฒนาด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คือซอฟต์แวร์สารวจเชิง
คณิตศาสตร์ เรขาคณิตพลวัต รุ่น 4.06 ภาษาไทย
ผู้ใช้โปรแกรมจะเรียกใช้โปรแกรมได้จากเมนูคาสั่ง
เมื่อคลิกเลือกโปรแกรม หรือ ดับเบิ้ลคลิก บนเดสก์ทอป
จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 1

รูปที่ 1. หน้าต่างแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

ให้คลิกที่ปุ่ม เพื่อเข้าสู่การใช้งานโปรแกรม จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 2
จากรูปที่ 2 จะกล่าวถึงเครื่องมือที่ใช้สาหรับการทางานกับโปรแกรมนี้ คือเมนูแฟ้ม และ
กล่องเครื่องมือ
 เมนูแฟ้ม ใช้ทางานเกี่ยวกับแฟ้มข้อมูล ในการใช้งานสื่อชุดนี้ใช้เพียงการเปิด /ปิด
แฟ้มข้อมูล

 กล่องเครื่องมือ แบ่งเครื่องมือออกเป็นหกประเภท ใน
ที่นี้จะใช้เฉพาะเครื่องมือลูกศร สาหรับเลือกหรือเคลื่อนย้าย (หรือลาก) อ็อบเจกต์
ในโปรแกรม ผู้ใช้โปรแกรมนี้จะต้องเลือกเครื่องมือลูกศร นี้ในการทางานตลอดทั้ง
โปรแกรม

6


รายการเมนู
กล่องเครื่องมือ

รูปที่ 2. หน้าต่างหลักของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
o การเปิด/ปิด แฟ้มข้อมูล

ถ้าต้องการเรียกโปรแกรมแฟ้มข้อมูลขึ้นมาใช้งาน ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะ
ปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 3 ให้
เลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ โดย
แฟ้มข้อมูลที่พัฒนาจากโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad
จะมีนามสกุลเป็น gsp เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ แล้วคลิกที่
แล้วจะปรากฏ
รูปที่ 3. หน้าต่างเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ
หน้าต่างของโปรแกรมแฟ้มข้อมูล
ที่ได้เลือกไว้ดังรูปที่ 5

 ถ้าต้องการปิดแฟ้มข้อมูล ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 4 คือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามว่า

7


ต้องการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของแฟ้มข้อมูลหรือไม่ ในที่นี้ไม่แนะนาให้บันทึก
แฟ้มข้อมูล เพราะอาจทาให้โปรแกรมที่พัฒนาไว้มีข้อผิดพลาดได้ ให้เลือกคลิกที่ปุ่ม
เพื่อจะได้ไม่มีการเปลี่ยนแปลงโปรแกรมที่พัฒนาไว้

รูปที่ 4. หน้าต่างเมื่อเรียกคาสั่งปิดแฟ้มข้อมูล

เมื่อเรียกโปรแกรม “สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน” จะปรากฏหน้าต่างสองหน้าต่างนี้สลับกัน

รูปที่ 5. หน้าต่างแรกของโปรแกรม

จากหน้าต่างนี้จะสังเกตได้ว่าที่ด้านล่างของหน้าต่างมีรายการเมนูคาสั่งสองระดับ ดังรูป

ระดับแรก

ระดับที่สอง
รูปที่ 6. ด้านล่างหน้าต่างแรกของโปรแกรม

8


 ระดับแรกอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างที่เลือกไว้ คือรายการเมนู ดังนี้

สาหรับเลือกกาหนดตาแหน่งของหน้าต่างภายในหน้าจอของเรา
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนหน้าต่างไปมุมบนซ้ายของจอภาพ
ดูภาพการเคลื่อนไหวของหน้านั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนหน้าต่างจอภาพ
เรียกหน้าสุดท้ายของหัวข้อขึ้นมาแสดงบนหน้าต่าง
เลื่อนหน้าต่างสื่อไปกลางหน้าต่าง
 ระดับที่สองอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างของโปรแกรม ดังนี้

สาหรับแสดงรายชื่อหน้าต่างในโปรแกรม เพื่อให้ผู้ใช้เลือก/เปลี่ยนการทางานไปยัง
หน้าต่างนั้นๆ ได้เลย เปรียบเสมือนเป็นเมนูลัดสาหรับเลือกดูหัวข้อ/หน้าต่างที่ต้องการ
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนไปหน้าแรกของหัวข้อนั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนจอภาพ
แถบต่อมาเป็นรายการหัวข้อย่อยในหัวข้อ “ช่วงประเภทต่าง ๆ” เช่น

ผู้ใช้สามารถคลิกที่แถบนี้เพื่อเลื่อนไปที่หน้านั้นๆ ได้ทันที
แถบเลื่อนหน้าต่าง ใช้สาหรับเลื่อนเพื่อเลือกดูรายการหัวข้อย่อยด้านล่าง
แถบเลื่อน ใช้สาหรับเลื่อนดูข้อมูลในหน้าต่างไปทางด้านซ้าย/ขวา หรือ
ถ้าอยู่ในแนวตั้งก็ใช้สาหรับเลื่อนข้อมูลในหน้าต่างขึ้น/ลง

9


การเริ่มต้นใช้งานสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน ผู้ใช้ต้องคลิกที่ เพื่อเปลี่ยน
การทางานไปที่หน้าสารบัญ หน้าต่างสารบัญจะแสดงดังนี้

ผู้ใช้สามารถเลือกโปรแกรมสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน จากหน้าต่างสารบัญที่แสดง
รายการบทเรียน ซึ่งแบ่งออกเป็น 5 หัวข้อ คือ
1. ช่วงประเภทต่าง ๆ

ข้อสังเกต ผู้ใช้จะต้องคลิกเลือกหัวข้อที่ล้อมรอบด้วยกรอบสี่เหลี่ยม เพื่อเข้าดูรายละเอียดของหัวข้อนั้นได้
ในกรณีที่ผู้ใช้ต้องการเปลี่ยนหัวข้อใหม่ ผู้ใช้ต้องออกจากหัวข้อเดิมก่อน แล้วเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการใหม่
จากนั้นให้เข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลที่เลือกใหม่

10



11



ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาลักษณะของช่วงประเภทต่าง ๆ ดังต่อไปนี้
1.1 ช่วงเปิด
1.2 ช่วงปิด
1.3 ช่วงครึ่งเปิดครึ่งปิด
1.4 ช่วงครึ่งปิดครึ่งเปิด
1.5 ช่วงครึ่งเปิดอนันต์
1.6 ช่วงครึ่งปิดอนันต์
1.7 ช่วงอนันต์ครึ่งเปิด
1.8 ช่วงอนันต์ครึ่งปิด
1.9 ช่วงอนันต์

การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้ อมูลเรื่อง ช่วงประเภทต่าง ๆ ก่อน แล้วเข้าสู่หน้าต่าง
สารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ ซึ่งหน้าจอจะแสดงภาพ ดังรูปที่ 1.1

รูปที่ 1.1 สารบัญ

12


เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอเนื้อหาของช่วงประเภทต่าง ๆ จานวน 9 หน้า ตามลาดับดังนี้

รูปที่ 1.2 ช่วงเปิด รูปที่ 1.3 ช่วงปิด

รูปที่ 1.4 ช่วงครึ่งเปิดครึ่งปิด รูปที่ 1.5 ช่วงครึ่งปิดครึ่งเปิด

รูปที่ 1.6 ช่วงครึ่งเปิดอนันต์ รูปที่ 1.7 ช่วงครึ่งปิดอนันต์

13


รูปที่ 1.8 ช่วงอนันต์ครึ่งเปิด รูปที่ 1.9 ช่วงอนันต์ครึ่งปิด

รูปที่ 1.10 ช่วงอนันต์

แต่ละหน้าจอเนื้อหาในหัวข้อ ช่วงประเภทต่าง ๆ นี้แสดงให้เห็น วิธีการเขียนช่วงประเภทต่าง ๆ ใน
รูปแบบของเซต รวมถึงกราฟบนเส้นจานวนของช่วงนั้น ๆ

14


ตัวอย่างที่ 1.1 รูปที่ 1.4 ช่วงครึ่งเปิดครึ่งปิด

 วิธีเขียน “ช่วงเปิดลบห้าถึงปิดสอง” ในรูปช่วงคือ  5, 2 แสดงสมาชิกในช่วงโดยรูปแบบของ
เซตได้ ดังนี้  5, 2  x 5  x  2
 กราฟบนเส้นจานวนแสดงช่วงดังกล่าว คือ

- จุดเปิดที่ขอบซ้าย แสดงถึงค่า 5 ไม่อยู่ในช่วง
- จุดปิดที่ขอบขวา แสดงถึงค่า 2 อยู่ในช่วง
- เส้นทึบแสดงค่าอื่นๆในช่วงที่ไม่ใช่จุดขอบ
หมายเหตุ
1. จุดเปิด บนเส้นจานวน มีความหมายเดียวกับการใช้วงเล็บ “ ( ” หรือ “ ) ” ในการเขียนช่วง
2. จุดปิด บนเส้นจานวน มีความหมายเหมือนกับการใช้วงเล็บก้ามปู “ [ ” หรือ “ ] ” ในการเขียนช่วง

15


ตัวอย่างที่ 1.2 รูป 1.7 ช่วงครึ่งปิดอนันต์

 วิธีเขียน “ช่วงปิดลบห้าถึงเปิดอนันต์” ในรูปช่วงคือ  5,   แสดงสมาชิกในช่วงโดยรูปแบบของ
เซตได้ดังนี้ 5,   x x  5
 กราฟบนเส้นจานวนที่ใช้แสดงช่วง  5,   คือ

- จุดปิดที่ขอบซ้าย แสดงถึงค่า 5 อยู่ในช่วง
- เส้นทึบที่มีปลายลูกศรไปทางขวา แสดงถึงค่าอื่น ๆ ในช่วงมีค่ามากกว่า 5 ขึ้นไปเรื่อย ๆ โดยไม่
มีขีดจากัด

16


ตัวอย่างที่ 1.3 รูป 1.8 ช่วงอนันต์ครึ่งเปิด

 วิธีเขียน “ช่วงเปิดลบอนันต์ถึงเปิดสอง” ในรูปช่วงคือ  , 2 แสดงสมาชิกในช่วงโดยรูปแบบ
ของเซตได้ดังนี้  , 2  x x  2
 กราฟบนเส้นจานวนที่ใช้แสดงช่วง  , 2 คือ

- จุดเปิดที่ขอบด้านขวา แสดงถึงค่า 2 ไม่อยู่ในช่วง
- เส้นทึบที่มีปลายลูกศรไปทางซ้าย แสดงถึงค่าอื่น ๆ ในช่วงมีค่าน้อยกว่า 2 ลงไปเรื่อย ๆ โดยไม่มี
ขีดจากัด

17


ตัวอย่างที่ 1.4 รูปที่ 1.10 ช่วงอนันต์

 วิธีการเขียน “ช่วงเปิดลบอนันต์ถึงเปิดอนันต์” ในรูปช่วงคือ  ,   แสดงสมาชิกในช่วงโดย
รูปแบบของเซตได้ดังนี้  ,   x x   นั่นก็คือ เซตของจานวนจริง นั่นเอง
 กราฟบนเส้นจานวนที่ใช้แสดงช่วงดังกล่าวคือ

- เส้นทึบที่มีปลายลูกศรทั้งซ้ายและขวา แสดงถึงค่าในช่วงนี้มีค่าเป็นจานวนจริงทั้งหมด

หมายเหตุ ถ้าจุดขอบของช่วงบนเส้นจานวนมีค่าเป็น  หรือ  ปลายด้านนั้นจะต้องเป็นจุดเปิด หรือ
ช่วงเปิดเท่านั้น เนื่องจาก  และ  ไม่ใช่จานวนจริง เป็นเพียงสัญลักษณ์ ซึ่ง  บ่งบอกถึง
ปลายของช่ ว งที่ มี ค่ า มากขึ้ นได้อย่ างไม่มีที่สิ้นสุด และ  บ่งบอกถึงปลายของช่วงที่มีค่ า
น้อยลงได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

18



19


ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ใช้ช่วงบนเส้นจานวนเพื่อศึกษาเรื่องต่อไปนี้
2.1 อินเตอร์เซกชัน
2.2 ยุเนียน
2.3 คอมพลีเมนต์
2.4 ผลต่างระหว่างช่วง

การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง การดาเนินการของช่วง ก่อนเข้าสู่หน้าต่าง
สารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ ซึ่งหน้าจอแสดงดังนี้

เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอเนื้อหาจานวน 5 หน้าต่อเนื่องกัน ในหน้าต่างแรก
“การดาเนินการของช่ วง” ได้อธิบ ายถึงการใช้งานสื่อปฏิสัมพั นธ์ใ นการสร้างช่วงต่าง ๆ เพื่อศึกษาการ
ดาเนินการของช่วงบนเส้นจานวน สาหรับ หน้าต่างที่ 2-5 คือเรื่องที่เราจะพิจารณาตามหัวข้อ 2.1-2.4 ที่ได้
กล่าวมาข้างต้น

20


2.1 อินเตอร์เซกชัน
เนื่องจากช่วงเป็นเซตเจาะจงดั งนั้นการดาเนินการของช่วงจะนิยามเช่นเดียวกับการดาเนินการของ
เซต กาหนดให้ A และ B เป็นช่วงบนเส้นจานวน
อินเตอร์เซกชันของช่วง A และ B คือ ช่วงที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของ A และ B
เขียนแทนด้วย A  B
ในเรื่องนี้เราจะใช้ช่วงบนเส้นจานวนมาช่วยในการศึกษาหาช่วงที่แทนอินเตอร์เซกชันของช่วง 2
ช่วง โดยการกาหนดจุดปลาย (จุดเปิด หรือ จุดปิด ) ของช่วง A และช่วง B ซึ่งเป็นช่วงเริ่มต้น จากนั้น
ผู้เรียนสามารถสังเกตผลลัพธ์ช่วงอินเตอร์เซกชันของช่วงเริ่มต้นทั้งสอง

รูปที่ 2.1 อินเตอร์เซกชัน

รูปที่ 2.1 เกิดจากการคลิกปุ่มเริ่มใหม่ เพื่อให้ผู้เรียนสามารถกาหนดช่วงเริ่มต้น A และ B ได้เอง
โดยดับเบิ้ลคลิกที่ จุดเปิด หรือ จุดปิด ทางด้านขวาของหน้าต่างที่ปรากฏค้างไว้ และลากไปวางยัง
ตาแหน่งเริ่มต้นของช่วง A (แถบสีฟ้า) หรือช่วง B (แถบสีชมพู) เหนือเส้นจานวน ผู้เรียนจะต้องกาหนดจุด
ทั้งหมด 4 จุด สาหรับทั้งสองช่วง ช่วงละ 2 จุด เพื่อเป็นการกาหนดช่วงเริ่มต้น หลังจากกาหนดช่วง A และ
ช่วง B แล้ว ผู้เรียนจะเห็นผลลัพธ์ของช่วง A  B เป็นช่วงสีเขียวแสดงอยู่ด้านล่างของเส้นจานวน
นอกจากนี้ผู้เรียนยังสามารถคลิกที่ หรือ เพื่อแสดงเงาของ ช่วง A หรือช่วง B บน
เส้นจานวน หากผู้เรียนคลิกที่ หรือ ก็จะปรากฏเส้นประบอกขอบเขตของช่วง A หรือช่วง B
บนเส้นจานวน ในทานองเดียวกันผู้เรียนสามารถลบเงาและเส้นประออกได้โดยคลิกปุ่มข้างต้นอีกครั้ง เราจะ
ยกตัวอย่างเพื่อศึกษาการใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ในเรื่องนี้ ดังต่อไปนี้

หมายเหตุ การกาหนดช่วงที่มีจุดปลายเป็น  หรือ  ให้ลากจุดเปิดไปวางยังตาแหน่งทางซ้ายของ 10

หรือทางขวาของ 10 ตามลาดับ
21


ตั ว อย่ า งที่ 2.1 ก าหนดให้ ช่ ว ง A คื อ  4, 3 และช่ ว ง B คื อ  2, 1 จงใช้ ช่ ว งบนเส้ น จ านวนเพื่ อ
ช่วง A  B
วิธีทา เนื่องจาก B   2, 1   4, 3  A โดยความรู้ในเรื่องเซตจะได้ว่า A  B  B   2, 1
ผู้เรียนสามารถเริ่มต้นจากรูปที่ 2.1 และดาเนินการตามขั้นตอนต่อไปนี้

ขั้นที่ 1 : เลือกจุดปิ ด ลากไปยั ง แถบสีฟ้ าของช่วง A วางในตาแหน่งที่ตรงกั บค่า 4 ของเส้น
จานวน จากนั้นเลือกจุดปิดอีกครั้งลากไปยังแถบสีฟ้าวางในตาแหน่งที่ตรงกับค่า 3 ของ
เส้นจานวน จะได้ช่วง A แสดงดังรูปที่ 2.2

รูปที่ 2.2

ขั้นที่ 2 : เลือกจุดเปิด และจุดปิด ไปวางยังแถบสีชมพูแดง ในตาแหน่งที่ตรงกั บค่า 2 และ 1
ตามลาดับ เพื่อกาหนดช่วง B ในทานองเดียวกับขั้นที่ 1 ได้ผลลัพธ์ดังรูปที่ 2.3

รูปที่ 2.3
จะเห็นว่าแถบสีเขียวแสดงช่วง A  B นั้นก็คือ ช่วง B นั่นเอง
22


หมายเหตุ ผู้เรียนสามารถลองกาหนดช่วงประเภทต่าง ๆ ที่ สอดคล้องตามเงื่อนไขในตัวอย่างที่ 2.1 นั่นคือ
B  A แล้วผู้เรียนจะได้ผลลัพธ์ของ A  B สอดคล้องตามคุณสมบัติของเซตนั่นเอง

ผู้เรียนสามารถหาช่วงที่แทนอินเตอร์เซกชันของช่วงประเภทต่าง ๆ ที่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะ
อืน ๆ ได้โดยกาหนดช่วงประเภทต่าง ๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
่

1. 2.

A   , 2 และ B   1, 5 A  0, 3 และ B   2, 7

3. 4.

A   ,   และ B   1, 3 A   , 0 และ B  0,  

23


5. 6.

A   9, 1 และ B   2, 5 A   , 3 และ B   3, 10 

จะเห็นว่าตัวอย่างที่ 5 และ 6 ไม่มีช่วงผลลัพธ์ A  B นั่นคือ A  B   เนื่องจากช่วง A และช่วง B ไม่มี
ส่วนที่ทับซ้อนกันเลย และตัวอย่างที่ 4 มีช่วงผลลัพธ์เป็นจุดปิดเพียงจุดเดียว นั่นคือ ช่วงผลลัพธ์
AB  0

24


2.2 ยูเนียน
กาหนดให้ A และ B เป็นช่วงบนเส้นจานวน
ยูเนียนของช่วง A และ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ A หรือ สมาชิกของ
B เขียนแทนด้วย A  B
ในเรื่องนี้เราจะใช้ช่วงบนเส้นจานวนมาช่วยในการศึกษาหาช่วงที่แทนยูเนียน 2 ช่วง โดยกาหนด
ช่วงเริ่มต้น นั่นคือ ช่วง A และช่วง B ผู้เรียนจะได้ผลลัพธ์ที่เกิดจากการยูเนียน 2 ช่วง ที่กาหนดขึ้นได้ดัง
ตัวอย่างต่อไปนี้
กาหนดให้ A   2, 1
และ B   3, 0

รูปที่ 2.3 ยูเนียน

จากรูปที่ 2.3 จะได้แถบสีเขียวด้านล่างเส้นจานวนแสดงช่วง A  B คือ 3, 1  x 3  x  1

ตัว อย่ า งที่ 2.2 ก าหนดให้ ช่ ว ง A และ B เป็ น ช่ว งเดี ย วกั บ ตั ว อย่ า งที่ 2.1 นั่ น คือ A   4, 3 และ
B   2, 1 จงใช้ช่วงบนเส้นจานวนเพื่อหาช่วง A  B
วิธีทา เนื่องจาก B   2, 1   4, 3  A โดยความรู้ในเรื่องเซตจะได้ว่า A  B  A  4, 3
ผู้เรียนสามารถสังเกตได้จากแถบสีเขียวผลลัพธ์ของ A  B นั้นก็คือช่วง A นั่นเอง

25


ผู้เรียนสามารถหาช่วงแทนยูเนียนของช่วงประเภทต่าง ๆ ที่มีความสัมพันธ์ในลักษณะอื่น ๆ ได้ โดย
กาหนดช่วงตั้งต้น A และ B ที่ต้องการดังตัวอย่างต่อไปนี้

1. 2.

A   5, 0 และ B   3, 1 A  0, 2 และ B  1, 5

3. 4.

A   ,   และ B   2,3 A   , 0 และ B  0,  

26


5. 6.

A   ,  1 และ B   0, 3 A  1, 7 และ B  9, 10

27


2.3 คอมพลีเมนต์
กาหนดให้ A เป็นช่วงบนเส้นจานวน
คอมพลีเมนต์ของช่วง A คือช่วงที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นจานวนจริงทั้งหมดที่ไม่ใช่สมาชิก
ในช่วง A เขียนแทนคอมพลีเมนต์ของช่วง A ด้วย A
ในเรื่องนี้เราจะใช้ช่วงบนเส้นจานวนมาช่วยในการศึกษาหาคอมพลีเมนต์ของช่วง A ใด ๆ ดัง
ตัวอย่างต่อไปนี้
กาหนดให้ A   1, 3

รูปที่ 2.4 คอมพลีเมนต์

รูปที่ 2.4 แสดงแถบผลลัพธ์สีเขียว คือ A   , 1   3,  
x x  1 หรือ x  3

ซึ่งจะสอดคล้องกับสมบัติของเซต A  A  และ A  A  
ผู้เรียนสามารถทดลองกาหนดให้ช่วง A เป็นช่วงประเภทต่าง ๆ ที่ได้ศึกษาแล้วในหัวข้อที่ 1 เพื่อ
สังเกตลักษณะของคอมพลีเมนต์ของช่วงประเภทต่าง ๆ ที่กาหนดขึ้น

28


2.4 ผลต่างระหว่างช่วง
กาหนดให้ A และ B เป็นช่วงบนเส้นจานวน
ผลต่างระหว่าง A และ B คือช่วงที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ซึ่งไม่เป็นสมาชิกของ B เขียน
แทนช่วงผลต่างนี้ด้วย A  B
ในเรื่ อ งนี้ เราจะใช้ ช่ วงบนเส้น จานวนมาช่ วยในการศึก ษาหาช่ ว งผลต่ า งระหว่ างช่ว งสองช่ ว ง
พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

1. 2.

A   5, 2  และ B   2,   A   ,  1 และ B   0, 3

3. 4.

A   6,  1 และ B   4,  2 A   3, 2  และ B   , 5

จะสังเกตได้ว่าในตัวอย่างที่ 4 ช่วง A   3, 2   , 5  B ผลลัพธ์ที่ได้จากหน้าต่างผลต่าง
ระหว่างช่วง A  B   ซึ่งสอดคล้องกับการดาเนินการผลต่างบนเซตใด ๆ ที่ได้แสดงไว้ในคู่มือประกอบ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่อง เซต นอกจากนี้ผู้เรียนจะเห็นว่า A  B  A  B นั่นเอง

29



30


3. ช่วงที่ซับซ้อนขึน
้

ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะศึกษาช่วงบนเส้นจานวนที่ซับซ้อนขึ้นซึ่งในที่นี้หมายถึงเซตที่เป็นยูเนียนของช่วง
สื่อปฏิสัมพันธ์หัวข้อนี้กาหนดให้ช่วงใด ๆ จะสามารถถูกกาหนดอยู่ในรูปของช่วงย่อยได้ไม่เกิน 3 ช่วง เราจะ
ทาการศึกษาผลการดาเนินการของสองช่วงใด ๆ โดยแสดงในรูปช่วง รูปเซต รวมถึงรูปกราฟบนเส้นจานวน
การเข้าศึก ษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง ช่วงที่ซับซ้อนขึ้น แล้วจึงเข้าสู่หน้าต่าง
สารบัญของแฟ้มข้อมูลซึ่งหน้าจอแสดงดังนี้

รูปที่ 3.1 สารบัญ

เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอเนื้อหา 2 หน้าต่อเนื่องกันซึ่งหน้าแรก “ช่วงที่
ซับซ้อนขึ้น” เป็นคาอธิบายสรุปถึงสาระที่จะปรากฏในสื่อหัวข้อนี้ ดังนั้นเราจะพิจารณาหน้าต่างที่สอง “ช่วง
บนเส้นจานวน” เป็นหลักดังต่อไปนี้

รูปที่ 3.2 ช่วงบนเส้นจานวน

31


การเริ่มต้นกาหนดช่วง A และช่วง B สามารถทาได้เหมือนหัวข้อที่ 2 การดาเนินการของช่วง แต่
ในหัวข้อนี้เราสามารถกาหนดจุดเปิด หรือจุดปิด ได้สูงสุดถึง 6 จุดสาหรับแต่ละช่วง A และ B นั่นคือ
สาหรับช่วงบนเส้นจานวน A, B ใด ๆ เราสามารถกาหนดให้เป็นช่วงบนเส้นจานวนซึ่งประกอบด้วยช่วง
ย่อยได้สูงสุด 3 ช่วง
จากรูปที่ 3.2 จะสังเกตเห็นกรอบสี่เหลี่ยมทางด้านขวาล่างของหน้าต่างประกอบด้วย การดาเนินการ
ของช่วง ได้แก่ A, B, A  B, A  B, A  B และ B  A ซึ่งผู้เรียนสามารถคลิกเลื่อนแถบเลือกไปยังการ
ดาเนินการที่ต้องการได้ เมื่อเลือกการดาเนินการที่ต้องการแล้ว แถบสีเขียวใต้เส้นจานวนแสดงกราฟผลลัพธ์
ของการดาเนินการที่เลือกไว้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3.1 กาหนดให้ A   5, 0  3, 8

B   1,  
ผู้เรียนสามารถทบทวนเรื่อง การดาเนินการต่าง ๆ กับช่วงที่ซับซ้อนขึ้นดังขั้นตอนต่อไปนี้
 กาหนดช่วง A   5, 0  3, 8 โดยการคลิกเลือกจุดปิด หรือจุดเปิดทั้งหมด 4 จุด ลากไปยัง
แถบสีฟ้าเพื่อสร้างช่วง A ซึ่งประกอบด้วย 2 ช่วงย่อย
 กาหนดช่วง B  1,   โดยการเลือกจุดปิดและจุดเปิดทั้งหมด 2 จุด ลากไปยังแถบสีชมพูเพื่อ
สร้างช่วง B
 ผู้ เ รี ย นสามารถหาผลลั พ ธ์ ข องการด าเนิ น การต่ า ง ๆ โดยการเลื่ อ นแถบด าเนิ น การไป ยั ง การ
ดาเนิ น การที่ ต้ องการจะได้ ผ ลลัพ ธ์ ใ นรู ปช่ ว ง รูป เซต และกราฟบนเส้น จ านวน (แถบสี เ ขี ย ว)
ดังต่อไปนี้

1. 2.

A B

32


3. 4.

AB AB

5. 6.

AB BA

ตัวอย่างที่ 3.2 กาหนดให้ A   ,  1   3, 5

B   5, 3  7, 9
ผู้เรียนสามารถทบทวนการดาเนินการต่าง ๆ ของช่วง A และ B และสังเกตผลลัพธ์ที่เกิดขึนจาก
้
การดาเนินการนั้น ๆ ดังต่อไปนี้

33


1. 2.

A B

3. 4.

AB AB

5. 6.

AB BA

34


ตัวอย่างที่ 3.3 กาหนดให้ A   9,  2   0, 3   4, 7

B   ,  5   2, 7
ผู้เรียนสามารถทบทวนการดาเนินการต่าง ๆ ของช่วง A และ B และสังเกตผลลัพธ์ที่เกิดขึนจาก
้
1. 2.

A B

3. 4.

AB AB

35


5. 6.

AB BA

ตัวอย่างที่ 3.4 กาหนดให้ A   ,  7  0, 3   5, 9

B   7, 0    3, 5   9,  
ผูเ้ รียนสามารถทบทวนการดาเนินการต่าง ๆ ของช่วง A และ B และสังเกตผลลัพธ์ที่เกิดขึนจาก
้
1. 2.

A B

36


3. 4.

AB AB

5. 6.

AB BA

37



38



ผู้เรียนได้ศึกษาเนื้อหาเรื่องเซตรวมถึงจานวนจริง จากสื่อการสอนเรื่องเซตและจานวนจริง มาแล้ว
ซึ่งสื่อปฏิสัมพันธ์ในหัวข้อนี้จะนาความรู้ในส่วนเนื้อหามาประกอบกั บสื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้น
จานวนในหัวข้อ 1-3 ที่ผ่านมาประยุกต์ใช้แก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับอสมการ และแสดงผลเฉลยของคาตอบใน
รูปช่วง รูปเซต และกราฟบนเส้นจานวน ดังตัวอย่างในสื่อปฏิสัมพันธ์หัวข้อช่วงและอสมการนี้เอง ซึ่งในขั้น
แรกผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง ช่วงและการแก้อสมการ แล้วจึงเข้าสู่ หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้
ซึ่งหน้าจอแสดงดังนี้

เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าต่างเนื้อหาจานวน 6 หน้าต่อเนื่องกัน
ซึ่งเป็นสื่ออธิบายตัวอย่างเกี่ยวกับ อสมการ และการนาเสนอผลเฉลยในรูปช่วง รูปเซต และกราฟบนเส้น
จานวนของ 3 ตัวอย่างที่แตกต่างกันต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 : จงแก้สมการ 1

1

1

1
x x6 x2 x4
วิธีทา ขั้นที่ 1 : ทาการบวกเศษส่วนแต่ละข้างของอสมการ
2x  6 2x  6

x  x  6  x  2  x  4 

ขั้นที่ 2 : ย้ายข้างให้ทั้งสองพจน์อยู่ข้างเดียวกันพร้อมดึงตัวร่วม
2x  6 2x  6
  0
x  x  6  x  2  x  4 
 1 1 
 2x  6      0
 x  x  6
  x  2  x  4  


39


ขั้นที่ 3 : รวมเศษส่วนและจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
  x  2  x  4   x  x  6  
 2x  6     0
 x  x  2  x  4  x  6  
 
 x  6x  8  x  6x 
2 2
2  x  3    0
 x  x  2  x  4  x  6  
 
16  x  3
 0
x  x  2  x  4  x  6 
x3
นั่นคือ  0
x  x  2  x  4  x  6 

ขั้นที่ 4 : ผลเฉลยที่ได้จากอสมการในขั้นที่ 3 จะต้องไม่เป็น 0, -2, -4, -6 ซึ่งเป็นค่าที่ทาให้ส่วนเป็น
ศูนย์ และ x จะต้องไม่เท่ากับ -3 อีกด้วย เนื่องจากเศษส่วนทางซ้ายมีค่าน้อยกว่าศูนย์ เมื่อ
เปิดหน้าถัดไปในสื่อจะสังเกตได้ว่า ช่วงคาตอบของตัวอย่างนี้จะแสดงจุดเปิดที่ทั้งห้าค่า
ข้างต้น

ขั้นที่ 5 : จุดเปิดทั้งห้าแบ่งช่วงบนเส้นจานวนออกเป็น 6 ช่วงย่อย เราจะพิจารณาผลเฉลยของแต่ละ
ช่วงย่อยว่าช่วงใดจะสอดคล้องกับอสมการข้างต้น โดยพิจารณาเครื่องหมายของแต่ละพจน์
ในเศษส่วนทางซ้ายของอสมการ ดังตาราง

พจน์ x  6 6  x  4 4  x  3 3  x  2 2  x  0 x0

x      

x2      
x3      

x4      
x6      
x3
     
x  x  2  x  4  x  6 

40


ขั้นที่ 6 : ผู้เรียนจะสังเกตได้อย่างชัดเจนว่าช่วงคาตอบของอสมการในตัวอย่างนี้คือ
 ,  6   4,  3   2, 0  ซึ่งแสดงอยู่ในหน้าต่าง “ช่วงคาตอบของตัวอย่างที่ 1”
ในสื่อนั่นเอง

ตัวอย่างที่ 2 : จงแก้สมการ x 3  2 x  x  2  3 x
วิธีทา ขั้นที่ 1 : พิจารณาเงื่อนไขของอสมการจะต้องได้ว่า
x  3  0 และ 2  x  0

x  2  0 และ 3  x  0

จะได้ว่า x  3 และ x  2 นั่นคือ x 3, 2
x  2 และ x  3 นั่นคือ x 2, 3
เพราะฉะนั้นช่วงเงื่อนไขของอสมการคือ  3, 2  2, 3  2, 2

ขั้นที่ 2 : เนื่องจากแต่ละข้างของอสมการไม่ติดลบ เราจึงยกกาลังสองทั้งสองข้าง
 x  3  2  x  3 2  x    2  x    x  2   2  x  2  3  x    3  x 
 x  3 2  x    x  2  3  x 
ยกกาลังสองทั้งสองข้างอีกครั้งจะได้
 x  3 2  x    x  2  3  x 
6xx 2
 6  x  x2
0  2x
x  0

41


ขั้นที่ 3 : ดังนั้นคาตอบของสมการคือ  2, 2   , 0  2, 0

ตัวอย่างที่ 3 : จงแก้สมการ x  3  x  1  10
วิธีทา แนวคิ ดในการท าโจทย์ ข้ อนี้ผู้เรีย นจะต้องใช้ความรู้เรื่องค่าสัมบูรณ์เข้ามาช่วยในการพิ จารณา
สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ
x เมื่อ x  0
x 
x เมื่อ x  0
x เมื่อ x  0
หรือ x 
x เมื่อ x  0

ดังนั้นในการแก้อสมการในตัวอย่างที่ 3 เราจะต้องทาการถอดค่าสัมบูรณ์ออก
 x  3 เมื่อ x  3
x 3 
  x  3 เมื่อ x  3
และ
 x  1 เมื่อ x   1
x 1 
  x  1 เมื่อ x   1

ซึ่งเราสามารถแบ่งกรณีพิจารณาการแก้อสมการข้างต้นได้ดังนี้
กรณีที่ 1 : x   1 จึงได้วา x  3 ด้วย
่
จะได้สมการเป็น   x  3   x  1  10
2x  2  10
8
x  4
2

42


คาตอบในกรณีนี้คือ x   ,  1 และ x 4,  
นั่นคือ x   ,  1   4,     4,  1

กรณีที่ 2 : 1  x  3

จะได้สมการเป็น   x  3   x  1  10
4  10 ซึ่งเป็นจริงเสมอ
คาตอบในกรณีนี้คือ x   1, 3 และ x เป็นจานวนจริงใด ๆ
นั่นคือ x   1, 3   ,     1, 3

กรณีที่ 3 : x  3 จึงได้ว่า x   1 ด้วย
จะได้สมการเป็น  x  3   x  1  10
2x  12
x  6

43


คาตอบในกรณีนี้คือ x  3,   และ x   , 6
นั่นคือ x  3,     , 6  3, 6

เพราะฉะนั้นเมื่อรวมคาตอบจากทั้งสามกรณี จะได้ช่วงคาตอบของอสมการนี้คือ
 4,  1   1, 3  3, 6   4, 6

44



45



จากการศึกษาช่วงบนเส้นจานวนในหัวข้อต่าง ๆ ที่ผ่านมา ผู้เรียนจะได้ฝึกฝนทบทวนความรู้ในการ
ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์กับแบบฝึกหัดในหัวข้อต่อไปนี้
5.1 กราฟของช่วงบนเส้นจานวน
5.2 การดาเนินการของช่วง
5.3 การแก้อสมการ
ทั้งนี้ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง แบบฝึกหัด แล้วเข้าสู่หน้าสารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ ซึ่งหน้าจอจะแสดง
ดังนี้

เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอเนื้อหาจานวน 6 หน้าต่อเนื่องกันซึ่งประกอบด้วยแบบฝึกหัด
3 หัวข้อข้างต้น

46


5.1 แบบฝึกหัด (กราฟของช่วงบนส้นจานวน)

เราจะใช้กราฟของช่วงบนเส้นจานวนในหน้าต่างถัดไปช่วยแสดงกราฟของช่วงต่าง ๆ ในแบบฝึกหัด
1.  1, 3 2.  , 7 

3.  ,   4.  3, 0  5, 9 

47


5.  ,  4   4, 8 6. 1, 2  3, 4  5,  

7.  ,  7   1, 2   6,   8.  8,  6   5, 7   0

9.  ,  5  4, 7 10. 1, 2, 3

48


ผู้เรียนจะสังเกตได้ว่าในข้อ 8-10 จะมีช่วงซึ่งเป็นเซตของจุดเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งเราสามารถกาหนดกราฟของ
จุดบนเส้นจานวนโดยการลากจุดปิดไปวางยังตาแหน่งเดียวกันที่ค่าตามต้องการ 2 จุด ตัวอย่างเช่น
0 ผู้เรียนคลิกที่จุดปิดและลากไปวางยังตาแหน่งที่ตรงกับ 0 บนเส้นจานวน 2 จุด จะปรากฏภาพดังหน้าจอ

ผู้เรียนปฏิบัติแบบเดียวกันสาหรับเซตที่มีมากกว่า 1 จุด

49


5.2 แบบฝึกหัด (การดาเนินการของช่วง)

จากแบบฝึกหัดที่กาหนดให้ ผู้เรียนสามารถใช้ช่วงบนเส้นจานวนในหน้าการดาเนินการของช่วงเพื่อ
แสดงกราฟของการดาเนินการบนช่วงที่โจทย์กาหนดได้ดังนี้

1. A   5, 7 และ B   7, 5

A B

50


AB AB

AB BA

2. A   3, 2   5, 8 และ B   2, 3   4, 7 

A B

51


AB AB

AB BA

3. A   ,  2  1, 6   8 และ B   6, 3   4,  

A B

52


AB AB

AB BA

4. A   7, 1   2, 4   6,   และ B   , 3   4, 7   9

A B

53

23 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจำนวน

23 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจำนวน

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 23 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจำนวน

Similar to 23 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจำนวน (20)

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

23 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจำนวน