Analisis regresi linier sederhana

7
BAB II.
REGRESI LINIER SEDERHANA
2.1 Pendahuluan
Gejala-gejala alam dan akibat atau faktor yang ditimbulkannya dapat diukur atau
dinyatakan dengan dua kategori yaitu fakta atau data yang bersifat kuantitatif dan fakta
atau data yang bersifat kualitatif.
Dalam pembicaraan ini akan diuraikan masalah regresi dan korelasi, sebagai pengukur
hubungan antara dua variabel atau lebih. Dalam pembicaraan regresi dan korelasi data
yang dianalisis harus bersifat kuantitatif atau terukur atau terhitung atau dapat
dikuantitatifkan; jadi sekurang-kurangnya data dengan skala interval. Data kuantitatif
dapat dibedakan atas dua macam yaitu: Data atau pernyataan yang bersifat bebas
adalah pernyataan yang ditentukan dengan mana suka atau bebas pilih. Pernyataan ini
sering disebut dengan variabel bebas atau variabel bebas atau variabel atau prediktor
atau independent variable. Data atau pernyataan yang tergantung atau terikat pada
variabel bebas disebut dengan variabel tak bebas atau variabel tergantung atau variabel
tak bebas atau variabel endogen atau kreterium atau dependent variable.
Apakah perlunya mempelajari regresi dan korelasi ?. Tujuan mempelajari regresi dan
korelasi adalah untuk menemukan atau mencari hubungan antarvariabel, sebagai dasar
untuk dapat dipakai melakukan penaksiran atau peramalan atau estimasi dari hubungan
antarvariabel tersebut.
2.2 Pengertian Regresi dan Korelasi
Telah dinyatakan dimuka bahwa regresi atau korelasi adalah metode yang dipakai untuk
mengukur hubungan antara dua variabel atau lebih. Kedua metode regresi maupun
korelasi sama-sama dipakai untuk mengukur derajat hubungan antarvariabel yang
bersifat korelasional atau bersifat keterpautan atau ketergantungan. Penggunaan regresi
adalah sebagai pengukur bentuk hubungan, dan korelasi adalah sebagai pengukur
keeratan hubungan antarvariabel.
Kedua cara pengukur hubungan tersebut mempunyai cara perhitungan dan syarat
penggunaannya masing-masing. Penjelasan mengenai perbedaan antara regresi dan
korelasi dalam pemakaiannya atau penerapannya terletak pada:
1. Regresi adalah pengukur hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan
dengan bentuk hubungan atau fungsi. Untuk menentukan bentuk hubungan
(regresi) diperlukan pemisahan yang tegas antara variabel bebas yang sering diberi
simbul X dan variabel tak bebas dengan simbul Y. Pada regresi harus ada variabel
yang ditentukan dan variabel yang menentukan atau dengan kata lain adanya
ketergantungan variabel yang satu dengan variabel yang lainnya dan sebaliknya.
Kedua variabel biasanya bersifat kausal atau mempunyai hubungan sebab akibat
yaitu saling berpengaruh. Sehingga dengan demikian, regresi merupakan bentuk
fungsi tertentu antara variabel tak bebas Y dengan variabel bebas X atau dapat
dinyatakan bahwa regresi adalah sebagai suatu fungsi Y = f(X). Bentuk regresi
tergantung pada fungsi yang menunjangnya atau tergantung pada persamaannya.
2. Korelasi adalah pengukur hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan
dengan derajat keeratan atau tingkat hubungan antarvariabel-variabel. Mengukur
derajat hubungan dengan metode korelasi yaitu dengan koefisien korelasi r. Dalam
hal ini, dengan tegas dinyatakan bahwa dalam analisis korelasi tidak
mempersoalkan apakah variabel yang satu tergantung pada variabel yang lain atau
sebaliknya. Jadi metode korelasi dapat dipakai untuk mengukur derajat hubungn
antarvariabel bebas dengan variabel bebas yang lainnya atau antar fua variabel.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

8
Perlu ditekankan bahwa penggunaan metode korelasi untuk mengukur hubungan
antarvariabel yang satu dengan variabel yang lain, hendaknya anrata variabel itu
diharapkan mempunyai kaitan atau relevansi. Jangan sekali-sekali menghubungkan atau
mengkorelasikan variabel-variabel yang sangat jauh atau mustahil atau relevansinya
sangat kecil.
Beberapa contoh penggunaan korelasi dan regresi seperti di bawah ini.
1). Banyaknya anakan dengan produksi padi.
2). Kepadatan penduduk dengan upah buruh harian.
3). Berat induk sapi dengan berat anak yang baru dilahirkan.
4). Nilai yang diperoleh pada mata ajaran statistika dengan matematika.
5). Umur dengan berat badan anak balita.
6). Kadar air pada biji dan volume biji.
7). Luas daun dengan panjang akar.
8). Besar buah dengan besar biji.
9). Biaya advertensi dengan jumlah penjualan.
10). Fluktuasi temperatur dengan jumlah anak-anak yang sakit pilek.
Selain contoh di atas, masih banyak lagi contoh yang lain yang serupa. Dari contoh-
contoh di atas dapat dilakukan pendekatan yang sesuai seperti: analisis regresi dapat
dipakai pada contoh-contoh nomer: 1; 2; 3; 5; dan 9. Sedangkan, analisis korelasi dapat
dipakai pada semua contoh di atas.
2.3 Macam-macam Regresi
Telah disebutkan di muka bahwa regresi adalah bentuk hubungan antara variabel bebas
X dengan variabel tak bebas Y, yang dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis Y = f(X).
Sehingga persamaan regresi atau bentuk fungsi, sesuai dengan variabel bebas X yang
menyusunnya. Dengan demikian bentuk fungsi atau regresi dapat digolongkan menjadi
beberapa macam yaitu:
2.3.1 Regresi linier.
Regresi linier ialah bentuk hubungan di mana variabel bebas X maupun variabel
tergantung Y sebagai faktor yang berpangkat satu.
Regresi linier ini dibedakan menjadi:
1). Regresi linier sederhana dengan bentuk fungsi: Y = a + bX + e,
2). Regresi linier berganda dengan bentuk fungsi: Y = b0 + b1X1 + . . . + bpXp + e
Dari kedua fungsi di atas 1) dan 2); masing-masing berbentuk garis lurus (linier
sederhana) dan bidang datar (linier berganda).
2.3.2 Regresi non linier.
Regresi non linier ialah bentuk hubungan atau fungsi di mana variabel bebas X dan atau
variabel tak bebas Y dapat berfungsi sebagai faktor atau variabel dengan pangkat
tertentu. Selain itu, variabel bebas X dan atau variabel tak bebas Y dapat berfungsi
sebagai penyebut (fungsi pecahan), maupun variabel X dan atau variabel Y dapat
berfungsi sebagai pangkat fungsi eksponen = fungsi perpangkatan.

9
Regresi non linier dapat dibedakan menjadi:
1). Regresi polinomial ialah regresi dengan sebuah variabel bebas sebagai faktor
dengan pangkat terurut. Bentuk-bentuk fungsinya adalah sebagai berikut.
Y = a + bX + cX2
(fungsi kuadratik).
Y = a + bX + cX
2
+ bX
3
(fungsi kubik)
Y = a + bX + cX
2
+ dX
3
+ eX
4
(fungsi kuartik),
Y = a + bX + cX2
+ dX3
+ eX4
+ fX5
(fungsi kuinik), dan seterusnya.
Selain bentuk fungsi di atas, ada suatu bentuk lain dari fungsi kuadratik, yaitu dengan
persamaan:
Y = a + bX + c√X. bentuk ini dapat ditulis menjadi:
Y = a + bX + cX
(1/2)
,
Sehingga, modifikasi dari fungsi kubik adalah:
Y = a + bX + cX
(1/2)
+ dX
(3/2)
, atau
Y = a + b√X + cX + d√X
3
.
Dari contoh-contoh tersebut di atas perhatikan pangkat dari variabel bebas X.
2). Regresi hiperbola (fungsi resiprokal). Pada regresi hiperbola, di mana variabel
bebas X atau variabel tak bebas Y, dapat berfungsi sebagai penyebut sehingga
regresi ini disebut regresi dengan fungsi pecahan atau fungsi resiprok. Regresi ini
mempunyai bentuk fungsi seperti:
1/Y = a + bX atau
Y = a + b/X.
Selain itu, ada bentuk campuran seperti:
1/Y = a + bX + cX
2
, dan masih banyak lagi bentuk-bentuk lainnya.
3). Regresi fungsi perpangkatan atau geometrik. Pada regresi ini mempunyai
bentuk fungsi yang berbeda dengan fungsi polinomial maupun fungsi eksponensial.
Regresi ini mempunyai bentuk fungsi: Y = a + b
X
.
4). Regresi eksponensial. Regresi eksponensial ialah regresi di mana variabel
bebas X berfungsi sebagai pangkat atau eksponen. Bentuk fungsi regresi ini dalah:
Y = a e
bX
atau
Y = a 10
bX
.
Modifikasi dari bentuk di atas adalah:
1/Y = a + be
cX
, ini disebut kurva logistik atau "tipe umum dari model
pertumbuhan".
Modifikasinya juga seperti :
Y = e
(a + b/X)
, disebut dengan transformasi logaritmik resiprokal, yang umum
disebut dengan model Gompertz.

10
5). Regresi logaritmik. Bentuk fungsi dari regresi adalah: di mana variabel bebas Y
berfungsi sebagai pangkat (eksponen) dan variabel bebas X mempunyai bentuk
perpangkatan.
Model regresi ini adalah:
e
Y
= a + b
X
atau dapat di tulis menjadi:
Y = ln a + b ln X (merupakan trasformasi lilier)
6). Regresi fungsi geometri. Bentuk dari fungsi ini adalah berupa bentuk regresi linier
berganda di mana dalam fungsi ini terdapat fungsi trigonometri.
Bentuk yang paling sederhana dari fungsi ini adalah:
Y = a + b sin dX + c cos dX.
Bentuk fungsi ini disebut kurva Faurier. Selain itu, ada lagi bentuk-bentuk yang lebih
kompleks seperti:
Y = a + b sin X + c cos X + d sin
2
X + e cos
2
X +…; dan seterusnya.
2.4 K o r e l a s i
Pembicaraan mengenai keeratan hubungan atau korelasi yang diukur dengan tingkat
atau derajat keeratan hubungan. Tingkat atau derajat keeratan hubungan dapat diukur
dengan memakai, koefisien korelasi dengan simbul r untuk bubungan linier sederhana
dan indeks korelasi dengan simbul R untuk hubungan bukan linier sederhana. Koefisien
korelasi r dipakai hanya untuk menyatakan keeratan hubungan yang bersifat linier
sederhana, sedangkan indeks korelasi R untuk menyatakan keeratan hubungan dari
bentuk-bentuk linier berganda dan bentuk non linier. Indeks korelasi R sering disebut
juga koefisien korelasi berganda. Selain koefisien korelasi sederhana r, dan indeks
korelasi R, terdapat juga modifikasi atau fraksi dari R, yang disebut dengan
koefisien korelasi parsiil, korelasi rank, korelasi serial, dan korelasi biserial, korelasi
kotingensi, dan korelasi kanonikal.
Apabila r dan R, jika dikuadratkan akan memberikan suatu nilai tertentu yaitu r
2
atau R
2
yang kadang-kadang nilai r
2
atau R
2
keduanya diberi simbul yang sama yaitu R
2
atau D.
Kedua nilai D atau R
2
disebut koefisien determinasi atau koefisien penentu atau indeks
penentu. Selanjutnya, mengenai korelasi dan modifikasinya akan dibicarakan tersendiri
setelah pembicaraan regresi.
Perlu ditekankan lebih luas bahwa hubungan dapat dibuat regresinya, demikian pula,
tidak semua variabel atau gejala-gejala alam dapat dicari korelasinya. Oleh karena itu,
agar lebih berhati-hati dalam menggunakan alat statistika ini di dalam penarikan
kesimpulan, lebih-lebih membuat suatu keputusan yang lebih jauh.
Akan tetapi, yang jelas bahwa kedua alat ukur tersebut di atas dapat memberikan
sumbangan atau pandangan yang lebih jauh terhadap masalah yang dihadapi, karena
terutama analisis regresi mempunyai daya ramal atau daya taksir yang menyakinkan
apabila diuji dengan taraf nyata yang peka atau jitu. Dan inilah yang merupakan tujuan
pembicaraan yang pokok pada analisis regresi dan korelasi selanjutnya.
2.5 Regresi Linier Sederhana
Telah dijelaskan di muka bahwa regresi adalah membicarakan bentuk hubungan atau
fungsi antara dua variabel atau lebih. Perlu ditekankan bahwa dalam bentuk hubungan
tersebut terdapat sebuah variabel tak bebas Y, dengan sekurang-kurangnya sebuah
variabel bebas X. Untuk mendapatkan bentuk hubungan yang sesuai antara variabel
bebas X dengan variabel tak bebas Y maka kedua variabel tersebut harus dinyatakan
dalam nilai yang terukur atau kuantitatif sekurang-kurangnya dengan skala interval.

11
Dari variabel-variabel yang akan dicari bentuk hubungannya terlebih dahulu
hendaknya dijelaskan mana yang sebagai variabel bebas X dan mana yang sebagai
variabel tak bebas Y.
Dalam hal-hal tertentu, penentuan variabel bebas X dan variabel tak bebas Y sangat
mudah, tetapi kadang-kadang hal tersebut sangat sulit ditelusuri antara yang mana
variabel bebas X maupun yang mana variabel tak bebas Y.
Apabila hubungan antara dua variabel atau lebih bersifat kausal atau hubungan
sebab-akibat, maka variabel yang sebagai sebab merupakan variabel bebas atau
variabel X dan akibat yang ditimbulkannya menjadi variabel tak bebas atau variabel Y.
Setelah jelas mana variabel X dan variabel Y, maka selanjutnya perlu menentukan pola
hubungan atau bentuk hubungan yang dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik
yang menyatakan hubungan fungsionalnya. Sehingga segala analisis statistika yang
berkaitan dengan hal tersebut dinamakan dengan analisis regresi.
Apakah beda antara analisis regresi dengan analisis-analisis yang lain ? Sebagai contoh
apa perbedaan antara analisis regresi dengan analisis keragaman atau analisis varians,
perbedaan tersebut terletak pada yaitu: dalam analisis keragaman tidak mencari bentuk
hubungan antara variabel-variabel seperti pada analisis regresi, melainkan mencari
perbedaan pengaruh perlakuan atau objek, yaitu perbedaan antara variabel bebas X atau
variabel yang dipelajari; dengan mengukur respon dari perlakuan atau variabel X yang
dinyatakan dengan variabel tak bebas Y yang sering disebut hasil atau akibat perlakuan.
Tujuan utama dari analisis regresi adalah untuk memberikan dasar-dasar peramalan atau
pendugaan dalam analisis peragam atau analisis kovarian. Analisis regresi sebagai alat
untuk melakukan peramalan atau prediksi atau estimasi atau pendugaan yang sangat
berguna bagi para pembuat keputusan.
Biasanya variabel tak bebas Y adalah variabel yang diramalkan dan variabel bebas X
yang telah ditetapkan sebagai peramal yang disebut prediktor. Untuk membuat ramalan
antara variabel X dengan variabel Y, maka variabel X dan variabel Y tersebut harus
mempunyai hubungan yang kuat. Kuat tidaknya hubungan antara variabel bebas X dan
variabel tak bebas Y didasarkan pada analisis korelasi. Jadi antara analisis korelasi dan
analisis regresi mempunyai kaitan yang sangat erat (akan dibicarakan di belakang).
2.5.1 Persamaan regresi linier sederhana
Bentuk hubungan yang paling sederhana antara variabel X dengan variabel Y adalah
berbentuk garis lurus atau berbentuk hubungan linier yang disebut dengan regresi linier
sederhana atau sering disebut regresi linier saja dengan persamaan matematikanya
adalah sebagai berikut:
[2.1]. Y = A + BX
Apabila A dan B mengambil nilai seperti: A = 0 dan B = 1,persamaan [2.1] akan menjadi:
[2.2]. Y = X
Persamaan [2.2] adalah suatu bentuk persamaan yang paling sederhana dari regresi
linier sederhana. Dari persamaan [2.1] A dan B disebut konstanta atau koefisien regresi
linier sederhana atau parameter garis regresi linier sederhana. A disebut intercept
coefficient atau intersep yaitu jarak titik asal atau titik acuan dengan titik potong garis
regresi dengan sumbu Y; dan B disebut slope coefficient atau slup yang menyatakan
atau menunjukkan kemiringan atau kecondongan garis regresi terhadap sumbu X. Dari
persamaan garis regresi [2.1] di atas, dalam hubungan tersebut terdapat satu variabel
bebas X dan satu variabel tak bebas Y.
Sebagai ilustrasi hubungan antara variabel bebas X dan variabel tak bebas Y diberikan
contoh dari persamaan [2.1] yaitu pengaruh tingkat pendapatan dengan konsumsi
makanan bagi petani pedesaan, seperti pada Tabel 2.1 berikut ini.

12
Tabel 2.1. Pengaruh Tingkat Pendapatan terhadap Konsumsi
Makanan Bagi Petani
No. Pendapatan Konsumsi
1 125 75
2 150 100
3 175 125
4 200 135
5 225 150
Dari gambar contoh di bawah menunjukkan semakin tinggi pendapatan sampai
Rp 225.000 maka komsumsi makanan semakin meningkat. Sehingga dari pasangan-
pasangan nilai X,Y tersebut dapat dicari bentuk hubungan atau garis regresi antara
variabel bebas Y atas variabel tak bebas X yang dtulis dengan Y/X.
Dari Tabel 2.1 di atas dapat dibuat garis regresi liniernya seperti Gambar 2.1 berikut:
0
25
50
75
100
125
150
175
100 125 150 175 200 225 250
Pendapatan (X)
Konsumsi(Y)
Gambar 2.1. Model Linier Garis Regresi
2.5.2 Garis regresi linier sederhana
Sekarang bagaimana caranya membuat persamaan garis regresi linier sederhana seperti
Gambar 2.1 di atas, yang mempunyai bentuk persamaan matematis: Y = A + BX
seperti pada persamaan [2.1].
Penentuan garis regresi antara variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y, sering
disebut regresi Y atas X ditulis dengan Y/x, yang mempunyai pengertian bahwa: setiap
variabel bebas X akan memberikan atau menghasilkan suatu nilai variabel tak bebas Y
yang tertentu; sehingga antara variabel X dan variabel Y yang tertentu akan menjadi
pasangan-pasangan tetap disebut dengan pasangan nilai X,Y. Setiap pasangan nilai X,Y
merupakan hubungan sebab (X) dan akibat (Y). Sejumlah pasangan antara nilai X,Y
inilah yang akan menentukan persamaan regresi yang dibuat sesuai dengan asumsi atau
model yang digunakan.
Bagaimana persamaan regresi akan ditentukan jika hasil pengamatan atau yang berupa
pasangan-pasangan nilai pengamatan antara X,Y telah didapatkan.
A
B

13
2.5.3 Penetuan garis regresi linier sederhana
Untuk menentukan garis regresi berdasarkan pasangan-pasangan nilai X,Y diberikan dua
metode yang umum yaitu:
1). Metode tangan bebas. Metode tangan bebas merupakan suatu metode yang
berdasarkan kira-kira dari diagram titik atau diagram pencar atau scatter diagram
yang diperoleh dari hasil pengamatan antara variabel X dan variabel Y. Diagram
pencar didapatkan dengan menggambar titik-titik pasangan pengamatan antara X
dan Y atau X,Y pada suatu sistem salib sumbu atau sistem koordinat. Dengan
memperhatikan letak titik-titik pasangan pada absis X dan ordinat Y, maka
kumpulan titik-titik tersebut dapat memberi petunjuk untuk memperkirakan garis
regresi yang akan dibuat. Metode ini hanya dapat dilakukan oleh seorang ahli dan
berpengalaman seperti pada Gambar 2.2.
2). Pendekatan matematis dengan metode kuadrat terkecil atau least squares
method atau sering disebut dengan metode ordinary list squares (OLS). Bahwa
suatu garis regresi yang akan didapat dan akan mendekati titik-titik pasangan X,Y.
Tentu saja atau pada umumnya tidak dapat ditarik atau digambarkan suatu garis
regresi yang sederhana, yang dapat melalui semua titik-titik pasangan X,Y.
Jika pencaran atau sebaran titik pasangan X,Y tersebut disekitar garis lurus, maka cukup
beralasan untuk menduganya dengan persamaan regresi linier sederhana atau regresi
garis lurus. Dilain pihak, jika sebaran titik-titik pasangan X,Y tersebut bukan linier, tetapi
melengkung atau non linier yang paling menghampiri. Untuk hal tersebut dan
menentukan analisis dan gambarnya dapat dilihat bentuk-bentuk hubungan pada buku-
buku matematika. Bentuk mana yang paling sesuai atau paling dihampiri oleh titik-titik
pasangan tersebut.
Untuk pendekatan linier atau regresi linier sederhana, perhatikan diagram pencar berikut
yang berasal dari Tabel 2.1 di muka antara tingkat pendapatan (X) dengan konsumsi (Y)
diambil sebagaian saja seperti pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2. Pengaruh Tingkat Pendapatan terhadap Konsumsi
Makanan Bagi Petani
No. Pendapatan Konsumsi
1 125 75
2 150 100
Sehingga garis regresi linier yang dapat dibuat dari Tabel 2.2 seperti pada Gambar 2.2
berikut. Garis regresi yang melalui dua buah titik pengamatan P dan Q, di mana
kedudukan kedua titik tersebut adalah bebas atau sembarang pada garis regresi yang
melewati. Maka dapat dibuat persamaannya dengan menggunakan dua buah titik.
Dasar teori, melalui dua buah titik dapat dibuat sebuah garis lurus yaitu PQ yang akan
dicari persamaannya.
Perhatikan sudut β yang sisi-sisi siku-sikunya adalah ∆Y = Y2 - Y1 dan ∆X = X2 - X1
sehingga tangen sudut β = ∆Y/∆X, maka persamaan garis PQ menjadi: Y = A + β X.
Dari persamaan tersebut dengan penyelesaian matematika sehingga akan didapatkan
bentuk persamaan liniernya seperti persamaan [2.1].

14
0
25
50
75
100
125
120 140 160
Pendapatan
Konsunsi
Gambar 2.2. Perhitungan β = ∆Y/∆X Secara Sederhana
2.6 Pendekatan Matematis Regresi Linier Sederhana
Adalah tidak mungkin untuk memperkirakan bentuk hubungan antara dua variabel atau
lebih tanpa diawali dengan membuat asumsi terlebih dahulu. Dalam beberapa hal
dimungkinkan untuk mengecek atau menguji asumsi atau hipotesis setelah bentuk
hubungan itu diperkirakan.
Suatu bentuk hubungan atau fungsi linier atau regresi linier di samping mudah
interprestasinya, juga dapat dipergunakan sebagai pendekatan bentuk hubungan yang
bukan linier (non linier) menjadi bentuk linier. Fungsi linier sama dengan persamaan
linier atau model linier atau regresi linier yang mempunyai bentuk hubungan atau bentuk
fungsi: Y = A + BX. Seperti pada persamaan [2.1] A dan B adalah konstanta, yaitu
parameter yang digunakan. A ialah: jarak titik acuan (0, 0) dengan perpotongan antara
sumbu tegak Y dengan garis linier atau besarnya nilai variabel Y, apabila nilai X = 0.
A sering disebut intersep atau intercept coefficient dan B ialah: koefisien arah adalah
koefisien garis regresi yang sama dengan tangen arah yang menunjukkan besarnya
pengaruh perubahan X terhadap perubah Y yaitu apabila variabel X naik atau turun atau
berubah satu unit satuan X, maka variabel Y bertambah atau menurun atau
berubah sebanyak B kali. B sering disebut kemiringan atau kecondongan garis
regresi atau slope atau slope coefficient adalah tangen sudut yang dibuat oleh garis
regresi dengan sumbu X.
Perhatika Gambar 2.3 di bawah ini, yang menunjukkan garis-garis regresi linier dari
beberapa pengamatan.
Oleh karena dalam pembicaraan ini hendak berusaha mencari cara untuk menentukan
persamaan garis regresi linier sederhana yang baik atau yang terbaik. Untuk itu haruslah
terlebih dahulu mengetahui apa yang dimaksud dengan garis regresi yang baik. Suatu
pertanyaan yang berhubungan dengan hal tersebut di atas adalah: "Kapankah suatu
garis regresi dapat dikatakan sebagai garis regresi yang baik?".
Dengan demikian kembali ke Gambar 2.3 di atas yang manakah dari ketiga garis
tersebut termasuk garis regresi yang terbaik, yang dipakai untuk menghampiri titik-titik P,
Q dan R. Apabila ada garis tertentu selain ketiga garis YPQ, YPR, dan YQR
yang merupakan garis regresi terbaik sebagai penghampir titik-titik pasangan
pengamatan Xi,Yi sebagai garis regresi tersebut.
Y1
Y2
∆ Y = Y2-Y1
∆X = X2 - X1
X1 X2
β
A
P
Q

15
0
25
50
75
100
125
150
120 140 160
Pendapatan
Konsunsi
Gambar 2.3. Penggambaran Regresi Penduga Ŷ = α + β X
Sebuah garis dikatakan sebagai garis regresi terbaik yang disebut dengan garis regresi
penduga diberi simbul dengan: Ŷ (dibaca Y topi atau Y cup atau Y penduga).
Sehingga garis regresi linier sederhana dengan persamaan penduga menjadi :
[2.3a]. Ŷ = α + β X atau ditulis dengan
[2.3b]. Ŷ = β0 + β1 X atau untuk populasi
[2.3c]. Ŷ = β1 + β2 X
[2.4a]. Ŷ = a + b X atau ditulis dengan
[2.4b]. Ŷ = b0 + b1 X atau untuk sampel
[2.4c]. Ŷ = b1 + b2 X
Suatu hal yang harus dipahami bahwa dalam pendugaan garis regresi, besarnya nilai
variabel tak bebas Y, tidak hanya tergantung pada variabel bebas X saja, tetapi ada
faktor-faktor lain yang ikut mempengaruhi. Faktor-faktor tersebut secara keseluruhan
dinamakan kesalahan pengganggu (disturbance error) yang diberi simbul dengan e.
Kadang-kadang nilai e diartikan faktor-faktor tertentu yang belum diketahui penyebabnya
atau faktor-faktor yang belum dijelaskan.
Faktor-faktor tersebut yang dapat terdiri atas: salah hitung, salah catat, salah ukur, alat
kurang sempurna, dan nilai-nilai kebetulan, serta banyak lagi nilai-nilai yang lainnya.
Kesalahan pengganggu e tersebut menyebabkan ramalan menjadi kurang tepat terhadap
garis regresi penduga seperti:
[2.5]. Ŷ = A + BX untuk populasi
Jadi kesalahan e tersebut dapat mengakibatkan adanya resiko. Oleh karena itu, resiko
tersebut hendaknya dibuat sekecil-kecilnya atau minimal. Untuk melakukan dugaan atau
membuat keputusan selalu ada resiko walaupun betapa kecilnya.
P
Q
R
Ŷ = α + β X

16
Karena dalam suatu pendugaan nilai A dan B tidak dapat dihitung (belum diketahui
nilainya), biasanya ditaksir dengan nilai a dan b atau dengan nilai b0 dan b1; sehingga
garis regresi linier penduga mempunyai bentuk persamaan:
[2.6]. Ŷ = b0 + b1 X untuk sampel
Jadi a dan b atau b0 dan b1 sebagai penaksir A dan B.
Hubungan antara nilai kesalahan e, dengan nilai penduga Ŷ dan dengan nilai
pengamatan Yi dapat ditulis:
[2.7a]. Ŷ = b0 + b1 X dan Yi = Ŷ + e atau
[2.7b]. e = Yi - Ŷ
Untuk sejumlah n pasangan pengamatan, maka penulisannya menjadi seperti:
[2.8]. ei = Yi - (b0 + b1 X)
Nilai e sebagai penduga nilai kesalahan E adalah kesalahan penggangu populasi dan e
adalah kesalahan penganggu sampel.
Nilai e dapat berharga positif bila nilai pengamatan Yi berada di atas garis penduga Ŷ;
dapat berharga negatif bila nilai pengamatan Yi berada di bawah garis penduga Ŷ; dan
dapat pula berharga nol bila nilai pengamatan Yi berada tepat pada garis penduga Ŷ.
Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3 dengan menggambar scatter diagram dengan
Ŷ, Yi, dan ei.
0
25
50
75
100
125
150
120 130 140 150 160
Pendapatan
Konsumsi
Gambar 2.3. Nilai Penduga Ŷ, Nilai Pengamatan Yi, dan Nilai
Kesalahan Penganggu ei
Y2
e2 (-)
Ŷ
e1
(+
(+) e3

17
2.7 Pendekatan Garis Penduga Terbaik
Ada beberapa cara pendekatan matematika untuk mendapatkan garis regresi penduga
yang terbaik seperti:
1. Garis penduga menjadi garis regresi terbaik apabila jumlah semua kesalahan adalah
minimal ditulis dengan: ∑ei = minimal atau ∑( Yi - Ŷ) = minimal. Sesuai dengan
teori aljabar maka akibatnya ∑ei sama dengan nol (minimal), sebab nilai negatif
mengkompen nilai positif, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.4.
2. Garis penduga merupakan garis regresi yang terbaik, apabila jumlah harga mutlak
dari nilai kesalahan atau ∑│e│ adalah minimal. Cara ini lebih baik dari cara pertama
sebab tidak ada saling kompensasi antara nilai ei yang negatif dengan positif.
3. Garis penduga merupakan garis regresi yang terbaik, apabila jumlah pangkat
dua (kuadrat) nilai kesalahan-kesalahan (ei) adalah minimal atau ditulis dengan
rumus: ∑e2
i = 0.
Cara pendekatan terakhir disebut dengan Metode Kuadrat Terkecil atau dengan
Least Squares Methods. Sampai sekarang metode kuadrat terkecil ini adalah suatu
metode yang paling ampuh pada perhitungan untuk menduga suatu garis regresi yang
terbaik dibandingkan dengan metode-metode yang lainnya. Mengapa metode kuadrat
terkecil, disebut metode yang terbaik bagi penduga garis regresi linier sederhana?. Di
antaranya terdapat suatu teorema dari Gauss–Markov yang berbunyi sebagai berikut:
Di antara penaksir-penaksir linier tak bias bagi parameter-parameter A dan B, di mana
Y = A + BX + E, penaksir pangkat dua terkecil (metode kuadrat terkecil) yang
mempunyai ragam paling kecil.
2.7.2. Metode kuadrat terkecil (OLS = ordinary least squares)
Selain, hal-hal tersebut di atas, metode kuadrat terkecil mempunyai beberapa kelebihan
daripada metode-metode lain, diantaranya:
1). Dengan memakai nilai kuadrat, maka semua nilaidari kesalahan atau
simpangan ei akan berubah menjadi positif.
2). Dengan mengkuadratkan nilai kesalahan ei yang kecil (pecahan) maka akan
diperkecil mendekati nol, dan bila nilai ini diminiumkan; sehingga garis regresi
penduga yang dihasilkan akan mendekati ketepatannya, bila digunakan
sebagai garis penduga.
3). Perhitungan matematis dari metode kuadrat terkecil cukup sederhana.
4). Selain teori kuadrat terkecil, ada suatu teori Maximum Like Lihood Estimation
yang kedua-duanya membuktikan bahwa meminimalkan kesalahan ei
merupakan estimasi atau penaksiran yang terbaik.
Suatu syarat penaksir garis atau garis penduga yang terbaik, di samping mempunyai nilai
ragam galat atau ragam kesalahan atau ragam residu atau ragam sisa yang terkecil,
tetapi harus memenuhi juga syarat-syarat yang lain yaitu:
1). Model regresi atau bentuk fungsi yang dipakai haruslah mendekati titik-titik
pasangan X,Y; dan harus betul-betul tepat atau cocok; hal ini akan dibicarakan
pada uji kecocokan garis regresi penduga.
2). Mempunyai derajad keeratan hubungan yang maksimum atau koefisien
korelasi tertinggi, yang menunjukkan hubungan antara variabel bebas X dan
variabel tak bebas Y. Hal ini akan dibahas dalam penggunaan koefisien
korelasi dalam uji garis regresi.

18
Manipulasi matematis dari metode kuadrat terkecil akan menghasilkan koefisien a dan b.
Perhatikan pertanyaan matematis dari persamaan [2.7b] yang ditulis kembali seperti:
[2.9]. ei = Yi - Ŷ
Persamaan [2.9] di atas merupakan modifikasi dari persamaan-persamaan [2.7a], [2.7b],
atau [2.8].
Pernyataan matematis di atas dapat dijabarkan menjadi:
Ŷ = b0 + b1 X dan Y = Ŷ + e sehingga ei = Yi - Ŷ dapat ditulis:
[2.10]. Yi = b0i + b1i Xi + ei
Telah disebutkan di muka, bahwa garis regresi penduga terbaik, adalah garis regresi
yang mempunyai nilai Σei
2
minimal.
Secara matematis Σei
2
minimal dapat dinyatakan dengan teori defrensial bahwa turunan
pertama dari: Σei
2
terhadap b0 dan terhadap b1 haruslah sama dengan nol atau dapat
ditulis: δΣei
2
/ δbi = 0.
Untuk memudahkan cara penulisan selanjutnya Σei
2
disamakan dengan G, jadi G = Σei
2
.
Sehingga fungsi turunan Σe
2
atau G terhadap setiap nilai b0, dan b1 adalah sebagai
berikut:
Dari teori minimum dan maksimum atau harga ekstrim dalam teori kalkulus (defrensial &
integral) dapat dinyatakan bahwa suatu fungsi f(X1, X2, . . . , Xp) akan minimum jika,
semua fungsi turunan pertama parsialnya (δY/δX) sama dengan nol; suatu syarat yang
perlu dan khusus. Oleh karena itu, dengan mengandaikan syarat kedua minimalasasi itu
telah terpenuhi, maka nilai G akan minimum jika semua fungsi turunan pertama
parsiilnya, yaitu turunan pertama parsiil dari G terhadap masing-masing nilai b0 dan b1
sama dengan nol. Dengan mengambil fungsi turunan pertama parsiil G terhadap
b0 dan b1 serta menyamakannya dengan nol, maka diperoleh dua persamaan seperti
di bawah ini.
Turunan Σe
2
i atau G terhadap b0 menjadi:
Dari persamaan [2.11] turunannya menjadi: δG/δb0 = 2 Σ(Yi - b0 - b1 Xi) (- 1) = 0
Turunan Σe
2
i atau G terhadap b1 menjadi:
Dari persamaan [2.12] turunannya menjadi: δG/δb1 = 2 Σ(Yi - b0 - b1 Xi (- Xi) = 0
Perhatikan faktor pengali yang berada dimuka tanda sama dengan (=).
Apabila dari persamaan-persamaan [2.11] dan [2.12] diselesaikan dan diubah cara
penyajiannya, maka diperoleh persamaan-persamaan seperti:
[2.13]. ΣYi - Σb0 - b1 ΣXi = 0
[2.14]. ΣYi Xi - b0 ΣXi - b1 ΣXi
2
= 0
Persamaan-persamaan [2.13] dan [2.14] di atas disebut dengan persamaan normal.
Persamaan (2.13) disebut dengan persamaan Normal 1.
Persamaan (2.14) disebut dengan persamaan Normal 2.
Perhatikan pengali dari setiap penaksir-penaksir yang berhubungan koefisien regresi
seperti b0 dan b1 Apabila syarat-syarat dalam meminimalkan G dipenuhi, maka sistem
persamaan normal dari [2.13] dan [2.14] dapat diselesaikan secara serentak untuk
menentukan besarnya nilai b0 dan b1 sebagai penaksir pangkat dua terkecil atau
Least Squares Method bagi parameter B0 dan B1.

19
Biasanya, sistem persamaan normal [2.13], dan [2.14] dapat diselesaikan secara
serentak untuk mendapatkan nilai b0 dan b1. Oleh karena jumlah sampel = n diketahui
dan jumlah-jumlah yang terdapat dalam sistem persamaan normal itu dapat dihitung dari
data sampel; dengan demikian koefisien regresi b0 dan b1 dalam analisis regresi linier
sederhana yang mengandung sebuah variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y
dapat ditaksir atau dihitung.
2.7.2 Perhitungan nilai koefisien regresi linier sederhana
Jika diperhatikan kembali sistem persaman normal dari persamaan [2.13] dan [2.14]
dapat dilihat keteraturan dari cara-cara penyelesaianya. Sehingga nilai b0 dan b1 dapat
ditentukan dengan perhitungan seperti berikut.
Dari persamaan [2.13] dapat ditentukan nilai b0 yaitu dengan membagi persamaan
tersebut dengan jumlah pengamatan (n) sehingga didapatkan persamaan dengan
penyelesaian sebagai berikut:
[2.13]. ΣYi - Σb0 - b1 ΣXi = 0 (Persamaan Normal 1)
ΣYi /n - nb0 /n - b1 ΣXi/n = 0 atau
Y - b0 - b1 X = 0 sehingga akhirnya menjadi:
[2.15]. b0 = Y - b1 X
Selanjutnya, dengan memasukkan persamaan [2.15] ke persamaan [2.14] di atas
dapat ditentukan besarnya nilai b2.
[2.16]. ΣYi Xi - b0 ΣXi - b1 ΣXi
2
= 0 (Persamaan Normal 2)
[2.16a]. ΣYi Xi - ( Y - b1 X ) ΣXi - b1 ΣXi
2
= 0 atau dapat ditulis
[2.16b]. ΣYi Xi - (ΣYi /n - b1 ΣXi/n) ΣXi - b1 ΣXi
2
= 0
Sebelum penyelesaian persamaan [2.16b] dengan modifikasi X dan Y menjadi
persamaan dengan huruf kecil dan perhatikan dengan teliti notasi perubah X dan Y yang
ditulis dengan huruf kecil x dan y pada persamaan-persamaan berikut ini.
Berikut ini diberikan hubungan antara X; Y dengan x; y:
[2.17]. x1 = (X1 - 1
X ), x2 = (X2 - 2X ), dan y = (Y -Y )
[2.18a]. Σy
2
= ΣY
2
- (ΣY)
2
/n disebut dengan JK Y
[2.18b]. Σx
2
= ΣX
2
- (ΣX)
2
/n disebut dengan JK X
[2.18c]. Σxy = ΣXY - ΣX ΣY/n disebut dengan JHK XY
Dengan menggunakan persamaan [2.18a] sampai dengan persamaan [2.18c] maka
perhitungan nilai b1 pada persamaan [2.16b] maka didapatkan nilai b1 menjadi:
[2.19a]. b1 = 2
x
xy
Σ
Σ
atau dengan menggunakan notasi lain nilai b1 menjadi:
[2.19b]. b1 =
XJK
XYJHK
atau dengan menggunakan notasi lain nilai b1 menjadi:
[2.19c]. b1 =
∑
∑
−
∑
∑ ∑
−
n
X
X
n
YX
XY
2
2 )(

20
Sehingga persamaan regresi penduga Ŷ dari suatu pengamatan atau untuk pengaruh
variabel bebas X terhadap variabel tak bebas Y menjadi:
[2.20]. Ŷ = b0 + b1 X
Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa garis regresi yang diperoleh tersebut merupakan
garis regresi yang terbaik untuk menghampiri setiap titik-titik pengamatan X,Y.
Unuk menjawab pernyataan tersebut maka dapat dikatakan bahwa garis regresi
penduga Ŷ = b0 + b1 X nyata secara statistika, perlu dilakukan pengujian keberartiannya.
2.8. Pengujian Garis Regresi Linier Sederhana
Pengujian garis regresi secara statistika dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu:
1). Uji ragam regresi atau uji F regresi
2). Uji koefisien regresi dengan uji-t
3). Uji r garis regresi
2.8.1 Uji varians regresi atau uji F regresi atau uji ragam regresi
Uji keragaman untuk menentukan garis regresi yang terbaik sering disebut dengan uji F
garis regresi atau lebih terkenal dengan sidik ragam regresi.
Dari Gambar 2.4 dapat diuraikan bahwa persamaan [2.20] di mana ei = Yi - b0 - bi Xi.
Dan jika persamaan [2.15] b0 = Y - b1 X disubstitusikan ke dalam persamaan [2.20]
Ŷ = b0 + b1 X sehingga didapatkan pesamaan:
[2.21a]. ei = Yi - ( Y - b1 X ) - b1 Xi dengan membuka kurung maka
[2.21b]. ei = (Yi - Y ) - b1 (Xi - X )
[2.21c]. ei = yi - b1 xi
Dari persamaan [2.21c] yaitu pesamaan untuk nilai ei, sehingga dengan mengkuadrat
jumlahkan nilai ei; selanjutnya didapatkan Σei
2
atau disebut dengan JK Galat Regresi
dengan kode G; sehingga menjadi:
[2.22a] G = Σ ei
2
atau
[2.22b] G = Σeiei. Ingat bahwa ei = yi - b1 xi. Persamaan [2.21c] sehingga
[2.22c] G = Σei(yi - b1 xi) atau
[2.22d] G = Σeiyi - b1 ΣeI xi)
[2.22e] G = Σeiyi sebab ΣeIxi = 0 sehingga
Selanjutnya dari persamaan diatas didapatkan:
[2.23a] G = Σyiei
[2.23b] G = Σyi (yi - b1 xi) sehingga dapat menjadi:
[2.23c] G = Σyiyi - b1 Σyi xi Ingat : Σyiyi = Σyi
2
= JK Total = JK Y
Σyixi = JHK YiXi = JHK XY
b1 Σyi xi disebut dengan JK Regresi = JK Reg.
Dari persamaan [2.23c] didapatkan bahwa JK Galat Regresi sama dengan JK Total
dikurangi dengan JK Regresi, di mana JK Total atau JK Y sudah dapat dihitung dari
data pengamatan.

21
Perhatikan Gambar 2.4, dan nilai-nilai Y , Ŷ, Yi, dan ei di bawah ini.
0
25
50
75
100
125
150
120 130 140 150 160
Pendapatan
Konsumsi
Gambar 2.4. Nilai-nilai Y , Ŷ, Yi, dan ei
Sehingga, hubungan antara komponen-komponen pada analisis keragaman (JK Total,
JK Regresi, dan JK Galat) seperti berikut:
[2.24]. JK Galat = JK Total - JK Regresi.
Untuk menyederhanakan penulisan dan pengertian di atas, maka selanjutnya JK Galat
Regresi disingkat dengan JK Galat, JK Regresi dengn JK Reg (tanpa titik) dan JK Total
dengan JK Tot atau JK Y (tanpa titik).
Sehingga sesuai dengan persamaan [2.23c], maka JK Regresi mempunyai rumus:
[2.25a] JK Regresi = b1 Σyi xi atau dapat ditulis:
[2.25b] JK Regresi = b1 JHK XY
Persamaan [2.25a,b] berlaku umum untuk p variabel bebas X sehingga persamaannya
menjadi:
[2.26a] JK Regresi = b1 Σyi x1 + b2 Σyi x2 + . . . + bp Σyi xp
[2.26b] JK Regresi = (b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y + . . . + bp JHK XpY)
Komponen penyusun Tabel Sidik Ragam Regresi adalah:
1). JK Regresi = b1 JHK XY
2). JK Total = Jk Y = ΣY2
- (ΣY)2
/n
3). JK Galat = JK Total - JK Regresi
Selanjutnya dihitung nilai KT atau varians seperti:
1). KT Regresi = JK Regresi /(DB Regresi)
2). KT Galat = JK Galat/ (DB Galat)
Berdasarkan pada asumsi sebaran normal untuk komponen pengganggu e, maka
besarnya nilai F (F-hitung) adalah:
[2.27] Fhit =
GalatKT
RegresiKT
Y
(Yi -Y)
X
*
Ŷ = b0 + bi X
iX
(Ŷ – Y )
ei

22
Hasil perhitungan keragaman di atas dibuatkan Tabel Sidik Ragam Regresi seperti pada
Tabel 2.3 berikut di bawah ini.
Tabel 2.3. Bagan Sidik Ragam Regresi
Sumber
Keragaman
(SK)
Derajat
Bebas
(DB)
Jumlah
Kuadrat
(JK)
Kuadrat
Tengah
(KT)
Nilai
F hitung
(Fhit)
F tabel
5% 1%
Regresi p = 1 b1 Σyi x1 atau
(b1 JHK XY)
JK Reg/p =
KT Reg GalatKT
RegresiKT Lihat tabel F
Residual
atau Galat
n – p –
1
JK Galat
1pn
GalatJK
−−
=
KT Galat
Total n – 1 Σyi
2
= JK Total
= JK Y
n = jumlah sampel (pasangan pengamatan) dan p jumlah variabel bebas X.
F-hitung disimbulkan dengan Fhit ini diartikan bahwa dalam pengujian F akan dibuktikan
suatu hipotesis nol atau H0: Fhit = 0 dan H1: Fhit > 0
Kemudian F-hitung dibandingkan dengan F tabel yang biasa ditulis dengan:
Fhitung ≈ Ftabel (Di mana Ftabel = F(α, p,n-2) dan α = taraf nyata )
Kreteria pengujian nilai Fhit adalah:
1). Jika Fhit ≤ F(tabel 5%). Hal ini berarti bahwa garis regresi penduga (Ŷ) linier
sederhana yang didapat tersebut bukan garis regresi yang terbaik untuk
menghampiri pasangan pengamatan X,Y. Atau dapat dikatakan ini berarti
bahwa terdapat hubungan bukan linier pada pasangan pengamatan X,Y
tersebut.
2). Jika Fhit > F(tabel 5%). Hal ini berarti bahwa terdapat hubungan linier antara
pengaruh X terhadap Y. Atau dapat dikatakan bahwa garis regresi
penduga (Ŷ) linier sederhana yang didapat tersebut adalah garis regresi
penduga yang terbaik untuk menghampiri pasangan pengamatan X,Y.
2.8.2 Uji keberartian koefisien regresi (bi) atau uji t
Pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti cara tersebut di atas, dapat
memberikan petunjuk apakah setiap variabel X menunjukkan pengaruh atau hubungan
yang nyata terhadap variabel tak bebas Y. Jika uji F atau uji ragam regresi menunjukkan
bahwa Fhit > F(tabel 5%) barulah dilanjutkan dengan uji t dan sebaliknya.
Modifikasi dari pengaruh variabel bebas X terhadap variabel tak bebas Y atu uji F, maka
dapat dilakukan dengan uji t atau uji koefisien regresi apabila uji F signifikan.
Secara umum uji t mempunyai rumus adalah:
[2.28]. t-hitung W =
W
S
W
W nilai yang diuji, sehingga untuk pengujian koefisien regresi (bi), maka rumusnya
menjadi:
[2.29]. t-hitung b0 =
0b
0
S
b
dan t-hitung b1 =
1b
1
S
b
Di mana Sbi = salah baku bi

23
Dari persamaan [2.29] dalam menyederhakan penulisan salah baku koefisien regresi bi
yang biasa ditulis dengan σBi (salah baku = standard error koefisien regresi Bi).
Perhitungan nilai σBi didasarkan pada ragam galat regresi atau KT Galat Regresi.
Karena besarnya nilai σ
2
e (Ragam Galat Regresi) populasi tidak diketahui, maka dapat
diduga dengan nilai S
2
e atau KT Galat Regresi sampel yang mempunyai persamaan
yaitu:
[2.30]. S2
e = KT Galat Regresi = JK Galat Regresi /(n-p-1)
Selanjutnya, dalam uji t nilai salah baku bi yang ditulis (Sbi) mempunyai persamaan
seperti berikut:
[2.31]. Sbi = i
bvar masing-masing untuk b0 dan b1 menjadi:
Untuk pengujian b0 nilai salah baku menjadi:
[2.32a]. Sb0 = 0
var b
= 




 ∑
XJKn
XgresiGalatKT 2
Re
Untuk pengujian b1 nilai salah baku menjadi:
[2.32b]. Sb1 = 1
var b
= 





XJK
gresiGalatKT Re
Seperti dalam uji F, penulisan t-hitung dapat ditulis dengan notasi thit (artinya uji t untuk
pengujian hipotesis nol atau H0: bi = 0 dan H1: minimal satu dari bi ≠ 0).
Kemudian t-hitung dibandingkan dengan t tabel yang biasa ditulis dengan:
thitung ≈ ttabel (Di mana ttabel = t(α/2,n-2) dan α = taraf nyata )
Berdasarkan hasil uji t ternyata bahwa kreteria pengujian nilai thit adalah:
1). Jika thit ≤ t(tabel 5%, db galat). Hal ini dapat dikatakan bahwa terima H0.
Untuk pengujian b0 yang berarti bahwa b0 melalui titik acuan (titik 0,0) yaitu
nilai Y = 0 jika X = 0. Untuk b1, jika thit ≤ t(tabel 5%, db galat) maka garis regresi
penduga Ŷ dikatakan sejajar dengan sumbu X pada nilai b0.
2). Jika thit > t(tabel 5%, db galat) Hal ini dikatakan bahwa tolak H0, yang berarti bahwa
garis regresi penduga Ŷ tidak melalui titik acuan (X,Y = 0,0). Dengan kata
lain, ini berarti bahwa koefisien arah b1 yang berangkutan dapat dipakai
sebagai penduga dan peramalan yang dapat dipercaya. Pengujian yang
dilakukan dengan cara tersebut di atas, dapat memberikan petunjuk apakah
setiap variabel Xi memberikan pengaruh atau hubungan yang nyata terhadap
variabel tak bebas Y. Perlu diingatkan bahwa dalam pengujian di atas (baik
uji F maupun uji t), didasarkan metode kuadrat terkecil.
Selanjutnya, nilai salah baku koefisien regresi Sbi yang diperoleh, selain untuk pengujian
hipotesis juga dapat dipakai pada perkiraan nilai interval koefisien regresi populasi βi
yang sering disebut dengan perkiraan nilai populasi beta (β).

24
Rumus dari perkiraan nilai βi adalah sebai berikut di bawah ini:
[2.33a]. p {bi - tα/2 Sbi ≤ βi ≤ bi + tα/2 Sbi} = 1- α atau
[2.33b]. p (bi ± tα/2 Sbi Sbi) = 1- α, dan untuk setiap b0 dan b1 seperti:
[2.34a]. p {b0 - tα/2 Sb0 ≤ β0 ≤ b0 + tα/2 Sb0} = 1- α untuk b0
[2.34b]. p {b1 - tα/2 Sb1 ≤ β1 ≤ b1 + tα/2 Sb1} = 1- α untuk b1
2.8.3 Uji keeratan hubungan atau uji r
Pada uji-uji sebelum ini, seperti uji Ragam Regresi (uji F), uji Koefisien Regresi (uji t)
berdasarkan nilai Varians Galat Regresi. Sedangkan, pada uji keeratan hubungan selain
memakai Varians Galat Regresi juga memakai parameter tertentu yaitu koefisien korelasi
atau sering disebut dengan keeratan hubungan dengan simbul rxy atau ryx yang sering
ditulis dengan r saja.
Adapun rumus dari pada koefisien korelasi r adalah:
[2.35a]. rXY =
22
yx
xy
ΣΣ
Σ
atau
[2.35b]. rXY =
YJKXJK
XYJHK
atau menggunakan notasi lain maka nilai r
menjadi:
[2.35c]. rXY =






−





−
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
n
Y
Y
n
X
X
n
YX
XY
2
2
2
2 )()(
(n = jumlah sampel)
Perhitungan nilai r berdasarkan rumus di atas disebut nilai koefisien korelasi seserhana
atau koefisien korelasi order nol atau koefisien korelasi produc moment atau koefisien
korelasi Pearson.
Sepintas gambaran bahwa nilai r berkisar antara –1 sampai dengan + 1 atau sering
ditulis dengan -1 ≤ r ≤ +2. Jadi nilai koefisien korelasi itu selalu pecahan seperti:
r = 0,87; r = 0,78; r = - 0,347; dan lain sebagainya.
Hubungan antara koefisien korelasi r dengan koefisien regresi b2. Lihatlah kembali
rumus koefisien regresi seperti [2.19c] dan koefisien korelasi r seperti [2.35c]:
[2.19c]. b1 =
∑
∑
∑
∑ ∑
−
−
n
X
X
n
YX
XY
2
2 )(
atau
b1 





−∑
∑
n
X
X
2
2 )(
= ∑
∑ ∑−
n
YX
XY atau
b1 JK X = JHK XY dan

25
[2.35c]. r =






−





−
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
n
Y
Y
n
X
X
n
YX
XY
2
2
2
2 )()(
atau dapat ditulis
r = ∑
∑ ∑−
n
YX
XY di mana
r ( )( )( )YJKXJK = JHK XY
Dari kesamaan kedua persamaan di atas [2.19] dan [2.356] dapat ditulis menjadi:
[2.36a] b1 JK X = r ( )( )( )YJKXJK
Dari kesamaan [2.36a] di atas dapat ditulis kembali menjadi:
[2.36b] b1 JK X = r ( )( )( )YJKXJK atau
[2.36c] b1 ( )( )( )XJKXJK = r ( )( )( )YJKXJK atau
[2.36d] b1 XJKXJK = r YJKXJK atau
Jadi: [2.36e] b1 XJK = r YJK atau
Apabila kedua ruas dari persamaan: [2.36e] sama-sama dibagi dengan 1−n maka
didapatkan:
[2.36e] b1
1−n
XJK
= r
1−n
XJK
atau
[2.36f] b1 XKT = r YKT atau
[2.36g] b1 SX = r SY
Apabila data yang dianalisis dinyatakan dalam nilai standar baku atau data di
transformasi ke nilai Z (di mana ZX = )
)(
X
i
S
XX
−
−
dan ZY = )
)(
Y
i
S
YY
−
−
, sehingga nilai
SX = SY = 1; sehingga persamaan [2.36g] menjadi:
[2.36h] b1 = r
Yang jelas dalam uji r, apabila nilai koefisien regresinya (b1) negatif, maka nilai koefisien
korelasinya (r) juga negatif.
Dalam uji r yang umum dialakukan adalah membandingkan nilai koefisien korelasi r yang
dihitung atau r hitung dengan r tabel. Nilai r tabel dapat dilihat pada tabel r yang
susunannya serupa dengan tabel t.
rhitung ≈ rtabel (di mana rtabel = r(α/2, n-2); n-2 = db Galat; dan α = taraf nyata )

26
Berdasarkan hasil uji r ternyata bahwa kreteria pengujian nilai rhitung adalah:
1). Jika rhitung ≤ r(tabel 5%, db galat) Hal ini dapat dikatakan bahwa tidak
terdapat hubungan linier atau korelasi sederhana antara variabel
yang satu dengan variabel yang lainnya.
2). Jika rhitung > r(tabel 5%, db galat) Hal ini dikatakan bahwa tolak H0, yang berarti
bahwa terdapat hubungan linier atau korelasi sederhana antara
variabel yang satu dengan variabel yang lainnya.
Selain pengujian r seperti di atas nilai r hitung dapat pula diuji dengan menggunakan uji t
dengan rumus pengujian seperti berikut yaitu:
[2.37a]. t-hitung r =
r
S
r
di mana Sr = salah baku r
Sr =
)2(
)1( 2
−
−
n
r
sehingga
[2.37b]. t-hitung r =
)2(
)1(
r
2
−
−
n
r
atau
[2.37c]. t-hitung r =
)1(
)2(r
2
r
n
−
−
Berdasarkan hasil uji t untuk nilai r ternyata bahwa kreteria pengujian adalah:
1). Jika thitung ≤ t(tabel 5%, db galat). Hal ini dapat dikatakan bahwa tidak terdapat
hubungan atau korelasi antara variabel yang satu dengan variabel
yang lainnya.
2). Jika thitung > t(tabel 5%, db galat). Hal ini dikatakan bahwa tolak H0, yang berarti bahwa
terdapat hubungan atau korelasi antara variabel yang satu dengan
variabel yang lainnya.
Hubungan lain antara parameter r, b1, dan dengan garis regresi penduga Ŷ dapat
dijabarkan kembali melalui persamaan: [2.35b] seperti berikut.
[2.35b]. rXY =
YJKXJK
XYJHK
Modifikasi dari rumus r
2
atau R
2
adalah seperti berikut:
[2.38a]. r
2
XY =
)()(
)()(
YJKXJK
XYJHKXYJHK
atau
[2.38b]. r2
XY =
)(
)(
XJK
XYJHK
)(
)(
YJK
XYJHK
ingat: b1 =
)(
)(
XJK
XYJHK
[2.38c]. r
2
XY = b1
)(
)(
YJK
XYJHK
ingat: JK Y = JK Total
[2.38d]. r2
XY =
)(
)( 1
YJK
XYJHKb
ingat: b1 JHK XY = JK Regresi)
[2.38e]. r
2
XY =
)(
Re
TotalJK
gresiJK
rumus di tas tersebut bersifat umum
Jadi [2.38f]. JK regresi = r
2
. JK Total

27
Yang lebih penting dalam pembicaraan hubungan antara koefisien korelasi r; koefisien
regresi b1; atau dengan garis regresi penduga Ŷ adalah parameter r2
yang dalam
persamaan regresi sering ditulis dengan R2
yang disebut dengan koefisien determinasi
atau koefisien penentu atau coeficien of determination.
Arti dari pada koefisien determinasi atau koefisien penentu (R
2
) adalah suatu nilai yang
menunjukkan bahwa persentase dari variasi keragaman total Y atau variasi Y yang dapat
diterangkan oleh variasi X.
Atau sering diartikan bahwa koefisien determinasi R
2
adalah persentase dari variabel tak
bebas Y yang dipengaruhi oleh variabel bebas X. Sisanya 1 - R
2
yang menunjukkan
persentase dari variasi total atau variabel Y yang disebabkan oleh faktor lain diluar X
atau variabel selain X.
Dalam analisis keragaman atau uji F regresi di mana:
[2.39a]. JK regresi = JK Total - JK Galat atau
[2.39b]. r
2
JK Total= JK Total - JK Galat atau
[2.39c]. JK Galat = JK Total - r
2
. JK Total atau
[2.39d]. JK Galat = (1 - r
2
) . JK Total
Sehingga JK Total dapat dihitung dari JK Galat dan r sepert :
[2.40]. JK Total =
)r-(1 2
GalatJK
= 2
r
Re grasiJK
Selanjutnya, dalam analisis keragaman regresi linier sederhana dan uji F di mana DB
Regresi = 1 dan DB Galat = n – 2, sehingga Fhitung mempunyai rumus:
[2.41a]. F-hitung =
Galat
grasiKT
KT
Re
[2.41b]. F-hitung =
)2/(JK
1/Re
−nGalat
grasiJK
[2.41c]. F-hitung =
Galat
grasiJKn
JK
Re)2( −
Masukan persamaan [2.40] ke dalam persamaan [2.41c] maka menghasilkan:
[2.42a]. F-hitung =
TotalJK
TotalJKrn
)r-(1
)2(
2
2
−
sehingga didapatkan
[2.42b]. F-hitung =
)r-(1
)2(
2
2
rn −
Kreteria pengujian nilai Fhitung sama seperti pengujian-pengujian di atas, sehingga kreteria
pengujian adalah:
1). Jika Fhit ≤ F(tabel 5%). Hal ini berarti bahwa garis regresi penduga (Ŷ) linier sederhana
yang didapat tersebut bukan garis regresi yang terbaik.
2). Jika Fhit > F(tabel 5%). Hal ini berarti bahwa terdapat hubungan linier yang nyata (p =
0,05), bahwa terdapat pengaruh antara variabel X terhadap variabel tak bebas Y.

28
2.9 Peramalan atau Prediksi Garis Regresi
Pembicaraan mengenai perkiraan nilai populasi beta (β) pada persamaan [2.33]
bertujuan untuk mengetahui perkiraan nilai interval koefisien regresi populasi βi baik b0
maupun b2. Selanjutnya, yang diharapkan pada garis regresi penduga adalah: a)
penaksiran atau peramalan nilai rata-rata untuk nilai Xi tertentu yang telah diketaui yang
sering diberi simbul μXY, dan b) penaksiran atau peramalan nilai individu Y
))
apabila nilai
Xi tertentu yang telah diketaui.
Dalam penaksiran atau peramalan garis regresi membicarakan sejauh mana garis
regresi penduga Ŷ yang telah didapat betul-betul dapat dipercaya sebagai penduga
garis μXY yang terbaik.
Dengan demikian, dalam penaksiran diperlukan selang kepercayaan nilai γ yaitu
sebesar 1 – α di mana α adalah peluang kesalahan tipe I. Dalam perhitungan nilai
selang kepercayaan juga menggunakan dasar Analisis Ragam Regresi.
Suatu hal yang perlu diperhatikan di dalam penaksiran atau peramalan garis regresi
adalah terdapat dua buah nilai taksiran yang berada di sebelah-menyebelah garis
regresi penduga Ŷ, sehingga terdapat daerah atau range, yang umum disebut dengan
selang kepercayaan Ŷ atau interval taksiran garis regresi penduga Ŷ; masing-masing
taksiran tersebut adalah:
1).Taksiran nilai rata-rata.
[2.43]. Ŷ - t(α/2, n – 2)
Y
S ≤ μXY ≤ Ŷ + t(α/2, n – 2)
Y
S
Di mana:
Y
S adalah nilai salah baku dari penaksiran rata-rata dengan rumus:
2
Y
S = KT Galat Regresi










−
+
XJK
XX
n
2
_
0 )(1
;
_
X = nilai rata-rata Xi.
n = jumlah penamatan atau sampel, JK X dan KT Galat Regresi dari
Analisis Varians Regresi
X0= suatu nilai Xi yang telah diketahui atau ditentukan
2).Taksiran nilai individu
[2.44]. Ŷ - t(α/2, n – 2)
Y
S ˆˆ
≤ Y
ˆˆ ≤ Ŷ + t(α/2, n – 2)
Y
S ˆˆ
Di mana:
Y
S ˆˆ
adalah nilai salah baku dari penaksiran individu dengan rumus:
2
ˆˆY
S = KT Galat Regresi










−
++
XJK
XX
n
2
_
0 )(1
1
JK X dan KT Galat Regresi dari Analisis Varians Regresi
n = jumlah penamatan atau sampel_
X = nilai rata-rata Xi
X0 = suatu nilai Xi yang telah diketahui atau ditentukan.
2.9.1 Interpolasi dan ekstrapolasi
Jelaslah bahwa dari uraian di atas, bahwa pemakaian persamaan penduga Ŷ = a + bX,
dapat dipakai sebagai peramalan dari nilai-nilai Xi yang belum diketahui, atau untuk
mencari nilai Y apabila Xi telah ditentukan.

29
Di dalam penerapan praktis dari garis regresi penduga Ŷ = a + bX dipakai untuk
mengadakan peramalan atau penafsiran, seperti disebutkan di atas.
Ada dua pengertian pokok yang harus dipahami dalam penaksiran atau pendugaan
adalah:
1).Interpolasi.
2).Ekstrapolasi
Pengertian interpolasi adalah penaksiran atau peramalan nilai-nilai Y, jika harga-harga Xi
yang dimasukan ke dalam persamaan regresi penduga Ŷ = a + bX terletak di dalam
daerah ruang gerak X1 dan Xn hasil-hasil pengamatan atau dengan perkataan lain
bahwa nilai Y yang diduga di mana nilai Xi terletak antara X1 dan Xn.
Pengertian ekstrapolasi adalah penaksiran atau peramalan nilai Y, jika harga-harga X
yang dimasukkan ke dalam persamaan regresi penduga Ŷ = a + bX terletak di luar
batas daerah ruang X1 dan Xn hasil-hasil pengamatan atau dengan perkataan lain bahwa
nilai Y yang diramalkan terletak di luar nilai antara X1 dan Xn.
Timbul suatu pertanyaan apakah setelah didapatkan suatu garis regresi penduga Ŷ = a
+ bX sudah betul-betul merupakan garis regresi yang terbaik untuk melakukan
penaksiran atau peramalan?
Tentu saja jawabannya belum tentu, sebab garis regresi penduga tersebut harus tahan
uji dari beberapa jenis pengujian garis regresi seperti yang telah diuraikan di atas.
2.10 Aplikasi Regresi Linier Sederhana
Untuk dapat lebih memahami uraian teori di atas dan agar dapat menentukan nilai-nilai
dalam regresi penduga Ŷ = b0 + b1X atau koefisien regresi yaitu nilai-nilai b0 dan b1,
maka diberikan contoh olahan seperti di bawah ini, yang datanya terdiri dari satu variabel
bebas X (prediktor) yaitu nilai X dan satu variabel tak bebas Y yaitu nilai Y, dan datanya
seperti pada Tabel 2.4.
2.10.1 Perhitungan JK-JHK dan penentuan koefisien regresi linier
sederhana b0 dan b1
Tabel 2.4. Perhitungan Regresi Dua Variabel yaitu Variabel X dan Variabel Y
No. X Y X
2
Y
2
XY
1 9,750 0,650 95,063 0,423 6,338
2 10,500 0,750 110,250 0,563 7,875
3 11,250 0,900 126,563 0,810 10,125
4 12,600 1,150 158,760 1,323 14,490
5 11,900 0,950 141,610 0,903 11,305
6 15,200 1,750 231,040 3,063 26,600
7 12,250 1,050 150,063 1,103 12,863
8 12,900 1,000 166,410 1,000 12,900
9 14,300 1,700 204,490 2,890 24,310
10 13,250 1,250 175,563 1,563 16,563
11 15,300 1,800 234,090 3,240 27,540
12 8,900 0,600 79,210 0,360 5,340
13 10,600 0,500 112,360 0,250 5,300
14 7,500 0,720 56,250 0,518 5,400
15 11,900 0,950 141,610 0,903 11,305
Jumlah 178,100 15,720 2183,330 18,908 198,253
Rata2
11,873 1,048 145,555 1,261 13,217

30
Perhitungan JK-JHK dari data di atas seperti:
JK Y = Σy2
= ΣY2
- (ΣY)2
/n
= 18,908 - (5,720)2
/15
= 2,4338
JK X = Σx1
2
= ΣX1
2
- (ΣX)
2
/n
= 2183,330 - (178,100)2
/15
= 68,6893
JHK XY = Σx1y = ΣX1Y - ΣX1 ΣY/n
= 198,253 - (178,100)(5,720)/15
= 11,6037
Selanjutnya, dilakukan perhitungan untuk mencari nilai b0 dan b1 seperti berikut ini.
Nilai b1 adalah:
b1 =
XJK
XYJHK
=
6893,68
6037,11
= 0,16893
Nilai b0 adalah:
b0 = Y - b1 X
= 1,048 - (0.16893) (11,873)
= - 0,95776
Sehingga, persamaan peduganya menjadi:
Ŷ = b0 + b1 X
Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X
Sehingga, dari persamaan peduga di atas dapat diartikan bahwa setiap perubahan satu
satuan X, maka akan menyebabkan terjadinya perubahan Y sebesar 0,16893 satuan Y.
Selanjutnya, dilakukan pengujian terhadap garis regresi penduga. Dalam pengujian garis
regresi penduga terdapat tiga macam uji yaitu:
1). Uji F atau uji ragam regresi atau uji varians regrsi;
2). Uji koefisien regresi atau uji terhadap bi atau uji t; dan
3). Uji koefisien korelasi atau uji r.
2.10.2 Pengujian garis regresi linier sederhana dengan uji F
Dalam Uji F atau uji Ragam Regresi atau uji Varians Regresi diperlukan nilai-nilai
JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi dari data Tabel 2.4 di atas seperti berikut:
1). JK Total = Σy
2
= ΣY
2
- (ΣY)
2
/n
= 18,908 - (5,720)
2
/15
= 2,43384

31
2). JK Regresi = b1 JHK XY
= (0,16893) (11,6037)
= 1,96021
3). JK Galat Regresi = JK Total - JK Regresi
= 2,43384 - 2.96021
= 0.47363
Selanjutnya, dihitung nilai KT atau varians seperti:
1). KT Regresi = JK Regresi /(DB Regresi)
= 1,96021/1
= 1,96021
2). KT Galat Regresi = JK Galat/ (DB Galat)
= 0,47363/13
= 0,03643
Setelah perhitungan JK Total, JK Regresi, JK Galat Regresi, KT Regresi, dan KT Galat
didapatkan, maka di lanjutkan dengan membuat Tabel Analisis Keragaman atau Tabel
Analisis Varians Regresi seperti pada Tabel 2.5 berikut.
Tabel 2.5. Bagan Sidik Ragam Regresi Dua Variabel
Sumber
Keragaman
(SK)
Derajat
Bebas
(DB)
Jumlah
Kuadrat
(JK)
Kuadrat
Tengah
(KT)
F
hitung
F tabel
5% 1%
Regresi 1 1,96021 1,96021 53,8037
**
4,67 9,07
Residual 13 0,47363 0,03643
Total 14 2,43384 -
Keterangan:
Jumlah sampel (n) = 15.
**
= berpengaruh sangat nyata pada p<0,01
Berdasarkan hasil analisis varians di atas ternyata bahwa Fhit > F(tabel 1%) atau dapat
dikatakan bahwa hipotesis nol ditolak, yang berarti bahwa terdapat pengaruh variabel
bebas X yang sangat nyata (p<0,01) terhadap variabel tak bebas Y.
2.10.3 Pengujian koefisien garis regresi linier sederhana dengan uji t
Setelah dilakukan pengujian dengan uji F maka selanjutnya, dilakukan pengujian
terhadap koefisien regresi b0 dan b1 dengan uji t seperti berikut.
Secara umum uji t mempunyai rumus adalah t-hitung bi =
bi
i
S
b
Selanjutnya, dalam analisis regresi dua variabel nilai salah baku bi yang ditulis dengan
Sbi mempunyai persamaan seperti berikut.
Untuk pengujian b0 nilai salah baku Sb0 dari data di atas:
Sb0 =
XJKn
XgresiGalatKT ∑ 2
Re
=
68,689315
2183,3300,03643
x
= 0,277853

32
Untuk pengujian b1 nilai salah baku Sb1 dari data di atas:
Sb1 =
XJK
gresiGalatKT Re
=
68,6893
0,03643
= 0,023030
Uji t terhadap nilai koefisien regresi b0:
t-hitung b0 =
0b
0
S
b
=
0,277853
0,95776-
= - 3,4470 {Nilai t negatif sama dengan nilai positif (diambil harga
mutlaknya)}.
Selanjutnya, uji t terhadap nilai koefisien regresi b1:
t-hitung b1 =
1b
1
S
b
=
0,023030
0,16893
= 7,335101
Berdasarkan hasil uji t ternyata bahwa nlai thitung yang diperoleh dibandingkan dengan
ttabel atau t(5%, db galat = 13) yaitu sebesar 2,131 dan t(1%,13) = 2,947. Ternyata bahwa
t-hitung > ttabel 1% baik untuk nilai b0 maupun untuk b2. Ini berarti bahwa dari analisis
tersebut H0 ditolak baik untuk uji b0 maupun untuk uji b1
Sehingga, dapat dikatakan bahwa:
1). Garis regresi penduga Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X tidak melalui titik 0,0
atau titik acuan.
2). Garis regresi penduga Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X tidak sejajar dengan
sumbu X, atau mempunyai slop sebesar 0,16893
Selanjutnya, dengan nilai salah baku koefisien regresi b0 dan b1 yang diperoleh; selain
untuk pengujian hipotesis, juga dapat dipakai pada perkiraan nilai interval koefisien
regresi b0 dan b1 yang sering disebut dengan perkiraan nilai beta (β) populasi dengan
rumus sebai berikut:
p {bi - tα/2 sbi ≤ βi ≤ bi - tα/2 sbi} = 1- α untuk masing-masing b0 dan b1 seperti:
Untuk perkiraan β0 dengan nilai salah baku Sb0 dengan α = 5% dari data di atas
didapatkan:
p {b0 - t(α/2,n-2) Sb0 ≤ β0 ≤ b0 + t(α/2,n-2) Sb0} = 1- α
p {- 0,95776 - (2,131) (0,277853) ≤ β0 ≤ - 0,95776 + (2,131) (0,277853)} = 1- α
p { - 1,558029 ≤ β0 ≤ - 0,35750} = 1 - α

33
Jadi perkiraan nilai β0 berkisar antara - 1,558029 sampai dengan - 0,35750
Untuk perkiraan β1 dengan nilai salah baku Sb1 dengan α = 5% dari data di atas
didapatkan:
p {b1 - t(α/2,n-2) Sb1 ≤ β1 ≤ b1 + t(α/2,n-2) Sb1} = 1- α untuk b0
p {0,16893 - (2,131) (0,023030) ≤ β1 ≤ 0,16893 + (2,131) (0,023030)} = 1- α
p {0,119176 ≤ β1 ≤ 0,21868} = 1 - α
Jadi perkiraan nilai β1 berkisar antara 0,119176 sampai dengan 0,21868
Berdasarkan perhitungan di atas maka dapat dibuat gambar Garis
Regresinya seperti berikut:
Y = - 0,9578 + 0,1689 X
R2
= 80,54%
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0
Pendapatan Petani ( x 100. 000)
KonsumsiDagingx100.000
2.10.4 Pengujian garis regresi linier sederhana dengan uji r
Pada uji-uji sebelumnya seperti uji F dan uji t telah dilakukan. Selanjutnya, dilakukan uji r
produc moment dari Pearson dengan rumus seperti:
r =






−





−
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
n
Y
Y
n
X
X
n
YX
XY
2
2
2
2 )()(
Untuk perhitungan nilai r diperlukan hasil penjumlahan data pada Tabel 3.1 di atas
seperti:
ΣX = 178,100 ΣY = 15,720
ΣX
2
= 2183,330 ΣY
2
= 18,908
ΣXY = 198,253

34
Sehingga:
r =






−





−
−
15
)720,15(
908,18
15
)100,178(
330,2183
15
)720,15()100,178
53,198
22
= 0,897
Dalam uji r untuk pengujian hipotesis maka:
H0: r = 0 (yang berarti bahwa tidak terdapat hubungan atau korelasi antara variabel X
dengan variabel Y)
H1 : r ≠ 0 (yang berarti bahwa terdapat hubungan atau korelasi antara variabel X dengan
variabel Y
Dalam uji r ini dialakukan pembandingan nilai koefisien korelasi r yang dihitung dengan
r tabel ditandai dengan rhitung ≈ rtabel.
Nilai r tabel = r(α/2, n-2), dengan n = 15 maka:
Nilai r tabel 5% = r(5%, 13) = 0,514; dan
Nilai r tabel 1% = r(1%, 13) = 0,642.
Jadi r hitung = 0,897 > r tabel 1% = 0,642. Hal ini dapat dikatakan bahwa tolak H0 yang
berarti bahwa terdapat hubungan atau korelasi yang sangat erat antara variabel X
dengan variabel Y.
Selain, pengujian r seperti di atas; nilai r dapat pula diuji dengan uji t; dengan rumus
pengujian seperti berikut:
t-hitung =
r
S
r
.
Di mana Sr = salah baku r dengan rumus:
Sr =
)2(
)1( 2
−
−
n
r
Sr =
)215(
)897,01( 2
−
−
= 0,13765
Sehingga:
t-hitung =
rS
r
=
0,13765
0,897
= 6,51653
Berdasarkan hasil uji t, maka nilai thitung ≈ ttabel. Nilai ttabel atau t(5%, db galat = 13) yaitu
sebesar 2,131 dan t(1%,13) = 2,947. Ternyata bahwa t-hitung > ttabel 1%. Hal ini dapat
dikatakan bahwa terdapat hubungan atau korelasi yang sangat erat antara variabel
bebas X dengan variabel tak bebas Y.

35
Berdasarkan perhitungan koefisien korelasi r di atas, maka didapatkan koefisien
determinasi R2
= (0,897)2
= 0,8054. Hal ini diartikan bahwa 80,54% variasi keragaman
total Y atau variasi Y dapat diterangkan oleh variasi X, atau dapat diartikan
bahwa 80,54% dari variabel tak bebas Y dipengaruhi oleh variabel bebas X.
Sisanya 1 - R
2
= 19,46% dari variasi total Y dipengaruhi oleh faktor lain diluar X atau
variabel selain X.
2.10.5 Peramalan atau prediksi pada garis regresi
Dalam perhitungan taksiran atau ramalan garis regresi diperlukan selang kepercayaan γ
yaitu sebesar 1 – α, di mana α = 5%, sehingga γ = 95%. Dengan menggunakan dasar
perhitungan analisis ragam regresi dan KT Galatnya seperti di atas didapatkan taksiran
nilai rata-rata seperti berikut ini.
1). Sebagai contoh: taksiran nilai rata-rata μXY untuk X0 = 10, seperti berikut:
Ŷ - t(α/2, n – 2)
Y
S ≤ μXY ≤ Ŷ + t(α/2, n – 2)
Y
S ; dengan nilai Ŷ menjadi:
Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X
= - 0,95776 + 0,16893 (10)
= 0,73154
Y
S =








−
+
XJK
XX
n
2
_
0 )(1
RegresiGalatKT dapat dihitung dengan:
Ketentuan:
Ŷ = 0,73154
JK X = 68,6893
KT Galat = 0,03643
n = 15_
X = 11,873
X0 = 10
t(5%, 13) = 2,131
Berdasarkan ketentuan di atas maka nilai
Y
S dapat dihitung:
Y
S =








−
+
XJK
XX
n
2
_
0 )(1
RegresiGalatKT
=







 −
+
6893,68
)873,1110(
15
1
0,03643
2
_
= 0,01377
Selanjutnya, taksiran nilai rata-rata μXY:
Ŷ - t(α/2, n – 2)
Y
S ≤ μXY ≤ Ŷ + t(α/2, n – 2)
Y
S
0,73154 - (2,131) (0,0138) ≤ μXY ≤ 0,73154 + (2,131) (0,0138)
0,7022 ≤ μXY ≤ 0,76088

36
Jadi, taksiran rata-rata untuk Xi = X0 = 10; maka μXY berkisar antara 0,7022 sd
0,76088. Untuk taksiran rata-rata nilai-nilai Xi yang lain dapat dihitung seperti cara
di atas.
2). Sebagai contoh: taksiran nilai individu Y
ˆˆ untuk X0 = 10, seperti berikut:
Ŷ - t(α/2, n – 2)
Y
S ˆˆ
≤ Y
ˆˆ ≤ Ŷ - t(α/2, n – 2)
Y
S ˆˆ
Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X
= - 0,95776 + 0,16893 (10)
= 0,73154
Y
S ˆˆ
=







 −
++
XJK
XX
n
2
_
0 )(1
1RegresiGalatKT dapat dihitung dengan:
Ketentuan:
Ŷ = 0,73154
JK X = 68,6893
KT Galat = 0,03643
n = 15_
X = 11,873
X0 = 10
t(5%, 13) = 2,131
Berdasarkan ketentuan di atas maka nilai
Y
S ˆˆ
dapat dihitung:
Y
S ˆˆ
=








−
++
XJK
XX
n
2
_
0 )(1
1RegresiGalatKT
=








−
++
6893,68
)873,1110(
15
1
10,03643
2
= 0,01558
Selanjutnya, taksiran nilai individu:
Ŷ - t(α/2, n – 2)
Y
S ˆˆ
≤ Y
ˆˆ ≤ Ŷ + t(α/2, n – 2)
Y
S ˆˆ
0,73154 - (2,131) (0,0138) ≤ Y
ˆˆ ≤ 0,73154 + (2,131) (0,0138)
0,69835 ≤ Y
ˆˆ ≤ 0,76473
Jadi, taksiran individu untuk Xi = X0 = 10; maka Y
ˆˆ berkisar antara 0, 69835 sd 0,
76473. Untuk taksiran individu nilai-nilai Xi yang lain dapat dihitung seperti cara di atas.
Hasil perhitungan taksiran rata-rata dan individu nilai-nilai Xi yang lain dapat dilihat pada
Tabel 2.6 di bawah ini.

37
Tabel 2.6 Hasil Perhitungan Taksiran Rata-rata μXY dan Taksiran Individu
Y
ˆˆ dari Nilai-nilai Xi
No. X Y Ŷ μXY lower μXY upper Y
ˆˆ lower Y
ˆˆ upper
1 9,750 0,650 0,689 0,656 0,722 0,653 0,726
2 10,500 0,750 0,816 0,794 0,838 0,789 0,843
3 11,250 0,900 0,943 0,932 0,953 0,924 0,961
4 12,600 1,150 1,171 1,159 1,183 1,151 1,190
5 11,900 0,950 1,053 1,048 1,057 1,036 1,069
6 15,200 1,750 1,610 1,558 1,662 1,556 1,664
7 12,250 1,050 1,112 1,105 1,119 1,095 1,129
8 12,900 1,000 1,221 1,205 1,238 1,199 1,244
9 14,300 1,700 1,458 1,420 1,496 1,417 1,499
10 13,250 1,250 1,281 1,259 1,302 1,254 1,307
11 15,300 1,800 1,627 1,574 1,680 1,571 1,682
12 8,900 0,600 0,546 0,499 0,592 0,497 0,595
13 10,600 0,500 0,833 0,813 0,853 0,807 0,858
14 7,500 0,720 0,309 0,241 0,377 0,239 0,379
15 11,900 0,950 1,053 1,048 1,057 1,036 1,069
Keterangan :
n = 15 (jumlah sampel)
X = variabel bebas X
Y = variabel tak bebas Y
Ŷ = nilai penduga dari Y
μXY = taksiran rata-rata dari Y
Y
ˆˆ = taksiran individu dari Y
Data pada Tabel 2.6 dapat digambar seperti pada gambar di bawah ini. Karena
perbedaan nilai antara μXY dan Y
ˆˆ yang sangat sempit maka gambarnya kelihatan tiga
garis yang seharusnya lima garis seperti pada Tabel 2.6 di atas.
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0
Pendapatan
Konsumsidaging

38
2.11 Interpolasi dan ekstrapolasi
Jelaslah bahwa dari uraian di atas, pemakaian persamaan penduga Ŷ = b0 + b1X, dapat
dipakai sebagai peramalan dari nilai-nilai Xi yang belum diketahui, atau untuk mencari
nilai Y apabila Xi telah ditentukan,
Di dalam penerapan praktis dari garis regresi penduga Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X
dapat dipakai untuk mengadakan peramalan atau penafsiran interpolasi dan ekstrapolasi
Nilai interpolasi adalah nilai taksiran atau nilai ramalan dari nilai-nilai Y, jika harga-harga
Xi yang dimasukan ke dalam persamaan regresi penduga Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X
terletak di dalam daerah ruang gerak X1 dan Xn, seperti X = 10 maka nilai
Y penduga = 0,73154; sebab nilai Xi = 10 berada di dalam antara X1 dan Xn.
Nilai ekstrapolasi adalah nilai taksiran atau nilai ramalan dari nilai Y, jika harga-harga Xi
yang dimasukkan ke dalam persamaan regresi penduga Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X
terletak di luar batas daerah ruang X1 dan Xn. seperti X = 7,5 dan X = 15; maka
nilai Y penduga = 0,30922 dan 1,57615; sebab nilai Xi = 7,5 dan Xi = 15 berada di luar
Xminimum dan Xmaksimum.
2.12 Contoh Hasil Output Komputer dengan Menggunakan
Solf-ware Execel
Perhitungan-perhitungan regresi seperti regresi linier sederhana di atas terdapat banyak
perangkat lunak yang dapt membantunya seperti Excel, Minitab, SPSS, Statistica, Sistat,
dan lain sebagainya.
Dalam hal ini akan diberikan contoh keluaran komputer dengan program Excel seperti
pada tabel berikut.
1 Summary Output Excel
Table 2.7 Regression Statistics
Multiple R 0.8974
R Square 0.8054
Adjusted R
Square 0.7904
Standard Error 0.1909
Observations 15
Table 2.8 ANOVA
SV DB SS MS F Significance F
Regression 1 2.9602 2.9602 53.8037 0.0000
Residual 13 0.4736 0.0364
Total 14 2.4338
Table 2.9 Parsial Regression
Var Coefficients Standart
Error
t Stat P-value Lower
95%
Upper
95%
Lower
99.0%
Upper
99.0%
Intercept - 0.95776 0.27785 - 3.4470 0.00433 - 2.55803 - 0.35750 - 2.79474 - 0.12079
X1 0.16893 0.02303 7.3351 0.00001 0.11918 0.21868 0.09956 0.23830

39
Penjelasan tabel di atas seperti berikut:
Table 2.7 Regression Statistics
Multiple R adalah sama dengan koefisien korelasi r yang menunjukkan keeratan
hubungan antara variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y yaitu sebesar
0,8974.
R Square adalah sama dengan koefisien determinasi R2
yang menunjukkan variasi
keragaman total Y yang dapat diterangkan oleh variasi variabel X, atau dapat
diartikan bahwa 80,54% dari variabel tak bebas Y dipengaruhi oleh variabel bebas
X.
Adjusted R Square adalah sama dengan koefisien determinasi R2
terkoreksi dengan
simbul
_
2
R dan yang mengkoreksi adalah nilai Galat Regresi dan KT Total dengan
rumus:
)1/(
)1/(
1 2
2_
2
−Σ
−−Σ
−=
ny
pne
R
i
i
atau
)1(
)1(
)1(1 2
_
2
−−
−
−−=
pn
n
RR
Standard Error adalah sama dengan Salah Baku Y atau Y
S =
n
YKT
Observations adalah sama dengan jumlah sampel = n
Table 2.8 ANOVA
Pada Tabel Anova adalah persis sama dengan Sidik Ragam Regresi. Di mana SV =
Sumber Variasi (SV) atau Sumber Keragaman (SK); DF = Degrees of Freesom
atau = Derajat Bebas (DB); SS = Sum of Squares atau = JK; MS = Means
Squarwes atau KT; F = F-hitung.
Significance F adalah sama dengan nilai peluang dari nilai F-hitung. Dalam hal ini nilai
F-hitung tidak dibangingkan dengan F tabel seperti biasa. Akan tetapi, nilai
significance F dibandingkan peluang (p) standar yaitu 5% dan 1%.
1). Apabila nilai significance F ≥ (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama
dengan Fhit ≤ F(tabel 5%); hal ini berarti terima H0 yang menyatakan bahwa garis
regresi penduga (Ŷ) linier sederhana yang didapat tersebut bukan garis regresi
yang terbaik. Atau variabel bebas X tidak berpengaruh terhadap variabel tak
bebas Y.
2). Apabila nilai significance F < (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama
dengan Fhit > F(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0 yang menyatakan bahwa garis
regresi penduga (Ŷ) linier sederhana yang didapat tersebut adalah garis regresi
yang terbaik untuk menerangkan bahwa variabel bebas X berpengaruh nyata
terhadap variabel tak bebas Y.
Apabila nilai signifikanse F < (p = 0,01) mempunyai kesimpulan yang sama
dengan Fhit > F(tabel 1%); hal ini berarti tolak H0 yang menyatakan bahwa garis
regresi penduga (Ŷ) linier sederhana yang didapat tersebut adalah garis regresi
yang terbaik untuk menerangkan bahwa variabel bebas X berpengaruh sangat
nyata terhadap variabel tak bebas Y.
Sebagai contoh dari hasil analis tersebut di atas didapat nilai F = 53,8037 dengan
significance F = 0,0000. Ini berarti tolak H0 yang menyatakan bahwa garis
regresi penduga Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X; adalah garis regresi yang terbaik
untuk menerangkan bahwa variabel bebas X (pendapatan petani) berpengaruh
sangat nyata terhadap variabel tak bebas Y (pengeluaran petani).

40
Tabel 2.9 Parcial Regression
Var adalah sama dengan variabel yang akan dijelaskan; dalam analisis ini adalah X.
Intercept sama dengan b0 jarak antara titik potong garis regresi penduga Ŷ dengan titik
acuan (0,0).
Coefficients sama dengan bi dalam hal ini sama dengan b0 dan b2. Masing-masing
b0 = - 0,95776 dan b1 = 0,16893.
Standart Error dalam Tabel 3 ini berbeda dengan Standart Error dari Tabel 2. Standart
Error di sini menunjukkan nilai yang sama dengan Sb0 dan Sb1 dalam pengujian b0
dan b1. Sebagai contoh Standart Error untuk b0 (Sb0) = 0,27785 dan Standart Error
untuk b1 (Sb1) = 0,02303.
t Stat sama dengan t-hitung untuk b0 dan b1 dengan rumus umum seperti:
thitung bi =
ib
i
S
b
; Sehinga nilai t-hitung untuk masing-masing b0 = - 3.44702 dan
b1 = 7.33510.
P-value adalah sama dengan nilai peluang dari nilai t-hitung. Dalam hal ini nilai t-hitung
tidak dibangingkan dengan t tabel seperti biasa. Akan tetapi, nilai P-value
dibandingkan peluang (p) standar yaitu 5% atau 1%. 1).
Untuk b0, maka
1). Apabila nilai P-value ≥ (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan
thit ≤ t(tabel 5%); hal ini berarti terima H0 yang menyatakan bahwa garis regresi
penduga (Ŷ) linier sederhana melalui titik acuan (0,0)
2). Apabila nilai P-value < (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan
thit > t(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0 yang menyatakan bahwa garis regresi
penduga (Ŷ) linier sederhana melalui tidak melalui titik acuan (0,0).
Untuk b1, maka
1). Apabila nilai P-value ≥ (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan
thit ≤ t(tabel 5%); hal ini berarti terima H0 yang menyatakan bahwa garis regresi
penduga (Ŷ) linier sederhana sejajar dengan sumbu X pada nilai b0.
2). Apabila nilai P-value < (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan
thit > t(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0 yang menyatakan bahwa garis regresi
penduga (Ŷ) linier sederhana melalui tidak sejajar dengan sumbu X dengan
slop sama dengan b2.
Sebagai contoh dari hasil analisis tersebut di atas didapatkan nilai P-value untuk
b0 = 0.00433. Ini berarti tolak H0 karena P-value < 0,05, yang berarti bahwa
garis regresi penduga Ŷ = - 0,95776 + 0,16893 X; tidak melalui titik acuan (0,0).
Demikian juga didapatkan nilai P-value untuk b1 = 0.00002. Ini berarti tolak H0 karena P-
value < 0,05, yang berarti bahwa garis regresi penduga Ŷ = - 0,95776 +
0,16893 X; adalah garis regresi penduga tidak sejajar dengan sumbu X, arinya
mempunyai slop atau kemiringan = 0,16893 dan sangat nyata.

41
Lower dan Upper adalah sama dengan perkiraan nilai interval b0 dan b1 atau pendugaan
nilai β0 dan β1 dengan rumus: p {bi - tα/2 sbi ≤ βi ≤ bi - tα/2 sbi} = 1- α .
Nilai 95% atau 99% = 1- α tergantung pada nilai α yang dipakai 5% atau 1%.
Perkiraan nilai β0 berkisar antara - 1,558029 sampai dengan - 0,35750 untuk
nilai α = 5%; dan antara - 1,79474 sampai dengan - 0,12079 untuk α = 1%;
Perkiraan nilai β1 berkisar antara 0,119176 sampai dengan 0,21868 untuk α = 5%;
dan antara 0,09956 sampai dengan 0,23830 untuk α = 1%;
Perhatikan nilai Lower dan Upper, apabila nilai Lower dan Upper bersifat definit positif
atau definit negarif artinya baik Lower maupun Upper mempunyai tanda bilangan
yang positif atau negarif ( + , - ) berarti dalam uji t-hitung bi menunjukkan
signifikansi yang nyata pada taraf α = 5% atau 1%.
Sebaliknya, apabila nilai Lower bertanda negarif dan Upper bertanda positif
berarti dalam uji t-hitung bi menunjukkan signifikansi yang tidak nyata pada taraf
nilai α = 5% atau 1%.

Analisis regresi linier sederhana

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (17)

Similar to Analisis regresi linier sederhana

Similar to Analisis regresi linier sederhana (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Analisis regresi linier sederhana