1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
II. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình sau:
a)
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
+
+ >
x x
b)
2 3
4 3 1
3 35. 6 0
3
−
−
− + ≥
x
x
c)
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12+
+ + > + +x x x
x x x x
Hướng dẫn giải:
a) ( )
2 1
1
1 1
3. 12, 3 .
3 3
+
+ >
x x
Điều kiện: x ≠ 0.
( )
1
2 1 2 1
1
1
3
31 1 1 1 1 1 1
3 3. . 12 12 0 1 0
3 3 3 3 3
1
4
3
> +
⇔ + > ⇔ + − > ⇔ →− > ⇔ <
< − →
x
x x x x
x
o
x
x x
vn
Từ đó ta được nghiệm của bất phương trình là 1 0.− < <x
b)
2 3 4 4
4 3 3 2 3 6 3
3 3
1 3 3 35
3 35. 6 0 35.3 6 0 .3 6 0 729 35.3 54.3 0
3 3 3 9
−
− −
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − + ≥
x
x x x x x
x x
6 3 3 3
3 3
25 27 27 27 1 27
35.3 54.3 729 0 3 3 3 log log
7 5 5 5 3 5
− − ≤ ⇔ − ≤ ≤ → ≤ ⇔ ≤ → ≤x x x x
x x
c) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1
4 .2 3.2 .2 8 12 4 2 2 8 3.2 12 0+ +
+ + > + + ⇔ − + − + − >x x x x x x
x x x x x x
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2
2
2 2
2
2 4 0
2 3 0
4 2 2 2 4 3(2 4) 0 2 4 2 3 0
2 4 0
2 3 0
− >
− + >
⇔ − + − + − > ⇔ − − + > ⇔
− <
− + <
x
x x x x
x
I
x x
x x x x
II
x x
( )
2 2
22
2
2 22 4 0
2
2 3 02 3 0 2 3
1 3
>
> < −− >
⇔ ⇔ ⇔ → < −− − <− + > < <
− < <
x
x
x x
I x
x xx x x
x
( )
2 2
22
2 2
22 4 0
2 13
2 3 02 3 0
1
− < <
<− <
⇔ ⇔ ⇔ →− < < −>
− − >− + < < −
x
x
x
II xx
x xx x
x
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của bất phương trình là
1
2
2 3
< −
≠ −
< <
x
x
x
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
1 1 1
49 35 25− ≤x x x
b) 2 4 4
3 8.3 9.9 0+ + +
− − >x x x x
c) 1 1
15.2 1 2 1 2+ +
+ ≥ − +x x x
Hướng dẫn giải:
a) ( )
1 1 1
49 35 25 , 1 .− ≤x x x
Điều kiện: x ≠ 0.
07. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Đặt ( )
2
1 49 35 7 7 1 5 7 1 5
, 1 49 35 25 1 1 0
25 25 5 5 2 5 2
− +
= ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
t t t t t
t t t
t
x
Do
7
5
7 7
5 5
1 5
1 log
27 7 1 5 1 5 1 1 5
0 log log 0
5 5 2 2 2
+
− + + + > → ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
t t
x
t
x x
Giải bất phương trình trên ta thu được 1 5
2
7
5
0
1 7
log
51 5
log
2
+
<
≥ =
+
x
x
b) ( )2 4 4
3 8.3 9.9 0, 2 .+ + +
− − >x x x x
Điều kiện: 4 0 4.+ ≥ ⇔ ≥ −x x
( )
4
2 4 4 4 4
4 4
9 3 .3
2 3 8.3 9.9 0 8. 9 0 9 8.3 9 0.
9 9
+
+ + + − + − +
+ +
⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ − − >
x x x
x x x x x x x x
x x
Đặt ( )
( )
( )4 4
9
3 , 0 9 8.3 9 0 3 9 4 2 4 2, *
1
− + − +
>
= > → − − > ⇔ → > ⇔ − + > ⇔ + < −
< −
x x t t x x
t
t t x x x x
t L
( ) 2 2
2
2 0 2
* 5.5
4 ( 2) 5 0
0
≥
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ → >>
+ < − − > <
x
x x
xx
x x x x
x
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 5.
c) ( )1 1
15.2 1 2 1 2 , 3 .+ +
+ ≥ − +x x x
Đặt ( ) ( ) ( )2 , 0 3 30 1 1 2 , * .= > ⇔ + ≥ − +x
t t t t t
TH1: ( ) 2 2
1 1 1
1, * 30 1 3 1 1 4
0 430 1 9 6 1 4 0
≥ ≥ ≥
≥ ⇔ + ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
≤ ≤+ ≥ − + − ≤
t t t
t t t t
tt t t t t
Từ đó ta được 1 2 4 0 2.≤ ≤ ⇔ ≤ ≤x
x
TH2: ( )
2
2
1
1 1
1 11 1
30 30 1
301, * 30 1 1 301 1 1 1
1 1 1 1
0 2828 0
30 1 2 1
< −
− − ≤ < − ≤ < −− − ≥ ≤ < − < ⇔ + ≥ + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− ≤ < − ≤ <
− ≤ < − ≤ < ≤ ≤− ≤ + ≥ + +
t
t t
t t
t t t
t t
t t
tt t
t t t
Kết hợp với điều kiện t > 0 ta được 0 < t < 1.
Từ đó ta có 0 2 1 0.< < ⇔ <x
x
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 2.
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:
a)
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0x x x
− + ≤ b) 3 9.3 10 0x x−
+ − < c) 5.4 2.25 7.10 0x x x
+ − ≤
Hướng dẫn giải:
a)
1
2 1
1 1 1
2
03
3 3 0
6.9 13.6 6.4 0 6. 13. 6 0 2 32
2 2
3 26 13 6 0
x
x x
x x x
t
t
t
t t
> = > − + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≤ − + ≤
1
12 3 3 1
1 1
13 2 2
x x
xx
≤ −
⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≥
b) 2
3 0 0
3 9.3 10 0 1 3 9 0 2
1 910 9 0
x
x x xt t
x
tt t
−
= > >
+ − < ⇔ ⇔ ⇔ < < ⇔ < <
< <− + <
3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
d)
2
5
25 5
5.4 2.25 7.10 0 5 2. 7 0 2
4 2
2 7 5 0
x
x x
x x x t
t t
= + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔
− + ≤
0
5 5
1 0 15
2 21
2
xt
x
t
>
⇔ ⇔ ≤ ≤ ↔ ≤ ≤
≤ ≤
Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau:
a) 2 1
5 5 5 5x x x+
+ < + b)
2/ 2 1/
1 1
9. 12
3 3
x x+
+ >
c) ( ) ( )7 4 3 7 4 3 14
x x
− + + ≥ d) 3 3 34 15 4 15 8
xx x
− + + ≥
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
2 2 2
2 1 2 2 1
9 34.15 25 0x x x x x x− + − − +
− + ≥ b) ( ) ( )
2 2
22 2
1 2
3 5 3 5 2 0
x x x x
x x
− −
+ −
+ + − − ≤
c)
2 2 2
2 2 2
6.9 13.6 6.4 0x x x x x x− − −
− + ≤ d)
1
4
1 1
2log 8
4 16
x x−
− >
Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau:
a)
2/ 2 1/
1 1
9. 12
3 3
x x+
+ >
b)
1 1
1 2
4 2 3 0
− −
− − ≤x x
c)
2 3
2 1 1
2 21. 2 0
2
+
+
− + ≥
x
x
d)
2log log6 66 12
x x
x+ ≤
Ví dụ 7: Giải các bất phương trình sau:
a) 2.14 3.49 4 0+ − ≥x x x
b)
4 4
1
8.3 9 9+ +
+ >x x x x
c) 5.36 2.81 3.16 0− − ≤x x x
d) 1 1 1
4 5.2 16 0x x x x+ − + − +
− + ≥
Ví dụ 8: Giải các bất phương trình sau:
a)
−
− − ≥
3 1
1 1
128 0
4 8
x x
b)
−
−
− + >
2
( 2)
2( 1) 34 2 8 52
x
x x
c) ( )+ − + + − ≥22 12 9.2 4 . 2 3 0x x x x
