1. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
99
BI N LU N PHƯƠNG TRÌNH, BPT B NG TH
I. BI N LU N PHƯƠNG TRÌNH B NG TH
1. Bài toán: a) Kh o sát và v th (C): y = f (x)
b) Bi n lu n theo m s nghi m: F(x, m) = 0
2. Phương pháp: b) Bi n i F(x, m) = 0 v 1 trong 4 d ng sau:
D ng 1: ƒ(x) = m D ng 2: ƒ(x) = g(m)
D ng 3: ƒ(x) = ax + g(m) D ng 4: ƒ(x) = g(m) (x − x0) + y0
3. Các bài t p m u minh h a
Bài 1. 1) Kh o sát s bi n thiên và v th ( )
2
3 3( ):
2
x xC y f x
x
+ += =
+
2) Bi n lu n theo a s nghi m c a PT: ( )2
3 3 2 0x a x a+ − + − = và so sánh các
nghi m ó v i (−3) và (−1)
Gi i: 1) 1.1. T p xác nh: { } ( ) ( )D 2 , 2 2,f = − = −∞ − − +∞» ∪
1.2. Chi u bi n thiên:
a) o hàm và c c tr :
( )
2 1
2
2
3
4 3 0
2 1
x x
x xy
x x x
= = −
+ +′ = = ⇔ 
+ = = −
⇒ ( ) ( ) ( ) ( )1 23 3; 1 1f x f f x f= − = − = − =
b) Ti m c n: ( ) 11
2
f x x
x
= + +
+
( )
2
2 1
3 3
lim lim
2x x
x x
f x
x→ − →−
+ +
= = ∞
+
⇒ TC : x = −2.
( ) ( ) 1lim 1 lim 0
2x x
f x x
x→∞ →∞
 − + = =  +
⇒ TCX: y = x + 1.
c) B ng bi n thiên:
x −∞ −3 −2 −1 +∞
( )f x′ + 0 − − 0 +
( )f x
−∞
−3
−∞
+∞
1
+∞
www.VNMATH.com

2. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
100
d) Nh n xét: Hàm s ng bi n trên ( ) ( ), 3 1,−∞ − − +∞∪
Hàm s ngh ch bi n trên ( ) ( )3, 2 2, 1− − − −∪ ;
Hàm s có c c i ( )3, 3− − và c c ti u (−1, 1)
2) PT ( )2
3 3 2x x a x⇔ + + = +
( )
2
3 3
2
x xf x a
x
+ +⇔ = =
+
Nghi m c a phương trình ã cho là hoành
giao i m c a ư ng th ng y a= v i th
(C): y = f (x). Nhìn vào th ta có:
N u a < −3 thì x1 < −3 < x2 < −1 N u a = −3 thì x1 = x2 = −3 < −1
N u −3 < a < 1 thì phương trình vô nghi m.
N u a = 1 thì −3 < −1 = x1 = x2 N u a > 1 thì −3 < x1 < −1 < x2
Bài 2. a. Kh o sát và v th ( )
2
( ):
1
xC y f x
x
= =
−
b. Bi n lu n s nghi m c a PT: ( )4 3 2
2 1 0z mz m z mz− + + − + =
c. Bi n lu n s nghi m t∈(0,π) c a PT: 2
cos cos 0t m t m− + =
Gi i
( ) 11
1
f x x
x
= + +
−
⇒
TCÐ: 1
TCX: 1
x
y x
=

= +
( ) ( )
( )2
0 02
0
1 2 4
x yx x
f x
x x y
= ⇒ =−′ = = ⇔ 
− = ⇒ =
(T l p BBT)
b. ( )4 3 2
2 1 0z mz m z mz− + + − + =
⇔ ( )2
2
12 0mz mz m
z z
− + + − + =
⇔ ( ) ( )
2
1 1 0z m z m
z z
+ − + + = . t 1 1 2x z x z
z z
= + ⇒ = + ≥ ,
( )2
1x m x= − ⇔ ( )
2
1
xf x m
x
= =
−
v i ( ] [ )D , 2 2,x∈ = −∞ − +∞∪
c) t ( ) ( )cos 1,1 0,x t t= ∈ − ∀ ∈ π . Khi ó 2
cos cos 0t m t m− + =
⇔ ( )
2
1
xf x m
x
= =
−
v i x ∈ (−1, 1).
1 2-1
1
4
x
y
O
O x
y
1
-1
-3
-3 -2
y=a
x21x
a
1.3. th :
www.VNMATH.com

3. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
101
Bài 3. a. Kh o sát và v
2
3
2
x xy
x
+ −=
+
b. Bi n lu n theo m s nghi m: ( )4 2
1 3 2 0t m t m+ − − − =
Gi i
a.
TCÐ: 211
2 TCX : 1
x
y x
x y x
=
= − − ⇒ 
+ = −
( )2
11 0 2
2
y x
x
′ = + > ∀ ≠ −
+
b. ( )4 2
1 3 2 0t m t m+ − − − =
⇔ ( )4 2 2
3 2t t m t+ − = + ⇔
4 2
2
3
2
t t m
t
+ − =
+
⇔ ( )
2
3
2
x xf x m
x
+ −= =
+
v i x = t2
≥ 0
Bài 4. a) Kh o sát và v th ( )
2
1( ):
1
x xC y f x
x
+ += =
+
b) Bi n lu n s nghi m c a PT: ( )2
1 1 0x m x m+ − + − =
c) Bi n lu n s nghi m x∈[0,π] c a PT: ( )2
sin 1 sin 1 0x a x a− − + − =
Gi i
( ) 1
1
f x x
x
= +
+
⇒
TCÐ: 1
TCX : 1
x
y x
=

= +
( ) ( )
( )2
2 22
0
1 0 1
x yx x
f x
x x y
= − ⇒ = −+′ = = ⇔ 
+ = ⇒ =
x −∞ −2 −1 0 +∞
f ′ + 0 − − 0 +
f
−∞
−3
−∞
+∞
1
+∞
-2 1O
y
x
-1
-3/2
x
y
O
-1 1-2
-3
2
3
1
1
-2
-3
-1
O
y
x
www.VNMATH.com

4. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
102
b) ( )2
1 1 0x m x m+ − + − = ⇔ ( )
2
1
1
x x
f x m
x
+ +
= =
+
.
(C′): ( )y f x= ư c v t (C): y = f (x) theo qui t c: Gi nguyên ph n th (Ca)
c a (C) ng x ≥ 0. L y (C′a) i x ng v i (Ca) qua Oy, khi ó (C′) = (Ca) ∪ (C′a)
c) t [ ] [ ]sin 0,1 0,t x x= ∈ ∀ ∈ π . Khi ó ( )2
sin 1 sin 1 0x a x a− − + − =
⇔ ( )
2
1
1
t tf t a
t
+ += =
+
v i t ∈ [0, 1].
Bài 5. a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a ( )
2
2( ):
1
x xC y f x
x
− += =
−
b. Tìm a phương trình:
2
2 1
1
x x ax a
x
− + = − +
−
có nghi m
c. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình:
2
2
2
log
1
x x
m
x
− +
=
−
Gi i: a. ( )
( )
2 1
2
2
1 2
2 1 0
1 1 2
x x
x xf x
x x x
 = = −
− − ′ = = ⇔
− = = +
⇒
( )
( )
1
2
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
y f
y f
 = − = −

 = + = +
( ) 2
1
f x x
x
= +
−
⇒ TC : x = 1; TCX: y = x.
b. Nghi m c a
2
2 1
1
x x ax a
x
− + = − +
−
là
hoành giao i m c a ư ng th ng
(D): ( )1 1y a x= − + v i (C): y = f (x).
Do (D) luôn i qua i m c nh
I(1, 1) nên phương trình trên có
nghi m thì (D) ph i n m trong góc nh n
t o b i 2 ti m c n: TC : x = 1 (v i h
s góc k = +∞) và TCX: y = x (v i h
s góc k = 1) ⇒ a > 1
c. Do ( )
2
2
1
x x
y f x
x
− +
= =
−
là hàm
ch n nên th ( ) ( ):C y f x′ = nh n
Oy làm tr c i x ng và ư c v t
(C): y = f (x) theo qui t c:
x
21-
y
1+ 2
-2
1
21+2
1
O
O
1
1+2 2
1
-2
21+
y
x-1- 2
www.VNMATH.com

5. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
103
Gi nguyên ph n th c a (C) ng v i x ≥ 0 r i l y i x ng ph n này qua Oy.
Nghi m c a phương trình ( ) 2logf x m= (m > 0) là hoành giao i m c a
ư ng th ng 2logy m= v i th (C′). Nhìn vào th ta có:
N u 2log 2m < − ⇔ 10
4
m< < thì phương trình có 2 nghi m. …
Bài 6. a. Kh o sát và v ( ) 4 2
2 3y f x x x= = − + +
b. Bi n lu n theo m s nghi m: 4 2 4 2
2 2x x m m− = −
Gi i
a. ( ) ( )3 2
4 4 4 1 0 0; 1f x x x x x x x′ = − + = − = ⇔ = = ± ⇒ C c tr (0, 3), (±1, 4)
( ) ( )2 2 112 4 4 1 3 0
3
f x x x x′′ = − + = − = ⇔ = ± ⇒ i m u n 321 ,
93
 ± 
 
b. ( ) ( )4 2 4 2 4 2 4 2
2 2 2 3 2 3x x m m x x m m f x f m− = − ⇔ − + + = − + + ⇔ = (*)
Nhìn vào th ta có:
N u ( ) 4 1f m m= ⇔ = ± thì (*) có 2 nghi m kép x = ±1.
N u ( ) ( ) { }3 4 2, 2 0, 1f m m< < ⇔ ∈ − ± thì (*) có 4 nghi m phân bi t.
N u ( ) { }3 0, 2f m m= ⇔ ∈ ± thì (*) có 3 nghi m x = 0; 2x = ± .
N u ( ) ( ) ( )3 , 2 2,f m m< ⇔ ∈ −∞ − +∞∪ thì (*) có 2 nghi m phân bi t.
Bài 7. a) Kh o sát và v th ( ) 3
( ): 4 3 1C y f x x x= = − −
b) Tìm m
3
4 3 1 0x x mx m− − + − = có 4 nghi m phân bi t.
Gi i
( ) 2 112 3 0
2
f x x x′ = − = ⇔ = ±
( ) 24 0 0f x x x′′ = = ⇔ =
⇒ C c i ( )1 ,0
2
− ; c c ti u ( )1 , 2
2
−
x −∞ −1 0 1 +∞
f ′ + 0 − 0 + 0 −
f
−∞
4
3
4
−∞
x −∞
1
2
− 1
2 +∞
f ′ + 0 − 0 +
f
−∞
0
−2
+∞
3- 3
O x
y
1-1
- 2 2
3
4
www.VNMATH.com

6. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
104
i m u n U(0, −1)
b)
3
4 3 1 0x x mx m− − + − = ⇔ ( ) ( )3
4 3 1 1f x x x m x= − − = − (*)
th (C′): ( )y f x= ư c v t th (C): y = f (x) theo qui t c:
- Gi nguyên ph n th (Ca) c a (C) ng v i x ≥ 0.
- L y (Ca′) i x ng v i (Ca) qua Oy, khi ó (C′) = (Ca) ∪ (Ca′)
Nghi m c a (*) là hoành giao i m
c a ư ng th ng ( ) ( ): 1md y m x= −
v i th (C′): ( )y f x= .
Ta th y (dm) luôn i qua i m A(1, 0) ∈ (C′)
và (dm) qua B(0, −1) là (AB):
1y x= − có h s góc k1 = 1.
ư ng th ng c a h (dm) ti p xúc v i (Ca′)
t i i m có hoành x0 < 0 là nghi m c a phương trình:
( )
( )
3
2
2
2
4 3 1 1
3 1 4
x x k x
x k
 − + − = −

− =
⇒
( )( )3 2
4 3 1 3 1 4 1x x x x− + − = − −
⇔ ( ) ( )( )2 2
1 4 2 1 3 1 4 1x x x x x− + − = − −
⇔ ( )( )2
2 2 1 2 2 1 0x x x− − − = .
Do x0 < 0 nên 0
1 3
2
x
−
= ⇒ 2 6 3 9k = −
Nhìn vào th (C′) ta th y: phương trình có 4 nghi m phân bi t thì
( ) ( ): 1md y m x= − ph i c t th (C′): ( )y f x= t i 4 i m phân bi t ⇔
1 2k m k< < ⇔ 1 6 3 9m< < −
Bài 8. Tìm m 3
2 1m x x− + + = có 3 nghi m phân bi t.
Gi i
-2
y
xO
1/2 1-1/2
-1
-1
-1/2 11/2
O x
y
-2
-1
A
B
t
www.VNMATH.com

7. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
105
t 2
2 0 2t x x t= + ≥ ⇒ = − , khi ó PT ⇔ 3 2
2 1m t t− + = −
( )32
2 1m t t⇔ − + = − ( ) 3 2
4 3 1f t t t t m⇔ = − + − − = .
Xét th (C): y = ƒ(t). Ta có: ( ) 2 4 7
3 8 3 0
3
f t t t t
±′ = − + − = ⇔ =
⇒ C c tr :
4 7 7 14 7
3 27
f
 ± − ±
= 
 
và ( )0 1f = − ⇒ Hình d ng th (C)
V i m i giá tr t ≥ 0 thì cho ta 1 nghi m
2
2x t= − nên PT ã cho có 3 nghi m
phân bi t thì ƒ(t) = m ph i có 3 nghi m
phân bi t t ≥ 0.
Nghi m c a ƒ(t) = m là hoành giao i m c a th y = ƒ(t) v i y = m.
Nhìn vào th ta có ƒ(t) = m có 3 nghi m phân bi t t ≥ 0
⇔ ( )4 7 7 14 7
0 1
3 27
f m f m
 − − −
< ≤ ⇔ < ≤ 
 
Bài 9. Tìm m PT: 2 2 2
sin sin 3 cos 2 0x x m x+ − = (*) có nghi m.
Gi i
( )2 21 cos 2 1 cos6 1(*) cos 2 1 cos6 cos 2 cos 2
2 2 2
x x m x x x m x− −⇔ + = ⇔ − + =
3 2
2cos 2 cos 2 1 cos 2x x m x⇔ − + + =
t [ ]cos 2 1,1t x= ∈ − , khi ó (*) ⇔ ( ) 3 2
2 1f t t t mt= − + + = .
Ta có: ( ) 2 16 1 0
6
f t t t′ = − + = ⇔ = ±
Nhìn vào th ta th y: (*) có nghi m ⇔ Parabol (Pm): 2
y mt= c t th
(C): y = ƒ(t) t i i m có hoành t∈[−1, 1] ⇔ m > 0
t −1
1
6
− 1
6
1
f ′ + 0 − 0 +
ƒ
2
CT
C
0
-1
O x
y
74+
3
3
4- 7
714
3
-7
-7
3
-14 7
y
xO
2
1
1
-1
www.VNMATH.com

8. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
106
II. BI N LU N B T PHƯƠNG TRÌNH B NG TH
1. Các bài t p m u minh h a
Bài 1. Tìm m BPT: ( )( ) 2
4 6 2x x x x m+ − ≤ − + úng ∀x∈[−4, 6]
Gi i
t ( )( )
( )( )
( )
( )22 2
00
4 6 :
4 6 1 25
yy
y x x C
y x x x y
≥≥ 
= + − ⇔ ⇔ 
= + − − + =  
• (C) là n a ư ng tròn phía trên Ox
v i tâm I(1, 0), bán kính R = 5.
• ( ) 2
: 2mP y x x m= − + là 1 parabol có
nh D(1, m − 1) ∈ ư ng th ng x = 1.
Ta có: ( )( ) 2
4 6 2x x x x m+ − ≤ − + ∀x∈[−4, 6]
⇔ (C) n m phía dư i (Pm) ∀x∈[−4, 6]
⇔ nh T(1, 5) c a (C) n m dư i D(1, m − 1) ⇔ m − 1 ≥ 5 ⇔ m ≥ 6.
Bài 2. Cho BPT: ( ) 2
2 1 2 3x x m x x− + + ≥ − + (*)
a. Tìm m BPT (*) có nghi m
b. Tìm m dài mi n nghi m c a (*) b ng 2.
Gi i
Parabol (P): 2
2 3y x x= − + có nh D(1, 2)
G i (Cm): ( )2 1y x x m= − + + ⇔
( )2
2 1
0
y x x m
y
 = − + +

≥
⇔ (Cm):
( )2 2
0
1 2
y
x y m
≥

− + = +
v i m ≥ −2.
Ta có (Cm) là n a ư ng tròn phía trên Ox
v i tâm I(1, 0), bán kính 2R m= + và có
nh ( )T 1, 2m + .
a. BPT (*) có nghi m thì nh ( )T 1, 2m + ph i n m phía trên D(1, 2)
⇔ 2 2 2 4 2m m m+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥
b. Gi s (Cm) ∩ (P) t i 2 i m phân bi t A1(x1, y0), A2(x2, y0)
O
y
x1-4 6
T
Dm-1
1 x
y
O
2 3
3
A
B
T
D
-1
www.VNMATH.com

9. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
107
⇒ Mi n nghi m c a BPT (*) là [ ]1 2,x x ⇒ x2 − x1 = 2 (1)
Vì A1, A2∈(P) nên ta có x1, x2 là nghi m c a phương trình 2
02 3 0x x y− + − =
⇒ 1 2 2x x+ = , k t h p v i (1) ⇒ 1 20, 2x x= = ⇒ 0 3y =
⇒ ( )
2 2
1 02 1 1 9 10m x y+ = − + = + = ⇔ m = 8.
Bài 3. Tìm m BPT: ( )( ) 2
4 4 2 2 18x x x x a− − + ≤ − + − úng ∀x∈[−2, 4]
Gi i
( )( ) ( )( )
2
2 184 4 2 2 18 4 2
4 2 4
x x ax x x x a x x − −− − + ≤ − + − ⇔ − + ≥ + −
t ( )( )
( )( )
( )
( )22 2
00
4 2 :
4 2 1 9
yy
y x x C
y x x x y
≥≥ 
= − + ⇔ ⇔ 
= − + − + =  
• (C) là n a ư ng tròn phía trên
Ox v i tâm I(1, 0), bán kính R = 3.
• ( )
2
18:
4 2 4m
x x aP y − −= + − là m t
parabol quay b lõm xu ng dư i và
nh n x = 1 làm tr c i x ng.
• (C) ∩ Ox t i A(−2, 0) và B(4, 0) i x ng qua x = 1. Ta xét parabol (P) thu c
h (Pm) i qua A, B:
2
184 40 10
4 2 4
a a−−= + − ⇔ = ⇒ ( )
2
: 2
4 2
x xP y −= + +
Nhìn vào th suy ra (*) úng ∀x∈[−2, 4] thì a ≥ 10.
Bài 4. Cho BPT: ( ) 2
6 6 2x x x x m− ≥ − + + (*)
Tìm m dài mi n nghi m p c a (*) tho mãn: 2 ≤ p ≤ 4.
Gi i
t ( )
( )
( )
( )22 2
00
6 :
6 3 9
yy
y x x C
y x x x y
≥≥ 
= − ⇔ ⇔ 
= − − + =  
• (C) là n a ư ng tròn phía trên
Ox v i tâm I(3, 0), bán kính R = 3.
• ( ) 2
: 6 2mP y x x m= − + + là m t
parabol quay b lõm lên trên và
nh n x = 3 làm tr c i x ng.
A
-2
y
xO
1 4
B
O x
y
(P )1
2
(P )
C
A B
D
1 2
3
4 5 6
www.VNMATH.com

10. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
108
Gi s (C) ∩ (Pm) t i 2 i m phân bi t M1(x1, y0), M2(x2, y0) v i x1 < x2.
⇒ M1, M2 i x ng v i nhau qua ư ng th ng x = 3 ⇒ 1 2 2.3 6x x+ = =
Nghi m c a BPT (*) là x∈[ ]1 2,x x ⇒ dài mi n nghi m p c a (*) là:
( )2 1 22 3p x x x= − = − . 2 ≤ p ≤ 4 thì 1 ≤ x2 − 3 ≤ 2 ⇔ 4 ≤ x2 ≤ 5
Xét các parabol P1, P2 thu c h (Pm) l n lư t qua ( ) ( )4,2 2 , 5, 5A B ∈(C) là
( ) 2
1 : 6 8 2 2P y x x= − + + và ( ) 2
2 : 6 5 5P y x x= − + +
Nhìn vào th suy ra (*) có dài mi n nghi m p tho mãn 2 ≤ p ≤ 4
thì 5 5 2 8 2 2 3 5 6 2 2m m+ ≤ + ≤ + ⇔ + ≤ ≤ +
Bài 5. Tìm m BPT: ( )2
2 2 3x x m− + − ≥ úng x∀ ∈»
Gi i
( )2
2 2 3x x m− + − ≥ ⇔
( )2 23 2 12
2 2 2
x xx m x m x
− − −− ≥ ⇔ − ≥ + −
Parabol
2
1( ): 2
2 2
xP y x−= + − quay b lõm xu ng dư i.
th ( )D :m y x m= − là hình v
ch V nh M(m, 0) g m 2 n a
ư ng th ng n m phía trên Ox và
t o v i Ox các góc 45° và 135°.
Xét nhánh ph i c a (Dm) ti p xúc v i (C), khi ó hoành ti p i m là nghi m
c a:
21 12 1
2 2
01 2
x m x x x
mx
− − = + − = 
⇔ 
= = − +
⇒ ( )0D : y x= ti p xúc (C)
Xét nhánh trái c a (Dm) ti p xúc v i (C), khi ó hoành ti p i m là nghi m
c a:
21 12 3
2 2
41 2
x m x x x
mx
−− + = + − = 
⇔ 
= − = − +
⇒ ( )4D : 4y x= − ti p xúc (C)
Nhìn vào th ta có: BPT úng ∀x ⇔ nh M(m, 0) c a (Dm) n m bên trái
nh (0, 0) c a (D0) ho c n m bên ph i nh (4, 0) c a (D4) ⇔ m ≤ 0 ho c m ≥ 4.
y
xO
1
1 2 3 4
3/2
www.VNMATH.com

11. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
109
Bài 6. Gi i bi n lu n BPT: 2
5 4x x a− + <
Gi i
( )
( )
[ ]
2
2
2
5 4 khi 1,4
: 5 4
5 4 khi 1,4
x x x
C y x x
x x x
 − + ∈
= − + = 
− + − ∈
»
G i (C1) là ph n th n m phía trên tr c hoành c a 2
5 4y x x= − + còn (C2) là
ph n th i x ng qua Ox v i ph n th n m phía dư i Ox c a 2
5 4y x x= − +
Khi ó (C) = (C1) ∪ (C2). Xét ( ) ( ) 2
1 : 5 4C y a x x a= − + =∩
⇔ 1 2
5 9 4 5 9 4
;
2 2
a a
x x x x
− + + +
= = = =
Xét ( ) ( ) 2
2 : 5 4 0C y a x x a= − + + =∩
⇔ 3 4
5 9 4 5 9 4
;
2 2
a a
x x x x
− − + −
= = = =
Nhìn vào th ta có:
N u a ≤ 0 thì BPT vô nghi m.
N u 90
4
a< ≤ thì BPT có nghi m x∈(x1, x3) ∪ (x4, x2)
N u 9
4
a > thì BPT có nghi m x∈(x1, x2)
Bài 7. 1) Kh o sát và v (C): ( )
2
2 1
1
x xy f x
x
+ += =
−
2) Tìm s a nh nh t ( ) ( )22 2
1 1a x x x x+ − ≤ + + úng ∀x∈[0, 1]
Gi i
1) ( ) 43
1
f x x
x
= + +
−
⇒
TCÐ: 1
TCX : 3
x
y x
=

= +
( )
( )2
1 041 0
3 81
x y
f x
x yx
= − ⇒ =
′ = − = ⇔ 
= ⇒ =− 
x −∞ −1 1 3 +∞
f ′ + 0 − − 0 +
f
−∞
0
−∞
+∞
8
+∞
45/21
y
xO
4
9/4
-9/4
y=a
www.VNMATH.com

12. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
110
2) t [ ] [ ]2
0,2 0,1t x x x= + ∈ ∀ ∈
( ) ( )22 2
1 1a x x x x+ − ≤ + + ∀x∈[0, 1]
( ) ( )2
1 1a t t⇔ − ≤ + ∀t∈[0, 2]
⇔
( ) ( ]
( ) [ )
1,2
0,1
f t a t
f t a t
 ≥ ∀ ∈

≤ ∀ ∈
⇔
( ]
( )
[ )
( )
1,2
0,1
Min
Max
t
t
f t a
f t a
∈
∈
 ≥


≤

( )
( )
2 9
0 1
f a
f a
 = ≥
⇔ 
= − ≤
⇔ −1 ≤ a ≤ 9.
V y s a nh nh t ( ) ( )22 2
1 1a x x x x+ − ≤ + + úng ∀x∈[0, 1] là a = −1.
Bài 8. 1) Kh o sát và v (C): ( )
2
3 3
2
x xy f x
x
− += =
−
2) Tìm s a l n nh t ( )2
6 12 4 2x x a x− + ≥ − úng ∀x∈[4, 5]
Gi i
1) ( ) 11
2
f x x
x
= − +
−
⇒
TCÐ: 2
TCX: 1
x
y x
=

= −
( )
( )2
1 111 0
3 32
x y
f x
x yx
= ⇒ = −
′ = − = ⇔ 
= ⇒ =− 
2) ( )2
6 12 4 2x x a x− + ≥ − ∀x∈[4, 5]
⇔
( )
2
6 12
4 2
x x a
x
− + ≥
−
∀x∈[4, 5]
⇔
2
3 3 3
2 4
x x x a
x
− + ≥ +
−
∀x∈[4, 5]
⇔ ư ng th ng (d): 3
4
y x a= +
n m phía dư i (C) ∀x∈[4, 5]
Xét ( ) ( )23 2 4
4
f x x′ = ⇔ − = [ ]4 4;5x⇔ = ∈
⇒ Phương trình ti p tuy n c a (C) song song v i (d) là:
(D): ( ) ( )3 3 14 4
4 4 2
y x f x= − + = + . Nhìn hình v suy ra:
S a l n nh t ( )2
6 12 4 2x x a x− + ≥ − úng ∀x∈[4, 5] là 1
2
a =
y
O-3
8
x1-1 32
-1
9
3
x −∞ 1 2 3 +∞
f ′ + 0 − − 0 +
f
−∞
−1
−∞
+∞
3
+∞
-1
2
3
3
O
x
y
1
(D)
4 5
www.VNMATH.com

13. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
111
III. BI N LU N H PHƯƠNG TRÌNH B NG TH
1. Phương pháp chung
Bi u di n các i u ki n b ng ngôn ng hình h c và xét tính tương giao
Nghi m c a h là giao i m c a các ư ng cong bi u di n các i u ki n
2. Các bài t p m u minh h a
Bài 9. Tìm a h
( )
( )
2 2
2
2 1
4
x y a
x y
 + = +

+ =
có úng 2 nghi m.
Gi i
N u a < −1 thì h vô nghi m.
Xét a ≥ −1: ( ) ( )2 2
: 2 1aC x y a+ = + là ư ng
tròn tâm O(0, 0) bán kính ( )2 1R a= + .
( )2
4x y+ = ⇔ x + y = ±2.
Nghi m c a h ã cho chính là to c a các giao i m do ư ng th ng
( )1 : 2 0x y∆ + + = và ( )2 : 2 0x y∆ + − = c t (Ca).
Do (∆1), (∆2) i x ng nhau qua O nên h ã cho có úng 2 nghi m
⇔ (∆1), (∆2) ti p xúc (Ca) ⇔ ( )( ) ( )1O, 2 1 2 0R d a a= ∆ ⇔ + = ⇔ =
Bài 10. Cho h phương trình:
2 2
0
0
x ay a
x y x
+ − =

+ − =
a. Tìm a h có 2 nghi m phân bi t.
b. G i ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y là các nghi m c a h .
CMR: ( ) ( )
2 2
2 1 2 1 1x x y y− + − ≤ . D u b ng x y ra khi nào?
Gi i
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
: 1 0
0
1 10 :
2 4
a x a y
x ay a
x y x C x y
 ∆ + − =
+ − = 
⇔ 
+ − = − + =

(C) là ư ng tròn tâm ( )1 ,0
2
I bán kính 1
2
R =
(∆a) là ư ng th ng quay quanh i m A(0, 1) c nh.
a. h có 2 nghi m phân bi t thì (∆a) c t (C) t i 2 i m phân bi t
( )1∆
∆2( )
xO
y
2
2
-2
-2
y
O x1
I
1
M
N
2
A
www.VNMATH.com

14. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
112
⇔ ( )( ) ( )2
2
22 2
1
1 22 1 4, 1 3 4 0 0
2 311
a
a
a
d I R a a a
aa
−
−
∆ < ⇔ < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < <
++
b. V i 40
3
a< < thì ư ng th ng (∆a) c t (C) t i 2 i m phân bi t
( )1 1M ,x y , ( )2 2N ,x y ⇒ 2MN R≤ =1 ( ư ng kính là dây l n nh t)
⇔ ( ) ( )
2 2
2 1 2 1 1x x y y− + − ≤ ⇒ ( pcm)
D u b ng x y ra ⇔ MN = 2R ⇔ (∆a) i qua ( )1 ,0
2
I ⇔ 1
2
a =
Bài 11. Tìm a h
1 2
3
x y a
x y a
 + + + =

+ =
có nghi m.
Gi i
N u a < 0 thì h vô nghi m. Xét a ≥ 0:
t
1 0
2 0
u x
v y
 = + ≥

= + ≥
. H ⇔
( )2 2
, 0
3 1
u v
u v a
u v a
≥

+ =

+ = +
( ) ( )2 2
: 3 1C u v a+ = + là h các ư ng tròn tâm O(0, 0) bán kính ( )3 1R a= +
( ):d u v a+ = là h các ư ng th ng // v i nhau t o v i Ou góc 135°
Xét ư ng th ng ( )1( ): 3 1d u v a+ = + i qua A(R, 0); B(0, R) ∈(C)
và ư ng th ng ( )2( ): 6 1d u v a+ = + ti p xúc v i (C) t i M
Nhìn vào th ⇒ h có nghi m thì (d) c t (C) t i i m có t a dương
⇔ (d) n m gi a (d1) và (d2) ⇔ ( ) ( )3 1 6 1a a a+ ≤ ≤ +
⇔
2
2
3 3 0 3 21
3 15
26 6 0
a a
a
a a
 − − ≥ +
⇔ ≤ ≤ +
− − ≤
Bài 12. Tìm m h
2 2
1 1 1x y
x y m
 − + + =

+ =
có 4 nghi m phân bi t.
3a+3
v
O u
3a+3
6a+6
6a+6
www.VNMATH.com

15. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
113
Gi i
( ): 1 1 1L x y− + + = ⇔
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1 0 1,2 , 1,0
3 0 1,2 , 2, 1
1 0 0,1 , 2, 1
1 0 0,1 , 1,0
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
 + − = ∈ ∈ −

 − − = ∈ ∈ − −

 + + = ∈ ∈ − −

− + + = ∈ ∈ −
víi
víi
víi
víi
• (L) có hình bi u di n là 4 c nh c a hình vuông
ABCD v i A(1, 0); B(2, −1); C(1, −2); D(0, −1)
• ( ) 2 2
:C x y m+ = là ư ng tròn tâm O(0, 0) bán
kính R m= .
Xét ư ng tròn tâm O ti p xúc v i BC có bán kính là: ( )1
3,( )
2
R d O BC= =
ư ng tròn tâm O i qua 2 i m B, C có bán kính là: 2 5R OC= = .
Nhìn vào th ta có: H có 4 nghi m phân bi t ⇔ (L) c t (C) t i 4 i m.
⇔ 1 2
3 95 5
22
R R R m m< < ⇔ < < ⇔ < <
Bài 13. Cho 2 2
1 và 6a b c d+ = + = . CMR: 2 2
2 2 18 6 2c d ac bd+ − − ≥ − (1)
Gi i
Trên m t ph ng t a l y M(a, b) và N(c, d) ⇒ ( ) ( )2 22
MN c a d b= − + −
và M n m trên ư ng tròn ( ) 2 2
: 1C x y+ = ; N n m trên (∆): 6x y+ =
Khi ó (1) ⇔ 2
MN 19 6 2 MN 3 2 1≥ − ⇔ ≥ −
G i kho ng cách t O n (∆) là: ( )O,d ∆
Ta có: ( )OM MN ON O,d+ ≥ ≥ ∆
⇒ ( ) 2 2
0 0 6
1 MN O, 3 2
1 1
d
+ −
+ ≥ ∆ = =
+
⇒ MN 3 2 1≥ − ( pcm)
D u b ng x y ra ⇔ M ∈ o n ON và ON ⊥ (∆) ⇔ 1
2
a b= = ; 3c d= =
xO
y
D
A
B
C
O
y
6
6
M
N
1 x
www.VNMATH.com

16. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
114
IV. BI N LU N H B T PHƯƠNG TRÌNH B NG TH
Bài 1. Cho h b t phương trình:
2
2
2 0
4 6 0
x x a
x x a
 + + ≤

− − ≤
a. Tìm a h có nghi m. b. Tìm a h có nghi m duy nh t.
Gi i
( )
( )
2
2
2
2
22 0
44 6 0
6
a f x x xx x a
x xa g xx x a
 ≤ = − − + + ≤ 
⇔  −≥ =− − ≤  
(P1): y = f (x) là 1 parabol quay b lõm
xu ng dư i và có nh là (−1, 1)
(P2): y = g(x) là 1 parabol quay b lõm lên trên và c t (P1) t i 80;
7
x x −= =
a. H ã cho có nghi m ⇔ ư ng th ng y = a i qua mi n g ch chéo t o b i
(P1) và (P2) ⇔ 0 ≤ a ≤ 1.
b. H ã cho có nghi m duy nh t ⇔ ư ng th ng y = a c t mi n g ch chéo t i
m t i m duy nh t ⇔ a = 0 ho c a = 1.
Bài 2. Tìm m BPT: ( )2
1
2
log 2 3x x m− + > − (1) có nghi m
và m i nghi m u ∉ TX c a ( )3
1log 1 .log 2x xy x x+= + − (2)
Gi i
• TX c a (2) là nghi m c a h :
( ) ( ) ( )23 3
1
0 10 1
2
log 1 2 1 1x
xx
x
x x x+
< ≠< ≠  
⇔ ⇔ ≥ 
+ ≥ + ≥ +  
• ( )2
1
2
log 2 3x x m− + > − ⇔ 2
0 2 8x x m< − + <
⇔
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2
2
2 :
2 8 :
m x x f x y P
m x x g x y P
 > − + = =

< − + + = =
ư ng th ng y = m i qua mi n g ch chéo t o b i (P1) và (P2) ⇔ m ≤ 9.
M i nghi m c a (1) u ∉ TX c a (2) ⇔ M i nghi m x c a (1) u < 2
⇔ Hình chi u c a o n th ng giao gi a y = m v i mi n g ch chéo lên Ox là
t p con c a kho ng (−∞, 2). T th duy ra 8 ≤ m ≤ 9.
y
O
x-1
-2 2 4
1
-2/3
9
-2
21 x
8
O
y
4
www.VNMATH.com

17. Bi n lu n phương trình, b t phương trình b ng th
115
Bài 3. Tìm m h
2
4 2
2 4 0
6 8 18 0
x x m
x x x m
 − − + ≤

− − + − ≤
(*) có nghi m.
Gi i
H
2
4 2
2 4 0
6 8 18 0
x x m
x x x m
 − − + ≤

− − + − ≤
( )
( )
2
4 2
2 4
6 8 18
m f x x x
m g x x x x
 ≤ = − + +
⇔ 
≥ = − − +
(P): y = f (x) là 1 parabol quay b lõm xu ng dư i và có nh là D(1, 5)
• Xét (C): y = g(x).
Ta có: ( ) ( ) ( )23
4 12 8 4 1 2g x x x x x′ = − − = + −
Xét (C) ∩ (P): ( ) ( )g x f x=
( )( )3 2
1 4 14 0x x x x⇔ − + − − = ⇔ ( ) 3 2
1 4 14 0x h x x x x= ∨ = + − − =
Do ( ) ( )2 6; 3 10h h= − = nên (C) ∩ (P) t i x1 = 1 và x2∈(2, 3)
Nhìn vào th ta có h (*) có nghi m ⇔ ư ng th ng y = m i qua mi n
g ch chéo t o b i (P) và (C) ⇔ −6 ≤ m ≤ 5.
Bài 4. Tìm a ( )2 1 2x y x y a+ + − + = (*)
có nghi m.
Gi i
(*) ( ) ( )2 1 2x y a x y⇔ − + = − +
( ) ( )
2
2
2 1 2
x y
x y a x y
+ ≤

⇔ 
 − + = − +  
( ) ( )22
2 0
1 2 1
x y
x y a
+ − ≤
⇔ 
− + − = +
( ) ( ) ( )22
: 1 2 1C x y a− + − = + là ư ng tròn tâm I(1, 2) bán kính 1R a= +
x −∞ −1 2 +∞
f ′ − 0 − 0 +
f
+∞
−6
+∞
y
O x1
2 51+1- 5
-6
5
I
2
2
1 xO
y
www.VNMATH.com

18. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
116
Nghi m c a (*) là giao c a ư ng tròn (C) v i mi n g ch chéo n m phía dư i
ư ng th ng (∆): x + y − 2 = 0.
(*) có nghi m thì ( )( ) 2 2
1 2 2 1 1, 1 1
2 21 1
d I R a a a
+ − −∆ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ ≤ + ⇔ ≥
+
Bài 5. Tìm m h
( )2 2log 1 (1)
2 (2)
x y
x y
x y m
+
 + ≥

 + =
có nghi m.
Gi i
(1) ⇔
2 2
2 2
1
0
1
x y x y
x y
x y x y
 + ≥ + >

 + >

 + ≤ + <
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
0
1 1 1
1 1 12 2 2
2 2 2
x y
x y
x y
x y
x y
 + <
 + > 
  + >
∨ 
− + − ≤ 
 − + − ≥

( ) 2 2
1 : 1C x y+ = là ư ng tròn tâm O(0, 0) bán kính 1 1R =
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 1 1:
2 2 2
C x y− + − = là ư ng tròn tâm ( )1 1,
2 2
I bán kính 2
1
2
R =
(d): x + y = 0 c t (C1) t i 1 1 1 1, ; ,
2 2 2 2
A B− −   
   
   
. Nghi m c a (1) là mi n
g ch chéo (hình v ) trong ó không l y biên c a (C1) nhưng l y biên c a (C2).
Xét ư ng th ng thu c h (∆m): x + 2y = m i qua A là (∆1): 12
2
x y −+ =
ư ng th ng thu c h (∆m) ti p xúc v i (C2)
⇔ ( ) 2, md I R∆ =
2 2
1 1
2 1
21 2
m+ −
⇔ =
+
10 3 103
2 2 2
m m
±
⇔ − = ⇔ =
⇒ ư ng th ng (∆2):
3 10
2
2
x y
+
+ =
n m phía trên và ti p xúc v i (C2).
(*) có nghi m thì (∆m) c t mi n g ch chéo
⇔ (∆m) n m gi a (∆1) và (∆2) ⇔
3 101
22
m
+− < ≤
O
x
y
I
1
11/2
1/2
A
(D )1
2
(D )
www.VNMATH.com