1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng
( )
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
P A x B y C z D
P A x B y C z D
 + + + =

+ + + =
( ) ( ) 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
/ /
A B C D
P P
A B C D
⇔ = = ≠
( ) ( ) 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
A B C D
P P
A B C D
≡ ⇔ = = =
( ) ( )
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
A B
A B
P P
A C
A C

≠
∩ ⇔

≠

Đặc biệt, ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2. 0 0.P P n n A A B B C C⊥ ⇔ = ⇔ + + =
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng sau:
a) { − + + =
− + − =
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
b) { + − + =
+ − − =
2 3 2 5 0
3 4 8 5 0
x y z
x y z
c)
− − + =


− − + =
2 2 4 5 0
25
5 5 10 0
2
x y z
x y z
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
3 4 3
3 2 5
−
≠ ≠ ⇒
−
hai mặt phẳng cắt nhau.
b) Ta có
2 3 2
3 4 8
−
≠ ≠ ⇒
−
hai mặt phẳng cắt nhau.
c) Ta có
2 2 4 5
255 5 10
2
−
= = = ⇒
−
hai mặt phẳng đã cho trùng nhau.
Ví dụ 2. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau?
a) { + − − =
+ − + =
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
b) { − + − =
+ + − =
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
c)
− − + − =

+ − + − =
3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
Hướng dẫn giải:
a) {3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
+ − − =
+ − + =
Hai mặt phẳng song song nhau khi
9
3 2 7
7
7 6 4
3
n
m
n m
=
− − 
= = ≠ ⇔ 
− =
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi
3 2
7
6
3
2
9
7 6
mn
m
n
−
≠  ≠− ⇔
− ≠≠  −
Hai mặt phẳng trùng nhau khi
3 2 7
7 6 4
m
n
− −
= = = ⇒
−
hệ vô nghiệm.
b) {5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
− + − =
+ + − =
05. BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Hai mặt phẳng song song nhau khi
6
5 2 11 5
53 1 5
3
n
m
n
m

= −− − 
= = ≠ ⇔ 
−  =

Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi
5 2 5
3 3
5 6
1 3 5
m
n
m
n
− 
≠ ≠ 
⇔ 
 ≠ ≠ −
  
Hai mặt phẳng trùng nhau khi
5 2 11
3 1 5
m
n
− −
= = = ⇒
−
hệ vô nghiệm.
c)
3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
− − + − =

+ − + − =
Hai mặt phẳng song song nhau khi ( ) 2
42 4 3
2 2 10
4 3 3 4 0
3 3 2 5
44
mm m
m m
m m m m
m
mm
=+ =
+ − − 
= = ≠ ⇔ − = − ⇔ − − = ⇒ 
− −   ≠≠ 
vô nghiệm.
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi 2
2
4 43 2
2 13 4 0
3 2
m m
m m
m mm m
m
+
≠ ≠ ≠
⇔ ⇔  − ≠ −− − ≠ ≠
 −
Hai mặt phẳng trùng nhau khi ( ) 2
42 4 3
2 2 10
4 3 3 4 0 4
3 3 2 5
44
mm m
m m
m m m m m
m
mm
=+ =
+ − − 
= = = ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ = 
− −   == 
Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a)
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
− + + =

− + − =
b)
5 5 5 1 0
3 3 3 7 0
x y z
x y z
+ − − =

+ − + =
c)
3 2 6 23 0
3 2 6 33 0
x y z
x y z
− − − =

− − + =
d)
6 4 6 5 0
12 8 12 5 0
x y z
x y z
− − + =

− − − =
Ví dụ 4. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song với nhau?
a)
2 2 1 0
3 2 0
x ny z
x y mz
− + − =

− + − =
b)
2 3 5 0
6 6 2 0
x my z
nx y z
+ + − =

− − + =
c)
3 9 0
2 2 3 0
x y mz
x ny z
− + − =

+ + − =
d)
2 0
2 4 3 0
x my z
x y nz
+ − + =

+ + − =
Ví dụ 5. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau?
a)
2 7 2 0
3 2 15 0
x y mz
x y z
− + + =

+ − + =
b)
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
m x my z
mx m y z
− − + + =

+ − + − =
c)
2 12 0
7 0
mx y mz
x my z
+ + − =

+ + + =
d)
3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
− − + − =

+ − + − =
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình
( )
( )
0 0 0
:
: 0
x x y y z z
d
a b c
P Ax By Cz D
− − −
= =

 + + + =
d đi qua ( )0 0 0; ;M x y z và có véc tơ chỉ phương ( ); ;du a b c= , (P) có véc tơ pháp tuyến ( ); ;Pn A B C=
( ) ( )
( ) ( ) 0 0 00 0
0. 0
/ /
0
P d P d Aa Bb Ccn u n u
d P
Ax By Cz DM P M P
  + + =⊥ ≠  
⇔ ⇔ ⇔  
+ + + ≠∉ ∉   

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Kiểm tra . 0d Pu n =
( )d P∩Kiểm tra ( )0M P∈
T F
( )d P⊂ ( )/ /d P
T F
( ) ( )
( ) ( ) 0 0 00 0
0. 0
0
P d P d Aa Bb Ccn u n u
d P
Ax By Cz DM P M P
  + + =⊥ ≠  
⊂ ⇔ ⇔ ⇔  
+ + + =∈ ∈   
( ) ( ) . 0P dd P n u∩ ⇔ ≠
Khi đó, tọa độ giao điểm thỏa mãn hệ phương trình
00 0 0
0
0
...
...
0 ...
xx x y y z z
ya b c
Ax By Cz D z
=− − −
= = 
→ = 
 + + + = = 
Lược đồ xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) ( )
+ −
= = − + − =
1 3
: ; : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
b) ( )
− − −
= = + − + =
9 1 3
: ; : 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
c) ( )
= − +

= − + − − =
 = − +
1
: ; : 2 3 0
2 3
x t
d y t P x y z
z t
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 3; 0) và có véc tơ chỉ phương ( )2;4;3 .du =
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( )3; 3;2 .Pn = −
Ta có ( )( ). 2;4;3 3; 3;2 6 12 6 0d Pu n = − = − + =
Lại có, ( ) ( ) ( )1;3;0 / / .M P d P− ∈ ⇒
b) Đường thẳng d đi qua điểm M(9; 1; 3) và có véc tơ chỉ phương ( )8;2;3 .du =
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( )1;2; 4 .Pn = −
Ta có ( )( ). 8;2;3 1;2; 4 8 4 12 0d Pu n = − = + − =
Lại có, ( ) ( ) ( )9;1;3 .M P d P∈ ⇒ ⊂
c) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 0; −2) và có véc tơ chỉ phương ( )1; 1;3 .du = −
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( )1;2; 1 .Pn = −
Ta có ( )( ) ( ). 1; 1;3 1;2; 1 1 2 3 4 0d Pu n d P I= − − = − − = − ≠ ⇒ ∩ =
Tạo độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình
31
1 2
1
2 3
2 3 2
1 72 3 0 1 2 2 3 3 0
2 2
x t xx t
y t
y t
yz t
z t
x y z t t t t z
= − + = −= − +  = − = −  
⇔ ⇔ =  = − +
= − +  
  + − − = − + − + − − = ⇒ = − = −  

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3 1 7
; ; .
2 2 2
I
 
⇒ − − 
 
Ví dụ 2. Tìm m để đường thẳng
− + +
= =
−
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
m m
và mặt phẳng ( ) + − − =: 3 2 5 0P x y z
a) cắt nhau
b) song song với nhau
c) vuông góc với nhau
d) (P) chứa d
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; −3) và có véc tơ chỉ phương ( );2 1;2 .du m m= −
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( )1;3; 2 .Pn = −
Ta có ( )( ). ;2 1;2 1;3; 2 6 3 4 7 7d Pu n m m m m m= − − = + − − = −
a) d và (P) cắt nhau khi . 0 7 7 0 1.d Pu n m m≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠
b) d và (P) song với nhau khi
( )
. 0 7 7 0
1
4 0
d Pu n m
m
M P
 = − =
⇔ ⇔ = 
− ≠∉ 
c)
12 1 2
( ) 1
2 1 31 3 2
d P
mm m
d P u kn m
m
= −−
⊥ ⇔ = ⇔ = = ⇔ ⇔ = −
− = −− 
d) (P) chứa (d)
( )
. 0 7 7 0
.
4 0
d Pu n m
vn
M P
 = − =
⇔ ⇔ → 
− =∈ 
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
12 9 1
: ; ( ):3 5 2 0.
4 3 1
x y z
d P x y z
− − −
= = + − − =
b)
11 3
: ; ( ):3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
+ −
= = − + − =
c)
13 1 4
: ; ( ): 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
− − −
= = + − + =
d)
3 2
: 1 4 ; ( ): 4 3 6 5 0
4 5
x t
d y t P x y z
z t
= −

= − − − − =
 = −
Ví dụ 4. Xác định m, n để các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau?
a)
1 3 1
: ; ( ): 3 2 5 0
2 2
x y z
d P x y z
m m
+ − −
= = + + − =
−
b)
3 4
: 1 4 ; ( ):( 1) 2 4 9 0
3
x t
d y t P m x y z n
z t
= +

= − − + − + − =
 = − +
c)
3 2
: 5 3 ; ( ):( 2) ( 3) 3 5 0
2 2
x t
d y t P m x n y z
z t
= +

= − + + + + − =
 = −
Ví dụ 5. Cho
2 1
: ; ( ):(3 4) ( 1) (3 2 ) 0
1 2 1
x y z
d P m x m y m z m
+ −
= = − + − + − + =
−
Tìm m để d ⊂ (P). Đ/s: m = 2.
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng d1 và d2 với
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
:
; ; ; ; ;
; ; ; ; ;:
x x y y z z
d
M x y z d u a b ca b c
x x y y z z M x y z d u a b cd
a b c
− − −
= =  ∈ = 
→ 
− − − ∈ = = =


5. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta thực hiện như sau:
Nếu 1 2
1 2
1 2
/ /d d
u ku
d d

= → ≡
+ Nếu 1 2 1 2M d d d∈ → ≡
+ Nếu 1 2 1 2/ /M d d d∉ →
Nếu 1 2
1 2
1 2
d d
u ku
d d
∩
≠ → ×
+ Nếu 1 2 1 2 1 2; . 0u u M M d d  = → ∩ 
+ Nếu 1 2 1 2 1 2; . 0u u M M d d  = → × 
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
a)
= − = − − 
 
= + = 
 = − = + 
1 2
1 2 1 '
: 3 , : 2 '
2 2 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
b)
− − − − + +
= = = =
−
1 2
1 7 3 6 1 2
: , :
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
Hướng dẫn giải:
a) Ta có 1 1 1
1 2
2 2 2
( 2;1; 1), (1;3;0)
( 2; 3;2)
( 1;2;2), ( 1;0;2)
u M d
M M
u M d
 = − − ∈
⇒ = − −
= − − ∈
Ta nhận thấy 1 2u ku≠
Mặt khác 1 2 1 2 1 2, (4;5; 3) , . 29 0u u u u M M   = − ⇒ = − ≠ →    hai đường thẳng chéo nhau
b) Ta có 1 1 1
1 2
2 2 2
(2;1;4), (1;7;3)
(5; 8; 5)
(3; 2;1), (6; 1; 2)
u M d
M M
u M d
 = ∈
⇒ = − −
= − − − ∈
Ta nhận thấy 1 2u ku≠
Mặt khác 1 2 1 2 1 2, (9;10; 7) , . (9;10; 7).(5; 8; 5) 0u u u u M M   = − ⇒ = − − − = →    hai đường thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2. Trong không gian cho bốn đường thẳng
( ) ( ) ( ) ( )
− − − − − − −
= = = = = = = =
− − −
1 2 3 4
1 2 2 2 1 2 1
: , : ; : , :
1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1
x y z x y z x y z x y z
d d d d
a) Chứng tỏ rằng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có 1 1 1
1 2
2 2 2
(1;2; 2), (1;2;0)
(1;0;0)
(2;4; 4), (2;2;0)
u M d
M M
u M d
 = − ∈
⇒ =
= − ∈
Ta nhận thấy 1 2
1 2
1 2
/ /1
2
d d
u u
d d

≠ →
≡
Lại có, M1(1; 2; 0) ∈ d1, thay vào d2 ta có
1 2 2 2 0
2 4 4
− −
= = →
−
vô lí.
Vậy M1 ∉ d2 ⇒ hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2
Do d1 // d2 nên 1 1 2, (0; 2; 2) 2(0;1;1)n u M M = = − − = − 
Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (P) : y + z – 2 = 0
b) Ta có 3 3. 2 0 ( )Pn u P d= ≠ ⇒ ∩
Gọi giao điểm của (P) và d3 là A.

6. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Tọa độ của A là nghiệm của hệ
2 0
2 1 1 3
1; ; .
2 2 2
1
y z
x t
t A
y t
z t
+ − =
 =  
→ = ⇒  =  
 = +
Chứng minh tương tự d4 cắt mp (P) tại điểm B(4; 2; 0).
Ta có 1 1
3 3 3
3; ; (2;1; 1); . 9 0
2 2 2
AB AB u u
 
= − = − = ≠ ⇒ 
 
không cùng phương với AB nên AB cắt d1 và d2 (do d1 song
song d2). Vậy AB là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) 1 2
1
1 2 4
: ; :
2 1 3
2 3
x t
x y z
d d y t
z t
= − +
− + − 
= = = −
−  = − +
b) 1 2
5 2 3 2 '
: 1 ; : 3 '
5 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = + 
 
= − = − − 
 = − = − 
c) 1 2
1 2 3 7 6 5
: ; :
9 6 3 6 4 2
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
d) 1 2
2 2 1
: 1 ; : 1
1 3
x t x
d y t d y t
z z t
= + = 
 
′= − + = + 
  ′= = − 
e) 1 2
1 5 3 6 1 3
: ; :
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
− + − − + +
= = = =
f) 1 2
2 1 7 2
: ; :
4 6 8 6 9 12
x y z x y z
d d
− + − −
= = = =
− − −
Ví dụ 4. Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau? Khi đó tìm tọa độ giao điểm của chúng?
a) 1 2
1 1 '
: ; : 2 2 '
1 2 3 '
x mt x t
d y t d y t
z t z t
= + = − 
 
= = + 
 = − + = − 
Đ/s: m = 2
b) 1 2
1 2 '
: 3 2 ; : 1 '
2 3 '
x t x t
d y t d y t
z m t z t
= − = + 
 
= + = + 
 = + = − 