1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8311
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )
P x
I dx
Q x
= ∫
Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)
Khi đó Q(x) = ax2
+ bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x).
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép
Khi đó Q(x) được biểu diễn dưới dạng ( )
( )
2
2
( )
( ) = + → =
+
∫
P x
Q x ax b I dx
ax b
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau
( )
2
1
1

= +

 = − +
∫
dx d ax b
a
du
C
uu
Nếu
( )
( )
( ) ( )2 2 2
( )
+ + −
+  
= + → = = = + − 
+  + + +
∫ ∫ ∫ ∫
m bm
ax b n
mx n m dx bm dxa aP x mx n I dx dx n
a ax b aax b ax b ax b
( ) ( )
( )2 2 2 2
1
ln .
−+ + − 
= + = + − + 
+ + +
∫ ∫
bm
nd ax b d ax bm m na bma ax b C
ax b a ax ba a aax b
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải.
Chú ý:
Ngoài cách giải đã nêu trên, dạng nguyên hàm này có cách giải tổng quát là đặt
t b
x
t ax b a
dt adx
−
=
= + →
 =
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1 2
2
2 1
dx
I
x x
=
− +∫ b) 2 2
6 9 1
dx
I
x x
=
+ +∫ c) 3 2
25 10 1
dx
I
x x
=
− +∫
Hướng dẫn giải:
a) 1 12 2 2
2 ( 1) 2 2
2 2 .
1 12 1 ( 1) ( 1)
dx dx d x
I C I C
x xx x x x
−
= = = = − + → = − +
− −− + − −∫ ∫ ∫
b) 2 22 2 2
1 (3 1) 1 1
.
6 9 1 (3 1) 3 (3 1) 3(3 1) 3(3 1)
dx dx d x
I C I C
x x x x x x
+
= = = = − + → = − +
+ + + + + +∫ ∫ ∫
c) 3 32 2 2
1 (5 1) 1 1
.
25 10 1 (5 1) 5 (5 1) 5(5 1) 5(5 1)
−
= = = = − + → = − +
− + − − − −∫ ∫ ∫
dx dx d x
I C I C
x x x x x x
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 4 2
2 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
=
+ +∫ b)
2
5 2
4 3
4 12 9
x
I dx
x x
−
=
+ +∫ c) 6 2
1 5
9 24 16
x
I dx
x x
−
=
− +∫
Hướng dẫn giải:
a)
( )
4 2 2
2 1 2 1
4 4 1 2 1
x x
I dx dx
x x x
− −
= =
+ + +
∫ ∫
Tài liệu bài giảng:
04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8312
Cách 1:
Đặt
( )
4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 1
2 1 ln
2 2 2 22 1
x t x t dt dt dt
t x I dx t C
dt dx t tt tx
= − − −  
= + → → = = = − = + +  =  +
∫ ∫ ∫ ∫
4
1 1
ln 2 1 .
2 2 1
I x C
x
→ = + + +
+
Cách 2:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
4 2 2 2 2 2 2
1
8 4 2 4 4 18 4 2 12 1 1 14 2
4 44 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 12 1 2 1
x d x xx d xx dx
I dx dx dx
x x x x x x x xx x
+ − + ++ +−
= = = − = −
+ + + + + + + ++ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
2
2
2 2
4 4 1 2 11 1 1 1 1
ln 4 4 1 ln 2 1 .
4 4 2 1 2 2 14 4 1 2 1
d x x d x
x x C x C
x xx x x
+ + +
= − = + + + + = + + +
+ ++ + +
∫ ∫
b)
( )
( )
( )
2
5 2 22 2
2 34 3 12 12 6
1 12 6 .
4 12 9 4 12 9 2 32 3 2 3
d xx x dx
I dx dx dx x x C
x x x x xx x
+− + 
= = − = − = − = + + 
+ + + + +  + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
c)
( )
6 2 2
1 5 1 5
9 24 16 3 4
x x
I dx dx
x x x
− −
= =
− + −
∫ ∫
Cách 1:
Đặt
( )
6 2 2 2
5( 4)4 1
1 5 1 5 1733 4 3
3 93 43
tt
x x dt t
t x I dx dt
t txdt dx
++ −= − +
= − → → = = = −
− =
∫ ∫ ∫
6
1 17 1 17 5 17
5ln 5ln 3 4 ln 3 4 .
9 9 3 4 9 9(3 4)
t C I x C x C
t x x
   
= − − + → = − − − + = − − + +   
− −   
Cách 2:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
6 2 2 2 2
5 17
3 4 3 4 3 41 5 5 17 5 173 3
3 3 4 3 9 3 4 93 4 3 4 3 4 3 4
x d x d xx dx dx
I dx dx
x xx x x x
− − − − −−
= = = − − = − −
− −− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )6
5 17 1 5 17
ln 3 4 . ln 3 4 .
9 9 3 4 9 9 3 4
x C I x C
x x
= − − + + → = − − + +
− −
TH3: Q(x) = 0 vô nghiệm
Khi đó, Q(x) được biểu diễn dưới dạng ( )
2 2
22 24
( )
2 4
− 
= + + = + + ≡ + + 
 
b ac b
Q x ax b c a x mx n k
a a
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau
( )
2 2
1
1
arctan

= +

  = +  +  
∫
dx d ax b
a
du u
C
a au a
Nếu P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau:
( ) ( )
2 2 2 2
α α
2 β 2α β α α2 2 β
2 2
+ + − ++  
= = = + − 
+ + + + + + + + 
∫ ∫ ∫ ∫
b
ax b ax b dxx b dxa aI dx dx dx
a aax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
( )2
2
2 2 22 2
2
α
β
α α α 2β ln
2 2 24 4
2 4 2 4
−+ +  
= + − = + + + 
+ +   − −   
+ + + +   
   
∫ ∫ ∫
b
d ax bx c b dx dxadx ax bx c
a a a aax bx c b ac b b ac b
a x x
a a a a
2 2
2 2 2 2
2
αα 2 ββ
α α 22 22ln ln arctan .
2 24 4 4
2 4
b bb d x
ax ba aaax bx c ax bx c C
a a ab ac b ac b ac b
x
a a
   
+ −−     +   = + + + = + + + +
−  − −
+ + 
 
∫

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8313
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải.
Nhận xét:
Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm
đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách
thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học.
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1 2
2 3
dx
I
x x
=
+ +∫ b) 2 2
4 4 2
dx
I
x x
=
+ +∫ c) 3 2
9 24 20
dx
I
x x
=
+ +∫
Hướng dẫn giải:
a)
( )
( )
( ) ( )
1 2 2 22
1 1 1
arctan .
2 3 2 21 2 1 2
d xdx dx x
I C
x x x x
+ + 
= = = = + 
+ + + +  + +
∫ ∫ ∫
b)
( )
( )
( )
( )2 2 22 2
2 11 1
arctan 2 1 .
4 4 2 2 22 1 1 2 1 1
d xdx dx
I x C
x x x x
+
= = = = + +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
c)
( )
( )
( )
3 2 2 2 2
3 4 1 3 4
arctan .
2 29 24 20 3 4 4 3 4 2
d xdx dx x
I C
x x x x
+ + 
= = = = + 
+ +  + + + +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 4 2
3 5
2 10
x
I dx
x x
+
=
+ +∫ b) 5 2
4 1
6 9 4
x
I dx
x x
−
=
+ +∫ c)
4
6 2
2
2 7
x x
I dx
x x
−
=
+ +∫
Hướng dẫn giải:
a)
( ) ( )
4 2 2 2 2
3 17
4 1 4 13 5 3 174 4
4 42 10 2 10 2 10 2 10
x x dxx dx
I dx dx
x x x x x x x x
+ + ++
= = = +
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
2
2
2 2
2
2 103 17 3 17
ln 2 10
4 8 4 82 10 1 795
2 4 16
d x x dx dx
x x
xx x x x
+ +
= + = + + +
+ +  + + + + 
 
∫ ∫ ∫
( ) ( )2 2
22
1
3 17 3 17 4 4 14
ln 2 10 ln 2 10 . arctan .
4 8 4 8 79 791 79
4 4
d x
x
x x x x C
x
 
+   + = + + + = + + + + 
   
+ +        
∫
Vậy ( )2
4
3 17 4 1
ln 2 10 arctan .
4 2 79 79
x
I x x C
 +
= + + + + 
 
b)
( ) ( )
5 2 2 2 2
1
12 9 4 12 94 1 13 4
6 9 4 6 9 4 3 6 9 4 6 9 4
x x dxx dx
I dx dx dx
x x x x x x x x
+ − +−
= = = −
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 22 2
6 9 4 3 11 1 4
4 ln 6 9 4
3 6 9 4 3 33 1 3 3 1 3
d x x d xdx
dx x x
x x x x
+ + +
= − = + + −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )2 2
5
1 4 1 3 1 1 4 3 1
ln 6 9 4 . arctan ln 6 9 4 arctan .
3 3 33 3 3 3 3
x x
x x C I x x C
+ +   
= + + − + → = + + − +   
   
c)
4 3
2 2
6 2 2 2
2 25 7 2 25 7
2 4 1 2
32 7 2 7 2 7
x x x x x
I dx x x dx x x dx
x x x x x x
− − − 
= = − + + = − + + 
+ + + + + + ∫ ∫ ∫
Đặt
( ) ( )
2 2 2 2
25
2 2 32 2 225 7 252 32
22 7 2 7 2 7 2 7
x x dxx dx
J dx dx dx
x x x x x x x x
+ − +−
= = = −
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8314
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2 22
2 7 125 25
32 ln 2 7 32
2 22 7 1 6 1 6
d x x d xdx
dx x x
x x x x
+ + +
= − = + + −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
2 2 2
6
25 32 1 2 25 32 1
ln 2 7 arctan 2 ln 2 7 arctan .
2 3 26 6 6 6
x x x
x x I x x x x C
 + +
+ + − → = − + + + + − + 
 
Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán
là xử lý mẫu số.
Nếu
( )( )
( )
( )
2
1 2 2
1 2
22 2
2 2 2
22
2
( ) 1
( ) 1
arctan
α αα
1
 
+ + = − − → = + 
− −+ +  
+ + = + + → = +
+ + +
+ + = + → = − +
∫
∫
P x A B
ax bx c a x x x x
a x x x xax bx c
P x du u
ax bx c mx n k C
ax bx c u
du
ax bx c mx n C
uu
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
7) 7 2
4 1
2 1
x
I dx
x x
−
=
+ +∫ 8) 8 2
3 7
4 4 1
x
I dx
x x
+
=
+ +∫ 9)
2
9 2
3 1
9 6 1
x
I dx
x x
+
=
+ +∫
10)
2
10 2
4 3 1
4 4 1
x x
I dx
x x
− +
=
− +∫ 11)
2
11 2
2 3 2
4 4
x x
I dx
x x
+ +
=
− +∫ 12) 12 2
3 2
6 9
x
I dx
x x
−
=
− +∫
13) 13 2
2 3
4 5
x
I dx
x x
−
=
− +∫ 14) 14 2
3 1
2
x
I dx
x x
+
=
+ +∫ 15) 15 2
2 1
dx
I
x x
=
− +∫
16) 16 2
2 1
4
x
I dx
x x
−
=
− +∫ 17) 17 2
1
4 1
x
I dx
x x
+
=
+ +∫ 18) 18 2
4 1
1
x
I dx
x x
+
=
− +∫
III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA
Khi đó Q(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d. Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x).
TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2; x3
Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Ta có cách giải truyền thống là phân tích và
đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào
biểu thức của tử số là bậc mấy)
Ta có ( )( )( )3 2
1 2 3
1 2 3
( )
( ) ax
( )
P x A B C
Q x bx cx d a x x x x x x
Q x x x x x x x
= + + + = − − − → = + +
− − −
Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C. Bài toán quy về nguyên hàm có mẫu số là bậc nhất đã xét ở trên.
Chú ý:
Để việc đồng nhất được, thì ta vẫn phải tuân thủ nguyên tắc là biến đổi sao cho bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của
mẫu số.
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )( )1 2
2 9
dx
I
x x
=
− −
∫ b)
( )
2
2 2
6 2
1
x x
I dx
x x
+ −
=
−
∫ c)
( )
4 2
3 2
3 3 7
2
x x x
I dx
x x x
− + −
=
+ −
∫
Hướng dẫn giải:
a)
( )( ) ( )( )( )1 2 2 3 32 9
dx dx
I
x x xx x
= =
− + −− −
∫ ∫
Ta có
( )( )( )
21
1 ( 9) ( 2)( 3) ( 2)( 3)
2 3 3 2 3 3
A B C
A x B x x C x x
x x x x x x
= + + → ≡ − + − − + − +
− + − − + −

5. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8315
1
50
1
0 5
30
1 9 6 6
1
6
A
A B C
B C B
A B C
C

= −
= + + 
 
⇔ = − + ⇔ = 
 = − + − 
=

Nhận xét:
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc
tính toán, suy nghĩ:
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1
1 ( 3) ( 3) 1 1
2 3 3 6 2 3 3 6 2 3 6 2 3
+ − −
= = = −
− + − − + − − − − +∫ ∫ ∫ ∫
dx x x dx dx
I dx dx
x x x x x x x x x x
Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến!
b)
( ) ( )( )
2 2
2 2
6 2 6 2
1 11
x x x x
I dx dx
x x xx x
+ − + −
= =
+ −−
∫ ∫
Cách 1: Ta có
( )( )
2
2 26 2
6 2 ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 1
x x A B C
x x A x Bx x Cx x
x x x x x x
+ −
= + + → + − ≡ − + − + +
+ − + −
2
2 3 56
3 2 3 52 21 2ln ln 1 ln 1 .
2 1 1 2 2
2
5
2
A
A B C
B C B I dx x x x C
x x x
A
C

 =  = + +    
⇔ = − + ⇔ = → = + + = + + + − +  
+ −  − = −  
=
∫
Cách 2:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
2 3 3 3 32
2 3 1 1 1 3 1 16 2
2
1
x x x dx x dxx x dx
I dx dx dx
x x x x x x x xx x
− + − + − −+ −
= = = + + =
− − − −−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )3
3
3
2 2ln
( 1) ( 1)( 1)
d x x dx dx
dx x x J K
x x x x xx x
−
= + + = − + +
+ − +−∫ ∫ ∫
Với
( 1) 1 1
ln ln 1 ln
( 1) ( 1) 1 1
dx x x x
J dx dx x x
x x x x x x x
+ −  
= = = − = − + = 
+ + + + 
∫ ∫ ∫
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 2 ( 1)( 1)
dx x x dx dx x x x x
K dx dx dx
x x x x x x x x x x x x x x
+ − − − + − −
= = = − = − =
− + − + − + − − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1
ln ln
( 1) 2 ( 1)( 1) 1 2 1 1 2 1
x x x x x x
dx dx dx dx
x x x x x x x x x x
− − + − − − −   
= − = − − − = −   
− + − − − + +   
∫ ∫ ∫ ∫
Từ đó ta được 3
2
1 1 1
2ln ln ln ln .
1 2 1
x x x
I x x C
x x x
− −
= − + + − +
+ +
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, các em hãy tìm lời giải khác thông minh hơn nhé!
c)
( ) ( )
4 2 2 2
3 2 2
3 3 7 8 3 7 3
3 3 3
22 2
x x x x x x
I dx x dx x J
x x x x x x
 − + − − + = = − + = − +
 + − + −
 
∫ ∫
Với
( ) ( )( )
2 2
2
8 3 7 8 3 7
1 22
x x x x
J dx dx
x x xx x x
− + − +
= =
− ++ −
∫ ∫
Ta có
( )( )
2
28 3 7
8 3 7 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)
1 2 1 2
x x A B C
x x A x x Bx x Cx x
x x x x x x
− +
= + + → − + ≡ − + + + + −
− + − +
7
7 158 2
4 7 152 23 2 4 ln 4ln 1 ln 2 .
1 2 2 2
7 2 15
2
A
A B C
A B C B J dx x x x C
x x x
A
C

= −  = + + − 
⇔ − = + − ⇔ = → = + + = − + − + + +  
− +  = −   =

∫

6. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8316
Vậy
2
3
3 7 15
3 ln 4ln 1 ln 2 .
2 2 2
x
I x x x x C= − − + − + + +
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) 1 2
( 1)
dx
I
x x
=
−∫ 2) 2 2
2 1
( 1)( 9)
x
I dx
x x
+
=
+ −∫ 3)
2
3 2
1
( 2)( 4 3)
x x
I dx
x x x
+ +
=
+ + +∫
4) 4 2
5 2
(1 )(4 )
x
I dx
x x
+
=
+ −∫ 5) 5 2
1
( 4)
x
I dx
x x
+
=
−∫ 6)
2
6 2
( 1)( 2)
x
I dx
x x
=
− +∫