1. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
GIỚI HẠN:
* GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
Baøi 1: Tính các giới hạn sau: (Chia cho n có số mũ cao nhất)
1)
2
2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
− +
+ +
2) 3 2
2 1
lim
4 3
n
n n
+
+ +
3)
3 2
3
3 2
lim
4
n n n
n
+ +
+
4)
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n+ + +
5)
2
4
1
lim
2 1
n
n n
+
+ +
6)
4 2
3 2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
+ −
− +
7)
nn
nn
2
126
lim 3
3
−
+−
8)
nn
nn
+
+−
2
2
5
21
lim 9)
( ) ( )
( )4
22
12
271
lim
+
+−
n
nn
10)
2
lim
3 3
+
+
n
nn
11)
12
21
lim
2
+
−+
n
nn
12)
75
3342
lim 3
23
+−
++−
nn
nnn
13)
23
11
lim
2
+
+−+
n
nn
14)
32
232
lim 2
4
+−
−+
nn
nn
15) 56
2
5
32
lim
nn
n
+
−
16)
73
54
lim 23
2
++
−+
nn
nn
17)
1
1
lim
+
+
n
n
18) 





+
−
+
+ 15
51
32
2
lim
2
2
3
n
n
n
n
19)
2 1
lim
2
n
n
+
+
20)
2
2
2 3
lim
2
n n
n n n
+ +
+ −
21) 2
2 3
lim
1
n n
n n
+
+ +
22)
( 1)(2 1)
lim
(3 2)( 3)
n n
n n
+ −
+ +
23)
2
2
2
lim
3 1
n n
n n
+
+ +
24)
(2 )(3 )
lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+
+ +
Baøi 2: Tính các giới hạn sau: (Chia n
a lớn nhất)
1)
1 3
lim
4 3
n
n
+
+
2)
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
+
+
+
3)
1 2
4 6
lim
5 8
n n
n n
+ +
+
+
4)
1
2 5
lim
1 5
n n
n
+
+
+
5)
1 2.3 7
lim
5 2.7
n n
n n
+ −
+
6) 1
1 2.3 6
lim
2 (3 5)
n n
n n+
− +
−
7) nn
n
43.2
4
lim
+
8) n
nn
5.37
5.23
lim
+
−
Baøi 3: Tính các giới hạn sau: (chia cả tử và mẫu cho 2
n )
1)
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
+ + −
+ + +
2)
2
2
3 4
lim
2
n n
n n
+ − −
+ +
3)
32 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
+ −
+ +
1

2. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
4)
2
2
4 1 2
lim
4 1
n n
n n n
+ +
+ + +
5)
(2 1)( 3)
lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+ +
+ +
6)
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
− − +
+ +
Baøi 4: Tính các giới hạn sau: (Liên quan tới dãy số) ( Dành cho HS Khá Giỏi)
1) 2
...21
lim
n
n+++
2)
23
2...42
lim 2
−+
+++
nn
nn
3)
23
...21
lim 3
222
++
+++
nn
n
4) 12
)12(...31.
lim 2
++
−+++
nn
nn
5)
1 1 1
lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
 
+ + + ÷
− + 
6) 2
1 2 ...
lim
3
n
n n
+ + +
+
7)
1 1 1
lim ...
1.3 2.4 ( 2)n n
 
+ + + ÷
+ 
8) 5) 211
...21
lim 2
333
++
+++
nn
n
,
( )
4
1
...21
22
333 +
=+++
nn
n 9)
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 ( 1)n n
 
+ + + ÷
+ 
10) 





+
+++
)1(
1
...
3.2
1
2.1
1
lim
nn
11) 





+
+++
)22(2
1
...
6.4
1
4.2
1
lim
nn
Baøi 5: Tính các giới hạn sau: (nhân lien hợp)
1) ( )n n n2
lim 2 1+ − − 2) ( )n n n2 2
lim 2+ − + 3) ( )n n n
3 3
lim 2 1− + −
4) ( )n n n2 4
lim 1 3 1+ − + + 5) ( )2
lim n n n− − 6)
2 2
1
lim
2 4n n+ − +
7)
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
+ − −
+ + −
8)
32 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
+ −
+ −
9)
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
− − +
+ −
Bài 6:Tính các giới hạn sau: (Nhân lượng liên hợp)
1) ( )1213lim −−− nn 2) ( ) nnn −+1lim 3) ( )nnn −++ 1lim 2
4) ( )12lim 2
+−++ nnn 5) ( )53lim −−+ nn 6) ( )nnn −+− 3lim 2
7) ( )1lim 22
+− nnn 8)
12
1
lim
+−+ nn
9) ( )132lim +−+ nn
10) ( )nnn −+1lim 2
11) ( )nnn −+ 5lim 2
12)
( )nnn ++− 3lim 2
13) ( )3 3
1lim nn −+ 14) ( )nna −+lim 15) ( )nnn +−3 32
lim
2

3. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
* GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: ( Tính trực tiếp)
1)
2 3
0
1
lim
1x
x x x
x→
+ + +
+
2)
2
1
3 1
lim
1x
x x
x→−
+ −
−
3)
72
15
lim
1 +
−
→ x
x
x
4) 41
1
lim
3x
x
x x→−
−
+ −
5)
2
2
1
lim
1x
x x
x→
− +
−
6)
2
1
2 3
lim
1x
x x
x→
− +
+
7)
1
8 3
lim
2x
x
x→
+ −
−
8)
3 2
2
3 4 3 2
lim
1x
x x
x→
− − −
+
9)
2
3
lim 3
2
1 +
−
−→ x
x
x
10)
6
lim 3
2
3 −−→ xx
x
x
11)
5
3 72
34
lim 





+
−
→ x
x
x
12) 3
2
4
2 2
232
lim
+−
++
−→ xx
xx
x
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: (Phân tích thành nhân tử)
1)
3 2
21
1
lim
3 2x
x x x
x x→
− − +
− +
2)
x
x
x x
4
3 21
1
lim
2 1→
−
− +
3)
5
31
1
lim
1x
x
x→−
+
+
4)
3 2
4 23
5 3 9
lim
8 9x
x x x
x x→
− + +
− −
5)
5 6
21
5 4
lim
(1 )x
x x x
x→
− +
−
6)
xx
xx
x 4
43
lim 2
2
4 +
−+
−→
7)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
x→
+ + + −
8)
2
1
...
lim
1
n
x
x x x n
x→
+ + + −
−
9)
4
3 22
16
lim
2x
x
x x→−
−
+
10)
5
152
lim
2
5 +
−+
−→ x
xx
x
11)
6)5(
1
lim
3
1 −+
−
→ xx
x
x
12)
6
23
lim 2
23
2 −−
++
−→ xx
xxx
x
13)
6
293
lim 3
23
2 −−
−−+
→ xx
xxx
x
14)
253
103
lim 2
2
2 −−
−+
→ xx
xx
x
15)
2012
65
lim 2
2
4 +−
+−
−→ xx
xx
x
16)
6
44
lim 2
23
2 −−
++
−→ xx
xxx
x
17)
x
x
x
−
−
→
1
1
lim
1
18)
3
152
lim
2
3 −
−+
→ x
xx
x
19)
32
1
lim 2
4
1 −+
−
→ xx
x
x
Bài 3: Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai)
3

4. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
1) .
2
35
lim
2
2 −
−+
→ x
x
x
2)
7
29
lim
4
7 −
−+
→ x
x
x
3)
x
x
x
−
−
→
5
5
lim
5
4)
2
153
lim
2 −
−−
→ x
x
x
5)
11
lim
0
−+→
x
x
x
6)
xx
x
x
336
1
lim
21
++
+
−→
7)
x
xx
x
11
lim
2
0
−++
→
8)
25
34
lim 25 −
−+
→ x
x
x
9)
( )
x
xxx
x
+−+−
→
121
lim
2
0
10)
4102
3
lim
3
−+
−
→
x
x
x
11)
1
23
lim
3
1 −
−−
→ x
xx
x
12)
2
2 2
lim
7 3x
x
x→
+ −
+ −
13)
6
22
lim
6 −
−−
→ x
x
x
14)
23
2423
lim 2
2
1 +−
−−−−
→ xx
xxx
x
15)
1
132
lim 21 −
+−
→ x
xx
x
16)
2
583
lim
3
2 −
+−
→ x
xx
x
17)
32
1
lim 21 −+
−
→ xx
x
x
18)
22
4 1 3
lim
4x
x
x→
+ −
−
19)
2
0
1 1
lim
x
x
x→
+ − 20)
23
3 2
lim
3x
x x
x x→−
+ −
+
21)
3
31
1
lim .
4 4 2x
x
x→
−
+ −
22)
2
0 2
1 1
lim
16 4x
x
x→
+ −
+ −
23)
30
1 1
lim
1 1x
x
x→
+ −
+ −
24)
0
9 16 7
lim
x
x x
x→
+ + + −
25)
2
24
lim
3
2 −
−
→ x
x
x
26)
x
x
x 3
11
lim
3
0
+−
→
27)
11
lim
30
−+→
x
x
x
Bài 4: Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai, bậc ba)
1)
x
xx
x
−−+
→
55
lim
0
2)
x
xx
x
−−+
→
11
lim
0
3)
1
12
lim
1 −
−−
→ x
xx
x
4)
x
xxx
x
+−+−
→
131
lim
2
0
5)
x
xxx
x
11
lim
2
0
++−+
→
6)
23
2423
lim 2
2
1 +−
−−−−
→ xx
xxx
x
7)
23
2423
lim 2
3 23
1 +−
−−−−
→ xx
xxx
x
8)
1
2 2 3 1
lim
1x
x x
x→
+ − +
−
9)
1
12
lim 2
3 23
1 −
+−+−
→ x
xxx
x
Bài 5: Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba)
1)
x
xx
x
3
0
812
lim
−−−
→
2)
23
2423
lim 2
3 2
1 +−
−−−−
→ xx
xxx
x
3)
1
75
lim 2
3 23
1 −
+−−
→ x
xx
x
4

5. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
4)
23
2423
lim 2
23
1 +−
−−−−
→ xx
xxx
x
5)
1
57
lim
23
1 −
−−+
→ x
xx
x
6)
x
xx
x
3
0
5843
lim
+−+
→
7)
x
xx
x
7121
lim
3
0
+−+
→
8)
3
0
1 1
lim
x
x x
x→
+ − +
9)
3
22
8 11 7
lim
3 2x
x x
x x→
+ − +
− +
10)
3
20
1 4 1 6
lim
x
x x
x→
+ − +
11)
0
1 4 . 1 6 1
lim
x
x x
x→
+ + −
12)
3
2x 2
x 6 x 6
lim
x x 2→−
− + +
+ −
13)
3
x 0
1 x 1 x
lim
x→
+ − −
14)
3
x 3
x 1 x 5
lim
x 3→
+ − +
−
15)
3
x 1
x 9 x 3
lim
x 1→
− + +
−
Bài 6: Nhân lượng liên hợp (cả tử và mẫu)
1)
x
x
x
−−
+−
→
51
53
lim
4
2)
314
2
lim
2
−+
+−
→
x
xx
x
3)
1
lim
2
1
−
−
→
x
xx
x
4)
23
1
lim
2
3
1
−+
+
−→
x
x
x
5)
1
1
lim
4
3
1
−
−
→
x
x
x
6)
39
24
lim
2
2
0
−−
−−
→
x
x
x
7)
3
527
lim
9
−
−+
→
x
x
x
8) 364
4
8
lim
x
x
x
−
−
→
9)
1
1
lim
3
1
−
−
→
x
x
x
Bài 7:Tìm các giới hạn sau:
1)
2
2
1
lim
2 1x
x
x x→+∞
+
− +
2)
2
2 1
lim
2x
x x
x→±∞
− +
−
3)
2
3 2
2 1
lim
3 2x
x
x x→+∞
+
− +
4)
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2x
x x x
x x→±∞
+ + + +
+ + −
5)
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2x
x x x
x x x→±∞
− + + −
− +
6)
2
1
lim
1x
x x
x x→+∞
+
+ +
7)
2
2
(2 1) 3
lim
5x
x x
x x→−∞
− −
−
8)
2
2
2 3
lim
4 1 2x
x x x
x x→+∞
+ +
+ − +
9)
2
5 2
lim
2 1x
x x
x→−∞
− +
+
Bài 8:Tìm các giới hạn sau:
1)
2
lim
x
x x x
→+∞
 + − ÷
 
2)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
→+∞
 − − − − ÷
 
3)
32 3
lim 1 1
x
x x
→+∞
 + − − ÷
 
4) ( )3 3 2
lim 3 1 2
x
x x
→−∞
− + + 5) ( )3 3
lim 2 1 2 1
x
x x
→+∞
− − +
Bài 9:Tìm các giới hạn sau:
1)
2
15
lim
2x
x
x+
→
−
−
2)
2
15
lim
2x
x
x−
→
−
−
3)
2
3
1 3 2
lim
3x
x x
x+
→
+ −
−
4)
2
2
4
lim
2x
x
x+
→
−
−
5) 22
2
lim
2 5 2x
x
x x+
→
−
− +
6) 22
2
lim
2 5 2x
x
x x−
→
−
− +
* HÀM SỐ LIÊN TỤC:
5

6. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
Bài 10: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra
a)
3
1 1
0
1 1( ) 0
3
0
2
x
khi x
xf x taïi x
khi x
 + −
> + −= =
 ≤

b)
2
9
3( ) 33
1 3
x
khi xf x taïi xx
x khi x
 − <= = −
 − ≥
c)
2
3
4
2
2
8( ) 2
16
2
2
x x
khi x
xf x taïi x
x
khi x
x
 −
>
 −= =
−
< −
d)
2
2
3 2
1
1( ) 1
1
2
x x
khi x
xf x taïi x
x
khi x
 − +
> −= =
− ≤

Bài 11:Tìm giá trị của m để các hàm số sau liên tục tại điểm được chỉ ra::
a)
3
1
1( ) 11
2 1
x
khi xf x taïi xx
mx khi x
 − <= = −
 + ≥
b)
3
2 2
1 3
1
( ) 11 1
3 3 1
khi x
f x taïi xx x
m x mx khi x

− >
= =− −
 − + ≤
c) 2
0
( ) 0100 3
0
3
x m khi x
f x taïi xx x
khi x
x
 + <

= = + +
≥ +
d)
2
3 1
( ) 1
3 1
x m khi x
f x taïi x
x x m khi x
 + < −
= = −
+ + + ≥ −
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: (Dạng 1a)
1)
3
1( ) 11
1 1
x
khi xf x taïi xx
khi x
 +
 ≠= = − −
− =
2)
3 2
1
1( ) 1
1
1
4
x
khi x
xf x taïi x
khi x
 + −
≠ −= =
 =

6

7. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
3)
2 3
2
2 7 5
2( ) 2
3 2
1 2
x x x
khi xf x taïi x
x x
khi x
 − + −
 ≠= = − +
 =
4)
2
5
5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x taïi xx
x khi x
 −
>
= = − −
 − + ≤
5)
1
1
( ) 12 1
2 1
x
khi x
f x taïi xx
x khi x
 −
<
= = − −
− ≥
6)
2
4 2
( )
2 1 2
x neu x
f x
x neu x
 + <
= 
+ ≥
tại điểm x = 2
Bài 4: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: (Dạng 1b)
a)
x khi xf x taïi x
mx khi x
2
1( ) 1
2 3 1
 <= =
− ≥
b)
x x x
khi xf x taïi xx
x m khi x
3 2
2 2
1( ) 11
3 1
 − + − ≠= = −
 + =
c)
m khi x
x x
f x khi x x taïi x vaøx
x x
n khi x
2
0
6
( ) 0, 3 0 3
( 3)
3
 =
 − −
= ≠ ≠ = =
−
=
d)
x x
khi xf x taïi xx
m khi x
2
2
2( ) 22
2
 − − ≠= = −
 =
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: (Dạng 2)
1)
3
3
2
1
1( )
4
1
3
x x
khi x
xf x
khi x
 + +
≠ − += 
 = −

2)
2
3 4 2
( ) 5 2
2 1 2
x x khi x
f x khi x
x khi x
 − + <
= =
 + >
3)
2
4
2( ) 2
4 2
x
khi xf x x
khi x
 − ≠ −=  +
− = −
7

8. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
4)
2
2
2
( ) 2
2 2 2
x
khi x
f x x
khi x
 −
≠
=  −

=
5)
2
2 3
3
( ) 3
4 3
x x
neu x
f x x
neu x
 − −
≠
= −
 =
6)
2
2
2
1
( ) 1
1 1
x x
khi x
f x x
x x khi x
 + −
>
= −
 + + ≤
7)
1
1
( ) 2 1
2 1
x
khi x
f x x
x khi x
−
<
= − −
− ≥
Bài 6: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
1)
2
2
2( ) 2
2
x x
khi xf x x
m khi x
 − − ≠=  −
 =
2)
2
1
( ) 2 1
1 1
x x khi x
f x khi x
mx khi x
 + <
= =
 + >
3)
3 2
2 2
1( ) 1
3 1
x x x
khi xf x x
x m khi x
 − + − ≠=  −
 + =
4)
2
1( )
2 3 1
x khi xf x
mx khi x
 <= 
− ≥
5)
2
2
2
( ) 2
1 2
x x
khi x
f x x
m khi x
 − −
≠
= −
 + =
CHỨNG MINH TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PT : (DẠNG 3 )
Baøi 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) 5
3 3 0x x− + = b) 5
1 0x x+ − = c) 4 3 2
3 1 0x x x x+ − + + = d)
5
3 7 0x x− − =
Baøi 2: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) 3
3 1 0x x− + = b) 3 2
6 9 1 0x x x+ + + = c) 5
5 1 0x x− + =
Baøi 3: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá
trị của tham số:
a) 3
( 1) ( 2) 2 3 0m x x x− − + − = b) 4 2
2 2 0x mx mx+ − − = c)
2 3 2
(1 )( 1) 3 0m x x x− + + − − =
Bài 8:Chứng minh rằng phương trình:
a) m x x x3 2 4
( 1) ( 4) 3 0− − + − = luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) m x x2 4 3
( 1) – –1 0+ = luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng ( )1; 2− với
8

9. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
mọi m.
c) x mx3 2
1 0+ − = luôn có 1 nghiệm dương.
d) x x x4 2
3 5 – 6 0− + = có nghiệm trong khoảng (1; 2).
e) 3
2 6 1 0x x− + = coù 3nghieäm treân khoaûng ( - 2 ; 2 )
f) 5 3
5 4 1 0x x x− + − = có 5 nghiệm trên (–2; 2).
g) 3
2 6 1 0x x− + = coù ít nhaát 2 nghieäm
9

10. Trường THPT Lê Quý Đôn Tổ: Toán
mọi m.
c) x mx3 2
1 0+ − = luôn có 1 nghiệm dương.
d) x x x4 2
3 5 – 6 0− + = có nghiệm trong khoảng (1; 2).
e) 3
2 6 1 0x x− + = coù 3nghieäm treân khoaûng ( - 2 ; 2 )
f) 5 3
5 4 1 0x x x− + − = có 5 nghiệm trên (–2; 2).
g) 3
2 6 1 0x x− + = coù ít nhaát 2 nghieäm
9