1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ĐƠN GIẢN
Nguyên tắc giải:
Ba dạng bất phương trình vô tỷ sơ cấp thường gặp:
+ Dạng 1:
[ ]
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
 ≥

≤ ⇔ ≥

≤
f x
f x g x g x
f x g x
+ Dạng 2:
[ ]
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
( ) ( )
 ≥

≤
≥ ⇔ ≥ >

 ≥
f x
g x
f x g x f x
g x
f x g x
+ Dạng 3:
( ) 0; ( ) 0; ( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
≥ ≥ ≥
+ ≥ ⇔ 
+ + ≥
f x g x h x
f x g x h x
f x g x f x g x h x
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) 2
3 10 2− − > −x x x b) 2
12 8+ − < −x x x
c) 2
4 21 3− − + < +x x x d) 2 3 2 1+ + + ≤x x
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) 11 1 2.− − − ≤x x b) 3 7 2 8.+ − − > −x x x
c) 2 7 3 2 .− > − − − −x x x d) 2
5 3 .− < −x x x
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:
a) 2
2( 1) 1− ≤ +x x b) 2
12− − <x x x c) 2
4 1+ + <x x x
Hướng dẫn giải:
a)
2
2
2 2 2
1 1
1 12( 1) 0
2( 1) 1 1 0 1 1 1 3.
1 32( 1) ( 1) 2 3 0
 ≥ ≥ 
  ≤ − ≤ − − ≥   
  
− ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≤ ≤  
  − ≤ ≤− ≤ + − − ≤  
  
x x
x xx
x x x x x x
xx x x x
// Thao tác lập trục xét dấu kết hợp nghiệm ta làm ra ngoài nháp.
07. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
b)
2
2
2 2
4
312 0
12 0 0 4.
1212
 ≥
 ≤ − − − ≥ 
 
− − < ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 
  > −− − < 

x
xx x
x x x x x x
xx x x
c)
2
2 2
2 2
0
44 0 1
0
4 1 4 1 1 0 1 6
46 14 (1 )
 ≥
 ≤ − + ≥  
≤ <  + + < ⇔ + < − ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔    ≤ −< + < − 

x
xx x
x
x x x x x x x x
xxx x x
Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:
a) 2
2 5 6 2+ − > −x x x b) 2
4 5 2 3− + + ≥x x x c) 5 1 4 1 3+ − − ≤x x x
Hướng dẫn giải:
a)
( )
( )
2
2
2
2 2
2 0
2 5 6 0
2 5 6 2 2 0
2 5 6 0
2 5 6 (2 )
 − <

+ − ≥
+ − > − ⇔ − ≥
 + − ≥

+ − > −
x
I
x x
x x x x
x x II
x x x
( ) 2
2
5 732 0
2.4
2 5 6 0
5 73
4
>

 − +− <  ≥⇔ ⇔ ⇔ > + − ≥  − − ≤

x
x x
I x
x x
x
( ) 2
2 2
2
2 2
5 73 5 732 0
1 24 4
2 5 6 0
105 73 5 73
2 5 6 (2 )
4 4
19 10 0
10


 ≤ ≤
  − + − +− ≥ ≥ ≥  < ≤  ⇔ + − ≥ ⇔ ⇔ ⇔    < − − − − −   ≤ ≤+ − > −     
 
>+ − >  
 < −
x x
x x x
x
II x x
x
x xx x x
xx x
x
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của bất phương trình là
1
10
>
 < −
x
x
b)
( )
( )
2
2 2
2
2 2
3 2 0
4 5 0
4 5 2 3 4 5 3 2 3 2 0
4 5 0
4 5 (3 2 )
 − ≤

− + ≥
− + + ≥ ⇔ − + ≥ − ⇔ − >
 − + ≥

− + ≥ −
x
I
x x
x x x x x x x
x x II
x x x
( ) 2
3 2 0 3
.
24 5 0,
− ≤
⇔ ⇔ ≥
− + ≥ ∀ ∈
x
I x
x x x R
( ) 2
22 2
33 2 0 3
2 32
4 5 0, .2
2 3 2
23 8 4 04 5 (3 2 )
3
− >  <<  
⇔ − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <  
   ≤ ≤− + ≤− + ≥ −  
x x
x
II x x x R x
xx xx x x

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của bất phương trình là
2
.
3
≥x
c) ( )5 1 4 1 3 , *+ − − ≤x x x
Điều kiện:
1
55 1 0
1 1
4 1 0 .
4 4
0
0

≥ −
+ ≥ 
 
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 
 ≥ ≥


x
x
x x x
x
x
Khi đó, ( ) ( )* 5 1 3 4 1 5 1 9 4 1 6 (4 1) 6 (4 1) 2 8 , **⇔ + ≤ + − ⇔ + ≤ + − + − ⇔ − ≥ −x x x x x x x x x x x
TH1: ( )
1
** 2 8 0
4
⇔ − ≤ ⇔ ≥x x , (thỏa mãn điều kiện).
TH2: ( ) 2
2
1
4
1
2 8 0 11
** 4
5436 (4 1) (2 8 )
20 1 0
1
5

<

− > <  
⇔ ⇔ ⇔ ≤ −≥  − ≥ −  − − ≥  ≤ −
x
x x
xx
x x x
x x
x
.
Tập nghiệm này không thỏa mãn điều kiện, vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là
1
.
4
≥x
II. PP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Nguyên tắc giải:
Đưa về cùng cơ số ( ) ( ) 1 ( ) ( ).
0 1 ( ) ( ).
 > → >
> ⇔ 
< < → <
f x g x a f x g x
a a
a f x g x
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
7 12
5 1− +
>x x
b)
2
4 15 13 4 3
1 1
2 2
x x x− + −
   
<   
   
c)
1
4
1 1
2 2
   
≥   
   
x
d)
1
1 1
2
16
x
x−  
>  
 
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a)
1 1
3
3 3 84x x
+
+ > b)
1
1 1
5
25
x
x+  
<  
 
c)
2
2
9 8 3
71
7
7
x x
x
− − +
− 
< 
 
d)
2
2
401
4 3
2
1
3
3
x
x x
−
− +  
<  
 
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:
a) 1 3 4 2
7.3 5 3 5+ + + +
+ ≤ +x x x x
b) 2 1 2
2 5 2 5+ + +
+ < +x x x x
c) 1 2 1 2
9 9 9 4 4 4+ + + +
+ + < + +x x x x x x
d) 2 3 4 1 2
2 2 2 5 5+ + + + +
− − > −x x x x x
Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:
a)
6 3
2 1 1
1 1
2 2
− + −
   
<   
   
x x x
b)
2
3
1 1
5 25
+
 
≤ 
 
x x

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) 2 25 6
1 1
33
++ −
> xx x
d)
2
1
2 1
3
3
x x
x x
− −
−  
≥  
 
Ví dụ 5. Giải các bất phương trình sau:
a) ( ) ( )
1
1
2 1 2 1
+
−
+ ≥ −
x
x
x
b) ( ) ( )
3 1
1 310 3 10 3
x x
x x
− +
− ++ < −
c) ( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
−
−
+
+ ≥ −
x
x
x
d)
6 5
2 52 25
5 4
−
+ 
< 
 
x
x
e) ( ) ( )
6 6
1
2 1 2 1
−
−
+
+ ≤ −
x
x
x
f) 1 2
3 3 3 11− −
+ − <x x x
Ví dụ 6. Giải các bất phương trình sau:
a)
3
2
log
2
5 1x+
< b) −
−
≤2
1
2
1
2
2
x
x x
c) − +≥
1 1
2 1 3 12 2x x d) 1
1 1
3 1 1 3+
≥
− −x x
e)
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12x x x
x x x x+
+ + > + + f) 93.3.23.3.6 212
++<++ +
xxxx xxx