Downloaded 263 times
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 9
— Το 0
x µπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης (Σχ. 22α, 22β) ή να
µην ανήκει σ’ αυτό (Σχ.22γ)
— Η τιµή της f στο 0
x , όταν υπάρχει, µπορεί να είναι ίση µε το όριό της στο 0
x (Σχ.
22α) ή διαφορετική από αυτό (Σχ. 22β,22γ)
f(x)
f(x)
f x( )0 =ℓ
O x0 xx x
y
22α
f(x0)
f(x)
f(x)
O x0
ℓ
xx x
y
22β
f(x)
f(x)
O x0
ℓ
xx x
y
22γ
23 Πότε Λέµε ότι Μια Συνάρτηση f Έχει Κοντά Στο o
x Μια Ιδιότητα P
Απάντηση
Μια συνάρτηση f λέµε ότι έχει κοντά στο 0
x µια ιδιότητα Ρ, όταν ισχύει µια από τις
παρακάτω τρεις συνθήκες:
α) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0 0
(α,x ) (x ,β)∪ και στο σύνολο αυτό έχει
την ιδιότητα Ρ.
β) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0
(α,x ) , έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά
δεν ορίζεται σε σύνολο της µορφής 0
(x ,β) .
γ) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0
(x ,β) , έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά
δεν ορίζεται σε σύνολο της µορφής 0
(α,x ) .
24 Πρόσηµο Συνάρτησης Και Όρια
Απάντηση
• Αν
0x x
lim f(x) 0
→
> , τότε f(x) 0> κοντά στο 0
x
• Αν
0x x
lim f(x) 0
→
< , τότε f(x) 0< κοντά στο 0
x
25 ∆ιάταξη Και Όρια
Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο 0
x και ισχύει f(x) g(x)≤
κοντά στο 0
x , τότε
0 0x x x x
lim f(x) lim g(x)
→ →
≤
26 Πράξεις Συναρτήσεων Και Όρια
Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0
x , τότε:
1.
0 0 0x x x x x x
lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
→ → →
+ = +
2.
0 0x x x x
lim (κf(x)) κ lim f(x)
→ →
= , για κάθε σταθερά κ R∈
3.
0 0 0x x x x x x
lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
→ → →
⋅ = ⋅
ισχύει και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις
0 0
*
lim[ ( )] lim ( ) ,
ν
ν
x x x x
f x f x ν
→ →
= ∈
ℕ
4. 0
0
0
x x
x x
x x
lim f(x)
f(x)
lim
g(x) lim g(x)
→
→
→
= , εφόσον
0x x
lim g(x) 0
→
≠
5.
0 0x x x x
lim | f(x)| lim f(x)
→ →
=
6.
0 0
k
k
x x x x
lim f(x) lim f(x)
→ →
= , εφόσον f(x) 0≥ κοντά στο 0
x .](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-10-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 13
36 Συνέχεια Και Πράξεις Συναρτήσεων
Απάντηση
Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρηµα:
Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο 0
x , τότε είναι συνεχείς στο 0
x και οι
συναρτήσεις: f g+ , c f⋅ , όπου c∈ℝ , f g⋅ ,
f
g
, | f| και fν
µε την προϋπόθεση ότι ορίζονται
σε ένα διάστηµα που περιέχει το 0
x .
37 Συνέχεια Σύνθετης Συνάρτησης
Απάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0
x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0
f(x ) , τότε
η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο 0
x .
38 Συνέχεια σε ΑΝΟΙΚΤΟ ∆ιάστηµα ( , )α β
Απάντηση
Μια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα ( , )α β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β .
y
( )
O βa x
39 Συνέχεια σε ΚΛΕΙΣΤΟ ∆ιάστηµα , α β
Απάντηση
Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον
x
lim f(x) f( )+
→α
= α και
x
lim f(x) f( )−
→β
= β
y
[ ]
O βa x
40 Συνέχεια σε ∆ιάστηµα ),α β
Απάντηση
Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ),α β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον
x
lim f(x) f( )+
→α
= α
41 Συνέχεια σε ∆ιάστηµα ( , α β
Απάντηση
Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα ( , α β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον
x
lim f(x) f( )−
→β
= β](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-14-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 14
42 Θεώρηµα Bolzano (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Έστω µια συνάρτηση f , ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β . Αν:
• η f είναι συνεχής στο [ , ]α β και, επιπλέον, ισχύει
• f( ) f( ) 0α ⋅ β < ,
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0
x ( , )∈ α β τέτοιο, ώστε 0
f(x ) 0= .
∆ηλαδή, υπάρχει µια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) 0= στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β .
43 Γεωµετρική Ερµηνεία Bolzano
Απάντηση
Αν f συνεχής συνάρτησης στο [ , ]α β και τα σηµεία ( , ( ))A fα α και ( , ( ))B fβ β βρίσκονται
εκατέρωθεν του άξονα x x′ , τότε η Cf τέµνει τον άξονα x x′ σε ένα τουλάχιστον σηµείο
Μ(x0, 0), µε τετµηµένη 0
x ( , )∈ α β .
44 Πρόσηµο Συνεχούς Συνάρτησης (συνέπειες Bolzano)
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δε µηδενίζεται σ’ αυτό, τότε
αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈ ∆ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ ∆ , δηλαδή διατηρεί
πρόσηµο στο διάστηµα ∆.
y
f(x)<0
O
βa
x
44
(β)
Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από το διαστήµατα
στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της.
y
ρ5
ρ4ρ3
ρ2
ρ1
+
−−
+
−
+
′′x0′x0
x0
y
B(β,f(β))
Α(α,f(α))f(a)
f(β)
O β
a
x
y
f(x)>0
O βa x
(α)](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-15-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 15
45 Εύρεση Προσήµου
Απάντηση
α) Βρίσκουµε τις ρίζες της f.
β) Σε καθένα από τα υποδιαστήµατα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουµε έναν
αριθµό και βρίσκουµε το πρόσηµο της f στον αριθµό αυτό. Το πρόσηµο αυτό είναι και το
πρόσηµο της f στο αντίστοιχο διάστηµα.
46 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Ενδιάµεσων Τιµών
Απάντηση
Αν f συνεχής συνάρτησης στο [ , ]α β και τα σηµεία ( , ( ))A fα α και ( , ( ))B fβ β βρίσκονται
εκατέρωθεν της ευθείας y=η, τότε η Cf τέµνει την ευθεία y=η σε ένα τουλάχιστον σηµείο
Μ(x0, η), µε τετµηµένη 0
x ( , )∈ α β .
′x0x0 ′′x0
y
B(β,f(β))
f(a)
f(β)
O β
y=η
η
a x
Α(α,f(α))
Σχόλια
α) Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστηµα [ , ]α β , τότε, όπως φαίνεται και
στο διπλανό σχήµα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάµεσες τιµές.
y
f(a)
f(β)
O
y=η
η
xβa
47 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ένα ∆ιάστηµα ∆
Απάντηση
Η εικόνα f( )∆ ενός διαστήµατος ∆ µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f
είναι διάστηµα.
y
( )
O
(α)
βa x
y
( )
O
(β)
βa x
47
y
[ )
O
(γ)
βa x
48 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ένα ∆ιάστηµα (α,β)
Απάντηση
Aν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-16-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 16
( , )α β , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα ( , )Α Β , όπου
x
lim f(x)+
→α
Α = και
x
B lim f(x)−
→β
= .
y
( )
O
(48α)
β
B
A
a x
Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( , )α β , τότε το σύνολο τιµών της στο
διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (B,A) , όπου
x
lim f(x)+
→α
Α = και
x
B lim f(x)−
→β
= .
y
( )
O
(48β)
β
Α
Β
a x
49 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ανοικτό ∆ιάστηµα (α,β)
Απάντηση
Αν µια ΣΥΝΕΧΗΣ συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα ανοικτό διάστηµα ( ),α β και
x x x x
lim f(x) limf(x) (ή lim f(x) limf(x) )
→α →β →α →β
= +∞ και = −∞ = −∞ και = +∞ , τότε το σύνολο τιµών της f είναι το
( )( ), f ,α β =ℝ ℝ ,δηλαδή δεν χρειάζεται να βρούµε τη µονοτονία της συνάρτησης στο (α,β)
50 Θεώρηµα Μέγιστης –Ελάχιστης Τιµής (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ , ]α β , τότε η f παίρνει στο [ , ]α β µια µέγιστη τιµή Μ
και µια ελάχιστη τιµή m.
∆ηλαδή, υπάρχουν 1 2
x ,x [ , ]∈ α β τέτοια ώστε, αν 1
m f(x )= και 2
M f(x )= , να ισχύει
( )≤ ≤m f x M , για κάθε [ , ]∈x α β .
y
[ ]
O βa xx1x2
Μ
m
m
Μ](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-17-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 17
51 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Κλειστό ∆ιάστηµα [α,β]
Απάντηση
Το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το [α,β] είναι το κλειστό
διάστηµα [m,M] όπου m η ελάχιστη τιµή και M η µέγιστη τιµή της.
52 Ακολουθία
Απάντηση
Ακολουθία ονοµάζεται κάθε πραγµατική συνάρτηση
*
α : N → ℝ .
53 Όριο Ακολουθίας
Απάντηση
Θα λέµε ότι η ακολουθία ( αν ) έχει όριο το ∈ℝl και θα γράφουµε lim α
→+∞
= lν
ν
, όταν για κάθε ε >0,
υπάρχει
*
0ν ∈ℕ τέτοιο, ώστε για κάθε 0ν > ν να ισχύει − <lνα ε .](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-18-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 18
Ηµεροµηνία: / / .
Β Αποδείξεις Στις Συναρτήσεις
1 Έστω το πολυώνυµο 1
1 1 o
P(x) a x a x ... a x aν ν−
ν ν−
= + + + + και o
x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι
o
o
x x
lim P(x) P(x )
→
=
Απόδειξη
Σύµφωνα µε τις ιδιότητες των ορίων έχουµε:
0 0
ν ν 1
ν ν 1 0
x x x x
lim P(x) lim(α x α x α )−
−
→ →
= + + +⋯
0 0 0
ν ν 1
ν ν 1 0
x x x x x x
lim(α x ) lim(α x ) lim α−
−
→ → →
= + + +⋯
0 0 0
ν ν 1
ν ν 1 0
x x x x x x
α lim x α lim x lim α−
−
→ → →
= + + +⋯ ν ν 1
ν 0 ν 1 0 0 0α x α x α P(x )−
−= + + + =⋯ .
2 Έστω η ρητή συνάρτηση
P(x)
f(x)
Q(x)
= , όπου P(x),Q(x) πολυώνυµα του x και
0x ∈ℝ µε 0
Q(x ) 0≠ . Να δείξετε ότι:
0
0
x x
0
P(x )
lim f (x)
Q(x )→
= , όπου o
Q(x ) 0≠
Απόδειξη
0
0 0
0
x x 0
x x x x
0
x x
lim P(x) P(x )P(x)
lim f (x) lim
Q(x) lim Q(x) Q(x )
→
→ →
→
= = = εφόσον 0Q(x ) 0≠ .
3 Πως υπολογίζουµε το όριο σύνθετης συνάρτησης fog στο 0x
Απόδειξη
Αν θέλουµε να υπολογίσουµε το όριο της σύνθετης συνάρτησης f g στο σηµείο 0
x ,
δηλαδή το
0x x
lim f(g(x))
→
, τότε εργαζόµαστε ως εξής:
1. Θέτουµε u g(x)= .
2. Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το
0
0
x x
u lim g(x)
→
= και
3. Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το
0u u
lim f(u)ℓ
→
= .
Αν 0
g(x) u≠ κοντά στο 0
x , τότε το ζητούµενο όριο είναι ίσο µε ℓ , δηλαδή ισχύει:
0 0
lim ( ( )) lim ( )
→ →
=
x x u u
f g x f u
4 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών
∆ιατύπωση
Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β . Αν:
• η f είναι συνεχής στο [ , ]α β και
• f( ) f( )α ≠ β
τότε, για κάθε αριθµό η, µεταξύ των f( )α και f( )β υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0
x ( , )∈ α β
τέτοιος ώστε 0
f(x ) = η
Απόδειξη
Ας υποθέσουµε ότι f( ) f( )α < β . Τότε θα ισχύει f( ) f( )α < η < β (Σχ. 4). Αν θεωρήσουµε τη
συνάρτηση g(x) f(x)= − η , x [ , ]∈ α β , παρατηρούµε ότι:
• η g είναι συνεχής στο [ , ]α β και
• g( )g( ) 0α β < ,](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-19-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 19
aφού g( ) f( ) 0α = α − η < και g( ) f( ) 0β = β − η > .
Εποµένως, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Bolzano,
υπάρχει 0
x ( , )∈ α β τέτοιο ώστε 0 0
g(x ) f(x ) 0= − η = , οπότε
0
f(x ) = η .
5 Αν ισχύει Το Θεώρηµα Bolzano στο , α β , τότε Ισχύει και το Θεώρηµα
Ενδιαµέσων τιµών στο , α β
Απόδειξη
Από Θεώρηµα Bolzano ( ) ( ) ( )f α f β 0 1< . Θα αποδείξουµε ότι ( ) ( )f α f β≠ . Πράγµατι, έστω
( ) ( )f α f β= τότε από τη σχέση ( )1 παίρνουµε, ( )2
f α 0< , πράγµα άτοπο.
6 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Με Πεδίο Ορισµού το , α β
Απόδειξη
Από το θεώρηµα Μέγιστης Ελάχιστης Τιµής και το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών
προκύπτει ότι το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το [ , ]α β
είναι το κλειστό διάστηµα [ , ]m M , όπου m η ελάχιστη τιµή και Μ η µέγιστη τιµή της.
′x0x0 ′′x0
y
B(β,f(β))
f(a)
f(β)
O β
y=η
η
a x
4
Α(α,f(α))](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-20-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 21
Σχόλιο
Αν η συνάρτηση ∆ΕΝ είναι παραγωγίσιµη στο 0
x , τότε ∆ΕΝ ορίζεται η εφαπτοµένη της
fC στο 0 0
A(x ,f(x ))
4 Συντελεστής ∆ιεύθυνσης Της Εφαπτοµένης της fC Στο Σηµείο Της
0 0
A(x ,f(x ))
Απάντηση
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης ε της fC µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f, στο
σηµείο 0 0( , ( ))A x f x είναι η παράγωγος της f στο 0x . ∆ηλαδή, ( )of xλ ′= ,
5 Κλίσης Της f Στο 0
x
Απάντηση
Την κλίση 0
f (x )′ της εφαπτοµένης ε στο 0 0
A(x ,f(x )) θα τη λέµε και κλίση της f
C στο Α ή κλίση
της f στο 0
x .
6 Στιγµιαία Ταχύτητα
Απάντηση
Η στιγµιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγµή 0t , είναι η παράγωγος της συνάρτησης
θέσης ( )x S t= τη χρονική στιγµή 0t . ∆ηλαδή, είναι ( ) ( )o ot S tυ ′= .
7 Πότε Μια Συνάρτηση λέγεται Παραγωγίσιµη Στο Σύνολο Α
Απάντηση
H f είναι παραγωγίσιµη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιµη, όταν είναι παραγωγίσιµη σε κάθε
σηµείο 0
x A∈ .
8 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε Ανοικτό ∆ιάστηµα ( , )α β
Απάντηση
Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα ανοικτό διάστηµα ( , )α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι
παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο 0
x ( , )∈ α β .
9 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε Κλειστό ∆ιάστηµα , α β
Απάντηση
Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι
παραγωγίσιµη στο ( , )α β και επιπλέον ισχύει:
+
→α
− α
∈
− α
ℝ
x
f(x) f( )
lim
x
και
−
→β
− β
∈
− β
ℝ
x
f(x) f( )
lim
x
.](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-22-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 23
17 Παράγωγος Λογαριθµικής Συνάρτησης (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Έστω η συνάρτηση f(x) lnx= . Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, )+∞ ισχύει 1
f (x)
x
′ = ,
δηλαδή
1
(lnx)
x
′ =
18 Παράγωγος Αθροίσµατος ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς
απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε x∈∆ ισχύει:
)()()()( xgxfxgf ′+′=′+
.
Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. ∆ηλαδή, αν
1 2, ,..., kf f f , είναι παραγωγίσιµες στο ∆, τότε 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kf f f x f x f x f x′ ′ ′ ′+ + + = + + +⋯ ⋯ .
19 Παράγωγος Γινοµένου ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x ισχύει:
′ ′ ′⋅ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x .
20 Παράγωγος Γινοµένου ∆υο Συναρτήσεων Στο o f
x D∈ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο o f
x D∈ , τότε και η συνάρτηση fg είναι
παραγωγίσιµη στο 0
x και ισχύει ′ ′ ′⋅ = +0 0 0 0 0
(f g) (x ) f (x )g(x ) f(x )g (x )
21 Παράγωγος Πηλίκου ∆υο Συναρτήσεων Στο o f
x D∈ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο o f
x D∈ , τότε και η συνάρτηση
f
g
είναι
παραγωγίσιµη στο 0
x και ισχύει
′
′ ′−
=
0 0 0 0
0 2
0
f (x )g(x ) f(x )g (x )f
(x )
g [g(x )]
µε 0
g(x ) 0≠
22 Παράγωγος Πηλίκου ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆ και για κάθε ∈ ∆x ισχύει
≠g(x) 0 , τότε για κάθε ∈ ∆x έχουµε:
′
′ ′ −
=
2
( ) ( ) ( ( )
( )
[ ( )]
f f x g x f x)g x
x
g g x
.
23 Παράγωγος Σύνθεσης ∆υο Συναρτήσεων Στο o g
x D∈ (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο 0
x και η f είναι παραγωγίσιµη στο 0
g(x ) , τότε η
συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο 0
x και ισχύει 0 0 0
(f g) (x ) f (g(x )) g (x )′ ′ ′= ⋅](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-24-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 24
24 Ρυθµός Μεταβολής Συνάρτησης
Απάντηση
Αν δύο µεταβλητά µεγέθη x,y συνδέονται µε τη σχέση y f(x)= , όταν f είναι µια συνάρτηση
παραγωγίσιµη στο 0
x , τότε ονοµάζουµε ρυθµό µεταβολής του y ως προς το x στο σηµείο 0
x
την παράγωγο 0
f (x )′ .
25 Ρυθµός Μεταβολής Μετατόπισης
Απάντηση
Ο ρυθµός µεταβολής της µετατόπισης s ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to είναι η
παράγωγος s’(to), της µετατόπισης s ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to. Η παράγωγος
s’(to) λέγεται ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή to και συµβολίζεται µε u(to), δηλαδή:
υ(to)=s’(to).
26 Ρυθµός Μεταβολής Ταχύτητας
Απάντηση
Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to είναι η
παράγωγος υ’(to), της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to. Η παράγωγος υ’(to)
λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγµή to και συµβολίζεται µε α(to), δηλαδή:
α(to)= υ’(to)=S’’(to).
27 Οριακό Κόστος
Απάντηση
Στην οικονοµία το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει
της ποσότητας x του παραγόµενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγος Κ’(xo) παριστάνει το ρυθµό
µεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα x, όταν x=xo και λέγεται οριακό κόστος στο xo.
Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο xo και οριακό κέρδος στο xo.
28 Θεώρηµα Rolle (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι:
• συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ , ]α β
• παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β και
• f( ) f( )α = β
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( , )ξ ∈ α β τέτοιο ώστε f ( ) 0′ ξ = .
29 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Rolle
Απάντηση
Αν η Cf είναι µία συνεχής γραµµή από το σηµείο ( , ( ))A fα α στο ( , ( ))B fβ β , η f είναι
παραγωγίσιµη στο α β( , ) και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι παράλληλο στον άξονα x x′ ,
τότε υπάρχει µία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Μ(ξ, f(ξ)), µε
τετµηµένη ξ ∈ α β( , ) .](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-25-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 25
y
O xβξ΄ξα
Μ (ξ,f (ξ))
Β(β,f(β))
Α(α,f (α))
31
30 Θεώρηµα Μέσης Τιµής Του ∆ιαφορικού Λογισµού (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι:
• συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ , ]α β και
• παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( , )ξ ∈ α β τέτοιο ώστε:
f( ) f( )
f ( )
β − α
′ ξ =
β − α
.
31 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Μέσης Τιµής
Απάντηση
Αν η Cf είναι µία συνεχής γραµµή από το σηµείο ( , ( ))A fα α στο ( , ( ))B fβ β και η f είναι
παραγωγίσιµη στο α β( , ) , τότε υπάρχει µία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτοµένη της Cf στο
σηµείο Μ(ξ, f(ξ)), που είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, µε ξ ∈ α β( , ) .
Β(β,f(β))
βξ΄ξa x
y
Ο
M(ξ,f(ξ))
A(a,f(a))
33
32 Θεωρήµατος Μέσης Τιµής Για Την Παραβολή 2
f(x) x x , 0= α + β + γ α ≠
Απάντηση
Για οποιαδήποτε 1 2, ∈ℝx x , ο αριθµός που ικανοποιεί το συµπέρασµα του ΘΜΤ είναι ο
µέσος όρος των τιµών 1 2,x x (ή αλλιώς το κέντρο του διαστήµατος [ ]1 2,x x )
∆ΗΛΑ∆Η 1 2 2 1
2 1
x x f(x ) f(x )
2 x x
f'( )
+ −
−
=
33 Αντιπαραγώγιση Σε ∆ιάστηµα ′ =( ) ( )f x f x
Απάντηση
Αν για µια συνάρτηση f ισχύει ( ) ( )′ =f x f x για κάθε x R∈ , τότε x
f(x) ce= για κάθε ∈ℝx
Σηµείωση: Αντί του ℝ µπορούµε να έχουµε τυχαίο διάστηµα ∆.
34 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Fermat
Απάντηση
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σηµείο ∈ α βo
x ( , ) και είναι παραγωγίσιµη στο xo,
τότε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Μ(xo, f(xo)) είναι παράλληλη στον άξονα x x′ .
35 Κρίσιµα Σηµεία
Απάντηση
Κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα ∆ λέγονται τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σηµεία του ∆ , στα οποία
η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση µε το µηδέν.](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-26-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 26
36 Πιθανές Θέσεις Ακροτάτων
Απάντηση
Οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν µιας συνάρτησης f σ’ ένα
διάστηµα ∆ είναι:
1. Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η παράγωγος της f µηδενίζεται.
2. Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.
3. Τα άκρα του ∆ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισµού της).
37 Πως Βρίσκουµε Τα Ολικά Ακρότατα Συνεχούς Συνάρτησης Σε Κλειστό
∆ιάστηµα
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β , όπως γνωρίζουµε από το
Θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής, η f παρουσιάζει µέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση
του µέγιστου και ελάχιστου της συνάρτησης f σε ένα κλειστό διάστηµα εργαζόµαστε ως εξής:
1. Βρίσκουµε τα κρίσιµα σηµεία της f.
2. Υπολογίζουµε τις τιµές της f στα σηµεία αυτά και στα άκρα των διαστηµάτων.
3. Από αυτές τις τιµές η µεγαλύτερη είναι το µέγιστο και η µικρότερη το ελάχιστο της f.
38 Κυρτή Συνάρτηση
Απάντηση
Η συνάρτηση f λέγεται κυρτή ή ότι στρέφει τα κοίλα άνω σ’ ένα διάστηµα ∆ όταν είναι συνεχής
στο ∆, παραγωγίσιµη στα εσωτερικά του ∆ και η f′ είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό
του ∆.
39 Κοίλη Συνάρτηση
Απάντηση
Η συνάρτηση f λέγεται κοίλη ή ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο ∆, αν είναι συνεχής στο
∆, παραγωγίσιµη στα εσωτερικά του ∆ και η f′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό
του ∆.
40 Κυρτότητα Και Εφαπτοµένη
Απάντηση
α) Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής
παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται “κάτω” από τη γραφική της παράσταση, µε
εξαίρεση το σηµείο επαφής τους ( )≤y f x για κάθε ∈∆x , η ισότητα ισχύει στο σηµείο επαφής.
β) Αν µια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής
παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται “πάνω” από τη γραφική της παράσταση, µε
εξαίρεση το σηµείο επαφής τους ( )≥y f x για κάθε ∈∆x , η ισότητα ισχύει στο σηµείο επαφής.
41 ∆εδοµένες Ανισοϊσότητες (χωρίς απόδειξη)
Απάντηση
●|ηµx| |x|≤ , για κάθε x R∈ .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 0= .
●lnx x 1≤ − , για κάθε x 0> .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 1= .
● x
e x 1≥ + , για κάθε x R∈ .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 0= .](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-27-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 28
48 Κατακόρυφη Ασύµπτωτη
Απάντηση
Η ευθεία 0
=x x λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της Cf, αν ένα τουλάχιστον από τα όρια
0x x
lim f(x)+
→
,
0x x
lim f(x)−
→
είναι +∞ ή −∞ .
49 Εύρεση Κατακόρυφης Ασύµπτωτης
Απάντηση
— Στα άκρα των διαστηµάτων του πεδίου ορισµού της στα οποία η f δεν ορίζεται.
— Στα σηµεία του πεδίου ορισµού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής.
50 Οριζόντια Ασύµπτωτη
Απάντηση
Η ευθεία y ℓ= λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της Cf στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ), όταν
x
lim f(x) ℓ
→+∞
= (αντιστοίχως
x
lim f(x) )ℓ
→−∞
= .
51 Πλάγια Ασύµπτωτη
Απάντηση
Η ευθεία y x= λ + β λέγεται ασύµπτωτη της Cf στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ), αν
x
lim [f(x) ( x )] 0
→+∞
− λ + β = (αντιστοίχως αν
x
lim [f(x) ( x )] 0
→−∞
− λ + β = ).
52 Πως Βρίσκουµε Τις Πλάγιες Ασύµπτωτες
Απάντηση
—Στο +∞ , −∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( , )α +∞ ,
αντιστοίχως ( , )−∞ α .
Η ευθεία y x= λ + β είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ , αντιστοίχως στο
−∞ , αν και µόνο αν
→+∞
= λ ∈ ℝ
x
f(x)
lim
x
και
→+∞
− λ = β ∈ ℝ
x
lim [f(x) x] , αντιστοίχως:
→−∞
= λ ∈ ℝ
x
f(x)
lim
x
και
→−∞
− λ = β ∈ ℝ
x
lim [f(x) x] .
53 Ασύµπτωτες Πολυωνυµικής Ρητής Συνάρτησης
Απάντηση
—Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύµπτωτες.
—Οι ρητές συναρτήσεις
P(x)
Q(x)
, µε βαθµό του αριθµητή P(x) µεγαλύτερο τουλάχιστον κατά
δύο του βαθµού του παρονοµαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύµπτωτες.
54 Που Αναζητούµε Ασύµπτωτες
Απάντηση
• Στα άκρα διαστηµάτων του πεδίου ορισµού της στα οποία η f δεν ορίζεται
• Στα σηµεία του πεδίου ορισµού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής
• Στο +∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής (a, )+∞
• Στο −∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( ,a)−∞](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-29-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 30
Ηµεροµηνία: / / .
∆ Αποδείξεις Στις Παραγώγους
1 Αποδείξτε ότι 0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) lim
h→
+ −
′ =
Απόδειξη
Αν στην ισότητα
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f (x ) lim
x x→
−
′ =
−
θέσουµε 0
x x h= + , τότε έχουµε
→
+ −
′ = 0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) lim
h
.
2 Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο 0
x , τότε
είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.
Απόδειξη
Για 0
x x≠ έχουµε 0
0 0
0
f(x) f(x )
f(x) f(x ) (x x )
x x
−
− = ⋅ −
−
, οπότε θα είναι:
0 0
0
0 0
x x x x
0
f(x) f(x )
lim[f(x) f(x )] lim (x x )
x x→ →
−
− = ⋅ −
− 0 0
0
0
x x x x
0
f(x) f(x )
lim lim (x x )
x x→ →
−
= ⋅ −
− 0
f (x ) 0 0′= ⋅ = ,
αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο 0
x . Εποµένως,
0
0
x x
lim f(x) f(x )
→
= , δηλαδή η f είναι συνεχής στο
0
x .
Σχόλιο
α) Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει:
Η ( ) | |f x x= είναι συνεχής στο 0 0x = , αλλά δεν είναι
παραγωγίσιµη σ’ αυτό, αφού:
00
( ) (0)
lim lim 1
0 xx
f x f x
x x+ →→
−
= =
−
, ενώ
00
( ) (0)
lim lim 1
0 xx
f x f x
x x− →→
− −
= = −
−
β) Ισχύει όµως ότι : Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα
σηµείο 0
x , τότε, σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα, δεν µπορεί να είναι παραγωγίσιµη
στο 0
x .
3 Να αποδείξετε ότι αν f(x) c= , µε c ∈ ℝ , τότε f (x) 0′ =
Απόδειξη
Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει: 0
0 0
f (x) f (x ) c c
0
x x x x
− −
= =
− −
. Εποµένως,
0
0
x x
0
f (x) f (x )
lim 0
x x→
−
=
−
,
δηλαδή (c) 0′ = .
4 Να αποδείξετε ότι αν f(x) x= , τότε f (x) 1′ =
Απόδειξη
Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει ότι : 0 0
0 0
f (x) f (x ) x x
1
x x x x
− −
= =
− −
.
Εποµένως,
0 0
0
x x x x
0
f (x) f (x )
lim lim 1 1
x x→ →
−
= =
−
, δηλαδή (x) 1′ = .
O x
y 2](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-31-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 31
5 Να αποδείξετε ότι αν f(x) xν
= , µε {0,1}ν ∈ −ℕ , τότε 1
f (x) xν−
′ = ν
Απόδειξη
Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει:
1 2 1
1 2 10 0 0 0 0
0 0
0 0 0
f (x) f (x ) x x (x x )(x x x x )
x x x x
x x x x x x
ν ν ν− ν− ν−
ν− ν− ν−− − − + + +
= = = + + +
− − −
⋯
⋯ ,
Εποµένως :
0 0
1 2 1 1 1 1 10
0 0 0 0 0 0
x x x x
0
f (x) f (x )
lim lim(x x x x ) x x x x
x x
ν− ν− ν− ν− ν− ν− ν−
→ →
−
= + + + = + + + = ν
−
⋯ ⋯ ,
δηλαδή
1
(x ) xν ν−
′ = ν .
6 Να αποδείξετε ότι αν f(x) x= , τότε 1
f (x)
2 x
′ = , x 0>
Απόδειξη
Αν 0x (0, )∈ +∞ , τότε για 0x x≠ ισχύει:
( )( )
( ) ( )
0 000 0
0 0 00 0 0 0
x x x xx xf (x) f (x ) x x 1
x x x x x x(x x ) x x (x x ) x x
− +−− −
= = = =
− − +− + − +
,
οπότε :
0 0
0
x x x x
0 0 0
f (x) f (x ) 1 1
lim lim
x x x x 2 x→ →
−
= =
− +
, δηλαδή ( ) 1
x
2 x
′
= .
(Σηµείωση: η f(x) x= δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0).
7 Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιµες στο 0
x , τότε η
συνάρτηση f g+ είναι παραγωγίσιµη στο 0
x και ισχύει:
0 0 0
(f g) (x ) f (x ) g (x )′ ′ ′+ = +
Απόδειξη
Για 0
x x≠ , ισχύει: 0 0 0 0 0
0 0 0 0
(f g)(x) (f g)(x ) f(x) g(x) f(x ) g(x ) f(x) f(x ) g(x) g(x )
x x x x x x x x
+ − + + − − − −
= = +
− − − −
.
Επειδή οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιµες στο 0
x , έχουµε:
0 0 0
0 0 0
0 0
x x x x x x
0 0 0
(f g)(x) (f g)(x ) f(x) f(x ) g(x) g(x )
lim lim lim f (x ) g (x ),
x x x x x x→ → →
+ − + − −
′ ′= + = +
− − −
δηλαδή 0 0 0
(f g) (x ) f (x ) g (x )′ ′ ′+ = + .
8 Παράγωγος Γινοµένου Τριών Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆
Απόδειξη
Αν οι συναρτήσεις f, g, h είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x
ισχύει:
( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ] ( ) ( )f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x′ ′= ⋅ = ⋅ + ⋅′ ′
[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x h x f x g x h x′ ′ ′= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x f x g x h x f x g x h x′ ′ ′= + + .
9 Παράγωγος Γινοµένου Αριθµού Με Συνάρτηση Σε ∆ιάστηµα ∆
Απόδειξη
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x και για
κάθε c ∈ ℝ ισχύει:
( ( )) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅′cf x f x f x f x f x f xc c c c
Άρα ( ( )) ( )′ ′= ⋅cf x f xc](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-32-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 33
15 Να αποδείξετε ότι :
Η συνάρτηση x
f(x) = α , 0α > είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει
x
f (x) ln′ = α α .
Απόδειξη
Αν x xln
y e α
= α = και θέσουµε u xln= α , τότε έχουµε u
y e= . Εποµένως,
u u xln x
y (e ) e u e ln lnα
′ ′ ′= = ⋅ = ⋅ α = α α .
16 Να αποδείξετε ότι :
Η συνάρτηση f(x) ln|x|= , x *∈ ℝ είναι παραγωγίσιµη στο x *∈ ℝ και
ισχύει 1
(ln|x|)
x
′ =
Απόδειξη
— Αν x 0> , τότε 1
(ln|x|) (lnx)
x
′ ′= = , ενώ
— Αν x 0< , τότε ln|x| ln( x)= − , οπότε, αν θέσουµε y ln( x)= − και u x= − , έχουµε y lnu= .
Εποµένως, 1 1 1
y (lnu) u ( 1)
u x x
′ ′ ′= = ⋅ = − =
−
και άρα 1
(ln|x|)
x
′ = .
17 Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆. Αν
• η f είναι συνεχής στο ∆ και
• f (x) 0′ = για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι σταθερή σε όλο
το διάστηµα ∆.
Απόδειξη
Αρκεί να αποδείξουµε ότι για οποιαδήποτε 1 2
x ,x ∈ ∆ ισχύει 1 2
f(x ) f(x )= . Πράγµατι
• Αν 1 2
x x= , τότε προφανώς 1 2
f(x ) f(x )= .
• Αν 1 2
x x< , τότε στο διάστηµα 1 2
[x ,x ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής.
Εποµένως, υπάρχει 1 2
(x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε 2 1
2 1
f(x ) f(x )
f ( )
x x
−
′ ξ =
−
. (1). Επειδή το ξ είναι εσωτερικό
σηµείο του ∆, ισχύει f ( ) 0′ ξ = ,οπότε, λόγω της (1), είναι 1 2
f(x ) f(x )= . Αν 2 1
x x< , τότε οµοίως
αποδεικνύεται ότι 1 2
f(x ) f(x )= . Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι 1 2
f(x ) f(x )= .
Σχόλιο
Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων.
18 Έστω δυο συναρτήσεις f,g ορισµένες σε ένα διάστηµα ∆. Αν
• οι f,g είναι συνεχείς στο ∆ και
• f (x) g (x)′ ′= για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆,
τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈ ∆ να
ισχύει: f(x) g(x) c= +
Απόδειξη
Η συνάρτηση f g− είναι συνεχής στο ∆ και για κάθε εσωτερικό
σηµείο x ∈ ∆ ισχύει (f g) (x) f (x) g (x) 0′ ′ ′− = − = .
y
O x
y=g(x)+c
y=g(x)
22](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-34-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 34
Εποµένως, σύµφωνα µε γνωστό θεώρηµα, η συνάρτηση f g− είναι σταθερή στο ∆. Άρα, υπάρχει
σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε x ∈ ∆ να ισχύει f(x) g(x) c− = , οπότε f(x) g(x) c= + .
Σχόλιο
Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων.
19 Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστηµα
∆.
Αν f (x) 0′ > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι
γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆.
Απόδειξη
Έστω 1 2
x ,x ∈ ∆ µε 1 2
x x< . Θα δείξουµε ότι 1 2
f(x ) f(x )< . Πράγµατι, στο διάστηµα 1 2
[x ,x ] η f
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως, υπάρχει 1 2
(x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε
2 1
2 1
f(x ) f(x )
f ( )
x x
−
′ ξ =
−
, οπότε έχουµε 2 1 2 1
f(x ) f(x ) f ( )(x x )′− = ξ − . Επειδή f ( ) 0′ ξ > και 2 1
x x 0− > , έχουµε
2 1
f(x ) f(x ) 0− > , οπότε 1 2
f(x ) f(x )< .
Σχόλιο
Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει. ∆ηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα
στο ∆, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του ∆.
Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση
3
( )f x x= . Επειδή η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα στο
ℝ .Εντούτοις, η
2
( ) 3f x x′ = δεν είναι θετική στο ℝ , αφού (0) 0f ′ = .
20 Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστηµα
∆.
Αν f (x) 0′ < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι
γνησίως φθίνουσα σε όλο το ∆.
Απόδειξη
Έστω 1 2
x ,x ∈ ∆ µε 1 2
x x< . Θα δείξουµε ότι 1 2
f(x ) f(x )> . Πράγµατι, στο διάστηµα 1 2
[x ,x ] η f
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως, υπάρχει 1 2
(x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε
2 1
2 1
f(x ) f(x )
f ( )
x x
−
′ ξ =
−
, οπότε έχουµε 2 1 2 1
f(x ) f(x ) f ( )(x x )′− = ξ − . Επειδή f ( ) 0′ ξ < και 2 1
x x 0− > , έχουµε
2 1
f(x ) f(x ) 0− < , οπότε 1 2
f(x ) f(x )> .
Σχόλιο
Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει. ∆ηλαδή, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα
στο ∆, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του ∆.
Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση
3
( )f x x= − . Επειδή η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα στο
ℝ .Εντούτοις, η
2
( ) 3f x x′ = − δεν είναι αρνητική στο ℝ , αφού (0) 0f ′ = .
21 Θεώρηµα Fermat
Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ’ ένα διάστηµα ∆ και 0
x ένα
εσωτερικό σηµείο του ∆. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0
x
και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: 0
f (x ) 0′ =](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-35-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 35
Απόδειξη
Ας υποθέσουµε ότι η f παρουσιάζει στο 0
x τοπικό µέγιστο. Επειδή το
0
x είναι εσωτερικό σηµείο του ∆ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό
µέγιστο, υπάρχει 0δ > τέτοιο, ώστε: 0 0
(x ,x )− δ + δ ⊆ ∆ και 0
f(x) f(x )≤ , για
κάθε 0 0
x (x ,x )∈ − δ + δ . (1) Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιµη
στο 0
x , ισχύει
0 0
0 0
0
x x x x
0 0
f(x) f(x ) f(x) f(x )
f (x ) lim lim
x x x x− +
→ →
− −
′ = =
− −
.
Εποµένως,
— αν 0 0
x (x ,x )∈ − δ , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0
0
f(x) f(x )
0
x x
−
≥
−
, οπότε θα έχουµε
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f (x ) lim 0
x x−
→
−
′ = ≥
−
.
(2)
— αν 0 0
x (x ,x )∈ + δ , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0
0
f(x) f(x )
0
x x
−
≤
−
, οπότε θα έχουµε
0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f (x ) lim 0
x x+
→
−
′ = ≤
−
.
(3)
Έτσι, από τις (2) και (3) έχουµε 0
f (x ) 0′ = . Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.
22 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση
ίσως ένα σηµείο του 0
x
, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής.
Αν f (x) 0′ > στο 0
( ,x )α και f (x) 0′ < στο 0
(x , )β , τότε το 0
f(x ) είναι τοπικό µέγιστο
της f.
Απόδειξη
Επειδή f (x) 0′ > για κάθε 0
x ( ,x )∈ α και η f είναι συνεχής στο 0
x , η f είναι γνησίως αύξουσα στο
0
( ,x ]α . Έτσι έχουµε 0
f(x) f(x )≤ , για κάθε 0
x ( ,x ]∈ α (1). Επειδή f (x) 0′ < για κάθε 0
x (x , )∈ β και η f
είναι συνεχής στο 0
x , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0
[x , )β . Έτσι έχουµε: 0
f(x) f(x )≤ , για κάθε
0
x [x , )∈ β (2).
y
O
f(x0)
f΄<0
f΄>0
βa x0 x
y
O
f΄<0f΄>0
βa x0 x
f(x0)
Εποµένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: 0
f(x) f(x )≤ , για κάθε x ( , )∈ α β , που σηµαίνει ότι το 0
f(x )
είναι µέγιστο της f στο ( , )α β και άρα τοπικό µέγιστο αυτής.
23 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση
ίσως ένα σηµείο του 0
x
, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής.
Αν f (x) 0′ < στο 0
( ,x )α και f (x) 0′ > στο 0
(x , )β , τότε το 0
f(x ) είναι τοπικό
ελάχιστο της f .
Απόδειξη
Επειδή f (x) 0′ < για κάθε 0
x ( ,x )∈ α και η f είναι συνεχής στο 0
x , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
0
( ,x ]α . Έτσι έχουµε 0
f(x) f(x )≥ , για κάθε 0
x ( ,x ]∈ α (1). Επειδή f (x) 0′ > για κάθε 0
x (x , )∈ β και η f](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-36-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 36
είναι συνεχής στο 0
x , η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0
[x , )β . Έτσι έχουµε: 0
f(x) f(x )≥ , για κάθε
0
x [x , )∈ β (2).
y
O
f΄<0
f΄>0
βa x0 x
y
O
f΄<0 f΄>0
βa x0 x
Εποµένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: 0
f(x) f(x )≥ , για κάθε x ( , )∈ α β , που σηµαίνει ότι το 0
f(x )
είναι ελάχιστο της f στο ( , )α β και άρα τοπικό ελάχιστο αυτής.
24 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση
ίσως ένα σηµείο του 0
x
, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής.
Aν η f (x)′ διατηρεί πρόσηµο στο 0 0
( ,x ) (x , )α ∪ β , τότε το 0
f(x ) δεν είναι τοπικό
ακρότατο και η f είναι γνησίως µονότονη στο ( , )α β .
Απόδειξη
Έστω ότι f (x) 0′ > , για κάθε 0 0
x ( ,x ) (x , )∈ α ∪ β .
y
O
f΄>0
f΄>0
βa x0 x
y
O
f΄>0
f΄>0
βa x0 x
Επειδή η f είναι συνεχής στο 0
x θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήµατα
0
( ,x ]α και 0
[x , )β . Εποµένως, για 1 0 2
x x x< < ισχύει 1 0 2
f(x ) f(x ) f(x )< < . Άρα το 0
f(x ) δεν είναι
τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουµε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( , )α β .
Πράγµατι, έστω 1 2
x ,x ( , )∈ α β µε 1 2
x x< .
— Αν 1 2 0
x ,x ( ,x ]∈ α , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0
( ,x ]α , θα ισχύει 1 2
f(x ) f(x )< .
— Αν 1 2 0
x ,x [x , )∈ β , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0
[x , )β , θα ισχύει 1 2
f(x ) f(x )< .
— Τέλος, αν 1 0 2
x x x< < , τότε όπως είδαµε 1 0 2
f(x ) f(x ) f(x )< < .
Εποµένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει 1 2
f(x ) f(x )< , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο
( , )α β .
Οµοίως, αν f (x) 0′ < για κάθε 0 0
x ( ,x ) (x , )∈ α ∪ β .](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-37-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 37
Ηµεροµηνία: / / .
Ε Ορισµοί Στα Ολοκληρώµατα
1 Αρχική Συνάρτηση
Απάντηση
Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο ∆ ονοµάζουµε κάθε συνάρτηση F που είναι
παραγωγίσιµη στο ∆ και ισχύει:F'(x) f(x)= , για κάθε x ∈ ∆ .
2 Πίνακας Παραγουσών Βασικών Συναρτήσεων
Απάντηση
Α/Α Συνάρτηση Παράγουσα
1 ( ) =f x 0 ( )F x c, c= ∈ ℝ
2 ( ) =f x 1 ( )F x x c, c= + ∈ ℝ
3 ( ) =
1
f x
x
( )F x ln x c, c= + ∈ ℝ
4 ( ) a
f x x ,a 1= ≠ − ( )
a 1
x
F x c, c
a 1
+
= + ∈
+
ℝ
5 ( ) = συνf x x ( )F x x c, c= ηµ + ∈ ℝ
6 ( ) = ηµf x x ( )F x x c, c= −συν + ∈ ℝ
7 ( ) =
συν2
1
f x
x
( )F x x c, c= εϕ + ∈ ℝ
8 ( ) =
ηµ2
1
f x
x
( )F x x c, c= −σϕ + ∈ ℝ
9 ( ) = x
f x e ( ) x
F x e c, c= + ∈ ℝ
10 ( ) = x
f x a ( )
x
a
F x c, c F
lna
= + ∈ ℝ
Σχόλια:
α) Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστηµα στο οποίο οι παραστάσεις του x που
εµφανίζονται έχουν νόηµα.
β) Αν οι συναρτήσεις F και G είναι παράγουσες των f και g αντιστοίχως και ο λ είναι ένας
πραγµατικός αριθµός, τότε:
i) Η συνάρτηση F +G είναι µια παράγουσα της συνάρτησης f + g και
ii) Η συνάρτηση λF είναι µια παράγουσα της συνάρτησης λf.
3 Ορισµένο Ολοκλήρωµα
Απάντηση
Έστω µια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς στο [ , ]α β . Με τα σηµεία 0 1 2
x x x ... xν
α = < < < < = β
χωρίζουµε το διάστηµα [ , ]α β σε ν ισοµήκη
υποδιαστήµατα µήκους x
β − α
∆ =
ν
. Στη
συνέχεια επιλέγουµε αυθαίρετα ένα
1
[x ,x ]κ κ− κ
ξ ∈ , για κάθε {1,2,..., }κ ∈ ν , και
σχηµατίζουµε το άθροισµα
1 2S f( ) x f( ) x f( ) x f( ) x⋯ ⋯ν κ ν= ξ ∆ + ξ ∆ + + ξ ∆ + + ξ ∆
xv-1 ξv
y=f(x)
ξk
ξ2ξ1 x2x1 xva=x0O
y](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-38-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 38
το οποίο συµβολίζεται, σύντοµα, ως εξής:
1
S f( ) x
ν
ν κ
κ=
= ξ ∆∑ . Το όριο του αθροίσµατος Sν
,
δηλαδή το
1
lim ( )
→∞ =
∑
ν
κ
ν κ
f ξ ∆x υπάρχει στο ℝ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των
ενδιάµεσων σηµείων κξ . Το παραπάνω όριο ονοµάζεται ορισµένο ολοκλήρωµα της
συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συµβολίζεται µε f(x)dx
β
α∫ και διαβάζεται
“ολοκλήρωµα της f από το α στο β”. ∆ηλαδή,
1
f(x)dx lim f( ) x
νβ
κα ν→∞ κ=
= ξ ∆∑∫ .
Σχόλιο:
Το σύµβολο ∫ οφείλεται στον Leibniz και ονοµάζεται σύµβολο ολοκλήρωσης. Αυτό είναι
επιµήκυνση του αρχικού γράµµατος S της λέξης Summa (άθροισµα). Οι αριθµοί α και β
ονοµάζονται όρια της ολοκλήρωσης. Η έννοια “όρια” εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του
2ου κεφαλαίου. Στην έκφραση ( )f x dx
β
α∫ το γράµµα x είναι µια µεταβλητή και µπορεί να
αντικατασταθεί µε οποιοδήποτε άλλο γράµµα. Έτσι, για παράδειγµα, οι εκφράσεις ( )f x dx
β
α∫ ,
( )f t dt
β
α∫ συµβολίζουν το ίδιο ορισµένο ολοκλήρωµα και είναι πραγµατικός αριθµός, σε αντίθεση
µε το ( )f x dx∫ που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων.
4 Γεωµετρική Ερµηνεία Ορισµένου Ολοκληρώµατος
Απάντηση
Αν ( ) 0f x ≥ για κάθε [ , ]x α β∈ , τότε το ολοκλήρωµα ( )f x dx
β
α∫ δίνει το εµβαδόν ( )E Ω του
χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον
άξονα x x′ και τις ευθείες x α= και x β= (Σχ. 11). ∆ηλαδή,
5 Υπολογισµός του Ολοκληρώµατος f(x)dx
β
α∫
Απάντηση
Το ( )f x dx
β
α∫ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των
χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον x’x µείον το άθροισµα
των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα
x’x
6 Ιδιότητες Του Ολοκληρώµατος f(x)dx
β
α∫
Απάντηση
• f(x)dx f(x)dx
β α
α β
= −∫ ∫
• f(x)dx 0
α
α
=∫
7 Ιδιότητες Πράξεων Συναρτήσεων
Απάντηση
Έστω f,g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [ , ]α β και ,λ µ ∈ ℝ . Τότε ισχύουν:
• f(x)dx f(x)dx
β β
α α
λ = λ∫ ∫
Αν ( ) 0f x ≥ , τότε
( ) ( ) 0E f x dx
β
α
Ω = ≥∫ .
βα
Ω
O x
y=f(x)
y](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-39-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 39
• [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
β β β
α α α
± = ±∫ ∫ ∫ και γενικά
• [ f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
β β β
α α α
λ + µ = λ + µ∫ ∫ ∫
8 «∆ιάσπαση» Ολοκληρώµατος
Απάντηση
Αν η f είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστηµα ∆ και , ,α β γ ∈ ∆ , τότε ισχύει
f(x)dx f(x)dx f(x)dxβ γ β
α α γ
= +∫ ∫ ∫
Σηµείωση: Αν ( ) 0f x ≥ και α γ β< < , η παραπάνω ιδιότητα δηλώνει
ότι: 1 2( ) ( ) ( )Ε Ω = Ε Ω + Ε Ω
9 Ανισότητες Και Ολοκληρώµατα
Απάντηση
α) Έστω f µια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστηµα [ , ]α β .
• Αν f(x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε f(x)dx 0
β
α
≥∫ .
• Αν f(x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β και η συνάρτηση f δεν είναι παντού µηδέν στο
διάστηµα αυτό, τότε f(x)dx 0
β
α
>∫ .
β) Έστω f και g δυο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστηµα [ , ]α β
• Αν ( )xf(x) g≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε f(x)dx g(x)dx
β β
α α
≥∫ ∫ .
• Αν επιπλέον οι συναρτήσεις ∆ΕΝ είναι παντού ίσες (δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον
ένα ( ) ( )[ , ] : f gξ ≠ ξξ∈ α β , τότε θα ισχύει f(x)dx g(x)dx
β β
α α
>∫ ∫
10 Συνάρτηση Ολοκλήρωµα
Απάντηση
Η συνάρτηση
x
F(x) f(t)dtα
= ∫ , x ∈ ∆ , είναι συνεχής και είναι µια παράγουσα της f στο ∆.
∆ηλαδή ( )x
f(x)f(t)dtα
′
=∫
11 Τύπος Παραγοντικής Ολοκλήρωσης
Απάντηση
Ισχύει ότι: f(x)g (x)dx [f(x)g(x)] f (x)g(x)dx
β ββ
αα α
′ ′= −∫ ∫ , όπου f ,g′ ′ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο
[ , ]α β .
12 Τύπος Αντικατάστασης
Απάντηση
Ισχύει ότι: 2
1
u
u
f(g(x))g (x)dx f(u)du
β
α
′ =∫ ∫ , όπου f,g′ είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(x)= ,
du g (x)dx′= και 1
u g( )= α , 2
u g( )= β .
13 Εµβαδόν Χωρίου από Cf, x’x, x=α, x=β και ≥f(x) 0
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [ , ]α β και f(x) 0≥ για κάθε
x [ , ]∈ α β , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική
παράσταση της f , τις ευθείες x = α , x = β και τον άξονα x x′ είναι
E( ) f(x)dx
β
α
Ω = ∫ .
βγα
Ω2Ω1
O x
y=f(x)
y
β
Ω
αO
x
y=f(x)
y](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-40-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 40
14 Εµβαδόν Χωρίου από Cf, x’x, x=α, x=β
Απάντηση
Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [ , ]α β για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε το εµβαδόν του
χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f , τις ευθείες x = α , x = β και τον άξονα
x x′ είναι E( ) f(x)dx
β
α
Ω = ∫ .
• Αν ( )f x 0≥ το εµβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη fC και τις ευθείες
x α,x β= = και τον άξονα xx′ είναι ( ) ( )
β
α
E f x dxΩ = ∫ .
• Αν ( )f x 0≤ το εµβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη fC και τις ευθείες
x α,x β= = και τον άξονα xx′είναι ( ) ( )( )
β
α
E f x dxΩ = −∫ .
• Αν η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [ ]α,β το εµβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που
ορίζεται από τη fC και τις ευθείες x α,x β= = και τον άξονα xx′είναι ( ) ( )
β
α
E f x dxΩ = ∫ .
15 Εµβαδόν Χωρίου από Cf, Cg, x=α, x=β
Απάντηση
Έστω δυο συνεχείς συναρτήσεις f και g, στο διάστηµα [ , ]α β µε ( ) ( ) 0f x g x≥ ≥ για κάθε
[ , ]x α β∈ και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των ,f g και τις
ευθείες x α= και x β= (Σχ. 13α).
Ω
(α)
O x
y=g(x)
y=f(x)
y
Ω1
(β)
O x
y=f(x)
y
Ω2
(γ)
O x
y=g(x)
y
13
Παρατηρούµε ότι 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))f x dx g x dx f x g x dx
β β β
α α α
Ε Ω = Ε Ω −Ε Ω = − = −∫ ∫ ∫ .
Εποµένως, ( ) ( ( ) ( ))E f x g x dx
β
α
Ω = −∫ .
16 Εµβαδόν Χωρίου από Cf, Cg, x=α, x=β, αν η διαφορά f(x)-g(x) δεν έχει
σταθερό πρόσηµο
Απάντηση
Έστω f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [ ]α,β και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις f gC ,C και τις
ευθείες x α= και x β= .Αν η διαφορά ( ) ( )f x g x− δεν έχει σταθερό πρόσηµο στο διάστηµα [ ]α,β ,
τότε Ε(Ω)= ( ) ( )
β
α
f x g x dx−∫ .](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-41-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 41
Ηµεροµηνία: / / .
ΣΤ Αποδείξεις Στα Ολοκληρώµατα
1 Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆. Αν F είναι µια
παράγουσα της f στο ∆, να αποδείξετε ότι:
• Όλες οι συναρτήσεις της µορφής G(x) F(x) c= + , c∈ ℝ , είναι παράγουσες της
f στο ∆ .
• Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο ∆ παίρνει τη µορφή G(x) F(x) c= + ,
c∈ ℝ .
Απόδειξη
Κάθε συνάρτηση της µορφής G(x) F(x) c= + , όπου c∈ ℝ , είναι µια παράγουσα της f στο ∆, αφού
G'(x) (F(x) c)' F '(x) f(x)= + = = , για κάθε x ∈ ∆ .
• Έστω G είναι µια άλλη παράγουσα της f στο ∆. Τότε , για κάθε x ∈ ∆ ισχύουν οι σχέσεις
F (x) f(x)′ = και G (x) f(x)′ = , οπότε: G'(x) F'(x)= , για κάθε x ∈ ∆ . Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια,
ώστε G(x) F(x) c= + , για κάθε x ∈ ∆ .
2 Θεµελιώδες θεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού
Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστηµα [ , ]α β . Αν G είναι µια
παράγουσα της f στο [ , ]α β , να αποδείξετε ότι: f(t)dt G( ) G( )
β
α
= β − α∫
Απόδειξη
Σύµφωνα µε γνωστό θεώρηµα, η συνάρτηση x
F(x) f(t)dtα= ∫ είναι µια παράγουσα της f
στο [ , ]α β . Επειδή και η G είναι µια παράγουσα της f στο [ , ]α β , θα υπάρχει c ∈ ℝ τέτοιο,
ώστε
G(x) F(x) c= + (1)
Από την (1), για x = α , έχουµε G( ) F( ) c f(t)dt c c
α
α
α = α + = + =∫ , οπότε c G( )= α .
Εποµένως, G(x) F(x) G( )= + α , οπότε, για x = β , έχουµε G( ) F( ) G( ) f(t)dt G( )
β
αβ = β + α = + α∫ και άρα
f(t)dt G( ) G( )
β
α
= β − α∫ .
3 Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις f,g είναι f(x) g(x)≥ για κάθε
x [ , ]∈ α β , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές
παραστάσεις των f,g και τις ευθείες x = α ,x = β δίνεται από τον
τύπο:E( ) (f(x) g(x))dx
β
α
Ω = −∫ .
Απόδειξη
Επειδή οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [ , ]α β , θα υπάρχει αριθµός c ∈ ℝ τέτοιος, ώστε
f(x) c g(x) c 0+ ≥ + ≥ , για κάθε x [ , ]∈ α β . Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω (Σχ. 3α) έχει το ίδιο εµβαδόν
µε το χωρίο ′Ω .](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-42-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Τποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 42
βα
( α )
Ω
O x
y
y = g ( x )
y = f ( x )
βα
( β )
Ω
O x
y
y = f ( x ) + c
y = g ( x ) + c
3
Εποµένως, θα έχουµε: ( ) ( ) [(f(x) c) (g(x) c)]dx (f(x) g(x))dx
β β
α α
′Ε Ω = Ε Ω = + − + = −∫ ∫ . Άρα E( ) (f(x) g(x))dxβ
α
Ω = −∫ .
4 Να αποδείξετε ότι όταν η διαφορά f(x) g(x)− δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο
στο [ , ]α β , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές
παραστάσεις των f,g και τις ευθείες x = α και x = β είναι ίσο µε
E( ) |f(x) g(x)|dx
β
α
Ω = −∫ .
Απόδειξη
Όταν η διαφορά ( ) ( )f x g x− δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο
[ , ]α β , όπως στο Σχήµα 4, τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που
περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των ,f g και τις
ευθείες x α= και x β= είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών
των χωρίων 1 2,Ω Ω και 3Ω . ∆ηλαδή,
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )Ε Ω = Ε Ω + Ε Ω + Ε Ω ( ( ) ( ))f x g x dx
γ
α
= −∫ ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))g x f x dx f x g x dx
δ β
γ δ
+ − + −∫ ∫
| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x g x dx f x g x dx f x g x dx
γ δ β
α γ δ
= − + − + −∫ ∫ ∫ | ( ) ( ) |f x g x dx
β
α
= −∫
Εποµένως, ( ) | ( ) ( ) |E f x g x dx
β
α
Ω = −∫
Σχόλιο
Σύµφωνα µε τα παραπάνω το ( )f x dx
β
α∫ είναι ίσο µε το άθροισµα των
εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x′ µείον το
άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x′ (Σχ. 25).
5 Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα
x x′ , τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης g, µε g(x) 0≤ για κάθε ∈ α βx [ , ]
και τις ευθείες x = α και x = β είναι ίσο µε: E( ) g(x)dx
β
α
Ω = −∫
Απόδειξη
Πράγµατι, επειδή ο άξονας x x′ είναι η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f(x) 0= , έχουµε
E( ) (f(x) g(x))dx
β
α
Ω = −∫ [ g(x)]dx g(x)dx
β β
α α
= − = −∫ ∫ . Εποµένως, αν για µια
συνάρτηση g ισχύει g(x) 0≤ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε: E( ) g(x)dx
β
α
Ω = −∫
y=g(x) y=f(x)
Ω3
O
Ω2
Ω1
y
xδ βα γ
4
x−
+
−
+ β
a
y
Ο
25
β
Ω
α
O
x
y=g(x)
y
21](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-43-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 44
Α-4
Α. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισµού το [ ]0,1 και σύνολο τιµών το [ ]2,3 , τότε
ορίζεται η fog µε πεδίο ορισµού το [ ]0,1 και σύνολο τιµών το [ ]2,3 .
Β. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ . Αν το σύνολο τιµών της f είναι υποσύνολο του πεδίου
ορισµού της g , τότε ορίζεται η σύνθεση της g µε την f .
Γ. Αν f,g είναι δυο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού ,Α Β αντίστοιχα, τότε ονοµάζουµε σύνθεση
της f µε την g , και τη συµβολίζουµε fog τη συνάρτηση ( )( ) ( )( )fog x f g x= .
∆. Αν για µια συνάρτηση f :A → ℝ ισχύει ( )f x κ≤ όπου κ∈ℝ για κάθε x A∈ , τότε το κ
είναι η µέγιστη τιµή της f .
Λ-Λ-Λ-Λ
Α-5
Α. Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι παρουσιάζει στο 0x A∈ (ολικό)
µέγιστο το f(x0), όταν ( ) ( )0f x f x≤ για κάθε x A∈ .
Β. Mία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι παρουσιάζει στο xo A∈ (ολικό)
ελάχιστο, το f(xο), όταν ( ) ( )0f x f x< για κάθε x A∈ .
Γ. Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x0∈A,
όταν ( ) ( )0f x f x≥ για κάθε x∈A.
∆. Αν µια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) µέγιστο, τότε αυτό θα είναι το µεγαλύτερο
από τα τοπικά της µέγιστα.
Σ-Λ-Σ-Σ
Α-6
Α. Ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης f µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό
ελάχιστο της f.
Β. Αν για µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α ισχύει ( ) ( )0f x f x≤ για κάθε x A∈ µε 0x A∈ τότε
λέµε ότι στη θέση x0 η f παρουσιάζει µέγιστο µε τιµή f(x0).
Γ. Η συνάρτηση ( )f x ηµx= µε x ∈ℝ έχει µία µόνο θέση ολικού µεγίστου.
∆. Το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα µιας συνάρτησης είναι πάντοτε το µέγιστο αυτής.
Σ-Σ-Λ-Λ
Α-7
Α. Μια συνάρτηση f :A → ℝ είναι “1 – 1” αν και µόνο αν για κάθε 1 2x ,x A∈ ισχύει η
συνεπαγωγή: αν 1 2x x= τότε ( ) ( )1 2f x f x= .
Β. Μια συνάρτηση f : A → ℝ είναι «1 – 1» όταν για κάθε 1 2x ,x A∈ ισχύει η
συνεπαγωγή: ( ) ( )1 2f x f x= τότε 1 2x x= .
Γ. Μία συνάρτηση f:A → ℝ λέγεται συνάρτηση 1 – 1, όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈
ισχύει η συνεπαγωγή: αν 1 2x x≠ , τότε ( ) ( )1 2f x f x≠ .
∆. Αν για µια συνάρτηση f ισχύει η ισοδυναµία ( ) ( )α β f α f β= ⇔ = , τότε η συνάρτηση f είναι
1 – 1.](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-45-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 50
Β. Αν α,β,γ∈ℝ και ισχύουν ( )x α
limf x β
→
= και ( )x β
limg x γ
→
= , τότε ισχύει ( )( )x α
lim gof x γ
→
= .
Γ. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και ( )0f x 0> , τότε ( )f x 0> για τις τιµές του
x κοντά στο x0 .
∆. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]α,β και υπάρχει ( )0x α,β∈ τέτοιο ώστε ( )0f x 0= ,
τότε ( ) ( )f α f β 0⋅ < .
Σ-Σ-Σ-Λ
Α-29
Α. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν ( ) ( )f α f β 0⋅ < και ( )f x 0≠ για κάθε ( )x α,β∈ , τότε η f
δεν είναι συνεχής στο [ ]α,β .
Β. Αν η f είναι συνεχής στο [ ]α,β µε ( )f α 0< και υπάρχει ( )ξ α,β∈ ώστε ( )f ξ 0= , τότε
κατ’ ανάγκη ( )f β 0> .
Γ. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία
οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της.
∆. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δεν µηδενίζεται σε αυτό,
τότε η f διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα ∆.
Σ-Λ-Σ-Σ
Α-30
Α. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δεν µηδενίζεται σ’ αυτό,
τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈∆ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈∆ , δηλαδή
διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα ∆.
Β. Μια συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα απ’ τα διαστήµατα στα οποία οι
διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το Πεδίο Ορισµού της.
Γ. Η εικόνα f(∆) ενός διαστήµατος ∆ µέσω µιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστηµα.
∆. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα
( )α,β , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β) όπου
x α
A lim f(x)+
→
= και
x β
B lim f(x)−
→
= .
Σ-Λ-Λ-Σ
Α-31
Α. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστηµα [α,β] τότε το
σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα f([α,β]) = [f(β), f(α)].
Β. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα
( )α,β , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β), όπου
x α
A lim f(x)+
→
= και
x β
B lim f(x)−
→
= .
Γ. Αν η f είναι συνεχής στο [ ]α,β τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά ακρότατα τα f(α) και
f(β).](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-51-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 51
∆. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 1= , τότε η συνάρτηση ( ) ( )g x f ηµx= είναι συνεχής
στο
π
x 2κπ , κ
2
= + ∈ℤ .
Σ-Λ-Λ-Σ
Α-32
Α. Το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το κλειστό διάστηµα
[ ]α,β είναι το κλειστό διάστηµα [ ]m,M , όπου m η ελάχιστη και Μ η µέγιστη τιµή της.
Β. Αν η f είναι συνεχής στο [ ]α,β , τότε η f παίρνει στο [ ]α,β µια µέγιστη τιµή M και
µια ελάχιστη τιµή m.
Γ. Μια συνεχής στο (α, β) συνάρτηση, παίρνει σε κάθε περίπτωση στο (α, β) µια
µέγιστη και µια ελάχιστη τιµή.
∆. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β], τότε η f παίρνει
πάντοτε στο [α,β] µία µέγιστη τιµή.
Σ-Σ-Λ-Λ
Α-33
Α. H εικόνα f(∆) ενός διαστήµατος ∆ µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης
f είναι διάστηµα.
Β. Μία γνησίως µονότονη και συνεχής συνάρτηση f σε διάστηµα ( )α,β δεν παρουσιάζει ολικά
ακρότατα.
Γ. Αν f συνεχής στο [ ]α,β µε ( )f α 0< και υπάρχει ( )ξ α,β∈ ώστε ( )f ξ 0= , τότε κατ’ ανάγκη
( )f β 0> .
∆. Αν f συνεχής στο [ ]α,β µε ( )f α 0< και υπάρχει ( )ξ α,β∈ ώστε ( )f ξ 0= , τότε κατ’ ανάγκη
( )f β 0> .
Ε. Αν για τις συναρτήσεις f, g ορίζεται η σύνθεση gof, τότε ισχύει ότι gof fD D⊆ .
Σ-Σ-Λ-Λ-Σ
Β ∆ιάφορα Θέµατα Θεωρίας
Β-1
Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα όρια της στήλης Α µε την τιµή του της στήλης Β.](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-52-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 52
1→γ 2→β 3→α 4→δ
Β-2
Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία
συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση:
Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , αν ισχύει ( ) ( )f α f β 0⋅ > , τότε
α) η εξίσωση ( )f x 0= δεν έχει λύση στο ( )α,β .
β) η εξίσωση ( )f x 0= έχει ακριβώς µία λύση στο ( )α,β .
γ) η εξίσωση ( )f x 0= έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο ( )α,β .
δ) δεν µπορούµε να έχουµε συµπέρασµα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης
( )f x 0= στο ( )α,β .
Απάντηση (δ)
Β-3
Να γράψετε στο τετράδιό σας δίπλα από τον αντίστοιχο αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στην
σωστή απάντηση.
Η αντίστροφη της συνάρτησης ( ) x 2
f x e 2,x−
= + ∈ℝ είναι:
(α) ( ) ( )1
f x ln x 2 2,x 2−
= − + >
(β) ( ) ( )1
f x ln x 2 2,x 2−
= + + > −
(γ) ( ) ( )1
f x ln x 2 2,x 2−
= + − > −
Απάντηση (α) Εξήγηση: Η ( ) x 2
f x e 2,x−
= + ∈ℝ έχει αντίστροφη την ( ) ( )1
f x ln x 2 2,x 2−
= − + >
διότι: ( ) ( ) ( )
y 2
x 2 x 2
f x y e 2 y e y 2 x 2 ln y 2 x ln y 2 2
>
− −
= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ = − +
Β-4
Να γράψετε στο τετράδιό σας δίπλα από τον αντίστοιχο αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στην
σωστή απάντηση.
Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]1,1− µε ( )f 1 3− = και ( )f 1 4=
Τότε µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι:
(α) Η µέγιστη τιµή της f το 3 και η ελάχιστη το 4.
(β) Η εξίσωση ( )f x π= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο ( )1,1− .
(γ) Η f διατηρεί πρόσηµο στο [ ]1,1− .
Απάντηση: (β) Εξήγηση: Από τα δεδοµένα της εκφώνησης η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του
θεωρήµατος ενδιάµεσων τιµών.
Άρα για οποιονδήποτε αριθµό ανάµεσα στα ( ) ( )f 1 ,f 1− στην προκειµένη περίπτωση τον αριθµό
π υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 1,1∈ − ώστε ( )0f x π= .
Β-5
Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η
οποία συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση:
Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , αν ισχύει ( ) ( )f α f β 0⋅ > , τότε
α) η εξίσωση ( )f x 0= δεν έχει λύση στο ( )α,β .
β) η εξίσωση ( )f x 0= έχει ακριβώς µία λύση στο ( )α,β .](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-53-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 60
Γ. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό
σηµείο του ∆. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆, τότε η παράγωγός της
είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του ∆.
∆. Μία γνησίως µονότονη και συνεχής συνάρτηση f σε διάστηµα ( )α,β δεν παρουσιάζει ολικά
ακρότατα.
Λ-Σ-Λ-Σ
Α-12
Α.Έστω µια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆.
Αν ( )f x 0′ < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
∆.
Β. Για κάθε συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιµη στο διάστηµα
∆ ισχύει ( )f x 0′ > , για κάθε x ∈∆ .
Γ. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε διάστηµα ( ) ( )α,β γ,δ∆ = ∪ µε β γ< και ισχύει
( )f x 0′ > για κάθε x ∈∆ , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ∆.
∆. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα διάστηµα ∆ και ισχύει ( )f x 0′ = σε κάθε
εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆ .
Λ-Λ-Λ-Λ
Α-13
Α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα διάστηµα ∆ και ισχύει ( )f x 0′ > σε κάθε
εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆.
Β. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό
σηµείο του ∆. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆ , τότε η παράγωγός
της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του ∆ .
Γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [ ]α,β και γνησίως αύξουσα, τότε υπάρχει
( )0x α,β∈ τέτοιο ώστε ( )0f x 0′ < .
∆. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο [ ]α,β τότε, υπάρχει
( )0x α,β∈ τέτοιος ώστε να ισχύει ( )0f x 0′ > .
Σ-Λ-Λ-Σ
Α-14
Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆ και x0 ένα εσωτερικό σηµείο του
∆. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο x0 και ( )0f x 0′ = , τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά
τοπικό ακρότατο στο x0.
Β. Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( )α,β , µε εξαίρεση ίσως ένα
σηµείο του x0, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Αν ( )f x 0′ > στο ( )0α,x και ( )f x 0′ < στο
( )0x ,β , τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f .
Γ. Τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος ∆, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η
παράγωγός της είναι ίση µε το 0, λέγονται κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα ∆.](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-61-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 61
∆. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [ ]α,β και f(β) µέγιστη τιµή της συνάρτησης, τότε
κατ’ ανάγκη θα είναι ( )f β 0′ = .
Λ-Λ-Σ-Λ
Α-15
Α.Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆, τότε τα εσωτερικά
σηµεία x0 του ∆, στα οποία f΄(x0) ≠ 0, δεν είναι θέσεις τοπικών ακρότατων της f.
Β. Τα κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα ∆ είναι µόνο τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα
οποία η παράγωγός της είναι ίση µε 0.
Γ. Για κάθε συνάρτηση f : →ℝ ℝ που είναι παραγωγίσιµη και δεν παρουσιάζει ακρότατα,
ισχύει ( )f x 0′ ≠ για κάθε x ∈ℝ .
∆. Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων συνάρτησης f σε διάστηµα ∆ είναι µόνο τα
εσωτερικά σηµεία στα οποία η παράγωγος της f µηδενίζεται.
Σ-Λ-Λ-Λ
Α-16
Α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ ]α,β και παραγωγίσιµη
στο ανοικτό διάστηµα ( )α,β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( )ξ α,β∈ τέτοιο, ώστε:
( )
f(β) f(α)
f ξ
β α
−
′ =
−
.
Β. Αν µια συνάρτηση f είναι
• συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ ]α,β
• παραγωγίσιµη στο ανοιχτό διάστηµα ( )α,β και
• ( ) ( )f α f β=
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( )ξ α,β∈ τέτοιο, ώστε: ( )f ξ 0′ = .
Γ. Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , η οποία είναι παραγωγίσιµη στο ( )α,β , αν
( ) ( )f α f β= , τότε υπάρχει ακριβώς ένα ( )ξ α,β∈ τέτοιο ώστε ( )f ξ 0′ = .
∆. Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f µπορεί να έχει µε αυτήν
περισσότερα από ένα σηµεία επαφής.
Σ-Σ-Λ-Σ
Α-17
Α. Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f΄(x)=0 για κάθε ( ) ( )0 0x α,x x ,β∈ ∪ , είναι
σταθερή στο ( ) ( )0 0α,x x ,β∪ .
Β. Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι ορισµένες και συνεχείς σε ένα διάστηµα ∆ και ισχύει
ότι ( ) ( )f x g x′ ′= για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε ισχύει πάντα ( ) ( )f x g x= για
κάθε x ∈∆ .
Γ. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα ∆. Αν
• οι f, g είναι συνεχείς στο ∆ και
• ( ) ( )f x g x′ ′= για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆,](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-62-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 63
∆. Αν µια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της
γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της
παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους.
Σ-Λ-Σ-Λ
Α-21
Α. Αν µια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της
γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται ″πάνω″ από τη γραφική
της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους.
Β. Αν µια κυρτή συνάρτηση f και µια κοίλη συνάρτηση g είναι ορισµένες στο ℝ και έχουν κοινή
εφαπτοµένη (ε), τότε ισχύει ότι ( ) ( )f x g x≥ για κάθε x ∈ℝ .
Γ. Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν
ασύµπτωτες.
∆. Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια
0x x
lim f(x)+
→
,
0x x
lim f(x)−
→
είναι +∞ ή -∞, τότε η ευθεία 0x x=
λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f.
Σ-Σ-Σ-Λ
Α-22
Α. Υπάρχει πολυωνυµική συνάρτηση βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του 2, της οποίας η
γραφική παράσταση έχει ασύµπτωτη.
Β. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστηµα [ ]α,β , τότε δεν έχει ασύµπτωτες.
Γ. Οι ρητές συναρτήσεις
( )
( )
P x
Q x
µε βαθµό αριθµητή Ρ(x) µεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δυο του
βαθµού του παρανοµαστή Q(x), δεν έχουν πλάγιες ασύµπτωτες.
∆. Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f: →ℝ ℝ µπορεί να τέµνει µια ασύµπτωτή της.
Ε. Για όλες τις συναρτήσεις f, g που είναι παραγωγίσιµες στο 0x ∈ℝ ισχύει
( )
( )
( )
( )0 0x x x x
f x f x
lim lim
g x g x→ →
′
=
′
.
Λ-Σ-Σ-Σ-Λ
Β ∆ιάφορα Θέµατα Θεωρίας
Β-1
Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίπλα τον αριθµό της
στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτοµένη της κάθε συνάρτησης στο σηµείο x0.
α)3 β) 1 γ) 5 δ) 2](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-64-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 64
Β-298
Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η
οποία συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση:
Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , αν ισχύει ( ) ( )f α f β 0⋅ > , τότε
α) η εξίσωση ( )f x 0= δεν έχει λύση στο ( )α,β .
β) η εξίσωση ( )f x 0= έχει ακριβώς µία λύση στο ( )α,β .
γ) η εξίσωση ( )f x 0= έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο ( )α,β .
δ) δεν µπορούµε να έχουµε συµπέρασµα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης
( )f x 0= στο ( )α,β .
Β-3
Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση µιας παραγωγίσιµης
συνάρτησης ( )f : 0,+∞ → ℝ .
Με βάση το σχήµα να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
(α) Για x 2= η f παρουσιάζει µέγιστο το ( )f 2 4= .
(β) Η ευθεία y 1= είναι οριζόντια ασύµπτωτη της Cf στο +∞ .
(γ) Η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( ]0,2 .
(δ) Η εξίσωση ( )f x λ= έχει το πολύ δύο ρίζες για τις διάφορες τιµές του λ∈ℝ .
(ε) Ισχύει ότι: ( )( )x
lim f f x 1
→+∞
− = −∞ .
Σ-Σ-Λ-Σ-Σ
Β-4
∆ίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, F, G, H, T.](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-65-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 66
Β-6
Αν για µία συνάρτηση f ισχύουν:
• Είναι συνεχής στο [ ]0,1
• Είναι παραγωγίσιµη στο ( )0,1
• ( )f 0 3= και ( )f 1 2= −
• είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ]0,1
Τότε:
α) Η fC τέµνει τον άξονα x x′ σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη ένα εσωτερικό σηµείο
του διαστήµατος ( )0,1 .
β) Η εφαπτοµένη της fC σε κάποιο σηµείο της ( )( ) ( )0 0 0M x ,f x ,x 0,1∈ είναι παράλληλη στην
ευθεία y 5x 2019= − + .
γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 0,1∈ τέτοιο ώστε ( )0f x π= .
δ) Η ελάχιστη τιµή της f είναι το 2− και η µέγιστη το 3.
Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι ψευδής;
Το (γ) είναι το ψευδές συµπέρασµα.
Γ ΑΝΤΙΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
Γ-1
Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό:
«Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο x0, είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό».
α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής. (µονάδα 1).
β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α. (µονάδες 3)
α. Ψ
β. Θεωρούµε τη συνάρτηση f, µε ( )f x x= .
Η f είναι συνεχής στο 0x 0= διότι ( ) ( )x 0
limf x f 0 0
→
= = και η f δεν είναι παραγωγίσιµη διότι
( ) ( )
x 0
f x f 0
lim 1
x 0−
→
−
= −
−
και
( ) ( )
x 0
f x f 0
lim 1
x 0+
→
−
=
−
.
Γ-2
Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό:
«Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ , αν για κάποιο 0x ∈ℝ
ισχύει ( )0f x 0′′ = , τότε το x0 είναι θέση σηµείου καµπής της f».
α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής.
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α).](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-67-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 70
Ηµεροµηνία: / / .
Θ3 Θέµατα Θεωρίας Στα Ολοκληρώµατα
Α Ερωτήσεις Σωστού Λάθους
Α-1
Α. Αν f συνεχής συνάρτηση στο [α, β] και λ∈ℝ , τότε
β β
α α
λf(x)dx λ f(x)dx=∫ ∫ .
Β. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], ισχύει ( ) ( )
β α
α β
f x dx f x dx= −∫ ∫ .
Γ. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και α,β,γ∈∆ , τότε ισχύει
β γ β
α α γ
f(x)dx f(x)dx f(x)dx= +∫ ∫ ∫ .
∆. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [ ]α,β , ισχύει ότι: ( ) ( )
β β
α α
f x dx f x dx=∫ ∫ .
Σ-Σ-Σ-Λ
Α-2
Α. Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [ ]α,β ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
β α β
αα β
f x g x dx f x g x dx f x g x′ ′− = ∫ ∫
Β. Αν f΄, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] τότε, ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά
παράγοντες γράφεται [ ]
β β β
αα α
f(x)g (x)dx f (x)g(x)dx f(x)g(x)′ ′− =∫ ∫ .
Γ. Αν f, g, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστηµα [ ]α,β , τότε
( ) ( ) ( ) ( )
β β β
α α α
f x g x dx f x dx g x dx′ ′= ⋅∫ ∫ ∫ .
∆. [ ]
β ββ
αα α
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx′ ′= +∫ ∫ , όπου f ΄, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β].
Σ-Λ-Λ-Λ
Α-3
Α. Αν f, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις, ( ) ( )u g x , du g x dx′= = , και ( ) ( )1 2u g α , u g β= = τότε
( )( ) ( ) ( )
2
1
β u
α u
f g x g x dx f u du′ =∫ ∫ .
Β. Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [ ]α,β . Αν G είναι µία παράγουσα
της f στο [ ]α,β , τότε
β
α
f(t)dt G(α) G(β)= −∫ .
Γ. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [ ]α,β . Αν G είναι µια παράγουσα της
f στο [ ]α,β , τότε:
β
α
f(t)dt G(β) G(α)= −∫ .
∆. Αν F είναι µια οποιαδήποτε παράγουσα της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστηµα [ ]α,β
τότε οπωσδήποτε ισχύει ( ) ( ) ( )
β
α
f x dx F β F α= −∫ .
Σ-Λ-Σ-Σ](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-71-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 71
Α-4
Α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]2,5 και ( )f x 0≤ στο [ ]2,5 , τότε
2
5
f(x)dx 0≥∫ .
Β. Αν για µία συνάρτηση f, συνεχή στο διάστηµα [ ]α,β ισχύει f(x) 0≥ για κάθε [ ]x α,β∈ ,
τότε
β
α
f(x)dx 0≥∫ .
Γ. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [ ]α,β και για κάθε [ ]x α,β∈ ισχύει ( )f x 0≥ τότε
α
β
f(x)dx 0>∫ .
∆. Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α,β]. Αν ισχύει ότι f(x) ≥ 0 για
κάθε [ ]x α,β∈ και η συνάρτηση f δεν είναι παντού µηδέν στο διάστηµα αυτό, τότε
( )
β
α
f x dx 0>∫ .
Σ-Σ-Λ-Σ
Α-5
Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [ ]α,β και ισχύει ( ) ( )f x g x< για κάθε
[ ]x α,β∈ , τότε
β β
α α
f(x)dx g(x)dx<∫ ∫ .
Β. Για κάθε συνάρτηση f , συνεχή στο [ ]α,β , ισχύει:
αν ( )
β
α
f x dx 0>∫ , τότε ( )f x 0> στο [ ]α,β .
Γ. Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ ]α,β και ισχύει
β
α
f(x)dx 0=∫ , τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές.
∆. Αν f συνεχής στο [ ]α,β µε f(x) 0≥ και ισχύει
β
α
f(x)dx 0>∫ , τότε υπάρχει [ ]0x α,β∈
τέτοιος ώστε ( )0f x 0> .
Σ-Λ-Σ-Σ
Α-6
Α. Αν
β
α
f(x)dx=0∫ και α β< τότε κατ’ ανάγκη ισχύει ( )f x 0= για κάθε [ ]x α,β∈ .
Β. Αν
β
α
f(x)dx 0=∫ και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ ]α,β , τότε
( )f x 0≥ για κάθε [ ]x α,β∈ .
Γ. Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , αν ισχύει ( )
α
β
f x dx 0=∫ , τότε ( )f x 0= για
κάθε [ ]x α,β∈ .
Λ-Λ-Λ
Α-7
Α. Το ολοκλήρωµα
β
α
f(x)dx∫ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που
βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x µείον το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που
βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-72-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 72
Β. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [ ]α,β και ισχύει ( )f x 0< για κάθε
[ ]x α,β∈ , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f,
τις ευθείες x α= , x β= και τον άξονα x΄x είναι: ( )
β
α
f(x)dxΕ Ω = ∫ .
Γ. Αν f συνεχής στο [α,β] τότε το εµβαδό Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x α= και x β= είναι ( )
β
α
E f x dx= ∫ .
Σ-Λ-Λ
Β ∆ιάφορα Θέµατα Θεωρίας
Β-1
Έστω η συνάρτηση
x
0
F(x) f(t)dt= ∫ , όπου f η συνάρτηση του παρακάτω σχήµατος που η
γραφική της παράσταση αποτελείται από τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ. Το
εµβαδό του γραµµοσκιασµένου χωρίου Ω είναι ( ) 36τ.µ.Ε Ω = . Να συµπληρώσετε τις
ισότητες:
α. ( )F 0 = β. ( )F 4 = γ. ( )F 10 =
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Β-2
Η συνάρτηση f, που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήµα, είναι δύο φορές
παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της µε συνεχή δεύτερη παράγωγο.
Να βρείτε, αν η τιµή των ολοκληρωµάτων Ι1, Ι2, Ι3 είναι θετική ή αρνητική.
3
1 0
I f(x)dx= ∫
3
2 0
I f (x)dx′= ∫
3
3 0
I f (x)dx′′= ∫
1I 0>](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-73-320.jpg)
![Ο Τσελεµεντές Του Υποψηφίου Θέµατα Θεωρίας
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 73
( ) ( )2I f 3 f 0 0= − < γιατί ( ) ( )f 3 f 0<
( ) ( )3I f 3 f 0 0′ ′= − < γιατί η κλίση της Cf στο (3,f(3)) είναι αρνητική και στο (0,f(0)) είναι
θετική.
Β-3
Έστω η συνάρτηση f του παρακάτω σχήµατος. Αν για τα εµβαδά των χωρίων 1 2,Ω Ω και 3Ω
ισχύει ότι ( ) ( )1 2E Ω 2, E Ω 1= = και ( )3E Ω 3= , τότε το ( )
δ
α
f x dx∫ είναι ίσο µε:
α) 6 β) 4− γ) 4 δ) 0 ε) 2
Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
(Γ)
Γ ΑΝΤΙΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
Γ-1
∆ίνεται η παρακάτω πρόταση:
«Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]α,β µε ( )
β
α
f x dx 0>∫ , τότε ισχύει ότι: ( )f x 0≥ για
κάθε [ ]x α,β∈ ».
α) Να εξετάσετε αν η πρόταση είναι Αληθής ή Ψευδής.
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
α) Ψευδής
β) Αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση ( )f x x 1= − τότε
( ) ( )
32
3 3
0 0
0
x 9 3
f x dx x 1 dx x 3 0
2 2 2
= − = − = − = >
∫ ∫ .
Όµως ( )f 0 1 0= − < .
Αντίστοιχα µπορούµε να θεωρήσουµε την ( )f x ηµx= µε
3π
2
0
ηµxdx 1 0= >∫ και
3π
ηµ 1 0
2
= − < κλπ.](https://image.slidesharecdn.com/pdfsammerge-200311134736/85/slide-74-320.jpg)
More Related Content
Similar to Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
- 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΟΗΘΗΜΑΘΕΩΡΙΑΣ ,ΑΝΤΙΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος Ξένος Γερμανός-Σπύρος Πάτσης ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΝΕΙ ΚΑΙ ∆ΕΝ ΥΠΟΚΑΘΙΣΤΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Και εγώ, δεν αισθάνοµαι καλά τελευταία, µε παρακολουθεί ένας γιατρός! Το ξέρω, τον είδα κρυµµένο πίσω απ τον καναπέ!! Έχω µια µελαγχολική διάθεση τώρα που έκλεισαν τα σχολεία…
- 2. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 1 Ηµεροµηνία: / / . Α Ορισµοί Στις Συναρτήσεις 1 Συνάρτηση Απάντηση Έστω Α ένα υποσύνολο του ℝ . Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α µία διαδικασία (κανόνα) f, µε την οποία κάθε στοιχείο x A∈ αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο πραγµατικό αριθµό y. Το y ονοµάζεται τιµή της f στο x και συµβολίζεται µε f(x) . Σχόλια -Για να εκφράσουµε τη διαδικασία αυτή, γράφουµε: → ℝf : A →x f(x) . -Το γράµµα x που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη µεταβλητή, ενώ το γράµµα y που παριστάνει την τιµή της f στο x, λέγεται εξαρτηµένη µεταβλητή. - Το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f συνήθως συµβολίζεται µε f D . 2 Σύνολο Τιµών Μιας Συνάρτησης f Με Πεδίο Ορισµού Το Σύνολο Α Απάντηση Σύνολο τιµών της f λέµε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιµές της f σε όλα τα x A∈ . Είναι δηλαδή: f(A) {y| y f(x)= = για κάποιο x A}∈ . Το σύνολο τιµών της f στο A συµβολίζεται µε ( )f A . 3 Τι εννοούµε όταν λέµε ότι «Η Συνάρτηση f Είναι Ορισµένη Σ΄ Ένα Σύνολο Β» Απάντηση Εννοούµε ότι το σύνολο Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισµού της και το σύνολο τιµών της f(B) είναι = =f(B) {y| y f(x) για κάποιο ∈x B} . 4 Τι Λέµε Γραφική Παράσταση Μιας Συνάρτησης f Με Πεδίο Ορισµού Το Σύνολο Α Απάντηση Γραφική παράσταση της f λέµε το σύνολο των σηµείων M(x,y) για τα οποία ισχύει y f(x)= , δηλαδή το σύνολο των σηµείων M(x,f(x)) , µε x A∈ . Σχόλια -Η γραφική παράσταση της f συµβολίζεται συνήθως µε f C . -Η εξίσωση y f(x)= επαληθεύεται µόνο από τα σηµεία της f C . Εποµένως, η y f(x)= είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.
- 3. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 2 -Επειδή κάθε x A∈ αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο y ∈ℝ , δεν υπάρχουν σηµεία της γραφικής παράστασης της f µε την ίδια τετµηµένη. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει µε τη γραφική παράσταση της f το πολύ ένα κοινό σηµείο (Σχ. 4α). Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ. 4β). 5 Πεδίο Ορισµού Και Πεδίο τιµών Από Γραφική Παράσταση Απάντηση - Όταν δίνεται η γραφική παράσταση f C µιας συνάρτησης f, τότε: α) Το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο Α των τετµηµένων των σηµείων της f C . (Σχ. 5a) Cf O y x (5α) Α β) Το σύνολο τιµών της f είναι το σύνολο f(A) των τεταγµένων των σηµείων της f C (Σχ. 5β) Cf O y x (5β) f(Α) γ) Η τιµή της f στο 0 x A∈ είναι η τεταγµένη του σηµείου τοµής της ευθείας 0 x x= και της f C (Σχ. 5γ). Cf O x=x0 A(x0,f(x0)) x0 y x (5γ) f(x0) 6 Γραφική Παράσταση –f Και | f | Απάντηση O x y (4a) Cf Α O x y C (4β)
- 4. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 3 - Όταν δίνεται η γραφική παράσταση f C , µιας συνάρτησης f µπορούµε, επίσης, να σχεδιάσουµε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f− και | f|. α)Η γραφική παράστασης της συνάρτησης − f είναι συµµετρική, ως προς τον άξονα x x′ , της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σηµεία M (x, f(x))′ − που είναι συµµετρικά των M(x,f(x)) , ως προς τον άξονα x x′ (Σχ. 6α. β)Η γραφική παράσταση της | |f αποτελείται από τα τµήµατα της f C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x′ και από τα συµµετρικά, ως προς τον άξονα x x′ , των τµηµάτων της f C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν (Σχ. 6β) 7 Πότε ∆υο Συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες Απάντηση ∆ύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: • έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού Α και • για κάθε x A∈ ισχύει f(x) g(x)= . Για να δηλώσουµε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουµε f g= . Σχόλιο: Έστω τώρα f, g δύο συναρτήσεις µε πεδία ορισµού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β. Αν για κάθε x Γ∈ ισχύει ( ) ( )f x g x= , τότε λέµε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ. (Σχ. 7) O y x 6α Μ΄(x,−f(x)) y=f(x) y=−f(x) Μ(x,f(x)) O y x 6β y=f(x)y=| f(x)| x y Ο Γ A B 7
- 5. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 4 8 Πως Ορίζεται Η Πράξη της Πρόσθεσης ∆υο Συναρτήσεων f, g Απάντηση Ορίζουµε ως άθροισµα +f g , δύο συναρτήσεων f, g τη συνάρτηση µε τύπο (f g)(x) f(x) g(x)+ = + . Το πεδίο ορισµού της f g+ είναι η τοµή A B∩ των πεδίων ορισµού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως. 9 Πως Ορίζεται Η Πράξη της ∆ιαφοράς ∆υο Συναρτήσεων f, g Απάντηση Ορίζουµε ως διαφορά f - g δύο συναρτήσεων f, g τη συνάρτηση µε τύπο (f g)(x) f(x) g(x)− = − , Το πεδίο ορισµού της f g− είναι η τοµή A B∩ των πεδίων ορισµού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως. 10 Πως Ορίζεται Η Πράξη του Γινοµένου ∆υο Συναρτήσεων f, g Απάντηση Ορίζουµε ως γινόµενο fg δύο συναρτήσεων f, g τη συνάρτηση µε τύπο (fg)(x) f(x)g(x)= . Το πεδίο ορισµού της fg είναι η τοµή A B∩ των πεδίων ορισµού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως. 11 Γινόµενο Συναρτήσεων Μηδέν Απάντηση Το γινόµενο δυο συναρτήσεων µπορεί να είναι η σταθερή συνάρτηση Μηδέν ( )(f(x)g x 0)= , χωρίς καµία από τις δυο να είναι ίση µε τη συνάρτηση µηδέν. Για παράδειγµα οι συναρτήσεις f(x) x x= + και g(x) x x= − , έχουν γινόµενο ( ) ( )( ) 22 2 2 f(x)g x x x x x x x x x 0= + − = − = − = , αλλά καµία από τις δυο δεν είναι η µηδενική συνάρτηση 12 Πως Ορίζεται Η Πράξη του Πηλίκου ∆υο Συναρτήσεων f, g Απάντηση Ορίζουµε ως πηλίκο f g δύο συναρτήσεων f, g τη συνάρτηση µε τύπο f f(x) (x) g g(x) = .
- 6. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 5 Το πεδίο ορισµού του πηλίκου f g είναι το A B∩ , εξαιρουµένων των τιµών του x που µηδενίζουν τον παρονοµαστή g(x) , δηλαδή το σύνολο {x| x A∈ και x B∈ , µε g(x) 0}≠ . 13 Τι Λέµε Σύνθεση Της Συνάρτησης f Με Τη Συνάρτηση g Απάντηση Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονοµάζουµε σύνθεση της f µε την g, και τη συµβολίζουµε µε g f , τη συνάρτηση µε τύπο (gof)(x) g(f(x))= . Το πεδίο ορισµού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισµού της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισµού της g. ∆ηλαδή είναι το σύνολο 1 A {x A|f(x) B}= ∈ ∈ . Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται, αν 1 A ≠ ∅ , δηλαδή αν f(A) B∩ ≠ ∅ . g f g(B)A g Bf(A) f A1 g( f(x)) f(x) x 24 Σχόλια α) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog , τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες. γ) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof) , τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ho(gof) (hog)of= . Τη συνάρτηση αυτή τη λέµε σύνθεση των f, g και h και τη συµβολίζουµε µε hogof . Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις. 14 Πότε Μια Συνάρτηση f λέγεται γνησίως Αύξουσα Και Πότε Γνησίως Φθίνουσα Σε Ένα ∆ιάστηµα ∆ Απάντηση • Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η µ α ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2 x ,x Δ∈ µε 1 2 x x< ισχύει: 1 2 f(x ) f(x )< . • Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η µ α ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2 x ,x Δ∈ µε 1 2 x x< ισχύει: 1 2 f(x ) f(x )> . Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της, τότε λέµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη στο ∆. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισµού της f είναι ένα διάστηµα ∆ και η f είναι γνησίως µονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέµε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως µονότονη. 15 Πότε Μια Συνάρτηση f λέγεται Αύξουσα Και Πότε Φθίνουσα Σε Ένα ∆ιάστηµα ∆ Απάντηση • Η συνάρτηση f λέγεται αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η µ α ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2 x ,x Δ∈ µε 1 2 x x< ισχύει: 1 2 f(x ) f(x )≤ .
- 7. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 6 • Η συνάρτηση f λέγεται φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η µ α ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2 x ,x Δ∈ µε 1 2 x x< ισχύει: 1 2 f(x ) f(x )≥ . Αν µια συνάρτηση f είναι αύξουσα ή φθίνουσα σ’ ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της, τότε λέµε ότι η f είναι µονότονη στο ∆. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισµού της f είναι ένα διάστηµα ∆ και η f είναι µονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέµε, απλώς, ότι η f είναι µονότονη. 16 ∆εδοµένο ότι η Συνάρτηση f Είναι Γνησίως Αύξουσα Σε Ένα ∆ιάστηµα ∆ Απάντηση Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆, τότε για οποιαδήποτε 1 2 x ,x Δ∈ ισχύει η συνεπαγωγή 1 2 f(x ) f(x )< ⇒ 1 2 x x< (ξεφίζουµε) 17 ∆εδοµένο ότι η Συνάρτηση f Είναι Γνησίως Φθίνουσα Σε Ένα ∆ιάστηµα ∆ Απάντηση Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα ∆, τότε για οποιαδήποτε 1 2 x ,x Δ∈ ισχύει η συνεπαγωγή 1 2 f(x ) f(x )< ⇒ 1 2 x x> (ξεφίζουµε) 18 Πότε Μια Συνάρτηση f Με Πεδίο Ορισµού Α Λέµε ότι Παρουσιάζει στο o Ax ∈ Ολικό Μέγιστο Και Πότε Ολικό Ελάχιστο Απάντηση Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι: • Παρουσιάζει στο 0 x A∈ (ολικό) µέγιστο, το 0 f(x ) , όταν 0 f(x) f(x )≤ για κάθε x A∈ • Παρουσιάζει στο 0 x A∈ (ολικό) ελάχιστο, το 0 f(x ) , όταν 0 f(x) f(x )≥ για κάθε x A∈ . Το (ολικό) µέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο µιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f. 19 Πότε Μια Συνάρτηση f Με Πεδίο Ορισµού Α Λέµε ότι Παρουσιάζει στο o Ax ∈ Τοπικό Μέγιστο Και Πότε Τοπικό Ελάχιστο Απάντηση α) Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού Α, θα λέµε ότι παρουσιάζει στο 0 x A∈ τοπικό µέγιστο, όταν υπάρχει 0δ > , τέτοιο ώστε: 0 f(x) f(x )≤ για κάθε 0 0 x A (x ,x )∈ ∩ − δ + δ .Το 0 x λέγεται θέση ή σηµείο τοπικού µεγίστου, ενώ το 0 f(x ) τοπικό µέγιστο της f. β) Μία συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού Α, θα λέµε ότι παρουσιάζει στο 0 x A∈ τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει 0δ > , τέτοιο ώστε: 0 f(x) f(x )≥ , για κάθε 0 0 x A (x ,x )∈ ∩ − δ + δ . Το 0 x λέγεται θέση ή σηµείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το 0 f(x ) τοπικό ελάχιστο της f. Σχόλιο α) Τα τοπικά µέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής, ενώ τα σηµεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων. Το µέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής. β) Ένα τοπικό µέγιστο µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. γ ) Αν µια συνάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο, τότε αυτό θα είναι το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το µικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα.
- 8. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 7 δ) Το µεγαλύτερο όµως από τα τοπικά µέγιστα µίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε µέγιστο αυτής. Επίσης το µικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα µίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης. 20 Πότε Μια Συνάρτηση f Με Πεδίο Ορισµού Α Λέγεται 1-1 Απάντηση Μια συνάρτηση f:A R→ λέγεται συνάρτηση 1 1− , όταν για οποιαδήποτε 1 2 x ,x A∈ ισχύει η συνεπαγωγή: Αν 1 2 x x≠ , τότε 1 2 f(x ) f(x )≠ . Σχόλια α) Μια συνάρτηση f:A R→ είναι συνάρτηση 1 1− , αν και µόνο αν για οποιαδήποτε 1 2 x ,x A∈ ισχύει η συνεπαγωγή: αν 1 2 f(x ) f(x )= , τότε 1 2 x x= . Είναι φανερό από τον ορισµό της συνάρτησης ότι ισχύει η ισοδυναµία : = ⇔ =1 2 1 2 f(x ) f(x ) x x β) Τα διαφορετικά στοιχεία 1 2 x ,x A∈ , έχουν ΠΑΝΤΑ διαφορετικές εικόνες. γ) Από τον ορισµό προκύπτει ότι µια συνάρτηση f είναι 1 1− , αν και µόνο αν: - Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f(x) y= έχει ακριβώς µια λύση ως προς x. - ∆εν υπάρχουν σηµεία της γραφικής της παράστασης µε την ίδια τεταγµένη. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σηµείο. - Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη, τότε είναι συνάρτηση "1 1"− .Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι 1 1− αλλά δεν είναι γνησίως µονότονες. Παράδειγµα Η συνάρτηση η συνάρτηση x , x 0 g(x) 1 , x 0 x ≤ = > (Σχ. 34) είναι 1 1− , αλλά δεν είναι γνησίως µονότονη. 21 Πότε Μια Συνάρτηση f Με Πεδίο Ορισµού Α Αντιστρέφεται Απάντηση Μια συνάρτηση f:A R→ αντιστρέφεται, αν και µόνο αν είναι 1 1− . Τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της f, ( )f A , υπάρχει µοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισµού της Α για το οποίο ισχύει ( )f x y= . Έτσι, ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f που συµβολίζεται µε 1 f− και για την οποία ισχύει η ισοδυναµία: 1 f(x) y f (y) x− = ⇔ = O x y y=g(x) 34 g f f(A)A y=f(x)g(y)=x 21
- 9. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 8 Σχόλια α) Ισχύει ότι : 1 ( ( )) ,− = ∈f f x x x A και 1 ( ( )) , ( )− = ∈f f y y y f A . β) Η αντίστροφη της f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών f(A) της f, και σύνολο τιµών το πεδίο ορισµού Α της f . γ) Αν ένα σηµείο ( , )M α β ανήκει στη f C , τότε το σηµείο ( , )β α′Μ θα ανήκει στη γραφική παράσταση 1 f C − και αντιστρόφως. Τα σηµεία, όµως, αυτά είναι συµµετρικά ως προς την ευθεία που διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x Oy′ ′. Εποµένως: Οι γραφικές παραστάσεις Cf και Cf -1 είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y x= που διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x Oy′ ′ . δ) Αν Η Cf ΤΕΜΝΕΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x ΣΕ ΚΑΠΟΙΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΤΕ Η Cf -1 ΤΕΜΝΕΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x ΣΤΟ Ι∆ΙΟ ΣΗΜΕΙΟ. ε) ΟΙ Cf ΚΑΙ Cf -1 ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΣΕ ΣΗΜΕΙΑ ΕΚΤΟΣ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ y=x 3 3 1 3 x ,x 0 f(x) x f (x) x ,x 0 − − ≥ = − και = − − < 22 Ποια Πρόταση Συνδέει Το Όριο της f στο o x Και Τα Πλευρικά Όρια της f Στο o x Απάντηση Ισχύει ότι : Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0 0 (α,x ) (x ,β)∪ , τότε ισχύει η ισοδυναµία: 0x x lim f(x) ℓ → = ⇔ 0 0x x x x lim f(x) lim f(x) ℓ− + → → = = Τους αριθµούς 0 lim ( ) x x f x− → και 0 lim ( ) x x f x+ → τους λέµε πλευρικά όρια της f στο 0x και συγκεκριµένα αριστερό και δεξιό όριο της f αντίστοιχα. Παρατηρήσεις στο όριο α) Ισχύει ότι : (α) 0x x lim f(x) ℓ → = ⇔ 0x x lim (f(x) ) 0ℓ → − = (β) 0x x lim f(x) ℓ → = ⇔ 0 h 0 limf(x h) ℓ → + = (γ) 0 0x x lim x x → = (δ) 0x x lim c c → = β) — Για να αναζητήσουµε το όριο της f στο 0 x , πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουµε “κοντά στο 0 x ”, δηλαδή η f να είναι ορισµένη σ’ ένα σύνολο της µορφής 0 0 (α,x ) (x ,β)∪ ή 0 (α,x ) ή 0 (x ,β) .
- 10. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 9 — Το 0 x µπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης (Σχ. 22α, 22β) ή να µην ανήκει σ’ αυτό (Σχ.22γ) — Η τιµή της f στο 0 x , όταν υπάρχει, µπορεί να είναι ίση µε το όριό της στο 0 x (Σχ. 22α) ή διαφορετική από αυτό (Σχ. 22β,22γ) f(x) f(x) f x( )0 =ℓ O x0 xx x y 22α f(x0) f(x) f(x) O x0 ℓ xx x y 22β f(x) f(x) O x0 ℓ xx x y 22γ 23 Πότε Λέµε ότι Μια Συνάρτηση f Έχει Κοντά Στο o x Μια Ιδιότητα P Απάντηση Μια συνάρτηση f λέµε ότι έχει κοντά στο 0 x µια ιδιότητα Ρ, όταν ισχύει µια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: α) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0 0 (α,x ) (x ,β)∪ και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ. β) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0 (α,x ) , έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της µορφής 0 (x ,β) . γ) Η f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής 0 (x ,β) , έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της µορφής 0 (α,x ) . 24 Πρόσηµο Συνάρτησης Και Όρια Απάντηση • Αν 0x x lim f(x) 0 → > , τότε f(x) 0> κοντά στο 0 x • Αν 0x x lim f(x) 0 → < , τότε f(x) 0< κοντά στο 0 x 25 ∆ιάταξη Και Όρια Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο 0 x και ισχύει f(x) g(x)≤ κοντά στο 0 x , τότε 0 0x x x x lim f(x) lim g(x) → → ≤ 26 Πράξεις Συναρτήσεων Και Όρια Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0 x , τότε: 1. 0 0 0x x x x x x lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x) → → → + = + 2. 0 0x x x x lim (κf(x)) κ lim f(x) → → = , για κάθε σταθερά κ R∈ 3. 0 0 0x x x x x x lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x) → → → ⋅ = ⋅ ισχύει και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις 0 0 * lim[ ( )] lim ( ) , ν ν x x x x f x f x ν → → = ∈ ℕ 4. 0 0 0 x x x x x x lim f(x) f(x) lim g(x) lim g(x) → → → = , εφόσον 0x x lim g(x) 0 → ≠ 5. 0 0x x x x lim | f(x)| lim f(x) → → = 6. 0 0 k k x x x x lim f(x) lim f(x) → → = , εφόσον f(x) 0≥ κοντά στο 0 x .
- 11. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 10 27 Κριτήριο Παρεµβολής Έστω οι συναρτήσεις f,g,h . Αν • h(x) f(x) g(x)≤ ≤ κοντά στο 0 x και • 0 0x x x x lim h(x) lim g(x) ℓ → → = = , τότε 0x x lim f(x) ℓ → = { }0 x ,∈ ∪ +∞ −∞ℝ 28 Τριγωνοµετρικά ‘Ορια ● 0 0x x lim ηµx ηµx → = ● 0 0x x lim συνx συνx → = ● x 0 ηµx lim 1 x→ = ● x 0 συνx 1 lim 0 x→ − = ● x 0 1 lim x 0 x→ ⋅ ηµ = 29 Να Γράψετε Τις Ιδιότητες Του Άπειρου Ορίου Στο o x Απάντηση Όπως στην περίπτωση των πεπερασµένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της µορφής 0 0 ( ,x ) (x , )α ∪ β , ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναµίες: α) 0 0 0 x x x x x x lim f(x) lim f(x) lim f(x)− +→ → → = +∞ ⇔ = = +∞ β) 0 0 0 x x x x x x lim f(x) lim f(x) lim f(x)− +→ → → = −∞ ⇔ = = −∞ . γ) Αν 0x x lim f(x) → = +∞ , τότε f(x) 0> κοντά στο 0 x , ενώ αν 0x x lim f(x) → = −∞ , τότε f(x) 0< κοντά στο 0 x . δ) Αν 0x x lim f(x) → = +∞ , τότε 0x x lim ( f(x)) → − = −∞ , ενώ αν 0x x lim f(x) → = −∞ , τότε 0x x lim ( f(x)) → − = +∞ . ε) Αν 0x x lim f(x) → = +∞ ή −∞ , τότε 0x x 1 lim 0 f(x)→ = . στ) Αν 0x x lim f(x) 0 → = και f(x) 0> κοντά στο 0 x , τότε 0x x 1 lim f(x)→ = +∞ , ενώ αν 0x x lim f(x) 0 → = και f(x) 0< κοντά στο 0 x , τότε 0x x 1 lim f(x)→ = −∞ . ζ) Αν 0x x lim f(x) → = +∞ ή −∞ , τότε 0x x lim | f(x)| → = +∞ . η) Αν 0x x lim f(x) → = +∞ , τότε 0 k x x lim f(x) → = +∞ . θ) i) 20 1 lim → = +∞ x x και γενικά 20 1 lim ν→ = +∞ x x , ∈ ℕ* v . ii) 2 1 0 1 lim + + → = +∞ν x x , Nν ∈ και 2 1 0 1 lim − ν+ → = −∞ x x , ∈ ℕv . ι) Για το άθροισµα και το γινόµενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήµατα: 30 Άπειρο Όριο Αθροίσµατος Αν στο 0x ∈ℝ το όριο της f είναι: α∈ ℝ α∈ ℝ +∞ -∞ +∞ -∞ και το όριο της g είναι: +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ +∞ τότε το όριο της f g+ είναι: +∞ -∞ +∞ -∞ Α.Μ. Α.Μ.
- 12. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 11 31 Άπειρο Όριο Γινοµένου Αν στο 0x ∈ℝ το όριο της f είναι: α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 +∞ +∞ -∞ -∞ και το όριο της g είναι: +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ τότε το όριο της f·g είναι: +∞ -∞ -∞ +∞ Α.Μ. Α.Μ. +∞ -∞ -∞ +∞ Σχόλιο Οι παρακάτω µορφές λέγονται απροσδιόριστες µορφές: ( ) ( )+∞ + −∞ , 0 ( )⋅ ±∞ , ( ) ( )+∞ − +∞ , ( ) ( )−∞ − −∞ , 0 0 , ±∞ ±∞ . 32 Ιδιότητες Του Ορίου Στο Άπειρο Απάντηση α) Για τον υπολογισµό του ορίου στο +∞ ή −∞ ενός µεγάλου αριθµού συναρτήσεων χρειαζόµαστε τα παρακάτω βασικά όρια: ● lim →+∞ = +∞ν x x και 1 lim 0 →+∞ =νx x , ∈ ℕ* v ● , αν άρτιος lim - , αν περιττός→−∞ +∞ = ∞ ν x ν x ν και 1 lim 0 →−∞ =νx x , ∈ ℕ* v . β) Για την πολυωνυµική συνάρτηση 1 1 0 P(x) x x ⋯ν ν− ν ν− = α + α + + α , µε 0ν α ≠ ισχύει: x x lim P(x) lim ( x )ν ν →+∞ →+∞ = α και x x lim P(x) lim ( x )ν ν →−∞ →−∞ = α γ) Για τη ρητή συνάρτηση 1 1 1 0 1 1 1 0 x x x f(x) x x x ⋯ ⋯ ν ν− ν ν− κ κ− κ κ− α + α + + α + α = β + β + + β + β , 0ν α ≠ , 0κ β ≠ ισχύει: x x x lim f(x) lim x ν ν κ→+∞ →+∞ κ α = β και x x x lim f(x) lim x ν ν κ→−∞ →−∞ κ α = β δ) Για το όριο εκθετικής - λογαριθµικής συνάρτησης ισχύει ότι • Αν 1α > (Σχ. 32α), τότε x x lim 0 →−∞ α = , x x lim →+∞ α = +∞ x 0 limlog xα → = −∞ , x lim log xα →+∞ = +∞ • Αν 0 1< α < (Σχ. 32β), τότε x x lim →−∞ α = +∞ , x x lim 0 →+∞ α = x 0 limlog xα → = +∞ , x lim log xα →+∞ = −∞ Σχόλια ● Για να αναζητήσουµε το όριο µιας συνάρτησης f στο +∞ , πρέπει η f να είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( , )α +∞ . ● Για να αναζητήσουµε το όριο µιας συνάρτησης f στο −∞ πρέπει η f να είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( , )−∞ β . y=ax y 1 1 y=logax O x 32α y=ax y=logax 1 1 O x y 32β
- 13. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 12 ● Για τα όρια στο +∞ , −∞ ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο 0 x µε την προϋπόθεση ότι: — οι συναρτήσεις είναι ορισµένες σε κατάλληλα σύνολα και — δεν καταλήγουµε σε απροσδιόριστη µορφή 33 Όριο Και Ανισότητες Στο Άπειρο Ι Απάντηση Έστω f και g δυο συναρτήσεις που είναι ορισµένες κοντά στο { }0 x ,∈ ∪ +∞ −∞ℝ . Αν ισχύουν: α) ( ) ( )f x g x≤ κοντά στο 0 x β) ( )ox x lim f x → = +∞ τότε ( )ox x lim g x → = +∞ 34 Όριο Και Ανισότητες Στο Άπειρο ΙΙ Απάντηση Έστω f και g δυο συναρτήσεις που είναι ορισµένες κοντά στο { }0 x ,∈ ∪ +∞ −∞ℝ . Αν ισχύουν: α) ( ) ( )f x g x≤ κοντά στο 0 x β) ( )ox x lim g x → = −∞ τότε ( )ox x lim f x → = −∞ 35 Πότε Μια Συνάρτηση f Λέγεται Συνεχής Στο Σηµείο o f x D∈ Απάντηση Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σηµείο 0 x του πεδίου ορισµού της, όταν 0 0x x lim f(x) f(x ) → = Σχόλια α) Σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό, µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο 0 x του πεδίου ορισµού της όταν: i) ∆εν υπάρχει το όριό της στο 0 x ή ii) Υπάρχει το όριό της στο 0 x , αλλά είναι διαφορετικό από την τιµή της, 0 f(x ) , στο σηµείο 0 x . β) Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σηµεία του πεδίου ορισµού της, θα λέγεται, συνεχής συνάρτηση. γ) — Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε 0x ∈ℝ ισχύει 0 0 x x lim P(x) P(x ) → = . — Κάθε ρητή συνάρτηση P Q είναι συνεχής, αφού για κάθε 0 x του πεδίου ορισµού της Ισχύει 0 0 x x 0 P(x )P(x) lim Q(x) Q(x )→ = . — Οι συναρτήσεις ( ) ηµ=f x x και ( ) συν=g x x είναι συνεχείς, αφού για κάθε 0x ∈ℝ ισχύει 0 0x x lim ηµx ηµx → = και 0 0x x lim συνx συνx → = . — Οι συναρτήσεις ( ) = x f x α και ( ) log= α g x x , 0 1< ≠α είναι συνεχείς.
- 14. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 13 36 Συνέχεια Και Πράξεις Συναρτήσεων Απάντηση Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρηµα: Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο 0 x , τότε είναι συνεχείς στο 0 x και οι συναρτήσεις: f g+ , c f⋅ , όπου c∈ℝ , f g⋅ , f g , | f| και fν µε την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστηµα που περιέχει το 0 x . 37 Συνέχεια Σύνθετης Συνάρτησης Απάντηση Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0 f(x ) , τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο 0 x . 38 Συνέχεια σε ΑΝΟΙΚΤΟ ∆ιάστηµα ( , )α β Απάντηση Μια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα ( , )α β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β . y ( ) O βa x 39 Συνέχεια σε ΚΛΕΙΣΤΟ ∆ιάστηµα , α β Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον x lim f(x) f( )+ →α = α και x lim f(x) f( )− →β = β y [ ] O βa x 40 Συνέχεια σε ∆ιάστηµα ),α β Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ),α β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον x lim f(x) f( )+ →α = α 41 Συνέχεια σε ∆ιάστηµα ( , α β Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα ( , α β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του ( , )α β και επιπλέον x lim f(x) f( )− →β = β
- 15. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 14 42 Θεώρηµα Bolzano (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Έστω µια συνάρτηση f , ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β . Αν: • η f είναι συνεχής στο [ , ]α β και, επιπλέον, ισχύει • f( ) f( ) 0α ⋅ β < , τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 x ( , )∈ α β τέτοιο, ώστε 0 f(x ) 0= . ∆ηλαδή, υπάρχει µια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) 0= στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β . 43 Γεωµετρική Ερµηνεία Bolzano Απάντηση Αν f συνεχής συνάρτησης στο [ , ]α β και τα σηµεία ( , ( ))A fα α και ( , ( ))B fβ β βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x x′ , τότε η Cf τέµνει τον άξονα x x′ σε ένα τουλάχιστον σηµείο Μ(x0, 0), µε τετµηµένη 0 x ( , )∈ α β . 44 Πρόσηµο Συνεχούς Συνάρτησης (συνέπειες Bolzano) Απάντηση Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δε µηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈ ∆ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ ∆ , δηλαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα ∆. y f(x)<0 O βa x 44 (β) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από το διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. y ρ5 ρ4ρ3 ρ2 ρ1 + −− + − + ′′x0′x0 x0 y B(β,f(β)) Α(α,f(α))f(a) f(β) O β a x y f(x)>0 O βa x (α)
- 16. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 15 45 Εύρεση Προσήµου Απάντηση α) Βρίσκουµε τις ρίζες της f. β) Σε καθένα από τα υποδιαστήµατα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουµε έναν αριθµό και βρίσκουµε το πρόσηµο της f στον αριθµό αυτό. Το πρόσηµο αυτό είναι και το πρόσηµο της f στο αντίστοιχο διάστηµα. 46 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Ενδιάµεσων Τιµών Απάντηση Αν f συνεχής συνάρτησης στο [ , ]α β και τα σηµεία ( , ( ))A fα α και ( , ( ))B fβ β βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας y=η, τότε η Cf τέµνει την ευθεία y=η σε ένα τουλάχιστον σηµείο Μ(x0, η), µε τετµηµένη 0 x ( , )∈ α β . ′x0x0 ′′x0 y B(β,f(β)) f(a) f(β) O β y=η η a x Α(α,f(α)) Σχόλια α) Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστηµα [ , ]α β , τότε, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάµεσες τιµές. y f(a) f(β) O y=η η xβa 47 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ένα ∆ιάστηµα ∆ Απάντηση Η εικόνα f( )∆ ενός διαστήµατος ∆ µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστηµα. y ( ) O (α) βa x y ( ) O (β) βa x 47 y [ ) O (γ) βa x 48 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ένα ∆ιάστηµα (α,β) Απάντηση Aν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα
- 17. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 16 ( , )α β , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα ( , )Α Β , όπου x lim f(x)+ →α Α = και x B lim f(x)− →β = . y ( ) O (48α) β B A a x Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( , )α β , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (B,A) , όπου x lim f(x)+ →α Α = και x B lim f(x)− →β = . y ( ) O (48β) β Α Β a x 49 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Ανοικτό ∆ιάστηµα (α,β) Απάντηση Αν µια ΣΥΝΕΧΗΣ συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα ανοικτό διάστηµα ( ),α β και x x x x lim f(x) limf(x) (ή lim f(x) limf(x) ) →α →β →α →β = +∞ και = −∞ = −∞ και = +∞ , τότε το σύνολο τιµών της f είναι το ( )( ), f ,α β =ℝ ℝ ,δηλαδή δεν χρειάζεται να βρούµε τη µονοτονία της συνάρτησης στο (α,β) 50 Θεώρηµα Μέγιστης –Ελάχιστης Τιµής (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ , ]α β , τότε η f παίρνει στο [ , ]α β µια µέγιστη τιµή Μ και µια ελάχιστη τιµή m. ∆ηλαδή, υπάρχουν 1 2 x ,x [ , ]∈ α β τέτοια ώστε, αν 1 m f(x )= και 2 M f(x )= , να ισχύει ( )≤ ≤m f x M , για κάθε [ , ]∈x α β . y [ ] O βa xx1x2 Μ m m Μ
- 18. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 17 51 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Σε Κλειστό ∆ιάστηµα [α,β] Απάντηση Το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το [α,β] είναι το κλειστό διάστηµα [m,M] όπου m η ελάχιστη τιµή και M η µέγιστη τιµή της. 52 Ακολουθία Απάντηση Ακολουθία ονοµάζεται κάθε πραγµατική συνάρτηση * α : N → ℝ . 53 Όριο Ακολουθίας Απάντηση Θα λέµε ότι η ακολουθία ( αν ) έχει όριο το ∈ℝl και θα γράφουµε lim α →+∞ = lν ν , όταν για κάθε ε >0, υπάρχει * 0ν ∈ℕ τέτοιο, ώστε για κάθε 0ν > ν να ισχύει − <lνα ε .
- 19. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 18 Ηµεροµηνία: / / . Β Αποδείξεις Στις Συναρτήσεις 1 Έστω το πολυώνυµο 1 1 1 o P(x) a x a x ... a x aν ν− ν ν− = + + + + και o x ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι o o x x lim P(x) P(x ) → = Απόδειξη Σύµφωνα µε τις ιδιότητες των ορίων έχουµε: 0 0 ν ν 1 ν ν 1 0 x x x x lim P(x) lim(α x α x α )− − → → = + + +⋯ 0 0 0 ν ν 1 ν ν 1 0 x x x x x x lim(α x ) lim(α x ) lim α− − → → → = + + +⋯ 0 0 0 ν ν 1 ν ν 1 0 x x x x x x α lim x α lim x lim α− − → → → = + + +⋯ ν ν 1 ν 0 ν 1 0 0 0α x α x α P(x )− −= + + + =⋯ . 2 Έστω η ρητή συνάρτηση P(x) f(x) Q(x) = , όπου P(x),Q(x) πολυώνυµα του x και 0x ∈ℝ µε 0 Q(x ) 0≠ . Να δείξετε ότι: 0 0 x x 0 P(x ) lim f (x) Q(x )→ = , όπου o Q(x ) 0≠ Απόδειξη 0 0 0 0 x x 0 x x x x 0 x x lim P(x) P(x )P(x) lim f (x) lim Q(x) lim Q(x) Q(x ) → → → → = = = εφόσον 0Q(x ) 0≠ . 3 Πως υπολογίζουµε το όριο σύνθετης συνάρτησης fog στο 0x Απόδειξη Αν θέλουµε να υπολογίσουµε το όριο της σύνθετης συνάρτησης f g στο σηµείο 0 x , δηλαδή το 0x x lim f(g(x)) → , τότε εργαζόµαστε ως εξής: 1. Θέτουµε u g(x)= . 2. Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το 0 0 x x u lim g(x) → = και 3. Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το 0u u lim f(u)ℓ → = . Αν 0 g(x) u≠ κοντά στο 0 x , τότε το ζητούµενο όριο είναι ίσο µε ℓ , δηλαδή ισχύει: 0 0 lim ( ( )) lim ( ) → → = x x u u f g x f u 4 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών ∆ιατύπωση Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β . Αν: • η f είναι συνεχής στο [ , ]α β και • f( ) f( )α ≠ β τότε, για κάθε αριθµό η, µεταξύ των f( )α και f( )β υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0 x ( , )∈ α β τέτοιος ώστε 0 f(x ) = η Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι f( ) f( )α < β . Τότε θα ισχύει f( ) f( )α < η < β (Σχ. 4). Αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση g(x) f(x)= − η , x [ , ]∈ α β , παρατηρούµε ότι: • η g είναι συνεχής στο [ , ]α β και • g( )g( ) 0α β < ,
- 20. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 19 aφού g( ) f( ) 0α = α − η < και g( ) f( ) 0β = β − η > . Εποµένως, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Bolzano, υπάρχει 0 x ( , )∈ α β τέτοιο ώστε 0 0 g(x ) f(x ) 0= − η = , οπότε 0 f(x ) = η . 5 Αν ισχύει Το Θεώρηµα Bolzano στο , α β , τότε Ισχύει και το Θεώρηµα Ενδιαµέσων τιµών στο , α β Απόδειξη Από Θεώρηµα Bolzano ( ) ( ) ( )f α f β 0 1< . Θα αποδείξουµε ότι ( ) ( )f α f β≠ . Πράγµατι, έστω ( ) ( )f α f β= τότε από τη σχέση ( )1 παίρνουµε, ( )2 f α 0< , πράγµα άτοπο. 6 Σύνολο Τιµών Συνάρτησης f Με Πεδίο Ορισµού το , α β Απόδειξη Από το θεώρηµα Μέγιστης Ελάχιστης Τιµής και το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών προκύπτει ότι το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το [ , ]α β είναι το κλειστό διάστηµα [ , ]m M , όπου m η ελάχιστη τιµή και Μ η µέγιστη τιµή της. ′x0x0 ′′x0 y B(β,f(β)) f(a) f(β) O β y=η η a x 4 Α(α,f(α))
- 21. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 20 Ηµεροµηνία: / / . Γ Ορισµοί Στις Παραγώγους 1 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Στο Σηµείο o f x D∈ Απάντηση Μια συνάρτηση f λέµε ότι είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο 0 x του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν υπάρχει το 0 0 x x 0 f(x) f(x ) lim x x→ − − και είναι πραγµατικός αριθµός. Το όριο αυτό ονοµάζεται παράγωγος της f στο 0 x και συµβολίζεται µε 0 ( )′f x . ∆ηλαδή: 0 0 0 x x 0 f(x) f(x ) f (x ) lim x x→ − ′ = − . Σχόλιο Αν το 0 x είναι εσωτερικό σηµείο ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της f, τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 x , αν και µόνο αν υπάρχουν στο ℝ τα όρια 0 0 0 x x f(x) f(x ) lim x x−→ − − , 0 0 0 x x f(x) f(x ) lim x x+ → − − και είναι ίσα. 2 Ισοδύναµος Ορισµός Παραγώγου Στο Σηµείο o f x D∈ Απάντηση → + − ′ = 0 0 0 h 0 f(x h) f(x ) f (x ) lim h Σχόλιο Το 0h x x= − συµβολίζεται µε x∆ , ενώ το 0 0( ) ( )f x h f x+ − = 0 0( ) ( )f x x f x+ ∆ − συµβολίζεται µε 0( )f x∆ , οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: ( ) ( )0 0 0 lim ∆ → ∆ ′ = ∆x f x f x x . Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συµβολίσει την παράγωγο στο 0x µε 0( )df x dx ή 0 ( ) x x df x dx = . Ο συµβολισµός 0( )f x′ είναι µεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrange. 3 Εφαπτοµένη της fC Στο Σηµείο Της 0 0 A(x ,f(x )) Απάντηση Έστω f µια συνάρτηση και 0 0( , ( ))A x f x ένα σηµείο της fC . Αν υπάρχει το 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x→ − − και είναι ένας πραγµατικός αριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφαπτοµένη της fC στο σηµείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Οπότε, εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της f C στο σηµείο της 0 0 A(x ,f(x )) είναι: 0 0 0 y f(x ) f (x )(x x )′− = − µε 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x λ → − = −
- 22. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 21 Σχόλιο Αν η συνάρτηση ∆ΕΝ είναι παραγωγίσιµη στο 0 x , τότε ∆ΕΝ ορίζεται η εφαπτοµένη της fC στο 0 0 A(x ,f(x )) 4 Συντελεστής ∆ιεύθυνσης Της Εφαπτοµένης της fC Στο Σηµείο Της 0 0 A(x ,f(x )) Απάντηση Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης ε της fC µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f, στο σηµείο 0 0( , ( ))A x f x είναι η παράγωγος της f στο 0x . ∆ηλαδή, ( )of xλ ′= , 5 Κλίσης Της f Στο 0 x Απάντηση Την κλίση 0 f (x )′ της εφαπτοµένης ε στο 0 0 A(x ,f(x )) θα τη λέµε και κλίση της f C στο Α ή κλίση της f στο 0 x . 6 Στιγµιαία Ταχύτητα Απάντηση Η στιγµιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγµή 0t , είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης ( )x S t= τη χρονική στιγµή 0t . ∆ηλαδή, είναι ( ) ( )o ot S tυ ′= . 7 Πότε Μια Συνάρτηση λέγεται Παραγωγίσιµη Στο Σύνολο Α Απάντηση H f είναι παραγωγίσιµη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιµη, όταν είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο 0 x A∈ . 8 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε Ανοικτό ∆ιάστηµα ( , )α β Απάντηση Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα ανοικτό διάστηµα ( , )α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο 0 x ( , )∈ α β . 9 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε Κλειστό ∆ιάστηµα , α β Απάντηση Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι παραγωγίσιµη στο ( , )α β και επιπλέον ισχύει: + →α − α ∈ − α ℝ x f(x) f( ) lim x και − →β − β ∈ − β ℝ x f(x) f( ) lim x .
- 23. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 22 10 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε ∆ιάστηµα ( , α β Απάντηση Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ( , α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι παραγωγίσιµη στο ( , )α β και επιπλέον ισχύει: − →β − β ∈ − β ℝ x f(x) f( ) lim x . 11 Πότε Μια Συνάρτηση Λέγεται Παραγωγίσιµη Σε ∆ιάστηµα ),α β Απάντηση Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ),α β του πεδίου ορισµού της, όταν είναι παραγωγίσιµη στο ( , )α β και επιπλέον ισχύει: + →α − α ∈ − α ℝ x f(x) f( ) lim x 12 Τι Ονοµάζουµε Πρώτη Παράγωγο Μιας Συνάρτησης f Απάντηση Έστω f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α και 1A τo σύνολο των σηµείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιµη. Αντιστοιχίζοντας κάθε 1x A∈ στο ( )f x′ , ορίζουµε τη συνάρτηση 1:f A R′ → , µε ( ),x f x′→ η οποία ονοµάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f. H πρώτη παράγωγος της f συµβολίζεται: ( ( ))y f x ′= και df dx που διαβάζεται “ντε εφ προς ντε χι”. 13 Τι Ονοµάζουµε ∆εύτερη Και Γενικά Νιοστή Παράγωγο Μιας Συνάρτησης f Απάντηση Έστω f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α και 1A τo σύνολο των σηµείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιµη. Αν υποθέσουµε ότι το 1Α είναι διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων, τότε η παράγωγος της f ′ , αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συµβολίζεται µε f ′′. Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, µε 3ν ≥ , και συµβολίζεται µε ( )v f . ∆ηλαδή ( ) ( )1v v f f − ′ = , 3v ≥ . 14 Παράγωγος Τριγωνοµετρικής Συνάρτησης Ηµίτονο (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Έστω συνάρτηση f(x) ηµx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει f (x) συνx′ = , δηλαδή (ηµx) συνx′ = 15 Παράγωγος Τριγωνοµετρικής Συνάρτησης Συνηµίτονο (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Έστω η συνάρτηση f(x) συνx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει f (x) ηµx′ = − , δηλαδή (συνx) ηµx′ = − 16 Παράγωγος Εκθετικής Συνάρτησης (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Έστω η συνάρτηση x f(x) e= . Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει x f (x) e′ = , δηλαδή x x (e ) e′ =
- 24. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 23 17 Παράγωγος Λογαριθµικής Συνάρτησης (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Έστω η συνάρτηση f(x) lnx= . Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, )+∞ ισχύει 1 f (x) x ′ = , δηλαδή 1 (lnx) x ′ = 18 Παράγωγος Αθροίσµατος ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε x∈∆ ισχύει: )()()()( xgxfxgf ′+′=′+ . Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. ∆ηλαδή, αν 1 2, ,..., kf f f , είναι παραγωγίσιµες στο ∆, τότε 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kf f f x f x f x f x′ ′ ′ ′+ + + = + + +⋯ ⋯ . 19 Παράγωγος Γινοµένου ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x ισχύει: ′ ′ ′⋅ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x . 20 Παράγωγος Γινοµένου ∆υο Συναρτήσεων Στο o f x D∈ (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο o f x D∈ , τότε και η συνάρτηση fg είναι παραγωγίσιµη στο 0 x και ισχύει ′ ′ ′⋅ = +0 0 0 0 0 (f g) (x ) f (x )g(x ) f(x )g (x ) 21 Παράγωγος Πηλίκου ∆υο Συναρτήσεων Στο o f x D∈ (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο o f x D∈ , τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο 0 x και ισχύει ′ ′ ′− = 0 0 0 0 0 2 0 f (x )g(x ) f(x )g (x )f (x ) g [g(x )] µε 0 g(x ) 0≠ 22 Παράγωγος Πηλίκου ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆ και για κάθε ∈ ∆x ισχύει ≠g(x) 0 , τότε για κάθε ∈ ∆x έχουµε: ′ ′ ′ − = 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ) [ ( )] f f x g x f x)g x x g g x . 23 Παράγωγος Σύνθεσης ∆υο Συναρτήσεων Στο o g x D∈ (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο 0 x και η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 g(x ) , τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο 0 x και ισχύει 0 0 0 (f g) (x ) f (g(x )) g (x )′ ′ ′= ⋅
- 25. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 24 24 Ρυθµός Μεταβολής Συνάρτησης Απάντηση Αν δύο µεταβλητά µεγέθη x,y συνδέονται µε τη σχέση y f(x)= , όταν f είναι µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο 0 x , τότε ονοµάζουµε ρυθµό µεταβολής του y ως προς το x στο σηµείο 0 x την παράγωγο 0 f (x )′ . 25 Ρυθµός Μεταβολής Μετατόπισης Απάντηση Ο ρυθµός µεταβολής της µετατόπισης s ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to είναι η παράγωγος s’(to), της µετατόπισης s ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to. Η παράγωγος s’(to) λέγεται ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή to και συµβολίζεται µε u(to), δηλαδή: υ(to)=s’(to). 26 Ρυθµός Μεταβολής Ταχύτητας Απάντηση Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to είναι η παράγωγος υ’(to), της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή to. Η παράγωγος υ’(to) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγµή to και συµβολίζεται µε α(to), δηλαδή: α(to)= υ’(to)=S’’(to). 27 Οριακό Κόστος Απάντηση Στην οικονοµία το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόµενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγος Κ’(xo) παριστάνει το ρυθµό µεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα x, όταν x=xo και λέγεται οριακό κόστος στο xo. Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο xo και οριακό κέρδος στο xo. 28 Θεώρηµα Rolle (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν µια συνάρτηση f είναι: • συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ , ]α β • παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β και • f( ) f( )α = β τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( , )ξ ∈ α β τέτοιο ώστε f ( ) 0′ ξ = . 29 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Rolle Απάντηση Αν η Cf είναι µία συνεχής γραµµή από το σηµείο ( , ( ))A fα α στο ( , ( ))B fβ β , η f είναι παραγωγίσιµη στο α β( , ) και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι παράλληλο στον άξονα x x′ , τότε υπάρχει µία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Μ(ξ, f(ξ)), µε τετµηµένη ξ ∈ α β( , ) .
- 26. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 25 y O xβξ΄ξα Μ (ξ,f (ξ)) Β(β,f(β)) Α(α,f (α)) 31 30 Θεώρηµα Μέσης Τιµής Του ∆ιαφορικού Λογισµού (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν µια συνάρτηση f είναι: • συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ , ]α β και • παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( , )α β τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( , )ξ ∈ α β τέτοιο ώστε: f( ) f( ) f ( ) β − α ′ ξ = β − α . 31 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Μέσης Τιµής Απάντηση Αν η Cf είναι µία συνεχής γραµµή από το σηµείο ( , ( ))A fα α στο ( , ( ))B fβ β και η f είναι παραγωγίσιµη στο α β( , ) , τότε υπάρχει µία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Μ(ξ, f(ξ)), που είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, µε ξ ∈ α β( , ) . Β(β,f(β)) βξ΄ξa x y Ο M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) 33 32 Θεωρήµατος Μέσης Τιµής Για Την Παραβολή 2 f(x) x x , 0= α + β + γ α ≠ Απάντηση Για οποιαδήποτε 1 2, ∈ℝx x , ο αριθµός που ικανοποιεί το συµπέρασµα του ΘΜΤ είναι ο µέσος όρος των τιµών 1 2,x x (ή αλλιώς το κέντρο του διαστήµατος [ ]1 2,x x ) ∆ΗΛΑ∆Η 1 2 2 1 2 1 x x f(x ) f(x ) 2 x x f'( ) + − − = 33 Αντιπαραγώγιση Σε ∆ιάστηµα ′ =( ) ( )f x f x Απάντηση Αν για µια συνάρτηση f ισχύει ( ) ( )′ =f x f x για κάθε x R∈ , τότε x f(x) ce= για κάθε ∈ℝx Σηµείωση: Αντί του ℝ µπορούµε να έχουµε τυχαίο διάστηµα ∆. 34 Γεωµετρική Ερµηνεία Θεωρήµατος Fermat Απάντηση Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σηµείο ∈ α βo x ( , ) και είναι παραγωγίσιµη στο xo, τότε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Μ(xo, f(xo)) είναι παράλληλη στον άξονα x x′ . 35 Κρίσιµα Σηµεία Απάντηση Κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα ∆ λέγονται τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σηµεία του ∆ , στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση µε το µηδέν.
- 27. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 26 36 Πιθανές Θέσεις Ακροτάτων Απάντηση Οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν µιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστηµα ∆ είναι: 1. Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η παράγωγος της f µηδενίζεται. 2. Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. 3. Τα άκρα του ∆ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισµού της). 37 Πως Βρίσκουµε Τα Ολικά Ακρότατα Συνεχούς Συνάρτησης Σε Κλειστό ∆ιάστηµα Απάντηση Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστηµα [ , ]α β , όπως γνωρίζουµε από το Θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής, η f παρουσιάζει µέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του µέγιστου και ελάχιστου της συνάρτησης f σε ένα κλειστό διάστηµα εργαζόµαστε ως εξής: 1. Βρίσκουµε τα κρίσιµα σηµεία της f. 2. Υπολογίζουµε τις τιµές της f στα σηµεία αυτά και στα άκρα των διαστηµάτων. 3. Από αυτές τις τιµές η µεγαλύτερη είναι το µέγιστο και η µικρότερη το ελάχιστο της f. 38 Κυρτή Συνάρτηση Απάντηση Η συνάρτηση f λέγεται κυρτή ή ότι στρέφει τα κοίλα άνω σ’ ένα διάστηµα ∆ όταν είναι συνεχής στο ∆, παραγωγίσιµη στα εσωτερικά του ∆ και η f′ είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του ∆. 39 Κοίλη Συνάρτηση Απάντηση Η συνάρτηση f λέγεται κοίλη ή ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο ∆, αν είναι συνεχής στο ∆, παραγωγίσιµη στα εσωτερικά του ∆ και η f′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του ∆. 40 Κυρτότητα Και Εφαπτοµένη Απάντηση α) Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται “κάτω” από τη γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους ( )≤y f x για κάθε ∈∆x , η ισότητα ισχύει στο σηµείο επαφής. β) Αν µια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται “πάνω” από τη γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους ( )≥y f x για κάθε ∈∆x , η ισότητα ισχύει στο σηµείο επαφής. 41 ∆εδοµένες Ανισοϊσότητες (χωρίς απόδειξη) Απάντηση ●|ηµx| |x|≤ , για κάθε x R∈ .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 0= . ●lnx x 1≤ − , για κάθε x 0> .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 1= . ● x e x 1≥ + , για κάθε x R∈ .Η ισότητα ισχύει µόνο όταν x 0= .
- 28. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 27 42 Θεώρηµα Κυρτότητας Απάντηση Απάντηση Έστω µια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστηµα ∆ και δυο φορές παραγωγίσιµη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του ∆. •Αν f (x) 0′′ > για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι κυρτή στο ∆. •Αν f (x) 0′′ < για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι κοίλη στο ∆. Σχόλιο Το αντίστροφο του θεωρήµατος δεν ισχύει. Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση 4 ( )f x x= (Σχ. 43). Επειδή η 3 ( ) 4f x x′ = είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ η 4 ( )f x x= είναι κυρτή στο ℝ . Εντούτοις, η ( )f x′′ δεν είναι θετική στο ℝ , αφού (0) 0f ′′ = . 43 Σηµείο Καµπής Απάντηση Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του 0x . Το σηµείο 0 0 A(x ,f(x )) ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f, όταν: • η f είναι κυρτή στο 0 ( ,x )α και κοίλη στο 0 (x , )β , ή αντιστρόφως, και • η f C έχει εφαπτοµένη στο σηµείο 0 0 A(x ,f(x )) . 44 Σηµείο Καµπής Και Εφαπτοµένη Απάντηση Όταν το 0 0 A(x ,f(x )) είναι σηµείο καµπής της f C , τότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο 0 x καµπή και το 0 x λέγεται θέση σηµείου καµπής. Στα σηµεία καµπής η εφαπτοµένη της fC “διαπερνά” την καµπύλη. 45 Θεώρηµα Με Σηµείο Καµπής (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν το 0 0 A(x ,f(x )) είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη, τότε 0 f (x ) 0′′ = . 46 Πιθανές Θέσεις Σηµείου Καµπής Απάντηση i)Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η ′′f µηδενίζεται. ii)Τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία δεν υπάρχει η ′′f . 47 Εύρεση Σηµείου Καµπής Απάντηση Έστω µια συνάρτηση f oρισµένη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β και 0 x ( , )∈ α β . Αν • η f′′ αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του 0 x και • ορίζεται εφαπτοµένη της f C στο 0 0 A(x ,f(x )) , τότε το 0 0 A(x ,f(x )) είναι σηµείο καµπής της f C . y=x4 O x y 43
- 29. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 28 48 Κατακόρυφη Ασύµπτωτη Απάντηση Η ευθεία 0 =x x λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της Cf, αν ένα τουλάχιστον από τα όρια 0x x lim f(x)+ → , 0x x lim f(x)− → είναι +∞ ή −∞ . 49 Εύρεση Κατακόρυφης Ασύµπτωτης Απάντηση — Στα άκρα των διαστηµάτων του πεδίου ορισµού της στα οποία η f δεν ορίζεται. — Στα σηµεία του πεδίου ορισµού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής. 50 Οριζόντια Ασύµπτωτη Απάντηση Η ευθεία y ℓ= λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της Cf στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ), όταν x lim f(x) ℓ →+∞ = (αντιστοίχως x lim f(x) )ℓ →−∞ = . 51 Πλάγια Ασύµπτωτη Απάντηση Η ευθεία y x= λ + β λέγεται ασύµπτωτη της Cf στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ), αν x lim [f(x) ( x )] 0 →+∞ − λ + β = (αντιστοίχως αν x lim [f(x) ( x )] 0 →−∞ − λ + β = ). 52 Πως Βρίσκουµε Τις Πλάγιες Ασύµπτωτες Απάντηση —Στο +∞ , −∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( , )α +∞ , αντιστοίχως ( , )−∞ α . Η ευθεία y x= λ + β είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ , αντιστοίχως στο −∞ , αν και µόνο αν →+∞ = λ ∈ ℝ x f(x) lim x και →+∞ − λ = β ∈ ℝ x lim [f(x) x] , αντιστοίχως: →−∞ = λ ∈ ℝ x f(x) lim x και →−∞ − λ = β ∈ ℝ x lim [f(x) x] . 53 Ασύµπτωτες Πολυωνυµικής Ρητής Συνάρτησης Απάντηση —Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύµπτωτες. —Οι ρητές συναρτήσεις P(x) Q(x) , µε βαθµό του αριθµητή P(x) µεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθµού του παρονοµαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύµπτωτες. 54 Που Αναζητούµε Ασύµπτωτες Απάντηση • Στα άκρα διαστηµάτων του πεδίου ορισµού της στα οποία η f δεν ορίζεται • Στα σηµεία του πεδίου ορισµού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής • Στο +∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής (a, )+∞ • Στο −∞ , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( ,a)−∞
- 30. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 29 55 1ος Κανόνας De L’ Hospital (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν 0x x lim f(x) 0 → = , 0x x lim g(x) 0 → = , ∈ ∪ −∞ + ∞ℝ0 x { , } , g'(x) 0≠ σε περιοχή του o x µε εξαίρεση ίσως το o x και υπάρχει το 0x x f (x) lim g (x)→ ′ ′ (πεπερασµένο ή άπειρο), τότε: 0 0x x x x f(x) f (x) lim g(x) g (x) lim → → ′ = ′ . 56 2ος Κανόνας De L’ Hospital (χωρίς απόδειξη) Απάντηση Αν 0x x lim f(x) → = +∞ , 0x x lim g(x) → = +∞ , ∈ ∪ −∞ + ∞ℝ0 x { , } , g'(x) 0≠ σε περιοχή του o x µε εξαίρεση ίσως το o x και υπάρχει το 0x x f (x) g (x) lim → ′ ′ (πεπερασµένο ή άπειρο), τότε: 0 0x x x x f(x) f (x) lim lim g(x) g (x)→ → ′ = ′ . Σχόλιο: Ο 2ος κανόνας ισχύει και για τις µορφές +∞ −∞ , −∞ +∞ , −∞ −∞ . Οι παραπάνω κανόνες ισχύουν και για πλευρικά όρια και µπορούµε, αν χρειάζεται, να τα εφαρµόσουµε περισσότερες φορές, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις τους.
- 31. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 30 Ηµεροµηνία: / / . ∆ Αποδείξεις Στις Παραγώγους 1 Αποδείξτε ότι 0 0 0 h 0 f(x h) f(x ) f (x ) lim h→ + − ′ = Απόδειξη Αν στην ισότητα 0 0 0 x x 0 f(x) f(x ) f (x ) lim x x→ − ′ = − θέσουµε 0 x x h= + , τότε έχουµε → + − ′ = 0 0 0 h 0 f(x h) f(x ) f (x ) lim h . 2 Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο 0 x , τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Απόδειξη Για 0 x x≠ έχουµε 0 0 0 0 f(x) f(x ) f(x) f(x ) (x x ) x x − − = ⋅ − − , οπότε θα είναι: 0 0 0 0 0 x x x x 0 f(x) f(x ) lim[f(x) f(x )] lim (x x ) x x→ → − − = ⋅ − − 0 0 0 0 x x x x 0 f(x) f(x ) lim lim (x x ) x x→ → − = ⋅ − − 0 f (x ) 0 0′= ⋅ = , αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 x . Εποµένως, 0 0 x x lim f(x) f(x ) → = , δηλαδή η f είναι συνεχής στο 0 x . Σχόλιο α) Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει: Η ( ) | |f x x= είναι συνεχής στο 0 0x = , αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη σ’ αυτό, αφού: 00 ( ) (0) lim lim 1 0 xx f x f x x x+ →→ − = = − , ενώ 00 ( ) (0) lim lim 1 0 xx f x f x x x− →→ − − = = − − β) Ισχύει όµως ότι : Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σηµείο 0 x , τότε, σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα, δεν µπορεί να είναι παραγωγίσιµη στο 0 x . 3 Να αποδείξετε ότι αν f(x) c= , µε c ∈ ℝ , τότε f (x) 0′ = Απόδειξη Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει: 0 0 0 f (x) f (x ) c c 0 x x x x − − = = − − . Εποµένως, 0 0 x x 0 f (x) f (x ) lim 0 x x→ − = − , δηλαδή (c) 0′ = . 4 Να αποδείξετε ότι αν f(x) x= , τότε f (x) 1′ = Απόδειξη Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει ότι : 0 0 0 0 f (x) f (x ) x x 1 x x x x − − = = − − . Εποµένως, 0 0 0 x x x x 0 f (x) f (x ) lim lim 1 1 x x→ → − = = − , δηλαδή (x) 1′ = . O x y 2
- 32. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 31 5 Να αποδείξετε ότι αν f(x) xν = , µε {0,1}ν ∈ −ℕ , τότε 1 f (x) xν− ′ = ν Απόδειξη Αν 0x ∈ℝ , τότε για 0x x≠ ισχύει: 1 2 1 1 2 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f (x) f (x ) x x (x x )(x x x x ) x x x x x x x x x x ν ν ν− ν− ν− ν− ν− ν−− − − + + + = = = + + + − − − ⋯ ⋯ , Εποµένως : 0 0 1 2 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 x x x x 0 f (x) f (x ) lim lim(x x x x ) x x x x x x ν− ν− ν− ν− ν− ν− ν− → → − = + + + = + + + = ν − ⋯ ⋯ , δηλαδή 1 (x ) xν ν− ′ = ν . 6 Να αποδείξετε ότι αν f(x) x= , τότε 1 f (x) 2 x ′ = , x 0> Απόδειξη Αν 0x (0, )∈ +∞ , τότε για 0x x≠ ισχύει: ( )( ) ( ) ( ) 0 000 0 0 0 00 0 0 0 x x x xx xf (x) f (x ) x x 1 x x x x x x(x x ) x x (x x ) x x − +−− − = = = = − − +− + − + , οπότε : 0 0 0 x x x x 0 0 0 f (x) f (x ) 1 1 lim lim x x x x 2 x→ → − = = − + , δηλαδή ( ) 1 x 2 x ′ = . (Σηµείωση: η f(x) x= δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0). 7 Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιµες στο 0 x , τότε η συνάρτηση f g+ είναι παραγωγίσιµη στο 0 x και ισχύει: 0 0 0 (f g) (x ) f (x ) g (x )′ ′ ′+ = + Απόδειξη Για 0 x x≠ , ισχύει: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (f g)(x) (f g)(x ) f(x) g(x) f(x ) g(x ) f(x) f(x ) g(x) g(x ) x x x x x x x x + − + + − − − − = = + − − − − . Επειδή οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιµες στο 0 x , έχουµε: 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x 0 0 0 (f g)(x) (f g)(x ) f(x) f(x ) g(x) g(x ) lim lim lim f (x ) g (x ), x x x x x x→ → → + − + − − ′ ′= + = + − − − δηλαδή 0 0 0 (f g) (x ) f (x ) g (x )′ ′ ′+ = + . 8 Παράγωγος Γινοµένου Τριών Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ Απόδειξη Αν οι συναρτήσεις f, g, h είναι παραγωγίσιµες σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x ισχύει: ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ] ( ) ( )f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x′ ′= ⋅ = ⋅ + ⋅′ ′ [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x h x f x g x h x′ ′ ′= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x f x g x h x f x g x h x′ ′ ′= + + . 9 Παράγωγος Γινοµένου Αριθµού Με Συνάρτηση Σε ∆ιάστηµα ∆ Απόδειξη Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε για κάθε ∈ ∆x και για κάθε c ∈ ℝ ισχύει: ( ( )) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅′cf x f x f x f x f x f xc c c c Άρα ( ( )) ( )′ ′= ⋅cf x f xc
- 33. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 32 10 Έστω η συνάρτηση f(x) x−ν = , * ν ∈ ℕ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο * ℝ και ισχύει 1 f (x) x−ν− ′ = −ν , δηλαδή 1 (x ) x−ν −ν− ′ = −ν Απόδειξη Πράγµατι, για κάθε ∈ ℕx * έχουµε: 1 1 2 2 1 (1) x 1(x ) x (x ) x x (x ) x ν ν ν− −ν −ν− ν ν ν ′ ′ ′− −ν ′ = = = = −ν . 11 Έστω η συνάρτηση f(x) εφx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο {x|συνx 0}− =ℝ και ισχύει 2 1 f (x) συν x ′ = , δηλαδή 2 1 (εφx) συν x ′ = Απόδειξη Πράγµατι, για κάθε ∈ − =ℝx {x|συνx 0} έχουµε: 2 2 ηµx (ηµx) συνx ηµx(συνx) συνxσυνx ηµxηµx (εφx) συνx συν x συν x ′ ′ ′− + ′ = = = 2 2 2 2 συν x ηµ x 1 συν x συν x + = = . 12 Έστω η συνάρτηση f(x) σφx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο {x|ηµx 0}− =ℝ και ισχύει 2 1 f (x) ηµ x ′ = − , δηλαδή 2 1 (σφx) ηµ x ′ = − Απάντηση Πράγµατι, για κάθε x {x|ηµx 0}∈ − =ℝ έχουµε: 2 2 2 2 2 2 συνx (συνχ) ηµx συνx(ηµx) -ηµxηµx συνxσυνx ηµ x συν x 1 (σφx) ηµx ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x = − = − ′ ′ ′− − + ′ = = = . 13 Παράγωγος Σύνθεσης ∆υο Συναρτήσεων Σε ∆ιάστηµα ∆ Απόδειξη Αν µια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆ και η f είναι παραγωγίσιµη στο g( )∆ , τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο ∆ και ισχύει ( ( ( ))) ( ( )) ( )′ ′ ′= ⋅f g x f g x g x . ∆ηλαδή, αν ( )=u g x , τότε ( ( )) ( )′ ′ ′= ⋅f u f u u . Με το συµβολισµό του Leibniz, αν y f(u)= και u g(x)= , έχουµε τον τύπο = ⋅ dy dy du dx du dx που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας. Το σύµβολο dy dx δεν είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συµπεριφέρεται ως πηλίκο, πράγµα που ευκολύνει την αποµνηµόνευση του κανόνα. 14 Να αποδείξετε ότι : Η συνάρτηση f(x) xα = , α ∈ −ℝ ℤ είναι παραγωγίσιµη στο (0, )+∞ και ισχύει 1 f (x) xα− ′ = α , Απόδειξη Αν lnx y x eα α = = και θέσουµε u lnx= α , τότε έχουµε u y e= . Εποµένως, u u lnx 11 y (e ) e u e x x x x α α α−α ′ ′ ′= = ⋅ = ⋅α ⋅ = ⋅ = α .
- 34. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 33 15 Να αποδείξετε ότι : Η συνάρτηση x f(x) = α , 0α > είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει x f (x) ln′ = α α . Απόδειξη Αν x xln y e α = α = και θέσουµε u xln= α , τότε έχουµε u y e= . Εποµένως, u u xln x y (e ) e u e ln lnα ′ ′ ′= = ⋅ = ⋅ α = α α . 16 Να αποδείξετε ότι : Η συνάρτηση f(x) ln|x|= , x *∈ ℝ είναι παραγωγίσιµη στο x *∈ ℝ και ισχύει 1 (ln|x|) x ′ = Απόδειξη — Αν x 0> , τότε 1 (ln|x|) (lnx) x ′ ′= = , ενώ — Αν x 0< , τότε ln|x| ln( x)= − , οπότε, αν θέσουµε y ln( x)= − και u x= − , έχουµε y lnu= . Εποµένως, 1 1 1 y (lnu) u ( 1) u x x ′ ′ ′= = ⋅ = − = − και άρα 1 (ln|x|) x ′ = . 17 Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆. Αν • η f είναι συνεχής στο ∆ και • f (x) 0′ = για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα ∆. Απόδειξη Αρκεί να αποδείξουµε ότι για οποιαδήποτε 1 2 x ,x ∈ ∆ ισχύει 1 2 f(x ) f(x )= . Πράγµατι • Αν 1 2 x x= , τότε προφανώς 1 2 f(x ) f(x )= . • Αν 1 2 x x< , τότε στο διάστηµα 1 2 [x ,x ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής. Εποµένως, υπάρχει 1 2 (x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε 2 1 2 1 f(x ) f(x ) f ( ) x x − ′ ξ = − . (1). Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σηµείο του ∆, ισχύει f ( ) 0′ ξ = ,οπότε, λόγω της (1), είναι 1 2 f(x ) f(x )= . Αν 2 1 x x< , τότε οµοίως αποδεικνύεται ότι 1 2 f(x ) f(x )= . Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι 1 2 f(x ) f(x )= . Σχόλιο Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων. 18 Έστω δυο συναρτήσεις f,g ορισµένες σε ένα διάστηµα ∆. Αν • οι f,g είναι συνεχείς στο ∆ και • f (x) g (x)′ ′= για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈ ∆ να ισχύει: f(x) g(x) c= + Απόδειξη Η συνάρτηση f g− είναι συνεχής στο ∆ και για κάθε εσωτερικό σηµείο x ∈ ∆ ισχύει (f g) (x) f (x) g (x) 0′ ′ ′− = − = . y O x y=g(x)+c y=g(x) 22
- 35. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 34 Εποµένως, σύµφωνα µε γνωστό θεώρηµα, η συνάρτηση f g− είναι σταθερή στο ∆. Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε x ∈ ∆ να ισχύει f(x) g(x) c− = , οπότε f(x) g(x) c= + . Σχόλιο Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων. 19 Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστηµα ∆. Αν f (x) 0′ > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆. Απόδειξη Έστω 1 2 x ,x ∈ ∆ µε 1 2 x x< . Θα δείξουµε ότι 1 2 f(x ) f(x )< . Πράγµατι, στο διάστηµα 1 2 [x ,x ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως, υπάρχει 1 2 (x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε 2 1 2 1 f(x ) f(x ) f ( ) x x − ′ ξ = − , οπότε έχουµε 2 1 2 1 f(x ) f(x ) f ( )(x x )′− = ξ − . Επειδή f ( ) 0′ ξ > και 2 1 x x 0− > , έχουµε 2 1 f(x ) f(x ) 0− > , οπότε 1 2 f(x ) f(x )< . Σχόλιο Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει. ∆ηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του ∆. Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση 3 ( )f x x= . Επειδή η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .Εντούτοις, η 2 ( ) 3f x x′ = δεν είναι θετική στο ℝ , αφού (0) 0f ′ = . 20 Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστηµα ∆. Αν f (x) 0′ < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το ∆. Απόδειξη Έστω 1 2 x ,x ∈ ∆ µε 1 2 x x< . Θα δείξουµε ότι 1 2 f(x ) f(x )> . Πράγµατι, στο διάστηµα 1 2 [x ,x ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως, υπάρχει 1 2 (x ,x )ξ ∈ τέτοιο ώστε 2 1 2 1 f(x ) f(x ) f ( ) x x − ′ ξ = − , οπότε έχουµε 2 1 2 1 f(x ) f(x ) f ( )(x x )′− = ξ − . Επειδή f ( ) 0′ ξ < και 2 1 x x 0− > , έχουµε 2 1 f(x ) f(x ) 0− < , οπότε 1 2 f(x ) f(x )> . Σχόλιο Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει. ∆ηλαδή, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του ∆. Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση 3 ( )f x x= − . Επειδή η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .Εντούτοις, η 2 ( ) 3f x x′ = − δεν είναι αρνητική στο ℝ , αφού (0) 0f ′ = . 21 Θεώρηµα Fermat Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ’ ένα διάστηµα ∆ και 0 x ένα εσωτερικό σηµείο του ∆. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0 x και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: 0 f (x ) 0′ =
- 36. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 35 Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι η f παρουσιάζει στο 0 x τοπικό µέγιστο. Επειδή το 0 x είναι εσωτερικό σηµείο του ∆ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό µέγιστο, υπάρχει 0δ > τέτοιο, ώστε: 0 0 (x ,x )− δ + δ ⊆ ∆ και 0 f(x) f(x )≤ , για κάθε 0 0 x (x ,x )∈ − δ + δ . (1) Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 x , ισχύει 0 0 0 0 0 x x x x 0 0 f(x) f(x ) f(x) f(x ) f (x ) lim lim x x x x− + → → − − ′ = = − − . Εποµένως, — αν 0 0 x (x ,x )∈ − δ , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0 0 f(x) f(x ) 0 x x − ≥ − , οπότε θα έχουµε 0 0 0 x x 0 f(x) f(x ) f (x ) lim 0 x x− → − ′ = ≥ − . (2) — αν 0 0 x (x ,x )∈ + δ , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0 0 f(x) f(x ) 0 x x − ≤ − , οπότε θα έχουµε 0 0 0 x x 0 f(x) f(x ) f (x ) lim 0 x x+ → − ′ = ≤ − . (3) Έτσι, από τις (2) και (3) έχουµε 0 f (x ) 0′ = . Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη. 22 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του 0 x , στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Αν f (x) 0′ > στο 0 ( ,x )α και f (x) 0′ < στο 0 (x , )β , τότε το 0 f(x ) είναι τοπικό µέγιστο της f. Απόδειξη Επειδή f (x) 0′ > για κάθε 0 x ( ,x )∈ α και η f είναι συνεχής στο 0 x , η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0 ( ,x ]α . Έτσι έχουµε 0 f(x) f(x )≤ , για κάθε 0 x ( ,x ]∈ α (1). Επειδή f (x) 0′ < για κάθε 0 x (x , )∈ β και η f είναι συνεχής στο 0 x , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 [x , )β . Έτσι έχουµε: 0 f(x) f(x )≤ , για κάθε 0 x [x , )∈ β (2). y O f(x0) f΄<0 f΄>0 βa x0 x y O f΄<0f΄>0 βa x0 x f(x0) Εποµένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: 0 f(x) f(x )≤ , για κάθε x ( , )∈ α β , που σηµαίνει ότι το 0 f(x ) είναι µέγιστο της f στο ( , )α β και άρα τοπικό µέγιστο αυτής. 23 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του 0 x , στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Αν f (x) 0′ < στο 0 ( ,x )α και f (x) 0′ > στο 0 (x , )β , τότε το 0 f(x ) είναι τοπικό ελάχιστο της f . Απόδειξη Επειδή f (x) 0′ < για κάθε 0 x ( ,x )∈ α και η f είναι συνεχής στο 0 x , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 ( ,x ]α . Έτσι έχουµε 0 f(x) f(x )≥ , για κάθε 0 x ( ,x ]∈ α (1). Επειδή f (x) 0′ > για κάθε 0 x (x , )∈ β και η f
- 37. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 36 είναι συνεχής στο 0 x , η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0 [x , )β . Έτσι έχουµε: 0 f(x) f(x )≥ , για κάθε 0 x [x , )∈ β (2). y O f΄<0 f΄>0 βa x0 x y O f΄<0 f΄>0 βa x0 x Εποµένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: 0 f(x) f(x )≥ , για κάθε x ( , )∈ α β , που σηµαίνει ότι το 0 f(x ) είναι ελάχιστο της f στο ( , )α β και άρα τοπικό ελάχιστο αυτής. 24 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( , )α β , µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του 0 x , στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Aν η f (x)′ διατηρεί πρόσηµο στο 0 0 ( ,x ) (x , )α ∪ β , τότε το 0 f(x ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως µονότονη στο ( , )α β . Απόδειξη Έστω ότι f (x) 0′ > , για κάθε 0 0 x ( ,x ) (x , )∈ α ∪ β . y O f΄>0 f΄>0 βa x0 x y O f΄>0 f΄>0 βa x0 x Επειδή η f είναι συνεχής στο 0 x θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήµατα 0 ( ,x ]α και 0 [x , )β . Εποµένως, για 1 0 2 x x x< < ισχύει 1 0 2 f(x ) f(x ) f(x )< < . Άρα το 0 f(x ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουµε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( , )α β . Πράγµατι, έστω 1 2 x ,x ( , )∈ α β µε 1 2 x x< . — Αν 1 2 0 x ,x ( ,x ]∈ α , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0 ( ,x ]α , θα ισχύει 1 2 f(x ) f(x )< . — Αν 1 2 0 x ,x [x , )∈ β , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0 [x , )β , θα ισχύει 1 2 f(x ) f(x )< . — Τέλος, αν 1 0 2 x x x< < , τότε όπως είδαµε 1 0 2 f(x ) f(x ) f(x )< < . Εποµένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει 1 2 f(x ) f(x )< , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( , )α β . Οµοίως, αν f (x) 0′ < για κάθε 0 0 x ( ,x ) (x , )∈ α ∪ β .
- 38. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 37 Ηµεροµηνία: / / . Ε Ορισµοί Στα Ολοκληρώµατα 1 Αρχική Συνάρτηση Απάντηση Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο ∆ ονοµάζουµε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιµη στο ∆ και ισχύει:F'(x) f(x)= , για κάθε x ∈ ∆ . 2 Πίνακας Παραγουσών Βασικών Συναρτήσεων Απάντηση Α/Α Συνάρτηση Παράγουσα 1 ( ) =f x 0 ( )F x c, c= ∈ ℝ 2 ( ) =f x 1 ( )F x x c, c= + ∈ ℝ 3 ( ) = 1 f x x ( )F x ln x c, c= + ∈ ℝ 4 ( ) a f x x ,a 1= ≠ − ( ) a 1 x F x c, c a 1 + = + ∈ + ℝ 5 ( ) = συνf x x ( )F x x c, c= ηµ + ∈ ℝ 6 ( ) = ηµf x x ( )F x x c, c= −συν + ∈ ℝ 7 ( ) = συν2 1 f x x ( )F x x c, c= εϕ + ∈ ℝ 8 ( ) = ηµ2 1 f x x ( )F x x c, c= −σϕ + ∈ ℝ 9 ( ) = x f x e ( ) x F x e c, c= + ∈ ℝ 10 ( ) = x f x a ( ) x a F x c, c F lna = + ∈ ℝ Σχόλια: α) Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστηµα στο οποίο οι παραστάσεις του x που εµφανίζονται έχουν νόηµα. β) Αν οι συναρτήσεις F και G είναι παράγουσες των f και g αντιστοίχως και ο λ είναι ένας πραγµατικός αριθµός, τότε: i) Η συνάρτηση F +G είναι µια παράγουσα της συνάρτησης f + g και ii) Η συνάρτηση λF είναι µια παράγουσα της συνάρτησης λf. 3 Ορισµένο Ολοκλήρωµα Απάντηση Έστω µια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς στο [ , ]α β . Με τα σηµεία 0 1 2 x x x ... xν α = < < < < = β χωρίζουµε το διάστηµα [ , ]α β σε ν ισοµήκη υποδιαστήµατα µήκους x β − α ∆ = ν . Στη συνέχεια επιλέγουµε αυθαίρετα ένα 1 [x ,x ]κ κ− κ ξ ∈ , για κάθε {1,2,..., }κ ∈ ν , και σχηµατίζουµε το άθροισµα 1 2S f( ) x f( ) x f( ) x f( ) x⋯ ⋯ν κ ν= ξ ∆ + ξ ∆ + + ξ ∆ + + ξ ∆ xv-1 ξv y=f(x) ξk ξ2ξ1 x2x1 xva=x0O y
- 39. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 38 το οποίο συµβολίζεται, σύντοµα, ως εξής: 1 S f( ) x ν ν κ κ= = ξ ∆∑ . Το όριο του αθροίσµατος Sν , δηλαδή το 1 lim ( ) →∞ = ∑ ν κ ν κ f ξ ∆x υπάρχει στο ℝ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάµεσων σηµείων κξ . Το παραπάνω όριο ονοµάζεται ορισµένο ολοκλήρωµα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συµβολίζεται µε f(x)dx β α∫ και διαβάζεται “ολοκλήρωµα της f από το α στο β”. ∆ηλαδή, 1 f(x)dx lim f( ) x νβ κα ν→∞ κ= = ξ ∆∑∫ . Σχόλιο: Το σύµβολο ∫ οφείλεται στον Leibniz και ονοµάζεται σύµβολο ολοκλήρωσης. Αυτό είναι επιµήκυνση του αρχικού γράµµατος S της λέξης Summa (άθροισµα). Οι αριθµοί α και β ονοµάζονται όρια της ολοκλήρωσης. Η έννοια “όρια” εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του 2ου κεφαλαίου. Στην έκφραση ( )f x dx β α∫ το γράµµα x είναι µια µεταβλητή και µπορεί να αντικατασταθεί µε οποιοδήποτε άλλο γράµµα. Έτσι, για παράδειγµα, οι εκφράσεις ( )f x dx β α∫ , ( )f t dt β α∫ συµβολίζουν το ίδιο ορισµένο ολοκλήρωµα και είναι πραγµατικός αριθµός, σε αντίθεση µε το ( )f x dx∫ που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. 4 Γεωµετρική Ερµηνεία Ορισµένου Ολοκληρώµατος Απάντηση Αν ( ) 0f x ≥ για κάθε [ , ]x α β∈ , τότε το ολοκλήρωµα ( )f x dx β α∫ δίνει το εµβαδόν ( )E Ω του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x x′ και τις ευθείες x α= και x β= (Σχ. 11). ∆ηλαδή, 5 Υπολογισµός του Ολοκληρώµατος f(x)dx β α∫ Απάντηση Το ( )f x dx β α∫ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον x’x µείον το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x’x 6 Ιδιότητες Του Ολοκληρώµατος f(x)dx β α∫ Απάντηση • f(x)dx f(x)dx β α α β = −∫ ∫ • f(x)dx 0 α α =∫ 7 Ιδιότητες Πράξεων Συναρτήσεων Απάντηση Έστω f,g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [ , ]α β και ,λ µ ∈ ℝ . Τότε ισχύουν: • f(x)dx f(x)dx β β α α λ = λ∫ ∫ Αν ( ) 0f x ≥ , τότε ( ) ( ) 0E f x dx β α Ω = ≥∫ . βα Ω O x y=f(x) y
- 40. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 39 • [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx β β β α α α ± = ±∫ ∫ ∫ και γενικά • [ f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx β β β α α α λ + µ = λ + µ∫ ∫ ∫ 8 «∆ιάσπαση» Ολοκληρώµατος Απάντηση Αν η f είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστηµα ∆ και , ,α β γ ∈ ∆ , τότε ισχύει f(x)dx f(x)dx f(x)dxβ γ β α α γ = +∫ ∫ ∫ Σηµείωση: Αν ( ) 0f x ≥ και α γ β< < , η παραπάνω ιδιότητα δηλώνει ότι: 1 2( ) ( ) ( )Ε Ω = Ε Ω + Ε Ω 9 Ανισότητες Και Ολοκληρώµατα Απάντηση α) Έστω f µια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστηµα [ , ]α β . • Αν f(x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε f(x)dx 0 β α ≥∫ . • Αν f(x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β και η συνάρτηση f δεν είναι παντού µηδέν στο διάστηµα αυτό, τότε f(x)dx 0 β α >∫ . β) Έστω f και g δυο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστηµα [ , ]α β • Αν ( )xf(x) g≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε f(x)dx g(x)dx β β α α ≥∫ ∫ . • Αν επιπλέον οι συναρτήσεις ∆ΕΝ είναι παντού ίσες (δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ) ( )[ , ] : f gξ ≠ ξξ∈ α β , τότε θα ισχύει f(x)dx g(x)dx β β α α >∫ ∫ 10 Συνάρτηση Ολοκλήρωµα Απάντηση Η συνάρτηση x F(x) f(t)dtα = ∫ , x ∈ ∆ , είναι συνεχής και είναι µια παράγουσα της f στο ∆. ∆ηλαδή ( )x f(x)f(t)dtα ′ =∫ 11 Τύπος Παραγοντικής Ολοκλήρωσης Απάντηση Ισχύει ότι: f(x)g (x)dx [f(x)g(x)] f (x)g(x)dx β ββ αα α ′ ′= −∫ ∫ , όπου f ,g′ ′ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [ , ]α β . 12 Τύπος Αντικατάστασης Απάντηση Ισχύει ότι: 2 1 u u f(g(x))g (x)dx f(u)du β α ′ =∫ ∫ , όπου f,g′ είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(x)= , du g (x)dx′= και 1 u g( )= α , 2 u g( )= β . 13 Εµβαδόν Χωρίου από Cf, x’x, x=α, x=β και ≥f(x) 0 Απάντηση Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [ , ]α β και f(x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f , τις ευθείες x = α , x = β και τον άξονα x x′ είναι E( ) f(x)dx β α Ω = ∫ . βγα Ω2Ω1 O x y=f(x) y β Ω αO x y=f(x) y
- 41. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 40 14 Εµβαδόν Χωρίου από Cf, x’x, x=α, x=β Απάντηση Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [ , ]α β για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f , τις ευθείες x = α , x = β και τον άξονα x x′ είναι E( ) f(x)dx β α Ω = ∫ . • Αν ( )f x 0≥ το εµβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη fC και τις ευθείες x α,x β= = και τον άξονα xx′ είναι ( ) ( ) β α E f x dxΩ = ∫ . • Αν ( )f x 0≤ το εµβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη fC και τις ευθείες x α,x β= = και τον άξονα xx′είναι ( ) ( )( ) β α E f x dxΩ = −∫ . • Αν η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [ ]α,β το εµβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη fC και τις ευθείες x α,x β= = και τον άξονα xx′είναι ( ) ( ) β α E f x dxΩ = ∫ . 15 Εµβαδόν Χωρίου από Cf, Cg, x=α, x=β Απάντηση Έστω δυο συνεχείς συναρτήσεις f και g, στο διάστηµα [ , ]α β µε ( ) ( ) 0f x g x≥ ≥ για κάθε [ , ]x α β∈ και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των ,f g και τις ευθείες x α= και x β= (Σχ. 13α). Ω (α) O x y=g(x) y=f(x) y Ω1 (β) O x y=f(x) y Ω2 (γ) O x y=g(x) y 13 Παρατηρούµε ότι 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))f x dx g x dx f x g x dx β β β α α α Ε Ω = Ε Ω −Ε Ω = − = −∫ ∫ ∫ . Εποµένως, ( ) ( ( ) ( ))E f x g x dx β α Ω = −∫ . 16 Εµβαδόν Χωρίου από Cf, Cg, x=α, x=β, αν η διαφορά f(x)-g(x) δεν έχει σταθερό πρόσηµο Απάντηση Έστω f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [ ]α,β και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις f gC ,C και τις ευθείες x α= και x β= .Αν η διαφορά ( ) ( )f x g x− δεν έχει σταθερό πρόσηµο στο διάστηµα [ ]α,β , τότε Ε(Ω)= ( ) ( ) β α f x g x dx−∫ .
- 42. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 41 Ηµεροµηνία: / / . ΣΤ Αποδείξεις Στα Ολοκληρώµατα 1 Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο ∆, να αποδείξετε ότι: • Όλες οι συναρτήσεις της µορφής G(x) F(x) c= + , c∈ ℝ , είναι παράγουσες της f στο ∆ . • Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο ∆ παίρνει τη µορφή G(x) F(x) c= + , c∈ ℝ . Απόδειξη Κάθε συνάρτηση της µορφής G(x) F(x) c= + , όπου c∈ ℝ , είναι µια παράγουσα της f στο ∆, αφού G'(x) (F(x) c)' F '(x) f(x)= + = = , για κάθε x ∈ ∆ . • Έστω G είναι µια άλλη παράγουσα της f στο ∆. Τότε , για κάθε x ∈ ∆ ισχύουν οι σχέσεις F (x) f(x)′ = και G (x) f(x)′ = , οπότε: G'(x) F'(x)= , για κάθε x ∈ ∆ . Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G(x) F(x) c= + , για κάθε x ∈ ∆ . 2 Θεµελιώδες θεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστηµα [ , ]α β . Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [ , ]α β , να αποδείξετε ότι: f(t)dt G( ) G( ) β α = β − α∫ Απόδειξη Σύµφωνα µε γνωστό θεώρηµα, η συνάρτηση x F(x) f(t)dtα= ∫ είναι µια παράγουσα της f στο [ , ]α β . Επειδή και η G είναι µια παράγουσα της f στο [ , ]α β , θα υπάρχει c ∈ ℝ τέτοιο, ώστε G(x) F(x) c= + (1) Από την (1), για x = α , έχουµε G( ) F( ) c f(t)dt c c α α α = α + = + =∫ , οπότε c G( )= α . Εποµένως, G(x) F(x) G( )= + α , οπότε, για x = β , έχουµε G( ) F( ) G( ) f(t)dt G( ) β αβ = β + α = + α∫ και άρα f(t)dt G( ) G( ) β α = β − α∫ . 3 Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις f,g είναι f(x) g(x)≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g και τις ευθείες x = α ,x = β δίνεται από τον τύπο:E( ) (f(x) g(x))dx β α Ω = −∫ . Απόδειξη Επειδή οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [ , ]α β , θα υπάρχει αριθµός c ∈ ℝ τέτοιος, ώστε f(x) c g(x) c 0+ ≥ + ≥ , για κάθε x [ , ]∈ α β . Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω (Σχ. 3α) έχει το ίδιο εµβαδόν µε το χωρίο ′Ω .
- 43. Ο Τσελεµεντές ΤουΤποψηφίου Ορισµοί-Ιδιότητες-Αποδείξεις Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 42 βα ( α ) Ω O x y y = g ( x ) y = f ( x ) βα ( β ) Ω O x y y = f ( x ) + c y = g ( x ) + c 3 Εποµένως, θα έχουµε: ( ) ( ) [(f(x) c) (g(x) c)]dx (f(x) g(x))dx β β α α ′Ε Ω = Ε Ω = + − + = −∫ ∫ . Άρα E( ) (f(x) g(x))dxβ α Ω = −∫ . 4 Να αποδείξετε ότι όταν η διαφορά f(x) g(x)− δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [ , ]α β , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g και τις ευθείες x = α και x = β είναι ίσο µε E( ) |f(x) g(x)|dx β α Ω = −∫ . Απόδειξη Όταν η διαφορά ( ) ( )f x g x− δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [ , ]α β , όπως στο Σχήµα 4, τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των ,f g και τις ευθείες x α= και x β= είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων 1 2,Ω Ω και 3Ω . ∆ηλαδή, 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )Ε Ω = Ε Ω + Ε Ω + Ε Ω ( ( ) ( ))f x g x dx γ α = −∫ ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))g x f x dx f x g x dx δ β γ δ + − + −∫ ∫ | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x g x dx f x g x dx f x g x dx γ δ β α γ δ = − + − + −∫ ∫ ∫ | ( ) ( ) |f x g x dx β α = −∫ Εποµένως, ( ) | ( ) ( ) |E f x g x dx β α Ω = −∫ Σχόλιο Σύµφωνα µε τα παραπάνω το ( )f x dx β α∫ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x′ µείον το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x′ (Σχ. 25). 5 Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα x x′ , τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης g, µε g(x) 0≤ για κάθε ∈ α βx [ , ] και τις ευθείες x = α και x = β είναι ίσο µε: E( ) g(x)dx β α Ω = −∫ Απόδειξη Πράγµατι, επειδή ο άξονας x x′ είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) 0= , έχουµε E( ) (f(x) g(x))dx β α Ω = −∫ [ g(x)]dx g(x)dx β β α α = − = −∫ ∫ . Εποµένως, αν για µια συνάρτηση g ισχύει g(x) 0≤ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε: E( ) g(x)dx β α Ω = −∫ y=g(x) y=f(x) Ω3 O Ω2 Ω1 y xδ βα γ 4 x− + − + β a y Ο 25 β Ω α O x y=g(x) y 21
- 44. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 43 Ηµεροµηνία: / / . Θ1 Θέµατα Θεωρίας Στις Συναρτήσεις Α Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Α-1 Α. Το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f είναι το σύνολο Α των τετµηµένων των σηµείων της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης. Β. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης –f είναι συµµετρική, ως προς τον άξονα x΄x, της γραφικής παράστασης της f. Γ. Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f :A → ℝ και g:B → ℝ , αν ορίζεται η συνάρτηση f g , τότε έχει πεδίο ορισµού την τoµή A B∩ . ∆. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού IR και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες. Σ-Σ-Λ-Λ Α-2 Α. Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof), τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ( ) ( )ho gof hog of= . Β. Το πεδίο ορισµού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισµού της f, για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισµού της g. Γ. Ισχύει ότι: ηµx x≤ για κάθε x ∈ℝ . ∆. Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σηµείο µε τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f. Ε. Για µια οποιαδήποτε 1 1− συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A ισχύουν: 1 1 fof f of− − = . Σ-Σ-Σ-Σ-Λ Α-3 Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται από τα τµήµατα της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x′ και από τα συµµετρικά, ως προς τον άξονα x x′ , των τµηµάτων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω από αυτόν τον άξονα. Β. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x ∈∆ µε 1 2x x< ισχύει: ( ) ( )1 2f x f x< . Γ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδία ορισµού Α, Β αντίστοιχα, τότε η gof ορίζεται αν ( )f A B∩ ≠ ∅ . ∆. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της, αν υπάρχουν 1 2x ,x ∈∆ µε 1 2x x< , ώστε ( ) ( )1 2f x f x< . Σ-Λ-Σ-Λ
- 45. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 44 Α-4 Α. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισµού το [ ]0,1 και σύνολο τιµών το [ ]2,3 , τότε ορίζεται η fog µε πεδίο ορισµού το [ ]0,1 και σύνολο τιµών το [ ]2,3 . Β. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ . Αν το σύνολο τιµών της f είναι υποσύνολο του πεδίου ορισµού της g , τότε ορίζεται η σύνθεση της g µε την f . Γ. Αν f,g είναι δυο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού ,Α Β αντίστοιχα, τότε ονοµάζουµε σύνθεση της f µε την g , και τη συµβολίζουµε fog τη συνάρτηση ( )( ) ( )( )fog x f g x= . ∆. Αν για µια συνάρτηση f :A → ℝ ισχύει ( )f x κ≤ όπου κ∈ℝ για κάθε x A∈ , τότε το κ είναι η µέγιστη τιµή της f . Λ-Λ-Λ-Λ Α-5 Α. Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι παρουσιάζει στο 0x A∈ (ολικό) µέγιστο το f(x0), όταν ( ) ( )0f x f x≤ για κάθε x A∈ . Β. Mία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι παρουσιάζει στο xo A∈ (ολικό) ελάχιστο, το f(xο), όταν ( ) ( )0f x f x< για κάθε x A∈ . Γ. Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x0∈A, όταν ( ) ( )0f x f x≥ για κάθε x∈A. ∆. Αν µια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) µέγιστο, τότε αυτό θα είναι το µεγαλύτερο από τα τοπικά της µέγιστα. Σ-Λ-Σ-Σ Α-6 Α. Ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης f µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της f. Β. Αν για µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α ισχύει ( ) ( )0f x f x≤ για κάθε x A∈ µε 0x A∈ τότε λέµε ότι στη θέση x0 η f παρουσιάζει µέγιστο µε τιµή f(x0). Γ. Η συνάρτηση ( )f x ηµx= µε x ∈ℝ έχει µία µόνο θέση ολικού µεγίστου. ∆. Το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα µιας συνάρτησης είναι πάντοτε το µέγιστο αυτής. Σ-Σ-Λ-Λ Α-7 Α. Μια συνάρτηση f :A → ℝ είναι “1 – 1” αν και µόνο αν για κάθε 1 2x ,x A∈ ισχύει η συνεπαγωγή: αν 1 2x x= τότε ( ) ( )1 2f x f x= . Β. Μια συνάρτηση f : A → ℝ είναι «1 – 1» όταν για κάθε 1 2x ,x A∈ ισχύει η συνεπαγωγή: ( ) ( )1 2f x f x= τότε 1 2x x= . Γ. Μία συνάρτηση f:A → ℝ λέγεται συνάρτηση 1 – 1, όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ ισχύει η συνεπαγωγή: αν 1 2x x≠ , τότε ( ) ( )1 2f x f x≠ . ∆. Αν για µια συνάρτηση f ισχύει η ισοδυναµία ( ) ( )α β f α f β= ⇔ = , τότε η συνάρτηση f είναι 1 – 1.
- 46. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 45 Λ-Σ-Σ-Σ Α-8 α. Μια συνάρτηση είναι 1-1, αν και µόνο αν δεν υπάρχουν σηµεία της γραφικής της παράστασης µε ίδια τεταγµένη. β. Αν µια συνάρτηση f είναι 1 – 1 στο πεδίο ορισµού της, τότε υπάρχουν σηµεία της γραφικής παράστασης της f µε την ίδια τεταγµένη. γ. Μια συνάρτηση f:A → ℝ είναι 1–1, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς µία λύση ως προς x . δ. Αν για κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιµών της f(x), η ( )f x ψ= έχει λύση ως προς x τότε η f είναι 1 – 1. Σ-Λ-Σ-Λ Α-9 Α. Η συνάρτηση f είναι 1 – 1, αν και µόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σηµείο. Β. Μια συνάρτηση f είναι 1 – 1, αν και µόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της, η εξίσωση x = f(y) έχει ακριβώς µια λύση ως προς x. Γ. Αν µια συνάρτηση f: →ℝ ℝ είναι ‘1 – 1’, τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σηµείο. ∆. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1–1, αλλά δεν είναι γνησίως µονότονες. Σ-Λ-Σ-Σ Α-10 Α. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆, τότε είναι και 1 – 1 στο διάστηµα αυτό. Β. Κάθε συνάρτηση, που είναι 1 – 1 στο πεδίο ορισµού της, είναι γνησίως µονότονη. Γ. Αν η f είναι µια αντιστρέψιµη συνάρτηση µε σύνολο τιµών το ℝ , τότε η γραφική παράσταση της f και η ευθεία µε εξίσωση y 2018= έχουν ένα και µοναδικό κοινό σηµείο. ∆. Αν f: →ℝ ℝ µια αντιστρέψιµη συνάρτηση, τότε οι συναρτήσεις 1 f of− και 1 fof − ορίζονται πάντα και είναι ίσες. Σ-Λ-Σ-Λ Α-11 Α. Μία συνάρτηση f: →ℝ ℝ είναι συνάρτηση 1 1− αν και µόνο αν για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ ισχύει η συνεπαγωγή: αν 1 2x x= τότε ( ) ( )1 2f x f x= . Β. Για µια οποιαδήποτε 1 1− συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A ισχύουν: 1 1 fof f of− − = . Γ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f–1 είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y x= που διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄. ∆. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f-1 και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σηµείο Α µε την ευθεία y x= , τότε το σηµείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f-1. Λ-Λ-Σ-Σ
- 47. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 46 Α-12 Α. Αν µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α έχει αντίστροφη, τότε f-1 (f(x)) = x, για κάθε x A∈ . Β. Αν µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α έχει αντίστροφη, τότε ( )( ) ( )1 f f x x, x f A− = ∈ Γ. Αν µια συνάρτηση f: A → ℝ είναι 1 – 1, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f-1 ισχύει: ( )( )1 f f x x, x A− = ∈ και ( )( ) ( )1 f f y y, y f A− = ∈ . ∆. Αν µια συνάρτηση f :A → ℝ έχει αντίστροφη συνάρτηση f-1 , τότε η f είναι γνησίως µονότονη στο Α. Σ-Λ-Σ-Λ Α-13 Α. Αν ένα σηµείο Μ(α,β) ανήκει στη γραφική παράσταση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f, τότε το σηµείο Μ΄(β,α) ανήκει στη γραφική παράσταση C΄ της 1 f − . Β. Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f–1 είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία που διχοτοµεί τις γωνίες xOy’ και x΄Oy. Γ. Αν η συνάρτηση f : A → ℝ αντιστρέφεται τότε ισχύει ( )( )1 f f x x,x A− = ∈ . ∆. Αν f : A → ℝ και ( )1 f :f A− → ℝ η αντίστροφη, τότε ισχύει: ( )( )1 f f x x− = , για κάθε x A∈ . Σ-Λ-Λ-Λ Α-14 Α. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0, τότε ισχύει 0 0x x x x lim f(x) lim f(x) → → = . Β. Ισχύει ( )0 0 x x h 0 lim f(x) limf x hl l → → = ⇔ + = . Γ. Αν ( )g x α≠ κοντά στο x0 µε 0x x lim g(x) α → = και y α limf(y) l → = τότε 0x x lim f(g(x)) l → = . ∆. Αν υπάρχει το όριο της f στο x0, τότε 0 0 k k x x x x lim f(x) lim f(x) → → = , εφόσον f(x) 0≥ κοντά στο x0, µε k ∈ℕ και k 2≥ . Σ-Σ-Σ-Σ Α-15 Α. Αν υπάρχει το ( )0x x lim f(x) g(x) → ⋅ τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν τα 0x x lim f(x) → και 0x x lim g(x) → . Β. Αν υπάρχει το ( )0x x lim f(x) g(x) → + , τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν τα 0x x lim f(x) → και 0x x lim g(x) → . Γ. 0x x lim f(x) l → = , αν και µόνο αν 0 0x x x x lim f(x) lim f(x) l− + → → = = . ∆. Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σ’ ένα σύνολο της µορφής ( ) ( )0 0α,x x ,β∪ και l ένας πραγµατικός αριθµός. Τότε ισχύει η ισοδυναµία: ( )0 0x x x x lim f(x) lim f(x) 0l l → → = ⇔ − = . Λ-Λ-Λ-Σ
- 48. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 47 Α-16 Α. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο xo, τότε ισχύει: ( )0 0 0x x x x x x lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) → → → + = + Β. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο xo, τότε ισχύει: ( )0 0 0x x x x x x lim f(x) g(x) lim f(x)- lim g(x) → → → ⋅ = Γ. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο x0, τότε ισχύει: 0 0 0 x x x x x x lim f(x)f(x) lim g(x) lim g(x) → → → = , εφόσον 0x x lim g(x) 0 → ≠ . ∆. Αν υπάρχει το 0x x lim f(x) 0 → > , τότε ( )f x 0> κοντά στο x0. Σ-Λ-Σ-Σ Α-17 Α. Αν 0x x lim f(x) 0 → < , τότε ( )f x 0< κοντά στο x0. Β. Αν 0 0x x x x lim f(x) lim g(x) → → < τότε ( ) ( )f x g x< κοντά στο x0 . Γ. Αν υπάρχει το 0x x lim f(x) 0 → = , τότε υπάρχει το όριο της f(x) στο x0 και είναι 0x x lim f(x) 0 → = . ∆. Αν f(x) > 0 κοντά στο x0, τότε κατ’ ανάγκη ( )0x x lim f x 0 → > . Σ-Σ-Σ-Λ Α-18 Α. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο x0 και ισχύει ( ) ( )f x g x≤ κοντά στο x0, τότε ( ) ( )0 0x x x x lim f x lim g x → → ≤ . Β. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο x0 και ισχύει ( ) ( )f x g x< κοντά στο x0, τότε ( ) ( )0 0x x x x lim f x lim g x → → ≤ . Γ. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο xo και ισχύει ( ) ( )f x g x≤ κοντά στο xο, τότε 0 0x x x x lim f(x) lim g(x) → → > . ∆. Αν ( ) ( )0 0x x x x lim f x lim g x → → = , τότε πάντα ισχύει ( ) ( )f x g x= κοντά στο x0. Σ-Σ-Λ-Λ Α-19 Α. Ισχύει x 0 συνx 1 lim 1 x→ − = . Β. Ισχύει x 0 ηµx lim 0 x→ = . Γ. Ισχύει x 0 συνx 1 lim 0 x→ − = . ∆. Ισχύει x 0 1 συνx lim 0 x→ − = . Λ-Λ-Σ-Σ
- 49. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 48 Α-20 Α. Ισχύει ότι x 0 1 lim x ηµx→ = −∞ − . Β. ηµx x< , για κάθε x ∈ℝ . Γ. Αν 0x x lim f(x) → = +∞ ή -∞ τότε ( )f x 0≠ για τις τιµές του x κοντά στο x0 . ∆. Αν 0x x lim f(x)=+ → ∞ ή −∞ , τότε 0x x 1 lim =0 f(x)→ . Ε. Αν ( )0x x lim f x → = +∞, τότε ισχύει ότι ( )0x x lim f x ή → = +∞ − ∞. Λ-Λ-Σ-Σ-Λ Α-21 Α. Αν 0x x lim f(x) → = −∞ , τότε ( )0x x lim f(x) → − = +∞. Β. Αν ( )0x x lim f x → = −∞ , τότε ( )f x 0> κοντά στο x0. Γ. Αν 0x x lim f(x) → = +∞ , τότε ( )f x 0< κοντά στο x0. ∆. Αν για συνάρτηση f ισχύει ότι: ( )0x x lim f x → = −∞ τότε η ( )f x 0< κοντά στο 0x ∈ℝ . Σ-Λ-Λ-Σ Α-22 Α. Αν για µια συνάρτηση f ισχύει ότι ( )0x x lim f x → = +∞ ή ( )0x x lim f x → = −∞ τότε η συνάρτηση f δεν ορίζεται στο σηµείο x0. Β. Έστω µια συνάρτηση f που είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής ( ) ( )0 0α,x x ,β∪ . Ισχύει η ισοδυναµία ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x x x x x lim f x lim f x lim f x− +→ → → = −∞ ⇔ = = −∞ Γ. Έστω f πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το ∆ και xο∈∆ Έστω επίσης ( )f x 0≠ για κάθε x ∈∆ . Αν 0x x lim f(x) → = +∞ τότε 0x x 1 lim f(x)→ = −∞ . ∆. Αν είναι 0x x lim f(x) → = −∞ , τότε 0x x lim f(x) → = +∞ . Λ-Σ-Λ-Σ Α-23 Α. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f : →ℝ ℝ και g : →ℝ ℝ , αν ( )0x x lim f x 0 → = και ( )0x x lim g x → = +∞ , τότε ( ) ( )0x x lim f x g x 0 → ⋅ = . Β. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f,g : →ℝ ℝ ισχύει: Αν ( )0x x lim f x → = +∞ και ( )0x x lim g x → = +∞ τότε: ( ) ( )0x x lim f x g x 0 → − = Γ. Αν ( )0x x lim f x → = +∞, τότε ισχύει ότι ( )0x x lim f x ή → = +∞ − ∞. ∆. Αν ( )0x x lim f x 0 → = τότε ισχύει ( )0x x 1 lim f x→ = −∞. Λ-Λ-Λ-Λ
- 50. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 49 Α-24 Α. Αν 0x x lim f(x) 0 → = και ( )f x 0< κοντά στο x0 τότε 0x x 1 lim f(x)→ = +∞ . Β. Αν 0x x lim f(x) 0 → = και ( )f x 0> κοντά στο x0, τότε 0x x 1 lim f(x)→ = +∞ . Γ. Αν ( )0x x lim f x 0 → = και ( )f x 0> κοντά στο x0, τότε ( )0x x 1 lim f x→ = −∞. ∆. Αν ( )0x x lim f x 0 → = και ( )f x 0> κοντά στο x0 τότε το ( )0x x 1 lim 0 f x→ = . Λ-Σ-Λ-Λ Α-25 Α. Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύει ( ) ( )0x x f x lim g x→ = +∞ , µε { }0x ,∈ ∪ −∞ +∞ℝ , τότε ( ) ( )0x x g x lim 0 f x→ = . Β. Αν ισχύει ( )0 0 x x x x lim f x 1→ − ∈ − ℝ , τότε υποχρεωτικά ισχύει ( )0x x lim f x 1 → = . Γ. Για κάθε συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( )0x x lim f x 0 → = , µε { }0x ,∈ ∪ −∞ +∞ℝ , τότε ισχύει ότι ( )0x x 1 lim f x→ = +∞ή ( )0x x 1 lim f x→ = −∞. ∆. Αν 0 α 1< < τότε x x lim α 0 →−∞ = . Σ-Λ-Λ-Λ Α-26 Α. Αν είναι 0 α 1< < , τότε x x lim α →+∞ = +∞ . Β. Αν 0 < α < 1 τότε α x lim log x →+∞ = +∞ . Γ. Αν α 1> , τότε x x lim α →+∞ = +∞ . ∆. Αν α 1> τότε x x lim α 0 →−∞ = . Λ-Λ-Σ-Σ Α-27 Α. Είναι x x lim e →−∞ = +∞ . Β. Ισχύει ότι: x ηµx lim 1 x→+∞ = . Γ. x 0 limlnx → = +∞ . ∆. Αν η f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο x0, τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο x0 πάντοτε. Λ-Λ-Λ-Λ Α-28 Α. Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη στο ( )α,β και ισχύουν ( )f x 0≠ για κάθε ( )x α,β∈ και ( ) ( )x α x β limf x limf x 0 → → ⋅ < , τότε η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστηµα ( )α,β .
- 51. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 50 Β. Αν α,β,γ∈ℝ και ισχύουν ( )x α limf x β → = και ( )x β limg x γ → = , τότε ισχύει ( )( )x α lim gof x γ → = . Γ. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και ( )0f x 0> , τότε ( )f x 0> για τις τιµές του x κοντά στο x0 . ∆. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]α,β και υπάρχει ( )0x α,β∈ τέτοιο ώστε ( )0f x 0= , τότε ( ) ( )f α f β 0⋅ < . Σ-Σ-Σ-Λ Α-29 Α. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν ( ) ( )f α f β 0⋅ < και ( )f x 0≠ για κάθε ( )x α,β∈ , τότε η f δεν είναι συνεχής στο [ ]α,β . Β. Αν η f είναι συνεχής στο [ ]α,β µε ( )f α 0< και υπάρχει ( )ξ α,β∈ ώστε ( )f ξ 0= , τότε κατ’ ανάγκη ( )f β 0> . Γ. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. ∆. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δεν µηδενίζεται σε αυτό, τότε η f διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα ∆. Σ-Λ-Σ-Σ Α-30 Α. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δεν µηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈∆ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈∆ , δηλαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα ∆. Β. Μια συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα απ’ τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το Πεδίο Ορισµού της. Γ. Η εικόνα f(∆) ενός διαστήµατος ∆ µέσω µιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστηµα. ∆. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα ( )α,β , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β) όπου x α A lim f(x)+ → = και x β B lim f(x)− → = . Σ-Λ-Λ-Σ Α-31 Α. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστηµα [α,β] τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα f([α,β]) = [f(β), f(α)]. Β. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα ( )α,β , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β), όπου x α A lim f(x)+ → = και x β B lim f(x)− → = . Γ. Αν η f είναι συνεχής στο [ ]α,β τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά ακρότατα τα f(α) και f(β).
- 52. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 51 ∆. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 1= , τότε η συνάρτηση ( ) ( )g x f ηµx= είναι συνεχής στο π x 2κπ , κ 2 = + ∈ℤ . Σ-Λ-Λ-Σ Α-32 Α. Το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το κλειστό διάστηµα [ ]α,β είναι το κλειστό διάστηµα [ ]m,M , όπου m η ελάχιστη και Μ η µέγιστη τιµή της. Β. Αν η f είναι συνεχής στο [ ]α,β , τότε η f παίρνει στο [ ]α,β µια µέγιστη τιµή M και µια ελάχιστη τιµή m. Γ. Μια συνεχής στο (α, β) συνάρτηση, παίρνει σε κάθε περίπτωση στο (α, β) µια µέγιστη και µια ελάχιστη τιµή. ∆. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α,β] µία µέγιστη τιµή. Σ-Σ-Λ-Λ Α-33 Α. H εικόνα f(∆) ενός διαστήµατος ∆ µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστηµα. Β. Μία γνησίως µονότονη και συνεχής συνάρτηση f σε διάστηµα ( )α,β δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα. Γ. Αν f συνεχής στο [ ]α,β µε ( )f α 0< και υπάρχει ( )ξ α,β∈ ώστε ( )f ξ 0= , τότε κατ’ ανάγκη ( )f β 0> . ∆. Αν f συνεχής στο [ ]α,β µε ( )f α 0< και υπάρχει ( )ξ α,β∈ ώστε ( )f ξ 0= , τότε κατ’ ανάγκη ( )f β 0> . Ε. Αν για τις συναρτήσεις f, g ορίζεται η σύνθεση gof, τότε ισχύει ότι gof fD D⊆ . Σ-Σ-Λ-Λ-Σ Β ∆ιάφορα Θέµατα Θεωρίας Β-1 Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα όρια της στήλης Α µε την τιµή του της στήλης Β.
- 53. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 52 1→γ 2→β 3→α 4→δ Β-2 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση: Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , αν ισχύει ( ) ( )f α f β 0⋅ > , τότε α) η εξίσωση ( )f x 0= δεν έχει λύση στο ( )α,β . β) η εξίσωση ( )f x 0= έχει ακριβώς µία λύση στο ( )α,β . γ) η εξίσωση ( )f x 0= έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο ( )α,β . δ) δεν µπορούµε να έχουµε συµπέρασµα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ( )f x 0= στο ( )α,β . Απάντηση (δ) Β-3 Να γράψετε στο τετράδιό σας δίπλα από τον αντίστοιχο αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Η αντίστροφη της συνάρτησης ( ) x 2 f x e 2,x− = + ∈ℝ είναι: (α) ( ) ( )1 f x ln x 2 2,x 2− = − + > (β) ( ) ( )1 f x ln x 2 2,x 2− = + + > − (γ) ( ) ( )1 f x ln x 2 2,x 2− = + − > − Απάντηση (α) Εξήγηση: Η ( ) x 2 f x e 2,x− = + ∈ℝ έχει αντίστροφη την ( ) ( )1 f x ln x 2 2,x 2− = − + > διότι: ( ) ( ) ( ) y 2 x 2 x 2 f x y e 2 y e y 2 x 2 ln y 2 x ln y 2 2 > − − = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ = − + Β-4 Να γράψετε στο τετράδιό σας δίπλα από τον αντίστοιχο αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]1,1− µε ( )f 1 3− = και ( )f 1 4= Τότε µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι: (α) Η µέγιστη τιµή της f το 3 και η ελάχιστη το 4. (β) Η εξίσωση ( )f x π= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο ( )1,1− . (γ) Η f διατηρεί πρόσηµο στο [ ]1,1− . Απάντηση: (β) Εξήγηση: Από τα δεδοµένα της εκφώνησης η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος ενδιάµεσων τιµών. Άρα για οποιονδήποτε αριθµό ανάµεσα στα ( ) ( )f 1 ,f 1− στην προκειµένη περίπτωση τον αριθµό π υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 1,1∈ − ώστε ( )0f x π= . Β-5 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση: Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , αν ισχύει ( ) ( )f α f β 0⋅ > , τότε α) η εξίσωση ( )f x 0= δεν έχει λύση στο ( )α,β . β) η εξίσωση ( )f x 0= έχει ακριβώς µία λύση στο ( )α,β .
- 54. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 53 γ) η εξίσωση ( )f x 0= έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο ( )α,β . δ) δεν µπορούµε να έχουµε συµπέρασµα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ( )f x 0= στο ( )α,β . Απάντηση (δ) Β-6 Να µεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στο τετράδιο σας, µε συµπληρωµένες τις δύο τελευταίες γραµµές τοποθετώντας ερωτηµατικό (;) στις περιπτώσεις όπου έχουµε απροσδιοριστία. Απάντηση Γ ΑΝΤΙΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ Γ-1 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό: «Κάθε συνάρτηση f : →ℝ ℝ που είναι “1 – 1” είναι και γνησίως µονότονη.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής. (µονάδα 1) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α. (µονάδες 3) Απάντηση α. Ψ β. Αντιπαράδειγµα στο παρακάτω σχήµα
- 55. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 54 Γ-2 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό: «Για κάθε ζεύγος πραγµατικών συναρτήσεων ( )f,g : 0,+∞ → ℝ , αν ισχύει ( )x 0 limf x → = +∞ και ( )x 0 limg x → = −∞ , τότε ( ) ( )x 0 lim f x g x 0 → + = ». α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισµό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής. (µονάδα 1) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α. (µονάδες 3) Απάντηση α – Ψ β. Αν ( ) 2 1 f x x = και ( ) ( )2 1 g x 1 , x 0, x = − ∈ +∞ , τότε ( )x 0 limf x → = +∞ , ( )x 0 limg x → = −∞ , και ( ) ( )x 0 lim f x g x 1 → + = . Γ-3 ∆ίνεται ο παρακάτω ισχυρισµός: Αν για δύο συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ ισχύει: ( ) ( )f x g x 0⋅ = για κάθε x ∈ℝ τότε: ( )f x 0= για κάθε x ∈ℝ ή ( )g x 0= για κάθε x ∈ℝ . α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό ως ΑΛΗΘΗ ή ΨΕΥ∆Η. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στο (α) ερώτηµα. Απάντηση (α) Ψευδής (β) Για τις συναρτήσεις ( )f x x x= − , ( )g x x x= + µε f gA A= = ℝ ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) 22 f x g x x x x x x x 0⋅ = − ⋅ + = − = για κάθε x ∈ℝ , όµως καµία από τις συναρτήσεις δεν είναι µηδενική. Γ-4 ∆ίνεται η παρακάτω πρόταση: «Για κάθε συνάρτηση f που είναι 1 – 1 ισχύει ότι ( ) ( )1 f x f x− ≠ ». α) Να εξετάσετε αν η πρόταση είναι Αληθής ή Ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Απάντηση α) Ψευδής β) Θεωρούµε τη συνάρτηση ( )f x x, x= ∈ℝ για την οποία γνωρίζουµε ότι είναι 1–1 και επιπλέον ( )1 f x x, x− = ∈ℝ . Άρα ισχύει ( ) ( )1 f x f x− = . Άλλα αντιπαραδείγµατα είναι οι συναρτήσεις ( )f x x= − και ( ) 1 f x , x 0 x = ≠ . Γ-5 ∆ίνονται οι συναρτήσεις µε τύπους ( ) 2 f x lnx= και ( )g x 2lnx= . α. Να εξετάσετε αν είναι ίσες. β. Να τεκµηριώσετε την απάντησή σας. Απάντηση α. Είναι f g≠ .
- 56. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 55 β. Είναι ( )* f gD D 0,= ≠ = +∞ℝ . Άρα, οι δύο συναρτήσεις δεν έχουν ίσα πεδία ορισµού, συνεπώς δεν είναι ίσες. Γ-6 ∆ίνεται ο ισχυρισµός: «Αν f,g: →ℝ ℝ και ισχύει ( ) ( )f x g x 0⋅ = για κάθε x ∈ℝ , τότε ( )f x 0= για κάθε x ∈ℝ ή ( )g x 0= για κάθε x ∈ℝ ». α. Να απαντήσετε αν ο ισχυρισµός είναι σωστός ή λανθασµένος. β. Να τεκµηριώσετε την απάντησή σας. Απάντηση α. Ο ισχυρισµός είναι λανθασµένος. Β. Ως αντιπαράδειγµα: ( ) ( )f x x x , g x x x= − = + , τότε ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 f x g x x x x x x x x x 0⋅ = − ⋅ + = − = − = για κάθε x ∈ℝ , αλλά, προφανώς, καµία από τις δύο συναρτήσεις δεν ισούται µε το 0 , για κάθε x ∈ℝ . Γ-7 Για κάθε συνάρτηση f : A → ℝ , όταν υπάρχει το όριο της f καθώς το x τείνει στο 0x A∈ , τότε αυτό το όριο ισούται µε την τιµή της f στο 0x . Απάντηση Λάθος, αντιπαράδειγµα ( ) 0 0 0, x x f x 1, x x ≠ = = Γ-8 ∆ίνεται ο παρακάτω ισχυρισµός: «Υπάρχει το όριο στο µηδέν της συνάρτησης ( ) 2v 1 1 f x , v x + = ∈ℕ » α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό Αληθή ή Ψευδή. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στο (α) ερώτηµα. Απάντηση α) Ψευδής. β) Για v 0= παίρνουµε την συνάρτηση ( ) 1 f x x = για την οποία x 0 1 lim x− → = −∞ ενώ x 0 1 lim x+ → = +∞ εποµένως δεν υπάρχει το όριο της ( ) 1 f x x = στο x 0= άρα δεν υπάρχει στο µηδέν το όριο της ( ) 2v 1 1 f x , v x + = ∈ℕ . Γ-9 ∆ίνεται η παρακάτω πρόταση: «Για κάθε συνάρτηση f που είναι 1 – 1 ισχύει ότι ( ) ( )1 f x f x− ≠ ». α) Να εξετάσετε αν η πρόταση είναι Αληθής ή Ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Απάντηση α) Ψευδής
- 57. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 56 β) Θεωρούµε τη συνάρτηση ( )f x x, x= ∈ℝ για την οποία γνωρίζουµε ότι είναι 1–1 και επιπλέον ( )1 f x x, x− = ∈ℝ . Άρα ισχύει ( ) ( )1 f x f x− = . Άλλα αντιπαραδείγµατα είναι οι συναρτήσεις ( )f x x= − και ( ) 1 f x , x 0 x = ≠ . Γ-10 ∆ίνεται η παρακάτω πρόταση: «Αν για τις συναρτήσεις f,g ορίζονται οι συνθέσεις gof και fog , τότε ισχύει υποχρεωτικά ότι gof fog= ». α) Να εξετάσετε αν η πρόταση είναι Αληθής ή Ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Απάντηση α) Ψευδής β) Θεωρούµε τις συναρτήσεις ( )f x x 1= + και ( )g x x 1= − µε fD = ℝ και [ )gD 1,= +∞ . Τότε: ( ){ } [ )gof f g x x D x D / f x D και και 0, x 1 1 x 0 ∈ ∈ = ∈ ∈ = = = +∞ + ≥ ≥ ℝ ℝ και ( )( ) ( )( ) ( )gof x g f x x 1 1 x= = + − = ( ){ } [ )fog g f x 1 D x D / g x D και 1, x 1 ≥ = ∈ ∈ = = +∞ − ∈ ℝ και ( )( ) ( )( )fog x f g x x 1 1= = − + ∆ηλαδή gof fog≠ .
- 58. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 57 Ηµεροµηνία: / / . Θ2 Θέµατα Θεωρίας Στις Παραγώγους Α Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Α-1 Α. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο x0, τότε η f ΄ είναι πάντοτε συνεχής στο x0. Β. Αν η f δεν είναι συνεχής στο x0, τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο x0. Γ. Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο x0, τότε η f ΄ είναι συνεχής στο x0. ∆. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της είναι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό. Λ-Λ-Σ-Λ Α-2 Α. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β.Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα εσωτερικό σηµείο x0 ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0. Γ. Αν µια πραγµατική συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο xο, τότε δεν µπορεί να είναι παραγωγίσιµη στο xο. ∆. Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x0, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0. Σ-Σ-Σ-Σ Α-3 Α. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι παραγωγίσιµες σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού τους και δεν είναι συνεχείς σε αυτό. Β. Αν f παραγωγίσιµη συνάρτηση και 1 – 1 στο ℝ , τότε ( )f x 0′ ≠ για κάθε x ∈ℝ . Γ. Αν για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν ορίζεται εφαπτοµένη στο σηµείο της ( )( )0 0A x ,f x , τότε η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0. ∆. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο x0 και η συνάρτηση g παραγωγίσιµη στο f(x0) τότε και η συνάρτηση fog είναι πάντα παραγωγίσιµη στο x0. Ε. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιµες στο σηµείο 0x , τότε η σύνθεση fog είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0x . Λ-Λ-Σ-Λ-Λ Α-4 Α. Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f µπορεί να έχει µε αυτήν περισσότερα από ένα σηµεία επαφής. Β. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιµες στο σηµείο 0x , τότε η σύνθεση fog είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0x .
- 59. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 58 Γ. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο x0 και ( )0g x 0≠ , τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο x0 και ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 2 0 f x g x f x g xf x g g x ′ ′ ′− = . ∆. Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f , g παραγωγίσιµες στο x0 ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0fg x f x g x f x g x′ ′ ′= − Σ-Λ- Σ-Λ Α-5 Α. Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ∆ και για κάθε πραγµατικό αριθµό c, ισχύει ότι:( )cf(x) f (x)′ ′= , για κάθε x ∈∆ Β. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο x0, τότε η συνάρτηση f·g είναι παραγωγίσιµη στο x0 και ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f g x f x g x′ ′ ′⋅ = . Γ. Αν η ευθεία y 3x 2= − είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο ( )( )A 1,f 1 , τότε ( ) h 0 f 1 h 1 lim 3 h→ + − = . Λ-Λ-Σ Α-6 Α. ( )συνx ηµx, x′ = ∈ℝ . Β. ( ) 2 1 σφx , x ηµ x ′ = ∈ −ℝ {x | ηµx = 0}. Γ. Έστω η συνάρτηση ( )f x εφx= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο { }1R x |συνx 0= − =ℝ και ισχύει ( ) 2 1 f x συν x ′ = − . ∆. Για κάθε { }2x x / ηµx 0∈ = − =ℝ ℝ ισχύει ( ) 2 1 σφx ηµ x ′ = − . Λ-Λ-Λ-Σ Α-7 Α. Έστω η συνάρτηση ( )f x ηµx= µε πεδίο ορισµού το ℝ , τότε ( )f x συνx′ = − , για κάθε x ∈ℝ . Β. Αν µια συνάρτηση f είναι 1–1 και παραγωγίσιµη στο Α και η αντίστροφη συνάρτηση 1 f − είναι επίσης παραγωγίσιµη στο ( )f A , τότε ισχύει η ισότητα ( ) ( )( ) ( )1 f f x f x 1− ′ ′⋅ = για κάθε x A∈ . Γ. Ισχύει ο τύπος ( )x x 1 3 x 3 −′ = ⋅ , για κάθε x ∈ℝ . ∆. Η συνάρτηση * f(x) ln x , x= ∈ℝ , είναι παραγωγίσιµη στο * ℝ και ισχύει ( ) 1 ln x x ′ = . Λ-Σ- Λ-Σ
- 60. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 59 Α-8 Α. Έστω η συνάρτηση f(x) x= . H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ( )0,+∞ και ισχύει ( ) 2 f x x ′ = . Β. Έστω η συνάρτηση f(x) x= µε πεδίο ορισµού [ )0,∆ = +∞ , τότε ( ) 1 f x x ′ = για κάθε ( )x 0,∈ +∞ . Γ. Αν ( ) x f x α , α 0= > , τότε ισχύει ( )x x 1 α xα −′ = . ∆. Αν ( )f x ln x= για κάθε x 0≠ , τότε ( ) 1 f x x ′ = για κάθε x 0≠ . Η συνάρτηση ( )f x x= είναι παραγωγίσιµη στο [0,+∞). Λ-Λ-Λ-Λ Α-9 Α. Για κάθε * v∈ℕ η συνάρτηση f(x) = x-v είναι παραγωγίσιµη στο * ℝ µε f ΄(x) = -vx-v-1 . Β. Αν µια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆ και η f είναι παραγωγίσιµη στο ( )g ∆ , τότε και η συνάρτηση fog είναι παραγωγίσιµη στο ∆ και ισχύει ( )( )( ) ( )( ) ( )f g x f g x g x ′ ′ ′= ⋅ για κάθε x ∆∈ . Γ. Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφαπτοµένης στο σηµείο ( )( )0 0A x ,f x , της γραφικής παράστασης Cf µιας συνάρτησης f, παραγωγίσιµης στο σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της είναι ( )0λ f x′= . Σ-Λ-Σ Α-10 Α.Αν το ( ) ( )0 0 h 0 f x h f x lim h→ + − υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός τότε αυτό ισούται µε το f΄(x0). Β. Αν δύο µεταβλητά µεγέθη x, y συνδέονται µε τη σχέση ( )y f x= , όταν f είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση στο x0, τότε ονοµάζουµε ρυθµό µεταβολής του y ως προς το x στο σηµείο x0 την παράγωγο f ΄(x0) . Γ. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆. Αν ( )f x 0′ > σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το ∆. Σ-Σ-Σ Α-11 Α. Έστω f µια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆ τότε ( )f x 0′ > σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆. Β. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του ∆.
- 61. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 60 Γ. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του ∆. ∆. Μία γνησίως µονότονη και συνεχής συνάρτηση f σε διάστηµα ( )α,β δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα. Λ-Σ-Λ-Σ Α-12 Α.Έστω µια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆. Αν ( )f x 0′ < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆. Β. Για κάθε συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιµη στο διάστηµα ∆ ισχύει ( )f x 0′ > , για κάθε x ∈∆ . Γ. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε διάστηµα ( ) ( )α,β γ,δ∆ = ∪ µε β γ< και ισχύει ( )f x 0′ > για κάθε x ∈∆ , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ∆. ∆. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα διάστηµα ∆ και ισχύει ( )f x 0′ = σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆ . Λ-Λ-Λ-Λ Α-13 Α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα διάστηµα ∆ και ισχύει ( )f x 0′ > σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆. Β. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆ , τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του ∆ . Γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [ ]α,β και γνησίως αύξουσα, τότε υπάρχει ( )0x α,β∈ τέτοιο ώστε ( )0f x 0′ < . ∆. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο [ ]α,β τότε, υπάρχει ( )0x α,β∈ τέτοιος ώστε να ισχύει ( )0f x 0′ > . Σ-Λ-Λ-Σ Α-14 Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆ και x0 ένα εσωτερικό σηµείο του ∆. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο x0 και ( )0f x 0′ = , τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x0. Β. Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ( )α,β , µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του x0, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Αν ( )f x 0′ > στο ( )0α,x και ( )f x 0′ < στο ( )0x ,β , τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f . Γ. Τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος ∆, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση µε το 0, λέγονται κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα ∆.
- 62. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 61 ∆. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [ ]α,β και f(β) µέγιστη τιµή της συνάρτησης, τότε κατ’ ανάγκη θα είναι ( )f β 0′ = . Λ-Λ-Σ-Λ Α-15 Α.Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆, τότε τα εσωτερικά σηµεία x0 του ∆, στα οποία f΄(x0) ≠ 0, δεν είναι θέσεις τοπικών ακρότατων της f. Β. Τα κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα ∆ είναι µόνο τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στα οποία η παράγωγός της είναι ίση µε 0. Γ. Για κάθε συνάρτηση f : →ℝ ℝ που είναι παραγωγίσιµη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει ( )f x 0′ ≠ για κάθε x ∈ℝ . ∆. Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων συνάρτησης f σε διάστηµα ∆ είναι µόνο τα εσωτερικά σηµεία στα οποία η παράγωγος της f µηδενίζεται. Σ-Λ-Λ-Λ Α-16 Α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ ]α,β και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( )α,β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( )ξ α,β∈ τέτοιο, ώστε: ( ) f(β) f(α) f ξ β α − ′ = − . Β. Αν µια συνάρτηση f είναι • συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ ]α,β • παραγωγίσιµη στο ανοιχτό διάστηµα ( )α,β και • ( ) ( )f α f β= τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( )ξ α,β∈ τέτοιο, ώστε: ( )f ξ 0′ = . Γ. Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , η οποία είναι παραγωγίσιµη στο ( )α,β , αν ( ) ( )f α f β= , τότε υπάρχει ακριβώς ένα ( )ξ α,β∈ τέτοιο ώστε ( )f ξ 0′ = . ∆. Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f µπορεί να έχει µε αυτήν περισσότερα από ένα σηµεία επαφής. Σ-Σ-Λ-Σ Α-17 Α. Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f΄(x)=0 για κάθε ( ) ( )0 0x α,x x ,β∈ ∪ , είναι σταθερή στο ( ) ( )0 0α,x x ,β∪ . Β. Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι ορισµένες και συνεχείς σε ένα διάστηµα ∆ και ισχύει ότι ( ) ( )f x g x′ ′= για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε ισχύει πάντα ( ) ( )f x g x= για κάθε x ∈∆ . Γ. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα ∆. Αν • οι f, g είναι συνεχείς στο ∆ και • ( ) ( )f x g x′ ′= για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆,
- 63. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 62 τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈∆ ισχύει: ( ) ( )f x g x c= + . ∆. Για κάθε συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( )f x 0′ = για κάθε * x ∈ℝ , ισχύει ότι ( )f x c= για κάθε * x ∈ℝ . Λ-Λ-Σ-Λ Α-18 Α. Έστω µία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του ∆. Αν ( )f x 0′′ > για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε η f είναι κυρτή στο ∆. Β. Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει ( )f x 0′′ > για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Γ. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα (α,β) µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του xo. Αν η f είναι κυρτή στο ( )0α,x και κοίλη στο ( )0x ,β ή αντιστρόφως, τότε το σηµείο ( )( )0 0A x ,f x είναι υποχρεωτικά σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f. ∆. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δυο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του ∆ . Αν η f είναι κυρτή στο ∆ , τότε υποχρεωτικά ( )f x 0′′ > για κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆ . Σ-Λ-Λ-Λ Α-19 Α. Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ∆ και δεν παρουσιάζει καµπή σε κανένα σηµείο του ∆, τότε ( )f x 0′′ ≠ για κάθε x ∈∆ . Β.Αν µία συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα ∆, τότε ( )f x 0′′ > . Γ. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του ∆. Θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο ∆, αν η f ΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του ∆. ∆. Για κάθε συνάρτηση f : →ℝ ℝ που είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και δεν παρουσιάζει καµπή, ισχύει ( )f x 0′′ ≠ για κάθε x ∈ℝ . Λ-Λ-Λ-Λ Α-20 Α. Αν ( )( )0 0A x ,f x είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη, τότε: ( )0f x 0′′ = . Β. Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. Γ. Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f, σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους.
- 64. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 63 ∆. Αν µια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους. Σ-Λ-Σ-Λ Α-21 Α. Αν µια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται ″πάνω″ από τη γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους. Β. Αν µια κυρτή συνάρτηση f και µια κοίλη συνάρτηση g είναι ορισµένες στο ℝ και έχουν κοινή εφαπτοµένη (ε), τότε ισχύει ότι ( ) ( )f x g x≥ για κάθε x ∈ℝ . Γ. Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύµπτωτες. ∆. Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια 0x x lim f(x)+ → , 0x x lim f(x)− → είναι +∞ ή -∞, τότε η ευθεία 0x x= λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Σ-Σ-Σ-Λ Α-22 Α. Υπάρχει πολυωνυµική συνάρτηση βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του 2, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύµπτωτη. Β. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστηµα [ ]α,β , τότε δεν έχει ασύµπτωτες. Γ. Οι ρητές συναρτήσεις ( ) ( ) P x Q x µε βαθµό αριθµητή Ρ(x) µεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δυο του βαθµού του παρανοµαστή Q(x), δεν έχουν πλάγιες ασύµπτωτες. ∆. Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f: →ℝ ℝ µπορεί να τέµνει µια ασύµπτωτή της. Ε. Για όλες τις συναρτήσεις f, g που είναι παραγωγίσιµες στο 0x ∈ℝ ισχύει ( ) ( ) ( ) ( )0 0x x x x f x f x lim lim g x g x→ → ′ = ′ . Λ-Σ-Σ-Σ-Λ Β ∆ιάφορα Θέµατα Θεωρίας Β-1 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίπλα τον αριθµό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτοµένη της κάθε συνάρτησης στο σηµείο x0. α)3 β) 1 γ) 5 δ) 2
- 65. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 64 Β-298 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση: Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , αν ισχύει ( ) ( )f α f β 0⋅ > , τότε α) η εξίσωση ( )f x 0= δεν έχει λύση στο ( )α,β . β) η εξίσωση ( )f x 0= έχει ακριβώς µία λύση στο ( )α,β . γ) η εξίσωση ( )f x 0= έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο ( )α,β . δ) δεν µπορούµε να έχουµε συµπέρασµα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ( )f x 0= στο ( )α,β . Β-3 Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης ( )f : 0,+∞ → ℝ . Με βάση το σχήµα να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. (α) Για x 2= η f παρουσιάζει µέγιστο το ( )f 2 4= . (β) Η ευθεία y 1= είναι οριζόντια ασύµπτωτη της Cf στο +∞ . (γ) Η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( ]0,2 . (δ) Η εξίσωση ( )f x λ= έχει το πολύ δύο ρίζες για τις διάφορες τιµές του λ∈ℝ . (ε) Ισχύει ότι: ( )( )x lim f f x 1 →+∞ − = −∞ . Σ-Σ-Λ-Σ-Σ Β-4 ∆ίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, F, G, H, T.
- 66. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 65 Να γράψετε στο τετράδιο σας ποια από τις συναρτήσεις F, G, H, T µπορεί να είναι η παράγωγος της συνάρτησης f και ποια της g. Η Τ είναι η παράγωγος της f και η Η είναι η παράγωγος της g. Β-5 Να γράψετε στο τετράδιό σας δίπλα από τον αντίστοιχο αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Η παράγωγος της συνάρτησης ( ) 2 x f x 3= ισούται µε (α) 2 x 2x 3⋅ (β) 2 2 x 1 x 3 − ⋅ (γ) 2 x 2x 3 ln3⋅ ⋅ (γ) Εξήγηση: ( ) 22 x 2 x ln3 x ln3 f x 3 e e= = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x ln3 x ln3 2 x f x e e x ln3 3 2xln3 ′ ′′ = = = ⋅
- 67. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 66 Β-6 Αν για µία συνάρτηση f ισχύουν: • Είναι συνεχής στο [ ]0,1 • Είναι παραγωγίσιµη στο ( )0,1 • ( )f 0 3= και ( )f 1 2= − • είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ]0,1 Τότε: α) Η fC τέµνει τον άξονα x x′ σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη ένα εσωτερικό σηµείο του διαστήµατος ( )0,1 . β) Η εφαπτοµένη της fC σε κάποιο σηµείο της ( )( ) ( )0 0 0M x ,f x ,x 0,1∈ είναι παράλληλη στην ευθεία y 5x 2019= − + . γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 0,1∈ τέτοιο ώστε ( )0f x π= . δ) Η ελάχιστη τιµή της f είναι το 2− και η µέγιστη το 3. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι ψευδής; Το (γ) είναι το ψευδές συµπέρασµα. Γ ΑΝΤΙΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ Γ-1 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό: «Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο x0, είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό». α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής. (µονάδα 1). β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α. (µονάδες 3) α. Ψ β. Θεωρούµε τη συνάρτηση f, µε ( )f x x= . Η f είναι συνεχής στο 0x 0= διότι ( ) ( )x 0 limf x f 0 0 → = = και η f δεν είναι παραγωγίσιµη διότι ( ) ( ) x 0 f x f 0 lim 1 x 0− → − = − − και ( ) ( ) x 0 f x f 0 lim 1 x 0+ → − = − . Γ-2 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό: «Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ , αν για κάποιο 0x ∈ℝ ισχύει ( )0f x 0′′ = , τότε το x0 είναι θέση σηµείου καµπής της f». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α).
- 68. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 67 α. Ψ β. Για να είναι το x0 θέση σηµείου καµπής της f πρέπει επιπλέον να αλλάζει το πρόσηµο της f΄΄ εκατέρωθεν του x0 (δηλαδή πρέπει να αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x0). Με αντιπαράδειγµα Θεωρούµε τη συνάρτηση f, µε ( ) 4 f x x , x= ∈ℝ . Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ , µε ( ) ( )3 2 f x 4x , f x 12x′ ′′= = . Η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , άρα η f είναι κυρτή στο ℝ και δεν έχει σηµεία καµπής. Όµως ( )f 0 0′′ = . Γ-3 Αν για την συνάρτηση f ισχύει ( )f x 0′ = , για κάθε ( ) ( )x ,0 0,∈ −∞ ∪ +∞ , τότε η f είναι σταθερή στο ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ . i) Να χαρακτηρίσετε την παραπάνω πρόταση ως αληθή ή ψευδή. ii) Να δώσετε παράδειγµα συνάρτησης που να δικαιολογεί τον προηγούµενο χαρακτηρισµό σας. i) Λ ιι) αντιπαράδειγµα ( ) 1, x 0 f x 1, x 0 − < = > Γ-4 ∆ίνεται ο παρακάτω ισχυρισµός «Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του ∆ ». Αν η f είναι κυρτή στο ∆ τότε ( )f x 0′′ > για κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆ . α) Να εξετάσετε αν ο ισχυρισµός είναι αληθής ή ψευδής β) Να τεκµηριώσετε την απάντηση σας στο ερώτηµα (α) α) Ψευδής β) Για την συνάρτηση ( ) 4 f x x= , επειδή η ( ) 3 f x 4x′ = είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ η ( ) 4 f x x= είναι κυρτή στο ℝ . Εντούτοις η ( )f x′′ δεν είναι θετική στο ℝ αφού ( )f 0 0′′ = . Γ-5 ∆ίνεται η παρακάτω πρόταση: «Για κάθε συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0, τότε και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0». α) Να εξετάσετε αν η πρόταση είναι Αληθής ή Ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α) Ψευδής
- 69. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 68 β) Ας θεωρήσουµε την ( )f x x= , η οποία είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0= µε ( )f 0 1′ = . Τότε η ( ) x, αν x 0 f x x x, αν x 0 ≥ = = − < δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0= αφού: ( ) ( ) x 0 x 0 x 0 f x f 0 x x lim lim lim 1 x 0 x x− − − → → → − − = = = − − και ( ) ( ) x 0 x 0 x 0 f x f 0 x x lim lim lim 1 x 0 x x+ + + → → → − = = = − Γ-6 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό: «Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο x0, είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό». α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής. (µονάδα 1). β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α. (µονάδες 3) α. Ψ β. Θεωρούµε τη συνάρτηση f, µε ( )f x x= . Η f είναι συνεχής στο 0x 0= διότι ( ) ( )x 0 limf x f 0 0 → = = και η f δεν είναι παραγωγίσιµη διότι ( ) ( ) x 0 f x f 0 lim 1 x 0− → − = − − και ( ) ( ) x 0 f x f 0 lim 1 x 0+ → − = − . Γ-7 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό: «Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ , αν για κάποιο 0x ∈ℝ ισχύει ( )0f x 0′′ = , τότε το x0 είναι θέση σηµείου καµπής της f». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α). α) Λ β. Για να είναι το x0 θέση σηµείου καµπής της f πρέπει επιπλέον να αλλάζει το πρόσηµο της f΄΄ εκατέρωθεν του x0 (δηλαδή πρέπει να αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x0). Με αντιπαράδειγµα Θεωρούµε τη συνάρτηση f, µε ( ) 4 f x x , x= ∈ℝ . Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ , µε ( ) ( )3 2 f x 4x , f x 12x′ ′′= = . Η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , άρα η f είναι κυρτή στο ℝ και δεν έχει σηµεία καµπής. Όµως ( )f 0 0′′ = .
- 70. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 69 Γ-8 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό: «Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ , αν για κάποιο 0x ∈ℝ ισχύει ( )0f x 0′′ = , τότε το x0 είναι θέση σηµείου καµπής της f». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτηµα α. α. Λ β. Για να είναι το x0 θέση σηµείου καµπής της f πρέπει επιπλέον να αλλάζει το πρόσηµο της f΄΄ εκατέρωθεν του x0 (δηλαδή πρέπει να αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x0). Με αντιπαράδειγµα Θεωρούµε τη συνάρτηση f, µε ( ) 4 f x x , x= ∈ℝ . Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ , µε ( ) ( )3 2 f x 4x , f x 12x′ ′′= = . Η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , άρα η f είναι κυρτή στο ℝ και δεν έχει σηµεία καµπής. Όµως ( )f 0 0′′ = .
- 71. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 70 Ηµεροµηνία: / / . Θ3 Θέµατα Θεωρίας Στα Ολοκληρώµατα Α Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Α-1 Α. Αν f συνεχής συνάρτηση στο [α, β] και λ∈ℝ , τότε β β α α λf(x)dx λ f(x)dx=∫ ∫ . Β. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], ισχύει ( ) ( ) β α α β f x dx f x dx= −∫ ∫ . Γ. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και α,β,γ∈∆ , τότε ισχύει β γ β α α γ f(x)dx f(x)dx f(x)dx= +∫ ∫ ∫ . ∆. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [ ]α,β , ισχύει ότι: ( ) ( ) β β α α f x dx f x dx=∫ ∫ . Σ-Σ-Σ-Λ Α-2 Α. Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [ ]α,β ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β α β αα β f x g x dx f x g x dx f x g x′ ′− = ∫ ∫ Β. Αν f΄, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] τότε, ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες γράφεται [ ] β β β αα α f(x)g (x)dx f (x)g(x)dx f(x)g(x)′ ′− =∫ ∫ . Γ. Αν f, g, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστηµα [ ]α,β , τότε ( ) ( ) ( ) ( ) β β β α α α f x g x dx f x dx g x dx′ ′= ⋅∫ ∫ ∫ . ∆. [ ] β ββ αα α f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx′ ′= +∫ ∫ , όπου f ΄, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β]. Σ-Λ-Λ-Λ Α-3 Α. Αν f, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις, ( ) ( )u g x , du g x dx′= = , και ( ) ( )1 2u g α , u g β= = τότε ( )( ) ( ) ( ) 2 1 β u α u f g x g x dx f u du′ =∫ ∫ . Β. Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [ ]α,β . Αν G είναι µία παράγουσα της f στο [ ]α,β , τότε β α f(t)dt G(α) G(β)= −∫ . Γ. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [ ]α,β . Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [ ]α,β , τότε: β α f(t)dt G(β) G(α)= −∫ . ∆. Αν F είναι µια οποιαδήποτε παράγουσα της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστηµα [ ]α,β τότε οπωσδήποτε ισχύει ( ) ( ) ( ) β α f x dx F β F α= −∫ . Σ-Λ-Σ-Σ
- 72. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 71 Α-4 Α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]2,5 και ( )f x 0≤ στο [ ]2,5 , τότε 2 5 f(x)dx 0≥∫ . Β. Αν για µία συνάρτηση f, συνεχή στο διάστηµα [ ]α,β ισχύει f(x) 0≥ για κάθε [ ]x α,β∈ , τότε β α f(x)dx 0≥∫ . Γ. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [ ]α,β και για κάθε [ ]x α,β∈ ισχύει ( )f x 0≥ τότε α β f(x)dx 0>∫ . ∆. Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α,β]. Αν ισχύει ότι f(x) ≥ 0 για κάθε [ ]x α,β∈ και η συνάρτηση f δεν είναι παντού µηδέν στο διάστηµα αυτό, τότε ( ) β α f x dx 0>∫ . Σ-Σ-Λ-Σ Α-5 Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [ ]α,β και ισχύει ( ) ( )f x g x< για κάθε [ ]x α,β∈ , τότε β β α α f(x)dx g(x)dx<∫ ∫ . Β. Για κάθε συνάρτηση f , συνεχή στο [ ]α,β , ισχύει: αν ( ) β α f x dx 0>∫ , τότε ( )f x 0> στο [ ]α,β . Γ. Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ ]α,β και ισχύει β α f(x)dx 0=∫ , τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές. ∆. Αν f συνεχής στο [ ]α,β µε f(x) 0≥ και ισχύει β α f(x)dx 0>∫ , τότε υπάρχει [ ]0x α,β∈ τέτοιος ώστε ( )0f x 0> . Σ-Λ-Σ-Σ Α-6 Α. Αν β α f(x)dx=0∫ και α β< τότε κατ’ ανάγκη ισχύει ( )f x 0= για κάθε [ ]x α,β∈ . Β. Αν β α f(x)dx 0=∫ και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ ]α,β , τότε ( )f x 0≥ για κάθε [ ]x α,β∈ . Γ. Για κάθε συνεχή συνάρτηση [ ]f : α,β → ℝ , αν ισχύει ( ) α β f x dx 0=∫ , τότε ( )f x 0= για κάθε [ ]x α,β∈ . Λ-Λ-Λ Α-7 Α. Το ολοκλήρωµα β α f(x)dx∫ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x µείον το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.
- 73. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 72 Β. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [ ]α,β και ισχύει ( )f x 0< για κάθε [ ]x α,β∈ , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x α= , x β= και τον άξονα x΄x είναι: ( ) β α f(x)dxΕ Ω = ∫ . Γ. Αν f συνεχής στο [α,β] τότε το εµβαδό Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x α= και x β= είναι ( ) β α E f x dx= ∫ . Σ-Λ-Λ Β ∆ιάφορα Θέµατα Θεωρίας Β-1 Έστω η συνάρτηση x 0 F(x) f(t)dt= ∫ , όπου f η συνάρτηση του παρακάτω σχήµατος που η γραφική της παράσταση αποτελείται από τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ. Το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου χωρίου Ω είναι ( ) 36τ.µ.Ε Ω = . Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α. ( )F 0 = β. ( )F 4 = γ. ( )F 10 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Β-2 Η συνάρτηση f, που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήµα, είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της µε συνεχή δεύτερη παράγωγο. Να βρείτε, αν η τιµή των ολοκληρωµάτων Ι1, Ι2, Ι3 είναι θετική ή αρνητική. 3 1 0 I f(x)dx= ∫ 3 2 0 I f (x)dx′= ∫ 3 3 0 I f (x)dx′′= ∫ 1I 0>
- 74. Ο Τσελεµεντές ΤουΥποψηφίου Θέµατα Θεωρίας Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 73 ( ) ( )2I f 3 f 0 0= − < γιατί ( ) ( )f 3 f 0< ( ) ( )3I f 3 f 0 0′ ′= − < γιατί η κλίση της Cf στο (3,f(3)) είναι αρνητική και στο (0,f(0)) είναι θετική. Β-3 Έστω η συνάρτηση f του παρακάτω σχήµατος. Αν για τα εµβαδά των χωρίων 1 2,Ω Ω και 3Ω ισχύει ότι ( ) ( )1 2E Ω 2, E Ω 1= = και ( )3E Ω 3= , τότε το ( ) δ α f x dx∫ είναι ίσο µε: α) 6 β) 4− γ) 4 δ) 0 ε) 2 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. (Γ) Γ ΑΝΤΙΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ Γ-1 ∆ίνεται η παρακάτω πρόταση: «Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]α,β µε ( ) β α f x dx 0>∫ , τότε ισχύει ότι: ( )f x 0≥ για κάθε [ ]x α,β∈ ». α) Να εξετάσετε αν η πρόταση είναι Αληθής ή Ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α) Ψευδής β) Αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση ( )f x x 1= − τότε ( ) ( ) 32 3 3 0 0 0 x 9 3 f x dx x 1 dx x 3 0 2 2 2 = − = − = − = > ∫ ∫ . Όµως ( )f 0 1 0= − < . Αντίστοιχα µπορούµε να θεωρήσουµε την ( )f x ηµx= µε 3π 2 0 ηµxdx 1 0= >∫ και 3π ηµ 1 0 2 = − < κλπ.