Dokumen tersebut membahas 6 teorema yang berkaitan dengan bilangan prima dan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar). Teorema pertama membuktikan hubungan antara FPB(y,x) dengan FPB(x,r) jika y = qx + r. Teorema selanjutnya membuktikan algoritma Euclid untuk menentukan FPB dua bilangan. Teorema ketiga membuktikan adanya bilangan bulat m dan n sehingga mx + ny = FPB(y,x). Teorema ke

1. Teorema I
Jika y = qx + r maka FPB(y, x) = FPB (x, r)
Bukti
Misalkan Misalkan FPB(y, x) = z berarti zy dan zx. Dari algoritma pembagian jika y =
qx + r, karena zy dan zx maka zr (Lihat teorema xy dan x(y + z) maka xz). zx dan
zr maka z = FP(x, r). Misalkan v = FP(x, r), akan ditujukkan v  z. v = FP(x, r) berarti vx
dan vr. Karena y = qx + r, vx dan vr maka vy (Lihat teorema xy dan xz maka x(y
+ z). vy dan vx Akibatnya v = FP(y, x). Mengingat FPB(y, x) = z berarti v  z. Ini berarti z
= FPB(x, r). Jadi FPB(y, x) = FPB(x, r) = z. (teorema terbukti)
Contoh :
Teorema II
(Alogiritma Uclides) jika x dan y bilangan-bilangan bulat positif, maka dengan menerapkan
algoritma pembagian berulang-ulang maka kita peroleh persamaan berikut :
y = qx + r dengan 0 < r < x
x = q1r + r1 dengan 0 < r1 < r
r = q2r1 + r2 dengan 0 < r2 < r1
r1 = q3r2 + r3 dengan 0 < r3 < r2
. .
. .
. .
rj-5 = qj-3rj-4 + rj-3 dengan 0 < rj-3 < rj-4
rj-4 = qj-2rj-3 + rj-2 dengan 0 < rj-2 < rj-3
rj-3 = qj-1rj-2 + rj-1 dengan 0 < rj-1 < rj-2
rj-2 = qjrj-1 + rj dengan 0 < rj < rj-1
rj-1 = qj+1rj
Maka FPB(y, x) = rj
Bukti
Rangkaian persamaan tersebut diperoleh dengan membagi y dengan x, x dengan r, r dengan
r1, r1 dengan r2, ..., rj dengan rj-1. Proses pembagian ini berhenti jika sisanya sama dengan 0
(lihat persamaan rj-1= qj+1rj sama dengan rj-1= qj+1rj + 0). Jadi penerapan teorema ini kita
tuliskan tanda ketidak samaan untuk sisa tanpa menggunakan sama dengan (=). Jadi kita

2. tuliskan 0 < r < x sebagai ganti 0≤ r < x , sebab r ≠ 0. Rangkaian ini berhenti jika r = 0
atau y = qx ( lihat rj-1= qj+1rj ) dimana dalam kasus demikian FPB (y, x) = x.
Sekarang akan kita buktikan FPB (y, x) = rj. Perhatikan rangkaian diatas, menurut
sebelumnya Teorema I di atas. Maka baris pertama FPB(y, x) = FPB (x, r), baris ke-2
FPB(x,r) = FPB (r, r1), baris ke-3 FPB(r, r1 ) = FPB (r1, r2), baris ke-4 FPB (r1, r2) = FPB (r2,
r3), ..., FPB (rj-2, rj) = FPB (rj-1, rj) = rj . Maka FPB(y, x) = FPB (x, r) = FPB (r, r1) = FPB (r1,
r2) = FPB (r2, r3) =, ..., = FPB (rj-2, rj) = FPB (rj-1, rj ) = rj.
Jadi FPB (y, x) = rj (teorema terbukti)
Contoh :
Teorema III
Jika FPB(y, x) = rj maka ada bilangan bulat m dan n sedemikian hingga mx +ny =rj.
Bukti
dari rangkaian Teorema II di atas, jika r, r1, r2, r3, ..., rj-5, rj-4, rj-3, rj-2, rj-1, rj, dieliminasi
dimulai dari baris terakhir, yakni
FPB (y, x) = rj= rj-2− qjrj-1 ...(1)
Dan kita subtitusikan rj-1= rj-3 − qj-1rj-2 kedalam rj-1 pada persamaan (1) di atas, sehingga kita
peroleh:
rj = rj-2− qjrj-1
= rj-2− qj(rj-3 − qj-1rj-2 )
= rj-2− qjrj-3 − qj qj-1rj-2
= (1 + qj qj-1) rj-2 − qjrj-3 ...(2)
Dan kita subtitusikan rj-2 = rj-4 − qj-2rj-3 ke dalam rj-2 pada persamaan (2) di atas, sehingga kita
peroleh:
rj = (1 + qj qj-1) rj-2 − qjrj-3
= (1 + qj qj-1) (rj-4 − qj-2rj-3) − qjrj-3
= rj-4 − qj-2rj-3 + qj qj-1 rj-4 − qj qj-1 qj-2rj-3 − qjrj-3
= ( 1 + qj qj-1) rj-4 + (−qj-2 − qj qj-1 qj-2 −qj) rj-3 ...(3)
Dan rj-3= rj-5 −qj-3rj-4 kita subtitusikan ke rj-3 pada persamaan (4) di atas, sehinga kita peroleh:
rj = ( 1 + qj qj-1) rj-4 + (−qj-2 − qj qj-1 qj-2 −qj) rj-3
= ( 1 + qj qj-1) rj-4 + (−qj-2 − qj qj-1 qj-2 −qj) (rj-5 −qj-3rj-4)
= rj-4 + qj qj-1 rj-4 − qj-2 rj-5 + qj-2 qj-3rj-4 − qj qj-1 qj-2 rj-5 + qj qj-1 qj-2 qj-3rj-4
= (1+ qj qj-1 + qj-2 qj-3 + qj-1 qj-2 qj-3) rj-4 + (− qj-2 − qj qj-1 qj-2) rj-5

3. Apabila proses ini dilanjutkan secara berurutan hingga persamaan r = y −qx , maka akan kita
peroleh
mx + ny = rj.
dimana m dan n adalah bilangan-bilangan bulat. (toreme terbukti)
Untuk FPB(y, x) =1 maka ada bilangan bulat m,n sedemikian hingga mx + ny =1.
Fakta ini akan membuktikan relatif prima pada bilangan-bilangan bulat.
Bukti
Misalkan w = FPB(x, y), maka w1. Karena w = FPB(x, y), maka w adalah bilangan bulat
positif. Jadi haruslah w =1. (teorema terbukti)
Teorema IV
Jika ypx dan FPB(x, y) = 1 maka yp
Bukti
FPB(x, y) = 1 maka ada bilangan-bilangan bulat m dan n sedemikian hingga
1 = mx + ny (4)
Jika kedua ruas persamaan (4) dikalikan dengan p, maka kita peroleh
p = p(mx + ny) = m(px) + p(ny)
Karena ypx (yang diketahui) maka ym(px) (Lihat teorema xy maka xpy ∀ bil. Bulat
p) dan karena ypx maka yp(ny). Karena ym(px) dan yp(ny) maka y[m(px) + p(ny)]
atau yp (Lihat teorema xy dan xz maka x(y + z) ). (teorema terbukti)
Teorema V
Jika zx dan wx, FPB(z, w) = 1 maka zwx.
Bukti
zx berarti ada bilangan bulat p sedemikian hingga x = pz (definisi Habis bagi). wx berarti
wpz, karena FPB(z,w) = 1 maka wp (Lihat torema IV di atas), misalkan p = kw, dengan k
sembarang bilangan bulat, maka
x = pz = (kw)z = (wz)k
x = (wz)k, untuk sebarang bilangan bulat k, berarti wzx (definis habis bagi). (jadi teorema
terbukti)

4. Teorema VI
Jika FPB(x, z) = FPB(y, z) = 1 maka (xy, z) =1.
Bukti
Berdasarkan teorema III diatas terdapat bilangan-bilangan m0, n0, m1, n1 sedemikian hingga
1 = m0x + n0z = m1y + n1z
maka
(m0x)(m1y) = (1 - n0z)(1 - n1z)
= 1 – n2z (5)
dimana n2 = n0 + n1 - n0n1z. Dari persamaan (5) di atas diperoleh m0m1xy + n2z = 1,
misalkan d sembarang bilangan bulat sedemikian hingga dxy dan dz akibatnya d(m0m1xy
+ n2z). Karena m0m1xy + n2z = 1 maka d1 ini hanya dipenuhi oleh d = 1. Karenanya
FPB(xy, z) = 1. (jadi teorema terbukti).