Dokumen tersebut membahas tentang operasi pada himpunan, termasuk definisi himpunan, operasi seperti gabungan, irisan, komplemen, dan relasi. Juga membahas tentang pemetaan (fungsi) dan operasi biner serta sifat-sifatnya.

1. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
Operasi Pada Himpunan
Oleh :
 Malida Hola
Aprilyani
 Nanik Safitri

2. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
Operasi pada Himpunan
1. Definisi Himpunan
2. Operasi pada Himpunan
3. Relasi
4. Pemetaan
5. Operasi Binner

3. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
1. Definisi Himpunan
Sebagai suatu kumpulan atau
koleksi/gabungan dari objek-objek. Objek-
objek ini biasa disebut juga anggota atau
unsur atau elemen dari himpunan tersebut.

4. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
2. Operasi Pada Himpunan
a. Himpunan Bagian
Suatu himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian
dari himpunan B, jika setiap anggota dari himpunan A
merupakan anggota dari himpunan B, yang dilambangkan
dengan A ⊆ B.
B
A
A ⊆ B

5. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
• Contoh: .
S = {semua siswa kelas VII di sekolahmu}
A = {semua siswa kelas VIIA di kelasmu}
B = {semua siswa perempuan VIIA di keasmu}
C = {semua siswa laki-laki VIIA di kelasmu}
Penjelasan:
Dari contoh di atas diperoleh keterangan sebagai berikut:
Himpunan B dan C merupakan himpunan bagian dari
himpunan A karena setiap anggota
himpunan B dan C merupakan anggota himpunan A.

6. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
Himpunan A merupakan himpunan bagian
dari himpunan s karena setiap anggota himpunan
merupakan anggota himpunan S.
Himpunan B bukan merupakan himpunan bagian
dari himpunan C begitu juga sebaliknya,
karena tidak ada anggota himpunan B yang
merupakan anggota himpunan C dan sebaliknya.

7. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
2. Himpunan Bagian Sejati
Suatu himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian
sejati (proper subset) dari himpunan B, jika A ⊆B dan
terdapat sedikitnya satu unsur dari B yang bukan anggota
dari A, yang dilambangkan dengan A ⊂ B.
Contoh : Diketahui A={0, 2, 4, 6}, dan B={0, 2, 4, 6, 8}. Jelas
bahwa A himpunan bagian sejati B.
A ⊂ B
B
A

8. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
3. Gabungan
A gabungan B ditulis dengan A ∪ B adalah himpunan
yang semua anggotanya merupakan anggota A atau
anggota B, disimbolkan dengan A ∪ B = {x ∈ A atau x
∈ B}.

9. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
Contoh Soal:
Diketahui: jawab :
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {6, 7, 8}
a. Buatlah diagram Venn-nya.
b. Tentukanlah A ∪ B.
b. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

10. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
4. Irisan
A irisan B ditulis dengan A ∩ B adalah himpunan yang
semua anggotanya merupakan anggota A sekaligus
anggota B, disimbolkan dengan A ∩ B = {x ∈ A dan x ∈ B}.

11. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
Contoh :
Tentukan : A ∩ B
Penyelesaian : A ∩ B = {4, 5}

12. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
5. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan anggota-
anggota x dengan x ∉ A, yang dinyatakan dengan Ac.
Komplemen dari A terhadap S ditulis A' (baca komplemen dari
A atau A komplemen).
Perhatikan diagram Venn di bawah ini, daerah yang diarsir
adalah komplemen dari A atau A'. Dengan pembentuk notasi
himpunan dapat dituliskan A' = {x | x Î S, x Ï A}

13. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
6. Selisih Himpunan
Selisih himpunan A dan B adalah A – B = {x | x ∈ A
dan x ∈ Bc}

14. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
7. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (Power Set) dari A adalah himpunan
yang terdiri dari himpunan bagian dari A. Banyaknya
anggota himpunan kuasa dari himpunan yang
mempunyai n anggota (n bilangan bulat) adalah 2n.
Contoh 1.7 : Himpunan kuasa (Power Set) dari A = {a, b, c}
adalah 23 = 8 yaitu {φ, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},
{a,b,c}}

15. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
3. Relasi
Relasi adalah himpunan bagian antara A (domain)
dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan
setiap elemen yang ada pada himpunan A secara
tunggal, dengan elemen yang pada B.
berbagai macam penyajian suatu relasi, yaitu:
• Penyajian dengan diagram panah;
• Penyajian dengan diagram cartesius;
• Penyajian dengan pasangan berurut;
• Penyajian dengan tabel; dan
• Penyajian dengan matriks.

16. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
Sifat-sifat Relasi, sbb:
1. Refleksif (reflexive)
2. Simetris
3. Transitif (transitive)

17. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
D. Pemetaan (Fungsi)
Fungsi merupakan jenis khusus pada relasi Definisi Fungsi :
• Misalkan terdapat himpunan A dan B. Relasi biner f dari A ke
B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A
dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f
adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A Æ B yang
artinya f memetakan A ke B
• Nama lain fungsi adalah pemetaan atau transformasi •
Ditulis f(a) = b Fungsi • Himpunan A disebut daerah asal
(domain) dari f
• Himpunan B disebut daerah hasil (codomain) dari f •
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut range
(jelajah) • Range dari f = { b | b = f(a) untuk beberapa x ∈A}

18. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
a
b
c
d
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

19. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
Contoh:
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f(x) = ax + b. Jika f(3) = 1
dan f(-2) = -9, carilah nilai a dan b!
Penyelesaian
f(x) = ax + b
f(3) = a.3 + b = 1 => 3a + b = 1
f(-2) = a.(-2) + b = -9 => -2a + b = -9 –
5a = 10
a = 2
Subs. a = 2 ke persamaan 3a + b = 1
3.2 + b = 1
6 + b = 1
b = -5
Jadi nilai a = 2 dan b = -5.

20. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
D. Operasi Binner
Definisi Operasi Biner Operasi biner pada
himpunan tidak kosong S adalah pemetaan
dari S × S ke S. Notasi yang digunakan untuk
menyatakan operasi , dan sebagainya. ,  ,
, biner adalah +, ×, , pada elemen a  Hasil
dari sebuah operasi, misalnya b.dan b akan
ditulis sebagai a  b.

21. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
• Sifat Operasi Biner
Misalkan  dan  adalah operasi biner
Operasi  dikatakan:
• KOMUTATIF, jika a b = b a untuk setiap a, b.
• ASOSIATIF, jika a b c = a (b c) untuk setiap a, b, c
• Mempunyai IDENTITAS, jika terdapat e sedemikian
hingga a e = a a = a untuk setiap a,
• IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga  a =
a, untuk setiap a.
• IDENTITAS KANAN, jika terdapat sedemikian hingga a 
= a, untuk setiap a.
• Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap a terdapat
sedemikian hingga
a  =  a = e,

22. Mata Kuliah : Struktur Aljabar
TERIMA KASIH
Semoga Kalian Memahami Materi Kami