1. NAMA : EFSI WULANDARI
PRODY: MATEMATIKA
SEMESTER: V
Himpunan (matematika)
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang
dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana,
tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar
dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan
himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang
merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai
diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa
untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai
dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan
sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Daftar isi
1 Notasi Himpunan
2 Himpunan kosong
3 Relasi antar himpunan
o 3.1 Himpunan bagian
o 3.2 Superhimpunan
o 3.3 Kesamaan dua himpunan
o 3.4 Himpunan Kuasa
4 Kelas
2. 5 Kardinalitas
o 5.1 Himpunan Denumerabel
o 5.2 Himpunan Berhingga
o 5.3 Himpunan Tercacah
o 5.4 Himpunan Non-Denumerabel
6 Fungsi Karakteristik
o 6.1 Representasi Biner
o 6.2 Operasi dasar
6.2.1 Gabungan
6.2.2 Irisan
6.2.3 Komplemen
6.2.4 Hasil Kali Kartesian
7 Referensi
8 Bacaan lanjutan
9 Pranala luar
Notasi Himpunan
Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau
B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara
penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap
himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan
format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Nama Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar
Anggota himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks,
riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
3. Simbol Arti
atau Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan,
Superhimpunan sejati
Komplemen
Himpunan kuasa
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau
banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan
mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota
himpunan tersebut.
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya
adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung
anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu
bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
Himpunan kosong
Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk,
mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu
bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak
memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
4. Relasi antar himpunan
Himpunan bagian
Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat
himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.
{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu
adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai
himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.
Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan
dari A.
Untuk sembarang himpunan A,
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A
adalah A sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan
bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut
himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan
biasanya jelas dari konteksnya.
Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi
tidak mencakup A sendiri.
Superhimpunan
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih
besar yang mencakup himpunan tersebut.
5. Kesamaan dua himpunan
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan
sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
atau
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B
adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian
buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.
Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan
yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .
Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :
{ { },
{apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang},{jeruk, mangga,pisang},
{apel, jeruk, mangga, pisang}}
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2
pangkat banyaknya anggota A.
Kelas
Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan
tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan
adalah sebuah keluarga
himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan
kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.
Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung
anggota c yang bukan himpunan.
6. Kardinalitas
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya
anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan
adalah 4. Himpunan juga
memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama
lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi
korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita
membuat fungsi
yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan
tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan
asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan
tersebut disebut sebagai kardinalitas .
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel,
karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan
himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .
Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas ,
maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau
denumerabel.
Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari
himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan
jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak
denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
7. Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena
terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan
seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .
Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah
himpunan atau tidak.
Jika maka:
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan
dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat
menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada
tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.
Representasi Biner
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap
himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut
juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap
digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga
nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa
anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan
fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S =
{a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
a b c d e f g
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan
operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan
8. komplemen (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk
melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-
kompiler Pascal dan juga Delphi.
Operasi dasar
Gabungan
Gabungan antara himpunan A dan B.
Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan
{{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua
anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.
Contoh:
{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.
Beberapa sifat dasar gabungan:
A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.
Irisan
Irisan antara himpunan A dan B.
9. Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru
yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih
himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint
(terpisah).
Contoh:
{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.
Beberapa sifat dasar irisan:
A ∩ B = B ∩ A.
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.
Komplemen
Komplemen B terhadap A.
Komplemen A terhadap U.
10. Diferensi simetris himpunan A dan B.
Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen
merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan
tersebut.
Contoh:
{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.
Beberapa sifat dasar komplemen:
A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.
Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika
diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan
Contohnya, diferensi simetris antara:
{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah
{Ana,Cici,Ela,Felix}.
Hasil Kali Kartesian
11. Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan
A={x,y,z} dan B={1,2,3}.
Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang
menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian
himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B |
adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah
anggota himpunan B.
Contoh:
{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Beberapa sifat dasar himpunan perkalian:
A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.
Konsep Himpunan
Posted on 25 Oktober 2013 by yos3prens
Dapatkah kalian memasukkan Kota Jakarta ke dalam
beberapa kategori/kelompok yang berbeda-beda? Pertama, kalian mungkin
mengkategorikan Kota Jakarta sebagai salah satu ibu kota negara-negara Asia
Tenggara. Kedua, kalian juga dapat mengkategorikan Kota Jakarta sebagai salah
satu ibu kota provinsi di Indonesia. Dengan cara lain, kalian juga dapat
mengkategorikan Kota Jakarta sebagai salah satu kota terpadat di Indonesia. Pada
12. pembahasan ini kita akan membahas bagaimana cara mengelompokkan atau
mengklasifikasikan beberapa objek.
Kita sering menjumpai himpunan dalam berbagai cara di sekitar kita. Himpunan
adalah kumpulan dari objek-objek, yang disebut elemen atau anggota himpunan,
dan terdefinisi dengan jelas. Maksud dari terdefinisi dengan jelas adalah bahwa
anggota-anggota himpunan dapat ditentukan secara jelas. Sebagai contoh,
kumpulan dari semua provinsi-provinsi di Indonesia per Oktober 2013 merupakan
suatu himpunan karena kita dapat menentukan dengan jelas anggota-anggota dari
himpunan tersebut. Seperti kita tahu, Jawa Timur dan 33 provinsi lainnya
merupakan anggota dari himpunan tersebut.
Akan tetapi, apakah kumpulan dari 5 film-film terbaik merupakan suatu
himpunan? Karena kata terbaik dapat diinterpretasikan secara berbeda oleh orang
yang berbeda, maka kumpulan tersebut tidak terdefinisi dengan jelas. Akibatnya,
kumpulan dari 5 film-film terbaik bukan suatu himpunan.
Untuk menyatakan suatu himpunan dapat digunakan 3 cara: (1) dengan kata-kata
atau deskripsi, (2) dengan mendaftar, dan (3) dengan notasi pembentuk himpunan.
Cara menyatakan himpunan dengan kata-kata dapat diilustrasikan oleh contoh 1
berikut.
Contoh 1: Deskripsi dari Suatu Himpunan
Nyatakan dengan kata-kata suatu himpunan yang anggota-anggotanya Senin,
Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, dan Minggu.
Jawaban Himpunan dari nama-nama hari dalam satu minggu.
Mendaftar anggota-anggota suatu himpunan ke dalam sepasang kurung kurawal,
{ }, merupakan cara menyatakan himpunan dengan mendaftar. Sepasang kurung
kurawal tersebut merupakan notasi yang perlu karena kurung kurawal tersebut
mengidentifikasikan konten yang dimaksud sebagai himpunan. Sebagai contoh,
{1, 2, 3} merupakan notasi untuk himpunan yang memiliki anggota-anggota 1, 2,
dan 3. Akan tetapi (1, 2, 3) dan [1, 2, 3] bukan suatu himpunan karena simbol ( )
dan [ ] tidak mengindikasikan suatu himpunan. Dalam penulisan himpunan
dengan mendaftar, tanda koma digunakan untuk memisahkan anggota-anggota
dari himpunan tersebut. Urutan dari anggota-anggota himpunan yang terdaftar
tidak penting. Sehingga himpunan {1, 2, 3} dapat juga dituliskan sebagai {3, 2, 1}
atau {2, 3, 1}.
Secara umum, himpunan dinamai dengan menggunakan huruf kapital. Sebagai
contoh, himpunan bilangan asli biasanya dinamai dengan N.
Definisi: Bilangan Asli
N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
13. Tiga titik setelah bilangan 5, yang disebut sebagai elipsis, mengindikasikan bahwa
anggota-anggota dalam himpunan tersebut akan berkelanjutan dalam pola yang
sama. Apabila tanda elipsis tersebut diikuti oleh anggota/elemen terakhir, maka
anggota himpunan tersebut akan berkelanjutan dengan pola yang sama sampai
anggota terakhir tersebut. Notasi ini dapat diilustrasikan oleh contoh 2.1 berikut.
Contoh 2: Menyatakan Himpunan dengan Cara Mendaftar
Tulislah himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar.
1. Himpunan A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.
2. Himpunan B adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari atau sama
dengan 100.
3. Himpunan P adalah himpunan planet-planet dalam tata surya.
Pembahasan
1. Bilangan asli yang kurang dari 6 adalah 1, 2, 3, 4, dan 5. Sehingga,
himpunan A dapat dinyatakan dengan A = {1, 2, 3, 4, 5}.
2. B = {1, 2, 3, 4, … , 80}. Bilangan 80 setelah elipsis mengindikasikan
bahwa anggota-anggota B berkelanjutan dengan pola yang sama sampai
80.
3. P = {Merkurus, Venus, Bumi, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus}.
Pluto bukan anggota dari P karena pada Agustus 2006 Pluto digolongkan
kembali sebagai planet kerdil.
Contoh 3: Kata Inklusif
Tulislah himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar.
1. Himpunan bilangan asli di antara 3 dan 8.
2. Himpunan bilangan asli di antara 3 dan 8, inklusif.
Pembahasan
1. A = {4, 5, 6, 7}
2. B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Perhatikan bahwa kata inklusif mengindikasikan
bahwa bilangan-bilangan 3 dan 8 merupakan anggota B.
Selanjutnya kita akan membahas keanggotan dari suatu himpunan dan simbolnya.
Perhatikan ilustrasi berikut.
Dari ilustrasi di atas, kita dapat menyatakan bahwa 1 anggota dari {1, 2, 3} dan 50
bukan anggota dari {1, 3, 5, … , 99}.
14. Notasi pembentuk himpunan digunakan untuk menyimbolkan suatu himpunan.
Notasi pembentuk himpunan biasanya digunakan di aljabar. Perhatikan contoh
penulisan notasi pembentuk himpunan berikut.
Perhatikan contoh penulisan himpunan ke dalam notasi pembentuk himpunan
berikut.
Pernyataan di atas dapat dibaca sebagai “E adalah himpunan semua x sedemikian
sehingga x bilangan asli dan x lebih besar dari 20.” Sehingga, himpunan E
tersebut apabila dituliskan dengan cara mendaftar akan menjadi, E = {21, 22, 23,
… }.
Contoh 4: Penggunaan Notasi Pembentuk Himpunan
Tulislah himpunan-himpunan berikut ke dalam notasi pembentuk himpunan.
1. B = {3, 4, 5, … , 97}
2. C = {51, 53, 55, … , 149}
3. D = {M, A, T, E, I, K}
Pembahasan
1. Himpunan B memiliki anggota-anggota 3, 4, 5, … , 97, yaitu bilangan-
bilangan asli di antara 2 dan 98. Sehingga apabila dituliskan ke dalam
bentuk notasi pembentuk himpunan akan menjadi,
2. Himpunan C memiliki anggota-anggota 51, 53, 55, … , 149, yaitu
bilangan gasal di antara 51 dan 149. Karena bilangan gasal dapat
dinyatakan dengan 2x – 1 untuk x bilangan asli maka himpunan C dapat
dinyatakan dengan,
3. D = {x | x huruf-huruf penyusun kata “MATEMATIKA”}.
Suatu himpunan dikatakan hingga apabila himpunan tersebut tidak memiliki
anggota atau himpunan tersebut memiliki anggota yang banyaknya berupa
15. bilangan asli. Himpunan F = {3, 6, 12, 24, 48, 96} merupakan himpunan hingga
karena banyaknya anggota himpunan F adalah 6 yang merupakan anggota
bilangan asli. Sedangkan himpunan yang tidak hingga disebut himpunan tak
hingga. Salah satu contoh himpunan tak hingga adalah himpunan bilangan asli.
Konsep penting lainnya dari himpunan adalah kesamaan dari himpunan.
Definisi: Himpunan-himpunan Sama
Himpunan A sama dengan himpunan B, disimbolkan dengan A = B, jika dan
hanya jika himpunan A dan himpunan B memuat anggota-anggota yang tepat
sama.
Sebagai contoh, jika A = {1, 2, 3} dan B = {2, 1, 3} maka A = B karena himpunan-
himpunan tersebut memuat anggota-anggota yang tepat sama. Urutan anggota-
anggota himpunan tersebut tidaklah penting. Jika dua himpunan sama, maka
kedua himpunan tersebut memiliki banyak anggota yang sama. Banyaknya
anggota dari suatu himpunan disebut sebagai bilangan kardinal.
Definisi: Bilangan Kardinal
Bilangan kardinal dari himpunan A, disimbolkan dengan n(A), adalah banyaknya
angota himpunan A.
Himpunan-himpunan A = {3, 9, 27} dan B = {17, Malang, Motor} memiliki
bilangan kardinal 3, yaitu n(A) = n(B) = 3. Kita dapat menyatakan bahwa
himpunan-himpunan A dan B memiliki bilangan kardinal yang sama.
Himpunan-himpunan yang bilangan kardinalnya sama disebut sebagai himpunan-
himpunan yang ekuivalen.
Definisi: Himpunan-himpunan Ekuivalen
Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika n(A) = n(B).
Semua himpunan-himpunan yang sama merupakan himpunan-himpunan yang
ekuivalen. Akan tetapi himpunan-himpunan yang ekuivalen belum tentu
merupakan himpunan-himpunan yang sama. Himpunan K = {x, y, z} dan L =
{merah, buku, piring} merupakan dua himpunan yang ekuivalen, karena bilangan
kardinal dari kedua himpunan tersebut adalah 3. Karena anggota-anggota
himpunan K dan L berbeda, maka kedua himpunan tersebut bukanlah himpunan-
himpunan yang sama.
Himpunan Kosong (Null Or Empty Set)
Beberapa himpunan tidak memiliki anggota, salah satu contohnya adalah
himpunan dinosaurus yang hidup di tahun 2013.
Definisi: Himpunan Kosong
Suatu himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong dan
disimbolkan sebagai { } atau Ø.
16. Perhatikan bahwa {Ø} bukan merupakan himpunan kosong. Himpunan ini
memiliki anggota Ø dan bilangan kardinalnya adalah 1. Himpunan {0} juga bukan
himpunan kosong karena himpunan tersebut beranggotakan 0. Himpunan {0} juga
memiliki bilangan kardinal 1.
Contoh 5: SelesaianBilangan Asli
Tentukan himpunan bilangan asli yang memenuhi persamaan x + 5 = 0.
Pembahasan Bilangan yang memenuhi pernyataan tersebut haruslah bilangan asli
yang membuat persamaan tersebut bernilai benar. Hanya bilangan –2 yang
memenuhi persamaan tersebut. Karena –2 bukan bilangan asli, maka himpunan
selesaian dari persamaan tersebut adalah { } atau Ø.
Himpunan Semesta
Himpunan yang penting lainnya dalam konsep himpunan adalah himpunan
semesta (universal set).
Definisi: Himpunan Semesta
Himpunan semesta, disimbolkan dengan S, adalah suatu himpunan yang memuat
semua anggota dari pembicaraan tertentu.
Ketika suatu himpunan semesta diberikan, hanya anggota-anggota himpunan
semestalah yang harus diperhatikan untuk menyelesaikan suatu permasalahan.
Sebagai contoh, jika himpunan semesta dari permasalahan tertenu adalah S = {1,
2, 3, … , 10}, maka hanya bilangan asli 1 sampai 10 yang harus digunakan dalam
permasalahan tersebut
himpunanadalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu
kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan
digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya
digunakan huruf kecil a, d, c, …
Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :
1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan
didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya
dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}.
2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah
disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R
adalah himpunan bilangan riil.
3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum
atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan
bilangan bulat positif}
4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan
tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki
17. himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat. Contoh :
Untuk lebih memahami diagram venn berikut ini beberapa contoh diagram venn
18. Selanjutnya untuk lebih memahami tentang himpunan pelajari juga operasi-
operasi dalam himpunan berikut ini.
Operasi Himpunan dalam diagram venn
22. Perkalian Himpunan ( Cartesian Product )
Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan kita dapat mengerjakan
seperti contoh berikut :
Notasi:
A x B = …???
A = {a,b,c}
B = {p,q}
A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}
Catatan:
(a,b) = (a,b)
(a,b) K (b,a)
Himpunan Bilangan-Bilangan
A+ A-
Print
23. Di dalam matematika dikenal bermacam-macam bilangan seperti
bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan cacah. Bilangan-bilangan
tersebut secara skematik dapat dinyatakan sebagai berikut.
Skema himpunan bilangan
Bilangan-bilangan itu dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan.
a. Himpunan bilangan asli dengan A = {1, 2, 3, 4, ...}
b. Himpunan bilangan cacah dengan C = {0, 1, 2, 3, ...}
c. Himpunan bilangan bulat dengan B = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
d. Himpunan bilangan prima dengan P = {2, 3, 5, 7, ...}
e. Himpunan bilangan genap dengan G = {0, 2, 4, 6, ...}
f. Himpunan bilangan ganjil dengan J = {1, 3, 5, 7, ...}
Cara Menyatakan Himpunan
Misalkan diketahui himpunan lima abjad yang pertama adalah a, b,
c, d, dan e. Jika kelima abjad yang pertama ini dinyatakan dalam
himpunan, maka himpunan itu harus diberi nama terlebih dahulu.
Nama himpunan biasa ditulis dengan huruf kapital. Himpunan lima
abjad yang pertama dapat ditulis sebagai berikut.
A = {a, b, c, d, e}
Di samping menyatakan suatu himpunan seperti pada contoh di
atas, adakah cara lain untuk menyatakannya? Pada dasarnya ada
tiga cara untuk menyatakan himpunan yaitu:
menyatakan dengan kata-kata;
mendaftar (tabulasi);
notasi.
1) Cara Menyatakan Himpunan dengan kata-kata
Untuk menyatakan a, b, c, d, dan e sebagai himpunan dengan kata-kata
adalah sebagai berikut.
24. A = himpunan lima abjad pertama
Untuk menuliskan 1, 2, 3, 4, dan 5 sebagai himpunan dengan kata-kata
sebagai berikut.
B = himpunan lima bilangan asli yang pertama,
atau dapat ditulis
B = himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.
2) Cara Menyatakan Himpunan dengan Mendaftar (Tabulasi)
Cara menyatakan himpunan dengan mendaftar dilakukan dengan
menuliskan anggota dari himpunan tersebut. Semua anggota
himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal dan penyebutan
anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan tanda koma.
Perhatikan contoh berikut ini.
a) A = {2, 3, 5, 7, 9}
b) M = {Bandung, Jakarta, Semarang, Surabaya}
c) S = {Senin, Selasa, Sabtu}
d) C = {1, 2, 3, 4, ...}
Menyatakan himpunan dengan cara seperti ini sangat cocok untuk
himpunan yang jumlah anggotanya sedikit. Ada tiga hal yang perlu
kalian perhatikan dalam menyatakan himpunan dengan cara
mendaftar, yaitu sebagai berikut.
a) Anggota suatu himpunan yang muncul lebih dari satu kali, cukup
ditulis sekali saja.
b) Penulisan anggota himpunan boleh mengabaikan urutannya.
c) Untuk himpunan yang jumlah anggotanya tak terhingga dan
anggotanya mempunyai urutan tertentu dapat menggunakan tanda
tiga titik (...).
25. 3) Cara Menyatakan Himpunan dengan Menggunakan Notasi
Himpunan yang dinyatakan dengan cara ini tidak disebutkan
anggota-anggotanya. Yang disebutkan hanyalah
syarat atau aturan yang harus dipenuhi oleh suatu objek agar dapat
menjadi anggota himpunan yang bersangkutan. Penyajian
himpunan dengan cara ini dinamakan menggunakan notasi
pembentuk himpunan. Penulisan dengan notasi pembentuk
himpunan dinyatakan sebagai berikut.
A = {x|...., x ∈ ....}
Misalkan diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5}. Himpunan A dapat
dinamakan sebagai himpunan lima bilangan asli pertama. Dengan
cara notasi pembentuk himpunan ditulis dalam bentuk:
A = {x|x < 6, x ∈ bilangan asli}
Penotasian tersebut dibaca sebagai himpunan A dengan x kurang
dari 6 dan x anggota bilangan asli. Selain penyataan himpunan
dengan cara notasi seperti di atas, ada pula cara penotasian yang
berbentuk sebagai berikut.
A = {(x, y)| .... , x, y ∈ bilangan ....}
Contoh:
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), ....} dapat dinyatakan dalam bentuk
notasi sebagai berikut.
A = {(x, y)|x = y; x, y ∈ bilangan asli}
26. Contoh Soal:
Tentukanlah himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk
himpunan.
a. A = {6, 7, 8, 9, 10}
b. B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}
c. C = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
Penyelesaian:
a. A = {x| 5 < x < 11, x ∈ bilangan asli}
b. B = {(x, y)|y = x, x < 6, x, y ∈ bilangan asli}
c. Notasinya ditentukan seperti diagram berikut ini.
Bentuk notasinya adalah C = {(x, y)|y = x + 1, x < 6, x ∈ bilangan asli
