中華民國高中物理教材 High School Physics Textbook in Republic of China 1-1 物理量的單位與因次 1-2 有效數字 1-3 測量與不確定度

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.com/
1 緒論
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2. 講義內容採用創用授權，
不得商業化(印給學生工本
費除外)
本章簡介
測量是自然科學與工程科學的基礎，測量的結果包含「數字」與「單
位」兩個部分。
「單位」在高一課程闡述了，不再贅言。
「數字」則出
現無法準確測量的情形，一來是人類的感官與生俱來一定的限制，需
要依賴其他器具來協助測量；二來既便用最機密的器具也不能測量到
完全精確的數值，這種不確定性的自然現象是無可避免的。
因此，想要求得相對精確的測量結果，就需要考量器具的精密性、人
的測量技巧及重複測量的次數.. 等等。。
本章描述量測的紀錄以及不確定度（uncertainty）的簡要處理
Chapte 1 緒論

2. 1 緒論
2
REVIEW AND SUMMARY

3. 1.1 物理量的單位與因次
3
1.1 物理量的單位與因次
物理量
1. 物理上欲表示某一概念，常將之量化，應用數學的邏輯結構
作為一種語言表達或是推理的工具。
Ex. 力、速度、加速度….等
2. 物理量包含「 數字 部分」與「 單位 部分」
Ex. 速度： 10 m/s
國際單位系統：System International Unites ，簡稱 SI
1. 1960 年第十一屆的國際度量衡會議，協議統一科學用單
位，定名為國際單位系統
2. 1971 年第十四屆國際度量衡會議決定採用 7 個基本單位及 2
個輔助單位
 基本 SI 單位
物理量 長度 質量 時間 電流 溫度 物質量 光強度
單位 公尺 公斤 秒 安培 克耳文 莫耳 燭光
代號 M kg s A K mol Cd
 輔助單位
物理量 平面角 立體角
單位 弧度 球面度
代號 rad sr
 導出單位：所有的物理量單位皆可由其導出，故又稱為導
出單位。
因次 dimension
1.因次的意義：用來表示物理量的性質
1. 長度的因次記為 L
2. 時間的因次記為 T
3. 質量的因次記為 M
2.物理學的導出量都可以用基本量的因次表示
頻率: T-1
面積: L2
體積: L3
速度: LT -1
加速度: LT -2
力: MLT -2
3.因次的用處
 分析物理量的關係用因次猜考題的答案
 效能: 可以有效地提高答題率, 並節約時間.
 檢驗理論公式推導的錯誤方面
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 說明因次的意義及各種常見
物理量的因次。
2. 應用因次分析輔助檢驗理論。

4. 1 緒論
4
4.因次分析
 在等式兩邊的物理量必然有相同的因次
 相同的因次才能進行相加、相減的代數運算
答：C
【110 指考】因次分析-基礎題
假設在水波槽中，與水波波速可能有關的物理量為重力加速
度𝑔𝑔 、水的密度𝜌𝜌與水深𝐷𝐷 。若僅以上述三個物理量的因次
來判斷波速𝑣𝑣 ， 則下列何者正確？(A) 𝑣𝑣正比於 𝑔𝑔𝑔𝑔 (B) 𝑣𝑣正
比於 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 (C) 𝑣𝑣正比於 �𝑔𝑔𝑔𝑔 (D) 𝑣𝑣正比於 𝑔𝑔�𝜌𝜌𝜌𝜌 (E) 𝑣𝑣正比
於 1/�𝑔𝑔𝑔𝑔
例題

5. 1.2 有效數字
5
1.2 有效數字
有效數字 Significant figures
1. 任何物理量必需要經過測量，免不了要做某種程度估計。
 數值＝準確值＋一位估計值。
說明：假設使用最小刻度為 0.1 公分的尺來測量某物體的
長度，其結果記錄為 8.15 公分，則 8.1 是準確讀出，0.05
是估計出來，也屬於可信賴範圍。
這三個數字都屬於有效範圍，稱為三位有效數字。
2. 有效數字的位數多寡
，
間接表示了測量的精密度
（precision）
，
顯然這與所用的測量工具有關。
3. 有效數字的準則
 所有非零數字都是有效的。
Ex. 19.8 s，三位有效數字
 非零數字間的零都是有效的。
Ex. 409.8 s，四位有效數字
 小數點前出現的「0」和它之後緊接的「0」
，都不算有效
數字-前綴零始終無效。
Ex. 0.067 m=6.7 cm，只有 6、7 有意義，即兩位有效數字
 對於需要小數點的數，後綴零（最後一個非零數字後的
零）是有效的；
Ex. 1.200，四位有效數字
Ex. 0.0980，三位有效數字
 在整數尾隨零的數-後綴零，可能有效也可能無效。需要
根據額外的符號或訊息決定。
Ex. 1500 mL 可能是兩位、三位及四位有效數字。
1.5 × 103
mL 兩位有效數字1500 mL
1.50 × 103
mL 三位有效數字
1.500 × 103
mL 四位有效數字1500. mL
答：(1) 3 位 (2) 5 位 (3) 5 位 (4) 3 位
有效數字的四則運算判斷
下列數字的有效位數各為何?
(1) 5.46 m (2)0.024 575 m (3)24.260 m (4)204 m
例題
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 說明有效數字。
2. 進行有效數字的四則運算

6. 1 緒論
6
有效數字的四則運算
1. 加減法：當對測量值進行加減運算時，應先完成計算，然
後對答案四捨五入，以有效位數少的為基準
說明：
2. 乘除法：先對測量值進行計算後，把答案四捨五入到和測
量值的最小精度值相同的有效數字位數
答：(1) 138.43 (2)151 (3)43.8 (4) 2.1
1.234 + 2 = 3.234 ≈ 3
4 位有效數字
1 位有效數字
結果為 1 位
有效數字
1.234 + 2.0 = 3.234 ≈ 3.2
4 位有效數字
2 位有效數字
結果為 2 位
有效數字
0.745 × 2.2
3.885
= 0.421879 ≈ 0.42
3 位有效數字
4 位有效數字
結果為 2 位
有效數字
2 位有效數字
有效數字的四則運算位數
判斷
下列數字的有效位數各為何?
(1) 153.274 -14.82 (2) 104.45+0.838+46
(3)
28.5×67.4
4.39
(4)56.8 × 0.37
例題
取最少有效位數的原因
某長方形經測量後，寬度為
21.36 cm(4 位有效位數)，長
度為 548 cm(3 位有效位數)。
可 知寬度可能範圍最大為
21.364 cm，最小為 21.355
cm；而長度可能範圍最大為
548.4cm 最小為 547.5cm
其最大面積為
21.364×548.4=
11716.0176 cm2
最小為
21.355×547.5=
11691.8625 cm2
可見會產生誤差之部分都在
第三位數字，因此有效數字
只能取三位。
故21.36 × 548 =
11705.3 ≈ 11700 cm2

7. 1.3 測量與不確定度
7
1.3 測量與不確定度
甚麼是測量(Measurement)
1. 藉由伽利略的研究與貢獻，使得科學發展必須伴隨實驗驗
證，而實驗準確與否則依賴測量技術與原理。
2. 測量系指【對某一特定現象進行一系列的定量分析取得實驗
數據，因而得到可信的結果】
3. 測量可以用來檢驗假設、用來了解各種物理量之間的關係、
用以協助建立科學理論與模型，是科學的基石；也是產業製
造與品管的依據。
從誤差分析到不確定度評估
1. 任何測量都須要估計，因而所有測量都會有誤差。
= −
誤差 測量值 真值 (1.1)
 測量值：做實驗去測量到的物理量，可以是單次測量的結
果、也可以多次測量的平均值。
 理論值：依照既有的物理理論模型及公式推導歸納出來的
物理量，是一個推論出來的真值。
 真值：就是真正的物理量，也可解釋為做無限多次實驗，
測量到的平均物理量。
2. 誤差區分成 系統誤差(systematic error)」與「隨機誤差
(random error)
 系統誤差：測量工具本身所顯示的刻度，因為校正時疏忽，
造成不正確；或環境的因素（例如溫度、壓力等）
，使得刻
度的數值產生變化；或人為不正確的操作或使用錯誤的觀
測方法。
 隨機誤差：為了實驗簡便，往往忽略對實驗影響較微小的
因素，但實際操作時，不見得盡如人意。這些不易控制
（有
時候無法控制）的小變因，便會使測量值產生隨機分佈的
誤差。
3. 實際上，
【真值】的正確性無可取得，於是【誤差】也沒有
意義。
4. 1993 年，國際標準化組織(ISO)建立量測不確定的評估與表
示規則，以不確定度(uncertainty)評估取代原本的誤差分
析。
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
3. 理解為什麼從「誤差分析」轉
換成不確定度評估。
4. 區分 A-type 與 B-type 不確定
度。
5. 理解組合不確定度包含測量
過程所產生的不確定度。
6. 應用不確定度評估處理實驗
數據。

8. 1 緒論
8
不確定度評估與測量結果的表達
1. 任何測量必然伴隨不確定性，其數據也會呈現常態分佈
2. 要同時評估與顯示不確定度，才能使測量結果正確表示。
= X u
±
測量結果 最佳估計值 不確定度 (1.2)
 最佳估計值 X：對某個科學現象在相同條件下進行多次測
量，取得 N 個數據𝑥𝑥1、𝑥𝑥2、 ⋯，則其平均值(average)為此
次測量的最佳估計值。
1 2 ..... N
x x x
x
N
+ + +
= (1.3)
 標準差σ ：一組數據與其平均值的離散程度的度量。
2 2 2
1 2
( ) ( ) ... ( )
1
N
x x x x x x
N
σ
− + − + + −
=
−
(1.4)
 A 類不確定度 A
u ：平均值的標準差(standard error of the
mean)，代表測量結果的精密度。簡單的說法是為了增加
一位有效位數，測量次數必須由 100 增加到 10000。
A
u
N
σ
= (1.5)
 B 類不確定度 B
u ：來自儀器限制、操作時的人為因素(反
應時間)，..等。與儀器的最小刻度(精確度,LC)有關，若該
儀器的測量數據呈現均勻分佈(矩形分布)
B 0.2887
2 3
LC
u LC
≈ ×
= (1.6)
 組合不確定度 C
u ：測量過程同時存在 A 類、B 類不確定
度，將其兩者合併，稱為組合不確定度(combined
uncertainty)
2 2
C A B
u u u
+
= (1.7)
測量方式
(How)
測量設備
(What)
待測物
(Which)
測量環境
(Where)
測量人員
(Who)
測量時間
(When)
不確定度
𝐿𝐿𝐿𝐿
2
−
𝐿𝐿𝐿𝐿
2
1
圖 1-2 均勻分布的示意圖
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
−2σ −1σ 1σ
−3σ 3σ
0 2σ
34.1% 34.1%
13.6%
2.1%
13.6% 0.1%
0.1%
2.1%
圖 1-1 常態分佈的示意圖

9. 1.3 測量與不確定度
9
答：(1) 2.8 km (2) 𝑠𝑠 = 0.22 km (3) 𝑢𝑢A = 0.11 km
答：(1) 𝑢𝑢B = 0.029 g (2)63.00±0.29 g
A 類不確定度-基本題
某段長度經過測量後，分別為 2.6 km,2.8 km,3.1 km,2.7 km。
請找出最佳估計值、標準差、與 A 類不確定度(請注意有效數
字的取捨)
例題
B 類不確定度-基本題-南一版例題修改
一電子秤最小讀數為 1g。將木塊放在此電子秤上，讀數顯示
為 63 g，請找出 B 類不確定度(請注意有效數字的取捨)並寫
出正確的紀錄方式。
例題

10. 1 緒論
10
不確定度的四則運算
1. 物理量的加減乘除是常見的處理，但任何測量都有不確定
度，因此四則運算需要特殊處理方式。
2. 兩個獨立測量的最佳估計值分別為 X 與 Y，其不確定度分別
為 ux 與 uy，四則運算後的結果稱為導出量 Z，不確定度為
uz
 X+Y 或 X-Y 的不確定度 Z
u
2 2
Z x y
u u u
+
= (1.8)
 XY 的不確定度 Z
u
y
2 2
x
Z ( ) ( )
u
u
u XY
X Y
+
= (1.9)

X
Y
的不確定度 Z
u
y
2 2
x
Z ( ) ( )
u
u
X
u
Y X Y
+
= (1.10)
答： 0.885±0.016 g/cm3
不確定度的四則運算-基本題-南一版例題修改
一木塊質量為 63.00±0.29 g，體積為 71.2±1.20 cm3
，該木塊
密度為何? (請注意有效數字的取捨)
例題
不確定度四則運算的原因
兩個獨立測量的數字
3.1257 ± 0.0138
1.892 ± 0.009
進行減法後
最佳估計值為
3.1257-1.892=1.234
不確定度並非 0.0138+0.009
原因是 3.1257 ± 0.0138 表示
測量值在 3.1257-0.0138 與
3.1257+0.0138 之間，多次量
測後數據接近 3.1257 的越
多，離開越遠的機率越小。
當兩測量值相加減時，其不
確定度為最大正偏差或最大
負偏差的機率應該很小。
可知，不確定度的四則運算
需要從相關數學理論推演出
最佳結果，因而產生式
(1.8)~(1.10)結果。