pola bilangan

1. Review 4 : POLA BILANGAN
A. Pengertian pola bilangan
Pola bilangan dapat diartikan sebagai susunan bilangan yang memiliki keteraturan
B. Macam- macam pola bilangan
1. Pola Bilangan Ganjil
Misalnya kita membuat susunan berikut menggunakan batang lidi:
Bilangan 1,3,5,7 merupakan bilangan ganjil, dengan demikian pola bilangan ganjil dapat
ditulis: 1, 3,5,7,………
Ururtan ke-n dari suatu pola bilangan ganjil
Urutan Gambar Banyak Lidi Cara Memperoleh
1 1 1 = (2 𝑥 1)− 1
2 3 3 = (2 𝑥 2)− 1
3 5 5 = (2 𝑥 3)− 1
4 7 7 = (2 𝑥 4)− 1
n 2𝑛 − 1 2𝑛 − 1 = (2 𝑥 𝑛) − 1
Untuk mencari jumlah dari suatu pola bilangan ganjil perhatikan gambar berikut:
v v
v
v v
v
1 3 5 7
v
v
v
v v
v
Urutan bilangan ke-n dari suatu pola bilangan ganjil adalah 2𝑛 − 1 dengan n bilangan asli
1 Persegi
3 Persegi
5 Persegi
7 Persegi
9 Persegi

2. Jumlah suku ke-n suatu pola bilangan ganjil
Banyaknya
Bilangan
(n)
Pola
Bilangan
Pola Persegi Jumlah Bilangan
Sisi
Persegi
Luas
persegi
1 1 1 1 1 𝑥 1 = 1
2 1, 3 1 + 3 = 4 2 2 𝑥 2 = 4
3 1, 3, 5 1 + 3 + 5 = 9 3 3 𝑥 3 = 9
4 1, 3, 5, 7 1 + 3 + 5 + 7 = 16 4 4 𝑥 4 = 16
5
1, 3, 5, 7,
9
1 + 3 + 5 + 7 +
9 = 25
5 5 𝑥 5 = 25
2. Pola Bilangan Genap
Urutan ke-n dari suatu pola bilangan genap
Urutan Gambar Banyak Noktah Cara Memperoleh
1 2 2 = 2 𝑥 1
Kesimpulan:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ = 𝑛2
n suku
Dengan n bilangan asli
Banyaknya noktah pada gambar
disamping berturut-turut adalah
2, 4, 6,dan 8

3. 2 4 4 = 2 𝑥 2
3 6 6 = 2 𝑥 3
4 8 8 = 2 𝑥 4
n 2𝑛 2𝑛 = 2 𝑥 𝑛
Untuk mencari jumlah dari suatu pola bilangan genap perhatikan gambar berikut:
Jumlah suku ke-n suatu pola bilangan ganjil
Banyaknya
Bilangan (n)
Pola
Bilangan
Pola Persegi
Panjang
Jumlah Bilangan Lebar Panjang
Luas persegi
panjang
1 2 2 1 2 1 𝑥 2 = 2
2 2, 4 2 + 4 = 6 2 3 2 𝑥 3 = 6
3 2, 4, 6 2 + 4 + 6 = 12 3 4 3 𝑥 4 = 12
4 2, 4, 6, 8 2 + 4 + 6 + 8 = 20 4 5 4 𝑥 5 = 20
Urutan bilangan ke-n dari suatu pola bilangan genap adalah 2𝑛 dengan n bilangan asli
2 Persegi
4 Persegi
6 Persegi
8 Persegi
Kesimpulan:
2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ = 𝑛(𝑛 + 1)
n Suku
Dengan n bilangan asli

4. 3. Pola Bilangan Segitiga
Urutan ke-n dari suatu pola bilangan Segitiga
Urutan Gambar Banyak Noktah Cara Memperoleh
1 1 1 =
1 𝑥 (1+ 1)
2
2 3 3 =
2 𝑥 (2+ 1)
2
3 6 6 =
3 𝑥 (3+ 1)
2
4 10 10 =
4 𝑥 (4 + 1)
2
n
𝑛2
+ 𝑛
2
𝑛2
+ 𝑛
2
=
𝑛 𝑥 (𝑛 𝑥 1)
2
4. Pola Bilangan Persegi
Urutan ke-n dari suatu pola bilangan persegi
Urutan Gambar Banyak Noktah Cara Memperoleh
1 1 1 = 1 𝑥 1 = 12
Banyak noktah pada gambar di
samping berturut-turut adalah 1, 3,
6,10. Pola penyusunan noktah
disamping menyerupai segitiga
oleh karena itu pola tersebut
dinamakan pola bilangan segitiga
Urutan bilangan ke-n dari suatu pola bilangan segitiga adalah
𝑛2
+𝑛
2
dengan n bilangan asli
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah 𝑠 𝑛 =
1
6
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
Banyak noktah pada gambar di
samping berturut-turut adalah 1, 4,
9,16. Pola penyusunan noktah
disamping menyerupai persegi oleh
karena itu pola tersebut dinamakan
pola bilangan persegi

5. 2 4 4 = 2 𝑥 2 = 22
3 9 9 = 3 𝑥 3 = 32
4 16 16 = 4 𝑥 4 = 42
n 𝑛2
𝑛2
= 𝑛 𝑥 𝑛
5. Pola Bilangan Persegi Panjang
2 noktah 6 noktah 12 noktah 20 noktah
Urutan ke-n dari suatu pola bilangan persegi
Urutan Banyak Noktah Cara Memperoleh
1 2 2 = 1(1 𝑥 1)
2 6 6 = 2(2 𝑥 1)
3 12 12 = 3(3 𝑥 1)
4 20 20 = 4(4 𝑥 1)
n 𝑛2
+ 𝑛 𝑛2
+ 𝑛 = 𝑛(𝑛 𝑥 1)
6. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Urutan bilangan ke-n dari suatu pola bilangan persegi adalah 𝑛2
dengan n bilangan asli
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah 𝑠 𝑛 =
1
6
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
Urutan bilangan ke-n dari suatu pola bilangan persegi adalah 𝑛2
+ 𝑛 dengan n bilangan
asli
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah 𝑠 𝑛 =
1
6
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
1
1 1
2
3
1 6
1 1
4
1
3
1
4 1
Pola bilangan segitiga pascal

6. Jumlah bilangan dari suatu baris pada segitiga pascal
Baris Bilangan Penjumlahan bilangan Cara Memperoleh
1 1 1 1 = 20
= 21−1
2 1 1 1 + 1 = 2 2 = 21
= 22−1
3 1 2 1 1 + 2 + 1 = 4 4 = 22
= 23−1
4 1 3 3 1 1 + 3 + 3 + 1 = 8 8 = 23
= 24−1
5 1 4 6 4 1 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 16 = 24
= 25−1
n 2 𝑛−1
C. Barisan dan Deret
1. Barisan Aritmatika dan Geometri
Barisan adalah bilangan-bilangan yang disusun dengan aturan tertentu.
a. Barisan aritmatika (barisan hitung)
Adalah suatu barisan yang diperoleh dengan cara menjumlahkan atau
mengurangkan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap (pembeda).
Contoh:
7, 12,17,22,27….. membentuk barisan aritmatika dengan beda(b) = 5
Jumlah bilangan baris ke-n dari suatu pola bilangan segitiga pascal adalah
2 𝑛−1
dengan n bilangan asli
Rumus menentukan suke ke-n:
𝑈 𝑛 = 𝑎 + ( 𝑛 − 1) 𝑏
Ket: 𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛, 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 (𝑈1)
𝑏 = 𝑏𝑒𝑑𝑎
Catatan:
Barisan aritmatika ada yang nilainnya
semakin besar (barisan aritmatika naik)
contohnya: 3, 6, 9, 12,….Dan ada pula
barisan aritmatika yang nilainya semakin
lama semakin kecil (barisan aritmatika turun)
contohnya: 12, 9, 6, 3,….Pembeda pada
barisan aritmatika naik akan bernilai positif,
adapun pembeda pada barisan aritmatika
turun akan bernilai negatif.
Pada barisan aritmatika 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . ., 𝑈 𝑛−1, 𝑈 𝑛 berlaku 𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 =
𝑈4 − 𝑈3 =. . . . = 𝑈 𝑛 − 𝑈 𝑛−1 dengan b adalah pembeda dan n bilangan asli.

7. b. Barisan geometri (barisan ukur)
Adalah suatu barisan yang diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya
dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut
dinamakan pembanding (rasio) dan dinotasikan dengan r.
contoh:
1, 3, 9, 27, 81, 243,. . . membentuk barisan geometri dengan rasio (r) = 3
2. Deret Artimatika dan Geometri
Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan. Deret
dinotasikan dengan 𝑆 𝑛 ,jika barisan bilangan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . ., 𝑈 𝑛−1, 𝑈 𝑛 maka deret dari
bilangan tersebut adalah 𝑆 𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3+. . . 𝑈 𝑛−1 + 𝑈 𝑛
a. Deret aritmatika
b. Deret Geometri
Rumus menentukan suke ke-n:
𝑈 𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
Ket: 𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛, 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 (𝑈1)
𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜
Rumus rasio barisan geometri:
𝑟 =
𝑈 𝑛
𝑈𝑛−1
Pada barisan geometri 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . ., 𝑈 𝑛−1, 𝑈 𝑛 berlaku 𝑟 =
𝑈2
𝑈1
=
𝑈3
𝑈2
=
𝑈4
𝑈2
= . . .=
𝑈 𝑛
𝑈 𝑛−1
Rumus mencari 𝑺 𝒏:
𝑆 𝑛 =
𝑛
2
{2𝑎 + ( 𝑛 − 1) 𝑏} atau 𝑆 𝑛 =
𝑛
2
{2𝑎 + 𝑈 𝑛 }
Ket: 𝑈 𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛, 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 (𝑈1)
𝑏 = 𝑏𝑒𝑑𝑎
Rumus mencari 𝑺 𝒏:
𝑆 𝑛 =
𝑎(1−𝑟 𝑛
)
(1−𝑟)
jika 0 < 𝑟 < 1
𝑆 𝑛 =
𝑎(𝑟 𝑛
−1)
(𝑟−1)
jika𝑟 > 1
Ket: 𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 ( 𝑈1) dan 𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜

8. D. Pola bilangan bertingkat
Contoh:
1, 2, 4, 7, 11. . . .. . . . . . U30?
Penyelesaian:
𝑈1 = 𝑎(1)2 + 𝑏(1) + 𝑐 𝑈3 = 𝑎(3)2 + 𝑏(3) + 𝑐
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐
𝑈2 = 𝑎(2)2 + 𝑏(2) + 𝑐 𝑈2 = 𝑎(4)2 + 𝑏(4) + 𝑐
= 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐
Pers 1: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 Pers 2: 3𝑎 + 𝑏 = 1 Pers 3: 2𝑎 = 1
1 2 4 7 11
1 2 3 4
1 11
Deret bertingkat 2
Rumusnya: 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐
3𝑎 + 𝑏 5𝑎 + 𝑏 7𝑎 + 𝑏
2𝑎 2𝑎
Substitusikan Pers 3 ke pers 2
3𝑎 + 𝑏 = 1
3(
1
2
) + 𝑏 = 1
𝑏 = 1 −
3
2
= −
1
2
Substitusikan Pers 3 dan 2 ke pers 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1
1
2
+ (−
1
2
) += 1
𝑐 = 1
𝑎 =
1
2
𝑈𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐
=
1
2
(𝑛)2 + (−
1
2
) 𝑛 + 1
=
1
2
𝑛2 −
1
2
𝑛 + 1
𝑈30 =
1
2
(30)2 − (30) + 1
= 450 − 15 + 1
= 436