Dokumen tersebut membahas tentang kalkulus (calculus) yang merupakan cabang ilmu matematika yang mencakup limit, diferensial, integral, barisan dan deret. Kalkulus digunakan untuk memahami perubahan, seperti halnya geometri untuk bentuk dan aljabar untuk memecahkan persamaan. Kalkulus berkembang secara historis di berbagai peradaban sejak zaman kuno hingga abad ke-17 di Eropa.

1. Jl. Jati V Blok H/96 Rt 10/12 Perum Jatimulya, Bekasi
Phone : 021-82405667 Mobile : 081317222010 ; 081283624343
E-mail : darmantosoer@yahoo.com
E-mail : darmasoer@gmail.com

2. .
AKADEMI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER
al – muslim
KdMk : MI.02

3. CALCULUS
(KALKULUS)
AKADEMI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER
al – muslim
KdMk : MI.02

4. KALKULUS (Calculus)
AKADEMI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER
al – muslim
KdMk : MI.02

5. - Kalkulus (bhs Latin : calculus), artinya "batu kecil", (untuk
menghitung) adalah cabang ilmu matematika yg mencakup
limit, diferensial, integral , barisan dan deret.
- Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana
geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah
ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan
serta aplikasinya.
- Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang
science, ekonomi, dan teknik, serta dapat memecahkan
berbagai masalah yg tidak dapat dipecahkan dengan aljabar
elementer.

6. Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu
zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.
1. Periode Zaman Kuno
- Perhitungan volume dan luas yg merupakan fungsi utama dari kalkulus integral
. bisa ditelusuri kembali pada Papirus Mesir (1800 SM) dimana orang Mesir meng-
. hitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini
. lebih jauh dan menciptakan heuristik yg menyerupai kalkulus integral.
2. Periode Zaman Pertengahan,
- Matematikawan India, Aryabhata, memakai konsep takterhingga pada tahun 499,
. mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.
- Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen),orang perta
ma yg menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan
menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk me-
. nurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yg sangat penting pada perkem
bangan kalkulus integral.
- Pada abad ke12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari
. fungsi kubik, sebuah hasil yg penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke14,
. Madhava, bersama matematikawan-astronom dari mazhab astronomi & Math.
Kerala menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yg ditulis dalam tek Yuktibhasa

7. 3. Periode Zaman Modern
*) Pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan, Seki Kowa. Di Eropa,
. matematikawan, John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam
. kalkulus. James Gregory, membuktikan kasus khusus dari teorema dasar kalkulus
*) Leibniz dan Newton mendorong pemikiran2 ini bersama sebagai sebuah kesatuan
. kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah
. dalam waktu yg hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum
. ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yg di-
. gunakan sekarang.
*) Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali,
. timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yg lebih pantas untuk me-
. nerima penghargaan terhadap kerja mereka.Newton menurunkan hasil kerjanya
. terlebih dahulu, tetapi Leibniz yg pertama kali mempublikasikannya. Newton menu- .
duh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan2 yg tidak dipublikasikan, yg sering
dipinjamkan Newton kepada anggota dari Royal Society.
*) Pemeriksaan terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, .
Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Kini, baik Newton dan .
Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah.
*) Adalah Leibniz yg memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai
. kalkulus, sedangkan Newton menamakannya ”The science of fluxions”. Sejak itu
banyak matematikawan yg memberikan kontribusi pada pengembangan lebih jauh .
dari kalkulus. Kalkulus menjadi topik yg umum di Universitas zaman modern.

8. - Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir
. Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang. Penggunaaan kalkulus
. modern dimulai di Eropa pada abad ke17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried
. Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus, hasil kerja mereka
. memberikan pengaruh besar pada perkembangan fisika.
- Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan,
kenmiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral
. meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja dan
tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
- Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yg lebih rinci .
. mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematika
. wan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yg meliputi pembagian
. bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga.
- Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh, seperti paradoks
Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret tak-
. hingga, yg kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

9. Integral terbagi dua yaitu integral tak-tentu dan integral tertentu.
Bedanya adalah
- integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah.
umumnya integral tertentu dipakai untuk mencari volume
benda putar dan luas
- integral tak tentu tidak mempunyai batas atas maupun bawah.
1. INTEGRAL TAK-TENTU
Definisi : F suatu anti turunan f pada selang I bila DF = f pada I, .
yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I.
(jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu
. kali sisi).

10. -1

12. 1. ∫ x7 dx = x7+1 + c = 1 x8 + c
7+1 8
2. ∫ (4x3 – 12x2 + 4x – 7) dx = x4 – 4x3 + 2x2 – 7x + c
3. ∫ (6√x + 4x – 2) dx = ∫ (6x3/2 + 4x – 2) dx
= 4√x3 + 2x2 – 2x + c
4 dan 5. Kerjakan sendiri sebagai latihan !

15. Dalam menentukan anti diferensial suatu fungsi turunan masih
mengadung nilai konstanta c yang belum tertentu. Jika kita akan
menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan maka harus ada
data lain berupa nilai fungsi tertentu agar konstanta c dapat kita
cari.
Contoh 1:
Tentukan rumus fungsi f (x) bila diketahui f’(x) = 6x2 - 2x + 6
. dan nilai fungsi f(2) = -7 ?

16. 1. Jawab:
f(x) =
= = =
Mengingat, f(2) = -7 maka : f(2) = 2(2)3 – 22 +6(2)+ c
-7 = 16 – 4 + 12 + c
-7 - 24 = c → c = - 31. Jadi f(x) =

17. 2. Sebuah kurva y = f(x) melalui titik (2,0). Tentukan persamaan
kurva jika persamaan gradien garis singgung dititik itu adalah
dy = 2x – 4 ?
dx

18. Jawab :
Jika dy/dx = 2x – 4 → dy = ∫ (2x – 4) dx = x2 – 4x + c
Titik (2,0) dilalui oleh kurva y = x2 – 4x + c maka
0 = 22 – 4.(2) + c → c = 4
Jadi persamaan kurve tersebut adalah : y = x2 – 4x + 4

21. 1. ∫ (2x – 4)3 dx =
2. ∫ x (√x – 2 ) dx =

24. Persoalan integral yang tidak dapat diselesaikan dengan
integral substitusi, dapat diselesaikan dengan substitusi ganda,
yg lebih dikenal dengan integral parsial.
Rumus untuk Integral Parsial :
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

25. ∫

29. 1. ∫ cos (ax + b) dx = 1 sin (ax+b) + c
. a
2. ∫ sin (ax + b) dx = - 1 cos (ax+b) + c .
. a
3. ∫ sec2(ax + b) dx = 1 tan (ax+b) + c .
. a
4. ∫ tan (ax + b) sec(ax + b) dx = 1 sec (ax+b) + c
. . a
5. ∫ csc2(ax + b) dx = - 1 cot (ax+b) + c .
. a
6. ∫ cot (ax + b) csc(ax + b) dx = - 1 sec (ax+b) + c
. . a

30. 1. ∫(2 sin x + 3) dx =
2. ∫2 sin 3x dx =
3. ∫cos 4x dx
4. ∫(sec2 2x – 1) dx
5. ∫cosec2 (2x -1) dx
6. ∫sin2 x dx

31. )

32. 1. ∫(6 sin 3x + 6) dx =
2. ∫(sin 6x + 12) dx =
3. ∫8 cos 4x dx =
4. ∫cos2 2x dx =
5. ∫(sin x + cos x)2 dx =
6. ∫sec x tg x dx =
7. ∫cos2 4x dx =
8. ∫sin2 4x dx =
Kerjakan dengan teliti
dan benar !

43. 1. Tentukan luas daerah yg dibatasi oleh kurve y = x3 – 16x, sumbu x,
garis x = -2 dan garis x = 2 ?
2. Hitunglah luas daerah yg dibatasi oleh kurve y = sin x dan sb x
dengan 0 ⩽ x ⩽ π ?
Kerjakan dengan teliti dan benar
!

44. -2

45. 90 180

49. 4

50. 1. Hitunglah luas daerah yg dibatasi oleh kurve y = sin x dan y = cos x
dengan kondisi 0 ⩽ x ⩽ π ?
2. Tentukan luas daerah yg dibatasi oleh kurve y = x4 dan y = 2x – x2 ?
Kerjakan dengan teliti dan benar !

55. Teorema 5. Aturan Jumlah
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan .
(f + g)’(x)= f’(x) + g’(x)⇨ D[f(x) + g(x) =Df(x)+Dg(x)
Teorema 6. Aturan Selisih
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan
(f - g)(x)= f’(x) - g’(x) ⇨ D[f(x) - g(x)] = Df(x) - Dg(x)

71. - Suatu persamaan diferensial dengan bentuk :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
dikatakan homogen bila kedua koefisien M dan N fungsi homogen
dengan derajat yang sama.
- Definisi fungsi homogen :
bila suatu fungsi f mempunyai bentuk :
f(tx,ty) = tn f(x,y)
untuk n ∈ R maka f dikatakan sebuah fungsi homogen derajat ke-n.

72. *) Suatu persamaan diferensial dengan bentuk :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
dikatakan homogen bila kedua koefisien M dan N fungsi homogen
dengan derajat yang sama.
**) Definisi fungsi homogen :
bila suatu fungsi f mempunyai bentuk :
f(tx,ty) = tn f(x,y)
untuk n ∈ R maka f dikatakan sebuah fungsi homogen derajat ke-n

74. Suatu persamaan diferensial homogen
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Dapat diselesaikan dengan substitusi aljabar, dengan substutusi
y= ux atau x = vy, dimana u dan v adalah variabel baru yg dapat
menyederhanakan persamaan tersebut menjadi persamaan
diferensial terpisah orde 1.

75. 1. Hitunglah (x2 + y2)dx + (x2 - xy) dy = 0

78. .

79. 1. Selesaikan solusi PD : y dx + x dy = 0
2. Carilah solusi PD: (2x + 3y - 2)dx+(3x - 4y+1)dy= 0
Kerjakan dengan teliti dan benar !

80.  .