2. Terdiri atas
membahas
Sifat-Sifat Limit
Limit Fungsi
Fungsi Aljabar Limit Konsep
Turunan
Trigonometri
x → a x → Substitusi Penyederhanaan Dengan Rumus
Perkalian
Sekawan
Substitusi, asalkanhasil
tidak 0
0
Pemfaktoran
Memerhatikan
Koefisien Pangkat
Tertinggi (untuk
Bentuk Pecahan)
Dengan Rumus
¥
November 30, 2014
3. x x
- +
x x
9 8
2
- +
1. Sederhanakan bentuk .
2. Rasionalkan penyebut bentuk .
3. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan
a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5;
–0,05; – 0,001; – 0,0001.
x x
- - +
x x
1 2 1
- + +
b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5;
0,05; 0,001; 0,0001.
c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju
nilai berapakah f(x) dan g(x)?
d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju
nilai berapakah f(x) dan g(x)?
November 30, 2014
5 4
2
1 2 1
g( x) = 2x -1; x £ 0
x; x > 0
4. .Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan bilangan real. Untuk
x → 2, artinya nilai x ≠ 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di
sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09.
Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut.
x 1,91 1,95 1,99 2,01 2,05 2,09
f(x) 19,1 19,5 19,9 20,1 20,5 20,9
Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x → 2, nilai 10x →20.
November 30, 2014
5. Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut.
Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah
bilangan real.
lim
diartikan untuk x mendekati a (ingat: x ≠ a), nilai f(x)
mendekati L.
November 30, 2014
f ( x) L
x a
=
®
6. f ( x) L lim
= ® -
lim
Jika dan
maka
f ( x) L
= ® +
f ( x) L
x a
( ) = lim ® +
x a
=
®
f x
x a
f ( x
) = lim ® -
x a
lim
x a
x → a- maksudnya x mendekati dari kiri (limit kiri)
x → a+ maksudnya x mendekati dari kanan (limit kanan)
November 30, 2014
7. Contoh:
Apakah limit fungsi berikut mempunyai nilai?
lim(2 3)
2
+
®
x
x
Jawab:
Misalkan x → 2- (nilai-nilai x < 2)
x 1,90 1,95 1,96 1,991 1,995 1,999
f(x) 6,80 6,90 6,92 6,98 6,99 6,998
Tampak bahwa untuk x → 2-, nilai f(x) makin mendekati 7.
Artinya,
November 30, 2014
8. Misalkan x → 2+ (nilai-nilai x > 2)
x 2,10 2,09 2,05 2,01 2,001
f(x) 7,20 7,18 7,10 7,02 7,002
Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) = 2x + 3 → 7.
Jadi,
li( 2 x
+ 3 ) = 7 ® +
m2
x
Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) makin mendekati 7.
Artinya,
li( 2 x
+ 3 ) = 7 ® +
m2
x
November 30, 2014
9. Karena ( x
+ ) = maka ® -
3 2 lim2
x
li( 2 x
+ 3 ) = 7 ® +
m2
x
li( m2
2 x
+ 3 ) =
7 ®
x
November 30, 2014
10. ( )
2 1
-
= -
x
Perhatikan fungsi 1
. Fungsi ini tidak mempunyai
nilai di x = 1 (mengapa?).
Apakah fungsi ini juga tidak memiliki limit di x mendekati 1?
Misalkan dan g(x) = x + 1. Fungsi
tidak terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidak
memperhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limit
fungsi g(x) = x + 1 pada x = 1.
f x x
f ( x )
x ( )
2 1
-
= -
x
1
2 1
-
= -
x
1
f x x
November 30, 2014
12. 1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x → a
Dapat ditentukan dengan substitusi, pemfaktoran, dan
mengalikan faktor sekawannya.
a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi
2
Misalkan fungsi mf terdefinisi di setiap nilai x bilangan
real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya.
Sebagai contoh karena fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi
untuk setiap nilai x maka nilai limit li( 2 -
7 ) dapat
ditentukan dengan substitusi.
November 30, 2014
®
x
x
lim(2 7) 2(2) 7 3
2
- = - = -
®
x
x
13. lim , ( )
1. Jika dan maka
lim ( ) = 0
®
2. Jika dan maka
3. Jika dan maka lim ( ) = 0
®
g x
x c
g x
x c
f x
c
( )
( ) = +¥
f x
lim
® g x
1 c
lim g ( x ) = a
< 0
®
x c
( )
( ) = -¥
f x
lim
® g x
1 c
lim f ( x
) = 0
®
x c
lim g ( x ) = a
> 0
®
x c
g( x) a a R
x c
= Î
®
lim ( ) 0
1
=
® g x
November 30, 2014
Penting untuk diingat!
14. b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran
Misalkan fungsi
( ) ( ) ( )
f x = x -
a g x
( ) ( )
g x
= =
lim
Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktor-an,
kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut.
1) x2 – y2 = (x – y)(x + y)
2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2
3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
4) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
5) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
( )
( )
( )
h(a)
g a
h x
x a h x
x a
-
®
November 30, 2014
15. Contoh:
Tentukan nilai .
Jawab:
-
x
lim 16
.
( )( )
( 4)
= - +
lim 4 4
® 4
® 4
x
2
4 -
-
x x
x
x x
( x
)
= +
4 li4 x
®
= + m=
4 4 8
November 30, 2014
16. c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan
Faktor Sekawan
1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya.
2) faktor sekawan dari dan sebaliknya.
3) faktor sekawan dari dan sebaliknya.
4) faktor sekawan dari dan
sebaliknya.
5) sekawan dan dan sebaliknya.
Ingat: (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.
November 30, 2014
3 x2 + 3 xy + 3 y 2
17. Contoh:
Tentukan nilai
Jawab:
x x
- -
1 2 lim1
1
-
® x
x
x x
- -
1 2 lim1
1
-
® x
x x
´ + -
2 1
x x
= - -
lim 2 1
1
-
x
® x x
1 + -
x x
2 1
( )
x x
= - -
lim 2 1
( 1)( 2 1)
® x x x
1 - + -
x
( x
)
= - -
1 lim1
( 1)( 2 1)
® x x x
- + -
x
1 lim1
+ -
2 1
= -
x® x x
November 30, 2014
18. 2. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga
(Pengayaan)
Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit
yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh ,
yaitu .
f ( x
)
g(x)
lim
x®¥
¥
¥
Misalkan pangkat tertinggi dari variabel adalah f(x) dan g(x)
adalah m maka variabel berpangkat tertinggi adalah xm. Nilai
limitnya dapat ditentukan sebagai berikut.
( )
( )
1
ö çè
( )
x
÷ø
çè
m
( ) æ
ö ÷ø
æ
f x
= ´
f x
®¥ ®¥
m
x x
x
g x
g x
1
lim lim
November 30, 2014
20. Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut.
Untuk f(x) = axm + bxm-1 + … + a0 dan g(x) = pxn + qxn-1 + … + b0,
berlaku
untuk m = n
untuk m > n dan a > 0
untuk m > n dan a < 0
untuk m < n
November 30, 2014
21. Contoh:
2
x x
- +
lim 2 1 2
Tentukan nilai
Jawab:
x
®¥ x
+
1
f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1
Koefisien tertinggi f(x) dan g(x) sama, yaitu 1.
1
1
= =
1
2
x x
- +
lim 2 1 2
1
+
®¥ x
Selain bentuk limit tak berhingga di atas, masih ada
bentuk limit lain, yaitu .
x
lim 2 2
ax bx c ax px r
x
+ + - + +
®¥
ax bx c ax px r b p
lim 2 + + - 2 + + = -
®¥
a
x 2
November 30, 2014
22. Contoh:
Tentukan .
Jawab:
Dari bentuk terakhir diperoleh a = 1, b = -4, dan p = -5.
Dengan menggunakan rumus, diperoleh
November 30, 2014
23. 1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri secara Intuitif
Perhatikan gambar! Jika sudut x
makin lama makin kecil
(mendekati 0), panjang a juga
makin mengecil (mendekati 0)
sehingga nilai limit sin x, untuk x
mendekati 0 adalah 0. (Ingat, nilai
sin x adalah panjang sisi di depan
sudut x dibagi dengan sisi
miringnya). Jadi, diperoleh
limsin = sin
® x c
limcos = cos
®
November 30, 2014
x c
x c
x c
dan
24. 2. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Substitusi
Contoh:
Tentukan nilai .
Jawab:
November 30, 2014
( x x)
lim cos - sin
®
x c
( - ) = p - p
lim cos x sin x cos sin
x
®p
= - -
1 0
= -
1
25. 3. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Cara Menguraikan atau Menyederhanakan
Contoh:
lim cos
2
x
Tentukan nilai .
x ®p 1 -
sin
x
2
Jawab
Bentuk ini jika kalian substitusikan secara langsung,
0
diperoleh .
0
Oleh karena itu, bentuk ini harus disederhanakan terlebih
dahulu.
November 30, 2014
26. x
x
x
x
= -
lim1 sin
lim cos
x 1 sin
x 1 sin
2
2
2
2
-
®p - ®p
( x )( x
)
= - +
lim 1 sin 1 sin
x
x 1 sin
2
-
®p
( x)
x
= +
lim 1 sin
®p
2
=1+ sin p
2
= 2
November 30, 2014
27. 4. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Rumus
Rumus limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.
1
sin
lim
0
=
®
x
limsin 1
0
=
®
x
x x
x
x
1
tan
lim
®
0
=
x
lim tan 1
0
=
®
x
x x
x
x
November 30, 2014
28. Selain keempat rumus di atas, rumus-rumus berikut juga
berlaku untuk limit fungsi trigonometri.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
November 30, 2014
30. Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang
mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta.
c c
1.lim
x a
=
®
f x
lim ( )
x ®
a
lim ( )
November 30, 2014
f x
6.lim ( )
( )
g x
g x
x a
x a
®
®
=
31. Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada gambar di
atas berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien
garis g adalah m, nilai m adalah
m = y -
y
2 1
x -
x
2 1
November 30, 2014
32. Sekarang perhatikan Gambar (b).
Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak
mendekati P maka (Δx = x2 – x1 → 0 dibaca: delta x
mendekati nol).
Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva
y = f(x) di titik P sehingga nilai m menjadi
( ) ( )
m = f x + D x -
f x
x
lim
x D
D ®
1 1
0
November 30, 2014
33. Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah
konsep turunan (diferensial). Secara umum, gradien
(kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x) dapat
ditentukan dengan limit berikut.
( ) ( )
m = f x + D x -
f x
x
lim
x D
D ®0
Δx biasanya juga dituliskan dengan h.
Materi ini akan dipelajari di Bab 8.
November 30, 2014
