Integral

INTEGRAL TAK TENTU

 Pengertian Hitung Integral
 Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung
deferensial
 Misal : y = F(x) = x2

dy dF ( x ) 3x2
= = = f(x)
dx dx
dF ( x )
= f ( x)
dx
dF(x)= f(x) dx
Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang "∫"
Sehingga dF(x)=f(x)dx F(x)=
∫ f ( x )dx
Hal.: 2 Integral Adaptif

INTRGRAL TAK TENTU
Misal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalah

X4 karena turunannya 4x3 = F’(x)

X4 + 1 karena turunannya 4x3 = F(‘x)

X4 + 5 karena turunannya 4x3 = F’(x)
X4 + 50 karena turunannya 4x3 = F’(x)

X4 + c karena turunannya 4x3 = F’(x)
Jadi anti turunan dari 4x3 adalah x4 di tambah bilangan c ( c = Konstanta)

∫ 4 x dx = x +c
3 2
Dengan lambang integral di tulis :

Secara um8um di tulis :
∫ f ( x )dx = F ( x ) + c

INTEGRAL TAK TENTU

Rumus – rumus Pengintegralan
x x +1
∫ x dx = n + 1 + c, n ≠ 1
n
a.

b. ∫ ax n dx =a ∫ x n dx , n ≠ 1
1
c. ∫ x −1dx =∫ dx = lx + c
x

d. ∫ adx =ax + c
e.
∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx


Integral Tak Tentu
Contoh:
1. Tentukan dari
∫ xdx 2. Integralkanlah (5x – 1)2

Penyelesaian Penyelesaian

x n +1
∫ xdx = n +1 + c ∫ (6 x 2 − 1)2 dx = ∫ (36 x 2 − 12 x + x + 1)dx

x2 36 3 12 2
= +c = x − x + x +c
2 3 2
1
= x+c = 12x3 – 6x2 + x + c
2


Integral Tak Tentu

3. Tentukan ∫ ( 2ox 4 + 4 x + 10 − 5x −1 ) dx
Penyelesaian
20 3 4 2
∫ (2ox + 4 x + 10 − 5x )dx = 5 x + 2 x + 10 x − 5 ln x + c
4 −1

= 4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c
1
4. Tentukan ∫( X
+ X ) dx

Penyelesaian
1 1
−
∫ (x
1
∫( + X ) dx 2
+ x ) dx
2
X =
1 3
2
2x + x 2 + c
2
= 3
2
= 2 x + x x +c
3

INTEGRAL TERTENTU

Bentuk umum intergral tertentu

∫ f ( x)dx = [ F ( x)]
b
b
= f (b) − f ( x )
a
a

a disebut batas bawah

b disebut batas bawah

F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)

F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b

F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a


INTEGRAL TERTENTU

 Sifat-sifat intergral tertentu
b a
1. ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
a b
c b c
2. ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx; a∠ b∠ c
a a b
a

3. ∫ f ( x ) dx =0
a
b b

4. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx; k ( Konsanta)
a a


INTEGRAL TERTENTU
Contoh : 2 1

1.Tentukan nilai dari ∫ x 3dx ∫
2. Tentukan nilai dari ( 2 x + 3x 2 ) dx
0
1
Penyelesaian Penyelesaian

[ ]
1
2
31
∫ (2 x + 3x )dx
2
= x +x
2
1 4  2

∫ x 3dx = 2 x 
 
0

= (12 + 13 ) − 3( 02 + 03 )
1 0
1
1 4 1 4
=  .2  −  1 
4  4 
= ( 1 + 1) − 0
1
= 4- 4 = 2
3
= 3
4


LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

Penggunaan Integral

y = x2
9


Penggunaan Integral
Kompetensi Dasar

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah
dan volume benda putar.
Indikator Hasil Belajar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh
beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan menggunakan
limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan
menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume benda
putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu
koordinat dan menghitungnya.


Runtuhnya Jembatan Tacoma,
Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat
bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan
68 km/jam.

Back Next


Penggunaan Integral

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan
kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan
menggunakan integral.
Back Next


Penggunaan Integral

Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda putar jika
kurva di atasnya diputar menurut
garis horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari juga
penggunaan integral untuk
menghitung volume benda putar.


Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

Y

Menentukan luas daerah dengan
limit jumlah dapat diilustrasikan
oleh gambar di samping. Langkah
y = sin x
utama yang dilakukan adalah X

memartisi, mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan menghitung
limitnya.

Home Back Next



y
Langkah menghitung luas daerah y = f(x)

dengan limit jumlah adalah:
1. Bagilah interval menjadi selang
yang sama panjang.
Li f (x i )
2. Partisilah daerah tersebut.
x
3. Masing-masing partisi buatlah 0 xi a
∆x
persegi panjang.
4. Perhatikan persegi panjang
pada interval [xi-1 , xi].

Home Back Next



Langkah menghitung luas y
y = f(x)
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua Li f (x i )

persegi panjang x
0 xi a
7. Hitung nilai limit jumlahnya
∆x
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) ∆x

Jumlah luas persegi panjang :L ≈ Σ f(xi) ∆x

Limit jumlah : L = lim Σ f(xi) ∆x (n→ ∞)
Home Back Next


Luas Sebagai Limit Jumlah
Luas Daerah
Contoh 1.
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan
menggunakan cara limit jumlah.
Jawab f (x) = x 2
y
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah
selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi
panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi panjang pada
interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.
x i +12
x0 = 0
x1 = 3/n Li

x2 = (3/n) × 2 = 6/n

( )
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n x
2 3(i +1) xi
Li = x i +12 3
×n = n
3
×n 0 x1 x2 x3 xi+1 3
3/n
27
L i = 3 ( i + 1) 2
n

Home Back Next



4. Jumlahkan luas semua partisi
n −1 27 n n ( n +1)( 2 n +1)
L≈ ∑ 3
(i + 1) 2 2
∑k =
i =0 n 6 f (x) = x 2
k=1
y
27
(
L ≈ 3 12 + 2 2 + ... + n 2
n
)
27 1
L≈ × n(n + 1 2n + 1
)( )
n3 6
9 1 1
L≈ (1 + n )(2 + n )
2 x i +12

5. Tentukan limitnya Li

9 1 1
L = lim (1 + n )(2 + n )
n →∞ 2
x
0 x1 x2 x3 xi xi+1 3
9
L= (1 + 0)(2 + 0) = 9 3/n
2

Jadi luas daerah = 9 satuan

Home Back Next


Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n
y
bagian (lebar tidak harus sama) dengan
lebar selang ke-i adalah ∆xi = xi – xi-1.

Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel

xk maka jumlah Riemann dituliskan
sebagai :
x n
0 a b ∑f ( x k ) Δx k
xi-1 xk xi k=1
∆ xi
b n
Selanjutnya didefinisikan bahwa: ∫ f ( x) dx = lim ∑f ( x k ) Δx k
a n→ k =
∞ 1
b
Bentuk ∫ f ( x) dx disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)
a

Home Back Next


Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
b
berlaku :
berlaku : ∫ f ( x) dx = F(b) − F(a)
a

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai [ F(x) ] a
b
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Contoh 2.
2
2
(
Hitunglah nilai dari ∫ 6 x −4 x dx )
−1

( )
Jawab
[ ]
2 2
2
∫ 6 x − 4 x dx = 2 x 3 − 2 x 2 − 1
−1

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]

Home = 16 – 8 + 2 - 2 = 8 Back Next


Menghitung Luas dengan Integral

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
y y
f (x)
f (x)

Tentukan limitnya
n→∞

b
n
∑ f ( xi )∆ i
x ∫ f ( x) dx
i=1 a
x x
0 a ∆x b 0 a b

b n
L = ∫ f ( x) dx = lim ∑ ( x i ) ∆ i
f x
Home a n→ i =
∞ 1 Back Next



Kegiatan pokok dalam menghitung luas
∆xi y = f (x)
y
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li f ( xi )

Li ≈ f(xi) ∆xi

4. Jumlahkan luas partisi
x
0 xi a
L ≈ ∑ f(xi) ∆xi

5. Ambil limitnya L = lim ∑ f(xi) ∆xi
a
L = ∫ f ( x) dx
6. Nyatakan dalam integral 0

Home Back Next



Contoh 3.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

Jawab
Langkah penyelesaian : f ( x) = x 2
1. Gambarlah daerahnya y
∆xi
3. Aproksimasi luasnya Li ≈ xi2 ∆xi
4. Jumlahkan luasnya L ≈ ∑ xi2 ∆xi
5. Ambil limit jumlah luasnya xi 2
L = lim ∑ xi2 ∆xi Li

6. Nyatakan dalam integral dan
3
hitung nilainya L = ∫ x 2 dx x
0 0 xi 3
3
L=  x3  = 33
−0 = 9
Home
 3 0
  3
Back Next



Contoh 4.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 5

Jawab y ∆xi

Langkah penyelesaian:
4 xi − xi 2
1. Gambar dan Partisi daerahnya
Li
∆xj
2. Aproksimasi : Li ≈ (4xi - xi2)∆xi dan
4 xj 5 x
Aj ≈ -(4xj - xj )∆xj
2 0 xi

4. Jumlahkan : L ≈ ∑(4xi - xi2)∆xi dan Aj
0 − (4 x − x 2 )
A ≈ ∑ -(4xj - xj2)∆xj
5. Ambil limitnya L = lim ∑ (4xi - xi2)∆xi
dan A = lim ∑ -(4xj - xj2)∆xj f ( x) = 4 x − x 2
4 5
6. L = ∫(4 x − x 2 ) dx
Nyatakan dalam integral ∫ − 4 x − x 2 ) dx
A = (
Home 0 4 Back Next



4
L = ∫ (4 x − x 2 ) dx
0

[
L = 2x 2 − 3 x 3
1
]
4
0
y ∆xi

L = 2(4)2 − 3 (4)3 − 0 = 32 − 64
1
3
4 xi − xi 2
Li
5 ∆xj
2
A = ∫ − 4 x − x ) dx
(
4 4 xj 5 x
0
[ ]
5 xi
A = − 2x 2 + 3 x 3
1
4 Aj

A = −2(5)2 + 3 (5)3 − − 2(4)2 + 3 (4)3
1 1
( ) 0 − (4 x − x 2 )

A = −50 + 125 + 32 − 64
3 3

61
A = 3
−18 f ( x) = 4 x − x 2

Luas daerah = 32 − 64 +
3
61
3
− 18

Luas daerah = 13
Home Back Next



LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian: y
y = f (x)
∆x
2. Aproksimasi : Li ≈ [ f(x) – g(x) ] ∆x
Li f (x) − g(x)
4. Jumlahkan : L ≈ ∑ [ f(x) – g(x) ] ∆x x
0 a b
5. Ambil limitnya :
L = lim ∑ [ f(x) – g(x) ] ∆x x
y = g(x)

6. Nyatakan dalam integral tertentu
b
L= ∫ [ f(x) − g(x)] dx
Home a Back Next


Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

Contoh 5.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x

Jawab
y
1. Gambar daerahnya y = 2−x
5
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x → x2 + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0 ∆x
4
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya 3
y = x2
4. Aproksimasi luasnya (2 − x) − x 2
Li 2
Li ≈ (2 - x - x2)∆x
4. Jumlahkan luasnya 1
L ≈ ∑ (2 - x - x2)∆x
x
5. Tentukan limit jumlah luasnya 0
-3 -2 -1 1 2
L = lim ∑ (2 - x - x2)∆x x
1
L = ∫ (2 − x − x 2 ) dx
−2
Home Back Next



1
L = ∫(2 −x − x 2 ) dx
−2
1
L = 2 x − x − x3 
3 y
y = 2−x

 2 −2
 5

∆x
L =  2(1 − 12
 )
2 3
− 13  −  2(−2) − ( −2)2 − (−2)3 
 
4

   2 3 
 3
y = x2
1
( 1
) (
L = 2 − 2 − 3 − −4 −2 + 8
3
) (2 − x) − x 2
Li 2

1
L = 2 − 2 − 3 +4 +2 − 8
1 1
3 x
-3 -2 -1 0 1 2
1 1 x
L =5 −2 =4 2

Home Back Next



Untuk kasus tertentu pemartisian y = g(x)
y
y = f (x)
secara vertikal menyebabkan ada ∆x

dua bentuk integral. Akibatnya Li
∆x f(x) − g(x)

diperlukan waktu lebih lama untuk
Ai x
menghitungnya. 0 a b

2 f ( x)

a b
Luas daerah = ∫ 2 f ( x)dx+ ∫ ( f (x) − g(x)) dx
0 a

Home Back Next



Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
y = g( x) ⇔ x = g(y )
y
y = f ( x) ⇔ x = f (y )
d
g(y ) − f (y )

Li ∆y
x
0

c

d
Luas daerah = ∫ ( g(y ) − f (y )) dy
Home c Back Next



Contoh 6.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x

Jawab
1. Gambar daerahnya
y
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y → y2 + y – 6 = 0 → (y + 3)(y – 2) = 0
6
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya (6 − y) − y 2
4. Aproksimasi luasnya x = y2
Li ≈ (6 - y - y2)∆y 2
4. Jumlahkan luasnya ∆y
Li
L ≈ ∑ (6 - y - y2)∆y y
6 x
5. Tentukan limitnya
0
L = lim ∑ (6 - y - y2)∆y x =6−y

∫(6 −y )
2
Luas daerah = −y 2 dy
0
Home Back Next



∫(6 −y )
2
Luas daerah = −y 2 dy
0
y
2
y3 
 
 y y
Luas daerah = 6 − −
 2 3  6

 
0
(6 − y) − y 2
23  0
 
2
Luas daerah =  (2) − −
6 − x = y2
 2 3 
  2
Li ∆y

12 1 8
−−  y
Luas daerah = 
 3 x
6
0
x =6−y
25
Luas daerah =
3

Home Back Next


Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh

360º, maka akan terbentuk suatu

benda putar. Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda putar

dengan integral adalah: partisi,

aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

dalam integral tentu. Gb. 4

Home Back Next


Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
y y

4

3

2
0 x
x
1
x
- - 0 1 2
2 1

Home Back Next


Volume Benda Putar Metode Cakram

Metode cakram yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume

mentimun dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Home Back Next


y

Bentuk cakram di samping dapat ∆x

dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
f (x)
r = f(x), tinggi h = ∆x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai x a
x

∆V ≈ πr2h atau ∆V ≈ π f(x)2∆x.
y
Dengan cara jumlahkan, ambil
h=∆x
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
r = f (x)
V ≈ ∑ π f(x) ∆x
2

0 x
V = lim ∑ π f(x)2 ∆x
a
v =π ∫[ f ( x)]2 dx
0 x

Home Back Next


Contoh 7.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Jawab
y
y
Langkah penyelesaian: y = x2 + 1
1. Gambarlah daerahnya ∆x h=∆x

2. Buat sebuah partisi
1 x2 + 1 r = x2 + 1
3. Tentukan ukuran dan
x x
bentuk partisi x 2
4. Aproksimasi volume partisi
x
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
Home Back Next



∆V ≈ πr2h y

∆V ≈ π(x2 + 1)2 ∆x
h=∆x

V ≈ ∑ π(x2 + 1)2 ∆x
r = x2 + 1

V = lim ∑ π(x2 + 1)2 ∆x x

2
V = ∫π x 2 +1 2 dx
( )
0 x

2
V = ∫ π (x 4 + 2 x 2 + 1 dx
)
0

[5
V =π 1 x 5 + 2 x 3 + x
3
2
]0
V = π( 32 + 16 + 2 − 0) = 1311 π
5 3 15

Home Back Next


Contoh 8.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Jawab y
y = x2
2
1. Gambarlah daerahnya y

∆y
2. Buatlah sebuah partisi y

3. Tentukan ukuran dan bentuk x

y
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
r= y
diputar, jumlahkan, ambil
h=∆y
limitnya, dan nyatakan dalam y

x
bentuk integral.
Home Back Next



∆V ≈ πr2h y

∆V ≈ π(√y)2 ∆y
2
V ≈ ∑ πy ∆y
r= y

V = lim ∑ πy ∆y h=∆y
2
V = ∫π dy
y y

0
2 x
V =π∫ydy
0

V =π [ 1
2 y2 ] 2
0

V = π ( 2 × 4 − 0)
1

V = 2π
Home Back Next


Volume Benda Putar Metode Cincin

Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay
dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin.

Home Back Next



Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= π(R2 – r2)h Gb. 5

R
r
h

Home Back Next


Contoh 9.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Jawab
y
y = x2
1. Gambarlah daerahnya y = 2x
2. Buat sebuah partisi 4
∆x
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi 2x
x

4. Aproksimasi volume partisi x2
x
yang diputar, jumlahkan, x
2

ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
Home Back Next


y y = x2
∆V ≈ π(R2 – r2) h y = 2x
4
∆x
∆V ≈ π [ (2x)2 – (x2)2 ] ∆x

∆V ≈ π (4x2 – x4) ∆x R=2x
r=x2
V ≈ ∑ π (4x2 – x4) ∆x 2
x
x

V = lim ∑ π (4x2 – x4) ∆x y
2 2 4
V = π ∫ (4 x − x ) dx
0

V =π
3
[
4 x3 − 1 x5 2
5 0
]
V = π( 32 − 32 ) x
3 5
V = π( 160 −96 )
15
V = 64 π
Home 15 Back Next


Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung yang digunakan

untuk menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar disamping.

Home Back Next



∆r
r

h

h
V = 2πrhΔr

2πr
Δr

Home Back Next


Contoh 10.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Jawab

y = x2
1. Gambarlah daerahnya
4
2. Buatlah sebuah partisi
3 ∆x
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
2
4. Aproksimasi volume partisi yang
1 x2
diputar, jumlahkan, ambil limitnya, x
0 1 2
dan nyatakan dalam bentuk integral. x

Home Back Next


y y
2
y=x

4 4

3 ∆x 3 ∆x
r=x
2 2

1 x2 1 h = x2
x x
0 1 2 1 2 0 1 2
x

2
∆V ≈ 2πrh∆x V = 2π ∫ x 3 dx
0

[ ]
2
∆V ≈ 2π(x)(x2)∆x 1 4
V = 2π 4 x
0
V ≈ ∑ 2πx ∆x 3

V = 8π
V = lim ∑ 2πx3∆x
Home Back Next



Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
∆V ≈ π(R2 – r2)∆y
y y
y=x 2 ∆V ≈ π(4 - x2)∆y
4 4
V ≈ ∑ π(4 – y)∆y

3
V = lim ∑ π(4 – y)∆y
3
4
V = π ∫ ( 4 − y ) dx
R=2
2 2
r=x 0

[ ]
∆y 4
1 1 2
1 V =π 4y −2 y
x 0
x
0
x
1 2 -2 -1 0 1 2 V = (16 − 8)π
V = 8π
Home Back Next


Penggunaan Integral Latihan

Latihan (6 soal)

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Home Back Next



Soal 1.

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
integral sebagai .... Y
y = x2
2 2
A ∫x
2
dx D ∫ (4 − x 2 ) dx
0 0 4
4 4
B ∫ y dy E ∫ (4 − x 2 ) dx
0 0
4 2
∫x dx X
C 0 2
0

Home Back Next



Soal 1.

y = x2
2 2
A ∫x
2
dx D ∫ (4 − x 2 ) dx
0 0 4
4 4
B ∫ y dy E ∫ (4 − x 2 ) dx
0 0
4 2
∫x dx X
C 0 2
0

Jawaban Anda Benar
∆ L ≈ (4 – x2) ∆x

L ≈ ∑ (4 – x2) ∆x

L = lim ∑ (4 – x2) ∆x
2
Home
L = ∫ (4 − x 2 ) dx ( Jawaban D ) Back Next
0



Soal 1.

y = x2
2 2 ∆x
A ∫x
2
dx D ∫ (4 − x ) dx
2
0 0 4
4 4 4 - x2
∫ y dy − x ) dx
2
B E ∫ (4
0 0
4 2
∫x dx X
C 0 2
0 x

Jawaban Anda Salah

∆ L ≈ (4 – x2) ∆x

L ≈ ∑ (4 – x2) ∆x

L = lim ∑ (4 – x2) ∆x
2
Home
L = ∫ (4 − x 2 ) dx ( Jawaban D ) Back Next
0



Soal 2.

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

Y
A 4,5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas
y = 4 − x2
B 6 satuan luas E 10 2/3 satuan luas

C 7,5 satuan luas
X
0

Home Back Next



Soal 2.


Y
y = 4 − x2

C 7,5 satuan luas
X
0

Jawaban Anda Benar

L = [4 x − ]
2
∆ L ≈ (4 – x2) ∆x 1
3 x 3
−2

L ≈ ∑ (4 – x2) ∆x L = (8 − 8 ) − (−8 + 8 )
3 3

L = lim ∑ (4 – x2) ∆x 32
L = =10 2
3
( Jawaban E )
2 3
Home L = ∫ (4 − x 2 ) dx Back Next
−2



Soal 2.


Y
∆x
y = 4 − x2

C 7,5 satuan luas
X
-2 0 2
x

Jawaban Anda Salah

L = [4 x − ]
2
∆ L ≈ (4 – x2) ∆x 1
3 x 3
−2

L ≈ ∑ (4 – x2) ∆x L = (8 − 8 ) − (−8 + 8 )
3 3

L = lim ∑ (4 – x2) ∆x 32
L = =10 2
3
( Jawaban E )
2 3
Home L = ∫ (4 − x 2 ) dx Back Next
−2



Soal 3.

Y
A 5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas y = 2x

B 7 2/3 satuan luas E 10 1/3 satuan luas

C 8 satuan luas
X
0
y = 8 − x2

Home Back Next



Soal 3.

Y


C 8 satuan luas
X
0 2
y = 8 − x2

Jawaban Anda Benar

∆ L ≈ (8 – x2 -2x) ∆x L = 16 − 8 − 4
3

2
L = ∫ (8 − x 2 − 2 x) dx 28
0 L = =9 3
1 ( Jawaban D )
3

[ ]
2
Home L = 8x − 3 x 3 − x 2
1
0
Back Next



Soal 3.

Y


C 8 satuan luas
X
0 2
y = 8 − x2

Jawaban Anda Salah

∆ L ≈ (8 – x2 -2x) ∆x L = 16 − 8 − 4
3

2
L = ∫ (8 − x 2 − 2 x) dx 28
0 L = =9 3
1 ( Jawaban D )
3

[ ]
2
Home L = 8x − 3 x 3 − x 2
1
0
Back Next



Soal 4.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y22 dan garis x + y = 2 adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y dan garis x + y = 2 adalah ….


B 4,5 satuan luas E 20 5/6 satuan luas

C 6 satuan luas

Home Back Next



Soal 4.

Y

1
B 4,5 satuan luas E 20 5/6 satuan luas
X
0

C 6 satuan luas -2 x = y2
x = 2− y

Jawaban Anda Benar

∆ L ≈ [(2 – y ) – y2 ] ∆y L = (2 − 2 − 3 ) − (−4 − 2 + 8 )
1 1
3

1
L = ∫ (2 − y − x 2 ) dy 9
−2
L = = 4,5 ( Jawaban B )
2
[ ]
1
Home L = 2y − 2 y 2 − 3 y 3
1 1
−2
Back Next



Soal 4.

Y
1
B 4,5 satuan luas E 20 5/6 satuan luas X
0

C 6 satuan luas -2 x = y2
x = 2− y

Jawaban Anda Salah

∆ L ≈ [(2 – y ) – y2 ] ∆y L = (2 − 2 − 3 ) − (−4 − 2 + 8 )
1 1
3

1
L = ∫ (2 − y − x 2 ) dy 9
−2
L = = 4,5 ( Jawaban B )
2
[ ]
1
Home L = 2y − 2 y 2 − 3 y 3
1 1
−2
Back Next



Soal 5.

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... Y
4 4
A v = π ∫ x dx D v = 2π ∫ x x dx
0 0
2 y= X
4 2
B v = π ∫ x 2 dx E v = 2π ∫ (16 − y ) dy
0 0
0 X
4
2
C v = π ∫ y dy
0

Home Back Next



Soal 5.

menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... Y
4 4
0 0
2 y= X
4 2
B v = π ∫ x 2 dx E v = 2π ∫ (16 − y ) dy
0 0
0 X
4
2
C v = π ∫ y dy
0

Jawaban Anda Benar

∆ V ≈ 2πx√x ∆x
4
V = 2π ∫ x x dx ( Jawaban D )
0

Home Back Next



Soal 5.

4 4 Y
0 0

2 y= X
4 2
B v = π ∫ x dx
2
E v = 2π ∫ (16 − y ) dy
0 0 x

0 x X
2 4
C v = π ∫ y dy
0

Jawaban Anda Salah

∆ V ≈ 2πx√x ∆x
4
V = 2π ∫ x x dx ( Jawaban D )
0

Home Back Next



Soal 6.

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Y
A 4π satuan volum D 12π satuan volum

2 y= X
B 6π satuan volum E 15π satuan volum

0 X
C 4
8π satuan volum

Home Back Next



Soal 6.

Y

2 y= X
B 6π satuan volum E 15π satuan volum

0 X
C 4
8π satuan volum

Jawaban Anda Benar

∆ V ≈ π(√x)2 ∆x
4
V = π ∫ x dx
0

[ ]
4
V =π 1
2 x2 0

Home
V = 8π ( Jawaban C ) Back Next



Soal 6.

Y
2 y= X
B 6π satuan volum E 15π satuan volum x

0 x X
4
C 8π satuan volum

Jawaban Anda Salah
∆ V ≈ π(√x)2 ∆x
4
V = π ∫ x dx
0

[ ]
4
V =π 1
2 x2 0

V = 8π ( Jawaban C )
Home Back Next


Media Presentasi Pembelajaran

Penggunaan Integral
Selesai

Terima Kasih


Integral

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (12)

Similar to Integral

Similar to Integral (20)

More from Eko Supriyadi

More from Eko Supriyadi (20)

Integral