Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat eksponen dan akar pangkat, termasuk definisi, sifat-sifat operasi pangkat dan akar, serta contoh soal dan pembahasannya.

1. 1
SIFAT-SIFAT EKSPONEN
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1. Memahami definisi eksponen.
2. Memahami sifat-sifat bentuk pangkat.
3. Memahami sifat-sifat bentuk akar.
4. Menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat dan akar dalam pemecahan masalah.
A. DEFINISI EKSPONEN
Eksponen atau bilangan berpangkat dinotasikan dengan am
(dibaca a pangkat m), dengan
a, m∈R, a > 0, dan a ≠ 1. Pada notasi eksponen, a disebut basis atau bilangan pokok,
sedangkan m disebut pangkat atau eksponen. Jika m adalah bilangan bulat positif, maka
definisi dari eksponen dapat dinyatakan sebagai berikut.
a a a a am
m
= ...
sebanyak bilangan
× × × ×  
B. SIFAT-SIFAT BENTUK PANGKAT
Jika a dan b bilangan real, serta m dan n bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat
berikut.
1. am
× an
= am + n
matematika PEMINATAN
KelasX
K13

2. 2
2. a
a
a a m n
m
n
m n
= ,dengan 0 dan >−
≠
3. (am
)n
= am × n
4. (a × b)m
= am
× bm
5. a
b
a
b
b
m m
m





 = ,dengan 0≠
6. a0
= 1, dengan a ≠ 0
7. a
a
am
m
−
≠=
1
, dengan 0
8. a a n
m
n mn
= ,dengan 2≥
Contoh Soal 1
Tentukan hasil dari operasi eksponen berikut!
a. 32
× 3
b.
2
2
4
2
c. (52
)3
d. 23
× 33
e.
10
2
2
2
f. 4–3
g. 2 3
2 3
3
3
1
−
−
×
×






h.
8
2
3
Pembahasan:
a. Dengan menggunakan sifat am
× an
= am + n
, diperoleh:
32
× 31
= 32 + 1
= 33
= 27
Jadi, 32
× 3= 27.

3. 3
b. Dengan menggunakan sifat
a
a
a a m n
m
n
m n
= ,dengan 0 dan >−
≠, diperoleh:
2
2
= 2
= 2
= 4
4
2
4 2
2
−
Jadi,
2
2
= 4.
4
2
c. Dengan menggunakan sifat (am
)n
= am × n
, diperoleh:
5 = 5
= 5
=15.625
2
3
2 3
6
( ) ×
Jadi, (52
)3
= 15.625.
d. Dengan menggunakan sifat am
× bm
= (a × b)m
, diperoleh:
23
× 33
= (2 × 3)3
= 63
= 216
Jadi, 23
× 33
= 216.
e. Dengan menggunakan sifat
a
b
a
b
b
m m
m





 = ,dengan 0≠, diperoleh:
10
2
=
10
2
= 5
= 25
2
2
2
2






Jadi,
10
2
= 25.
2
2
f. Dengan menggunakan sifat a
a
am
m
−
≠=
1
,dengan 0, diperoleh:
4 =
1
4
=
1
64
3
3
−
Jadi, 4 =
1
64
.3−

4. 4
g. Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh:
2 3
2 3
=
2 3
2 3
=
2 2 3
3
= 2 3
=144
3
3
1
3 1
1 3
3 3
4 2
−
−
−
− −
×
×
×
×
× ×






Jadi,
2 3
2 3
= 2 3 =144.
3
3
1
4 2
−
−
×
×






h. Dengan menggunakan sifat a a n
m
n mn
= ,dengan 2≥, diperoleh:
8 = 8
= 64
= 4
2
3 23
3
Jadi 8 = 8
= 64
= 4
2
3 23
3
= 4
Contoh Soal 2
Sederhanakan operasi bentuk pangkat berikut!
a. 4 23 2 2 1
x y x y− −
( )( )
b.
64
2
7 6
7 8 2
1
a b
a b
− −
− −
−








Pembahasan:
a. Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh:
4 2 = 4 2
4 2=
= 8
3 2 2 1 3 2 2 1
3 2 2 1
-3
x y x y x y x y
x x y y
x
− − − −
− −
( )( ) ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ++2
1
2 1
= 8
=
8
⋅ y
x y
y
x
−
−
Jadi, 4 2 =
8
.3 2 2 1
x y x y
y
x
− −
( )( )

5. 5
b. Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh:
64
2
2
2
2
=
=
7 6
7 8 2
1
6 7 6
7 8 2
1
1
a b
a b
a b
a b
a
− −
− −
−
− −
− −
−
−
















bb
a b
b
a
−
−
−
4
1
1 4
4
=
=
2
2
( )
Jadi,
64
2
=
2
.
7 6
7 8 2
1
4a
a a
b
b
b
− −
− −
−








Contoh Soal 3
Bentuk sederhana dari
b a a b
a b b a
−
−
−
−
( ) ( )
( ) ( )
10 7
9 8
+
+
adalah ....
Pembahasan:
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat-sifat bentuk
pangkat, diperoleh:
b a a b
a b b a
a b a b
a b a b
−
−
− −
−
−
−
−
( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
( ) (
10 7
9 8
10 7
9
+
+
=
1 +
+ ))
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
−
− −
−
−
−
8
10 10 1
9
2 2
=
1 +
= +
=
a b a b
a b
a b a b
a b
Jadi, bentuk sederhana dari
b a a b
a b b a
−
−
−
−
( ) ( )
( ) ( )
10 7
9 8
+
+
adalah a2
– b2
.

6. 6
Contoh Soal 4
Jika 22017
– 22016
– 22015
= ab
, dengan a bilangan prima, maka a + b = ....
Pembahasan:
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat-sifat bentuk
pangkat, diperoleh:
2 2 2 =
2 2 2 =
2 2 2 2
2017 2016 2015
2+2015 1+2015 2015
2 2015
− −
⇔ − −
⇔ × − ×
a
a
b
b
22015 2015
2015
2015
2 =
2 = ,maka :
2 =
=
2 =
Misal
4
−
⇔ − −
⇔
⇔
a
p
p p p a
p a
a
b
b
b
bb
a b
Olehkarena2adalahbilanganprima,maka :
= 2dan = 20155
Jadi, = 2017.a+ b
C. SIFAT-SIFAT AKAR PANGKAT
Akar dari suatu bilangan dinotasikan dengan an
(dibaca akar pangkat n dari a), dengan n
bilangan positif, n ≥ 2, dan a ≥ 0. Pada notasi akar, a disebut radikan, sedangkan n disebut
pangkat akar.
Jika a, b, p, dan q bilangan rasional positif, a, b ≥ 0, serta n ≥ 2, maka berlaku sifat-sifat
berikut.
1. a b = abn n n
×
2.
a
b
=
a
b
n
n
n
3. a = an
n
( )
4. p a q a = p q an n n
± ±( )
5. a b a b = a b+( )( )− −
6. a+ b ab = a b( )± ±2

7. 7
Contoh Soal 5
Tentukan nilai dari bentuk akar berikut!
a. 72
b.
72
9
3
3
c. 32 4 50 + 18−
d. 3 2 + 2 3
2
( )
Pembahasan:
a. Dengan menggunakan sifat a b = abn n n
× , diperoleh:
72 = 36 2
= 36 2
= 6 2
×
×
Super "Solusi Quipper"
Selain menggunakan sifat-sifat akar pangkat, bentuk pada soal juga dapat
diselesaikan dengan pohon faktor berikut.
72
2
2
Untuk yang berpasangan
ditulis sekali
Untuk yang tidak
berpasangan diakarkan
3
36
18
9
3
3
2
2
72 = 2 3 2 = 6 2× ×
Jadi, 72 =
72 = 36 2
= 36 2
= 6 2
×
×

8. 8
b. Dengan menggunakan sifat
a
b
=
a
b
n
n
n , diperoleh:
72
9
=
72
9
= 8
= 2
3
3
3
3
Jadi,
72
9
=
72
9
= 8
= 2
3
3
3
3
= 2
c. Dengan menggunakan sifat-sifat akar pangkat, diperoleh:
32 4 50 + 18 = 16 2 4 25 2 + 9 2
= 16 2 4 25 2 + 9 2
= 4 2 4 5 2 + 3 2
= 4 2 20 2 + 3 2
=
− × − × ×
−
− ×
−
--13 2
Jadi, 32 4 50 + 18 = 13 2.− −
d. Dengan menggunakan sifat-sifat akar pangkat, diperoleh:
3 2 + 2 3 3 2 + 2 3 2 2 3 + 2 3
3 2 12 6 + 2 3
9 2 +12 + 4 3
=
= +
= 6
2 2 2
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
× ×
× ×
== 30 +12 6
Jadi, 3 2 + 2 3 = 30 +12 6.
2
( )
Contoh Soal 6
Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini!
a.
4
2
b.
8
2 3

9. 9
c.
2 + 3
2 3−
d.
16
5 + 3
Pembahasan:
a. Berdasarkan sifat
a
b
=
a
b
b
b
=
a b
b
× , diperoleh:
4
2
=
4
2
2
2
=
4 2
2
= 2 2
×
Jadi,
4
2
= 2 2.
b. Berdasarkan sifat
a
b
=
a
b
b
b
=
a b
b
× , diperoleh:
8
2 3
=
8
2 3
3
3
=
8 3
6
=
4
3
3
×
Jadi,
8
2 3
=
4
3
3.
c. Dengan menggunakan bentuk sekawan dari penyebutnya, diperoleh:
2 + 3
2 3
=
2 + 3
2 3
2 + 3
2 + 3
=
2 + 3
4 3
= 4 + 4 3 + 3
= 7 + 4 3
2
− −
×
−
( )
Jadi,
2 + 3
2 - 3
= 7 + 4 3.

10. 10
d. Dengan menggunakan bentuk sekawan dari penyebutnya, diperoleh:
16
5 + 3
=
16
5 + 3
5 3
5 3
=
16 5 3
5 3
= 8 5 3
= 8 5 8 3
×
−
−
−
−
−
−
( )
( )
Jadi,
16
5 + 3
= 8 5 8 3.−
Contoh Soal 7
Sederhanakan bentuk berikut!
a. 8 2 15−
b. 7 + 4 3
c. 3+ 5
d. 14 + 5 3
Pembahasan:
a. Dengan menggunakan sifat a+ b ab = a b( )± ±2 , diperoleh:
8 2 15 = 5+ 3 2 5.3
= 5 3
− −
−
( )
Jadi, 8 2 15 = 5 3.− −
b. Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
a+ b ab = a b( )± ±2 , diperoleh:
7 + 4 3 = 7 + 2 2 3
= 7 + 2 4 3
= 7 + 2 12
= 4 + 3 + 2 4 3
= 4 + 3
= 2 + 3
×
×( )

11. 11
= 7 + 2 4 3
= 7 + 2 12
= 4 + 3 + 2 4 3
= 4 + 3
= 2 + 3
×( )
Jadi, 7 + 4 3 = 2 + 3.
c. Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
a+ b ab = a b( )± ±2 , diperoleh:
3+ 5 =
3+ 5
1
2
2
=
6 + 2 5
2
=
(5+1)+ 2 5.1
2
=
5 + 1
2
=
5 +1
2
×
Jadi, 3+ 5 =
5 +1
2
.
d. Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
a+ b ab = a b( )± ±2 , diperoleh:
14 + 5 3 = 14 + 25 3
= 14 + 75
2
2
=
28 + 2 75
2
=
25+ 3 + 2 25 3
2
=
25 + 3
2
=
5+ 3
2
×
×( )
Jadi, 14 + 5 3 =
5+ 3
2
.