2014年度秋学期　統計学　第５回　分布をまとめるー平均・分散 (2014. 10. 22)

A. Asano, Kansai Univ.
2014年度秋学期　統計学
分布をまとめる̶平均・分散
浅野　晃
関西大学総合情報学部
第５回

代表値

代表値とは
統計学が相手にするのは，
「分布」しているデータ
2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.

代表値とは
統計学が相手にするのは，
「分布」しているデータ
（大般若会の写真）
データをこんな
ふうに読めれば
いいけれど…
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm

代表値とは
こんなことはできないので，
Univ.
Kansai http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
Asano, A. 2014年度秋学期

代表値とは
•図示する（ヒストグラム）
Univ.

代表値とは
•ひとつの数にまとめる
Univ.

代表値とは
［代表値］
Univ.

代表値とは
［代表値］
数字で表されていれば，
計算ができる
Univ.

平均
とくに［算術平均］は
代表的な代表値

平均
とくに［算術平均］は
代表的な代表値
（算術）平均
　　＝（データの合計）÷（データ数）

術平平均
均
デーデターをタ
x1, x2, . . . , xn，総データ) は次の式で定義されます。
タの合計）／（データ数）です。ふの総デー総デター数タ数
をn とするとき，算術平す。
x ¯x1 + x2 + + xn
1
x ¯=
· · · =
Univ.
Kansai n
n
まAsano, り，算術平均＝（データの合計A. とをさします。
2014年度秋学期　とき

術平平均
均
タの合計）／（データ数）です。ふの，総データ数をn とするとき，算術平均(arithmetic ます。
総デー総デター数タ数
¯x まり，算術平均＝（データの合計とをさします。
x1 + x2 + · · · + xn
xi x ¯=
データの合計）／（データ数）です。ふつう，2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
n
=
1
n
とき
平均
xn¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
1
n
!n
i=1

術平平均
均
タの合計）／（データ数）です。ふの，総データ数をn とするとき，算術平均(arithmetic ます。
総デー総デター数タ数
xi データの合計）／（データ数）です。ふつう，和
x ¯x1 + x2 + + xn
1
x ¯=
· · · =
Univ.
Kansai n
n
まAsano, り，算術平均＝（データの合計A. とをさします。
2014年度秋学期　とき
平均
xn¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
1
n
!n
i=1

度数分布から平均を求める
度数分布とは，これでした
　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
以上未満階級値度数相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
50 1 (100%)
表1: 度数分布表

度数分布から平均を求める
平均=(データの合計)/(データ数)
　　=([階級値×度数]の合計)/(データ数)
　　=[階級値×(度数/データ数)]の合計
　　=[階級値×相対度数]の合計
50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
Univ.
Kansai Asano, 50 1 (100%)
A. 2014年度秋学期　表1: 度数分布表

分散と標準偏差

「ばらつき」を数字で
分布は，大小ばらばらなデータの集まり
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう

数字で表そう
分布をもっとも簡単に１つの数字で表したのらいばらついているか」は表現できません。そC があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

数字で表そう
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
どう違う？

数字で表そう
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
どう違う？
平均は
どれも5

があるとします。
レンジとばらつき
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野　晃／統計学（2013 年度秋学期）　第５回(2013. 10. 24) 2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.

A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
野　晃／統計学（2013 年度秋学期）　第５回(2013. 10. 24) 2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.

A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
違う
野　晃／統計学（2013 年度秋学期）　第５回(2013. 10. 24) A, Bはレンジは同じだが，

A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
違う
野　晃／統計学（2013 年度秋学期）　第５回(2013. 10. 24) A, Bはレンジは同じだが，
Bのほうがばらついている
ように見える

いばらついているか」は表現できまがあるとします。
偏差
各データと平均との差を［偏差］という
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野　晃／統計学（年度秋学期）　第５回

偏差
0
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.
Kansai Asano, A. 2014年度秋学期　野　晃／統計学（年度秋学期）　第５回

偏差
0 0
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
0 0 0
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
0 0 0 0
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
0 0 0 0 +2
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
-2 0 0 0 0 +2
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
-2 0 0 0 0 +2 +2
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
-2 -2 0 0 0 0 +2 +2
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
-2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 0
5, 5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 0
5, 0
5, 6, 6, 7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 0
5, 0 +5, 2
6, 6, 7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, -5, 2 5, 0
5, 0 +5, 2
6, 6, 7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, -5, 2 5, 0
5, 0 +5, 2+6, 3
6, 7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, -4, 3 -5, 2 5, 0
5, 0 +5, 2+6, 3
6, 7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, -4, 3 -5, 2 5, 0
5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0
5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
7
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
+7
5
Univ.

偏差
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
+7
5
Univ.

いば偏ら差
ついているか」は表現できまがあるとします。
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
+7
5
Univ.
偏差を平均したら，AとBのばらつきの
Kansai 違いが表せる？
Asano, A. 2014年度秋学期　野　晃／統計学（年度秋学期）　第５回

いば偏ら差つのい平均て？
いるか」は表現できまがあるとします。
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
+7
5
Univ.

偏差の平均？
だめ。平均したらゼロ
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
+7
5
Univ.

分布偏を差もをっ２と乗もす簡る
単に１つの数字で表いばら偏差つをい２乗てしいたるら，か全」部は正の表数現に
できまがあなるるとかしら，まそすれ。
から平均する
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
+7
5

から平均する
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
+7
5

から平均する
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+6, 3+6, 4
+7
5
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25

いば分ら散
ついているか」は表現できませがあるとします。
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+3+4
+5
25 16 9 4 0 0 4 6, 9 6, 16 7
25
Univ.
Kansai Asano, A. 2014年度秋学期　　晃／統計学（年度秋学期）　第５回

いば分ら散
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+3+4
+5
25 16 9 4 0 0 4 6, 9 6, 16 7
25
Univ.
Kansai Asano, A. 2014年度秋学期　　晃／統計学（年度秋学期）　第５回平均 6.6

いば分ら散
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+3+4
+5
25 16 9 4 0 0 4 6, 9 6, 16 7
25
Univ.
平均 10.8

いば分ら散
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
-5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2
+5
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: -3, 5 -4, 4 -4, 3 -5, 2 5, 0 5, 0 +5, 2+3+4
+5
25 16 9 4 0 0 4 6, 9 6, 16 7
25
Univ.
平均 10.8
［分散］＝(偏差)2の平均

［分散］＝(偏差)2の平均式で書くと

均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 はち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数す。これが分散(variance) です。式で書くと，各データするとき，分散σ2 はつぎのようになります。
σ2 =
1
n
!
(x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2"
=
1
n
#n
i=1
(xi − ¯x)2
標準偏差(standard deviation, SD) といいます。データm2，Univ.
Kansai すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏Asano, ぜ偏A. 差の絶対値をとらずに偏2014差年度秋を学期　２乗するのか？

1番のデータ
σ2 =
1
n
!
(x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2"
=
1
n
#n
i=1
(xi − ¯x)2

1番のデータデータの平均
σ2 =
1
n
!
(x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2"
=
1
n
#n
i=1
(xi − ¯x)2

σ2 =
1
n
!
(x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2"
=
1
n
#n
i=1
(xi − ¯x)2
n個たして
nで割る

σ2 =
1
n
!
(x1 − ¯x)2 + (x2 − ¯x)2 + · · · + (xn − ¯x)2"
=
1
n
#n
i=1
(xi − ¯x)2
n個たして
nで割る
分散の平方根を［標準偏差］という

度数分布から分散を求める
データの平均=[階級値×相対度数]の合計
　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
Univ.

度数分布から分散を求める
データの平均=[階級値×相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
　　= [(偏差)2×相対度数]の合計
　　= [(階級値-データの平均)2×相対度数]の合計
　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
Univ.

なぜ２乗？
偏差の２乗ではなく，
偏差の「絶対値」ではいけないの？

なぜ２乗？
絶対値の関数は，途中に折れ目があっ
てむずかしい

なぜ２乗？
てむずかしい
放物線には折り目はない

なぜ２乗？
てむずかしい
放物線には折り目はない
もうひとつ理由が…
それはこのあとで

モーメント

平均を表す式
平均=[階級値×相対度数]の合計
から平均を求める計算により
E(X) =
xf(x) で表すことにします。
μ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を用いれば
!
x
= E((X − μ)2) =
(x − μ)2f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする!
Univ.
Kansai x

平均を表す式
E(X) =
!
x
分布そのものを，ひとつの変数Xで
表している
= E((X − μ)2) =
(x − μ)2f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする!
Univ.
Kansai x

平均を表す式
E(X) =
!
x
分布そのものを，ひとつの変数Xで
表している
= E((X − μ)2) =
(x E(− μ)2f(x) わち分散は，σ2 で表すこともよくあります。こうする!
Univ.
Kansai x
Asano, A. 2014年度秋学期　X) を μで表すと

分散を表す式
x
分散=[(偏差)2×相対度数]の合計
わち平均をμ で表すことにします。
わち(X − μ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方をV (X) = E((X − μ)2) =
(x − μ)2f(x) (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありますます。
て，「変数X の関数g(X) の平均」E(g(X)) を考えるとE(g(X)) =
!
x
!
g(x)f(x) x
は式の特殊な場合と考えることができます。

分散を表す式
x
分散=[(偏差)2×相対度数]の合計
わち(X − μ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方をV (X) = E((X − μ)2) =
て，「変数X の関数V(g(X) X) をの平σ2均」でE(表g(すX)) ことをも考多えい
るとE(g(X)) =
!
x
!
g(x)f(x) x
は式の特殊な場合と考えることができます。

モーメント
した，度数分布から平均を求める計算により
E(X) =
xf(x) すなわち平均をμ で表すことにします。
すなわち(X − μ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書きV (X) = E((X − μ)2) =
(x − μ)2f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありまなUniv.
Kansai ります。
表Asano, して，「変数A. X の関数g(X) の平均」E(g(X)) を考える2014年度秋学期　!
!
x
!
x
x
わち(X − μ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書き方を!
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
g(x)f(x) x
は(5) 式の特殊な場合と考えることができます。

モーメント
した，度数分布から平均を求める計算により
xf(x) すなわち平均をμ で表すことにします。
すなわち(X − μ)2 の平均ですから，(3) 式と同様の書きV (X) = E((X − μ)2) =
(x − μ)2f(x) X)，す一な般わに
(ち分散は，σ2 で表すこともよくありますます。
E(X) =
(x − μ)2f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありまなUniv.
Kansai ります。
!
x
!
x
x
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
g(x)f(x) x

して，した，モ「度ー変数の関数数分メ布ンX からト
平均を求g(X) の平均」める計算により
E(g(X)) !
E(g(X)) =
E(X) =
xf(x) g(x)f(x) x
散すなはわち平均をで表すことにしま(すx 。
μ)2f(x) (5) 式の特μ 殊な場合と考え− ることができますなわちな場X)，合とす一な(し般X わてに
− μ)2 の平均ですから，(式と同様の書き(ち，分E(散はXk) ，σ2 やでE((表す3) X こます。
2) −ともμ)よk)（くあk りはま自す然とよびますV (。X) = E(Xk) E((X を− 原μ)点の=
まわりのモーメンメて，ン「ト変数とX よのん関で数μk g(X) での表平し均ま」すE(。g(X)) 平均をμ 考はえる，と実は平均のまE(わg(りX)) の２=
次のモーメントμ2 であるう名前は，力学用語からの類推から来ていま(x − μ)2f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありまなUniv.
Kansai ります。
!
x
!
x
x
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
g(x)f(x) x

E(g(X)) !
E(g(X)) =
E(X) =
xf(x) g(x)f(x) x
まわりのモーメンメて，ン「ト変数とX よのん関で数μk g(X) での表平し均ま」すE(。g(X)) 平均をμ 考はえる，と実は平均のまE(わg(りX)) の２=
Kansai ります。
!
x
!
x
原点のまわりの
k次モーメント
x
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
g(x)f(x) x

E(g(X)) !
E(g(X)) =
E(X) =
xf(x) g(x)f(x) x
まわりのモーメンメて，ン「ト変数とX よのん関で数μk g(X) での表平し均ま」すE(。g(X)) 平均をμ 考はえる，と実は平均平のまE(わg(りX)) の２=
Kansai ります。
!
x
!
x
k次モーメント
x
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
均は1次モーメント
g(x)f(x) x

して，「変数X の関数g(X) の平均」E(g(X)) E(g(X)) =
表ししたて，モ，度「ー数変分メ数布ンかX らト
の平関均を数求g(めX) る計の算平に均よ」り
E(g(X)) を!
!
E(E(g(X) X)) =
=
xf(x) g(g(x)x)f(f(x) x) x
x
分散す散なはわはち平式均(5) (5) 式のをの特μ 特で殊殊表ななす場こと合にとし考ま(えすx る− 。
るμ)ここ2f(ととがx) がででききまますすなわち一(般X に
− μ)2 の平均ですから，(式と同様の書き殊な(な場X)，場合合とすとなししわててち，，分3) E(E(散はXk) Xk) ，σ2 やでE((表すX ことμ)もμ)k)（よk)（くk あk はりは自ま自然す然と）ます。
2) −よびますV (。X) = E((X μ)=
E(Xk) − わりのモーメンメて，ン「ト変数とX よのん関で数μk g(X) の平均」E(。g(X)) 平均をμ 考はえる，と実は平均のまE(わg(りX)) の２=
次のモーメントμ2 であるう名前は，力学用語からの類推から来ていま(x − μ)2f(x) す。V (X)，すなわち分散は，σ2 で表すこともよくありまなります。
表して，「変数X の関数g(X) の平均」E(g(X)) を考える!
とよびます。E(Xk) を原点のまわりのモーメントーメントとよんでμk で表します。平均μ は，実はX) Univ.
は平均のまわりの２次のモーメントμ2 であるKansai 平うAsano, 名前は，力学の用語からの類推から来ていますA. からの距離× その点に2014あ年度秋る学期　質量（あるいは働く力!
x
!
x
k次モーメント
x
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
g(x)f(x) x

E(g(X)) を!
!
E(E(g(X) X)) =
=
x
2) −よびますV (。X) = E((X μ)=
x
!
平x
均のまわりの
k次モーメント
k次モーメント
x
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
g(x)f(x) x

E(g(X)) を!
!
E(E(g(X) X)) =
=
x
2) −よびますV (。X) = E((X μ)=
x
!
平x
均のまわりの
k次モーメント
分散は2次モーメント
k次モーメント
x
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
g(x)f(x) x

E(g(X)) を!
!
E(E(g(X) X)) =
=
x
2) −よびますV (。X) = E((X μ)=
x
!
平x
均のまわりの
k次モーメント
分散は2次モーメント
k次モーメント
x
V (X) = E((X − μ)2) =
x
!
g(x)f(x) は3x
次・４次・…は？
(5) 式の特殊な場合と考えることができます。

歪度
平均のまわりの
3次モーメント歪度
ヒストグラムの偏り
f(x)
歪度<0 α3 < 0 α3 > 0
歪度>0
x
μ
（ヒストグラムを曲線であらわした）
図1: 歪度（ヒストグラムの上辺を連続曲線で表示）

尖度
平均のまわりの
4次モーメント尖度
ヒストグラムの尖り具合
f(x)
尖度：小尖度：大
（ヒストグラムを曲線であらわした）
x
μ
α4: 大
α4: 小
図2: 尖度（同上）

標準得点

「試験で70点」は優れているのか
試験で70点をとった。
まわりより優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら　優れている
80点なら　劣っている

試験で70点をとった。
まわりよりとても優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら　まあ優れている
30点なら　とても優れている…？

一緒に受けた人たちが
各データ平均60点で
X
0 平均μ
からμを引く
標準偏差5点
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
0 平均μ
6070
各データからμを引く
3: 度数分布平2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
X – μ
0 σ
図3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
階級階級値相対度数階級値×相対度数偏差(偏差)2 (偏差)2 × 相対度数
0～9（点）図5 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08
均30点で
標準偏差20点
30 70

0 平均μ
0 平均μ
6070
3: 度数分布平2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
X
70点の
「地位」
は同じ。
平均60点で
標準偏差5点
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X – μ
0 σ
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を平求均め0
てください．
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
0～9（点）図5 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08
均30点で
標準偏差20点
30 70

「地位」を数字で表す
平均各デ60ータから点で
X
0 平均μ
μを引く
標準偏差5点
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X – μ
6070
0 σ
今日の演習
0～9（点） 5 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08

平均60点で
X
0 平均μ
標準偏差5点
各データを
(1 / σ)倍する
70点の人は，平均X – μ
を
平均0
標準偏差の2倍上回っている
X – μ
6070
0 σ
今日の演習
0～9（点） 5 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08

平均60点で
X
0 平均μ
標準偏差5点
各データを
(1 / σ)倍する
を
平均0
平均30点で
標準偏差20点
X – μ
6070
0 σ
今日の演習
0～9（点） 5 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08

平均60点で
X
0 平均μ
標準偏差5点
各データを
(1 / σ)倍する
を
平均0
平均30点で
標準偏差20点
70点の人は，やはり平均を
X – μ
6070
0 σ
今日の演習
0～9（点） 5 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08

標準得点
平均を
0 平均μ
階級階級値相対度数階級値×相対度数偏差(偏差)2 (偏差)2 × 0～9（点） 5 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08
30～39 35 0.12
40～49 45 0.10
50～6070
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
0 図3: 度数分布の変換
今日の演習

標準得点
平均を
0 平均μ
階級階級値相対度数階級値×相対度数偏差(偏差)2 (偏差)2 × 0～9（点） 5 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08
30～39 35 0.12
40～49 45 0.10
50～6070
［標準得点］が2点
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
今日の演習

標準得点
平均を
0 平均μ
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
今日の演習
平均を標準偏差の2倍
階級階級値相対度数階級値×相対度数偏差偏差2 偏差2 下回って0～い9（点る）な5 ら
()()× 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08
30～39 35 0.12
40～49 45 0.10
50～6070

標準得点
平均を
0 平均μ
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
今日の演習
平均を標準偏差の2倍
階級階級値相対度数階級値×相対度数偏差偏差2 偏差2 下回って0～い9（点る）な5 ら
()()× 0.04
10～19 15 0.16
20～29 25 0.08
30～39 35 0.12
40～49 45 0.10
50～6070
標準得点が-2点

標準得点への換算
標準得点＝
分布中のあるデータが，
平均を標準偏差の何倍
上回って／下回っているか

標準得点＝
分布そのものを
平均0，標準偏差1に「変換」したら？

標準得点＝
分布そのものを
平均0，標準偏差1に「変換」したら？
そのデータの変換後の値が，
そのまま標準得点になる

分布の変換
分布中の各データから，平均を引く
各データから+を引く
平均+
X
平均
X – +

分布の変換
平均μ
標準偏差σ
平均+
X
平均
X – +

分布の変換
平均μ
標準偏差σ
平均+
X
平均
X – +
平均0
標準偏差σ

分布の変換（続き）
分布中の各データから，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ
Univ.
Kansai Asano, 平均X – +

A. 2014年度秋学期　各データを
(1 / m)倍する
X – +
m

平均0
標準偏差σ
Univ.

(1 / m)倍する
X – +
m
各データを
(1/σ)倍

平均0
標準偏差σ
各データの偏差は
Univ.

(1 / m)倍する
X – +
m
各データを
(1/σ)倍

平均0
標準偏差σ
各データの偏差は(1/σ)倍
Univ.

(1 / m)倍する
X – +
m
各データを
(1/σ)倍

平均0
標準偏差σ
分散は(偏差)2の平均
Univ.

(1 / m)倍する
X – +
m
各データを
(1/σ)倍

平均0
標準偏差σ
分散は(偏差)2の平均(1/σ)2倍
Univ.

(1 / m)倍する
X – +
m
各データを
(1/σ)倍

平均0
標準偏差σ
標準偏差は分散の平方根
Univ.

(1 / m)倍する
X – +
m
各データを
(1/σ)倍

平均0
標準偏差σ
標準偏差は分散の平方根(1/σ)倍
Univ.

(1 / m)倍する
X – +
m
各データを
(1/σ)倍

平均0
標準偏差σ
標準偏差は分散の平方根(1/σ)倍
Univ.

(1 / m)倍する
X – +
m
各データを
(1/σ)倍
平均0
標準偏差1

式で書くと
分布そのものをXとすると
Z = (X - μ) / σ
と変換すると，Zは平均0，標準偏差1

受験産業でいう「偏差値」
平均0，標準偏差1の分布Zを，さらに
W = 10Z + 50
と変換すると，Wは平均50，標準偏差10
これが［偏差値］
偏差値70 平均よりも，標準偏差の2倍
上回っている
偏差値40 平均よりも，標準偏差の1倍
下回っている

2014年度秋学期　統計学　第５回　分布をまとめるー平均・分散 (2014. 10. 22)

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