2022年度秋学期 画像情報処理 第10回 Radon変換と投影切断面定理 (2022. 12. 2)
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関西大学総合情報学部 画像情報処理（担当・浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/ 【第10回資料】 テキスト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/2022a_ippr10.pdf ハンドアウト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/IPPR/2022a_ippr10_slide_hor.pdf 講義動画 https://youtu.be/uiqofRiEC6o
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- 3. 2 CTスキャナとは🤔🤔
- 4. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 CTスキャナとは 3 CT(computed tomography) ＝ 計算断層撮影法 体の周囲からX線撮影を行い，そのデータから断面像を計算で求める （「わんパグ」http://kids.wanpug.com/illust234.html）
- 5. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 CTを実現するには 4 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s ある方向からX線を照射し， その方向での吸収率（投影）を調べる すべての方向からの投影がわかれば， 元の物体における吸収率分布がわかる
- 6. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
- 7. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線が 入射
- 8. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される X線が 入射
- 9. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
- 10. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
- 11. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射
- 12. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影とは 5 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s X線がある直線に沿って物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収される 通過したX線の量は， 入射した量に吸収率の積分（線積分）を かけたものになっている X線が 入射 投影＝吸収率の線積分 直線上の吸収率の合計であって， どの点で吸収されたかはわからない
- 13. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は x y f(x, y)
- 14. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
- 15. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
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- 19. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radonの示した定理 6 ２次元関数の任意の点での値は その点を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) どうやって求めるかは，あとで説明します。
- 20. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7
- 21. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体
- 22. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 実際はこのようにX線を当てる
- 23. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 各方向からの投影のしかた 7 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 実際はこのようにX線を当てる 物体の１点について考えれば，投影する順番が異なるだけで， 各方向の投影が得られるのは同じ
- 24. 8
- 26. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
- 27. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
- 28. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
- 29. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ
- 30. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ つまり
- 31. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり
- 32. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する
- 33. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する
- 34. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
- 35. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 9 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy デルタ関数で表せる
- 36. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディラックのデルタ関数δ(x) 10 x = 0 の１点以外すべてゼロ δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 x = 0 をはさんで積分すると1 0 x こんなふうに表さざるを得ない 高さは，何だともいえない ∞ −∞ kδ(x)dx = k （「無限」でもない。なぜなら→
- 37. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 11 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ x cos θ + y sin θ = 0 つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する ( ) g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy デルタ関数で表せる
- 38. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
- 39. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
- 40. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
- 41. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
- 42. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
- 43. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
- 44. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 Radon変換 12 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では Radon変換 x cos θ + y sin θ − s = 0 g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
- 45. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
- 46. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転
- 47. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
- 48. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u (x, y) を (s, u) で表す
- 49. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
- 50. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では s が一定で u が変化 (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
- 51. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ray-sum 13 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では s が一定で u が変化 ray-sum (x, y) と (s, u) の関係は θ の回転 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du (x, y) を (s, u) で表す
- 52. 14
- 53. 14 投影切断面定理🤔🤔
- 54. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 55. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 56. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 57. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 58. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 59. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 15 投影群から２次元関数を 再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で２次元関数が再構成できる
- 60. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
- 61. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds
- 62. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 16 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du ray-sum
- 63. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu
- 64. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
- 65. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u
- 66. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u dxdy = dsdu
- 67. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
- 68. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
- 69. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
- 70. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理の証明 17 Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (x, y)と(s, u)の関係 s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) dxdy = dsdu どちらも正方座標の小さな正方形
- 71. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
- 72. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy
- 73. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 74. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 75. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 76. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 77. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 78. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 79. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない
- 80. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 18 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない →補間を行う
- 81. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 82. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 83. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 84. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 85. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 86. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標
- 87. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標
- 88. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間での誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標
- 89. 19 2022年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 19 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間での誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は精密な計算が難しかった →さてどうした？