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A.Asano,KansaiUniv.
2015年度秋学期 統計学
浅野 晃
関西大学総合情報学部
分布の推測とは ̶
標本調査,度数分布と確率分布
第10回
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv.
「統計学」の後半は
統計的推測
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
ここまでは
データを度数分布で整理する
度数分布を要約する(平均・分散)
記述統計学
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
ここまでは
データを度数分布で整理する
度数分布を要約する(平均・分散)
記述統計学
調べたいデータ全体を調べられるか?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
日本男性全員の身長を調べられるか?
調べたいデータ全体を調べられるか?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
日本男性全員の身長を調べられるか?
調べたいデータ全体を調べられるか?
データ全体の数値をすべて調べるのは,
費用や時間がかかる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
日本男性全員の身長を調べられるか?
調べたいデータ全体を調べられるか?
データ全体の数値をすべて調べるのは,
費用や時間がかかる
調べると,壊れてしまうものもある
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
日本男性全員の身長を調べられるか?
調べたいデータ全体を調べられるか?
データ全体の数値をすべて調べるのは,
費用や時間がかかる
調べると,壊れてしまうものもある
料理をすべて味見してしまったら,
食べるものがなくなってしまう
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
日本男性全員の身長を調べられるか?
調べたいデータ全体を調べられるか?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
日本男性全員の身長を調べられるか?
データの一部を調べて
度数分布を推測する
調べたいデータ全体を調べられるか?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
日本男性全員の身長を調べられるか?
データの一部を調べて
度数分布を推測する
いや,せめて平均や分散を推測する
調べたいデータ全体を調べられるか?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「統計的推測」とは
日本男性全員の身長を調べられるか?
データの一部を調べて
度数分布を推測する
いや,せめて平均や分散を推測する
調べたいデータ全体を調べられるか?
統計的推測
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv.
統計的推測の基本は
「くじびき」
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
統計的推測は,
集団のデータ全体を調べていないのに,
集団全体のようすを調べようとする
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
統計的推測は,
結果が間違っている可能性がある
集団のデータ全体を調べていないのに,
集団全体のようすを調べようとする
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
統計的推測は,
結果が間違っている可能性がある
集団のデータ全体を調べていないのに,
集団全体のようすを調べようとする
http://www.asahi.com/articles/OSK201311200083.html
こんな人たちばかり
選んでしまったら
「日本人はすごく背が高い?」
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
わざわざ背の高い人ばかり選ぶことはない
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
わざわざ背の高い人ばかり選ぶことはない
高低まんべんなく選べば,
その平均は集団の平均とだいたい同じ
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
わざわざ背の高い人ばかり選ぶことはない
高低まんべんなく選べば,
その平均は集団の平均とだいたい同じ
それはそうだけど
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
わざわざ背の高い人ばかり選ぶことはない
高低まんべんなく選べば,
その平均は集団の平均とだいたい同じ
それはそうだけど
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
わざわざ背の高い人ばかり選ぶことはない
高低まんべんなく選べば,
その平均は集団の平均とだいたい同じ
それはそうだけど
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
わざわざ背の高い人ばかり選ぶことはない
高低まんべんなく選べば,
その平均は集団の平均とだいたい同じ
それはそうだけど
集団にどんな人がいるか何も知らないのに
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
わざわざ背の高い人ばかり選ぶことはない
高低まんべんなく選べば,
その平均は集団の平均とだいたい同じ
それはそうだけど
集団にどんな人がいるか何も知らないのに
選ばれた人が,集団のなかで
背が高いか低いかなどわからない
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団にどんな人がいるか何も知らないのに
選ばれた人が,集団のなかで
背が高いか低いかなどわからない
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団にどんな人がいるか何も知らないのに
選ばれた人が,集団のなかで
背が高いか低いかなどわからない
「まんべんなく選ぶ」のは無理
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団にどんな人がいるか何も知らないのに
選ばれた人が,集団のなかで
背が高いか低いかなどわからない
「まんべんなく選ぶ」のは無理
なので
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団にどんな人がいるか何も知らないのに
選ばれた人が,集団のなかで
背が高いか低いかなどわからない
「まんべんなく選ぶ」のは無理
公平なくじ引きで選ぶ
なので
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団からくじびきで選ぶと
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団からくじびきで選ぶと
偶然こんな
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団からくじびきで選ぶと
偶然こんな
http://www.asahi.com/articles/OSK201311200083.html
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団からくじびきで選ぶと
偶然こんな
http://www.asahi.com/articles/OSK201311200083.html
人たちばかり
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団からくじびきで選ぶと
偶然こんな
http://www.asahi.com/articles/OSK201311200083.html
選んでしまって,おかしな結果になる
可能性がないわけではないけれど,
人たちばかり
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団からくじびきで選ぶと
そうなる確率は小さい
偶然こんな
http://www.asahi.com/articles/OSK201311200083.html
選んでしまって,おかしな結果になる
可能性がないわけではないけれど,
人たちばかり
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団からくじびきで選ぶと
そうなる確率は小さい
偶然こんな
http://www.asahi.com/articles/OSK201311200083.html
選んでしまって,おかしな結果になる
可能性がないわけではないけれど,
その確率も
計算できる。
人たちばかり
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
集団からくじびきで選ぶと
母集団の度数分布
(実際には不明)
無作為抽出すると
こんなふうに偏る
可能性は少ない
大小さまざまな
データが選ばれる
可能性が高い
母集団の度数分布
(実際には不明)
図 1: 無作為抽出の考え方
度数分布と確率分布
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
データ全体から,いくつかの数値を
公平なくじびきで選ぶ
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
データ全体から,いくつかの数値を
公平なくじびきで選ぶ
[無作為標本抽出]という
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
データ全体から,いくつかの数値を
公平なくじびきで選ぶ
[無作為標本抽出]という
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
データ全体から,いくつかの数値を
公平なくじびきで選ぶ
[無作為標本抽出]という
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
データ全体から,いくつかの数値を
公平なくじびきで選ぶ
[無作為標本抽出]という
調べたい(が全部を調べるの
は無理な)集団[母集団]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
データ全体から,いくつかの数値を
公平なくじびきで選ぶ
[無作為標本抽出]という
調べたい(が全部を調べるの
は無理な)集団[母集団]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
データ全体から,いくつかの数値を
公平なくじびきで選ぶ
[無作為標本抽出]という
調べたい(が全部を調べるの
は無理な)集団[母集団]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
無作為抽出
データ全体から,いくつかの数値を
公平なくじびきで選ぶ
[無作為標本抽出]という
調べたい(が全部を調べるの
は無理な)集団[母集団]
調べられる程度のデータ
[標本(サンプル)]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本「サイズ」
「母集団」や「標本」という言葉は,
「データ」と同様,数値の集まりをさす
(1つ1つの数値ではない)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本「サイズ」
「母集団」や「標本」という言葉は,
「データ」と同様,数値の集まりをさす
(1つ1つの数値ではない)
母集団も標本も,その中に含まれる
数値の個数を大きさ(サイズ)という
([標本サイズ]とはいうが,
  標本数とはいわない)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本「サイズ」
「母集団」や「標本」という言葉は,
「データ」と同様,数値の集まりをさす
(1つ1つの数値ではない)
母集団も標本も,その中に含まれる
数値の個数を大きさ(サイズ)という
([標本サイズ]とはいうが,
  標本数とはいわない)
家族(family)という言葉に似ている
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布と確率分布
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布と確率分布
標本を無作為抽出するとき
ある数値が出てくる確率が
どのくらいになるか
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布と確率分布
標本を無作為抽出するとき
ある数値が出てくる確率が
どのくらいになるか
さっきの
「偏った数値ばかり選んでしまう」確率を
求めるのにも必要
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
この中に入っている
当たりくじの割合が
20%とする
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
くじを1回ひいて,
当たる確率は?
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
この中に入っている
当たりくじの割合が
20%とする
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
くじを1回ひいて,
当たる確率は?
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
この中に入っている
当たりくじの割合が
20%とする
20%
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
くじを1回ひいて,
当たる確率は?
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
この中に入っている
当たりくじの割合が
20%とする
20% 本当?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
当たりくじの割合が
20%なら,
当たる確率も
20%
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
これが本当であるためには,
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
当たりくじの割合が
20%なら,
当たる確率も
20%
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
これが本当であるためには,
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
当たりくじの割合が
20%なら,
当たる確率も
20%
・どのくじも同じ確率で選ばれる
・ある回のくじびきの結果が,
 他の回に影響しない(独立)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
どのくじも同じ確率で
選ばれるのなら,
くじの総数のうち20%が当たり
→当たりが出る確率は20%
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「公平なくじびき」と当たり確率
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
どのくじも同じ確率で
選ばれるのなら,
くじの総数のうち20%が当たり
→当たりが出る確率は20%
(ラプラスの確率の定義)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布で考えると
階級値
.
.
.
162.5
167.5
172.5
相対度数
15%
20%
20%
10%177.5
.
.
.
母集団の度数分布
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布で考えると
階級値
.
.
.
162.5
167.5
172.5
相対度数
15%
20%
20%
10%177.5
.
.
.
母集団の度数分布
無作為
抽出
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布で考えると
階級値
.
.
.
162.5
167.5
172.5
相対度数
15%
20%
20%
10%177.5
.
.
.
母集団の度数分布
無作為
抽出
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布で考えると
階級値
.
.
.
162.5
167.5
172.5
相対度数
15%
20%
20%
10%177.5
.
.
.
母集団の度数分布
無作為
抽出
階級値
172.5の
人が選ば
れる確率
は
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布で考えると
階級値
.
.
.
162.5
167.5
172.5
相対度数
15%
20%
20%
10%177.5
.
.
.
母集団の度数分布
無作為
抽出
階級値
172.5の
人が選ば
れる確率
は
20%
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布で考えると
階級値
162.5
167.5
172.5
相対
度数
15%
20%
20%
10%177.5
母集団の度数分布
無作為
抽出
どの階級についても同じだから
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布で考えると
階級値
162.5
167.5
172.5
相対
度数
15%
20%
20%
10%177.5
母集団の度数分布
無作為
抽出
どの階級についても同じだから
階級値
162.5
167.5
172.5
選ば
れる
確率
15%
20%
20%
10%177.5
2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布で考えると
階級値
162.5
167.5
172.5
相対
度数
15%
20%
20%
10%177.5
母集団の度数分布
無作為
抽出
どの階級についても同じだから
階級値
162.5
167.5
172.5
選ば
れる
確率
15%
20%
20%
10%177.5
標本の[確率分布]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
確率分布と確率変数
母集団の度数分布
(母集団分布) =
つまり
階級値
162.5
167.5
172.5
選ばれ
る確率
15%
20%
20%
10%177.5
標本の確率分布
2015
A.Asano,KansaiUniv.
確率分布と確率変数
母集団の度数分布
(母集団分布) =
つまり
階級値
162.5
167.5
172.5
選ばれ
る確率
15%
20%
20%
10%177.5
標本の確率分布
いくらとは
決まってい
ないが,
2015
A.Asano,KansaiUniv.
確率分布と確率変数
母集団の度数分布
(母集団分布) =
つまり
階級値
162.5
167.5
172.5
選ばれ
る確率
15%
20%
20%
10%177.5
標本の確率分布
いくらとは
決まってい
ないが,
確率分布が
決まっている
2015
A.Asano,KansaiUniv.
確率分布と確率変数
母集団の度数分布
(母集団分布) =
つまり
階級値
162.5
167.5
172.5
選ばれ
る確率
15%
20%
20%
10%177.5
標本の確率分布
いくらとは
決まってい
ないが,
確率分布が
決まっている
[確率変数]
という
2015
A.Asano,KansaiUniv.
何が知りたいのか
母集団の度数分布が
知りたい
2015
A.Asano,KansaiUniv.
何が知りたいのか
母集団の度数分布が
知りたい
標本の確率分布を推定すればよい
2015
A.Asano,KansaiUniv.
何が知りたいのか
母集団の度数分布が
知りたい
標本の確率分布を推定すればよい
標本の確率分布,
推定できる?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
何が知りたいのか
母集団の度数分布が
知りたい
標本の確率分布を推定すればよい
標本の確率分布,
推定できる?
くじを1本だけひいても,
当たり確率はわからない
2015
A.Asano,KansaiUniv.
何が知りたいのか
母集団の度数分布が
知りたい
標本の確率分布を推定すればよい
標本の確率分布,
推定できる?
くじを1本だけひいても,
当たり確率はわからない
どうする?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元抽出と非復元抽出
・どのくじも同じ確率で選ばれる
・ある回のくじびきの結果が,
 他の回に影響しない(独立)
こうであるためには,
2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元抽出と非復元抽出
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
出たくじをすぐに箱に戻す
[復元抽出]
・どのくじも同じ確率で選ばれる
・ある回のくじびきの結果が,
 他の回に影響しない(独立)
こうであるためには,
2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元抽出と非復元抽出
http://epshop.net/epkyoto/7.1/15001/
出たくじをすぐに箱に戻す
[復元抽出]
・どのくじも同じ確率で選ばれる
・ある回のくじびきの結果が,
 他の回に影響しない(独立)
こうであるためには,
実際にはあまりやらない…
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均と母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均が知りたい
母集団
(日本男性全体)
母平均μ
が,日本男性全員は調べられない
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
標本として数値を
いくつか取り出して,
それらの平均
母平均が知りたい
母集団
(日本男性全体)
母平均μ
が,日本男性全員は調べられない
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
標本として数値を
いくつか取り出して,
それらの平均
母平均が知りたい
母集団
(日本男性全体)
母平均μ
が,日本男性全員は調べられない
[標本平均]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
標本として数値を
いくつか取り出して,
それらの平均
母平均が知りたい
母集団
(日本男性全体)
母平均μ
が,日本男性全員は調べられない
[標本平均]
標本平均は母平均に
近い値になるか?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
(日本男性全体)
母平均μ
[標本平均]
標本平均は母平均に
近い値になるか?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
(日本男性全体)
母平均μ
[標本平均]
標本平均は母平均に
近い値になるか?
もし偏った標本が得られて
いたら,標本平均は母平均
と大きく食い違うことに
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
仮に,何度も標本を
抽出したとしたら?
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
…
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
…
…
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
…
…
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
…
X1のさまざまな可能性
…
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
…
X1のさまざまな可能性
[期待値]μ
…
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
…
X1のさまざまな可能性
[期待値]μ
…
分散σ2
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
…
X1のさまざまな可能性
[期待値]μ
…
分散σ2 期待値?
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
期待値とは
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1
X1
…
平均の一種
「すべての可能性にわたっての平均」
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
期待値とは
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1
X1
…
平均の一種
「すべての可能性にわたっての平均」
X1の期待値=
X1のすべての可能性に
わたっての平均
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
期待値とは
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1
X1
…
平均の一種
「すべての可能性にわたっての平均」
X1の期待値=
X1のすべての可能性に
わたっての平均
母集団のすべての数値を
取り出すのと同じだから,
母平均μと同じ
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均は
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均は
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1からXnのなかに極端な数値が
あっても,
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均は
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1からXnのなかに極端な数値が
あっても,
172
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均は
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1からXnのなかに極端な数値が
あっても,
172 195
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均は
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1からXnのなかに極端な数値が
あっても,
172 195 153
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均は
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1からXnのなかに極端な数値が
あっても,
172 195 153
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均は
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1からXnのなかに極端な数値が
あっても,
172 195 153
n個の数値を平均すれば,
そんなに極端な数値にはまずならない
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
母集団と同じ
期待値μ
…
分散σ2
…
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
母集団と同じ
期待値μ
…
分散σ2
…
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
母集団と同じ
期待値μ
…
分散σ2
…
極端な値はあまりないので
分散が小さくなる
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
母集団と同じ
期待値μ
…
分散σ2
…
極端な値はあまりないので
分散が小さくなる
期待値μ
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
母集団と同じ
期待値μ
…
分散σ2
…
極端な値はあまりないので
分散が小さくなる
期待値μ
分散 σ2/n
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母集団
母平均μ
母分散σ2
X1 X2 … Xn
サイズnの標本1セット 標本平均
X1 X2 … Xn
X1 X2 … Xn
母集団と同じ
期待値μ
…
分散σ2
…
極端な値はあまりないので
分散が小さくなる
期待値μ
分散 σ2/n
X
X
X
標本平均の分散は母分散の
「標本サイズ分の一」になる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
μ
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
何度も
計算しても
μ
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
何度も
計算しても
μ
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
何度も
計算しても
μ
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
何度も
計算しても
μ
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
何度も
計算しても
μ
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
何度も
計算しても
μ
いつ計算してもそれほどかわらない
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
母平均がμ
母分散がσ2
のとき,
標本平均の期待値がμ
標本平均の分散がσ2 /n
仮に何度も標本を抽出して,何度も標本
平均を計算したとすると
分散が小さくなっているので,
たいてい,ほぼ母平均に近い値になる
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
μ
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
何度も
計算しても
μ
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
何度も
計算しても
μ X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
何度も
計算しても
μ X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
何度も
計算しても
μ X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
何度も
計算しても
μ X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
何度も
計算しても
μ
いつ計算してもそれほどかわらない
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
いま計算した標本平均は
上のどれにあたるかはわからないが,
何度も
計算しても
μ
いつ計算してもそれほどかわらない
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
いま計算した標本平均は
上のどれにあたるかはわからないが,
何度も
計算しても
μ
いつ計算してもそれほどかわらない
?
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
いま計算した標本平均は
上のどれにあたるかはわからないが,
何度も
計算しても
μ
いつ計算してもそれほどかわらない
? ?
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
いま計算した標本平均は
上のどれにあたるかはわからないが,
何度も
計算しても
μ
いつ計算してもそれほどかわらない
?
?
?
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
いま計算した標本平均は
上のどれにあたるかはわからないが,
何度も
計算しても
μ
いつ計算してもそれほどかわらない
?
?
?
?
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
いま計算した標本平均は
上のどれにあたるかはわからないが,
何度も
計算しても
μ
いつ計算してもそれほどかわらない
いずれにせよあまりかわらない
?
?
?
?
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
どのくらい近い?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
どのくらい近い?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
どのくらい近い?
どのくらいの確率で?
はずれる確率は?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母平均の推定
いま1回だけ計算した標本平均も,
おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう
どのくらい近い?
どのくらいの確率で?
はずれる確率は?
このあたりは
次回。

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