2013年度秋学期　統計学　第６回「データの関係を知る(1)−相関関係と因果関係」

2013年度秋学期統計学

A. Asano, Kansai Univ.

データの関係を知る(1)̶相関関係と因果関係

浅野晃
関西大学総合情報学部


多変量データと多変量解析

変量とは


日本男性の身長は分布する

2013年度春学期画像情報処理

変量とは


分布する量を［変量］という


変量とは


分布する量を［変量］という

統計学は，
分布している変量から情報を引き出す
手法


「多」変量とは
２つ以上の変量の組み合わせで
表現されるデータ


「入学試験の点数」←数学・英語・国語…




変量




変量


変量



変量


変量

変量

変量


［多変量データ］
という


変量

変量



［多変量データ］
という

変量

変量

変量

多変量データを扱う統計学を
［多変量解析］という

多変量解析では
変量の間の関係が問題になる
たとえば
数学の点数の高い人は英語の点数も高い
数学の点数の高い人は国語の点数が低い


…という傾向にある


多変量解析では
変量の間の関係が問題になる
たとえば


…という傾向にある

この傾向を見つけるのが，［相関分析］
［回帰分析］


相関関係と散布図

相関関係
２つの変量からなるデータを考える
さっきの


という傾向にある


相関関係
さっきの


変量どうしの互いの増減の傾向
［相関関係］

相関関係
さっきの

［正の相関関係］


［相関関係］

相関関係
さっきの

［正の相関関係］


［負の相関関係］
［相関関係］

散布図
度（度）気温（℃）
43.05
8.0
40.82
9.6
39.72
11.0
23
地名
緯度（度）気温（℃）
%
38.27 札幌
11.9
43.05
8.0
青森
40.82
9.6
21
39.72
37.75 秋田
12.5 11.0
仙台
38.27
11.9
19
福島
37.75
12.5
36.55 宇都宮 12.9 12.9
36.55
%
17
水戸
36.38
13.2
%%
36.38 東京
13.2 15.3
%%
35.68
%
新潟
37.92
13.1
%%
15
%
35.68 長野
15.3 11.4
36.67
静岡
34.97
16.0
% %
13
% %
37.92 名古屋 13.1 14.9
35.17
大阪
34.68
16.2
% % %
11
35.48
36.67 鳥取
11.4 14.4
緯度
（度）
広島
34.40
15.0
%
9
33.55
34.97 高知
16.0 16.3
図 1: 散布図：緯度と気温の関係
福岡
33.92
16.0
31.57
7
35.17 鹿児島 14.9 17.3
那覇
26.20
22.0
5
34.68 表 1: 日本の都市の緯度と気温
16.2
25 27 29 31 33 35 37 39 41
35.48
14.4
２つなので，散布図は横軸縦軸でできる平面になります。変量が３つ以上になると軸も３つ以上になり
ますが，この場合も紙の上に描けないだけで，理屈には違いはありません。
緯度
（度）
34.40
15.0
図 1 の散布図を見ると，一見して各都市がほぼ直線に沿って並んでおり，
「緯度が高（低）いと気温が
低（高）い」という負の相関関係が見てとれます。このように，負の相関関係は，散布図上では右下が
33.55
16.3

多変量データを目に見えるように描く
23

%

21

17

気温
（℃）

気温
（℃）

19

15
13
11

9
7

%

%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %

%

%

5


25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

りの直線上にデータが分布するように表現されます。また，正の相関関係では右上がりの直線上に並ぶ

%

43 45

散布図
23

%

21

地名

気温
（℃）

19
17
15
13
11


9
7
5

%

緯度（度）

札幌

%%
%%
青森
%
%%
%
秋田
% %
% %
仙台
% % %

福島
%

宇都宮
水戸

%

25 27 29 31 33 35 37 東京
39 41 43 45

新潟
緯度
（度）
長野

43.05
40.82
39.72
38.27
37.75
36.55
36.38
35.68
37.92
36.67

気温（℃）

8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4

散布図
23
21

地名

気温
（℃）

19
17
15
13
11


9
7
5

変量

%

%

緯度（度）

札幌

%%
%%
青森
%
%%
%
秋田
% %
% %
仙台
% % %

福島
%

宇都宮
水戸

%

25 27 29 31 33 35 37 東京
39 41 43 45

新潟
緯度
（度）
長野

43.05
40.82
39.72
38.27
37.75
36.55
36.38
35.68
37.92
36.67

気温（℃）

8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4

散布図
23
21

地名

気温
（℃）

19
17
15
13
11


9
7
5

変量

%

%

緯度（度）

札幌

%%
%%
青森
%
%%
%
秋田
% %
% %
仙台
% % %

福島
%

宇都宮
水戸

%

25 27 29 31 33 35 37 東京
39 41 43 45

新潟
緯度
（度）変量
長野

43.05
40.82
39.72
38.27
37.75
36.55
36.38
35.68
37.92
36.67

気温（℃）

8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4

散布図
23
21

地名

気温
（℃）

19
17
15
13
11


9
7
5

変量

%

%

緯度（度）

札幌

%%
%%
青森
%
%%
%
秋田
% %
% %
仙台
% % %

福島
%

宇都宮
水戸

%

25 27 29 31 33 35 37 東京
39 41 43 45

新潟
緯度
（度）変量
長野

43.05
40.82
39.72
38.27
37.75
36.55
36.38
35.68
37.92
36.67

変量

気温（℃）

8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4

散布図
23
21

地名

19

気温
（℃）

変量 17
15
13
11


9
7
5

変量

%

%

緯度（度）

札幌

%%
%%
青森
%
%%
%
秋田
% %
% %
仙台
% % %

福島
%

宇都宮
水戸

%

25 27 29 31 33 35 37 東京
39 41 43 45

新潟
緯度
（度）変量
長野

43.05
40.82
39.72
38.27
37.75
36.55
36.38
35.68
37.92
36.67

変量

気温（℃）

8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4

散布図
23

%

21

地名

19

気温
（℃）

変量 17

%

15
13
11


9
7
5
25 27 29 31

札幌

変量

緯度（度）

43.05
%%
%%
青森
40.82
%
%%
%
秋田
39.72
% %
% %
仙台
38.27
% % %
福島
37.75
%
札幌
宇都宮 %
36.55
水戸
36.38
33 35 37 東京
39 41 43 45 35.68
新潟
37.92
緯度
（度）変量
長野
36.67

変量

気温（℃）

8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4

散布図と相関関係
23

%

21

気温
（℃）

19
17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%

9

%


7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

緯度
（度）

23

右下がりに並ぶ

%

21

気温
（℃）

19
17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%

9

%


7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

緯度
（度）

23


%

21

緯度が上がると
気温が下がる傾向

気温
（℃）

19
17
15
13
11

%

%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %

%

9

%


7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

緯度
（度）

23


%

21

緯度が上がると
気温が下がる傾向

気温
（℃）

19
17
15
13
11

%

%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %

負の相関関係
%

9

%


7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

緯度
（度）

相関の強弱


配布資料の散布図（47都道府県について）


相関の強弱
配布資料の散布図（47都道府県について）


「統計学入門」（東京大学出版会）
４４ページの図を受講者に配付して説明しました。



共分散と相関係数

相関係数
相関の正負・強弱を数字で表す

）

ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
23

%

21

気温
（℃）

19
17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9

%

7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

緯度
（度）

相関係数

）

23

%

21

気温
（℃）

19
17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9

%

7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

緯度
（度）

x


相関係数

）

23

%

21

y

気温
（℃）

19
17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9

%

7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

緯度
（度）

x


相関係数

）

23

%

21

y

気温
（℃）

19
17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9

%

7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

xi緯度 x
（度）


相関係数

）

23

%

21
19

y

気温
（℃）

yi 17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9

%

7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

xi緯度 x
（度）


相関係数

）

23

(xi, yi)

%

21
19

y

気温
（℃）

yi 17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9

%

7
5

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

xi緯度 x
（度）


相関係数

）

23

(xi, yi)

%

21
19

y

気温
（℃）

yi 17
15
13
11

%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9
7
5

x

%

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

xi緯度 x
（度）


相関係数

）

23

(xi, yi)

%

21
19

y

気温
（℃）

yi 17
15
13
11

%

y

%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9
7
5

x

%

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

xi緯度 x
（度）


相関係数

）

23

(xi, yi)

%

21
19

y

気温
（℃）

yi 17
15
13
11

y

%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%


9
7
5

x
y

%

x

%

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

xi緯度 x
（度）


x だけの平均
y だけの平均

相関係数

関係数

相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ
。データが (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) の n 組であると
［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=


表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ
ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます

「統計学入門」
（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付）
（nはデータ数）

相関係数

関係数

［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=

x の平均



相関係数

関係数

［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=


x の平均
x の偏差


相関係数

関係数

［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=


x の平均
x の偏差

x の分散

相関係数

関係数

［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=


x の平均
x の偏差

x の分散
x の標準偏差


相関係数

関係数

［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=


x の平均 y の標準偏差
x の偏差

x の分散
x の標準偏差


相関係数

関係数

。データが (x1 , y1 ), (x2 , y2x の偏差 , yn ) の n 組であると
), . . . , (xn
［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=


x の偏差

x の分散
x の標準偏差


相関係数

関係数

。データが (x1 , y1 ), (x2 , y2x の偏差 , yn )の偏差
), . . . , (xn y の n 組であると
［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=


x の偏差

x の分散
x の標準偏差


相関係数

関係数

x，y の［共分散］

。データが (x1 , y1 ), (x2 , y2x の偏差 , yn )の偏差
), . . . , (xn y の n 組であると
［相関

係数］
rxy =

n
i=1 (xi
n
i=1 (xi

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

x)2 /n
¯

n
i=1 (yi

− y )2 /n
¯

=


x の偏差

x の分散
x の標準偏差


相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうした
共分散の意味
す。データが (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), の偏差 , yn )の偏差
. . . , (xn y の n 組で
x

x，y の共分散
rxy =

n
(xi
i=1
n
i=1 (xi

y

−

− x)(yi − y )/n
¯
¯

2 /n
x)
¯

n
i=1 (yi

−

2
y)
¯

ロ
イ
で表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y
（ロ）
（イ）
散の意味を，図 2 で考えてみましょ
イ・ロ・ハ・ニで
れぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といい
y

ます。各領域で，(xi − x)(yi − y )
¯
¯
2

y
（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ
（ハ）

（ニ）

の値はどうなる？


では，xi − x > 0, ニi − y > 0 で，(xi
¯
y
¯
ハ
x
くなります。また，
（ハ）では x −
浅野晃／統計学（2013 年度秋学期）第６回 (2013. 10. 31)
x

x


共分散の意味を，図 2 で
(xi, yi) が「イ」の領域にあるとすると
分割します。各領域で，(
図 2: 共分散の概念
共分散の意味を，図 2 で考えてみま
共分散の意味

x

(xi, yi)
割します。各領域で，(xi − x)(yi
¯
（イ）では，xi − x > 0, yi
¯
yi
+
イ
意味を，図 2 で考えてみましょう。散布図の平面を
は大きくなります。また，
）では，xi −xx > 0, の値を考えてみます
¯ − y) yi − y > 0 で，
¯
y
。各領域で，(xi − ¯)(yi ¯
が左下に行くほどこの積の
大きくなります。また， i − y) > 0 であ
（ハ）では
xi − x > 0, yi − y > 0 で，(xi − x)(y
¯
¯
¯
¯
ります。また， x
（ハ）では xi − x
¯
y
となります。 < 0, yi ?¯ < 0 でや
左下に行くほどこの積の値が大きく
i
y

（ロ）

（イ）

（ハ）

（ニ）


y

x

xx
くほどこの積の値が大きくなります。これに対して

共分散の意味)(y
域で，(x − x
¯

¯
考えてみましょう。散布図の平面を
i
i − y ) の値を考
(xi, yi) が「ハ」の領域にあるとすると
図 2: 共分散の概念
− x)(yi − y ) の値を考えてみます
¯
¯
> 0, yi − y > 0 で，(xi − x)(yi −
¯
¯
(xi, yi)
。また，
（ハ）では i − y¯ < 0, yi
¯ > 0 で，(xi − x)(yxi −¯x > 0 であ
¯
)
意味を，図 2 で考えてみましょう。散布図の平面を
この積の値が大きくなります。こ
ハ）では xi −xx < 0, の値を考えてみます
¯ − y) yi − y < 0 でや
¯
y
。各領域で，(x − ¯)(y
¯
x

y

（ロ）

（イ）

i

i

+
yi
値が大きくなります。これに対して
x − x > 0, y − y > 0 で，(x − x)(y − y ) > 0 であ
¯
¯
¯
¯
y

（ハ）


i

i

（ニ）

i

i

ハ
x
ります。また， x
（ハ）では xi − x < 0, yi ?¯ < 0 でや
¯
y
xi
x
つの分布で， i (xi − x)(yi − y )
¯
¯
くほどこの積の値が大きくなります。これに対して

上に行くほどこの積の値
散の概念
x
共分散の意味x )
す。各領域で，(x(x , y )(yi − y ) の値を考えてみま
¯
i−¯
− y ) > 0 であり， i i
¯
では (xix > )(yi i− yy > 0 で，(xi − x)(yi − y ) > 0 で
− x 2: −¯¯ < 0
¯
)
，xi − ¯ 図 0, y 共分散の概念
¯
¯
y


なります。また，
（ハ）では i − x < 0, yi ?¯ < 0
¯
y
図の平面を，x の平均および yxの平均を境にして四で
（ロ）
（イ）
ロ
イ
行くほどこの積の値が大きくなります。これに対し
てみます。
？（グレーの部分にデー
y
(xi, yi) の
y
す。場所によって
てみましょう。散布図の平面を，x の平均および y
分に多く分布しています
> 0 であり，(xiハ i ) （ハ）
, y が右上に行くほどこの積の値
（ニ）
ニ
負の大きな値，(c) の場合
(yi3− y ) の値を考えてみます。 x)(y − y ) の値はど
¯
図 0 でやはり (xi − x)(yi i− y )− ¯ であり，(xi , yi )
< の３つの分布で， (x¯ > 0 i ¯
¯
i
x
に近い値になります。
に分布しているとします。 x (a) iの場合は先の図02
に対して，x)(yi − y ) > 0 ） (x −(x)(yii −が右上に
（ロ）や（ニ）では
¯
¯
で，(xi − ¯
¯
であり， x i , y ) y ) <
x
大きな値，(b) 0, yi ?¯ <n0 でやはり (xi − x)(yi − y
（ニ）の部分に多く分
影響されないように，
では xi − x < の場合は（ロ）
¯
y
¯
¯
(xi, yi) が (x, y)から離れているほど，
ロ）
（ハ）
（ニ）のすべての部分に分布しているの
あるとき正の値，負の相
きくなります。これに対して，
（ロ）や（ニ）では
値はどうなるでしょうか？（グレーの部分にデー
絶対値が大きくなる

1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) の n 組であるとき，x と y

共分散の意味
n
i=1 (xi
n y
(xyi
i=1

−

− x)(yi − y )/n は
¯
¯

x)2 /n
¯

n
(yi y y
−
i=1

y )2 /n
¯

n
i=

=

n
(xi
i=1

上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準
yy
yy
y
y
y
同時に平均したもので，共分散といいます。

xxx

x x


13 年度秋学期）第６回 (2013. 10. 31)
(a)(a)

x xx

xx

(b)
(b)

図 3: 正負の相関


共分散の意味
n
i=1 (xi
n y
(xyi
i=1

−

− x)(yi − y )/n は
¯
¯

x)2 /n
¯

n
(yi y y
−
i=1

y )2 /n
¯

n
i=

=

n
(xi
i=1

yy
yy
y
y
y

xxx

x x


13 年度秋学期）第６回 (2013. 10. 31)
(a)(a)

正で大きな値
→強い正の相関


x xx

xx

(b)
(b)



共分散の意味
n
i=1 (xi
n y
(xyi
i=1

−

− x)(yi − y )/n は
¯
¯

x)2 /n
¯

n
(yi y y
−
i=1

y )2 /n
¯

n
i=

=

n
(xi
i=1

yy
yy
y
y
y

xxx

x x


13 年度秋学期）第６回 (2013. 10. 31)
(a)(a)

正で大きな値
→強い正の相関

x xx
(b)
(b)

xx

負で絶対値が大きい
→強い負の相関



共分散の意味
n
i=1 (xi
n
(xi
i=1

−

− x)(yi − y )/n は
¯
¯

x)2 /ny
¯

n
(yi
i=1

−

y )2 /n
¯

=

n
i=

n
(xi
i=1

y
y

x

x
x
13 年度秋学期）第６回 (2013. 10. 31)
(c)
(b)

x

3: 正負の相関

差し引きゼロ
→無相関

x

x

x

x

共分散と相関係数
(a)
(b)

x

x

x

(c)

相関係数＝共分散

(xの標準偏差

y

y

y

y

x

yの標準偏差)

x

x

これらの相関の強さは同じ
図 4: 同じ相関係数をもつ分布
→標準偏差で割って調整する
(a)

(b)


x

相関係数は
-1∼0∼1


ちょっと問題

問題１


国民所得と酒の消費量の間には正の相関
がある。だから，国民が酒をたくさん飲
めば所得が増える。


問題１
国民所得と酒の消費量の間には正の相関
がある。だから，国民が酒をたくさん飲
めば所得が増える。


相関関係と因果関係は異なる。


問題２


ある電気製品の普及台数は，発売以来
毎年倍に増えている。発売後の年数と普
及台数の相関係数は，非常に強い相関で
あるから，ほぼ１である。


問題２


ある電気製品の普及台数は，発売以来
毎年倍に増えている。発売後の年数と普
及台数の相関係数は，非常に強い相関で
あるから，ほぼ１である。
直線状の関係ではないから，
相関係数が１にはならない



みかけ上の相関



小学生については，身体が大きいと
試験の成績が良い




？？？


？？？


全学年の児童に同じ問題で試験をすれば。


？？？


「体格」と「成績」には正の相関関係

？？？


「体格」と「成績」には正の相関関係
なぜ？

なぜ？


体格

成績


なぜ？
体格


正の相関関係
成績


なぜ？
体格


正の相関関係

学年

成績


なぜ？
体格

正の相関関係
本当の因果関係


正の相関関係

学年

成績


なぜ？
体格

正の相関関係


正の相関関係

学年

成績

正の相関関係


なぜ？
体格


みかけ上の
正の相関関係

正の相関関係
学年

成績

正の相関関係


層別
成績

成績

成績
６年
５年
４年
３年
２年
１年
層内の相関は

体格
(a)
正の相関関係

ない

体格

(b)

６年
５年
４年
３年
２年
１年
各

まと

(c


図 5: 層別の相関

うに，各学年に対応する６つの分布が重なっているものと考えられます。各々の分布
もし各学年の分布が図 5(b) のようであれば，それぞれの分布では体格と成績には相
ります。
このように学年の影響を除いた相関係数を求めるには，図 5(b) の 6 つの分布を図

層別
成績

成績

実は

成績

６年
５年
４年
３年
２年
１年
層内の相関は

体格
(a)
正の相関関係

ない

体格

(b)

６年
５年
４年
３年
２年
１年
各

まと

(c



ります。

層別
成績

実は

６年
５年
成績
４年
３年
２年
６年
１年
層内の相関は
５年

成績

４年
ない
３年
２年
１年 (b)

体格
(a)
正の相関関係

体格
(a)

成績

成績

６年
５年成
４年
３年
２年
１年
各

体格

層内の相関は
ない
体格

まと

２
１年
(c

(b)

ります。

層別
成績

成績

実は

成績

６年
５年
成績
４年
３年
２年
６年
１年
層内の相関は
５年

成績

４年
ない
３年
２年
１年 (b)

体格
(a)
正の相関関係

体格
(a)

６年
５年成
４年
３年
２年
１年
各

体格

層内の相関は
ない
体格

まと

２
１年
(c

(b)


内部に「学年」の
層がある
ります。


層別
成績
成績

成績
成績
６年
６年
５年
５年
４年
４年
３年
３年
２年
２年
１年
１年
層内の相関は
層内の相関は

体格
体格

ない
ない


(b)
(b)

６年
６年
５年
５年
４年
４年
３年
３年
２年
２年
１年
１年
各層を１か所に

まとめる
まとめる

体格
体格

層がある

体格

(c)
(c)

層に分けて，
ひとつにまとめる

の分布が重なっているものと考えられます。各々の分布を別々に見たとき
の分布が重なっているものと考えられます。各々の分布を別々に見たとき，

層別
成績
成績

成績
成績
６年
６年
５年
５年
４年
４年
３年
３年
２年
２年
１年
１年
層内の相関は
層内の相関は

体格
体格

ない
ない


(b)
(b)

６年
６年
５年
５年
４年
４年
３年
３年
２年
２年
１年
１年

まとめる
まとめる

体格
体格

層がある

体格

(c)
(c)

層に分けて，
ひとつにまとめる

学年の影響を除いた［偏相関係数］

の分布が重なっているものと考えられます。各々の分布を別々に見たとき
の分布が重なっているものと考えられます。各々の分布を別々に見たとき，

ところで
こうはならないの？
体格

みかけ上の
正の相関関係？
学年

正の相関関係


成績


正の相関関係

ところで
体格

みかけ上の
学年

正の相関関係


成績

正の相関関係

統計学の上では，こう考えても同じ

ところで
体格

みかけ上の
学年

正の相関関係


成績

正の相関関係

統計学の上では，こう考えても同じ
ならないのは，統計学以外の知識による

2013年度秋学期　統計学　第６回「データの関係を知る(1)−相関関係と因果関係」

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