2014年度秋学期　統計学　第４回　データを「分布」で見る (2014. 10. 15)

A. Asano, Kansai Univ.
2014年度秋学期　統計学
データを「分布」で見る
浅野　晃
関西大学総合情報学部
第４回

A. Asano, Kansai Univ.
初学者には、「分布」という考
え方がむずかしいらしい。

分布とは
•「分布している」「分布する」
　＝データが，大小ばらばらである。
•「分布」
　＝大小ばらばらのデータの集まり。
統計学が相手にするのは「分布」です
2014 A. Asano, Kansai Univ.

度数と度数分布
ばらばらなデータがどんなふうに
ばらばらか

ばらばらか
どんな値がどのくらい頻繁に現れるか

ばらばらか
「イチロー選手が1試合に打つヒットの
数」で言えば,
ヒットの数が0本である試合が何試合,
　　　　　　1本である試合が何試合,...

ヒット
の数

ヒット
の数
0本

ヒット
の数
0本
1本

ヒット
の数
0本
1本
2本

ヒット
の数
0本
1本
2本
3本

ヒット
の数
0本
1本
2本
3本
4本

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本

ヒット
の数試合数
0本
5試合
1本
2本
3本
4本

ヒット
の数試合数
0本
5試合
1本
15試合
2本
3本
4本

ヒット
の数試合数
0本
5試合
1本
15試合
2本
10試合
3本
4本

ヒット
の数試合数
0本
5試合
1本
15試合
2本
10試合
3本
10試合
4本

ヒット
の数試合数
0本
5試合
1本
15試合
2本
10試合
3本
10試合
4本
５試合

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合

ヒット
［度数］
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
［度数］

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
10%
［度数］

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
10%
30%
［度数］

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
10%
30%
20%
［度数］

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
10%
30%
20%
20%
［度数］

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
10%
30%
20%
20%
10%
［度数］

ヒット
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
10%
30%
20%
20%
10%
100%
［度数］

ヒット
［度数］［相対度数］
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
10%
30%
20%
20%
10%
100%

ヒット
［度数］［相対度数］
の数試合数
0本
1本
2本
3本
4本
5試合
15試合
10試合
10試合
５試合
計 50試合
割合
10%
30%
20%
20%
10%
100%
［度数
　分布］

「測るデータ」の場合は
「身長」は１本，２本と「数える」
　のではなく「測る」

データの値を「１本，２本」と
ランクにわけることができない

データの値を「１本，２本」と
ランクにわけることができない
どんな値がどれくらい頻繁に
現れるか，つまり「度数」は
どうやって表すのか？

階級と階級値
測ったデータを，ある間隔で段階に区切る

階級と階級値
身長

階級と階級値
身長
．．．
160～165
165～170
170～175
175～．1 80 ．．

階級と階級値
身長
．．．
160～165
165～170
170～175
相対度数
175～．1 80 ．．

階級と階級値
身長
．．．
160～165
165～170
170～175
相対度数
15%
20%
20%
175～．1 80 10% ．．

階級と階級値
身長
．．．
160～165
165～170
170～175
相対度数
15%
20%
20%
175～．1 80 10% ．．
［階級］

階級と階級値
身長
．．．
160～165
165～170
170～175
相対度数
15%
20%
20%
175～．1 80 10% ．．
［階級］
［階級幅］
は5cm

度数分布を作る
階級を決めて，各階級に入るデータ
を数える

とあまりに細かい話をしても，分布の特徴を把握することはできませんから，適当な間隔の階級る必要があります。
度数分布を作ってみましょう
データから度数分布を作ってみましょう。下の数字は，あるクラス50 名の試験の得点です。
階級幅の取り方を10 点として，度数分布表を作って表に書き込んで行きます。「95 点」のデータ点以上95 点未満の階級に入れます。こういう場合，度数を数えるには，「正」の字を書く，４本に１本の横棒を重ねる，などの，５ごとにまとめて数える方法がよく用いられます。
35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
を数える
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
1ある党の得票率が100%であるような選挙は，不自然でしょう。
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
浅野　晃／統計学（2013 年度秋学期）　第４回(2013. 10. 17) http://racco.mikeneko.jp/　1/以上未満階級値度数相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)

35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
を数える
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
浅野　晃／統計学（2013 年度秋学期）　第４回(2013. 10. 17) http://racco.mikeneko.jp/　1/数えるときには，
以上未満階級値度数相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)

35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
を数える
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
という記号や

35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
を数える
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
という記号や「正」の字をかく

95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
階級値
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
50 1 (100%)
表1: 度数分布表
数分布表は表1 のようになります。表の左から３列目に階級値というのがあります。これは，各階
上限下限の中間の値で，その階級に入ったデータ（すなわち試験の得点）は，どれも概略この値で
と考えます。
トグラム

95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
階級値
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
［階級値］
50 1 (100%)
と考えます。
トグラム

95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
階級値
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
［階級値］
その階級に入ったデータは，
どれも概略この値であると考える
50 1 (100%)
と考えます。
トグラム

ヒストグラム
度数分布をグラフに表す
横軸に階級，縦軸に（相対）度数

ヒストグラム
実は微妙に違う

ヒストグラム
階級
度数
90 100 110 120 130 140
図1: ヒストグラムはこんなふうには描かない
90 100 110 120 図2: ヒストグ

ヒストグラム
階級
度数
90 100 110 120 130 140
これは
「棒グラフ」
2: ヒストグ図1: ヒストグラムはこんなふうには描かない
90 100 110 120 図

面積で度数を表す
横軸に階級をとり，
階級幅を底辺とする柱の面積で
（相対）度数を表す
階級
度数
90 100 110 120 130 140
階級
各柱の面積
　＝度数
90 100 110 120 130 140 150
図2: ヒストグラムはこう描く
ボックスプロット
ヒストグラムをさらに簡略化して表現したのがボックスプロット（箱ひげ図）です。これは図4 のよ
うに，最小値，第１（下側）四分位数，中位数（中央値，メディアン），第３（上側）四分位数，最大値
だけをグラフの中に表示したものです。分布の形を簡単な図で概略つかむことができます。ここで，中
位数とは，データを小さいほうから並べたときに順位が50% （データが100 個のとき50 位）であるも

階級
130 140
なふうには描かない
階級
各柱の面積
　＝度数
90 100 110 120 130 140 150
階級
度数
90 100 110 120 130 140
階級
各柱の面積
　＝度数
90 100 110 120 130 140 150

階級
130 140
なふうには描かない
階級の間に「飛び」はない
から，柱の間はあかない
階級
各柱の面積
　＝度数
90 100 110 120 130 140 150
階級
度数
90 100 110 120 130 140
階級
各柱の面積
　＝度数
90 100 110 120 130 140 150

なぜ面積で表すのか
柱をくっつけたり切り分けたりするため
面積＝100 ～ 110 の度数
面積＝110 ～ 120 の度数
柱を結合
階級
90 100 110 120 130 140
150

面積＝100 ～ 110 の度数
面積＝110 ～ 120 の度数
は
柱を結合
階級
90 100 110 120 130 140
150

面積＝100 ～ 110 の度数
面積＝110 ～ 120 の度数
は
柱を結合
100～120の度数
階級
90 100 110 120 130 140
150

くっつけた柱を１つにしてもよい
面積＝100 ～ 110 の度数
面積＝110 ～ 120 の度数
柱を結合
階級
90 100 110 120 130 140
150

階級
くっつけた柱を表示１をつ大にまかしに
てもよい
面積＝100 ～ 120 の度数
階級
90 100 110 120 130 140 150
90 100 110 120 130 140 150
割と結合

階級
くっつけた柱を表示１をつ大にまかしに
てもよい
面積＝100 ～ 120 の度数
柱の面積で表さないと
この表し方はできない
階級
90 100 110 120 130 140 150
90 100 110 120 130 140 150
割と結合

階級
柱を分割してもよい
表示を大まかに
面積＝100 ～ 120 の度数
階級
90 100 110 120 130 140 150
90 100 110 120 130 140 150
割と結合

柱を分割してもよい
面積＝100 ～ 110 の度数（概算）
面積＝110 ～ 120 の度数（概算）
階級
90 100 110 120 130 140 150

分割した柱を詳細に表すと
面積＝100 ～ 110 の度数（概算）
面積＝110 ～ 120 の度数（概算）
階級
90 100 110 120 130 140 150

面積＝100 ～ 110 の度数
面積＝110 ～ 120 の度数
柱を結合
階級
90 100 110 120 130 140
150

面積＝100 ～ 110 の度数
面積＝110 ～ 120 の度数
柱を結合
階級
90 100 110 120 130 140
150
元にもどる

幹葉表示
頻度が見えるように，データを並べる

階級幅の取り方を10 点として，度数分布表を作って表に書き込んで行きます。「95 点」のデー点以上95 点未満の階級に入れます。こういう場合，度数を数えるには，「正」の字を書く，４本に１本の横棒を重ねる，などの，５ごとにまとめて数える方法がよく用いられます。
35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
幹葉表示
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
浅野　晃／統計学（2013 年度秋学期）　第４回(2013. 10. 17) http://racco.mikeneko.jp/　1/以上未満階級値度数相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
50 1 (100%)

35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
幹葉表示
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
浅野　晃／統計学（2013 年度秋学期）　第４回(2013. 10. 17) http://racco.mikeneko.jp/　1/十の位一の位
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
50 1 (100%)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
幹葉表示
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
50 1 (100%)
0
1
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3
4
5
6
7
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9
5

35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
幹葉表示
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
50 1 (100%)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
2

35 　62 　65 　23 　40 　30 　70 　55 　57 　65 　15 　90 　67 　65 　70 　45 　80 　
幹葉表示
　46 　45 　25 　50 　62 　75 　78 　48 　50 　60 　75 　75 　60 　78 　58 　78 　
79 63 　95 　20 　46 　55 　56 　70 　60 　79 　18 　63 　67 　85 　25 　40 　50
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (16%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計計
50 1 (100%)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
2 5

幹葉表示
0
1 5 8
2 3 5 0 5
3 5 0
4 0 5 6 5 8 6 0
5 5 7 0 0 8 5 6 0
6 2 5 5 7 5 2 0 0 3 0 3 7
7 0 0 9 5 8 5 5 8 8 0 9
8 0 5
9 0 5
表3: 幹葉表示（整理前）
0
1 5 8
2 0 3 5 5
3 0 5
4 0 0 5 5 6 6 8
5 0 0 0 5 5 6 7 8
6 0 0 0 2 2 3 3 5 7 0 0 0 5 5 5 8 8 8 0 5
9 0 5
表4: 幹葉表示
全部のデータを並べると

幹葉表示
0
1 5 8
2 3 5 0 5
3 5 0
4 0 5 6 5 8 6 0
5 5 7 0 0 8 5 6 0
6 2 5 5 7 5 2 0 0 3 0 3 7
7 0 0 9 5 8 5 5 8 8 0 9
8 0 5
9 0 5
0
1 5 8
2 0 3 5 5
3 0 5
4 0 0 5 5 6 6 8
5 0 0 0 5 5 6 7 8
6 0 0 0 2 2 3 3 5 7 0 0 0 5 5 5 8 8 8 0 5
9 0 5
表4: 幹葉表示
全部のデータを並べると一の位を昇順に

幹葉表示
0
1 5 8
2 3 5 0 5
3 5 0
4 0 5 6 5 8 6 0
5 5 7 0 0 8 5 6 0
6 2 5 5 7 5 2 0 0 3 0 3 7
7 0 0 9 5 8 5 5 8 8 0 9
8 0 5
9 0 5
0
1 5 8
2 0 3 5 5
3 0 5
4 0 0 5 5 6 6 8
5 0 0 0 5 5 6 7 8
6 0 0 0 2 2 3 3 5 7 0 0 0 5 5 5 8 8 8 0 5
9 0 5
表4: 幹葉表示
0 5
6 5 8 6 0
0 0 8 5 6 0
5 7 5 2 0 0 3 0 3 7
9 5 8 5 5 8 8 0 9
幹葉表示（整理前）
0
1 5 8
2 0 3 5 5
3 0 5
4 0 0 5 5 6 6 8
5 0 0 0 5 5 6 7 8
6 0 0 0 2 2 3 3 5 5 5 7 7
7 0 0 0 5 5 5 8 8 8 9 9
8 0 5
9 0 5
表4: 幹葉表示

幹葉表示
0
1 5 8
2 3 5 0 5
3 5 0
4 0 5 6 5 8 6 0
5 5 7 0 0 8 5 6 0
6 2 5 5 7 5 2 0 0 3 0 3 7
7 0 0 9 5 8 5 5 8 8 0 9
8 0 5
9 0 5
0
1 5 8
2 0 3 5 5
3 0 5
4 0 0 5 5 6 6 8
5 0 0 0 5 5 6 7 8
6 0 0 0 2 2 3 3 5 7 0 0 0 5 5 5 8 8 8 0 5
9 0 5
簡易ヒストグラムになり，データも見える
表4: 幹葉表示
0 5
6 5 8 6 0
0 0 8 5 6 0
5 7 5 2 0 0 3 0 3 7
9 5 8 5 5 8 8 0 9
幹葉表示（整理前）
0
1 5 8
2 0 3 5 5
3 0 5
4 0 0 5 5 6 6 8
5 0 0 0 5 5 6 7 8
6 0 0 0 2 2 3 3 5 5 5 7 7
7 0 0 0 5 5 5 8 8 8 9 9
8 0 5
9 0 5
表4: 幹葉表示

ヒストグラムをさらに簡略にしたもの
図4: ボックスプロット順位にもとづく指標
100個のデータがあるとして，
大きさの順に並べ替えた時
最小値
最大値
外れ値
中位数
四分位数
四分位数

最小値
最大値
外れ値
中位数
四分位数
四分位数
第50位

最小値
最大値
外れ値
中位数
四分位数
四分位数
第50位第25位

最小値
最大値
外れ値
中位数
四分位数
四分位数
第75位第50位第25位

パラレルボックスプロット
ボックスプロットは，複数個並べられる
（ヒストグラムにはできない）
外れ値
図5: パラレルボックスプロット

2014年度秋学期　統計学　第４回　データを「分布」で見る (2014. 10. 15)

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